a la Finance UniversitÃ© Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

M2 - Mathématiques Appliquées 

à l’Économie et à la Finance 

Université Paris 1 

Spécialité : Modélisation et Méthodes Mathématiques 

en Économie et Finance 

Calcul Stochastique 2 

Annie Millet 

15 

14 

13 

12 

11 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Table des matières 

1. Processus d’Itô de dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.1. Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.2. Variation quadratique - Crochet d’une martingale locale. . . . . . 4 

1.3. Processus d’Itô réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.4. Processus d’Itô de dimension d - Formule d’Itô générale . . . . . . 13 

1.4.1. Processus d’Itô de dimension d . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.4.2. Formule d’Itô générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.5. Propriétés du Brownien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.5.1. Caractérisations de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.5.2. Propriétés de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

2. Équations différentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.1. Solution forte - Diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2.2. Solution faible.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

2.3. Quelques propriétés des diffusions. . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

2.3.1. Flot stochastique et Propriété de Markov . . . . . . . . . . . . 33 

2.3.2. Générateur infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

2.3.3. Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

2.4. Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

2.5. Lien avec les EDP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

2.5.1. Problème parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

2.5.2. Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

2.6. Exemples en finance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

2.6.1. Problème de Sturm-Liouville - Temps d’occupation . . . . . . . . 44 

2.6.2. Introduction à la formule de Black & Sholes . . . . . . . . . . . 46 

2.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

3. Théorème de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

3.1. Changement de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

3.2. Formule de Cameron Martin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

3.3. Théorème de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

3.4. Condition de Novikov et généralisations . . . . . . . . . . . . . . 58 

3.5. Existence de solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

3.6. Exemples d’application à des calculs d’espérance . . . . . . . . . . 62 

3.7. Théorème de représentation prévisible . . . . . . . . . . . . . . 64 

3.8. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

4. Applications à la finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

4.1. Modélisation d’un marché financier en temps continu . . . . . . . . 68 

4.1.1. Modélisation d’un marché à d actifs risqués et k facteurs . . . . . . 68 

4.1.2. Description des stratégies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1.3. Absence d’opportunité d’arbitrage - Mesure martingale équivalente . . 70 

4.1.4. Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

4.2. Modèle de Black & Sholes généralisé . . . . . . . . . . . . . . . 73 

4.2.1. Absence d’opportunité d’arbitrage et changement de probabilité - 

Prime de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

4.2.2. Complétude du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

4.2.3. Calcul du portefeuille de couverture dans le modèle de Black & Sholes 78 

4.2.4. Volatilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

4.3. Modèle de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

4.3.1. Processus de Bessel généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

4.3.2. Modèle de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

4.3.3. Calcul du prix d’un zéro-coupon . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

4.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1 

1 Processus d’Itô de dimension quelconque 

Le but de ce chapitre est d’étendre les notions de mouvement Brownien, de processus 

d’Itô et la formule d’Itô de la dimension 1 à une dimension d arbitraire. 

1.1 Rappels 

Nous rappelons tout d’abord quelques définitions et notations du cours de Calcul Stochastique 

1. La filtration donne « l’information » dont on dispose à chaque instant t. 

Définition 1.1 Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. 

(i) Une filtration est une famille croissante (F t , t ≥ 0) de sous-tribus de F, c’est à dire 

telle que F s ⊂ F t ⊂ F si s ≤ t. 

(ii) On dit que la filtration (F t ) satisfait les conditions usuelles si elle est : 

• continue à droite, i.e., F t = F t+ := ⋂ s>t F s. 

• complète, i.e., toutes les tribus F t contiennent les ensembles négligeables, ce qui revient 

à demander que P(A) = 0 entraîne A ∈ F 0 . 

Convention. Dans toute la suite on se donne un espace probabilisé filtré (Ω, F, (F t , t ≥ 

0), P) et on suppose que sa filtration (F t ) satisfait les conditions habituelles. On supposera 

de plus que la tribu F 0 est la complétée de la tribu triviale {∅, Ω}, ce qui entraîne que les v.a. 

F 0 mesurables sont presque sûrement constantes. Ceci ne sera pas rappelé dans les énoncés. 

Définition 1.2 Un processus stochastique (à valeurs dans R d ) est une famille (X t , t ≥ 0) 

de variables aléatoires X t : (Ω, F) → (R d , R d ). 

(i) Le processus stochastique (X t ) est (F t )-adapté si X t est mesurable de (Ω, F t ) dans 

(R d , R d ) pour tout instant t ≥ 0. 

(ii) Le processus stochastique (X t ) est progressivement mesurable (ou progressif) si pour 

tout instant t ≥ 0, l’application (s, ω) ↦→ X s (ω) est mesurable de B([0, t])⊗F t dans (R d , R d ). 

(iii) Soit (X t ) un processus stochastique. Sa filtration naturelle est (F X t , t ≥ 0) où F X t = 

σ(σ(X s , s ∈ [0, t]), N) où N désigne les ensembles négligeables. Si le processus (X t ) est 

continu à droite, sa filtration naturelle (F X t ) satisfait les conditions habituelles. 

Théorème 1.3 Soit (X t ) un processus stochastique à valeurs dans R d , adapté et continu à 

droite. Alors (X t ) est progressif. 

La notion de temps d’arrêt joue un rôle crucial dans la théorie. 

Définition 1.4 Une variable aléatoire τ : Ω → [0, +∞] est un temps d’arrêt (relativement 

à la filtration (F t )), ou (F t )-temps d’arrêt, si {τ ≤ t} ∈ F t pour tout t ≥ 0. Si τ est un 

temps d’arrêt relativement à (F t ), on note 

F τ = {A ∈ F : A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t , ∀t ∈ [0, +∞[}. 

Enfin si (X t ) est un processus (F t )-adapté, on note X τ (ω) = X τ(ω) (ω); si le processus (X t ) 

est continu à droite et adapté, X τ 1 {τ

2 1 Processus d’Itô de dimension quelconque 

Proposition 1.5 Soit (X t , t ≥ 0) un processus à valeurs dans R d , (F t )-adapté et A ∈ R d . 

Rappelons la convention inf ∅ = +∞. 

(i) Si A est fermé et (X t ) est continu, D A = inf{t ≥ 0 : X t ∈ A} est un (F t )-temps 

d’arrêt. 

(ii) Si A est un ensemble ouvert et (X t ) est continu à droite, alors le temps d’atteinte 

de A noté T A = inf{t > 0 : X t ∈ A} est un (F t +)-temps d’arrêt. 

Démonstration. (i) De façon évidente, la continuité de X . et le fait que A est fermé entraînent 

{D A ≤ t} = {ω : inf s∈Q,s≤t d(X s (ω), A) = 0} ∈ F t , où d(x, A) = inf y∈A d(x, y). 

(ii) Pour vérifier {T A ≤ t} ∈ F + t , il suffit de vérifier que {T A < t} ∈ F t pour tout t. 

De plus, si s < t et X s (ω) ∈ A, la continuité à droite de X . (ω) et le fait que A est ouvert 

entraînent qu’il existe ε ∈]0, t − s[ tel que pour tout r ∈ [s, s + ε[, X r (ω) ∈ A, d’où 

{T A < t} = ∪ s

1.1 Rappels 3 

Démonstration. (i) Pour tout n ≥ 1, soit S n (ω) = k2 −n sur {S ∈ [(k − 1)2 −n , k2 −n [}, 

k ≤ K2 n + 1 et T n défini de façon similaire. Alors S n et T n sont des (F t )-temps d’arrêt 

qui ne prennent qu’un nombre fini de valeurs et tels que S ≤ S n ≤ T n , lim n S n = S et 

lim n T n = T. Si A ∈ F Sn , en découpant l’ensemble A suivant les valeurs prises par S n et en 

utilisant la propriété de martingale, on voit que ∫ M A S n 

dP = ∑ ∫ 

k 

M A∩{S n=k} KdP, c’est à 

dire que M Sn = E(M K |F Sn ). Puisque F Sn ⊂ F Tn , on a donc 

E(M Tn |F Sn ) = E(E(M K |F Tn )|F Sn ) = M Sn . 

On en déduit que pour A ∈ F S ⊂ F Sn , ∫ M A S n 

dP = ∫ M A T n 

dP. De plus, les suites de 

temps d’arrêt (S n , n ≥ 1) et (T n , n ≥ 1) étant décroissantes, le calcul précédent montre que 

les suites (M Sn , F Sn ) et (M Tn , F Tn ) sont des martingales descendantes, donc uniformément 

intégrables. Puisque la martingale M est continue à droite, M T = lim n M Tn et M S = 

lim n M Sn p.s. et dans L 1 . On en déduit que pour tout A ∈ F S , ∫ M A SdP = ∫ M A TdP, 

ce qui termine la démonstration. On remarque que cette démonstration s’étend aisément au 

cas où S et T sont des temps d’arrêt non bornés tels que S ≤ T si la martingale M est 

uniformément intégrable, donc fermée. 

(ii) Si s ≤ t, il suffit d’appliquer la partie (i) aux temps d’arrêt s ∧ T ≤ t ∧ T ≤ t, 

pour déduire que M t∧T est une (F t∧T )-martingale. Montrons que ce processus (F t )-adapté 

intégrable est encore une (F t )-martingale. 

Soit A ∈ F s . De façon évidente, A ∩ {T > s} ∈ F s∧T , et puisque E(M t∧T |F s∧T ) = M s∧T , 

∫ 

∫ 

M t∧T dP = M s∧T dP. 

A∩{T>s} 

A∩{T>s} 

De plus, sur {T ≤ s}, M t∧T = M T = M s∧T ; on en déduit ∫ M A t∧TdP = ∫ M A s∧TdP, ce qui 

termine la démonstration. ✷ 

Cette proposition justifie la définition suivante qui permet de « localiser » la notion de 

martingale en introduisant une suite croissante de temps d’arrêt. 

Définition 1.8 Un processus (F t )-adapté et continu à droite M est une (F t )-martingale 

locale s’il existe une suite croissante (τ n ) de (F t )-temps d’arrêt telle que τ n → ∞ et M τn := 

(M t∧τn , t ≥ 0) est une (F t )-martingale pour tout n. 

Remarque 1.9 (1) Soit M une martingale locale. En remplaçant la suite de temps d’arrêt 

(τ n ) par (τ n ∧ n) on voit que l’on peut demander que chaque martingale M τn soit uniformément 

intégrable. Pour tout n ≥ 1, soit S n = inf{t ≥ 0 : |M t | ≥ n}. Alors S n est 

un temps d’arrêt et si la martingale locale M est continue, on peut, en remplaçant τ n par 

τ n ∧ n ∧ S n , demander que la martingale M τn soit bornée. 

(2) Même si M est une martingale locale intégrable, ce n’est pas nécessairement une 

martingale. On pourra voir un contre-exemple dans [11], page 182. 

Définition 1.10 Le processus (B t , t ≥ 0) est un mouvement Brownien (standard) réel - ou 

unidimensionnel si les propriétés (a)-(c) sont vérifiées : 

a) P(B 0 = 0) = 1 (le mouvement Brownien est issu de l’origine). 

b) Pour 0 ≤ s ≤ t, B t − B s est une variable réelle de loi gaussienne, centrée de variance 

(t − s), notée N(0, t − s). 

c) Pour tout n et 0 ≤ t 0 ≤ t 1 · · · ≤ t n , les variables aléatoires B t0 , B t1 − B t0 , · · · , 

B tn − B tn−1 sont indépendantes. 

26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet


Rappelons que les trajectoires du Brownien B sont p.s. continues, et même Höldériennes 

d’ordre α < 1 , mais p.s. qu’elles ne sont pas dérivables (ni même des fonctions de classe 

2 

C 2). 

1 On supposera souvent que la tribu (F t ) considérée est la tribu naturelle de B, notée (Ft B ), 

et satisfait donc le théorème d’arrêt 1.7. La propriété c) montre que pour tout 0 ≤ s < t, 

l’accroissement B t − B s est indépendant de la tribu Fs 

B = σ(σ(B u , 0 ≤ u ≤ s), N). Le 

mouvement Brownien est donc une (Ft B )-martingale. Rappelons des propriétés du Brownien 

qui seront d’un usage constant, et pourront être montrées à titre d’exercice. 

Proposition 1.11 Soit (B t ) un Brownien. Alors 

(i) (Scaling) Pour toute constante c > 0, le processus cB t/c 2 est un mouvement Brownien 

et (−B t ) est un mouvement Brownien. 

(ii) (Bt 2 − t, t ≥ 0) est (FB t )-martingale. 

(iii) Pour tout θ ∈ R, le processus 

( 

exp 

( 

θB t − θ2 t 

2 

) ) 

, t ≥ 0 est une (Ft B)-martingale. 

La figure suivante montre trois exemples de trajectoires de B (obtenues par simulation). 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

−3 

−4 

−5 

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 

1.2 Variation quadratique - Crochet d’une martingale locale 

Rappelons les notations suivantes. 

Définition 1.12 Soit (Ω, F, (F t , t ≥ 0), P) un espace filtré. Pour a = 1, 2 et T ∈]0, +∞] 

on note : 

{ 

(∫ t 

) } 

H a (F t ) = h progressivement mesurable tel que pour tout t ≥ 0, E |h s | a ds < ∞ , 

{ 

∫ t 

0 

} 

Ha loc (F t ) = h progressivement mesurable tel que pour tout t ≥ 0, |h s | a ds < ∞ p.s. , 

0 

{ 

(∫ T 

) } 

Ha T (F t) = h progressivement mesurable tel que E |h s | a ds < +∞ . 

0 

Calcul Stochastique 2 - Annie Millet 26 octobre 2009

1.2 Variation quadratique - Crochet d’une martingale locale 5 

En particulier soit h un processus cadlag (F t )-adapté; si pour tout t > 0 on a ∫ t 

( 0 h2 s ds < 

∫ ) 

+∞ p.s., alors h ∈ H2 loc t 

, si E 

0 h2 sds < ∞ pour tout t, alors h ∈ H 2 (F t ), ... Lorsque 

la filtration (F t ) est la filtration naturelle (Ft B ) d’un mouvement Brownien B, on notera 

simplement H1 loc := H1 loc (Ft B ), H2 loc := H2 loc (Ft B ), ... 

La propriété suivante des intégrales stochastiques par rapport au mouvement Brownien 

est fondamentale. 

Théorème 1.13 Soit B un mouvement Brownien et (Ft B ) sa filtration naturelle. Soit h ∈ 

H 2 ; alors le processus t → I t = ∫ t 

h 0 sdB s est une (Ft B )-martingale de carré intégrable et à 

trajectoires p.s. continues. 

Soit h ∈ H2 loc (par exemple un processus cadlag, (Ft B)-adapté tel que ∫ t 

0 h2 sds < +∞ 

p.s.) Alors l’intégrale stochastique I t = ∫ t 

h 0 sdB s peut être construite comme une martingale 

locale continue. 

Rappelons la notion de variation satisfaite par les intégrales de la borne supérieure déterministes. 

Définition 1.14 (i) Soit s < t et f : [s, t] → R. La fonction f est à variation bornée sur 

[s, t] si V [s,t] (f) < +∞, où 

{ } 

∑ 

V [s,t] (f) := sup |f(t i+1 ) − f(t i )| : {s = t 0 < t 1 < · · · < t n ≤ t} subdivision de [s, t] . 

i 

La fonction f : [0, +∞[ est à variation finie sur [0, +∞[ si elle est à variation bornée sur 

tout intervalle [0, T]. 

(ii) Le processus (X t ) est à variation bornée sur [s, t] (resp. à variation finie) si ses 

trajectoires sont p.s. à variation bornée sur [s, t] (resp. p.s. à variation finie). 

De façon évidente, si b ∈ H1 loc (F t ), le processus t → I t = ∫ t 

b 0 sds est à variation finie; en 

effet pour tout T ≥ 0, V [0,T] (I) ≤ ∫ T 

|b(t)| dt. Le comportement des intégrales stochastiques 

0 

est tout autre. 

Proposition 1.15 Soit (M t ) une (F t )-martingale locale p.s. continue à variation finie. 

Alors pour tout t la variable aléatoire M t est presque sûrement constante (égale à M 0 ). 

Démonstration. Puisque M 0 est p.s. constante, en remplaçant M t par M t − M 0 , on peut 

supposer M 0 = 0. 

(i) Fixons T et supposons que (M t ) est une martingale continue et que sa variation 

V [0,T] (M) est (p.s.) bornée par C. Soit ∆ = {t 0 = 0 < t 1 < · · · < t n = T } une subdivision de 

[0, T], |∆| = sup n−1 

i=0 |t i+1 − t i | son pas et pour 0 ≤ k ≤ n − 1 soit X k = M tk+1 − M tk . Alors 

∑n−1 

E(|M T | 2 ) = E(|M T − M 0 | 2 ) = E(Xk) 2 + 2 

k=0 

∑ 

1≤i


appliquant le Théorème de convergence dominée, on en déduit E ( sup k |M tk+1 − M tk | ) → 0 

quand |∆| → 0. On en déduit E(|M T | 2 ) = 0 ce qui entraîne M T = 0 p.s. 

(ii) Supposons que (M t ) est une martingale p.s. continue. Pour tout n, soit 

τ n = inf{t ∈ [0, T] : V [0,t] (M) ≥ n} ∧ T 

(avec la convention inf ∅ = +∞). La définition de V [0,t] montre que c’est un processus (F t )- 

adapté, continu. La Proposition 1.5 (i) montre que (τ n ) est une suite de (F t )-temps d’arrêt; 

de façon évidente, (τ n ) est croissante et converge vers T. Le théorème d’arrêt 1.7 montre 

que le processus (Mt τn 

) = (M t∧τn , t ≥ 0) est une (F t )-martingale. De plus, par construction, 

V [0,T] (M τn ) ≤ n p.s. Soit t ∈ [0, T]; la partie (i) montre donc que M t∧τn = 0 p.s. puis la 

continuité p.s. de M permet, en faisant tendre n vers l’infini, d’en déduire que M t = 0 p.s. 

(iii) Soit maintenant M une martingale locale continue et soit (τ n ) une suite de temps 

d’arrêt qui croit vers T telle que (M t∧τn , t ≥ 0) est une martingale continue. Pour tout 

n cette martingale est à variation bornée sur [0, T] et est donc nulle p.s. d’après (ii). On 

conclut de nouveau par passage à la limite en n en utilisant la continuité p.s. de M. ✷ 

La proposition précédente montre que le mouvement Brownien n’est p.s. pas à variation 

bornée sur [0, T] et que l’intégrale stochastique t → ∫ t 

σ 0 sdB s ne peut pas être définie 

ω par ω et n’est pas à variation finie, sauf si elle est nulle. 

La « bonne notion » pour les intégrales stochastiques, tout comme pour le Brownien, est 

celle de variation quadratique. Pour tout processus X défini sur [0, T], 0 ≤ t ≤ T et toute 

subdivision ∆ = {t 0 = 0 < t 1 < · · · < t k = T }, 

∑k−1 

Tt ∆ (X) = |X ti+1 ∧t − X ti ∧t| 2 . 

i=0 

Définition 1.16 Soit X : [0, T]×Ω → R un processus stochastique défini sur [0, T]. On dit 

que X est de variation quadratique finie si pour tout t ∈ [0, T], 

〈X, X〉 t = lim T t 

∆ existe en probabilité, 

|∆|→0 

c’est à dire que pour toute suite (∆ n ) de subdivisions de [0, T] dont le pas tend vers 0, la 

suite T ∆n 

t converge en probabilité vers une limite notée 〈X, X〉 t . 

Les deux résultats suivants donnent les rapports entre processus à variation bornée et à 

variation quadratique finie. 

Proposition 1.17 Soit X un processus continu à variation bornée sur [0, T]. Alors X est 

de variation quadratique nulle sur [0, T]. 

Démonstration. Soit ∆ = {0 = t 0 < t 1 < · · · < t k = T } une subdivision de [0, T]. Alors 

∑k−1 

∑k−1 

|X ti+1 − X ti | 2 ≤ |X ti+1 − X ti | sup |X ti+1 − X ti |. 

0≤i


On remarque d’ailleurs que la démonstration précédente et le Théorème de convergence 

dominée entraînent que si V [0,t] (X) ≤ C p.s. où C est constante, Tt 

∆ converge vers 0 dans 

L 1 . ✷ 

Le résultat suivant a été montré dans le cours de Calcul Stochastique 1. 

Théorème 1.18 Le mouvement Brownien (B t ) est de variation quadratique finie sur tout 

intervalle [0, T] et 〈B, B〉 t = t. Plus précisément, lorsque |∆| → 0, E(|Tt ∆ (B) − t| 2 ) → 0, 

c’est à dire que la convergence a lieu dans L 2 . 

De plus, si σ ∈ H2 loc, 

le processus (∫ t 

σ 0 sdB s , t ≥ 0) est de variation quadratique ∫ t 

0 σ2 s ds 

sur chaque intervalle [0, t]. 

Nous allons tout d’abord le généraliser à des martingales locales continues. 

Notation Soit ∆ = {t 0 = 0 < t 1 < t 2 < · · · } une subdivision de [0, +∞[ telle que pour tout 

t > 0, ∆ ∩ [0, t] ne comprend qu’un nombre fini de points. Par analogie avec les notations 

précédentes, pour tout t > 0 (en ajoutant t à la subdivision) et pour tout processus X 

notons 

Tt ∆ (X) = ∑ ti+1 ∧t − X ti ∧t) 

i≥0(X 2 . (1.2) 

Le processus X est à variation quadratique finie si pour tout t la famille de processus T ∆ 

t (X) 

converge en probabilité vers 〈X, X〉 t quand le pas |∆| de la subdivision sur [0, t] tend vers 

0. 

Le résultat suivant est fondamental. Il relie la variation quadratique à une martingale 

associée au carré du processus. 

Théorème 1.19 Soit M une (F t )-martingale locale continue. Alors M est de variation quadratique 

finie et sa variation quadratique 〈M, M〉 t est l’unique processus croissant, adapté, 

continu, nul en zéro tel que 

( 

M 

2 

t − 〈M, M〉 t , t ≥ 0 ) est une (F t ) martingale locale . 

De plus, ∣ pour s < t et toute∣ suite (∆ n ) de subdivisions dont le pas |∆ n | tend vers 0, la suite 

sup s≤t Ts 

∆n (M) − 〈M, M〉 s converge vers 0 en probabilité. 

Si de plus, M est une martingale de carré intégrable (c’est à dire que E(Mt 2 ) < +∞ 

pour tout t), alors (Mt 2 − 〈M, M〉 t, t ≥ 0) est une (F t ) martingale continue telle que pour 

tout couple de temps d’arrêt bornés S ≤ T ≤ C, 

E(M 2 T − M 2 S|F S ) = E(|M T − M S | 2 |F S ) = E(〈M, M〉 T − 〈M, M〉 S |F S ). 

Démonstration. L’unicité de la décomposition découle de la Proposition 1.15. En effet, 

soit Mt 2 = Y t + A t = Z t + B t où A, B sont des processus continus à variation finie et nuls 

en 0, Y, Z sont des martingales locales, continues puisque M. 2 , A . et B . le sont. Alors la 

différence Y − Z = B − A est une martingale locale continue à variation finie nulle en 0, 

donc est nulle d’après la Proposition 1.15. 

Pour prouver l’existence, nous distinguerons plusieurs étapes. Pour alléger les notations, 

nous ne ferons pas référence à la filtration pour les temps d’arrêt, martingales, ... En remplaçant 

(M t ) par (M t − M 0 , t ≥ 0) qui est aussi une martingale (ou une martingale locale), 

nous supposerons que M 0 = 0. 

(1) On suppose que M est une martingale bornée par C. Pour toute subdivision ∆, 

s < t, notons i et k les entiers tels que t i ≤ s < t i+1 et t k ≤ t < t k+1 . 



Alors si i = k, la propriété de martingale de M entraîne que 

Si i < k, 

E ( T ∆ 

t (M) − T ∆ s (M) ∣ ∣ Fs 

) 

= E(|Mt − M ti | 2 − |M s − M ti | 2 |F s ) 

= E(|M t − M s | 2 |F s ) = E(M 2 t − M2 s |F s). 

E ( |M ti+1 − M ti | 2 |F s 

) 

= E 

( 

|Mti+1 − M s | 2 |F s 

) 

+ |Ms − M ti | 2 . 

Avec la convention ∑ n 2 

j=n 1 

x j = 0 si n 1 > n 2 , on en déduit 

E ( T ∆ 

t (M) − T ∆ s (M) ∣ ∣ Fs 

) 

= E 

(|M ti+1 − M s | 2 + 

D’autre part, pour tout s ≤ a 

∑k−1 

j=i+1 

|M tj+1 − M tj | 2 + |M t − M tk | 2 ∣ ∣∣Fs 

). 

E[(M b − M a )(M d − M c )|F s ] = E[(M b − M a )E[M d − M c |F c ]|F s ] = 0. 

En décomposant M t − M s comme somme d’accroissements sur les points {s, t i+1 , · · · , t k , t} 

on obtient donc 

E ( |M t − M s | 2 |F s 

) 

= E 

(|M ti+1 − M s | 2 + 

∑k−1 

j=i+1 

|M tj+1 − M tj | 2 + |M t − M tk | 2 ∣ ∣∣Fs 

), 

On en déduit que 

E [ Mt 2 − M2 s |F ] [ ] [ 

s = E (Mt − M s ) 2 |F s = E T 

∆ 

t (M) − Ts ∆ (M)|F s] 

. (1.3) 

Le processus (Mt 2 −T t ∆ (M), t ≥ 0) est donc une martingale de carré intégrable et E(Mt 2) = 

E(Tt ∆ (M)) pour tout t ≥ 0. 

(2) Soit M une martingale continue bornée par C. Fixons a en notons (∆ n ) une suite 

de subdivisions de [0, a] dont le pas tend vers 0. Montrons que la suite (Ta ∆n (M), n ≥ 0) 

converge dans L 2 , c’est à dire est de Cauchy dans L 2 . 

Soit ∆ et ∆ ′ deux subdivisions; notons ˜∆ la subdivision obtenue en prenant l’union des 

points de ∆ et ∆ ′ . Notons 

X = T ∆ (M) − T ∆′ (M). 

Puisque (Mt 2 − T t ∆ (M) , t ≥ 0) est une martingale, X est également une martingale nulle 

en 0 telle que (X t , 0 ≤ t ≤ a) est bornée. Le calcul précédent appliqué à X au lieu de M 

montre que 

[ 

] [ ] 

E(Xa 2 ) = E |Ta ∆ ∆′ 

(M) − Ta (M)|2 = E T ˜∆ 

a (X) . 

[ 

De plus, T ˜∆ 

a (X) ≤ 2 T ˜∆ ( 

a T ∆ (M) ) + T ˜∆ ( 

a T 

∆ ′ (M) )] . 

Pour vérifier que la suite Ta 

∆n (M) est de Cauchy, il suffit donc de vérifier que 

[ 

E T ˜∆ ( 

a T ∆ (M)) )] converge vers 0 quand |∆| + |∆ ′ | → 0. 

Soit s k ∈ ˜∆ et t l l’unique élément de ∆ tel que t l ≤ s k < s k+1 ≤ t l+1 . Alors 

T ∆ s k+1 

(M) −T ∆ s k 

(M) = (M sk+1 −M tl ) 2 −(M sk −M tl ) 2 = (M sk+1 −M sk )(M sk+1 +M sk −2M tl ). 



On en déduit 

T ˜∆ 

a 

( 

T ∆ (M) ) ≤ T ˜∆ 

a (M) 

( 

) 

sup |M sk+1 + M sk − 2M tl | 2 . 

k 

Puisque M est continue bornée, le théorème de convergence dominée entraîne que 

( 

) 

E sup |M sk+1 + M sk − 2M tl | 4 → 0 quand |∆| + |∆ ′ | → 0. 

k 

Il suffit d’après l’inégalité de Schwarz de prouver que E(|T ˜∆ 

a (M)| 2 ) reste bornée par une 

constante, c’est à dire que 

sup E(|Ta ∆ (M)|2 ) < +∞. 

∆ 

Soit ∆ une subdivision qui contient a = t n . Alors 

( n−1 

) 2 

∑ 

|Ta ∆ (M)|2 = |M ti+1 − M ti | 2 

i=0 

∑n−1 

∑n−2 

∑n−1 

= |M ti+1 − M ti | 4 + 2 |M ti+1 − M ti | 2 

i=0 

i=0 

i=0 

i=0 

j=i+1 

|M tj+1 − M tj | 2 

∑n−1 

∑n−2 

( ) 

= |M ti+1 − M ti | 4 2 ( 

+ 2 Mti+1 − M ti T 

∆ 

a (M) − Tt ∆ 

i+1 

(M) ) . 

L’équation (1.3) montre que E [ T ∆ a (M)−T ∆ 

t i+1 

(M)|F ti+1 

] 

= E 

[ 

(Ma −M ti+1 ) 2 |F ti+1 

] 

. Puisque 

(M ti+1 − M ti ) 2 est F ti+1 -mesurable, on en déduit 

∑n−1 

E(|Ta ∆ (M)|2 ) = E(|M ti+1 − M ti | 4 ) 

i=0 

n−1 

∑ 

+ 2 

i=0 

n−1 

E [ |M ti+1 − M ti | 2 E ( T ∆ a (M) − T ∆ 

t i+1 

(M)|F ti+1 

)] 

∑ 

∑n−1 

= E(|M ti+1 − M ti | 4 ) + 2 E [ |M ti+1 − M ti | 2 (M a − M ti+1 ) 2] 

i=0 

[( 

≤ E 

sup 

k 

i=0 

) ] 

|M tk+1 − M tk | 2 + 2 sup |M a − M tk | 2 Ta ∆ (M) . 

k 

Puisque sup t |M t | ≤ C et M 0 = 0, l’équation (1.3) pour 0 et a entraîne que E(T ∆ a (M)) ≤ C 2 

et donc 

E(|T ∆ a (M)|2 ) ≤ 12C 2 E(T ∆ a (M)) ≤ 12C4 . (1.4) 

La suite (Ta 

∆n (M), n ≥ 1) est donc de Cauchy dans L 2 ; elle converge dans L 2 (donc aussi 

en probabilité) vers une limite notée 〈M, M〉 a . 

(3) Soit M une martingale continue bornée par C. Il reste à vérifier que le processus 

〈M, M〉 a les propriétés annoncées. Soit (∆ n ) une suite de subdivisions dont le pas |∆ n | tend 



vers 0. Pour tout m < n, le processus T ∆n (M) − T ∆m (M) est une martingale et l’inégalité 

de Doob entraîne que 

( 

) [ 

E |Ts 

∆n 

(M) − Ts ∆m 

(M)| 2 ≤ 4E |Ta 

∆n 

(M) − Ta ∆m 

(M)| 2] . 

sup 

0≤s≤a 

Soit m(k) un entier tel que pour tout m ≥ m(k), E(|Ts 

∆m (M)−T ∆ m(k) 

s (M)| 2 ) ≤ 2 −k . On peut 

supposer que la suite m(k) est strictement croissante et, d’après le lemme de Borel Cantelli, 

de la suite (T. ∆n (M), n ≥ 1) on peut donc extraire une sous-suite (T ∆ m(k) 

. (M), k ≥ 1) qui 

converge p.s. uniformément sur l’intervalle [0, a]. 

Par un procédé diagonal, on peut faire en sorte d’extraire une nouvelle sous-suite qui 

converge uniformément sur tout intervalle [0, N] pour tout entier N. La limite 〈M, M〉 est 

donc p.s. continue. De plus, la limite étant indépendante de la suite de subdivisions choisie, 

on peut faire en sorte que la suite de subdivisions soit telle que ∆ n ⊂ ∆ n+1 et que ∪ n ∆ n 

soit dense dans [0, +∞[. 

Alors, si s < t sont des points de ∪ n ∆ n , il existe n 0 tel que s, t ∈ ∆ n pour tout n ≥ n 0 . On 

en déduit alors de façon évidente que Ts 

∆n ≤ Tt 

∆n 

pour n ≥ n 0 , d’où 〈M, M〉 s ≤ 〈M, M〉 t et 

que le processus 〈M, M〉 est croissant par continuité. Enfin, en faisant tendre n vers l’infini 

dans l’équation (1.3) écrite pour la subdivision ∆ n et en utilisant l’intégrabilité uniforme 

de la suite (Tt 

∆n 

(M), n ≥ 1) qui découle du fait que cette suite est bornée dans L 2 d’après 

(1.4), on déduit que M 2 − 〈M, M〉 est une martingale. 

(4) Soit M une martingale locale continue et (T n ) une suite de temps d’arrêt qui croît 

p.s. vers +∞ et telle que pour tout n le processus X(n) = M Tn défini par (1.1) est une 

martingale continue bornée. La démonstration précédente montre qu’il existe un processus 

croissant A(n) nul en 0 tel que pour tout n, (X(n) 2 t − A(n) t , t ≥ 0) est une martingale. De 

plus la martingale arrêtée 

(X(n + 1) 2 − A(n + 1)) Tn = X(n) 2 − A(n + 1) Tn 

est une martingale et A(n + 1) Tn est un processus croissant nul en 0. L’unicité montrée en 

(1) permet de déduire que A(n + 1) Tn = A(n) Tn p.s. Ceci permet de définir sans ambiguïté 

un processus croissant 〈M, M〉 t = A(n) t pour tout t ≤ T n . L’unicité vient de l’unicité sur 

tout intervalle [0, T n ]. 

Fixons t > 0, ε > 0 et δ > 0. La suite de temps d’arrêt (T n ) tend vers +∞, donc pour n 

assez grand S = T n est tel que P(S ≤ t) < δ et la martingale M S est bornée. La première 

partie montre que lorsque le pas de la subdivision |∆| tend vers 0, Tt ∆(MS 

) converge vers 

〈M S , M S 〉 t en probabilité. Puisque Ts ∆ (M S ) = Ts ∆ (M) et 〈M S , M S 〉 s = 〈M, M〉 s pour 

s ∈ [0, S], on en déduit que pour |∆| assez petit 

( 

) ( 

) 

P sup |Ts ∆ (M) − 〈M, M〉 s| ≥ ε ≤ δ + P sup |Ts ∆ (MS ) − 〈M S , M S 〉 s | ≥ ε ≤ 2δ. 

s≤t 

s≤t 

(5) Supposons enfin que M est une martingale est de carré intégrable. D’après l’inégalité 

de Doob, 

E( sup |M s | 2 ) ≤ 2E(|M t | 2 ). 

0≤s≤t 

D’autre part, soit (T n ) une suite de temps d’arrêt qui croît p.s. vers +∞ et telle que pour tout 

n le processus X n = M Tn est une martingale continue bornée. Pour tout t, E(〈M, M〉 t∧Tn ) = 



E(|M t∧Tn | 2 ) et la suite (M t∧Tn , n ≥ 0) est une (F t∧Tn , n ≥ 0) martingale bornée dans L 2 qui 

converge dans L 2 vers M 2 t . De plus, le théorème de convergence monotone montre que 

E(〈M, M〉 t ) = lim 

n 

E(〈M, M〉 t∧Tn ) = lim 

n 

E(|M t∧Tn | 2 ). 

Enfin la martingale discrète (M t∧Tn , n ≥ 1) est fermée par M t ∈ L 2 et converge dans L 2 vers 

M t puisque ∨ n F t∧Tn = F t ; on a donc E(〈M, M〉 t ) = E(Mt 2 ) < +∞. L’inégalité de Doob 

montre alors que pour tout s ≤ t, 

Ms 2 − 〈M, M〉 s ≤ sup Mr 2 + 〈M, M〉 r ∈ L 1 . 

r≤t 

L’exercice 1.4 (ii) montre que cette martingale locale continue uniformément intégrable est 

une martingale. Il suffit d’appliquer le Théorème d’arrêt 1.7 pour conclure la démonstration. 

✷ 

Le crochet de deux martingales locales continues M et N est défini par polarisation. 

Théorème 1.20 Soit M et N des (F t )-martingales locales continues. Il existe un unique 

processus continu, adapté, à variation finie 〈M, N〉 nul en 0 tel que (M t N t − 〈M, N〉 t , t ≥ 0) 

soit une martingale locale continue. De plus pour toute suite ∆ n de subdivisions de [0, t] dont 

le pas tend vers 0, la suite 

∣ 

sup 

s≤t 

∣ ∑ 

∣∣∣∣ (M ti+1 ∧s − M ti ∧s)(N ti+1 ∧s − N ti ∧s) − 〈M, N〉 s converge vers 0 en probabilité. 

∣ 

t i ∈∆ n 

Démonstration. L’unicité découle de la proposition 1.15. Pour l’existence, il suffit de vérifier 

que 

〈M, N〉 = 1 [ 

] 

〈M + N , M + N〉 − 〈M − N , M − N〉 . 

4 

a les propriétés annoncées. C’est la différence de deux processus croissants et c’est donc un 

processus à variation finie. ✷ 

Définition 1.21 On dit que le processus 〈M, N〉 est le crochet de M et N et que le processus 

〈M, M〉 aussi noté 〈M〉 est le processus croissant associé à M. 

Définition 1.22 Un processus X est une semi-martingale continue s’il admet la décomposition 

X t = X 0 +M t +A t pour tout t, où (M t ) est une (F t )-martingale locale continue, (A t ) 

est un processus continu à variation finie, M 0 = A 0 = 0. 

On déduit aisément la 

Proposition 1.23 La variation quadratique d’une semi-martingale continue X = X 0 +M+ 

A est finie et égale 〈M, M〉. La décomposition de X est unique (à indistinguabilité près). 

On note donc 〈X, X〉 = 〈M, M〉 et on dit que ce processus croissant est le crochet de X. De 

même, si X = X 0 + M + A et Y = Y 0 + N + B sont des semi-martingales continues (avec 

les martingales locales continues M, N et les processus à variation finie A et B) on définit 

le crochet de X et Y comme 

〈X, Y 〉 = 〈M, N〉 = 1 [ 

] 

〈X + Y , X + Y 〉 − 〈X − Y , X − Y 〉 . 

4 



Démonstration. Soit X = X 0 + M + A une semi-martingale continue. Si X admet une 

autre décomposition X = ¯X 0 + ¯M + Ā où Ā est un processus à variation finie, ¯M est une 

martingale locale continue, ¯M0 = Ā0 = 0, on a ¯X 0 = X 0 , le processus M − ¯M = Ā − A est 

une martingale locale continue à variation finie, est est donc nulle p.s. d’après la Proposition 

1.15. 

Soit ∆ une subdivision de [0, t]. D’après la Proposition 1.17 le processus A est à variation 

quadratique nulle et pour prouver que la variation quadratique de X est celle de M, il suffit 

de vérifier que 

∑ 

( 

) 

(M 

∣ 

ti+1 − M ti )(A ti+1 − A ti ) 

∣ ≤ sup |M ti+1 − M ti | V ar [0,t] (A). 

i 

Puisque les trajectoires de M sont p. s. continues (donc uniformément continues sur [0, t]) 

et que V ar [0,t] (A) < +∞ on déduit que p.s., le majorant tend vers 0 quand |∆| → 0. ✷ 

1.3 Processus d’Itô réel. 

Définition 1.24 Soit (B t ) un mouvement Brownien, (Ft B ) sa filtration naturelle, x ∈ R, 

b ∈ H1 loc(FB 

t ) et σ ∈ Hloc 2 (FB t ). Le processus X défini par 

X t = x + 

∫ t 

0 

i 

σ s dB s + 

∫ t 

0 

b s ds (1.5) 

est un processus d’Itô; il est à trajectoires continues. Le processus b est sa dérive, le processus 

σ est le coefficient de diffusion et x est la condition initiale. L’équation (1.5) est souvent 

également notée { dXt = b t dt + σ t dB t , 

(1.6) 

X 0 = x. 

Le Théorème 1.13 montre que M t = ∫ t 

σ 0 sdB s est une (Ft B )-martingale locale continue. 

Un processus d’Itô X t = x + ∫ t 

σ 0 sdB s + ∫ t 

b 0 sds est donc une semi-martingale locale continue. 

On dit que t → ∫ t 

σ 0 sdB s est sa « partie martingale » (même si c’est seulement une 

martingale locale) et que t → x + ∫ t 

b 0 sds est sa « partie à variation finie ». La partie martingale( 

de X est une « vraie » (Ft B )-martingale si le coefficient de diffusion σ est cadlag tel 

∫ ) 

t 

que E < +∞ pour tout t > 0, ou plus généralement si σ ∈ H 2 (Ft B ). C’est une 

0 σ2 sds 

martingale bornée dans L 2 si σ ∈ H ∞ 2 (F 2 t ). 

Les résultats de la section précédente donnent donc immédiatement quelques propriétés 

importantes des processus d’Itô. 

Corollaire 1.25 (i) Le crochet d’un processus d’Itô X t = x + ∫ t 

σ 0 sdB s + ∫ t 

b 0 sds est défini 

par 〈X, X〉 t = ∫ t 

0 σ2 sds pour tout t ≥ 0. 

(ii) Plus généralement, le crochet croisé de deux processus d’Itô X t = x + ∫ t 

σ 0 sdB s + 

∫ t 

b 0 sds et Y t = y + ∫ t 

¯σ 0 sdB s + ∫ t ¯b 0 s ds est celui de leurs parties martingales, soit 〈X, Y 〉 t = 

∫ t 

σ 0 s¯σ s ds. 

(iii) Soit (X t = x + ∫ t 

σ 0 sdB s + ∫ t 

b 0 sds = ˜x + ∫ t 

˜σ 0 sdB s + ∫ t ˜b 0 s ds, t ≥ 0) un processus 

d’Itô, où b,˜b ∈ H1 loc (Ft B ), σ, ˜σ ∈ H2 loc (Ft B ), x, ˜x ∈ R. Alors, x = ˜x, b = ˜b ds ⊗ dP p.p. et 

σ = ˜σ ds ⊗ dP p.p., c’est à dire que la décomposition de X est unique. 


1.4 Processus d’Itô de dimension d - Formule d’Itô générale 13 

(iv) Soit (X t ) un processus d’Itô qui est une (Ft B 

est nulle ds ⊗ dP p.p. 

)-martingale locale. Alors sa dérive b 

Démonstration. (i) et (ii) sont des conséquences immédiates de la Proposition 1.17, du 

Théorème 1.18 et de la polarisation. 

(iii) La différence D t = ∫ t 

(˜b 0 s − b s )ds = ∫ t 

(σ 0 s − ˜σ s )dB s est dont un processus à variation 

bornée sur [0, T] (à cause de l’intégrale déterministe) et une martingale locale continue (à 

cause de l’intégrale stochastique et du Théorème 1.13). La Proposition 1.17 montre que la 

variation quadratique de l’intégrale stochastique de σ − ˜σ est nulle p.s. sur tout intervalle 

[0, t], soit ∫ t 

|σ 0 s − ˜σ s | 2 ds = 0, et σ = ˜σ ds ⊗ dP p.p. sur [0, t] × Ω. On en déduit que 

∫ t 

(b 0 s − ˜b s )ds = 0 pour tout t, ce qui termine la démonstration puisque X 0 = x = ˜x. 

(iv) Le processus d’Itô X t = x+ ∫ t 

σ 0 sdB s + ∫ t 

b 0 sds est continu. Puisque t → x+ ∫ t 

σ 0 sdB s 

est une (Ft B )-martingale locale continue, par différence le processus t → ∫ t 

b 0 sds est une 

martingale locale continue et est à variation finie sur tout intervalle [0, t]. Il est donc constant 

(et égal à 0) p.s. d’après la Proposition 1.15 ✷ 

1.4 Processus d’Itô de dimension d - Formule d’Itô générale 

1.4.1 Processus d’Itô de dimension d 

Nous étendons tout d’abord la définition du mouvement Brownien réel au cas d’un 

processus de dimension quelconque. 

Définition 1.26 Soit ( B t = (B 1 t , B 2 t , . . .,B r t ), t ≥ 0 ) un processus r-dimensionnel et (F t ) 

une filtration. On dit que B est un (F t )-Brownien standard r-dimensionnel si les processus 

(B i ), 1 ≤ i ≤ r sont des (F t )-Browniens réels indépendants, c’est à dire : B 0 = 0 et pour 

0 ≤ s ≤ t 

(i) B t − B s suit une loi normale N(0, (t − s)Id r ). 

(ii) l’accroissement B t − B s est indépendant de la tribu F s . 

Quand la filtration n’est pas précisée, on dit que B est un Brownien standard d-dimensionnel 

si c’est un mouvement Brownien pour sa filtration naturelle (F B t ). Si B est un Brownien 

standard pour la filtration (F t ), c’est aussi un Brownien standard pour sa filtration naturelle 

(F B t ). Le Brownien est un processus gaussien à accroissements indépendants. 

Nous commettrons l’abus de notation consistant à identifier un vecteur (x 1 , · · · , x r ) ∈ R r et 

la matrice colonne de ses composantes dans la base canonique. Nous noterons donc 

⎛ ⎞ 

B t = 

⎜ 

⎝ 

B 1 t 

. 

B r t 

⎟ 

⎠ . 

Nous généralisons de même la notion de processus d’Itô. Notons M(d, r) l’ensemble des 

matrices d × r à d lignes et r colonnes. On dit qu’un processus X = (Xj(t) i : 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ 

j ≤ r, t ≥ 0) à valeurs dans M(d, k) appartient à H1 loc(F 

t) (resp. H2 loc(F 

t), H2 2(F t), H2 ∞(F t)) 

si chaque composante Xk i est un processus réel qui appartient à Hloc 1 (F t ) (resp. H2 loc (F t ), 

H2 2(F t), H2 ∞(F t)). 



Définition 1.27 Soit B un (F t )-Brownien standard de dimension r, σ = (σk i : 1 ≤ i ≤ 

d, 1 ≤ k ≤ r) : Ω × [0, +∞[→ M(d, r) ∈ H2 loc , b = (b 1 , · · · , b d ) : Ω × [0, +∞[→ R d ∈ H1 loc , 

et x = (x 1 , · · · , x d ) ∈ R d . Le processus (X t ) à valeurs dans R d est un processus d’Itô de 

condition initiale x, de coefficient de diffusion σ et de coefficient de dérive b si pour tout 

i = 1, · · · , d, 

r∑ 

∫ t ∫ t 

Xt i = xi + σk i (s)dBk s + b i (s)ds. (1.7) 

k=1 

0 

En notation matricielle, si on commet l’abus de notation qui consiste à identifier un vecteur 

x = (x 1 , · · · , x d ) de R d et la matrice colonne de ses coefficients dans la base canonique, 

l’équation (1.7) peut s’écrire 

0 

où on note 

⎛ 

X t = 

⎜ 

⎝ 

X 1 t 

. 

X d t 

⎞ 

⎛ 

⎟ ⎜ 

⎠ , x = ⎝ 

X t = x + 

∫ t 

0 

σ(s)dB s + 

∫ t 

⎞ ⎛ 

x 1 

σ1(s) 1 · · · 

⎟ ⎜ 

. ⎠ , σ(s) = ⎝ . . 

x d σ1 d(d) · · · 

0 

b(s)ds, 

⎞ ⎛ ⎞ 

σr(s) 

1 b 1 (s) 

⎟ ⎜ ⎟ 

. ⎠ , b(s) = ⎝ . ⎠ . 

σd r (s) b d (s) 

Considérons les processus d’Itô unidimensionnels 

ξ t = x + 

r∑ 

k=1 

∫ t 

0 

σ k (s)dB k s + 

∫ t 

0 

b(s)ds et ¯ξt = ¯x + 

r∑ 

¯σ j (s)dBs k + 

k=1 

∫ t 

0 

¯b(s)ds, 

pour b,¯b ∈ H1 loc et σ k , ¯σ k ∈ H2 loc. 

Alors le processus ∫ t 

b(s)ds est continu à variation finie, 

0 

tandis que le processus ∑ r 

∫ t 

k=1 

σ 0 k(s)dBs k est une martingale locale continue comme somme 

de martingales locales continues. Les processus ξ et ¯ξ sont donc des semi-martingales. Pour 

trouver leurs ( crochets, on remarque tout d’abord que pour chaque indice k = 1, · · · , r, le 

∣∣∣ ∫ t 

processus σ 0 k(s)dBs 

k ∣ 2 − ∫ ) 

t 

|σ 0 k(s)| 2 ds , t ≥ 0 est une (F t )-martingale locale. 

Soit k ≠ l ; supposons d’abord que les processus σ k et σ l sont étagés, c’est à dire 

∑n−1 

σ k = ξk i 1 ]t i ,t i+1 ] et σ l = 

i=0 

n∑ 

ξl i 1 ]t i ,t i+1 ], t 0 = 0 < t 1 < · · · et ξk i , ξj l 

F ti -mesurables. 

i=1 

Soit s < t; sans perte de généralité, on peut supposer que les instants s et t sont ajoutés à 

la liste des t i , avec s = t I et t = t n . Alors, 

(∫ t 

E σ k (u)dBu 

k 

0 

∫ t 

0 

) 

σ l (u)dBu 

l ∣ 

∑n−1 

∑n−1 

( 

) 

∣F s = E ξk i ξ j l [Bk t i+1 

− Bt k i 

][Bt l j+1 

− Bt l ∣ 

j 

] ∣F s 

= 

i=0 j=0 

∫ s 

0 

σ k (u)dB k u 

∫ s 

0 

σ l (u)dB l u. 

En effet l’indépendance de F ti , B k t i+1 

− B k t i 

et B l t i+1 

− B l t i 

, entraîne par exemple que : 

si I ≤ i = j, puisque E[(B k t i+1 

−B k t i 

)(B l t i+1 

−B l t i 

)|F ti ) = E[(B k t i+1 

−B k t i 

)(B l t i+1 

−B l t i 

)] = 0, 

on en déduit E(ξ i k ξi l E[(Bk t i+1 

− B k t i 

)(B l t i+1 

− B l t i 

)|F ti ) ∣ ∣ FtI ) = 0. 


1.4 Processus d’Itô de dimension d - Formule d’Itô générale 15 

L’indépendance de (B l t j+1 

− B l t j 

et de F tj entraîne : 

si i 

− B k t i 

)E(ξ j l E(Bl t j+1 

− B l t j 

|F tj )|F tI ) = 0, 

si I ≤ i < j, E(ξk i(Bk t i+1 

− Bt k i 

)ξ j l E(Bl t j+1 

− Bt l j 

|F tj ) ∣ FtI ) = 0, 

Cette propriété s’étend ensuite à des processus σ k et σ l de H2(F 2 t ) pour lesquels on déduit 

que 

(∣ ∣∣ 

r∑ 

∫ t 

σ k (s)dBs 

k r∑ 

∫ 

∣ 2 t 

) 

− |σ k (s)| 2 ds , t ≥ 0 

k=1 

0 

k=1 

est une (F t )-martingale. Par localisation, on montre enfin que ce processus est une (F t )- 

martingale locale si on sait seulement que les processus σ k , 1 ≤ k ≤ r appartiennent à 

H2 loc (F t ). 

Le crochet des processus ξ et ¯ξ est donc celui de leurs parties martingales 

m t = ∑ r 

∫ t 

k=1 

σ 0 k(s)dBs k, et ¯m t = ∑ r 

∫ t 

k=1 ¯σ 0 k(s)dBs k soit 

∫ 

〈ξ , ¯ξ〉 

t r∑ 

t = 〈m, ¯m〉 t = σ k (s)¯σ k (s)ds. 

Le crochet de la martingale locale m est égal à celui de ξ, soit 

〈ξ , ξ〉 t = 〈m, m〉 t = 

∫ t 

0 

0 

0 

k=1 

r∑ 

|σ k (s)| 2 ds = 

k=1 

∫ t 

0 

‖σ(s)‖ 2 ds, 

où ‖σ(s)‖ désigne la norme euclidienne dans R r du vecteur (σ 1 (s), · · · , σ r (s)). 

1.4.2 Formule d’Itô générale 

Les résultats de la section précédente sont résumés dans la 

Proposition 1.28 Soit (B t ) un (F t )-Brownien standard à valeurs dans R r , (X t ) un processus 

d’Itô à valeurs dans R d de la forme (1.7). Alors X est à trajectoires continues. Pour 

chaque i = 1, · · · , d, le processus ( ∫ t 

0 bi (s)ds, t ≥ 0) est continu à variation finie (c’est à dire 

que chacune de ses composantes est à variation finie), nul en 0. Le processus ∫ t 

σ(s)dB 0 s est 

une martingale locale continue (c’est à dire que chacune de ses composantes est une martingale 

locale continue) nulle en 0. La décomposition est unique. Le crochet des composantes 

X i et X j , 1 ≤ i, j ≤ d est 

〈X i , X j 〉 t = 

∫ t 

0 

r∑ 

σk i (s)σj k (s)ds. 

k=1 

La formule d’Itô, montrée pour un processus d’Itô réel dans le cours de Calcul Stochastique 

1, se généralise immédiatement à des processus d’Itô multidimensionnels. Rappelons 

la tout d’abord en dimension 1 sous sa forme la plus simple. 

Théorème 1.29 Soit X t = x+ ∫ t 

σ(s)dB 0 s+ ∫ t 

b(s)ds, où x ∈ R, (B 0 t) est un (F t )-Brownien, 

b ∈ H1 loc , σ ∈ H2 loc . Soit f : R → R une fonction de classe C 2 . Alors pour tout t ≥ 0, 

f(X t ) = f(x) + 

= f(x) + 

∫ t 

0 

∫ t 

0 

f ′ (X s )dX s + 1 2 f ′′ (X s )d〈X, X〉 s (1.8) 

∫ t 

[ 

f ′ (X s )σ(s)dB s + f ′ (X s )b(X s ) + 1 ] 

2 f ′′ (X s )σ 2 (s) ds. 

0 



On peut donc formellement poser 

df(X t ) = f ′ (X t )dX t + 1 2 f ′′ (X t )d〈X, X〉 t où 〈X, X〉 t = 

∫ t 

0 

σ 2 (s)ds. 

La formule d’Itô admet la version suivante en dimension quelconque, dont la démonstration 

similaire à celle en dimension 1, est omise. Notons A ∗ la transposée de la matrice 

A. 

Théorème 1.30 Soit B un (F t )-Brownien standard de dimension r, σ un processus à valeurs 

dans M(d, r) qui appartient à H2 loc (F t ), b un processus à valeurs dans R d qui appartient 

à H1 loc(F 

t) et x ∈ R d . Notons X t = x + ∫ t 

σ(s)dB 0 s + ∫ t 

b 0 sds le processus d’Itô défini par 

les équations (1.7) pour tout i = 1, · · · , d et soit f : R d → R une fonction de classe C 2 . 

Alors si on note a(s) = σ(s)σ(s) ∗ la matrice d × d définie par a i,j (s) = ∑ r 

k=1 σi k (s)σj k (s) 

pour i, j ∈ {1, · · · , d}, on a : 

∫ t d∑ ∂f 

f(X t ) = f(x) + (X s )dXs i + 1 ∫ t d∑ ∂ 2 f 

(X s )d〈X i , X j 〉 s (1.9) 

∂x i 2 ∂x i ∂x j 

= f(x) + 

∫ t 

0 

∫ t 

0 

i=1 

k∑ 

j=1 

d∑ 

i=1 

0 

i,j=1 

∫ 

∂f 

t 

(X s )σ i 

∂x 

jdBs j + 

i 0 

d∑ 

i=1 

∂f 

∂x i 

(X s )b i (s)ds 

+ 1 d∑ ∂ 2 f 

(X s )a i,j (s)ds. (1.10) 

2 0 ∂x 

i,j=1 i ∂x j 

( 

) 

Notons ∂2 f 

∂ 

la matrice carrée symétrique 

2 f 

∂x 2 ∂x i ∂x j 

, 1 ≤ i, j ≤ d , (, ) le produit scalaire 

dans R d et ∂f 

∂f 

la matrice colonne dont les composantes sont les dérivées partielles 

∂x ∂x i 

. On 

peut alors écrire formellement la formule d’Itô 

( ) ∂f 

df(X t ) = 

∂x (X t), dX t + 1 ( 

) 

2 Trace σ(t)σ ∗ (t) ∂2 f 

∂x (X t) dt. 

2 

Si la fonction f dépend aussi du temps, on a la seconde version de la formule d’Itô. 

Théorème 1.31 Soit B un (F t )-Brownien standard de dimension r, σ un processus à valeurs 

dans M(d, r) qui appartient à H2 loc(F 

t), b un processus à valeurs dans R d qui appartient 

à H1 loc (F t ) et x ∈ R d . Notons X t = x + ∫ t 

σ(s)dB 0 s + ∫ t 

b 0 sds le processus d’Itô défini par les 

équations (1.7) pour tout i = 1, · · · , d et soit f : [0, +∞[×R d → R une fonction de classe 

C 1,2 , c’est à dire de classe C 1 par rapport à la première variable t et de classe C 2 par rapport 

à la seconde variable x. Alors si a(s) = σ(s)σ(s) ∗ , on a : 

∫ t ∫ 

∂f 

t d∑ 

f(t, X t ) = f(0, x) + 

∂t (s, X ∂f 

s)ds + (s, X s )dXs 

i ∂x i 

+ 1 2 

∫ t 

0 

= f(0, x) + 

+ 

∫ t 

0 

d∑ 

0 

i,j=1 

∫ t 

0 

0 

i=1 

∂ 2 f 

∂x i ∂x j 

(s, X s )d〈X i , X j 〉 s ds (1.11) 

r∑ 

k=1 

d∑ 

i=1 

[ 

∂f 

∂t (s, X s) + 

∂f 

∂x i 

(s, X s )σ i k (s)dBk s 

d∑ 

i=1 

∂f 

∂x i 

(s, X s )b i (s) + 1 2 

d∑ 

i,j=1 

] 

∂ 2 f 

(s, X s )a i,j (s) ds. 

∂x i ∂x j 


1.5 Propriétés du Brownien. 17 

De nouveau, l’équation (1.11) peut s’écrire de façon compacte sous la forme 

df(t, X t ) = ∂f ( ) 

∂f 

∂t (t, X t)dt + 

∂x (t, X t), dX t + 1 ( 

) 

2 Trace σ(t)σ ∗ (t) ∂2 f 

∂x (t, X t) 

2 

dt. 

Un cas particulier très simple de cette formule est le résultat suivant qui est une « formule 

d’intégration par parties » . On la montrera comme exercice. 

Si f : [0, +∞[→ R est de classe C 1 et (B t ) est un Brownien standard unidimensionnel, 

∫ t 

0 

f(s)dB s = f(t)B t − 

∫ t 

0 

B s f ′ (s)ds. 

La formule d’Itô permet de montrer que si B est un Brownien standard( unidimensionnel ∫ ) 

et si X est un processus (Ft B)-adapté, p ∈ [1+∞[ et T > 0 sont tels que E T 

|X 0 s| 2p ds < 

+∞, alors ( ∣∣∣∣ ∫ T 

∣ ) ∣∣∣ 

2p (∫ T 

) 

E X s dB s ≤ [p(2p − 1)] p T p−1 E |X s | 2p ds (1.12) 

0 

On pourra montrer cette inégalité très utile dans l’exercice 1.8. Le résultat suivant renforce 

la conclusion. L’une des inégalités est montrée dans l’exercice 1.8. 

Théorème 1.32 (Théorème de Burkholder-Davies-Gundy) Pour tout p ∈ [1, +∞[ il existe 

des constantes universelles k p > 0 et K p > 0 (qui ne dépendent que de p) telles que toute 

(F t )- martingale continue M de carré intégrable et pour tout T > 0, 

( ) 

k p E (〈M〉 p T ) ≤ E sup |M s | 2p ≤ K p E (〈M〉 p T ) . (1.13) 

1.5 Propriétés du Brownien. 

1.5.1 Caractérisations de Lévy 

0≤s≤T 

Remarquons que si B est un Brownien standard d-dimensionnel, pour tout i, j = 1, · · · , d 

les processus (B i t , t ≥ 0) et (Bi t Bj t − δ i,j t , t ≥ 0) sont des (F B t )-martingales (avec δ i,j = 0 

pour i ≠ j et δ i,i = 1). La démonstration est faite dans l’exercice 1.7 Nous allons montrer 

que ces propriétés caractérisent le Brownien, ce qui sera fondamental pour traiter des changements 

de probabilité. Notons (u, v) le produit scalaire des vecteurs u, v ∈ R d et ‖u‖ la 

norme euclidienne de u, 

Théorème 1.33 (Caractérisation de Paul Lévy) Soit X = (X t = (Xt 1, · · · , Xd t ), t ≥ 0) un 

processus (F t )-adapté à valeurs dans R d . 

(i) On suppose pour tout u ∈ R d , les processus X et t ↦→ exp [(u, X t ) − ‖u‖ 2 t/2] sont des 

(F t )-martingales. Alors, X est un (F t )-Brownien standard de dimension d. 

(ii) On suppose que le processus défini pour j = 1, · · · , d par M j t = X j t − X j 0 est une 

(F t )-martingale locale continue nulle en 0 (M0 i = 0 pour tout i) et que les crochets de M i 

et M j sont 

〈M i M j 〉 t = δ i,j t. (1.14) 

Alors M est un (F t )-Brownien standard de dimension d. 

0 



Démonstration. (i) Il faut montrer que pour 0 ≤ s < t, le vecteur aléatoire X t − X s suit 

une loi N(0, (t − s)Id) et est indépendant de F s . 

Soit Z un vecteur gaussien de loi N(0, (t − s)Id). Puisque la fonction caractéristique 

caractérise la loi, il suffit de vérifier que pour tout u ∈ R d 

) ) 

E 

(e i(u,Xt−Xs) |F s = E 

(e i(u,Z) = e − ‖u‖2 (t−s) 

2 . (1.15) 

En effet, supposons que (1.15) est vraie et notons Φ(x) = e i(u,x) ; pour tout A ∈ F s 

on a E[1 A Φ(X t − X s )] = P(A)E[Φ(Z)]. On en déduit que pour toute fonction borélienne 

bornée f : R d → R et tout A ∈ F s , on a E [ 1 A f(X t − X s ) ] = P(A)E[f(Z)]. Ceci prouve 

l’indépendance de X t − X s de la tribu F s et montre également que la loi de X t − X s est 

égale à celle de Z. 

Pour prouver (1.15), fixons tout d’abord v ∈ R d . Par hypothèse, si 0 ≤ s < t, 

E [ exp ( (X t − X s , v) ) ( 

] 

| F s = exp −(X s , v) + ‖v‖2 t 

2 

( ‖v‖ 2 (t − s) 

= exp 

2 

) 

. 

) 

E 

[ 

exp 

( 

(X t , v) − ‖v‖2 t 

2 

) ∣∣∣ 

Fs 

] 

Un argument de récurrence finie (reposant sur le caractère analytique des deux membres de 

(1.15) comme fonction de l’une de variables v k ∈ C, les autres composantes de v étant fixées 

dans R ou C) montre que l’équation précédente s’étend du cas v ∈ R d au cas v ∈ C d . Cette 

égalité appliquée au vecteur v dont les composantes sont v k = iu k montre (1.15). 

(ii) Nous ne montrerons cette caractérisation que dans le cas où (X t ) est un processus 

d’Itô, c’est à dire X t = X 0 + ∫ t 

H(s)dB 0 s avec H ∈ H2 loc . Le cas général nécessite une notion 

d’intégrale stochastique plus générale que celle par rapport au Brownien présentée en Calcul 

Stochastique 1. Pour tout j = 1, · · · , d et t > 0, le crochet de X j à l’instant t est donné par 

〈X j , X j 〉 t = t = ∑ r 

∫ t 

k=1 0 |Hj k (s)|2 ds, ce qui entraîne que ∑ r 

k=1 |Hj k (s)|2 = 1 p.s. pour presque 

tout s. De plus, si j ≠ l, pour tout t > 0, le crochet 〈X j , X l 〉 t = ∫ t ∑ r 

0 k=1 Hj k (s)Hl k (s) ds = 0, 

ce qui entraîne que ∑ r 

k=1 Hj k (s)Hl k (s) = 0 p.s. pour presque tout s. On en déduit que H ∈ H2 2 

et que (X t , 0 ≤ t ≤ T) est une martingale. De plus, les égalités précédentes montrent que 

les vecteurs (H j (s), 1 ≤ j ≤ d) forment une famille orthonormée (donc libre) de R r , ce 

qui entraîne d ≤ r. Pour tout A ∈ F s et λ ∈ R d , soit f(t) = E 

( 

1 A exp [i(λ, M t − M s )] 

D’après la partie (i), il suffit de montrer que f(t) = P(A) exp [ − ‖λ2 ‖ 

(t −s)] . En appliquant 

2 

la formule d’Itô séparément ( à la partie réelle et à la partie imaginaire de la fonction x = 

(x 1 , · · ·x d ) → exp i ∑ d 

j=1 λj x 

), j on déduit que pour s < t, 

ce qui entraîne 

e i(λ,Mt) 

e i(λ,Mt−Ms) = 1 + i 

d∑ 

j=1 k=1 

= e i(λ,Ms) + i 

− 

d∑ 

j,l=1 k=1 

d∑ 

j=1 k=1 

∫ t 

r∑ λ j λ l 

2 

r∑ 

∫ t 

λ j e i(λ,Mu) H j k (u)dBk u 

r∑ 

∫ t 

λ j e i(λ,Mu−Ms) H j k (u)dBk u − 

s 

s 

s 

e i(λ,Mu) H j k (s)Hl k (u)du, 

d∑ |λ j | 2 

j=1 

2 

∫ t 

s 

e i(λ,Mu−Ms) du. 

) 

. 



Les intégrales stochastiques ( ∫ t 

s ei(λ,Mu−Ms) H j k (u)dBk u , t ≥ s) sont des martingales pour tout 

j = 1, · · · , d et k = 1, · · · , r, et sont indépendantes de F s . En utilisant le théorème de Fubini, 

on en déduit 

( ∫ t 

) ∫ t 

f(t) = P(A) − ‖λ‖2 

2 E 1 A e i(λ,Mu−Ms) du = P(A) − ‖λ‖2 f(u)du. 

2 

s 

Puisque f ′ (t) = − ‖λ‖2 f(t) pour t ≥ s et que f(s) = P(A), nous avons établi que pour tout 

2 

t ≥ s, f(t) = P(A) exp(− ‖λ2 ‖ 

(t − s)). ✷ 

2 

1.5.2 Propriétés de Markov 

Une propriété fondamentale du Brownien est la propriété de Markov, qui traduit le fait 

que ce qui se passe après l’instant t (c’est à dire dans le futur à l’instant t) ne dépend pas 

de toute la tribu F t des évènements du « passé » , mais seulement de l’état B t à l’instant t. 

Décrivons tout d’abord le passage d’un instant s à un instant t ≥ s. 

Définition 1.34 Une probabilité de transition sur R d est une application Π : R d × R d → 

[0, 1] telle que 

(i) pour tout x ∈ R d , l’application A ∈ R d → Π(x, A) est une probabilité. 

(ii) pour tout A ∈ R d , x ∈ R d → Π(x, A) est mesurable de (R d , R d ) dans ([0, 1], B([0, 1]). 

Une fonction de transition sur R d est une famille (P s,t , 0 ≤ s < t) de probabilités de transition 

telle que si s < t < v l’équation de Chapman-Kolmogorov soit satisfaite : 

∫ 

P s,t (x, dy)P t,v (y, A) = P s,v (x, A) , ∀A ∈ R d , ∀x ∈ R d . (1.16) 

Pour toute fonction f : R d → R borélienne positive (ou bornée) on note 

∫ 

P s,t f(x) = f(y) P s,t (x, dy). 

R d 

Si la fonction de transition P s,t ne dépend que de t − s, on dit qu’elle homogène et dans ce 

cas, si on note P t = P 0,t , l’équation (1.16) s’écrit 

∫ 

P s+t (x, A) = P s (x, dy)P t (y, A). 

Pour toute fonction f : R d → R borélienne positive (ou bornée), on a P s+t f(x) = P t 

( 

Ps f(x) ) 

et on dit que (P t ) est un semi-groupe. 

L’équation (1.16) est naturelle. En effet, si X est un processus et (x, A) ∈ R d × R d → 

P s,t (x, A) est une probabilité de transition tels que pour tout A ∈ R d et s < t, 

∫ 

P(X t ∈ A|σ(X u , u ≤ s)) = P s,t (X s , A) = 1 A (y) P s,t (x, dy) p.s., 

on en déduit E(f(X t )|σ(X u , u ≤ s)) = ∫ R d f(y)P s,t (X s , dy) pour toute fonction borélienne 

f : R d → R positive (ou bornée). Pour s < t < v, A ∈ R d et f(y) = P t,v (y, A), on en déduit 

P s,v (X s , A) = P(X v ∈ A|σ(X u , u ≤ s)) 

= E [ P(X v ∈ A|σ(X u , u ≤ t) | σ(X u , u ≤ s) ] 

= E [ f(X t )|σ(X u , u ≤ s) ] ∫ 

= P s,t (X s , dy)P t,v (y, A). 

Ces notions permettent de formuler précisément la propriété de Markov « faible ». 

s 



Définition 1.35 (1) Un processus (X t , t ≥ 0) à valeurs dans R d et adapté à la filtration 

(F t ) est un processus de Markov pour cette filtration si pour toute fonction borélienne bornée 

f : R d → R, 

E ( f(X t ) | F s ) = E ( f(X t ) | X s ) pour tout s ≤ t. (1.17) 

(2) Un processus (X t , t ≥ 0) à valeurs dans R d et adapté à la filtration (F t ) est un processus 

de Markov pour cette filtration de fonction de transition P s,t si pour toute fonction borélienne 

bornée f : R d → R, 

E [ ∫ 

] 

f(X t ) | F s = Ps,t f(X s ) := P s,t (X s , dy)f(y). (1.18) 

R d 

On dit que le processus de Markov est homogène si sa fonction de transition est homogène. 

Nous allons montrer que le mouvement Brownien est un processus de Markov homogène 

de semi-groupe de transition P h défini pour s ≥ 0, h > 0, x ∈ R d et A ∈ R d par : 

∫ 

) 

1 

‖y − x‖2 

P h (x, A) = P(B s+h ∈ A|B s = x) = exp 

(− dy, 

(2πh) d 2 A 2h 

c’est à dire que P h (x, dy) est la loi d’un vecteur gaussien N(x, hId). 

Théorème 1.36 (Propriété de Markov simple) Soit (B t ) un mouvement Brownien standard 

d-dimensionnel et f : R d → R une fonction borélienne bornée. Alors pour tout s ≤ t, 

∫ 

E[f(B t ) | Fs B ] = E[f(B 1 

t) | B s ] = 

f(y) exp 

(− ‖y − B ) 

s‖ 2 

dy. 

(2π(t − s)) d 2 R 2(t − s) 

d 

Démonstration. La démonstration repose sur le lemme suivant : 

Lemme 1.37 Soit F une tribu et G une sous-tribu de F, X : (Ω, G) → (E 1 , E 1 ) une 

application G-mesurable et Y : (Ω, F) → (E 2 , E 2 ) une application F-mesurable indépendante 

de G. Alors, pour toute fonction Φ : (E 1 × E 2 , E 1 ⊗ E 2 ) → (R, R) bornée, 

E(Φ(X, Y )|G) = ϕ(X), où ϕ : (E 1 , E 1 ) → (R, R) est définie par ϕ(x) = E[Φ(x, Y )]. 

Démonstration du Lemme Pour toute application mesurable V : (Ω, F) → (E, E), 

notons P (V ) la mesure image de P par V . D’après la définition de P (Y ) et le Théorème de 

Fubini, ϕ est telle que ϕ(x) = ∫ E 2 

Φ(x, y)dP (Y ) (y) et est bornée, mesurable de (E 1 , E 1 ) dans 

(R, R). De plus, si Z : (Ω, G) → (R, R) est G-mesurable bornée, l’indépendance de Y et 

(X, Z) et le théorème de Fubini entraînent 

E [ Φ(X, Y )Z ] ∫ ∫ 

= Φ(x, y) z dP (X,Z) (x, z) dP (Y ) (y) 

∫ (∫ 

) 

= Φ(x, y)dP (Y ) (dy) z dP (X,Z) (x, z) 

∫ 

= ϕ(x) zdP (X,Z) (x, z) = E [ ϕ(X)Z ] , 

ce qui termine la démonstration. 

✷ 



Soit s < t; appliquons le lemme précédent avec E 1 = E 2 = R d , G = F s , F = F t , X = B s 

et Y = B t − B s . Nous en déduisons que pour toute fonction borélienne bornée f : R d → R, 

E [ ] 

f(B t )|F s = ϕ(Bs ) où ϕ(x) = E [ f(x + B t − B s ) ] . Un calcul similaire avec G = σ(B s ) et 

F = F t pour les mêmes variables aléatoires X = B s et Y = B t − B s permet de conclure 

E [ ] 

f(B t )|B s = ϕ(Bs ). La loi de B t − B s étant gaussienne N(0, (t − s)Id), ceci termine la 

démonstration. ✷ 

Corollaire 1.38 Soit τ un (F t )-temps d’arrêt fini presque sûrement et B un (F t )-Brownien 

standard de dimension d. Alors le processus (M t = B τ+t − B τ , t ≥ 0) est un (F τ+t , t ≥ 0)- 

Brownien standard indépendant de F τ . 

Démonstration. Supposons tout d’abord que τ ≤ C p.s. et notons G t = F τ+t pour tout 

t ≥ 0. Alors (G t ) est une filtration et le Théorème d’arrêt 1.7 montre que si (X t ) est une 

(F t )-martingale et si on note Y t = X τ+t , Y t est intégrable et pour s < t, E(Y t |G s ) = 

E(X τ+t |F τ+s ) = X τ+s = Y s , c’est à dire que (Y t ) est une (G t )-martingale. 

Il faut montrer que si 0 ≤ s < t, le vecteur aléatoire M t − M s suit une loi N(0, (t − 

s)Id) et est indépendant de G s . Un argument utilisé dans la démonstration du théorème 

de caractérisation du Brownien de Paul Lévy montre qu’il suffit de vérifier que pour tout 

u ∈ R d l’équation (1.15) est satisfaite. 

Fixons u ∈ R d et notons f(x) = e i(u,x) pour tout x ∈ R d . Alors |f| = 1 et en décomposant 

f en partie réelle et partie imaginaire, la propriété de Markov et la définition du Brownien 

montrent 

) 

(t − s)‖u‖2 

E(exp(i(u, B t )|F s ) = E(exp(i(u, B t )|B s ) = exp(i(u, B s )) exp 

(− . 

2 

On en déduit que le processus X t = exp ( i(u, B t ) + t‖u‖ 2 /2) est une (F t )-martingale, et 

d’après la remarque précédente, que (Y t = X τ+t , t ≥ 0) est une (G t )-martingale. Pour tout 

s ≤ t, on a donc 

( 

Yt 

∣ ) 

∣∣Gs 

E = E(Y t|G s ) 

= Y s 

, 

Y 0 Y 0 Y 0 

ce qui prouve que ( Y t 

Y 0 

= exp(i(u, M t ) + t‖u‖ 2 /2), t ≥ 0 ) est une (G t )-martingale. Donc pour 

s ≤ t, 

∣ ) ( 

) 

E 

(e i(u,Mt−Ms) ∣∣Gs 

t‖u‖2 

i(u,Mt)+ ∣ 

t‖u‖2 

−i(u,Ms)− 

= E e 2 

∣G s e 2 = e −(t−s)‖u‖2 2 , 

ce qui termine la démonstration de (1.15) lorsque τ est borné p.s. 

Soit τ un temps d’arrêt presque sûrement fini; pour conclure, il suffit d’écrire (1.15) pour 

la suite de temps d’arrêt τ ∧ n et de faire tendre n vers +∞. ✷. 

On en déduit une propriété similaire à la propriété de Markov simple (Théorème 1.36) 

en remplaçant les temps fixes par des temps d’arrêt. 

Théorème 1.39 (Propriété de Markov forte) Soit B un (F t )-Brownien standard à valeurs 

dans R d et τ un (Ft B )-temps d’arrêt fini presque sûrement; alors pour tout t > 0, 

∫ 

1 

E[f(B τ+t ) | F τ ] = E[f(B τ+t ) | B τ ] = f(y) exp 

(− ‖y − B ) 

τ‖ 2 

dy. (1.19) 

(2πt) d 2 R 2t 

d 

Démonstration. Le lemme 1.37 appliqué à X = B τ , Y = B τ+t − B τ , G = F τ (ou bien 

G = σ(X τ )), F = F t+τ et le Corollaire 1.38 montrent que, puisque (B τ+t −B τ , t ≥ 0) est un 

Brownien indépendant de F τ , la propriété de Markov forte (1.19) est satisfaite. ✷ 



1.6 Exercices 

Exercice 1.1 Montrer qu’une martingale locale M arrêtée est encore une martingale locale. 

Exercice 1.2 Soit (M t ) un processus cadlag (F t )-adapté. Montrer que c’est une (F t )- 

martingale si et seulement si pour tout temps d’arrêt borné T, M T ∈ L 1 et E(M T ) = E(M 0 ). 

Exercice 1.3 Soit (X t , 0 ≤ t ≤ T) une (F t )-surmartingale, c’est à dire que si 0 ≤ s ≤ t ≤ T, 

X s ≥ E(X t |F s ), telle que E(X T ) = E(X 0 ). Montrer que (X t ) est une martingale. 

Exercice 1.4 Soit (M t ) une (F t )-martingale locale. Monter que 

(i) Si M t est positive, c’est une surmartingale. 

(ii) S’il existe Y ∈ L 1 telle que |M t | ≤ Y p.s., alors (M t ) est une martingale. 

Exercice 1.5 Soit B un mouvement Brownien réel et (Ft B ) sa filtration naturelle. 

(i) Caractériser les valeurs de α ∈ R telles que le processus défini par I t = ∫ t 

|B 0 s| α dB s 

est une (Ft B)-martingale. 

(ii) En admettant que, si on note ψ(t) = √ 2 ln(ln(1/t)) pour 0 < t < 1 , lim sup e t→0 Bt 

= ψ(t) 

B 

+1 et lim inf t t→0 = −1, caractériser les valeurs de α telles que le processus I précédent 

ψ(t) 

est une (Ft B )-martingale locale. 

Exercice 1.6 Soit B un (F t )-Brownien, X t = x+ ∫ t 

σ 0 sdB s + ∫ t 

b 0 sds et ¯X t = ¯x+ ∫ t 

∫ ¯σ(s)dB 0 s+ 

t ¯b 0 s ds des processus d’Itô. Récrire X t Y t comme une semi-martingale. 

Exercice 1.7 Soit (Bt 1, · · · , Br t ) un Brownien standard de dimension r. 

1. Soit X et Y des variables aléatoires réelles, G une sous-tribu de F telle que les tribus 

σ(X), σ(Y ) et G sont indépendantes. Montrer que E(XY |G) = E(X)E(Y ) p.s. 

2. En déduire que pour s < t, lorsque i ≠ j on a E(BtB i j ∣ 

t Fs ) = BsB i s. 

j 

3. En déduire que 〈B i , B j 〉 t = δ i,j t. 

4. Montrer que pour tout u = (u 1 , · · · , u r ) ∈ R r , 

( 

) 

E e (u,Bt)−1 2 ‖u‖2 t∣ 

∣F s = e (u,Bs)−1 2 ‖u‖2s . 

Exercice 1.8 Soit (X t ) un processus (F t )-adapté et T > 0 tel que E 

pour p ∈ [1, +∞[. 

( ∫ ) 

T 

|X 0 s| 2p ds < +∞ 

1. En appliquant la formule d’Itô à M t = ∫ t 

X 0 sdB s , montrer qu’il existe une suite croissante 

(T n ) de temps d’arrêt qui tendent vers +∞ tels que 

(∫ T 

) 

E(M 2p 

T ∧T n 

) = p(2p − 1)E |M t∧Tn | 2(p−1) Xt∧T 2 n 

dt . 

2. La fonction t → E(|M t∧Tn | 2p ) est-elle monotone? En déduire que 

(∫ T ∧Tn 

) 

E(|M T ∧Tn | 2p ) ≤ [p(2p − 1)] p T p−1 E |X s | 2p ds 

puis que 

(∫ T 

E(|M T | 2p ) ≤ [p(2p − 1)] p T p−1 E 

0 

0 

0 

) 

|X s | 2p ds . 


1.6 Exercices 23 

3. En appliquant l’inégalité de Doob, montrer qu’il existe une constante K p que l’on 

explicitera telle que 

( ) (∫ T 

E sup |M t | 2p ≤ K p E 

0≤s≤T 

0 

) 

|X s | 2p ds . 

Exercice 1.9 Soit (X t ) un processus (F t )-adapté continu, positif tel que X 0 = 0, (A t ) un 

processus croissant continu (F t )-adapté tel que pour tout temps d’arrêt T, E(X T ) ≤ E(A T ). 

Pour tout t ≥ 0, on note V t = sup 0≤s≤t X s . 

1. Montrer que pour tout temps d’arrêt T et tout ǫ > 0, P(V T ≥ ǫ) ≤ 1 ǫ E(A T). (On 

pourra utiliser τ ε = inf{t ≥ 0 : X t ≥ ε} et T n = T ∧ n ∧ τ ε .) 

2. Montrer que pour tout temps d’arrêt T, et tout δ > 0, ǫ > 0, si S = inf{t ≥ 0 : A t ≥ 

δ}, P(V T ≥ ǫ, A T ≤ δ) ≤ P(V T ∧S ≥ ε) ≤ 1 ǫ E(δ ∧ A T). 

3. Soit F : [0, +∞[→ [0, ∞[ une fonction dérivable, strictement croissante telle que 

F(0) = 0 et pour tout x > 0, u → F ′ (u) 

1 u [x,+∞[(u) ∈ L 1 (λ), où λ désigne la mesure de 

Lebesgue. Notons G :]0, +∞[→]0, +∞[ la fonction définie par 

(a) Montrer que G ′ (x) = F ′ (x) + ∫ +∞ 

x 

(b) Montrer que 

E(F(V T )) = 

≤ 

∫ +∞ 

0 

∫ +∞ 

0 

∫ +∞ 

F ′ (u) 

G(x) = 2F(x) + x du. 

x u 

≤ E(G(A T )). 

F ′ (u) 

u 

P(V T ≥ u)F ′ (u)du 

du. 

2P(A T ≥ u)F ′ (u)du + 

∫ +∞ 

0 

1 

u E( ) 

A T 1 {AT ≤u} F ′ (u)du 

En déduire que si p ∈]0, 1[, pour tout temps d’arrêt T, E(V p 

T ) ≤ 2−p 

1−p E(Ap T ). 


24 2 Équations différentielles stochastiques 

2 

Équations différentielles stochastiques 

Ces processus, qui généralisent les équations différentielles ordinaires, sont fondamentaux 

en finance. Ils modélisent le prix d’actifs financiers. 

Rappelons qu’une équation différentielle ordinaire (EDO) sur [0, +∞[×R est du type 

y ′ t = f(t, y t ) et y 0 = y, (2.1) 

où y : [0, +∞[→ R est la fonction inconnue et f : [0, +∞[×R → R est une fonction 

donnée. L’étude mathématique des équations différentielles ordinaires est d’une importance 

considérable pour les applications notamment en physique. En général, il est impossible de 

donner une solution explicite à une EDO. On peut cependant chercher à savoir s’il existe 

une solution et si elle est unique. Un critère est le : 

Théorème 2.1 (Théorème de Cauchy-Lipschitz) Supposons qu’il existe une constante K > 

0 telle que pour tout t ∈ [0, +∞[, x, y ∈ R : 

{ |f(t, x) − f(t, y)| ≤ K|x − y| (condition de Lipschitz globale), 

|f(t, x)| ≤ K(1 + |x|) (condition de croissance linéaire). 

Alors l’EDO (2.1) a une solution unique définie sur [0, +∞[. 

La condition de Lipschitz globale est assez naturelle pour que la solution soit définie sur 

tout [0, +∞[. Si on considère par exemple y 0 = 1 et f(t, y) = y 2 , alors on voit facilement que 

l’unique solution de l’équation (2.1) correspondante est y t = 1/(1 − t), et que cette solution 

« explose » en t = 1. 

Une équation différentielle stochastique (EDS) est une perturbation de (2.1) avec un 

terme aléatoire modélisant un « bruit » autour du phénomène déterministe décrit par (2.1). 

La perturbation la plus simple est l’ajout d’un Brownien. Ceci modélise le fait que sur des 

intervalles de temps disjoints, les perturbations sont la somme de très nombreuses « petites » 

variables aléatoires indépendantes de même loi (qui, d’après le théorème central limite, 

convenablement renormalisée suit une loi « proche » d’une loi gaussienne). 0n considère 

donc l’équation dY t = f(t, Y t )dt+σdB t et Y 0 = y, soit, sous forme intégrale (la seule qui ait 

un sens mathématique, puisque le Brownien n’est pas dérivable) : 

Y t = y + 

∫ t 

0 

f(s, Y s )ds + σB t 

pour tout t ≥ 0. On a coutume d’utiliser des majuscules pour les solutions d’EDS et des 

minuscules pour les solutions d’EDO. 

La trajectoire y de l’EDO (2.1) est régulière et déterministe. La présence du Brownien 

entraîne que pour « σ petit », la trajectoire de l’EDS précédente, non dérivable, est proche 

de celle de (2.1), en oscillant aléatoirement autour. Mais quand σ est grand, cette trajectoire 

n’a plus rien à voir avec celle de (2.1). 

La figure suivante montre les trajectoires sur [0, 2] de la solution de l’EDO 

y ′ t = −y t, et y 0 = 5 


2.1 Solution forte - Diffusion. 25 

(c’est à dire y t = 5e −t ) et des EDS 

Y t = 5 − 

∫ t 

avec σ = 0.4 et σ = 2 obtenues par simulation. 

0 

Y s ds + σB t 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 

2.1 Solution forte - Diffusion. 

Dans la suite, nous étudierons donc des Équations Différentielles Stochastiques (EDS), 

dont la définition précise est la suivante. 

On se donne de nouveau une filtration (F t ) continue à droite et formée de tribus 

complètes (mais on ne suppose pas nécessairement que F 0 est la tribu des ensembles négligeables), 

un (F t )-Brownien B à valeurs dans R r , une variable aléatoire ξ à valeurs dans R d indépendante 

de Fs B = σ(B s , s ≥ 0), des fonctions boréliennes 

σ : [0, +∞[×R d → M(d, r) ∼ R dr et b : [0, +∞[→ R d . 

On appelle Équation Différentielle Stochastique (EDS) de condition initiale ξ, de coefficient 

de diffusion σ et de coefficient de dérive b un processus X tel que pour tout t ≥ 0, 

X t = ξ + 

∫ t 

0 

σ(s, X s )dB s + 

L’équation (2.2) sera aussi notée 

{ dXt = σ(t, X t )dB t + b(s, X s )ds, 

X 0 = ξ. 

∫ t 

0 

b(s, X s )ds. (2.2) 

On s’intéresse tout d’abord à l’existence et l’unicité de solutions au sens fort. 



Définition 2.2 Soit B un Brownien donné, ξ une variable aléatoire indépendante de la 

tribu σ(B s , s ≥ 0) et soit (F t ) la filtration définie par les tribus F t qui sont pour tout t ≥ 0 

les complétées de σ(σ(B s , 0 ≤ s ≤ t), σ(ξ)). Une solution forte de (2.2) est un processus 

(X t ) à trajectoires presque sûrement continues tel que 

(i) (X t ) est adapté à la filtration (F t ), 

(ii) X 0 = ξ p.s. 

(iii) Pour tout i = 1, · · · , d, ∫ t 

0 

(iv) Pour tout t ≥ 0, et tout i = 1, · · · , d, 

X i t = Xi 0 + r∑ 

k=1 

[ 

|b i (s, X s )| + ∑ r 

k=1 |σi k (s, X s)| 2] ds < +∞ p.s. 

∫ t 

0 

∫ t 

σk i (s, X s)dBs k + b i (s, X s )ds. 

Le théorème suivant est fondamental; il donne des conditions suffisantes d’existence 

et d’unicité d’une solution forte de (2.2), calquées sur celles de l’existence de la solution 

d’EDO (2.1). On note |.| la norme euclidienne sur R d ou R d×r . Les conditions suivantes sur 

les coefficients répliquent celles imposées pour résoudre une EDO. 

0 

Définition 2.3 Soit T > 0. Une fonction ϕ : [0, T] × R d → R N satisfait 

(i) La condition de Lipschitz globale sur [0, T] s’il existe une constante C > 0 telle que 

|ϕ(t, x) − ϕ(t, y)| ≤ C|x − y| , ∀t ∈ [0, T], ∀x, y ∈ R d . (2.3) 

(ii) La condition globale de restriction sur la croissance sur [0, T] s’il existe C > 0 telle 

que 

|ϕ(t, x)| ≤ C(1 + |x|) , ∀t ∈ [0, T], ∀x, y ∈ R d . (2.4) 

Lorsque la fonction ϕ est définie sur [0, +∞[×R d et que les conditions (2.3) et (2.4) sont 

vérifiées sur chaque intervalle [0, T], on dit que ϕ vérifie les conditions globales de Lipschitz 

et de restriction sur la croissance. 

On remarque immédiatement, que si ϕ est globalement Lipschitzienne, la condition (2.4) 

de restriction sur la croissance est une conséquence immédiate de 

sup |ϕ(t, 0)| < +∞. 

t≥0 

La démonstration du théorème suivant d’existence et d’unicité repose sur le lemme de Gronwall. 

Lemme 2.4 (Lemme de Gronwall) Soit f : [0, T] → [0, M] une fonction borélienne positive 

bornée, a et b ≥ 0 des constantes réelles telles que pour tout t ∈ [0, T] 

Alors pour tout t ∈ [0, T], f(t) ≤ a e bt . 

f(t) ≤ a + 

∫ t 

0 

bf(s)ds. 



Démonstration. Il suffit d’itérer la majoration sous l’intégrale. On en déduit pour tout n ≥ 1 

∫ t 

( ∫ s 

) 

f(t) ≤ a + b a + b f(u) du ds 

0 0 

∫ 

≤ a + abt + b 2 f(u) du ds 

0≤u≤s≤t 

∫ ( ∫ u 

) 

≤ a + abt + b 2 a + b f(v) dv du ds 

0≤u≤s≤t 0 

∫ 

∫ t ∫ s ∫ u 

≤ a + abt + ab 2 du ds + b 3 f(v) dv du ds 

0≤u≤s≤t 

≤ a + abt + a b2 t 2 

+ · · · + a bn t n 

2! n! 

0 

0 

0 

+ M bn+1 t n+1 

(n + 1)! , 

où dans la dernière intégrale on a majoré la fonction f par M. La dernière majoration de f 

donne f(t) ≤ a e bt par passage à la limite en n. ✷ 

On peut cependant affaiblir les hypothèses en ne demandant qu’une hypothèse de Lipschitz 

« locale » de ceux-ci, mais en gardant une restriction sur la croissance globale. 

Définition 2.5 La fonction ϕ satisfait la condition de Lipschitz locale sur [0, T] par rapport 

à la variable spatiale x si pour tout n ≥ 1 il existe K n > 0 tel que pour tout t ∈ [0, T] et 

x, y ∈ R d : 

|ϕ(t, x) − ϕ(t, y)| ≤ K n |x − y| pour |x| ≤ n et |y| ≤ n. (2.5) 

Si ϕ est définie sur [0, +∞[ et satisfait la condition de Lipschitz locale (2.5) sur chaque 

intervalle [0, T] avec une suite de constantes K n qui ne dépend pas de T, on dit qu’elle est 

localement Lipschitzienne. 

Théorème 2.6 (Théorème d’existence et d’unicité forte) Soit σ et b des coefficients qui satisfont 

sur [0, +∞[ les conditions globales de Lipschitz (2.3) et de restriction sur la croissance 

(2.4). Alors, si B est un Brownien standard de dimension r, pour toute variable aléatoire 

X 0 de carré intégrable et indépendante de σ(B s , s ≥ 0) il existe une unique solution forte de 

l’EDS 

X t = X 0 + 

∫ t 

0 

σ(s, X s )dB s + 

∫ t 

0 

b(s, X s )ds p.s. , ∀t ≥ 0. (2.6) 

Cette solution forte X de (2.6), adaptée à la filtration (F t ) où F t est la tribu complétée de 

σ(X 0 , σ(B s , 0 ≤ s ≤ t)), est continue. De plus, il existe une constante ˜C(C, T) telle que pour 

tout t ≥ 0 : ( ) 

E sup |X s | 2 ≤ ˜C(C, T)e ˜C(C,T)t [1 + E(|X 0 | 2 )]. (2.7) 

0≤s≤t 

Si la condition initiale X 0 ∈ L p , 2 ≤ p < +∞, il existe une constante ¯C(C, T, p) telle que 

( ) 

E sup |X t | p < ¯C(C, T, p)[1 + E(|X 0 | p )]. (2.8) 

0≤t≤T 

Démonstration. Fixons un instant T > 0 quelconque et prouvons l’existence et l’unicité de 

la solution forte sur l’intervalle [0, T]. 



Unicité Nous supposons ici seulement la condition (2.5). Soit X et ¯X des solutions fortes 

(donc continues) de (2.6). Pour tout n ≥ 0, soit τ n = inf{t ≥ 0 : |X t | ≥ n}, ¯τ n = inf{t ≥ 

0 : | ¯X t | ≥ n} et T n = τ n ∧ ¯τ n . Alors, T n → ∞ p.s. De plus, 

X t∧Tn − ¯X t∧Tn = 

∫ t∧Tn 

0 

[ 

σ(s, Xs ) − σ(s, ¯X s ) ] ∫ t∧Tn 

[ 

dB s + b(s, Xs ) − b(s, ¯X 

] 

s ds. 

L’isométrie des intégrales stochastiques et l’inégalité de Schwarz entraînent que si pour toute 

matrice σ de type d × r on note ‖σ‖ 2 = ∑ d ∑ r 

i=1 k=1 |σi k |2 , on a tout t ∈ [0, T n ], 

⎛ 

d∑ 

E(|X t∧Tn − ¯X t∧Tn | 2 ) ≤ 2E ⎝ 

r∑ 

∫ t∧Tn 

[σk i ∣ 

(s, X s) − σk i (s, ¯X ⎞ 2 

s )] dBs 

k ⎠ 

i=1 k=1 

0 

∣ 

( ∣∣∣∣ ∫ t∧Tn 

+ 2E [b(s, X s ) − b(s, ¯X ) 2 

s )] ds 

∣ 

≤ 2E 

∫ t∧Tn 

0 

≤ 2(T + 1)K 2 n 

0 

‖σ(s, X s ) − σ(s, ¯X s )‖ 2 ds + 2tE 

∫ t 

0 

E ( |X s∧Tn − ¯X s∧Tn | 2) ds. 

0 

∫ t∧Tn 

0 

|b(s, X s ) − b(s, ¯X s )| 2 ds 

Le Lemme de Gronwall appliqué à la fonction continue f(t) = E(|X t∧Tn − ¯X t∧Tn | 2 ) permet 

de conclure que les processus X t∧Tn et ¯X t∧Tn sont indistinguables. En faisant tendre n vers 

l’infini, on en déduit que X et ¯X sont également indistinguables. 

Existence Afin de mettre les idées en évidence et de simplifier les notations, nous supposerons 

r = d = 1. 

On construit une solution comme pour les EDO par itération de Picard. Soit X (n) une 

suite de processus définis par : 

X (0) 

t 

= X 0 , ∀t ∈ [0, T], 

X (n+1) 

t = X 0 + 

∫ t 

0 

σ(X (n) 

s )dB s + 

∫ t 

(i) Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 0, 

0 

b(X (n) 

s )ds, ∀n ≥ 0, ∀t ∈ [0, T]. (2.9) 

sup E(|X (n) 

t | 2 ) < +∞. (2.10) 

0≤t≤T 

En utilisant la restriction sur la croissance (2.4), on en déduira que les processus X (n) sont 

bien définis puisque b(t, X (n) 

t 

) ∈ H T 1 (F t) et σ(t, X (n) 

t ) ∈ H T 2 (F t). Puisque X 0 ∈ L 2 , (2.10) 

est vraie pour n = 0. Supposons que (2.10) est vraie pour n et montrons que cette propriété 

est vraie pour n + 1. Pour tout t ∈ [0, T], l’inégalité de Schwarz, l’isométrie dans L 2 des 

intégrales stochastiques, la condition (2.4) et le théorème de Fubini entraînent 

( 

E(|X (n+1) 

t | 2 ) ≤ 3 E(|X 0 | 2 ) + T 

∫ t 

∫ t 

≤ 3 

(E(|X 0 | 2 ) + 3(T + 1) C 2 

0 

E(|b(s, X (n) 

s )| 2 )ds + 

0 

∫ t 

[ 

1 + E(|X 

(n) 

s | 2] ds 

0 

) 

E(|σ(s, X s 

(n) )| 2 )ds 

) 

, 



ce qui prouve (2.10). 

(ii) Pour tout n ≥ 1, 

sup 

n≥1 

sup 

t∈[0,T] 

E(|X (n) 

t | 2 ) ≤ K[1 + E(|X 0 | 2 )]e Ct . (2.11) 

En effet, pour tout t ∈ [0, T], la partie (i) montre que E(|X (1) 

t | 2 ) ≤ C[1 + E(|X 0 | 2 )], tandis 

que pour tout n ≥ 1, 

E(|X (n+1) 

t | 2 ) ≤ C[1 + E(|X 0 | 2 )] + C 

∫ t 

0 

E(|X s 

(n) | 2 )ds. 

En itérant cette inégalité, on en déduit par récurrence sur n que pour tout n ≥ 1 et t ∈ [0, T], 

E(|X (n+1) 

t | 2 ) ≤ C[1 + E(|X 0 | 2 )] 

[1 + Ct + (Ct)2 

2! 

ce qui termine la démonstration de (2.11). 

] 

+ · · · + (Ct)n , 

n! 

(iii) Montrons que la suite (X (n) ) converge p.s. uniformément sur [0, T] vers un processus 

X continu, (F t )-adapté X tel que (2.7) soit vraie. Pour tout n ≥ 1, notons 

où 

A n t = ∫ t 

0 

X (n+1) 

t 

− X (n) 

t = A n t + M n t , 

[ 

b(s, X 

(n) 

s ) − b(s, X s (n−1) ) ] ∫ t 

ds , Mt n = 

0 

[ 

σ(s, X 

(n) 

s ) − σ(s, X s (n−1) ) ] dB s . 

Alors, E(sup 0≤s≤t |X s 

(n+1) − X s (n) | 2 ) ≤ 2E ( sup 0≤s≤t |A n s |2) + 2E ( sup 0≤s≤t |Ms n|2) . 

L’inégalité de Schwarz et (2.3) entraînent pour tout r ∈ [0, t], 

|A n t |2 ≤ t 

∫ t 

0 

|b(s, X (n) 

s 

) − b(s, X s 

(n−1) )| 2 ds ≤ CT 

∫ t 

0 

|X (n) 

s 

− X s 

(n−1) | 2 ds 

De plus, l’inégalité (2.11) montre que le processus s → σ(s, X s 

(n) ) − σ(s, X s 

(n−1) ) appartient 

à H2 T (F t ). En effet, (2.3) montre que 

(∫ t 

E ∣ σ(s, X 

(n) 

s ) − σ(s, X s 

(n−1) ) ∣ ) ∫ t 

2 ds ≤ C 2 E(|X s 

(n) − X s 

(n−1) | 2 )ds 

0 

0 

≤ 2C 2 ∫ t 

0 

0 

[ 

E(|X 

(n) 

s 

| 2 ) + E(|X s 

(n−1) | 2] ds < +∞. 

L’inégalité de Doob appliquée à la martingale continue (Mt n , t ≥ 0), puis (2.3) montrent que 

( ) ∫ t 

E sup |Ms n |2 ≤ 4 E(|σ(s, X s 

(n) ) − σ(s, X s 

(n−1) )| 2 )ds 

0≤s≤t 

0 

∫ t 

≤ 4C 2 E(|X s 

(n) ) − X s 

(n−1) )| 2 )ds. 



Les deux inégalités précédentes entraînent pour L := L(T) = 2C(T + 4C), 

( 

) ∫ t 

E sup |X s 

(n+1) − X s (n) | 2 ≤ L E(|X s 

(n) ) − X s 

(n−1) )| 2 ds, 

0≤s≤t 

et en itérant cette inégalité, on montre par récurrence sur n que 

( 

) 

E sup |X s 

(n+1) − X s (n) | 2 (Lt)n 

≤ ¯C où 

0≤s≤t 

n! 

L’inégalité de Markov montre alors que si A n = 

( 

P (A n ) ≤ 2 2n E 

0 

¯C = sup E(|X (1) 

t − X 0 | 2 ) < +∞. 

0≤t≤T 

{ 

sup 0≤s≤T |X s 

(n+1) − X s (n) | ≥ 

}, 

1 

2 n 

) 

sup |X s 

(n+1) − X s (n) | 2 ≤ 

0≤s≤T 

(4Lt)n ¯C . 

n! 

Le Lemme de Borel Cantelli permet de conclure que P(lim sup A n ) = 0, c’est à dire que 

pour presque tout ω, il existe un entier N(ω) tel que sup 0≤s≤T |X s 

(n+1) (ω) − X s (n) (ω)| 2 ≤ 1 

2 n 

pour tout n ≥ N(ω). La suite X (n) 

t (ω) = X (0) 

t (ω) + ∑ n−1 

[ 

(k+1) 

k=0 X t (ω) − X (k) 

t (ω) ] est donc 

uniformément convergente vers la limite X t (ω). En posant X = 0 sur l’ensemble négligeable 

hors duquel la convergence est vraie, on a ainsi construit un processus X qui est (p.s.) 

continu, (F t ) adapté comme limite p.s. d’une suite de processus (F t )-adaptés (on rappelle 

que les tribus F t sont complètes). Enfin, 

( ) 

∑n−1 

( 

) 

E sup |X (n) 

t | 2 ≤ 2E(|X 0 | 2 ) + 2 E sup |X (k+1) 

t − X (k) 

t | 2 

0≤t≤T 

0≤t≤T 

k=0 

n−1 

≤ 2E(|X 0 | 2 ) + 2 ¯C 

∑ (4Lt) k 

≤ 2E(|X 0 | 2 ) + 2 

k! 

¯Ce 4LT . 

Le lemme de Fatou permet d’en déduire que E ( sup 0≤t≤T |X t | 2) ≤ 2E(|X 0 | 2 ) + 2 ¯Ce 4LT , ce 

qui prouve (2.7). 

(iv) Montrons enfin que pour tout t ∈ [0, T], la suite X (n) 

t converge dans L 2 vers X t , et 

que le processus X satisfait (2.6). pour tout x > 0, la formule de Stirling n! ∼ √ 2πn n+1 2e −n 

montre que pour m assez grand, ∑ ∞ 

k=m 

‖X (n) 

t 

− X (m) 

t ‖ 2 ≤ 

∑n−1 

k=m 

( 

x k 

k! 

‖X (k+1) 

t 

) 1 

2 

k=0 

≤ C(x)m −1 . Pour tout t ∈ [0, T] et n > m, 

− X (k) 

t ‖ 2 ≤ 

+∞∑ 

k=m 

( 

¯C (4Lt)k 

k! 

) 1 

2 

→ 0 

quand m → +∞. La suite X (n) 

t est donc de Cauchy dans L 2 ; elle converge dans L 2 vers une 

variable aléatoire Y t de carré intégrable. Elle admet une sous-suite qui converge p.s. vers Y t 

et on a donc Y t = X t p.s. 

De plus, (2.7) et la restriction sur la croissance montrent que les processus s → b(s, X s ) 

et s → σ(s, X s ) appartiennent respectivement à H1 T(F s) et H2 T(F s). Le théorème de Fubini 

montre que 

E 

∫ T 

0 

|X (n) 

t 

∫ ( 

T 

− X (m) 

t | 2 dt ≤ ¯C 

∑ +∞ 

0 

k=m 

( (4Lt) 

k 

k! 

) 

)1 2 

2 

dt → 0 quand m → +∞. 



Le lemme de Fatou et la condition de Lipschitz (2.3) montrent que pour tout m, 

(∫ T 

E 

0 

) (∫ T 

|X t − X (m) 

t | 2 dt ≤ lim inf E |X (n) 

t 

n 

0 

) 

− X (m) 

t | 2 dt → 0 

quand m → ∞. L’inégalité de Schwarz et la condition de Lipschitz (2.3) montrent alors 

que ∫ t 

b(s, X(n) 

0 s )ds converge dans L 2 vers ∫ t 

b(s, X 0 s)ds, tandis que l’isométrie des intégrales 

stochastiques prouve que ∫ t 

σ(s, X(n) 

0 s )dB s converge dans L 2 vers ∫ t 

σ(s, X 0 s)dB s . On en 

déduit que X satisfait (2.6) en prenant la limite dans L 2 de l’équation (2.9). 

Enfin, si l’on renforce l’intégrabilité de la condition initiale, la démonstration précédente 

dans laquelle on remplace l’isométrie de l’intégrale dans L 2 par l’inégalité de Burkholder- 

Davies-Gundy (1.13) permet de montrer (2.8). ✷ 

Exemple 2.7 (Brownien géométrique) Soit σ et b des nombres réels, S 0 un nombre réel 

strictement positif. Le Brownien géométrique est la solution de l’EDS 

S t = S 0 + 

∫ t 

0 

σS s dB s + 

∫ t 

0 

bS s ds. 

Le Théorème 2.6 montre que cette EDS a une unique solution forte, puisque les coefficients 

σ(t, x) = σx et b(t, x) = bx satisfont clairement les conditions globales de Lipschitz et de 

restriction sur la croissance. Pour tout t ≥ 0, notons 

X t = S 0 exp 

[ 

σB t + 

(b − σ2 

2 

) ] 

t . (2.12) 

En appliquant la formule d’Itô à la fonction f(t, x) = S 0 exp[σx + (b − σ2 )t] et au Brownien 

2 

B, puisque ∂f 

σ2 ∂f 

(t, x) = (b − )f(t, x), (t, x) = σf(t, x), ∂2 f 

(t, x) = σ 2 f(t, x), f(t, B 

∂t 2 ∂x ∂x 2 t ) = X t 

et f(0, B 0 ) = S 0 , on déduit que 

∫ t 

X t = S 0 + 

0 

) (b − σ2 

X s ds + 

2 

∫ t 

0 

σX s dB s + 1 2 

∫ t 

0 

σ 2 X s ds = S 0 + 

∫ t 

0 

∫ t 

σX s dB s + bX s ds, 

0 

c’est à dire que X est solution de (2.12). L’unicité de la solution forte entraîne que X = S. 

On en déduit que S t > 0 pour tout t ≥ 0 p.s. En appliquant de nouveau la formule d’Itô 

à la fonction g(x) = ln(x) et à S t , on voit que si on avait postulé que le processus S ne 

prenait p.s. que des valeurs positives (ce que nous venons de vérifier) on aurait trouvé pour 

Y t = ln(S t ), 

Y t = Y 0 + 

∫ t 

0 

σ S s 

S s 

dB s + 

∫ t 

0 

b S s 

ds − 1 ∫ t 

σ 2 Ss 

2 ds = Y 

S s 2 0 Ss 

2 0 + σB t + 

) (b − σ2 

t, 

2 

c’est à dire que la forme (2.12) de la solution était « naturelle ». L’exercice 2.4 généralisera 

cette observation à une EDS linéaire plus générale. De plus, la loi de ln(S t ) − ln(S 0 ) est 

gaussienne N((b − σ2)t, 

2 σ2 t), c’est à dire que S t suit une loi log-normale. La figure suivante 

montre la simulation de trajectoires du Brownien géométrique sur [0, 1] avec σ = 0.5 (resp. 

σ = 2), b = 2 et S 0 = 1. 



15 

14 

13 

12 

11 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 

15 

14 

13 

12 

11 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 

2.2 Solution faible. 

Dans de nombreuses applications, il est plus naturel lors de la modélisation de se donner 

uniquement les coefficients b(t, x) et σ(t, x), ainsi que la loi de X 0 , mais pas l’espace probabilisé 

ni le mouvement brownien B. On cherche alors le couple (B, X) qui satisfait (2.6), ce 

qui donne la notion suivante. 

Définition 2.8 Une solution faible de l’équation 

dX t = σ(t, X t )dB t + b(t, X t )dt (2.13) 

est un triplet ( (Ω, F, (F t ), P), B, X ) où 

(i) (Ω, F, P) est un espace probabilisé muni d’une filtration (F t ) continue à droite et 

complète. 

(ii) (B t ) est un (F t )-Brownien de dimension r et (X t ) est un processus (F t )-adapté, 

continu, de dimension d tels que les propriétés (iii) et (iv) de la définition 2.2 soient satisfaites. 

La loi de X 0 est appelée la loi initiale. On n’exige plus que la filtration (F t ) soit la plus 

petite filtration qui rend mesurable B et X 0 , et la solution X t à l’instant t n’est donc plus 

une fonction mesurable de la trajectoire (B s , s ≤ t) et de X 0 . Cependant, puisque B est un 

(F t )-Brownien et que X est (F t )-adapté, X t est indépendant de la trajectoire de B après 

l’instant t, c’est à dire des accroissements (B r − B t , r ≥ t). 


2.3 Quelques propriétés des diffusions. 33 

Une solution forte est clairement une solution faible, mais la réciproque est fausse, comme 

le montre l’exemple suivant. L’existence d’une solution faible peut en effet être montrée sous 

des conditions plus générales sur les coefficients. 

Exemple 2.9 (Équation de Tanaka) Notons sign(x) = 1 si x ≥ 0 et sign(x) = −1 si 

x < 0. Alors l’EDS 

X t = 

∫ t 

admet une solution faible, mais pas de solution forte. 

0 

sign(X s )dB s (2.14) 

Si ( Ω, F, (F t ), B, X ) est une solution faible, le processus X est une martingale continue 

de variation quadratique 〈X, X〉 t = ∫ t 

sign(X 0 s) 2 ds = t et d’après la caractérisation du 

Brownien de P. Lévy (Théorème 1.33), X est un (F t )-Brownien. On en déduit immédiatement 

la « construction » d’une solution faible. 

∫ 

Soit (X t ) un Brownien et (F t ) sa filtration naturelle. Pour tout t ≥ 0 soit B t = 

t 

sign(X 0 s)dX s . Le processus (B t ) est une (F t )-martingale continue, de variation quadratique 

〈B, B〉 t = t. La caractérisation du Brownien de P. Lévy montre donc que B est un 

(F t )-Brownien. De plus, dB t = sign(X t )dX t , c’est à dire que dX t = sign(X t )dB t . 

Sur l’espace probabilisé (Ω, F, (F t ), P), le couple (B, X) est donc une solution faible de 

(2.14). On voit d’ailleurs que sur le même espace probabilisé, (B, −X) est également une 

solution faible de (2.14), qui ne peut donc avoir une unique solution « trajectorielle » mais 

au mieux une unique solution « en loi ». 

L’absence de solution forte sera admise. 

Définition 2.10 On dit qu’il y a unicité en loi de la solution de (2.13) si deux solutions 

faibles ( (Ω, F, (F t ), P), B, X ) et ( (˜Ω, ˜F, ( ˜F t ), ˜P), ˜B, ˜X ) ont la même loi, c’est à dire que 

pour tout n ≥ 1 et tout 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t n , les lois des vecteurs (X t1 , · · · , X tn ) et 

( ˜X t1 , · · · , ˜X tn ) sont égales. 

Le raisonnement précédent montre que pour l’équation de Tanaka (2.14), il y a unicité en 

loi puisque nous avons montré que toute solution faible est un Brownien. 

On remarque par ailleurs que si les coefficients σ et b satisfont les conditions (2.3) 

et (2.4), le Théorème 2.6 montre l’existence et l’unicité forte de la solution de (2.6). Il 

y a aussi unicité en loi de la solution forte ou de la solution faible de (2.13). En effet, 

soit ( (Ω, F, (F t ), P), B, X ) et ( (˜Ω, ˜F, ( ˜F t ), ˜P), ˜B, ˜X ) deux solutions faibles et soit Y et Ỹ 

deux ( solutions fortes continues de (2.6) définies respectivement sur les espaces probabilisés 

Ω, F, (Ft ), P), B ) et (˜Ω, ˜F, ( ˜Ft ), ˜P), ˜B ) . Le Théorème 2.6 permet de conclure que l’on a 

X t = Y t pour tout t ≥ 0 P p.s. (c’est à dire, qu’en utilisant la continuité des trajectoires 

on a un ensemble négligeable construit à partir des instants rationnels en dehors duquel les 

trajectoires coïncident). De même ˜X t = Ỹt pour tout t ≥ 0 ˜P p.s. Pour prouver l’unicité 

faible, il suffit donc de prouver que les lois de X et ˜X sont égales. En reprenant les schémas 

d’itération de Picard (2.9) pour X et ˜X, on vérifie que pour tout n ≥ 0, les lois des processus 

continus (B t , X (n) 

t 

) et ( ˜B t , 

˜X 

(n) 

t 

) sont égales. 

2.3 Quelques propriétés des diffusions. 

2.3.1 Flot stochastique et Propriété de Markov 

Soit σ et b des coefficients qui satisfont les conditions globales de Lipschitz (2.3) et 

de restriction sur la croissance (2.4). En reprenant la démonstration du Théorème 2.6, on 



montre que pour tout s ≥ 0 et pour tout x ∈ R d , il existe une unique solution trajectorielle 

, t ≥ s) de l’EDS (2.6) qui part de x en l’instant s, c’est à dire définie pour t ≥ s par 

(X s,x 

t 

X s,x 

t = x + 

∫ t 

s 

σ(u, X s,x 

u )dB u + 

Alors X 0,x = X(x) est la solution forte de (2.6) avec X 0 = x, c’est à dire 

X t (x) = x + 

∫ t 

0 

σ(s, X s (x))dB s + 

et on a montré E(sup 0≤t≤T |X t (x)| 2 ) < +∞. 

On a tout d’abord le résultat suivant de flot. 

∫ t 

s 

∫ t 

0 

b(u, X u )du. (2.15) 

b(s, X s (x))ds (2.16) 

Théorème 2.11 (Propriété de flot stochastique) Pour tout 0 ≤ s ≤ t, X t (x) = X s,Xs(x) 

t 

p.s. 

Démonstration. Soit t ≥ s; alors par (2.16) on a : 

X t (x) = X s (x) + 

tandis que par (2.15) on a : 

X s,Xs(x) 

t = X s (x) + 

∫ t 

s 

∫ t 

s 

σ(u, X u (x))dB u + 

σ(u, X s,Xs(x) 

u )dB u + 

∫ t 

s 

∫ t 

s 

b(u, X u (x))du, 

b(u, Xu 

s,Xs(x) )du. 

Ceci montre que les processus (X t (x), t ≥ s) et (X s,Xs(x) 

t , t ≥ s) sont indistinguables par 

unicité forte de l’EDS dont ils sont solution. ✷ 

Cette propriété de flot stochastique permet de montrer la propriété de Markov « faible ». 

Théorème 2.12 (Propriété de Markov) Soit (X t (x), t ≥ 0) la solution forte de l’EDS (2.6) 

avec X 0 = x. Alors (X t (x), t ≥ 0) est un processus de Markov pour la filtration naturelle 

(F B t ) du Brownien. Plus précisément, pour toute fonction f : Rd → R borélienne positive 

(ou bornée), 0 ≤ s, t, 

où Φ t (y) = E[f(X s,y 

s+t)]. 

E[f(X s+t (x))|F B s ] = E[f(X s+t(x))|X s (x)] = Φ t (X s (x)), 

Démonstration. Le processus (Xs+t, s,y t ≥ 0) est l’unique solution forte de l’EDS (2.6) avec 

comme condition initiale y, comme coefficients (t, x) → σ(s+t, x) et (t, x) → b(s+t, x) et le 

Brownien ˜B défini par ˜B t = B s+t − B s . C’est une fonction mesurable Ψ(y, ˜B) et il est donc 

indépendant de (F u , 0 ≤ u ≤ s). On en déduit que X s+t (x) = X s,Xs(x) 

s+t est égal à Ψ(X s (x), ˜B). 

Puisque X s (x) et ˜B sont indépendants, le Lemme 1.37 montre alors que pour toute fonction 

f mesurable bornée, E(f(X s+t (x)|Fs B) = Φ t(X s (x)) où Φ t (y) = E[f ◦Ψ(y, ˜B)] = E[f(Xs+t)]. 

s,y 

Lorsqu’on conditionne par X s (x), un raisonnement similaire basé sur l’indépendance de ˜B 

et de X s (x) montre aussi que E(f(X s+t (x))|X s (x)) = Φ t (X s (x)); ✷ 



Lorsque les coefficients sont homogènes, c’est à dire ne dépendent pas du temps, on peut 

écrire la propriété de Markov sous une forme plus précise (homogène) et on a la propriété 

de Markov forte. En effet, dans ce cas, puisque le processus défini par ˜B t = B s+t − B s 

est un (F s+t , t ≥ 0)-Brownien, on en déduit que les variables aléatoires X s,y 

s+t et X t (y) 

ont la même loi et la fonction Φ t (y) utilisée dans la propriété de Markov peut s’écrire 

Φ t (y) = E[f(Xs+t)] s,y = E[f(X t (y))] = P t f(y). De plus, on a le 

Théorème 2.13 (Propriété de Markov homogène - Propriété de Markov forte) 

Soit σ i k : Rd → R et b i : R d → R, 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ k ≤ r des coefficients indépendants du 

temps tels qu’il existe C > 0 pour lequel pour tout i = 1, · · · , d et k = 1, · · · , r : 

|σ i k (x) − σi k (y)| + |bi (x) − b i (y)| ≤ C|x − y|, (2.17) 

Notons X(x) la solution forte de l’EDS homogène 

X t = X 0 + 

∫ t 

0 

σ(X s )dB s + 

∫ t 

0 

b(X s )ds (2.18) 

qui correspond au cas X 0 = x. C’est un processus de Markov fort homogène, c’est à dire 

que pour tout (Ft B )-temps d’arrêt τ fini presque sûrement et pour toute fonction borélienne 

positive (ou bornée) f : R d → R, 

où P t (x) = E[f(X t (x))]. 

E[f(X τ+t (x))|F τ ] = E[f(X τ+t (x))|X τ (x)] = P t f(X τ (x)), 

Remarquons que dans le cas homogène, la condition de Lipschitz (2.17) entraîne immédiatement 

un analogue de la restriction sur la croissance 

|σ i k (x)| + |bi (x)| ≤ C(1 + |x|). (2.19) 

Dans le cas général (in-homogène), on montre de façon similaire que le processus espacetemps 

est fortement Markovien, c’est à dire que si f : [0, +∞[×R d → R est borélienne 

positive, alors pour tout temps d’arrêt τ fini presque sûrement, si 

on a : 

Φ t (s, x) = E[f(s + t, X s,x 

t )] 

E[f(τ + t, X τ+t (x))|F τ ] = E[f(τ + t, X τ+t (x))|X τ (x)] = Φ t (τ, X τ (x)). 

2.3.2 Générateur infinitésimal 

Convention : Dans toute cette section, nous considérons des coefficients σ et b qui satisfont 

les conditions (2.3) et (2.4) dans le cas général, ou bien les conditions du Théorème 2.13 

dans le cas homogène et que la condition initiale X 0 est constante. 

Notons C n,p ([0, +∞[×R d ) l’ensemble des fonctions u : [0, +∞[×R d → R de classe C n par 

rapport à la variable t ∈ [0, ∞[ et de classe C p par rapport à la variable x ∈ R d . 

Définition 2.14 Lorsque X est la solution de l’EDS homogène (2.18), si on note a = σσ ∗ , 

le générateur infinitésimal de X est l’opérateur différentiel A défini pour u ∈ C 2 (R d ) par 

Au(x) = 

d∑ 

i=1 

b i (x) ∂u 

∂x i 

(x) + 1 2 

d∑ 

a i,j ∂ 2 u 

(x) (x) . (2.20) 

∂x i ∂x j 

i,j=1 



Ainsi, le générateur du mouvement Brownien sur R r (qui correspond au cas d = r, 

σk i(x) = δ i,k d’où a(x) = Id r ) est 1∆, où ∆ est le Laplacien défini sur 2 C2 (R r ). Le générateur 

d’un Brownien géométrique (réel) X t = x + ∫ t 

σX 0 sdB s + ∫ t 

bX 0 sds est l’opérateur défini sur 

C 2 (R) par A = bx ∂ + 1 ∂x 2 σ2 x 2 ∂2 

. 

∂x 2 

Lorsque la diffusion n’est pas homogène, le générateur infinitésimal dépend du temps. 

Définition 2.15 Si a(t, x) = σ(t, x) σ ∗ (t, x) désigne la matrice carrée symétrique d × d de 

type positif définie par a i,j (t, x) = ∑ r 

k=1 σi k (t, x) σj k 

(t, x), le générateur infinitésimal de la 

diffusion (X t , t ≥ 0) définie par (2.6) est l’opérateur différentiel défini sur C 1,2 ([0, +∞[×R d ) 

par : 

d∑ 

A t u(x) = b i (t, x) ∂u (t, x) + 1 d∑ 

a i,j ∂ 2 u 

(t, x) (t, x) . (2.21) 

∂x i 2 ∂x i ∂x j 

i=1 

La formule d’Itô montre donc que si f : [0, +∞[×R d → R est de classe C 1,2 et si X est 

solution de (2.6), alors 

df(t, X t ) = σ(t, X t ) ∂f [ ] 

∂f 

∂x (t, X t)dB t + 

∂t (t, X t) + A t f(t, X t ) dt. (2.22) 

On en déduit le 

Théorème 2.16 Soit σ et b des coefficients qui satisfont les conditions globales de Lipschitz 

(2.3) et de restriction sur la croissance (2.4), X 0 ∈ R d et X la solution forte de (2.6). 

Pour toute fonction f : [0, +∞[×R d → R appartenant à C 1,2 et telle que ∂f 

∂x i 

est bornée 

pour tout i = 1, · · · , d, le processus (M t ) défini par 

∫ t 

( ) ∂f 

M t = f(t, X t ) − 

∂s + A s (s, X s ) ds (2.23) 

0 

est une (Ft B )-martingale et pour tout temps d’arrêt τ p.s. borné, la formule de Dynkin est 

vraie : 

[∫ τ 

( ) ] 

∂f 

E[f(τ, X τ )] = f(0, X 0 ) + E 

∂s + A s (s, X s )ds . 

Démonstration. La propriété de martingale de M est une conséquence immédiate de (2.22), 

du Théorème 1.13, de la propriété (2.7) et de la restriction sur la croissance de σ, qui 

montrent que le processus s → σ(s, X s ) ∂f (s, X ∂x s) ∈ H 2 . 

Le Théorème d’arrêt 1.7 montre alors que si τ est p.s. borné, M 0 = E(M τ ) puisque 

la tribu F0 

B est la tribu complétée de la tribu triviale. Les dérivées partielles de f par 

rapport à x étant bornées, on en déduit que |f(s, X s ) − f(s, X 0 )| est majorée par une 

combinaison linéaire des composantes Xs, i et d’après (2.7), pour tout K > 0, la variable 

aléatoire sup s≤K |f(s, X s ) − f(s, X 0 )| est de carré intégrable. De plus, par continuité de f, 

sup s≤K |f(s, X 0 )| < +∞. Pour tout temps d’arrêt borné, la variable aléatoire f(τ, X τ ) est 

donc intégrable, ce qui termine la démonstration. ✷ 

Grâce à la propriété (2.8), on peut affaiblir les hypothèses sur le contrôle des dérivées partielles 

de f dans les théorèmes précédents. En effet, si ∂f 

∂x i 

(t, x) est à croissance polynomiale 

en x uniformément en t, c’est à dire s’il existe un exposant a i > 0 tel que 

sup 

∂f 

∣ (t, x) 

t ∂x i 

∣ ≤ C(1 + |x|a i 

), 

0 

i,j=1 



alors la restriction sur la croissance des coefficients σk i (t, x) et le fait que la condition initiale 

soit constante (donc dans tous les espaces L p , 1 ≤ p < +∞) entraînent que pour tout k, il 

existe une constante C et un exposant b i,k > 0 tels que pour tout t > 0 

E 

∫ t 

0 

∂f 

∣ (s, X s ) ∣ 

∣2 ∣ σk i ∂x (s, X s) ∣ 2 ds ≤ C 

i 

( 

) 

1 + sup E(|X s | b i,k 

) < +∞. 

0≤s≤t 

Une croissance polynomiale de toutes les dérivées partielles ∂f 

∂x i 

(t, x) permet donc de conclure 

que les intégrales stochastiques dans la formule d’Itô de f(t, X t ) sont des martingales continues 

(de carré intégrable). 

En appliquant le théorème 2.16 avec d = r = 1, on déduit immédiatement que si f ∈ C 1,2 

a une dérivée partielle ∂f bornée (ou à croissance polynomiale) et si 

∂x 

∂f 

∂t (t, x) + A tf(t, x) = ∂f (t, x) + b(t, x)∂f 

∂t ∂x (t, x) + 1 2 σ(t, f 

x)2∂2 (t, x) = 0, 

∂x2 alors f(t, X t ) est une vraie (F B t )- martingale 

De même, si 

∂f 

∂t (t, x) + A tf(t, x) = rf(t, x), 

alors le processus e −rt f(t, X t ) est une (Ft B )-martingale. Le coefficient r est appelé coefficient 

d’actualisation. En particulier, si f(T, x) = h(x), on a f(t, X t ) = e r(t−T) E[h(X T )|Ft B ]. Ceci 

sera fort utile en finance, comme on le verra dans les chapitres suivants. On peut généraliser 

cette propriété de martingale pour un coefficient d’actualisation non constant. 

Théorème 2.17 Soit σ et b des fonctions qui satisfont les conditions globales de Lipschitz 

et de restriction sur la croissance (2.3) et (2.4), B un mouvement Brownien standard de 

dimension r, X t la solution de l’équation différentielle stochastique : 

X t = x + 

∫ t 

0 

σ(s, X s ) dB s + 

∫ t 

0 

b(s, X s ) ds (2.24) 

et A t son générateur infinitésimal. Alors pour toute fonction continue minorée ρ : [0, T] × 

R d → [m, +∞[ et toute fonction f : [0, T] × R d → R d de classe C 1 et t et de classe C 2 en x 

telle que les dérivées partielles ∂f 

∂x i 

de f sont à croissance polynomiale, le processus 

M ρ t (f) = e − R t 

0 ρ(s,Xs) ds f(t, X t ) − f(0, X 0 ) 

− 

∫ t 

est une martingale pour la filtration ( F B t ). 

0 

e − R s 

0 ρ(u,Xu) du ( ∂f 

∂s + A sf − ρ f 

) 

(s, X s ) ds 

Démonstration : La formule d’Itô pour un produit entraîne que 

d 

(e − R ) 

t 

0 ρ(s,Xs) ds f(t, X t ) = −ρ(t, X t ) e − R t 

0 ρ(s,Xs) ds f(t, X t ) dt 

+e − R t 

0 ρ(s,Xs) ds d ( f(t, X t ) ) . 



La formule d’Itô pour f(t, X t ) permet alors d’écrire : 

e − R t 

0 ρ(s,Xs) ds f(t, X t ) = f(0, X 0 ) 

+ 

+ 

∫ t 

0 

d∑ 

i=1 

e − R s 

0 ρ(u,Xu) du ( ∂f 

r∑ 

k=1 

∫ t 

0 

∂s + A sf − ρ f 

) 

(s, X s ) ds 

e − R s 

ρ(u,Xu) du ∂f 

0 (s, X s ) σk i ∂x (s, X s) dBs k . 

i 

La fonction ρ étant minorée, on montre alors comme dans le théorème précédent que les processus 

∫ t 

exp ( − ∫ s 

ρ(u, X 0 0 u) du ) ∂f 

∂x i 

(s, X s ) σk i(s, X s) dBs k sont des martingales, ce qui conclut 

la démonstration. ✷ 

Dans le cas de diffusions homogènes, l’opérateur différentiel défini par (2.20) est bien le 

générateur infinitésimal du processus de Markov homogène. 

Théorème 2.18 Le générateur infinitésimal A de la diffusion homogène X(x) solution de 

(2.18) avec la condition initiale x est bien son générateur en tant que processus de Markov 

homogène, c’est à dire que pour toute fonction f de classe C 2 dont les dérivées partielles 

d’ordre 1 et 2 sont bornées, 

1 

Af(x) = lim 

t→0 t [P 1 

tf(x) − f(x)] = lim 

t→0 t [E(f(X t(x)) − f(x)]. 

Démonstration. D’après le Théorème 2.16, pour tout t ≥ 0, 

E[f(X t (x))] = f(x) + 

∫ t 

0 

E ( Af(X s (x) ) ds. 

Les trajectoires de X étant presque sûrement continues, celles de Af(X s ) le sont également. 

On en déduit que t → ∫ t 

Af(X 0 s(x))ds est P presque sûrement dérivable en 0 et que sa 

dérivée vaut Af(X 0 (x)) = Af(x). 

De plus, les dérivées partielles de f étant bornées par K > 0, la restriction sur la 

croissance des coefficients montre que 

|Af(x)| ≤ K ∑ i 

|b i (x)| + ∑ i,j,k 

K|σ i k (x)σj k (x)| ≤ C(1 + |x|2 ). 

La propriété (2.7) montre alors que pour tout t > 0, 

sup |Af(X s )| ≤ C 

0≤s≤t 

( ) 

1 + sup |X s | 2 ∈ L 1 . 

0≤s≤t 

Le théorème de convergence dominée permet de conclure. 

✷ 

2.3.3 Théorème de comparaison 

Le théorème suivant permet de comparer presque sûrement des solutions d’EDS unidimensionnelles 

avec le même coefficient de diffusion, mais des conditions initiales et coefficients 

de dérive qui satisfont des inégalités similaires. Il s’avère souvent extrêmement utile 

en pratique. La preuve, qui utilise des arguments semblables à ceux de l’unicité trajectorielle 

vus précédemment, peut être trouvée dans [7]. 


2.4 Processus de Bessel 39 

Théorème 2.19 (Théorème de comparaison) Soit (B t , t ≥ 0) un mouvement brownien 

réel, b 1 , b 2 et σ des fonctions globalement lipschitziennes de R dans R, x 1 ≥ x 2 des nombres 

réels. Pour i = 1, 2, on considère les EDS 

X i t = x i + 

∫ t 

0 

b i (X i s) ds + 

∫ t 

0 

σ(X i s) dB s 

Supposons que b 1 (x) ≥ b 2 (x) pour tout x ∈ R. Alors X 1 t ≥ X2 t p.s. pour tout t ≥ 0. 

2.4 Processus de Bessel 

Dans la pratique, le théorème d’existence et d’unicité de solutions d’EDS sous les conditions 

usuelles sur les coefficients (conditions globales de Lipschitz et de restriction sur la 

croissance) est parfois insuffisant pour ce qui concerne le coefficient de diffusion. On peut 

notablement améliorer ce théorème dans le cas réel. 

Théorème 2.20 (Yamada-Watanabe) Soit d = r = 1. Supposons que b et σ sont à croissance 

linéaire, c’est à dire satisfont la condition de restriction sur la croissance globale (2.4), 

que b vérifie la condition de Lipschitz globale (2.3) et que 

|σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ ρ(|x − y|) , ∀t ≥ 0, ∀x, y ∈ R, 

où ρ :]0, +∞[→]0, +∞[ est une fonction borélienne strictement croissante telle que ρ(0) = 0 

et 

∫ ε 

dz 

ρ 2 (z) = +∞ 

0 

pour tout ε > 0. Alors si X 0 = x ∈ R, il y a unicité forte pour l’équation (2.6). 

Une classe très importante d’EDS dont l’unicité forte est montrée en appliquant le 

théorème précédent est la suivante : 

X t = x + 2 

∫ t 

0 

√ 

Xs dB s + δ t (2.25) 

où B est un Brownien réel et x, δ > 0. En effet, | √ x − √ y| ≤ √ |x − y| et le théorème 

de Yamada-Watanabe appliqué avec la fonction ρ(x) = √ x montre que (2.25) admet une 

unique solution forte. De plus, on peut montrer que cette solution est toujours positive et 

définie sur [0, +∞[. Cependant, le théorème 2.6 n’aurait pas permis d’obtenir ce résultat, 

car σ(x) = √ x n’est pas lipschitzienne en zéro. Le processus X est un processus de Bessel 

carré de dimension δ. 

Nous allons relier le processus de Bessel au Brownien. Soit n > 1 et B = (B 1 , B 2 , . . .,B n ) 

un mouvement Brownien n-dimensionnel. Soit X le processus défini par X t = ||B t || ; alors 

Xt 2 = ∑ n 

i=1 (Bi t) 2 et la formule d’Itô montre que dXt 2 = ∑ n 

i=1 2Bi tdBt i + n dt. 

En notant (x, y) le produit scalaire des vecteurs x et y, on voit que le processus β défini par 

dβ t = 1 X t 

(B t , dB t ) = 1 

||B t || 

n∑ 

Bt i dBi t , β 0 = 0, 

i=1 



est une martingale continue de carré intégrable et la formule d’Itô montre que (βt 2 −t, t ≥ 0) 

est une martingale. La caractérisation de Paul Lévy entraîne que β est un mouvement 

brownien. L’égalité d(Xt 2 ) = 2(B t , dB t ) + ndt s’écrit 

d(X 2 t ) = 2X tdβ t + n dt . 

Ainsi, en posant V t = X 2 t on obtient que V est solution d’une EDS du type (2.25) 

dV t = 2 √ V t dβ t + n dt , 

où β est un mouvement brownien. Puisque X t > 0 p.s., une nouvelle application de la 

formule d’Itô montre que 

dX t = dβ t + n − 1 dt 

2 X t 

où β est un mouvement Brownien. 

On dit que X est un processus de Bessel (BES) de dimension n, et que V est un processus 

de Bessel carré (BESQ). Les processus de Bessel seront généralisés et utilisés en Finance 

dans le modèle de Cox-Ingersoll-Ross décrit dans le dernier chapitre. 

2.5 Lien avec les EDP 

2.5.1 Problème parabolique 

Notons K n,p ([0, T] × R d ) l’ensemble des fonctions u : [0, T] × R d → R qui sont de classe 

C n par rapport à la variable t ∈ [0, T], de classe C p par rapport à la variable x ∈ R d et 

dont les dérivées partielles sont à croissance polynomiale, c’est à dire telles qu’il existe des 

constantes C > 0 et des entiers k tels que chaque dérivée partielle v de u satisfasse l’inégalité 

|v(t, x)| ≤ C (1 + |x| k ). On note K p (R d ) l’ensemble des fonctions u : R d → R de classe C p 

par rapport à la variable x ∈ R d dont les dérivées partielles sont à croissance polynomiale. 

L’exemple le plus simple d’EDP parabolique liée à un processus stochastique est l’équation 

de la chaleur en dimension 1, c’est à dire 

∂u σ2 

(t, x) = 

∂t 2 

∂ 2 u 

∂x2(t, x) , (t, x) ∈]0, +∞[×R , (2.26) 

où σ > 0 et où la condition initiale u(0, x) = f(x) est donnée par une fonction f : R → R 

borélienne à croissance polynomiale. Pour t > 0, notons p(t; x, .) la densité de x + σ B t où 

(B t , t ≥ 0) est un mouvement Brownien standard à valeurs réelles, c’est à dire la fonction 

Un calcul facile montre que ∂p = σ2 

∂t 2 

p(t; x, y) = 

∂ 2 p 

∂x 2 . Notons 

1 

σ √ 2 π t e−(x−y)2 2 σ 2 t . 

u(t, x) = E ( f(x + σ B t ) ) 

pour tout t ≥ 0; alors u(0, x) = f(x). De plus, pour t > 0, u(t, x) = ∫ +∞ 

p(t; x, y) f(y) dy 

−∞ 

et la croissance polynomiale de f entraîne que l’on peut appliquer le théorème de dérivation 

sous le signe intégral. Pour tout couple d’entiers positifs m et n on a donc 

∂ n+m ∫ +∞ 

∂t m ∂x nu(t, x) = ∂ n+m 

∂t m ∂xnp(t; x, y) f(y) dy ; 

−∞ 


2.5 Lien avec les EDP 41 

la fonction définie par u(t, x) = E[f(x+σ B t )] satisfait donc l’EDP ∂u σ2 ∂ 

(t, x) = 2 u(t, x) sur 

∂t 2 ∂x 2 

]0, +∞[×R et appartient à K 1,2 ([ε, +∞[×R) pour tout ε > 0. Reste à vérifier le comportement 

asymptotique de u(t, y) quand (t, y) → (0, x). De nouveau, puisque f est à croissance 

polynomiale, si cette fonction est de plus continue, le théorème de convergence dominée 

entraîne que pour tout x ∈ R, 

lim u(t, y) = f(x) . 

(t,y)→(0,x) 

On a ainsi prouvé que l’équation (2.26) de condition initiale f continue à croissance 

polynomiale a une solution; reste à prouver l’unicité de la solution de (2.26) pour la condition 

initiale, ce qui donnera une interprétation probabiliste à la solution de cette EDP. De 

nouveau, on peut montrer l’unicité de la solution de (2.26) de façon probabiliste. 

Théorème 2.21 Soit u une fonction de classe C 1,2 sur ]0, T] × R qui satisfait l’équation 

de la chaleur (2.26), telle que sup |u(t, x)| soit à croissance polynomiale en x et telle pour 

0


Définition 2.23 Soit A t le générateur infinitésimal défini sur K 1,2 ([0, T] × R d ) par (2.21). 

Soit m un nombre réel, f : R d → R, g : [0, T] × R d → R d et ρ : [0, T] × R d → [m, +∞[ 

des fonctions continues. La fonction v ∈ K 1,2 ([0, T[×R d ) satisfait le problème de Cauchy 

d’opérateur A t , de potentiel ρ, de Lagrangien g et de condition terminale f si c’est une 

fonction continue sur [0, T] × R d et si 

{ ∂v 

∂t (t, x) + A t v(t, x) − ρ(t, x) v(t, x) + g(t, x) = 0 pour (t, x) ∈ [0, T[×R d , 

v(T, x) = f(x) pour x ∈ R d . 

(2.31) 

Étudions d’abord le cas g = 0, c’est à dire seulement l’existence d’un coefficient d’actualisation 

aléatoire ρ. 

Théorème 2.24 (Théorème de Feynman-Kac) Soit σ et b des fonctions satisfaisant les 

conditions globales de Lipschitz et de restriction sur la croissance (2.3) et (2.4), f, ρ des 

fonctions satisfaisant les conditions de la définition 2.23. Supposons que f ∈ K 0 (R d ). Pour 

tout t ∈ [0, T[ et x ∈ R d , notons (Xs t,x, 

s ∈ [t, T]) le processus solution de (2.30) et (F t = Ft B) 

la filtration naturelle du Brownien B. Alors une solution v du problème de Cauchy 

{ ∂v 

(t, x) + A ∂t t v(t, x) − ρ(t, x) v(t, x) = 0 pour (t, x) ∈ [0, T[×R d , 


admet la représentation stochastique : 

De plus, si (X t = X 0,x 

t 

v(t, x) = E 

[ 

f(X t,x R T 

T )e− t 

] 

ρ(s,Xs 

t,x ) ds 

. (2.32) 

, t ∈ [0, T]) est la diffusion solution de (2.2), alors pour tout t ∈ [0, T], 

v(t, X t ) = E 

[e − R ] 

T 

t ρ(s,X s) ds ∣ 

f(X T ) ∣F t . (2.33) 

Démonstration. La formule d’Itô montre que si v résout le problème de Cauchy (2.31) avec 

g = 0, le processus : 

M t,x 

s 

= e − R s 

t ρ(u,Xt,x u 

) du v(s, Xs t,x ) , s ∈ [t, T] 

est une (F t )-martingale, ce qui entraîne que M t,x 

t = E ( M t,x 

T | F t) 

. La propriété de martingale 

de (Ms 0,x , s ∈ [0, T]) et la condition terminale v(T, x) = f(x) montrent alors (2.33). 

Remarquons que de même, la condition terminale entraîne que 

v(t, x) = v(t, X t,x 

t ) = E 

[e − R T 

t 

∣ ] 

ρ(u,Xu 

t,x ) du f(X t,x ∣∣ 

T ) Ft . 

Pour prouver (2.32), fixons (t, x) ∈ [0, T[×R d et notons τ n = inf{s ≥ t , |Xs t,x | ≥ n}. La formule 

d’Itô et le théorème d’arrêt pour les martingales entraînent que v(t, x) = E(M t,x 

T ∧τ n 

) = 

∑ 2 

i=1 T n, i avec : 

[ 

Tn 1 (t, x) = E v(τ n , Xτ t,x 

n 

) e − R τn 

t 

T 2 n(t, x) = E 

] 

ρ(s,Xs t,x ) ds 1 {τn≤T } 

] 

[ 

v(T, X t,x 

T ) e− R T 

0 ρ(s,Xt,x s ) ds 1 {τn>T } 

. 

, 


2.5 Lien avec les EDP 43 

Une généralisation immédiate de (2.8) basée sur le lemme de Gronwall et l’inégalité de 

Burkholder montre que pour tout p ∈ [1, +∞[, E(sup t≤s≤T |Xs t,x|p 

) ≤ C p (1 + |x| p ). Il existe 

K > 0 tel que le terme |Tn(t, 1 x)| est dominé par Cn K P(τ n ≤ T). Pour tout p ∈ [1, +∞[, 

P(τ n ≤ T) ≤ C p n −p E ( sup |Xs t,x | p) ≤ C p n −p . 

t≤s≤T 

Choisissant p > K nous obtenons Tn 1 (t, x) → 0 quand n → +∞. Le théorème de convergence 

dominée entraîne que lorsque n → +∞, 

[ 

Tn(t, 2 x) → E f(X t,x 

T ) R ] 

T 

e− 0 ρ(s,Xt,x s ) ds 

, 

ce qui termine la démonstration. 

✷ 

Nous verrons dans l’exercice 2.6 que le problème de Cauchy (2.31) admet comme solution 

[ 

] 

v(t, x) = E 

f(X t,x R T 

T )e− t ρ(s,Xs t,x ) ds + 

∫ T 

t 

g(s, X t,x 

s ) e − R s 

t ρ(u,Xt,x u ) du ds 

. (2.34) 

On déduit immédiatement du Théorème de Feynman Kac le résultat suivant. Soit r > 0 

et f : R d → R une fonction continue à croissance polynomiale. Alors si v continue sur 

[0, T] × R d et v ∈ K 1,2 ([0, T[×R d ) est solution du problème de Cauchy 

{ ∂v 

∂t (t, x) + A t v(t, x) = r v(t, x) pour (t, x) ∈ [0, T[×R d , 

v(T, x) = f(x) pour x ∈ R d , 

alors v(t, x) = E ( e −r(T −t) f(X t,x 

T )) . 

Ces liens entre diffusions et EDP peuvent être vus de deux façons. 

D’une part en « petite dimension » on peut utiliser des méthodes numériques d’EDP (différences 

finies ou éléments finis) afin de résoudre numériquement l’EDP (il faut encore des 

conditions pour qu’elle ait une solution unique) et en déduire une information sur l’espérance 

d’une fonction du processus. 

Mais les méthodes numériques, efficaces en petite dimension, deviennent très difficiles 

à implémenter en grande dimension. Par contre, les méthodes de Monte-Carlo ou de quasi 

Monte Carlo permettent d’approximer l’espérance d’une variable aléatoire ou d’un processus 

en une famille finie d’instants t et d’états x. On peut se servir de l’interprétation de la solution 

v(t, x) de l’EDP (sous réserve qu’elle soit unique) comme une espérance pour écrire cette 

fonction au point (t, x) à l’aide de l’espérance d’une diffusion. Par un schéma d’Euler de pas 

T/n, on sait approximer la trajectoire de la diffusion par celle d’un processus très simple et 

très rapide à simuler. La vitesse de convergence « forte » , qui donne une majoration de la 

norme uniforme de la différence des trajectoires, est en 1/ √ n. Si on s’intéresse seulement à 

l’espérance d’une fonction de la diffusion en un instant T, la vitesse de convergence « faible » 

du schéma est en 1/n. L’espérance de la fonction du processus approximant à l’instant T 

est elle-même approximée par une moyenne d’après la loi forte des grands nombres. Le 

théorème de la limite centrale montre alors que si on dispose de N réalisations, la vitesse 

de convergence de la moyenne vers l’espérance est en √ 1 

N 

. Simuler une approximation de 

la diffusion par un schéma d’Euler est très simple et l’inconvénient est plutôt le nombre de 

simulations qu’il faut utiliser pour avoir une approximation « raisonnable ». Cette méthode 

est donc « lente », mais « insensible à la dimension ». 



2.6 Exemples en finance 

Nous présentons ici deux exemples d’EDS importants en finance. Le modèle de Black & 

Sholes sera présenté de façon beaucoup plus approfondie dans le dernier chapitre. 

2.6.1 Problème de Sturm-Liouville - Temps d’occupation 

Nous venons de voir comment les diffusions permettent de résoudre explicitement certaines 

EDP. Les mêmes techniques peuvent être aussi employées pour l’étude de certaines 

EDO du deuxième ordre. On s’intéresse par exemple au problème suivant, dit de Sturm- 

Liouville : 

(α + k)f = f ′′ 

2 + g (2.35) 

où α > 0, k : R → R + est une fonction continue et g : R → R une fonction continue telle 

que : 

∫ 

|g(x + y)|e −|y|√2α dy < +∞ 

R 

pour tout x ∈ R. Alors, si B est un Brownien standard issu de 0 et f ∈ K 2 , pour tout 

t > 0, le lien entre générateur infinitésimal et martingale décrit dans le théorème 2.17 avec 

ρ(t, y) = α + k(x + y) montre que le processus 

f(x+B t ) e − R t 

0 α+k(x+Bs)ds −f(x)− 

∫ t 

0 

[ 

e − R s 1 

0 α+k(x+Bu)du 2 f ′′ (x + B s ) − ( α + k(x + B s ) ) ] 

f(x + B s ) ds 

est une (Ft B )-martingale. On en déduit que si f est une solution bornée de (2.35), 

E 

[f(x + B t ) e − R ] [∫ t 

] 

t 

0 α+k(x+Bs)ds − f(x) = −E e − R s 

0 α+k(x+Bu)du g(x + B s )ds . 

0 

Lorsque t → +∞, ceci entraîne : 

[∫ ∞ 

f(x) = E 

0 

( 

g(x + B t ) exp −αt − 

∫ t 

0 

) ] 

k(x + B s )ds dt . 

Cette fonction est l’unique solution bornée de classe C 2 de (2.35). 

Ce résultat donne en particulier la transformée de Laplace de la variable aléatoire 

( 

g(B t ) exp − 

∫ t 

0 

) 

k(B s )ds 

( 

pour toute fonction g et donc par inversion la loi du couple B t , ∫ ) 

t 

k(B 0 s)ds . 

Ce couple est très important en Finance, puisqu’il permet de « pricer » certaines options 

exotiques avec temps d’occupation. La formule de Feynman-Kac permet aussi de calculer la 

densité de la variable aléatoire 

A + t = 

∫ t 

0 

1 [0,∞[ (B s ) ds 


2.6 Exemples en finance 45 

qui représente le temps d’occupation de [0, +∞[ par le Brownien. En effet, si on pose k(x) = 

β1 [0,+∞[ (x) et g(x) = 1, en approximant k par une suite de fonctions continues on en déduit 

que pour α, β > 0 la fonction 

est solution de l’EDO 

[∫ ∞ 

f(x) = E 

{ 

0 

( 

exp −αt − β 

∫ t 

0 

) ] 

1 [0,∞) (x + B s )ds dt 

αf(x) = 1 − βf(x) + f ′′ (x) 

si x > 0, 

2 

αf(x) = 1 + f ′′ (x) 

si x < 0. 

2 

L’unique solution bornée et continue de cette EDO est donnée par : 

{ 

Ae 

f(x) = 

−x√2(α+β) + 1 si x > 0, 

α+β 

Be x√2α + 1 si x < 0. 

α 

En imposant la continuité de f et f ′ en zéro, on trouve 

A = 

1 1 

√ − 

α(α + β) (α + β) 

et B = 

1 

√ 

α(α + β) 

− 1 α , 


∫ ∞ 

0 

e −αt E 

[ ] 

e −βA+ t 

dt = f(0) = 

1 

√ 

α(α + β) 

. 

Puisque Γ( 1 2 ) = √ π, le théorème de Fubini et un changement de variables montrent que 

∫ ∞ 

0 

(∫ t 

e −αt du 

0 

e−βu 

π √ u(t−u) 

) 

dt = 1 √ π 

∫ +∞ 

= 

0 

1 1 

√ √ . α + β α 

e −(α+β)u 

√ u 

du 1 √ π 

∫ +∞ 

u 

e −α(t−u) 

√ t − u 

dt 

Puisque la transformée 

∫ 

de Laplace caractérise la loi, on en déduit que pour tout β > 0, 

t 

E[e −βA+ t ] = 

0 e−βu √ 1 du, puis que la densité de π u(t−u) A+ t est la fonction h définie par 

h(u) = 

1 

π √ u(t − u) 1 ]0,t[(u). 

La fonction de répartition de cette loi est définie pour tout θ ∈]0, t[ par : 

P ( A + t ≤ θ ) = 

∫ θ 

0 

∫ 

du 

θ/t 

π √ u(t − u) = ds 

π √ s(1 − s) = 2 √ 

θ 

π Arcsin t . 

0 

La loi de A + t est appelée loi de l’arcsinus. On remarque enfin que pour θ ∈]0, t[, 

P ( A + t ≤ θ ) = P ( tA + 1 ≤ θ ) , 

ce qui montre que les variables A + t et tA + 1 ont même loi. On aurait pu aussi obtenir ce 

résultat directement par « scaling » du Brownien. 



2.6.2 Introduction à la formule de Black & Sholes 

Nous présentons sommairement cet exemple fondamental, qui sera repris de façon plus 

systématique dans le dernier chapitre. On considère un marché financier comportant un 

actif dit sans risque de taux constant r, tel que S0 0 = 1, donc de prix à l’instant t donné par 

St 0 = ert (soit dSt 0 = rS0 t dt) et un actif risqué dont le prix S t à l’instant t vérifie 

S t = S 0 exp ( σB t + (b − σ 2 /2)t ) . (2.36) 

C’est le Brownien géométrique vu dans l’exemple 2.7, solution de l’EDS linéaire 

dS t = σ S t dB t + bS t dt , 

où S 0 > 0, B est un mouvement brownien et b, σ ∈ R. On remarque que ce processus garde 

des valeurs strictement positives et qu’à chaque instant t > 0, E(S t ) = S 0 e bt . Le processus 

S t croit donc en moyenne comme un actif sans risque de rendement constant b. De plus, 

( ) 

E(St 2 ) = S2 0 e2bt+σ2t E e 2σBt−(2σ)2 t 2 = S0 2 e2bt+σ2t , 

) 

ce qui entraîne que V ar(S t ) = S0 (e 2e2bt σ2t − 1 . Le coefficient σ est appelé la volatilité et 

mesure la sensibilité à l’aléa, c’est à dire le risque de l’actif. C’est lui qui permet de quantifier 

les écarts entre S t et son espérance. On remarque facilement en utilisant l’expression explicite 

de S t ( que( pour tout ) δ > ) 0 qui modélise un intervalle de temps (par exemple un jour), la 

S(j+1)δ 

suite ln 

S jδ 

, j ≥ 0 est une suite indépendante équidistribuée de variables aléatoires 

( ) 

gaussiennes N (b − σ2)δ 

, 2 , σ 2 δ et il est donc facile de tester la validité du modèle sur des 

données réelles. On constate d’ailleurs que ce modèle rend( mal compte ) de la réalité. Un 

S(j+1)δ 

développement limité de ln(1 + u) permet d’approximer ln 

S jδ 

, par S (j+1)δ−S jδ 

S jδ 

afin de 

tester le caractère i.i.d. gaussien des rendements successifs observés. 

Pour qu’un investisseur ayant une aversion au risque préfère un actif risqué à un actif 

sans risque, il faut bien sûr que son rendement espéré b soit supérieur à r et la différence 

b − r est une « prime de risque ». Plus la volatilité σ est grande, plus l’actif est risqué et 

dans ce cas, plus la valeur de b doit être grande pour que l’investisseur préfère S t à l’actif 

sans risque St 0. 

On fixe un horizon T > 0 et on souhaite donner le prix d’un actif financier qui versera 

h(S T ) à la date T. Le cas d’un call Européen de maturité T et de strike K correspond au 

cas h(x) = (x − K) + . 

On procède par duplication (hedging) : on forme un portefeuille qui comprend α t parts 

de l’actif sans risque S 0 t (le montant de la richesse investie dans cet actif à la date t est donc 

α t e rt ) et de ∆ t parts de l’actif risqué S t . 

On suppose que le marché est sans friction, c’est à dire qu’il n’y a pas de coût de 

transaction (d’achat ou de vente des actifs), que l’on peut vendre à découvert (c’est à dire 

que les coefficients α t et ∆ t peuvent être négatifs), que les actifs sont indéfiniment divisibles 

(α t et ∆ t sont à valeurs réelles) et que le trading se fait en continu (c’est à dire que α t et 

∆ t peuvent varier à chaque instant t). 

On veut trouver un portefeuille « auto-finançant » (c’est à dire ne nécessitant pas de 

mise de fonds autre qu’à la date 0), qui ne verse pas de dividende (duquel on ne retire pas 


2.6 Exemples en finance 47 

de l’argent avant la date T) et de valeur terminale h(S T ). La valeur de ce portefeuille à la 

date t est 

V t = α t S 0 t + ∆ t S t . 

La condition d’autofinancement se formalise par 

dV t = α t dS 0 t + ∆ t dS t , 

soit 

dV t = α t rS 0 t dt + ∆ t[bS t dt + σS t dB t ] = σ∆ t S t dB t + [ rV t + ∆ t S t (b − r) ] dt. 

La valeur initiale du portefeuille sera la valeur de l’actif financier. On suppose que la 

valeur V t du portefeuille à la date t est une fonction déterministe du temps et de la valeur 

de l’actif risqué, soit V t = V (t, S t ). En utilisant la formule d’Itô, on calcule 

dV t = 

( ∂V 

∂t (t, S ∂V 

t) + bS t 

∂x (t, S t) + σ2 St 

2 

2 

) ( ) 

∂ 2 V 

∂x (t, S ∂V 

t) dt + σS 2 t 

∂x (t, S t) dB t . 

En utilisant la condition d’autofinancement et en identifiant les parties martingales on obtient 

(parce que S t > 0 pour tout t) 

σ∆ t S t = σS t 

∂V 

∂x (t, S t) soit 

∆ t = ∂V 

∂x (t, S t) , 

ce qui entraîne alors en identifiant les parties à variation finie 

∂V 

rS t 

∂x (t, S t) + ∂V 

∂t (t, S t) + σ2 St 

2 

2 

∂ 2 V 

∂x 2 (t, S t) − rV (t, S t ) = 0 , 

avec pour condition terminale V (T, S T ) = h(S T ). Comme S t est une variable aléatoire 

qui peut prendre toutes les valeurs de ]0, +∞[, on en déduit que V satisfait l’EDP sur 

[0, +∞[×[0, +∞[ : 

rx ∂V ∂V 

(t, x) + 

∂x ∂t (t, x) + σ2 x 2 

2 

∂ 2 V 

(t, x) − rV (t, x) = 0 , (2.37) 

∂x2 avec pour condition terminale V (T, x) = h(x). On notera que le coefficient b a disparu. 

Nous allons résoudre cette EDP dans le cas d’un call européen, c’est à dire pour une 

condition terminale h(x) = (x − K) + , avec σ > 0. On note C la valeur du portefeuille dans 

ce cas particulier, Les détails des calculs sont laissés en exercice (cf. Exercice 2.5). Nous 

verrons au chapitre suivant une façon plus rapide et moins technique de les retrouver. 

Les résultats précédents entraînent que C satisfait l’équation (2.37) 

∂C 

(t, x) + rx∂C 

∂t ∂x (t, x) + σ2 x 2 

2 

∂ 2 C 

(t, x) = rC(t, x) , 

∂x2 avec C(T, x) = (x−K) + . La formule de Feynman-Kac (2.32) appliquée à la fonction f(x) = 

(x −K) + et à ρ(s, x) = r montre que la valeur du call européen à l’instant t, est donnée par 

[ 

] 

C(t, x) = E e r(t−T) (˜S t,x 

T − K)+ , (2.38) 



avec 

˜S t,x 

T 

= xeσ(B T −B t)+ 

(r− σ2 

2 

) 

(T −t) 

t,x t,x 

solution de l’EDS d ˜S s = σ ˜S s dW t,x 

t,x 

s + b ˜S s ds pour s ≥ t et ˜S t = x. 

Puisque B T − B t suit une loi gaussienne N(0, T − t), on peut calculer explicitement 

C(t, x). Pour tout a ∈ R, notons 

F(a) = 1 √ 

2π 

∫ a 

−∞ 

e − x2 

2 dx 

la fonction de répartition d’une loi gaussienne N(0, 1). La solution de l’équation (2.38) est 

donnée par la formule suivante de Black & Sholes 

C(t, x) = xF(d 1 ) − Ke −r(T −t) F(d 2 ), 

avec les notations 

d 1 = 

1 

σ √ T − t 

( 

ln ( xe r(T −t) /K ) + 1 ) 

2 σ2 (T − t) 

et d 2 = d 1 − σ √ T − t. (2.39) 

La quantité 

∆ t = ∂C 

∂x (t, ˜S t ) = F(d 1 ), 

qui représente le nombre de parts de l’actif sous-jacent utilisées pour répliquer l’option s’appelle 

le Delta de l’option et représente aussi la sensibilité du prix de l’option par rapport au 

prix du sous-jacent. Le couple (C(t, S t ) −∆ t S t , ∆ t ) représente le portefeuille de couverture. 

D’autre part, le théorème de Feynman-Kac 2.24 appliqué au cas ρ(s, x) = r et f(x) = 

(x − K) + montre en appliquant l’équation (2.33) que si ˜S s = Ss 0,x est la solution de d˜S t = 

σ˜S t dB t + r˜S t dt, 

C(t, ˜S 

] 

t ) = e −(T −t) E 

[(˜S T − K) + |F t (2.40) 

L’expression (2.38) permet également de retrouver le Delta de l’option de façon différente. 

Dans le cas t = 0, on a 

C(0, x) = E [ e −rT (xM T e rT − K) + ) ] , 

avec la notation ˜S t = xM t e rt S 

et où M t = e σ2 

t σBt− 

= xe 

St 

0 2 t pour t ≥ 0 est une martingale. En 

dérivant par rapport à x sous l’espérance, on retrouve 

où d 1 est la constante précédente. 

∂C 

∂x (0, x) = E [ ] 

M T 1 {xMT e rT ≥K} = F(d1 ), 



2.7 Exercices 

Exercice 2.1 Le but de cet exercice est de proposer deux généralisations du Lemme de 

Gronwall. 

(i) Soit f : [0, T] → R une fonction continue. Supposons qu’il existe une constante b > 0 

et une fonction a : [0, T] → R positive intégrable telle que pour tout t ∈ [0, T], 

0 ≤ f(t) ≤ a(t) + b 

∫ t 

0 

f(s)ds. (2.41) 

Alors f(t) ≤ a(t) + b ∫ t 

0 a(s)eb(t−s) ds pour tout t ∈ [0, T]. 

(ii) Soit f : [0, T] → R une fonction borélienne bornée. Supposons qu’il existe une 

constante a > 0 et une fonction intégrable positive b : [0, T] → R telle que 0 ≤ f(t) ≤ 

a + ∫ t 

b(s)f(s)ds. Montrer que si H(t) = ∫ t 

b(s)ds, f(t) ≤ 0 0 aeH(t) pour tout t ∈ [0, T]. 

Exercice 2.2 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck Soit X 0 , σ et b des constantes réelles, 

(B t ) un Brownien standard de dimension 1, X le processus solution de l’équation de Langevin 

∫ t 

X t = X 0 + σB t − b X s ds. 

0 

1. Montrer que si X 1 et X 2 sont solutions de l’équation de Langevin, X 1 = X 2 . 

( 

2. Soit Y t = e −bt X 0 + σ ∫ t 

0 ebs dB s 

). Montrer que 

Y t = e −bt (X 0 − bσ 

∫ t 

En appliquant le théorème de Fubini, en déduire que 

b 

∫ t 

0 

Y s ds = X 0 

( 

1 − e 

−bt ) + bσ 

∫ t 

0 

0 

) 

e bs B s ds + σB t . 

e −b(t−u) B u du = X 0 − Y t + σB t . 

En déduire que l’unique solution de l’équation de Langevin est 

∫ t 

) 

X t = e 

(X −bt 0 + σ e bs dB s . 

3. Montrer que pour tout t, la loi de X t est gaussienne N 

tout s < t, calculer Cov(X s , X t ). 

0 

( 

) 

X 0 e −bt , σ2 

(1 − 2b e−2bt ) . Pour 

Exercice 2.3 Processus de Vasicek On généralise le processus précédent en ajoutant 

une constante dans le terme de dérive 

dY t = σdB t + a(b − Y t )dt. 

Cette EDS a été étudiée pour modéliser l’évolution des taux d’intérêt d’un marché financier 

et est appelée « mean-reversing » car si a et b sont positifs, le processus Y t tend vers b (en 

un sens à préciser). 

1. Montrer que X t = Y t − b est solution de l’équation de Langevin. 



2. On suppose que X 0 est une constante. En déduire une expression explicite de Y t , puis 

la loi de E(Y t ) et Cov(Y s , Y t ) pour 0 ≤ s ≤ t. 

3. On suppose que X 0 suit une loi gaussienne N(m, σ0) 2 et est indépendante de (B t ). Reprendre 

la question précédente et calculer la loi du vecteur (Y s , Y t ) pour 

0 ≤ s < t, l’espérance de Y t et la covariance de Y s et Y t . Si Y 0 > 0, Le processus 

Y t garde-t-il des valeurs positives? 

Pour 0 ≤ t ≤ T, calculer E 

( 

exp 

( ∫ T 

t 

Y u du 

)∣ ) ∣∣F B 

t . 

Exercice 2.4 Soit (B t ) un (F t )-Brownien standard de dimension r, (σ k (s), s ≥ 0) et 

(b(s), s ≥ 0) des processus réels progressivement mesurables définis pour k = 1, · · · , r, 

et M une constante réelle telle que sup 0≤t≤T (‖σ(s)‖ 2 + |b(s)|) ≤ M p.s. Pour tout X 0 ∈ R 

on veut résoudre explicitement l’EDS linéaire suivante (à coefficients non constants) 

X t = X 0 + 

∫ t 

0 

σ(s)X s dB s + 

∫ t 

0 

b(s)X s ds. (2.42) 

1. On suppose qu’il existe une constante réelle M telle que sup (‖σ(s)‖ 2 + |b(s)|) ≤ M 

0≤t≤T 

p.s. En reprenant la démonstration du Théorème 2.6 montrer que (2.42) a une unique 

solution telle que sup 0≤t≤T E(|X t | 2 ) < +∞. Sous quelles conditions supplémentaires 

ce processus satisfait-il la propriété de Markov? 

2. On suppose que (S t ) est un processus d’Itô (continu) à valeurs strictement positives 

tels que si dS t = ∑ k 

j=1 H k(s)dBs k+H 0(s)ds et si on note σ j (t) = H j(t) 

pour j = 1, · · · , k 

St 

i 

et b(t) = H 0(t) 

, on a ∫ T 

S i (t) 0 (‖σ(s)‖2 + |b(s)|)ds < +∞ p.s. Comparer ces hypothèses à 

celles de la question précédente. 

3. On suppose que les hypothèses de l’une des questions précédentes sont satisfaites. Soit 

( ∫ t ∫ t 

Y t = exp − σ(s)dB s + 

(−b(s) + 1 ) ) 

2 ‖σ(s)‖2 ds . 

Calculer dY t puis d(X t Y t ) et en déduire que 

(∫ t 

X t = X 0 exp σ(s)dB s + 

0 

0 

0 

∫ t 

0 

(b(s) − 1 ) ) 

2 ‖σ(s)‖2 ds . (2.43) 

Exercice 2.5 Le but de cet exercice est de donner une première méthode pour trouver 

l’équation (2.39) du modèle de Black & Sholes. 

1. Montrer que la solution de l’équation de Black & Sholes (2.37) est 

avec C(T, x) = (x − K) + . 

où 

˜S 

t,x 

T 

∂C 

(t, x) + rx∂C 

∂t ∂x (t, x) + σ2 x 2 

2 


(r− σ2 

2 

∂ 2 C 

(t, x) = rC(t, x) 

∂x2 2. Montrer que la valeur du call européen à l’instant t, est donnée par (2.38) 

[ 

] 

C(t, x) = E e r(t−T) (˜S t,x 

T − K)+ , 

) 

(T −t) . 



3. Montrer que que si G ∼ N(0, 1), α = σ √ T − t > 0 et β = ( ) 

r − σ2 

2 (T − t), 

[ 

] 

E e −r(T −t) (˜S t,x 

T − K)+ = xe −r(T −t) E [ ] 

e α G+β 1 {α G+β≥ln(K/x)} 

−Ke −r(T −t) P (α G + β ≥ ln(K/x)) . 

∫ 

4. Notons F(x) = √ 1 x /2 

2π 

du la fonction de répartition d’une variable aléatoire 

−∞ e−u2 

G gaussienne N(0, 1). Montrer que pour tout α > 0, β ∈ R, K > 0 et x > 0, 

P ( α G + β ≥ ln(K/x) ) ( ) ln(x/K) + β 

= F 

α 

et 

5. Montrer la formule (2.39). 

E ( ( 

) 

e αG+β 1 {αG+β>ln(K/x)} = e 

β+ α2 

2 F α + ln(x/K) + β ) 

α 

Exercice 2.6 Le but de l’exercice est de généraliser la formule de Feynman-Kac montrée 

dans le Théorème 2.24 en prouvant (2.34). 

Soit σ et b des fonctions satisfaisant les conditions (2.3) et (2.4), f, g, ρ des fonctions satisfaisant 

les conditions de la définition 2.23. Supposons que f ∈ K 0 (R d ) et que sup 0≤t≤T |g(t, x)| 

est à croissance polynomiale. Pour tout t ∈ [0, T[ et x ∈ R d , notons (Xs t,x , s ∈ [t, T]) le processus 

solution de (2.30) et (F t = Ft B ) la filtration naturelle du Brownien B. Alors une 

solution v du problème de Cauchy (2.31) 

{ ∂v 

(t, x) + A ∂t t v(t, x) − ρ(t, x) v(t, x) + g(t, x) = 0 pour (t, x) ∈ [0, T[×R d , 


admet la représentation stochastique : 

[ 

v(t, x) = E 

f(X t,x R T 

T )e− ρ(s,X t,x 

t s ) ds + 

∫ T 

t 

g(s, X t,x 

s ) e − R s 

t ρ(u,Xt,x u ) du ds 

Les cinq exercices suivants étudient de façon systématique la solution de l’EDS 

dX t = (αX t + a)dB t + (βX t + b)dt , X 0 = x. 

Exercice 2.7 Préliminaire 

Soit a, α, b, β des constantes réelles positives et x ∈ R. On considère l’EDS 

dX t = (αX t + a)dB t + (βX t + b)dt , X 0 = x. (2.44) 

1. Montrer que (2.44) admet une unique solution forte. 

2. On note m(t) = E(X t ) et M(t) = E(X 2 t ). 

(a) Montrer que m(t) est la solution de d’EDO 

Résoudre cette EDO. 

y ′ − βy = b , y(0) = x. (2.45) 

] 

. 



(b) Écrire X2 t comme processus d’Itô en utilisant la formule d’Itô pour la solution 

X t de (2.44). Montrer que l’intégrale stochastique est une martingale de carré 

intégrable. 

(c) En déduire que si on note m(t) la solution de (2.45), M(t) est la solution de 

l’EDO 

y ′ − (2β + α 2 )y = 2(b + aα)m + a 2 , y(0) = x 2 . 

Résoudre cette EDO. 

Exercice 2.8 Premier cas particulier a = b = 0 

Soit (Y t ) la solution de (2.44) avec a = b = 0 et x = 1. 

“ 

1. Montrer que Y t = e αBt+ β− α2 

2 

” 

t . 

2. Montrer que si β ≥ 0, (Y t ) est une (F t )-sous-martingale. A quelle condition sur β le 

processus (Y t ) est-il une martingale? 

3. Soit (Z t ) le processus d’Itô défini par 

Z t = x + a 

∫ t 

0 

∫ t 

Ys 

−1 dB s + (b − aα) 

0 

Ys 

−1 ds. 

Montrer que ce processus est bien défini et calculer 〈Y, Z〉 t . En déduire que la solution 

(X t ) de (2.44) peut s’écrire X t = Y t Z t . 

Exercice 2.9 Second cas particulier α = b = 0 

On note (X t ) la solution de l’EDS 

1. Montrer que l’unique solution de (2.46) est 

dX t = adB t + βX t dt , X 0 = x. (2.46) 

∫ t 

) 

X t = e 

(x βt + a e −βs dB s . 

0 

(On pourra soit utiliser l’exercice précédent, soit poser Y t = e −βt X t et résoudre 

l’équation vérifiée par Y .) 

2. Montrer que pour tout choix d’instants t 1 < t 2 < · · · < t d , le vecteur ξ = (X t1 , · · ·X td ) 

est gaussien. Calculer E(ξ) et la matrice de covariance de ξ. 

3. Pour tout t ≥ 0, on note I t = ∫ t 

X 0 sds. Montrer que pour tout choix d’instants 

t 1 < t 2 < · · · < t d , le vecteur (I t1 , · · ·I td ) est gaussien. Calculer E(e It ) pour tout t ≥ 0. 

4. Calculer E(X t |F s ) et V ar(X t |F s ) pour tout 0 < s < t. 

5. Soit (X t ) la solution de (2.46) et φ une fonction de classe C 2 . Écrire la formule d’Itô 

pour Z t = φ(X t ). En déduire que si φ(x) = ∫ ( 

x 

exp −β 

)dy, 

y2 

0 a 2 

Z t = a 

∫ t 

0 

( ) 

exp −β B2 s 

dB 

a 2 s . 

Le processus (Z t ) est-il une martingale de carré intégrable? 



6. Fixons λ ∈ R. Calculer 

Φ(t, y) = E 

( ) 

e λX2 t 

. 

Pour t > 0 fixé, étudier la (F t )-martingale ( E(e λX2 t |Fs ), 0 ≤ s ≤ t ) . Montrer que Φ 

est solution d’une équation aux dérivées partielles que l’on explicitera. Soit Ψ(t, x) = 

ln(Φ(t, x)). Montrer que 

Ψ(t, x) = x 2 a(t) + b(t) avec a ′ (t) = −a(t)(2β + a 2 a(t)), et b ′ (t) = −a 2 a(t). 

Exercice 2.10 Troisième cas particulier b = β = 0 

Soit (X t ) la solution de l’EDS 

dX t = (αX t + a)dB t , X 0 = x ≠ − a α . (2.47) 

Soit h la fonction définie par 

h(y) = 1 ∣ ∣∣∣ 

α ln a + αy 

a + αx∣ pour y ≠ −a α . 

1. Soit Y t = h(X t ). Quelle est l’équation vérifiée par Y t ? 

2. En déduire que la solution de (2.47) est 

X t = 

( 

x + a ) 

exp 

α 

) 

(− α2 

2 t + αB t − a α . 

Exercice 2.11 Quatrième cas particulier b = 1 et a = 0 

Soit (X t ) la solution de (2.44) dans le cas b = 1 et a = 0. On note Y t = e −βt X t . 

Quelle est l’équation satisfaite par Y t ? Calculer E(X t ) et V ar(X t ). 


54 3 Théorème de Girsanov 

3 Théorème de Girsanov 

Avec la formule d’Itô, le théorème de Girsanov est l’outil fondamental du calcul stochastique. 

Il décrit comment changer de façon absolument continue la loi de certains processus. 

Plus précisément, on considère un processus (X t , t ≥ 0) défini sur un espace probabilisé 

filtré (Ω, F, (F t ), P), dont la loi sous P peut être délicate à étudier. On « perturbe » la 

probabilité P en la multipliant par une (F t )-martingale exponentielle. On obtient alors une 

nouvelle probabilité Q, sous laquelle le processus X suit une autre loi, plus simple à étudier. 

On étudie cette loi sous la probabilité Q et on revient à la probabilité P avec la martingale 

exponentielle. Les applications de cette méthode sont multiples, aussi bien en finance que 

pour l’étude du mouvement brownien. 

Convention Dans tout ce chapitre, nous serons amenés à utiliser simultanément plusieurs 

probabilités sur un espace mesurable (Ω, F). Si P désigne une telle probabilité, nous noterons 

E P (X) = ∫ XdP l’espérance d’une variable aléatoire positive ou P-intégrable X, et de 

même E P (X | G) l’espérance conditionnelle de X par rapport à la sous-tribu G de F sous la 

probabilité P. 

3.1 Changement de probabilité 

Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé et L une v.a. F-mesurable positive telle que E P (L) = 

1, c’est à dire d’espérance 1 sous P. On définit une nouvelle probabilité Q sur F de densité 

L par rapport à P en posant Q(A) = E P (L1 A ) pour tout A ∈ F ; on note dQ = L dP. 

Alors une variable aléatoire X est Q intégrable si et seulement si LX est P-intégrable; si 

X est positive ou Q-intégrable, E Q (X) = E P (LX). De plus, Q est absolument continue par 

rapport à P, c’est à dire que pour tout A ∈ F, P(A) = 0 entraîne Q(A) = 0. Si L > 0 P 

p.s., alors P est absolument continue par rapport à Q, ce qui entraîne que les probabilités P 

et Q sont équivalentes, et la probabilité P a pour densité 1 par rapport à Q. 

L 

Lemme 3.1 Soit (Ω, F, (F t ), P) un espace probabilisé filtré, T > 0. Soit L T une variable 

aléatoire F T -mesurable positive ou nulle telle que E P (L T ) = 1. Pour tout t ∈ [0, T], soit 

L t = E P (L T | F t ). 

(i) Pour tout t < T, si on note dQ| Ft (resp. dP| Ft ) la restriction de Q (resp. P) à F t , 

on a 

dQ| Ft = L t dP| Ft . 

(ii) Soit (M t , t ≥ 0) un processus. C’est une (F t , t ∈ [0, T])-martingale (resp. une (F t , t ∈ 

[0, T])-martingale locale) sous Q si et seulement si le processus (L t M t , t ∈ [0, T]) est une 

(F t , t ∈ [0, T])-martingale (resp. une (F t , t ∈ [0, T])-martingale locale) sous P. 

(iii) Si L T > 0 P p.s., les probabilités P et Q sont équivalentes, pour tout t ∈ [0, T], 

L t > 0 P (ou Q) presque sûrement, ( 1 L t 

, 0 ≤ t ≤ T) est une (F t , 0 ≤ t ≤ T) martingale 

sous Q et si Z est F t mesurable et positive ou bien Q-intégrable, pour tout s ∈ [0, t], 

E Q (Z | F s ) = E P(ZL t | F s ) 

L s 

= E P(ZL t | F s ) 

E P (L t | F s ) . 

Démonstration. La filtration (F t , t ∈ [0, T]) étant fixée, les martingales considérées (sous les 

probabilités P ou Q) le seront toujours par rapport à cette filtration sans que ce soit précisé. 

(i) Pour tout t < T et tout A ∈ F t on a 

Q(A) = E P (L T 1 A ) = E P (E P [L T | F t ] 1 A ) = E P (L t 1 A ) . 


3.2 Formule de Cameron Martin 55 

(ii) Supposons que (M t , t ∈ [0, T]) est une Q-martingale. Pour tout s ≤ t ≤ T et tout 

A ∈ F s on a 

E P (L t M t 1 A ) = E Q (M t 1 A ) = E Q (M s 1 A ) = E P (L s M s 1 A ) 

et l’on en déduit que (L t M t , t ∈ [0, T]) est une P-martingale. La réciproque se démontre de 

façon similaire. Si M est une martingale locale sous Q, la suite croissante de temps d’arrêt 

τ n → ∞ telle que (M τn∧t, t ∈ [0, T]) est une (F t )-martingale sous Q fait de (M τn∧tL τn∧t, t ∈ 

[0, T]) une (F t )-martingale sous P. 

(iii) Puisque L T > 0, la mesure P est absolument continue par rapport à Q de densité 

1 

L T 

sur F T . Pour tout t ∈ [0, T], la variable aléatoire 1 L t 

: Ω → [0, +∞] est positive telle que 

E Q (1/L t ) = E P (L t /L t ) = 1. On a donc 1 L t 

< +∞ Q p.s., soit L t > 0 Q (et P) p.s. 

Soit Z ∈ L 1 (Q) une variable aléatoire F t -mesurable. Alors, pour s ≤ t, L −1 

s E P(ZL t |F s ) 

est F s -mesurable et pour tout A ∈ F s , 

E Q (Z1 A ) = E P (Z1 A L t ) = E P (1 A E P (ZL t | F s )) = E Q (1 A L −1 

s E P (ZL t | F s )), 

donc E Q (Z|F s ) = L −1 

s E P(ZL t |F s ) Q p.s. (ou P p.s.). Le raisonnement est similaire si Z ≥ 0 

est F t mesurable. 

Montrons que pour tout t ∈ [0, T], L −1 

t 

F t -mesurable et bornée; alors Z L −1 

t 

E Q (ZL −1 

t 

= E Q (L −1 

T 

est F t mesurable et 

) = E P (ZL −1 

t L t ) = E P (Z) = E Q (ZL −1 

T ). 

| F t) Q p.s. Soit Z une variable aléatoire 

Puisque L −1 

t 

est F t -mesurable, L −1 

t 

= E Q (L −1 

T |F t) Q p.s. 

✷ 

3.2 Formule de Cameron Martin 

Présentons tout d’abord l’idée principale en dimension finie. Soit X 1 , . . .,X n des variables 

gaussiennes centrées réduites indépendantes, construites sur un même espace probabilisé 

(Ω, F, P). Pour tout (µ 1 , . . .,µ n ) ∈ R n on a 

E P 

[exp 

( n∑ 

i=1 

µ i X i 

)] 

= 

n∏ 

E P [exp (µ i X i )] = exp 

i=1 

( 

1 

2 

n∑ 

i=1 

µ 2 i 

) 

, 


E P (L) = 1 où L = exp 

[ n∑ ( ) ] 

µ i X i − µ2 i 

. 

2 

i=1 

Ainsi, on peut définir une nouvelle probabilité Q sur (Ω, F) en posant dQ = L dP, c’est à 

dire 

∫ 

Q (A) = E P (L1 A ) = L(ω)dP(ω) 

pour tout A ∈ F. Le lemme 3.1 montre que Q est bien une probabilité équivalente à P 

sur (Ω, F), c’est à dire que P (A) = 0 si et seulement si Q (A) = 0 pour tout A ∈ F. La 

variable L désigne la densité de Q par rapport à P. 

A 



On cherche maintenant à savoir quelle est la loi du n-uple (X 1 , . . ., X n ) sous cette nouvelle 

probabilité Q. Pour cela on écrit pour tout borélien A ∈ R n , 

Q ( (X 1 , · · · , X n ) ∈ A ) = 

∫ 

P n 

i=1 

1 {(X1 ,···,X n)∈A} e 

= (2π) −n/2 ∫ 

= (2π) −n/2 ∫ 

A 

A 

P n 

i=1 

e 

„ 

« 

µ i X i − µ2 i 

2 

dP 

„ 

µ i x i − µ2 i 

2 

«e − P n x 2 i 

i=1 2 dx1 · · ·dx n 

e −1 2 

P n 

i=1 (x i−µ i ) 2 dx 1 · · ·dx n 

et l’on en déduit que si µ = (µ 1 , . . .,µ n ) : sous Q, (X 1 , . . .,X n ) est un vecteur gaussien 

N(µ, Id), c’est à dire que : 

sous Q, (X 1 , · · · , X n ) − (µ 1 , µ 2 , · · · , µ n ) est un vecteur gaussien N(0, Id). 

La formule de Cameron-Martin obéit au même principe de changement de probabilité, 

sauf que celui-ci a lieu sur l’espace des fonctions continues et donc en dimension infinie. 

On se donne un Brownien standard (B t , t ≥ 0) sur (Ω, F, P) et (Ft B , t ≥ 0) sa filtration 

naturelle (complétée). Pour tout m ∈ R, on sait que le processus 

[ ] 

t ↦→ L m t = exp mB t − m2 t 

est une (Ft B )-martingale positive. 

2 

Remarquons déjà l’analogie entre cette martingale L m et la variable L définie plus haut. 

On fixe alors un horizon T > 0 et on construit une nouvelle probabilité Q m T sur ( ) 

Ω, FT 

B en 

posant : Q m T (A) = E P (L m T 1 A). La formule de Cameron-Martin spécifie alors la loi de B 

sous Q m T . 

Théorème 3.2 (Formule de Cameron-Martin) Soit B un Brownien standard et m ∈ R. 

Avec les notations précédentes, le processus défini par ( ˜B t = B t − mt, 0 ≤ t ≤ T) est un 

(Ft B, 0 ≤ t ≤ T) Brownien sous la probabilité Qm T , . 

Démonstration. Remarquons d’abord que les tribus Ft B et F ˜B 

t ( sont égales pour tout t ∈ 

[0, T]. Fixons λ ∈ R et considérons le processus Zt λ = exp λ ˜B 

) 

t − λ 2 t/2 . Pour tout 

0 ≤ s ≤ t ≤ T et tout A ∈ Fs B , on a : 

[ 

] ) 

( ) ( ) 

E Q Z 

λ 

t 1 A = EP Z 

λ 

t L t 1 A = EP 

(exp λ ˜B t − λ2 t 

2 + mB t − m2 t 

1 A 

2 

[ 

] ) 

= E P 

(exp λB t − λmt − λ2 t 

2 + mB t − m2 t 

1 A 

2 

[ 

= E P 

(exp (λ + m)B t − (λ + ] ) 

m)2 t 

1 A 

2 

( [ 

] ) 

Puisque B est un Brownien sous P, le processus exp (λ + m)B t − (λ+m)2 t 

, t ∈ [0, T] 

2 

est une (Ft B )-martingale sous P. On en déduit que pour tout A ∈ Fs B , 

[ 

( ) 

E Q Z 

λ 

t 1 A = EP 

(exp (λ + m)B s − (λ + ] ) 

m)2 s 

1 A 

2 

= E P 

( 

Z 

λ 

s L s 1 A 

) 

= EQ 

( 

Z 

λ 

s 1 A 

) 

. 


3.3 Théorème de Girsanov 57 

( ) ( ) ( ) 

On en déduit que E Q Z 

λ 

t 1 A = E Q Z 

λ 

s 1 A , d’où EQ Z 

λ 

t | Fs 

B = Zs λ Q p.s. pour 

tout s ≤ t ≤ T. Pour tout λ ∈ R, le processus Z λ est donc une (Ft B )-martingale sous la 

probabilité Q et le théorème de caractérisation de Paul Lévy 1.33 permet de conclure que 

˜B est un (Ft B , 0 ≤ t ≤ T)-Brownien sous Q. ✷ 

3.3 Théorème de Girsanov 

Le but de cette section est d’étendre le théorème de Cameron-Martin en translatant la 

trajectoire Brownienne à l’instant t par l’intégrale d’un processus non-constant Ce théorème 

est d’une très grande importance pratique. 

Théorème 3.3 Soit (B t , t ≥ 0) un Brownien standard d-dimensionnel sur (Ω, F, P), et 

(Ft B , t ≥ 0) sa filtration naturelle complétée. Soit T > 0, (θ(t), 0 ≤ t ≤ T) un processus 

d-dimensionnel appartenant à H2 T et pour tout t ∈ [0, T], soit 

( ∫ t d∑ 

L t = exp θ i (s)dBs i − 1 ∫ ) 

t 

‖θ s ‖ 2 ds . (3.1) 

2 

0 

i=1 

Alors, si E P (L T ) = 1, le processus (L t , 0 ≤ t ≤ T) est une (F B t )-martingale, et 

Q(dω) = L T (ω)P(dω) est une probabilité équivalente à Q 

Le processus W = (Wt,0 i ≤ t ≤ T, i = 1, · · · , d) défini par 

W i 

t = B i t − 

∫ t 

0 

θ i (s) ds est un (F B t )-mouvement brownien sous Q. 

Démonstration. Pour dégager les idées, nous ne ferons la démonstration qu’en dimension 

d = 1. Soit θ = (θ s ) ∈ H2 2 et (L t , 0 ≤ t ≤ T) le processus défini par (3.1). Alors L t = e Xt > 0 

où X t = ∫ t 

θ ∫ 

0 sdB s − 1 t 

2 0 θ2 sds est un processus d’Itô. La formule d’Itô montre que sous P, 

dL t = L t dX t + 1 2 L tθ 2 t dt = L tθ t dB t . 

On en déduit que sous P, (L t , t ∈ [0, T]) est une martingale locale positive, donc une surmartingale 

(cf. Exercice 1.4). On a donc pour 0 ≤ t ≤ T, L t ≥ E P (L T |Ft B ). De plus, 

E P (L T ) = E P (L 0 ) = 1 = E P (L t ) pour tout t ∈ [0, T] et (L t , 0 ≤ t ≤ T) est donc une 

(Ft B )-martingale sous P. 

D’après la caractérisation de Paul Lévy (Théorème 1.33 (ii)), puisque W 0 = 0, pour 

montrer que W est un (Ft B , 0 ≤ t ≤ T)-Brownien sous Q, il suffit de montrer que sous Q 

(W t , 0 ≤ t ≤ T) et (Wt 2 − t, 0 ≤ t ≤ T) sont des (Ft B )-martingales locales continues. En 

appliquant le Lemme 3.1, cela revient à prouver que les processus (L t W t , 0 ≤ t ≤ T) et 

(L t (Wt 2 − t), 0 ≤ t ≤ T) sont des (FB t )-martingales locales continues sous P. 

En appliquant la formule d’Itô au produit et le fait que sous P, 

on obtient sous P, 

dW t = dB t − θ t dt, 

d(L t W t ) = L t dW t + W t dL t + d〈L, W 〉 t 

= L t dB t − L t θ t dt + W t θ t L t dB t + L t θ t dt = (1 + θ t W t )L t dB t . 

0 



On en déduit que (L t W t , 0 ≤ t ≤ T) est bien une (Ft B , 0 ≤ t ≤ T)-martingale locale continue 

sous P. De plus, la formule d’Itô entraîne que si Y t = Wt 2 − t, sous P, 

dY t = 2W t dW t + 1 2 2d〈W, W 〉 t − dt = 2W t dB t − 2W t θ t dt + dt − dt = 2W t dB t − 2W t θ t dt. 

En appliquant de nouveau la formule d’Itô au produit, on déduit que sous P 

d(L t Y t ) = L t dY t + Y t dL t + d〈L, Y 〉 t 

= 2L t W t dB t − 2L t W t θ t dt + Y t L t θ t dB t + 2W t L t θ t dt = L t (2W t + Y t θ t )dB t . 

( 

) 

Le processus (Wt 2 − t)L t , 0 ≤ t ≤ T est donc bien une (Ft B )-martingale locale continue 

sous P. ✷ 

Le lemme 3.1 et le théorème 3.3 montrent que P s’écrit en fonction de Q sous la forme 

dP = L −1 

T 

dQ. En transformant l’intégrale stochastique par rapport à B en une intégrale 

stochastique par rapport à W t = B t − ∫ t 

θ 0 sds, on obtient 

( ∫ t 

L −1 

t = exp − θ s dB s + 1 ∫ t 

) ( ∫ t 

θs 2 

0 2 

ds = exp − θ s dW s − 1 ∫ t 

) 

θs 2 2 

ds , 

0 

où il est clair que la dernière exponentielle d’intégrale stochastique par rapport au processus 

W, qui est un Brownien sous Q, est une (Ft B , 0 ≤ t ≤ T)-martingale sous Q. 

On utilise souvent le théorème de Girsanov de la façon suivante. On dispose d’un processus 

θ ∈ H2 T, on pour tout t ∈ [0, T] note Z t = ∫ t 

θ 0 sdB s et L t = exp ( Z t − 1〈Z, Z〉 2 t) 

. On 

suppose que E(L T ) = 1 et on note Q la probabilité dont la restriction à F t est L t pour tout 

t ∈ [0, T]. On a d’autre part un processus H ∈ H2 loc et M t = ∫ t 

H 0 sdB s une (F t )-martingale locale 

continue sous P, de crochet 〈M, M〉 t = ∫ t 

‖H 0 s‖ 2 ds. Alors le processus N t = M t −〈M, Z〉 t 

est sous Q une (F t )-martingale locale continue de crochet 〈N, N〉 t = 〈M, M〉 t (sous P ou Q, 

puisque les crochets étant la variation quadratique des processus et les probabilités P et Q 

étant équivalentes, les crochets sont les mêmes sous ces deux probabilités). 

En effet, pour montrer cette propriété, d’après le lemme 3.1, il suffit de vérifier que sous 

P, le processus L t N t = L t (M t − 〈M, Z〉 t ) est une (F t )-martingale locale, ce qui découle 

facilement de la formule d’Itô. 

3.4 Condition de Novikov et généralisations 

Le résultat suivant sera très utile dans le chapitre suivant. Il introduit une martingale 

locale de forme exponentielle et donne des conditions suffisantes pour que ce soit une 

martingale. Cette martingale exponentielle est à la base d’un changement de probabilité 

fondamental en finance. 

Soit θ ∈ H2 loc(FB 

t ) un processus cadlag, (FB t )-adapté, tel que ∫ t 

0 θ2 s ds < +∞ p.s. pour 

tout t > 0 et Z 0 une constante. Par la formule d’Itô, on démontre que l’unique solution de 

l’EDS 

est 

Z t = Z 0 + 

∫ t 

[∫ t 

Z t = Z 0 exp θ s dB s − 1 

0 2 

0 

0 

θ s Z s dB s (3.2) 

∫ t 

0 

θ 2 s ds ] 

. 

0 


3.4 Condition de Novikov et généralisations 59 

Le processus Z est appelé l’exponentielle de Doléans-Dade de θ ⋆ B. D’après (3.2), c’est 

une martingale locale. Le critère suivant permet de savoir quand l’exponentielle de Doléans- 

Dade est une martingale. Il est formulé dans un cadre multidimensionnel et on pourra lire 

sa démonstration dans [7], p. 200. 

Théorème 3.4 (Condition de Novikov) Supposons que B est un (F t ) Brownien standard 

de dimension d, (θ t ) un processus à valeurs dans R d , (F t )-adapté tel que 

[ ( ∫ 1 T 

)] 

E exp ‖θ s ‖ 2 ds < ∞. 

2 

Si pour tout t ∈ [0, T] on note 

Z t (θ) = exp 

( d∑ 

i=1 

0 

∫ t 

0 

θ i s dBi s − 1 2 

∫ t 

0 

‖θ s ‖ 2 ds 

le processus t ↦→ Z t (θ) est une (F t , 0 ≤ t ≤ T)-martingale uniformément intégrable. 

Quand la condition de Novikov n’est pas satisfaite, Z t (θ) est une martingale locale positive, 

donc une surmartingale, et E(Z t (θ)) ≤ E(Z s (θ)) ≤ Z 0 (θ) pour tout t ≥ s ≥ 0. Il 

faut remarquer que, même si la martingale locale (Z t (θ)) est uniformément intégrable, ce 

n’est pas nécessairement une martingale. Par contre, si la famille de variables aléatoires 

{Z τ (θ), τ temps d’arrêt} est uniformément intégrable, alors (Z t (θ)) est une martingale uniformément 

intégrable. 

On dispose de critères alternatifs à la condition de Novikov en dimension 1. On pourra 

lire la démonstration dans [6]. 

Proposition 3.5 Soit B un Brownien standard à valeurs dans R d , θ ∈ H2 T un processus à 

valeurs dans R d tel qu’il existe des instants 0 = t 0 < t 1 < t N = T pour lesquels pour tout 

n ∈ {1, · · · , N}, 

( ∫ 1 

tn 

) 

E P ‖θ s ‖ 2 ds < +∞. (3.3) 

2 t n−1 

Alors si pour t ∈ [0, T] on pose L t = e R t R t 

0 θsdBs−1 2 0 ‖θs‖2ds , on a E P (L T ) = 1 et le processus 

(L t , t ∈ [0, T]) est une (F t )-martingale. 

Démonstration. Pour tout n ∈ {1, · · · , N}, notons θ(n) t = θ t 1 [tn−1 ,t n[(t). La condition de 

Novikov est satisfaite par θ(n) et le Théorème 3.4 montre que si on note 

(∫ t 

L t (θ(n)) = exp θ(n) s dB s − 1 ∫ t 

) 

‖θ(n) s ‖ 2 ds , 

2 

on a 

0 

E P 

[ 

Ltn (θ(n))|F tn−1 

] 

= Ltn−1 (θ(n)) = 1. 

On montre par récurrence sur n ≤ N que E P (L tn ) = 1. En effet, pour tout n ∈ {1, · · · , N} 

E P (L tn ) = E P 

[ 

Ltn−1 E P 

( 

Ltn (θ(n))|F tn−1 

)] 

= EP (L tn−1 ). 

Puisque t N = T, on en déduit que E P (L T ) = 1, ce qui entraîne la propriété de martingale 

de (L t ) comme on l’a vu dans le début de la démonstration du Théorème de Girsanov (le 

0 

) 

, 



processus (L t ) est une martingale locale positive, donc une surmartingale, dont l’espérance 

est constante). ✷ 

Le résultat suivant généralise le théorème de Novikov 3.4 pour des coefficient de dérive 

qui sont fonction du Brownien. Il suffit dans ce cas d’imposer une restriction sur la croissance 

du coefficient b(t, x). 

Proposition 3.6 (Beneš) Soit B un Brownien standard de dimension d, T > 0 et b : 

[0, T]×Ω → R d une fonction borélienne telle qu’il existe une constante K pour laquelle pour 

tout x ∈ R d , 

( ∫ t 

Alors si L t = exp b(s, B ∫ 

0 s)dB s − 1 t 

2 

est une (F t )-martingale. 

sup ‖b(t, x)‖ ≤ K(1 + ‖x‖). 

t∈[0,T] 

) 

0 ‖b(s, B s)| 2 ds 

, on a E(L T ) = 1 et (L t , 0 ≤ t ≤ T) 

Démonstration. Soit N et pour n ∈ {0, · · · , N}, t n = T . Pour tout n ∈ {1, · · · , N}, 

N 

∫ tn 

‖b(s, B s )‖ 2 ds ≤ 2K 2 T [ 

] 

1 + sup ‖B s ‖ 2 . 

t n−1 

N 0≤s≤T 

Pour toute constante c > 0, la convexité de la fonction x → exp[c(1 + ‖x‖ 2 )] entraîne que 

Y t = exp [ c(1 + ‖B t ‖ 2 ) ] est une sous martingale et pour C assez petit (tel que CT < 1 2 ) 

E P 

[ 

e 

C(1+‖B T ‖ 2 ) ] < +∞. L’inégalité de Doob montre alors que 

[ 

] [ 

) ] 2 [ ] 

E P e C(1+sup 0≤t≤T ‖Bt‖2 ) 

= E P sup 

(e C 2 (1+‖B‖2 t ) ≤ 4 E P e C(1+‖B T ‖ 2 ) 

< +∞. 

0≤t≤T 

La proposition 3.5 permet de conclure en choisissant des instants t n tels que ∆t = t n −t n−1 = 

2C < 1 . ✷ T 

Exemple 3.7 Le choix b(t, x) = λx et l’égalité B 2 t = 2 ∫ t 

0 B sdB s + t (qui découle immédiatement 

de la formule d’Itô) montrent que d’après la Proposition 3.6 le processus 

est une (F B t )-martingale. 

( 

t → exp λ B2 t − t 

− λ2 

2 2 

∫ t 

0 

B 2 s ds ) 

Le résultat suivant généralise le précédent à des coefficients de dérive qui sont fonction 

d’un processus plus général. Il faut par contrôler la restriction sur la croissance et les 

accroissements. 

Proposition 3.8 (Critère de Kazamaki) Si le processus (θ t ) est une martingale locale telle 

que le processus t → e 1 2 θt est une sous-martingale [ uniformément intégrable, alors l’exponentielle 

de Doléans-Dade Z t (θ) = exp θ ∫ ] 

∫ t 

0 s dB s − 1 t 

2 0 θ2 s ds est une martingale uniformément 

intégrable. 


3.5 Existence de solutions faibles 61 

Proposition 3.9 (Critère de non explosion) Soit T > 0, θ t = b(t, B s ) où b : [0, +∞[×R → 

R est une fonction telle qu’il existe une constante K telle que 

{ |b(t, x) − b(t, y)| ≤ K|x − y| , ∀x, y ∈ R , ∀t ≥ 0, 

sup t≤T |b(t, 0)| ≤ K. 

Alors le processus (Z t , t ∈ [0, T]) défini par 

(∫ t 

Z t (θ) = exp b(s, B s )dB s − 1 2 

0 

∫ t 

0 

) 

b(s, B s ) 2 ds 

est une (F t )-martingale. De façon plus générale, le processus t ↦→ Z t (θ) est une (F t )- 

martingale dès que l’EDS 

dX t = dB t + b(t, X t )dt , X 0 = 0 

a une unique solution faible sur tout l’intervalle [0, +∞[ (ce qu’on appelle sans explosion). 

3.5 Existence de solutions faibles 

Le théorème de Girsanov permet de montrer l’existence d’une solution faible à des EDS 

qui n’admettent pas forcément de solution forte. C’est une généralisation de la condition de 

Novikov qui permet de faire le changement de probabilité. 

Proposition 3.10 Soit B un Brownien standard à valeurs dans R d , T > 0 et b : [0, T]×Ω → 

R d une fonction borélienne telle qu’il existe une constante K pour laquelle pour tout x ∈ R d 

Alors pour tout x ∈ R d , l’EDS 

sup ‖b(t, x)‖ ≤ K(1 + ‖x‖). (3.4) 

t∈[0,T] 

X t = x + B t + 

∫ t 

0 

b(s, X s )ds , 0 ≤ t ≤ T (3.5) 

admet une solution faible sur l’intervalle [0, T]. De ( plus, si (Ω (i) , F (i) , (F (i) 

t ), P (i) , B (i) , X (i) ), 

∫ ) 

i = 1, 2 sont deux solutions faibles telles que P (i) T 

‖b(t, X(i) 

0 t )‖ 2 dt < +∞ = 1, les couples 

(B (i) , X (i) ) ont la même loi sur leurs espaces respectifs. 

Démonstration. Pour prouver l’existence d’une solution faible, soit (Ω, F, (F t ), P) un espace 

filtré et un Brownien B pour la filtration (F t ). Les conditions de restriction sur la croissance 

imposées à b et la Proposition 3.6 montrent que pour tout x ∈ R d , le processus 

( d∑ ∫ t 

Z t = exp b i (s, x + B s )dBs i − 1 ∫ ) 

t 

‖b(s, x + B s )‖ 2 ds , 0 ≤ t ≤ T, 

i=1 0 

2 0 

est une vraie martingale sous P. On en déduit que la mesure Q de densité Z T par rapport 

à P est une probabilité et que le processus 

W t = B t − 

∫ t 

0 

b(s, x + B s )ds , 0 ≤ t ≤ T, 

est un Brownien sous Q tel que W 0 = 0. Ceci revient à écrire que sous Q, le processus 

X t = x + B t satisfait X t = x + W t + ∫ t 

b(s, X 0 s)ds, et que (X, W, Q) est une solution faible 

de (3.5) avec la filtration de départ. 

On pourra lire la démonstration de l’unicité dans [7], page 304. ✷ 



3.6 Exemples d’application à des calculs d’espérance 

Le théorème de Girsanov permet de calculer simplement les espérances de fonctionnelles 

du Brownien. Nous traiterons trois exemples. 

1) Pour calculer 

(∫ T 

E P 

[B t exp θ s dB s − 1 ∫ T 

)] 

θs 2 

0 2 

ds , 

0 

pour t < T, et où ( θ est une fonction déterministe qui appartient à L 2 ([0, T]), introduisons la 

∫ T 

densité L T = exp θ ∫ 

0 sdB s − 1 T 

2 0 θ2 s 

), ds puis la probabilité Q de densité L T par rapport 

( ∫ 

à P sur FT B. Alors, sous P, la propriété de martingale de L t 

t = exp θ ∫ ) 

0 sdB s − 1 t 

2 0 θ2 sds 

pour la filtration naturelle du Brownien et le théorème de Girsanov montrent que si W t = 

B t − ∫ t 

θ 0 sds, 

∫ t 

) ∫ t 

E P (B t L T ) = E P (B t L t ) = E Q (B t ) = E Q 

(W t + θ s ds = θ s ds. 

Dans le cas particulier θ = 1, on en déduit E P 

( 

Bt e Bt ) 

= t e 

t 

2 (ce que l’on peut bien sûr 

retrouver en utilisant directement la loi de B t ). 

avec 

2) Reprenons le calcul du call fait dans la section 2.6.2. Rappelons qu’il nous faut calculer 

[ 

] 

C(t, x) = E e r(t−T) (˜S t,x 

T − K)+ , 

˜S 

t,x 

T 


(r− σ2 

2 

C(t, x) = E P 

[ 

) 

(T −t) . La loi de B T − B t est égale à celle de B T −t , donc 

e r(t−T) ( 

xe σB T −t+ 

(r− σ2 

2 

= E P 

[ 

xe σB T −t− σ2 

2 (T −t) 1 

{xe 

σB T −t +(r− σ2 

− Ke r(t−T) P 

Introduisons la densité de probabilité 

L T −t = exp 

(∫ T −t 

0 

σdB s − 1 2 

∫ T −t 

0 

(xe σB T −t+(r− σ2 

0 

) ) ] + 

(T −t) − K 

2 )(T −t) >K} 

2 )(T −t) > K 

) 

. 

) ( 

σ 2 ds = exp σB T −t − 1 ) 

2 σ2 (T − t) . 

Alors si Q désigne la probabilité de densité L T −t par rapport à P, W s = B s − σs est un 

(Fs B )-Brownien sous Q. De plus en écrivant B s = W s + σs, on en déduit 

⎛ 

⎞ 

( 

) 

) 

E P 

⎝xL T −t 1 ( ) ⎠ = xQ σW 

xe σB T −t + (r− σ2 

2 )(T −t) T −t + 

(r + σ2 

(T − t) > ln(K/x) . 

>K 2 

L’autre terme à calculer est similaire, puisqu’il s’écrit 

( 

) 

) 

Ke −r(T −t) P σB T −t + 

(r − σ2 

(T − t) > ln(K/x) . 

2 

] 

0 


3.6 Exemples d’application à des calculs d’espérance 63 

On en déduit immédiatement l’expression de C(t, x) trouvée dans la section 2.6.2 à l’aide 

de la fonction de répartition F de la gaussienne centrée réduite et des réels d 1 et d 2 , 

C(t, x) = xF(d 1 ) − Ke −r(T −t) F(d 2 ), 

[ ( ) 

1 xe 

r(T −t) 

d 1 = 

σ √ ln + 1 ] 

T − t K 2 σ2 (T − t) et d 2 = d 1 − σ √ T − t ; 

le lien entre d 1 et d 2 est évident. 

Remarquons d’ailleurs une formule importante sur la dualité call-put. Le put dual de C 

est défini pour t ∈ [0, T] par 

[ 

P(t, x) = E e r(t−T)( ) ] 

t,x + 

K − ˜S 

T 

. 

Clairement, 

[ ] 

C(t, x) − P(t, x) = e r(t−T) t,x 

E( ˜S 

T ) − K = x − K e −r(T −t) . 

Il est souvent plus judicieux de calculer le put (par simulation en utilisant une méthode de 

Monte-Carlo car sa variance est inférieure à celle du call, ce qui améliore la précision pour 

un nombre de simulations fixé), puis d’en déduire le call grâce à la formule de dualité. On 

pourra trouver directement la valeur du put en appliquant le théorème de Girsanov par une 

technique similaire à celle utilisée pour évaluer le call. 

Dans ce modèle, si on rapporte le prix de l’actif risqué à l’instant t à celui de l’actif sans 

risque, c’est à dire si on étudie 

¯S t = e −rt S t = e σBt+ “ 

” 

b−r− σ2 

2 t , 

le Théorème de Girsanov montre que si λ = b−r , à chaque instant T > 0 en choisissant la 

σ 

probabilité Q de densité 

) 

L T = exp 

(−λB T − λ2 

2 T 

par rapport à P, le processus (W t = B t + λt, 0 ≤ t ≤ T) est une (F t , 0 ≤ t ≤ T)-martingale 

sous Q et pour t ≤ T on a ¯S t = exp(σW t − σ2 

t). Ceci entraîne que sous Q, (¯S 2 t , 0 ≤ t ≤ T) 

est une (F t , 0 ≤ t ≤ T)-martingale. On dit que cette probabilité Q est la probabilité risque 

neutre. 

3) Enfin, pour calculer 

[ 

I = E P Φ(B T )e − λ2 R T 

] 

2 0 B2 s ds , 

on introduit pour t ∈ [0, T] 

L t = exp 

( 

−λ 

∫ t 

0 

B s dB s − λ2 

2 

∫ t 

0 

B 2 s ds ) 

. 

Le critère de de Beneš (Proposition 3.6) ou de non-explosion (Proposition 3.9) appliqué à 

la fonction b(s, x) = −λx montre que (L t , 0 ≤ t ≤ T) est une (F t )-martingale. De plus, la 

formule d’Itô (Exemple 3.7) montre que ∫ t 

B 0 sdB s = 1 2 (B2 t − t), c’est à dire que 

( 

∫ 

L t = exp −λ B2 t − t t 

) 

− λ2 

Bs 2 2 2 

ds . 

0 



De plus sous Q, W t = B t + λ ∫ t 

0 B sds est un Brownien, c’est à dire que sous Q, 

B t = W t − λ 

∫ t 

0 

B s ds 

est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck. D’après l’exercice 2.2, sous Q la variable aléatoire 

B t = e ∫ −λt t 

0 eλs dB s et suit une donc loi gaussienne N ( 0, 1 (1 − 2λ e−2λt ) ) . De plus 

( 

) ( ) 

I = E P L T e λ B2 T −T 

λ 2 Φ(B T ) = E B2 T −T 

Q 

2 Φ(B T ) , 

et cette dernière intégrale se calcule de façon explicite à l’aide de la densité de la gaussienne 

B T sous Q. 

3.7 Théorème de représentation prévisible 

Dans toute cette section, B est un Brownien standard et (Ft B ) est sa filtration naturelle 

(complétée). Cette hypothèse est cruciale. Nous ne manipulerons qu’une probabilité P et 

noterons E l’espérance sous P. Nous allons vérifier que dans ce cas, toute (Ft B )-martingale 

locale continue nulle en 0 peut être écrite comme l’intégrale stochastique d’un processus de 

H2 loc . 

Montrons tout d’abord une propriété de représentation des variables aléatoires F T - 

mesurables de carré intégrable pour P. 

Nous commençons par montrer un lemme technique sur une famille de variable aléatoires 

dense dans L 2 (FT B), qui explique comment la mesurabilité par rapport à la tribu FB T 

utilisée. 

Lemme 3.11 Pour tout T > 0, la famille de variables aléatoires {Ψ(B t1 , · · · , B tn ) : 0 < 

t 1 < · · ·t n ≤ T, ψ ∈ C ∞ 0 } est dense dans L2 (F B T ). 

est 

Démonstration. Soit (t k , k ∈ N) la suite des éléments de Q∩[0, T] et pour tout n ≥ 1, soit B n 

la tribu engendrée par les variables aléatoires B tk , 1 ≤ k ≤ n. La suite (B n ) est une filtration 

et la tribu B ∞ = σ(B ti , i ≥ 1) est égale à FT B. De plus, pour tout X ∈ L2 (FT B ), la suite de 

variables aléatoires X n = E(X | B n ), n ≥ 1 est une martingale qui converge vers X p.s. et 

dans L 2 . Par définition de B n , chaque variable aléatoire X n est de la forme g n (B t1 , · · · , B tn ), 

avec une fonction g n borélienne. Enfin, pour tout ǫ > 0, la variable aléatoire g n (B t1 , · · · , B tn ) 

peut être approchée dans L 2 (dP) à ǫ près par une variable aléatoire Ψ n (B t1 , · · · , B tn ) avec 

une fonction Ψ n de classe C ∞ à support compact. ✷ 

Théorème 3.12 Soit Z une variable aléatoire FT B -mesurable de carré intégrable. Il existe 

un unique processus (H t , 0 ≤ t ≤ T) appartenant à H2 T et tel que 

Z = E(Z) + 

∫ T 

0 

H s dB s . (3.6) 

Démonstration. L’unicité de H vient de l’unicité du processus d’Itô Z t = E(Z|F B t ) = E(Z)+ 

∫ t 

0 H sdB s pour 0 ≤ t ≤ T (qui est une martingale si H ∈ H T 2 ). 

Pour prouver l’existence, nous procéderons en trois étapes. 


3.7 Théorème de représentation prévisible 65 

(i) Notons H = { ∫ T 

H 0 sdB s : H ∈ H2 T }. C’est un sous-espace vectoriel de L2 (FT B ), ses 

éléments sont d’espérance nulle et il est isométrique à l’ensemble H2 T qui est fermé pour la 

norme L 2 ([0, T] × Ω) et la mesure dλ ⊗ dP. H est donc un sous-espace fermé de L 2 (FT B). 

Pour tout Z ∈ L 2 (FT B), notons ∫ T 

H 0 sdB s la projection orthogonale de Z − E(Z) sur H. 

Alors, 

Z = E(Z) + 

∫ T 

0 

H s dB s + ˜Z, 

où ˜Z est une variable aléatoire de carré intégrable, centrée et orthogonale à H. 

(ii) Montrons que ˜Z est orthogonale à l’ensemble 

{ (∫ T ∫ T 

) 

1 

E = exp f(s)dB s − 

2 f(s)2 ds 

0 

0 

} 

: f ∈ L 2 ([0, T]) . 

Soit f ∈ L 2 ([0, T]); alors ∫ T 

f(s)dB 0 s est une variable aléatoire gaussienne N(0, ∫ T 

( 0 f(s)2 ds) 

∫ T 

et la variable aléatoire X = exp f(s)dB ∫ ) 

0 s − 1 T 

2 0 f(s)2 ds est une densité de Girsanov 

d’espérance égale à 1 (on remarque que la condition de Novikov est satisfaite). Il suffit de 

montrer que si X ∈ E, X − 1 ∈ H. Soit X ∈ E et pour tout t ∈ [0, T], soit 

ξ t = 

∫ t 

0 

f(s)dB s − 1 2 

∫ t 

0 

f(s) 2 ds , et M t = exp(ξ t ). 

Alors, X = M T = exp(ξ T ). 

La formule d’Itô montre que la martingale exponentielle M est solution de l’EDS dM t = 

M t dξ t + 1M 2 tf(t) 2 dt = M t f(t)dB t . On en déduit que 

X = M T = 1 + 

∫ T 

0 

M t f(t)dB t 

et il reste donc à prouver que t → M t f(t) ∈ H2 T . Le théorème de Fubini entraîne 

(∫ T 

) ∫ T 

E Mt 2 f(t)2 dt = E(Mt 2 )f(t)2 dt 

0 

= 

= 

0 

∫ T 

0 

∫ T 

0 

E 

[e R t 

R t 

0 2f(s)dBs−1 2 0 

ds]e R 4f(s)2 t 

0 f(s)2ds f(t) 2 dt 

e R t 

0 f(s)2 ds f(t) 2 dt. 

Si ‖f‖ 2 2 = ∫ ( 

T 

∫ ) 

T 

0 f(s)2 ds, on en déduit que E 

0 M2 t f(t) 2 dt 

≤ ‖f‖ 2 2 exp(‖f‖ 2 2) < +∞. 

(iii) Il reste à montrer que toute variable aléatoire Y orthogonale à E est nulle p.s., c’est 

à dire que l’espace vectoriel engendré par E est dense dans L 2 (FT B). 

Soit X ∈[ 

L 2 (FT B )( tel que pour tout Y ∈ E, E(XY ) = 0. Alors, pour toute fonction f ∈ 

∫ )] 

L 2 T 

([0, T]), E X exp f(s)dB 0 s = 0. Considérons une subdivision t 0 = 0 < t 1 < · · · < 

t n ≤ T et soit f = ∑ n 

j=1 a j1 ]tj−1 ,t j ] une fonction étagée. Pour tout choix de la subdivision et 

des constantes b j = a j − a j+1 pour j < n et b n = a n , on en déduit que 

[ ( n∑ 

)] 

Φ(b) = E X exp b j B tj = 0, ∀b ∈ R n . 

j=1 



Par prolongement analytique, on en déduit que Φ(b) = 0 pour tout b ∈ C n . 

Soit Ψ une fonction de classe C ∞ à support compact et ˆΨ sa transformée de Fourier 

définie par ˆΨ(y) = ∫ Ψ(x) exp[i(x, y)]dx. La formule d’inversion de Fourier montre alors 

R n 

que Ψ(x) = (2π) ∫ −n ˆΨ(y) exp[−i(x, y)]dy. On en déduit en appliquant le théorème de 

R n 

Fubini 

∫ ( 

E [XΨ(B t1 , · · · , B tn )] = (2π) −n ˆΨ(y)E X(ω)e −i[y 1B t1 (ω)+···+y nB tn (ω)] ) dy 

R n 

= (2π) −n ∫R n ˆΨ(y)Φ(−iy)dy = 0. 

Le lemme 3.11 termine la démonstration. 

✷ 

Le théorème suivant est très important en finance. Il permet de trouver des portefeuilles 

de couverture. 

Théorème 3.13 (Théorème de représentation des martingales Browniennes) Soit B un 

Brownien standard, (Ft B ) sa filtration naturelle, M une (Ft B )-martingale locale. Alors il 

existe x ∈ R et θ ∈ H2 loc tels que 

M t = x + 

∫ t 

0 

θ s dB s . 

Si M est une vraie (F B t )-martingale de carré intégrable, alors θ ∈ H 2. 

Démonstration. Supposons que M est une martingale de carré intégrable et que M 0 = 0. 

Fixons T > 0; d’après le Théorème 3.12, il existe un processus (θ T t , 0 ≤ t ≤ T) ∈ H T 2 

tel que M T = ∫ T 

0 θT t dB t p.s. L’unicité montre que si T < T ′ , les processus θ T et θ T ′ sont 

égaux dt ⊗ dP-p.p. sur [0, T] × Ω. On peut donc définir presque partout un processus θ en 

posant H t = H T t pour 0 ≤ t ≤ T. On en déduit que θ . 1 [0,T] (.) appartient à H T 2 et que 

M T = ∫ T 

0 θ sdB s . 

Le résultat sur les (Ft B )-martingales locales est admis; on remarquera que dans ce cas, 

ces martingales locales sont automatiquement continues. ✷ 

Signalons enfin que dans certains cas, la formule de Clark-Ocone - voir [9] - donne une 

représentation explicite du processus θ. 

3.8 Exercices 

Exercice 3.1 Soit B un Brownien de dimension 1, α et β des constantes positives. On veut 

calculer 

∫ t 

) 

I = E 

(−αB t 2 − β2 

B 2 

2 

sds . 

1. Montrer que le processus défini par 

L β t = exp 

(− β 2 (B2 t 

est une (F t )-martingale sous P. 

0 

− t) − 

β2 

2 

∫ t 

0 

B 2 s ds ) 



2. Soit Q la probabilité définie par dQ |Ft = L β t dP |Ft . Montrer que sous la probabilité Q, 

B t = W t − β ∫ t 

B 0 sds où W est un Brownien. 

3. En déduire que 

( 

I = E Q exp(−αBt 2 + β ) 

2 (B2 t − t)) . 

En utilisant l’exercice 2.2, en déduire que I = 

4. En déduire que pour tout λ ∈ R, 

( 

E P 

[exp −λ 

∫ t 

0 

(cosh(βt) + 2α β sinh(βt) ) − 

1 

2 

. 

)] ( 

Bsds 

2 = cosh( √ ) − 

1 

2 

2λt) . 

Exercice 3.2 Soit (h t ) et (H t ) des processus (F t )-adaptés de dimension r et B un (F t )- 

Brownien de dimension r. Notons M t = ∑ r 

∫ t 

k=1 0 hk s dBk s et N t = ∑ r 

∫ t 

k=1 0 Hk s dBk s . On 

suppose que h satisfait la condition de Novikov et on note Q la probabilité de densité 

exp ( M t − 1〈M〉 2 t) 

sur Ft . Montrer que le processus (N t − 〈M, N〉 t ) est une (F t )-martingale 

sous Q. 

Exercice 3.3 Soit α, β et γ des constantes réelles. 

( ∫ ) ( 

t 

∫ ) 

t 

1. Calculer E ds , puis E e 

0 eBs αBt ds . 

0 eβBs 

2. Soit A(t, γ) = ∫ t 

0 eBs+γs ds. En utilisant le théorème de Girsanov, montrer que le calcul 

de E(A(t, γ)) se ramène au cas γ = 0. Peut-on calculer directement E(A(t, γ))? 

Exercice 3.4 Soit (B t ) un Brownien de dimension 1, α, β et σ des fonctions déterministes 

bornées de R dans R. On suppose que σ ne s’annule pas et on note b(t) = ∫ t 

β(s)ds. On 

0 

note enfin (r t ) le processus solution de l’EDS 

dr t = σ(t) dB t + [α(t) − β(t) r t ] dt , r 0 ∈ R. 

1. Montrer que 

r t = e −b(t) (r 0 + 

∫ t 

0 

σ(u)e b(u) dB u + 

∫ t 

0 

) 

α(u)e b(u) du . 

2. Calculer E(r t ) et Cov(r s , r t ) pour 0 ≤ s ≤ t. 

3. Soit θ(s) = − α(s) ; on suppose que θ est bornée et on note 

σ(s) 

(∫ t 

L t = exp θ(s)dB s − 1 

0 2 

∫ t 

0 

) 

θ(s) 2 ds . 

On note Q 1 la mesure sur F t de densité L t par rapport à P et W 1 

t = B t − ∫ t 

0 θ(s)ds. 

Montrer que (r t e b(t) , t ≥ 0) est une (F t )- martingale sous Q 1 . 

4. Soit (Z t ) la solution de l’EDS dZ t = Z t 

β(t) 

σ(t) L t dW 1 

t et Z 0 = 1. Notons Q 2 la probabilité 

sur F t de densité Z t par rapport à P. Montrer que (r t ) est une (F t )-martingale sous 

Q 2 . 


68 4 Applications à la finance 

4 Applications à la finance 

Conventions de notations 

Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé, (B t , 0 ≤ t ≤ T) un Brownien standard de dimension 

k, (F t , 0 ≤ t ≤ T) sa filtration naturelle complétée. 

4.1 Modélisation d’un marché financier en temps continu 

Reprenons de façon plus générale le modèle décrit dans la section 2.6.2. 

4.1.1 Modélisation d’un marché à d actifs risqués et k facteurs 

On considère un marché financier sur lequel les actifs sont négociés en temps continu. 

Certains de ces actifs dits risqués sont aléatoires et décrits à l’aide d’un Brownien standard 

k-dimensionnel B. 

Le marché comprend d + 1 actifs de base (St i , 0 ≤ i ≤ d, t ≥ 0) et de leurs produits 

dérivés. On suppose qu’aucun de ces actifs ne verse de dividende, qu’il n’y a pas de coût 

de transaction, que l’on peut acheter et vendre en temps continu et que les actifs sont 

indéfiniment divisibles (leur valeur est un nombre réel). On suppose enfin qu’à chaque instant 

la valeur de l’actif i, soit St, i est un processus d’Itô construit à partir de B et à valeurs 

p.s. strictement positives. On note S t = (St 0, · · · , Sd t ) pour tout t ≥ 0. Tous les résultats 

s’étendraient au cas de semi-martingales continues presque sûrement positives. 

Exemple 4.1 Modèle de Black & Sholes Par exemple dans le modèle de Black & Sholes 

de la section 2.6.2, l’actif S 0 est sans risque tel que dSt 0 = rS0 dt et S0 0 = 1, c’est à dire que 

St 0 = e rt . On dispose aussi d’un actif risqué qui est un Brownien géométrique solution de 

l’EDS dSt 1 = σS1 t dB t + bSt 1dt. On sait que si S1 0 > 0, S1 t > 0 p.s. pour tout t ≥ 0. 

On verra dans la suite un modèle de Black & Sholes généralisé dans lequel l’actif ( sans ∫ ) 

risque a un taux d’intérêt r t ∈ H1 loc , c’est à dire toujours avec S0 0 = 1, que St 0 t 

= exp r 0 sds 

et les d actifs risqués S i , 1 ≤ i ≤ d sont des processus d’Itô généraux à valeurs strictement 

positives On appelle alors volatilité stochastique de l’actif S i à l’instant t le quotient 

(σj i(t), 1 ≤ j ≤ k) entre le coefficient de diffusion et le cours Si t et on note de même bi (t) le 

rapport entre le coefficient de dérive et le cours, c’est à dire que pour tout i = 1, · · · , d, 

dS i t = 

k∑ 

σj(s)S i sdB i s j + b i (s)Ssds. 

i 

j=1 

Définition 4.2 Un numéraire est un actif dont le cours est processus d’Itô (S t ) tel que 

S t > 0 p.s. pour tout t. 

On prend l’actif S 0 du modèle de Black & Sholes généralisé comme numéraire avec 1 

comme unité monétaire( à la date 0, c’est à dire S0 0 = 1. A la date t > 0, on rapporte la valeur 

∫ ) 

des actifs à St 0 t 

= exp r 0 sds , ce qui revient à comparer leurs performances à celles de 

l’actif sans risque en les comparant à 1. Un autre actif X t vaut, dans cette nouvelle « unité » 

˜X t = X ( ∫ t 

) 

t 

= X 

St 

0 t exp − r s ds . 

0 


4.1 Modélisation d’un marché financier en temps continu 69 

On dispose également d’actifs « contingents » ou « dérivés » dont l’évolution des prix 

dépend de celle des actifs de base S i , 0 ≤ i ≤ d. Plus précisément, on se donne à une date 

T > 0 appelée « maturité » de l’actif sa valeur ζ qui peut dépendre de toutes les trajectoires 

des actifs de base (St i , i = 0, · · · , d, 0 ≤ t ≤ T). La valeur de l’actif à l’instant T est donc 

une variable aléatoire F T -mesurable. Pour un call européen dans le cas du modèle de Black 

& Sholes, on a ζ = (ST 1 − K)+ . 

On cherche à « dupliquer » l’actif contingent ζ. On dispose d’une somme initiale qui est 

à chaque instant répartie entre les divers actifs de base sans adjonction ni retrait d’argent, 

de telle sorte qu’à la date T, la somme des placements faits sur ces actifs soit égale à ζ. Le 

but est de trouver l’investissement initial et la façon de répartir à chaque instant la somme 

dont on dispose entre les divers actifs pour qu’à la date T l’investissement global sur les 

d + 1 actifs soit ζ. 

4.1.2 Description des stratégies 

Formalisons cette duplication par la définition suivante. 

Définition 4.3 Une stratégie est un processus Θ = ( (θs 0, · · · , θd s ), s ∈ [0, T]) tel que chaque 

composante θ i soit (F t )-progressivement mesurable et ∫ t 

0 θi s dSi s existe pour tout i = 0, · · · , d. 

Dans le cas du modèle de Black & Sholes à deux actifs à coefficients constants, puisque 

les processus S 0 et S 1 sont à trajectoires continues, donc p.s. bornées sur [0, T], il suffit 

donc d’imposer que les coefficients θ 0 ∈ H1 loc et θ 1 ∈ H2 loc . En effet, dans ce cas les 

intégrales déterministes ∫ t 

0 θ0 se rs ds, ∫ t 

0 θ1 sbSsds 1 et l’intégrale stochastique ∫ t 

0 σθ1 sSsdB 1 s seront 

bien définies. 

Rappelons les hypothèses faites sur le marché (décrites dans la section 2.6.2) : 

– Il n’y a aucun coût de transaction pour l’achat et la vente de titres. 

– On permet la vente à découvert sans limite, c’est à dire que les θt i peuvent prendre des 

valeurs négatives et ne sont pas minorés. 

– Les actifs sont indéfiniment divisibles, c’est à dire que l’on peut acheter un vendre 

une proportion arbitraire d’un titre; les processus θ i peuvent donc prendre toutes les 

valeurs réelles. 

– Le « trading » se fait en temps continu, c’est à dire que l’on peut acheter ou vendre à 

chaque instant réel t ∈ [0, T]. 

La valeur du portefeuille V Θ 

t 

associé à la stratégie Θ à l’instant t est 

V Θ 

t = (θ t , S t ) = 

d∑ 

θtS i t. i (4.1) 

Le fait qu’on n’ajoute ni retire de l’argent est modélisé par la définition suivante : 

Définition 4.4 Une stratégie Θ est autofinancée (ou le portefeuille V Θ associé est autofinancé) 

si pour tout t ∈ [0, T], Vt 

Θ = V0 Θ + ∑ d 

∫ t 

i=0 0 θi s dSi s p.s. 

Les changements de valeur du portefeuille viennent dont uniquement de la répartition des 

placements entre les divers actifs de base et des changements de valeur de ces actifs. 

Nous serons amenés dans la suite à changer de numéraire afin que les processus qui 

modélisent le prix des actifs de base ainsi actualisés aient des propriétés de martingale. Le 

résultat suivant montre que le caractère autofinancé n’est pas affecté par un tel changement. 

i=0 



Proposition 4.5 Soit (X t , t ∈ [0, T]) un numéraire, Si t 

X t 

le prix à l’instant t de l’actif actualisé 

après changement de numéraire. Si la stratégie Θ est autofinancée, le portefeuille 

actualisé après changement de numéraire V t 

Θ 

X t 

reste autofinancé. 

Démonstration. Puisque X est un processus d’Itô strictement positif, Y = 1 est également 

X 

un processus d’Itô strictement positif et la formule d’Itô entraîne que pour tout i = 0, · · · , d, 

( ) S 

i 

d t 

= d(St i X Y t) = St i dY t + Y t dSt i + d〈Si , Y 〉 t . 

t 

Si le processus V Θ est autofinancé, dVt 

Θ 

en déduit en appliquant de nouveau la formule d’Itô 

d 

( ) V 

Θ 

t 

X t 

= Vt Θ dY t + Y t dVt 

Θ + d〈V Θ , Y 〉 t 

= 

i=0 

= ∑ d 

i=0 θi tdS i t p.s. et V Θ est un processus d’Itô. On 

d∑ [ 

θ 

i 

t St i dY t + Y t θt i dSi t + ] 

d∑ 

( ) S θi t d〈Si , Y 〉 t = θt i i d t 

. ✷ 

X t 

i=0 

La notion suivante est également conservée par un changement de numéraire. 

Définition 4.6 Une stratégie Θ est à richesse positive si elle et autofinancée et si pour tout 

t ∈ [0, T], Vt 

Θ ≥ 0 p.s. 

Si on actualise avec comme numéraire l’actif non risqué S 0 , les prix actualisés des actifs 

de base sont ˜S t = (1, ˜S t 1, · · · , ˜S t d ). Ce sont de nouveaux processus d’Itô et un portefeuille est 

autofinancé si et seulement si après actualisation 

dṼ Θ 

t = 

d∑ 

θtd i ˜S t, i ∀t ∈ [0, T]. 

i=1 

On en déduit qu’un portefeuille autofinancé est entièrement déterminé par sa valeur initiale 

V0 Θ et les quantités investies sur les actifs risqués (θt i , i = 1, · · · , d, t ∈ [0, T]). En effet, 

d ˜S t 0 = 0, Ṽ 0 Θ = V0 Θ, 

Ṽ Θ 

t 

= V Θ 

0 + d∑ 

i=1 

∫ t 

0 

θ i s d ˜S i s et θ 0 t 

peut être déduit par Ṽ 

Θ 

t 

d∑ 

= θt 0 + θt i ˜S t i . 

Puisque après actualisation l’actif non risqué est constant, c’est une martingale (triviale). 

On souhaiterait transformer les autres actifs en martingales. Le chapitre précédent a montré 

que ceci était possible au prix d’un changement de probabilité qui peut annuler le terme de 

dérive. 

4.1.3 Absence d’opportunité d’arbitrage - Mesure martingale équivalente 

Ceci amène à la définition suivante de stratégie admissible. 

Définition 4.7 (i) On appelle mesure martingale équivalente une probabilité Q équivalente 

à P telle que sous Q les prix actualisés ˜S i , i = 1, · · · , d sont des (F t )-martingales. Plus 

précisément, on suppose qu’il existe un Brownien W sous Q tel que d ˜S t i = ∑ k 

j=1 Hi j (t)dW j 

t . 

(ii) Soit Q une mesure martingale équivalente. On dit que la stratégie Θ est Q-admissible 

si elle est autofinancée et si (Ṽ t Θ , 0 ≤ t ≤ T) est une (F t , 0 ≤ t ≤ T) martingale sous Q. 

i=1 


4.1 Modélisation d’un marché financier en temps continu 71 

La notion suivante est fondamentale; elle traduit que le marché fonctionne correctement 

et qu’il n’y a pas de « free lunch », c’est à dire de moyen de gagner une somme strictement 

positive à l’instant T en n’ayant rien investi au départ. C’est la notion inverse (possibilité 

de « free lunch » ) qui est décrite dans la définition suivante : 

Définition 4.8 (Opportunité d’arbitrage) Une stratégie autofinancée Θ est appelée possibilité 

d’arbitrage si 

(i) V0 Θ = 0 et VT 

Θ ≥ 0 p.s. 

(ii) P(VT Θ > 0) > 0. 

Un marché sain doit avoir la propriété d’absence d’opportunité d’arbitrage, notée 

AOA. Deux probabilités équivalentes ayant les mêmes ensembles négligeables, dans la définition 

d’opportunité d’arbitrage, on peut remplacer P par une mesure martingale équivalente 

Q. 

Le résultat suivant montre que l’existence d’une mesure martingale équivalente Q exclut 

l’opportunité d’arbitrage quand on se restreint aux stratégies Q-admissibles ou bien à richesse 

positive. Dans le cas du modèle de Black & Sholes nous verrons qu’il y a équivalence 

entre cette dernière propriété et AOA. 

Théorème 4.9 S’il existe une mesure martingale équivalente Q, alors : 

(i) il y a absence d’opportunité d’arbitrage parmi les stratégies Θ qui sont Q-admissibles. 

(ii) il y a absence d’opportunité d’arbitrage parmi les stratégies Θ à richesse positive. 

Démonstration. 

(i) Soit Θ une stratégie admissible. Alors V0 Θ = Ṽ 0 Θ = E Q (Ṽ T Θ | F 0) = E Q (Ṽ T Θ Θ 

). Si ṼT ≥ 0, 

Q p.s. et si P(VT 

Θ 

Θ 

Θ 

> 0) > 0, on en déduit que P(ṼT 

> 0) > 0, puis que Q(ṼT > 0) > 0 

puisque P et Q sont équivalentes. On a donc E Q (Ṽ T Θ 

Θ 

) > 0, ce qui exclut V0 = 0. 

(ii) Soit Θ une stratégie à richesse positive; si on note d ˜S t i = ∑ k 

j=1 Hi j (t)dW j 

t pour 

t ∈ [0, T], où (W t , 0 ≤ t ≤ T) est un Q Brownien standard de dimension k, alors pour 

tout t ∈ [0, T], dṼ t 

Θ = ∑ d 

∑ k 

i=1 j=1 θi t Hi j (t)dW j 

t Q p.s. On en déduit que Ṽ Θ est une (F t )- 

martingale locale positive sous Q; c’est donc une surmartingale (cf. Exercice 1.4 (i)). On 

a donc pour tout t ∈ [0, T], E Q (Ṽ t Θ |F 0 ) ≤ Ṽ 0 Θ = V0 Θ Q p.s. Donc si Θ est une possibilité 

d’arbitrage, E Q (Ṽ T Θ 

Θ 

) ≤ 0. D’autre part, puisque ṼT 

≥ 0 P p.s., donc Q p.s puisque P et Q 

sont équivalentes, on en déduit Ṽ T 

Θ = 0 Q p.s., donc P p.s., ce qui fournit une contradiction. 

✷ 

Il faut prendre garde à une difficulté propre au temps continu : l’existence d’une mesure 

martingale équivalente n’entraîne pas l’absence d’opportunité d’arbitrage sans restriction 

sur les stratégies. En effet, si Z est une variable aléatoire FT B -mesurable de carré intégrable 

centrée (non identiquement nulle), le théorème 3.12 montre qu’il existe H ∈ H2 T (sous Q) 

telle que Z = ∫ T 

H 0 tdW s . On peut en déduire dans le modèle de Black & Sholes une stratégie 

autofinancée Θ = (θt,θ 0 t 1 ) telle que Ṽ 0 Θ = 0 et Ṽ T Θ = Z. 

4.1.4 Probabilité risque neutre 

Dans toute cette section, on suppose qu’il existe une mesure martingale Q 

équivalente à P. 

Définition 4.10 On dit qu’un actif donné par sa valeur à l’instant terminal T par une 

variable aléatoire F T -mesurable ζ est Q-duplicable s’il existe une stratégie Θ Q-admissible 



telle que ζ est la valeur terminale du portefeuille associé, c’est à dire si ζ = VT 

Θ Q presque 

sûrement. On dit alors que la stratégie Θ duplique l’actif à l’instant T, ou est « duplicante ». 

Ceci veut dire intuitivement que le portefeuille duplique l’actif « dans tous les états du 

monde » c’est à dire pour P (ou Q) presque tout ω. 

On montrera à titre d’exercice que si un actif est duplicable à l’instant T il le reste après 

changement de numéraire avec la même stratégie. 

Le résultat suivant montre que la valeur du portefeuille à tout instant t ≤ T est 

indépendante de la stratégie duplicante (mais peut dépendre de Q). 

Théorème 4.11 Soit T > 0, ζ un actif dérivé (une variable aléatoire F T -mesurable) Q- 

duplicable. Alors si Θ est une stratégie duplicante et V Θ le portefeuille associé, pour tout 

instant t ∈ [0, T], Vt 

Θ = St 0 E Q (Ṽ T Θ|F 

T) (Q ou P p.s.) est indépendant de la stratégie duplicante. 

On l’appelle le prix de l’option à l’instant t. 

Démonstration. Pour tout t ∈ [0, T], Ṽ Θ 

t 

V Θ 

t 

= E Q (Ṽ T Θ|F 

t), c’est à dire que Q p.s. 

) 

∣ 

∣F t , 

= S 0 t E Q 

( ζ 

S 0 T 

est indépendant de la stratégie Θ. 

✷ 

De façon évidente, si une stratégie Q-admissible Θ duplique un actif ζ ≥ 0, elle est à 

richesse positive. Cependant, une stratégie à richesse positive ne détermine pas de façon 

unique le prix du produit dérivé. En effet Harrison et Pliska ont montré qu’il existe une 

stratégie Φ à richesse positive telle que V0 Φ = 1 et VT 

Φ = 0; cette stratégie est parfois 

appelés stratégie suicide. Clairement, si Θ est une stratégie qui duplique ζ, Θ + Φ duplique 

également ζ. 

En revenant au modèle de Black & Sholes, nous avons vu à la fin du chapitre précédent 

que si λ = b−r, 

la probabilité Q de densité exp(−λB σ T − λ2 T) par rapport à P telle que sous 

2 

Q ( ˜S t = e −rt S t , t ≥ 0) est une Q-martingale et le calcul précédent montre que sous Q, si ζ 

est une variable aléatoire F T -mesurable, 

V Θ 

t = e −r(T −t) E Q (ζ|F t ) = e rt E Q (e −rT ξ|F t ). 

Sous Q, l’actualisation de l’espérance conditionnelle E Q (ζ|F t ) se fait à l’aide du facteur 

exponentiel exp(−r(T − t)), c’est à dire avec le coefficient d’actualisation r. Les coefficients 

de la diffusion S ont disparu de cette formule, comme si les investisseurs étaient neutres par 

rapport au risque. On appelle Q la probabilité risque neutre. La probabilité P de départ 

est appelée probabilité « réelle » , « historique » ou « objective ». 

Le problème qui subsiste est la possibilité de dupliquer un actif. 

Définition 4.12 (i) On dit que le marché est complet si tout actif est duplicable. 

(ii) Soit Q une mesure martingale équivalente. On dit que le marché est Q-complet si 

pour toute variable aléatoire F T -mesurable ζ telle que ζ ∈ L 1 (Q), l’actif de valeur terminale 

ST 

0 

ζ est Q-duplicable. 

Remarquons que par absence d’opportunité d’arbitrage, on a naturellement unicité de 

la mesure martingale équivalente Q telle que le marché est Q-complet. 


4.2 Modèle de Black & Sholes généralisé 73 

Théorème 4.13 Supposons que le marché est complet. Notons Q 1 et Q 2 sont deux martingales 

mesures équivalentes telles que le marché soit Q i -complet, i = 1, 2. Alors on a 

Q 1 | FT = Q 2 | FT . 

Démonstration. Soit A ∈ F T . Alors 1 A ∈ L 1 (Q) et ST 01 A est F T -mesurable; c’est la valeur 

terminale d’une stratégie Q i -admissible Θ i , i = 1, 2. On en déduit 

( ) S 

0 

V0 Θi 

= Ṽ 0 Θi 

= E Qi (Ṽ T Θi 

) = E T 1 A 

Q i 

= Q 

ST 

0 i (A). 

D’après le Théorème 4.11, la valeur du portefeuille duplicant est indépendante de la stratégie; 

à l’instant 0 ceci traduit une absence d’opportunité d’arbitrage. On en déduit que V0 Θ1 = 

V0 Θ2 , et donc Q 1 (A) = Q 2 (A). ✷ 

4.2 Modèle de Black & Sholes généralisé 

Nous généralisons tout d’abord le modèle de Black & Sholes à un seul actif risqué que 

nous avons décrit dans les chapitres précédents et montrons que dans ce cas plus général il 

existe également une mesure martingale équivalente Q dès qu’il y a absence d’opportunité 

d’arbitrage. 

De plus, nous donnons des conditions suffisantes pour que le marché soit Q-complet et 

calculerons la stratégie de couverture d’une option, c’est à dire la stratégie duplicante Θ et 

la valeur de l’option à chaque instant. ( ∫ ) 

Soit r un processus dans H1 loc et St 0 t 

= exp r 0 sds . 

On dispose d’autre part de d actifs risqués S i , i = 1, · · · , d qui sont des processus d’Itô de 

la forme 

k∑ 

∫ t 

∫ t 

St i = Si 0 + σj i (s)Si s dBk s + b i (s)S i (s)ds , (4.2) 

j=1 

0 

où B est un Brownien standard de dimension k, les processus (σj i(s), 0 ≤ s ≤ T) et (bi (s), 0 ≤ 

s ≤ T) sont progressivement mesurables et tels qu’il existe une constante M > 0 telle que 

sup 0≤t≤T (‖σ(t)‖ + ‖b(t)‖) ≤ M. Alors d’après l’exercice 2.4 pour tout i = 1, · · · , d, 

(∫ t ∫ t 

St 

i = exp σ i (s)dB s + (b i (s) − 1 ) 

0 

0 2 ‖σi (s)‖ 2 )ds 

(4.3) 

( k∑ ∫ t 

∫ [ 

) 

t 

:= exp σj i (s)dBj s + b i (s) − 1 k∑ 

|σj ]ds 

i 

j=1 0 

0 2 

(s)|2 . 

j=1 

De plus, l’équation (4.3) est aussi vérifiée si les S i sont des processus d’Itô (donc continus) 

tels que dSt i = ∑ k 

j=1 Hi k (s)dBk s +H0(s)ds i et tels que si on note σk i(t) = Hi k (t) 

pour i = 1, · · · , d 

St 

i 

et b i (t) = Hi 0 (t) , ∫ T 

S i (t) 0 (‖σ(s)‖2 + ‖b(s)‖)ds < +∞ p.s. 

4.2.1 Absence d’opportunité d’arbitrage et changement de probabilité - Prime de 

risque 

Nous avons vu dans la section précédente que l’existence d’une mesure martingale équivalente 

Q entraîne l’absence d’opportunité d’arbitrage parmi les stratégies à richesse positive. 

Montrons la réciproque dans ce modèle. 

0 



Supposons qu’il y a absence d’opportunité d’arbitrage parmi les stratégies à richesse 

positive. 

Plaçons-nous d’abord dans le cas particulier k = 1 et d = 2 afin de dégager la notion 

de prime de risque attachée à un facteur. Dans ce cas, un portefeuille autofinancé est 

entièrement déterminé par sa valeur initiale V0 Θ et les quantités θt i , i ∈ {1, 2}, t ∈ [0, T] 

investies à chaque instant sur les deux actifs risqués. Pour tout t ∈ [0, T], notons θt 1 = σt 2 St 

2 

∫ 

et θt 

2 = −σt 1S1 t . La continuité de Si et les propriétés de σ i montrent que les intégrales 

t 

0 θi s dSi s sont bien définies et (θ1 t , θ2 t ) est donc une stratégie autofinancée. Pour tout t ∈ [0, T], 

St 0 = exp(∫ t 

r 0 sds), et 

d ˜S 

( 

t i = d e − R ) 

t 

0 rsds St 

i = σt i ˜S t i dB t + (b i t − r t) ˜S t i dt, 

ce qui entraîne (grâce à la simplification des coefficients de dB t ) 

dṼ Θ 

t 

= σ 2 t S2 t d ˜S 1 t − σ1 t S1 t d ˜S 2 t = e− R t 

0 rsds S 1 t S2 t [σ2 t (b1 t − r t) − σ 1 t (b2 t − r t)]dt. 

Ce portefeuille est donc sans risque et l’absence d’opportunité d’arbitrage montre que son 

rendement est égal à r t , c’est à dire nul quand les prix sont actualisés par changement de 

numéraire. En effet, notons φ(t) = e − R t 

0 rsds St 1S2 t [σ2 t (b1 t −r t) −σt 1(b2 t −r t)], et supposons qu’il 

existe un ensemble A ⊂ [0, T] × Ω tel que dλ ⊗ P(A) > 0 et φ(t)(ω) ≠ 0 sur A. Notons s(t) 

le signe de φ(t) lorsque φ(t) ≠ 0 et posons pour i = 1, 2, 

Alors la stratégie Ψ = (ψ 1 , ψ 2 ) est telle que 

ψ i (t) = s(t)θ i (t) sur A et ψ i (t) = 0 sur A c . 

dṼ Ψ 

t = |φ(t)|dt surA, dṼ Ψ 

t = 0 surA c . 

La stratégie Ψ est une opportunité d’arbitrage et on en déduit donc que b1 t −rt 

σ 1 t 

= b2 t −rt . 

σt 

2 

Ce quotient noté λ t sera appelé prix du marché du risque B t à la date t. Il quantifie 

l’arbitrage qui est fait à l’instant t entre de rendement et le risque dans la constitution du 

portefeuille. 

Revenons au modèle général. Pour tout t ∈ [0, T], la matrice σ(t) définit une application 

linéaire aussi notée σ(t) : R k → R d de matrice σ(t) dans la base canonique, c’est à dire 

telle que pour tout x = (x 1 , · · · , x k ) ∈ R k et tout i = 1, · · · , d, (σ(t)x) i = ∑ k 

j=1 σi j(t)x j . On 

cherche un vecteur λ t = (λ 1 t, · · · , λ k t ) tel que pour tout i = 1, · · · , d, b i (t)−r t = ∑ k 

j=1 σi j(t)λ k t , 

c’est à dire que λ j t est la prime de risque du Brownien B j t à l’instant t. En identifiant un 

vecteur de R k à la matrice colonne de ses composantes dans la base canonique, et en notant 

¯1 = (1, · · · , 1) ∈ R d , ceci revient à résoudre l’équation 

b(t) − r t¯1 = σ(t)λ t . 

Le théorème suivant montre l’existence du vecteur des primes de risque de marché λ. 

Théorème 4.14 Supposons qu’il y a absence d’opportunité d’arbitrage parmi les stratégies 

à richesse positive. Alors il existe λ : [0, T] × Ω → R k progressivement mesurable tel que 

pour tout t ∈ [0, T], b(t) − r t¯1 = σ(t)λ t . 



Démonstration. Montrons que le vecteur b(t) − r t¯1 ∈ Im (σ(t)). Nous admettrons alors que 

le choix de λ peut être fait de façon progressivement mesurable. 

Ceci revient à prouver que b(t) − r t¯1 est orthogonal à tout vecteur du noyau de l’application 

linéaire adjointe de σ(t) : R k → R d notée σ ∗ (t) : R d → R k , définie pour tout 

y ∈ R k et tout z ∈ R d , (σ(t)y, z) R d = (y, σ ∗ (t)z) R k et associée à la matrice transposée de 

σ(t). En effet, Im(σ(t) = Ker (σ ∗ (t)) ⊥ . L’inclusion Im (σ(t)) ⊂ Ker (σ ∗ (t)) ⊥ est évidente 

par la définition de l’adjoint : pour tout y ∈ R k et tout z ∈ Ker (σ ∗ (t)) ⊂ R d , (σ(t)y, z) R d = 

(y, σ ∗ (t)z) R k = 0. De plus les relations classiques entre dimension des noyau, image des applications 

linéaires et de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel montrent que dim Im (σ(t)) ≤ 

k−dim Ker (σ ∗ (t)) = dim Im (σ ∗ (t)). En échangeant les rôles de σ ∗ (t) et de σ(t) = (σ ∗ (t)) ∗ , 

on en déduit que dim Im (σ ∗ (t)) ≤ dim Im σ(t)), d’où dim Im σ(t)) = dim Im σ ∗ (t)) = 

dim Ker(σ ∗ (t)) ⊥ , soit Im (σ(t)) = Ker (σ ∗ (t)) ⊥ d’après l’inclusion précédente. 

Puisque les prix des actifs de base sont strictement positifs, pour tout vecteur x ∈ R d le 

processus Θ : Ω × [0, T] → R d défini pour i = 1, · · · , d par θt i = xi permet de construite une 

St 

i 

stratégie autofinancée. En effet la condition d’autofinancement permet d’en déduire θt 0 et 

les conditions d’existence des intégrales ∫ t 

0 θi s dSi s sont bien satisfaites. On a donc x = (ΘS) t, 

où on définit le vecteur (ΘS) t par (ΘS) i t = θtS i t. 

i 

Supposons qu’il existe un ensemble A ⊂ [0, T] × Ω tel que (dt ⊗dP)(A) > 0 et pour tout 

(t, ω) ∈ A, 

σ(t) ∗ (ΘS) t = 0 et ( (ΘS) t , b(t) − r ) t¯1 ≠ 0. 

On construit alors une nouvelle stratégie autofinancée Φ et posant 

Φ t = 0 sur A c , Φ t = s t Θ t où s t = signe [ (ΘS) ∗ t (b(t) − r t¯1) ] sur A. 

Pour presque tout (t, ω) ∈ A, pour tout j, ∑ d 

i=1 θi t Si t σi j (t) = 0 et 

dṼ Φ 

t 

= e − R t 

k∑ ( d∑ 

0 rsds s t 

j=1 

i=1 

d∑ 

= 

˜S i 

∣ 

tθt(b i i (t) − r t ) 

∣ dt, 

i=1 

) 

θtS i tσ i j(t) 

i dB j (t) + 

d∑ 

i=1 

e − R t 

0 rsds θ i ts t S i t(b i (t) − r t )dt 

tandis que dṼ t 

Φ = 0 presque partout sur A c . On en déduit une stratégie non risquée telle 

que sur un ensemble de probabilité non nulle, ∫ T 

dṼ Φ 

0 s ds > 0, ce qui revient à dire que Φ est 

une opportunité d’arbitrage. 

Puisque il y a absence d’opportunité d’arbitrage, tout vecteur x de R d que l’on peut 

écrire x = (ΘS) t , du noyau de σ(t) ∗ est orthogonal à b(t) −r t¯1. On en déduit que le vecteur 

b(t) −r t¯1 appartient à l’orthogonal du noyau de σ(t) ∗ , c’est à dire à l’image de σ(t). ✷ 

Le théorème suivant montre enfin que si le vecteur de primes de risque λ a des propriétés 

supplémentaires, il existe une mesure martingale équivalente décrite explicitement à l’aide de 

λ. Ceci généralise ce qui a été observé dans le modèle de Black & Sholes. En effet dans ce cas 

la prime de risque λ est telle que σλ = b −r, c’est à dire que λ = b−r 

σ 

neutre Q a été construite à partir de la martingale exponentielle L t = exp 

et la probabilité 

( 

risque 

−λB t − 

). 

λ2t 

2 

Théorème 4.15 Supposons qu’il existe un vecteur de prime de risque λ : [0, T] × Ω → R k , 

c’est à dire un processus progressivement mesurable tel que b(t) − r t¯1 = σ(t)λ t et que : 



(i) λ ∈ H2 loc(Rk 

). 

( 

(ii) Pour tout t ∈ [0, T], si on pose L t = exp − ∫ t 

λ ∫ ) 

0 sdB s − 1 t 

‖λ 2 0 s‖ 2 ds on a 

( 

E(L T ) = 1 et pour tout i = 1, · · · , d, E P L T e R T 

R T 

0 σi s (dBs+λsds)−1 2 0 ‖σi (s)‖ ds) 

2 < +∞. 

Alors la probabilité Q définie par dQ| FT = L T dP| FT est une mesure martingale équivalente 

à P, c’est à dire que les prix actualisés ( ˜S t i) sont des (F t)-martingales sous Q. 

Remarque 4.16 Les hypothèses de convergence des intégrales de la condition (ii) sont 

satisfaites dès que les processus λ et σ i sont bornés, ou bien plus généralement si 

E P 

[e 1 2 

R T 

0 (‖λ(s)‖ 2 +‖σ i (s)‖ 2 )ds] 

< +∞. 

En effet, dans ce cas les deux martingales locales sont des martingales exponentielles. 

Démonstration. Il suffit d’appliquer le théorème de Girsanov. La probabilité Q est équivalente 

à P et le processus défini pour j = 1, · · · , k et t ∈ [0, T] par 

est une Q-martingale; de plus sous Q, 

W j 

t = B j t + 

∫ t 

0 

λ j s ds 

d ˜S i t = ˜S i t σi (t)dB t + ˜S i t [bi (t) − r t ]dt = ˜S i t σi (t)dW t . 

De plus la seconde condition d’intégrabilité montre ( ( que la condition de Novikov (Théorème 

∫ t 

3.4) est satisfaite et assure que le processus exp 

0 σi s dW ∫ ) ) 

s − 1 t 

2 0 ‖σi (s)‖ 2 ds , t ∈ [0, T] 

est une Q-martingale; ceci termine la démonstration grâce à la forme explicite de ˜S t i (sous 

Q) à l’aide de W montrée dans l’exercice 2.4. ✷ 

4.2.2 Complétude du marché 

On se place sous les hypothèses du Théorème 4.15 : on note Q la probabilité 

de densité L T par rapport à P, telle que sous Q les processus ( ˜S t i , 0 ≤ t ≤ T) sont 

des (F t , 0 ≤ t ≤ T)-martingales. 

Soit ζ une variable aléatoire F T -mesurable Q intégrable après changement de numéraire. 

On veut montrer que l’actif de valeur terminale ζ est duplicable. Ceci nécessite une hypothèse 

de « rang » sur la matrice de diffusion σ. Rappelons que pour tout t, la matrice σ(t) est 

associée à une application linéaire de R k dans R d d’adjointe σ(t) ∗ : R d → R k dont la 

matrice dans les bases canoniques est la transposée σ(t) ∗ de la matrice de diffusion σ(t). L’ 

application linéaire σ(t) ∗ est surjective si et seulement si le rang de cette matrice (qui est 

aussi celui de la matrice σ(t)) est égal à k. 

Théorème 4.17 Soit Q la mesure martingale équivalente du Théorème 4.15. Le marché 

est Q-complet si et seulement si pour tout t ∈ [0, T], le rang de σ(t) est Q (ou P) presque 

sûrement égal à k. 



Démonstration. Soit ζ une variable aléatoire F T -mesurable telle que ζ ∈ L 1 (Q). On veut 

ST 

0 

trouver une stratégie autofinancée Q-admissible Θ telle que VT 

Θ = ζ. D’après la section 

précédente, si une telle stratégie existe, on a sous Q pour tout t ∈ [0, T], d’après la propriété 

de Q-martingale et d’autofinancement : 

Ṽ Θ 

t 

( ζ 

) 

∣ 

= E Q ∣F 

ST 

0 t = V0 Θ + 

d∑ 

i=1 

∫ t 

0 

θ i s ˜S i sσ i sdW s . 

( 

Le processus M t = E ζ 

) 

Q 

∣ 

ST 

0 Ft est une (Ft W )-martingale sous Q. Le processus λ n’étant 

pas déterministe, la filtration (Ft W ) est incluse dans (Ft B ), sans lui être égale. 

D’après le Lemme 3.1 le produit (L t M t ) est une (Ft B , 0 ≤ t ≤ T)-martingale locale sous 

P. Le théorème de représentation (Théorème 3.13) entraîne l’existence d’un unique processus 

H ∈ H2 loc (pour la filtration (Ft B)) tel que sous P, M tL t = M 0 + ∫ t 

H 0 sdB s , c’est à dire que 

Puisque L −1 

t 

sous Q, d(M t L t ) = H t dW t − H t λ t dt = H t (dW t − λ t dt) . 

( ∫ t 

= exp λ ∫ ) 

0 sdW s − 1 t 

‖λ 2 0 s‖ 2 ds , 

sous Q, 

La formule d’Itô montre alors que sous Q : 

dM t = d[(ML) t L −1 

t ] 

dL −1 

t 

= λ t L −1 

t dW t . 

= H t L −1 

t (dW t − λ t dt) + M t L t λ t L −1 

t dW t + d〈ML, L −1 〉 t = 

[ 

M t λ t + H ] 

t 

dW t . 

L t 

Si on note K t = M t λ t + Ht 

L t 

, on en déduit un processus K progressivement mesurable tel 

que sous Q, M t = M 0 + ∫ t 

K 0 sdW s . Il reste enfin par identification de la décomposition de 

M t comme processus d’Itô à trouver θt, i i = 1, · · · , d tels que pour tout t ∈ [0, T] et tout 

j = 1, · · · , k, K j t = ∑ d 

i=1 θi ˜S t t iσi j (t). Sous forme matricielle, cela revient à trouver le vecteur 

(θt i , 1 ≤ i ≤ d) tel que 

⎛ 

θ 1 ˜S 

⎞ ⎛ 

t t 

1 σ1 1 

σ(t) ∗ ⎜ ⎟ ⎜ 

(t) · · · σd 1 (t) 

⎞⎛ 

θ 1 ˜S 

⎞ ⎛ ⎞ 

t t 

1 Kt 

1 

⎟⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ . ⎠ = ⎝ . . . ⎠⎝ 

. ⎠ = ⎝ . ⎠ . 

θt d ˜S t 

d σk 1(t) · · · σd k (t) θt d ˜S t 

d Kt 

k 

Si le marché est Q-complet, cette équation doit être résolue Q p.s. pour tous les seconds 

membres K (avec assez d’intégrabilité et de mesurabilité), ce qui entraîne que la matrice 

σ(t) ∗ doit être de rang k p.s., et que σ(t) doit aussi être de rang k Q p.s. 

Réciproquement, si σ(t) est Q p.s. de rang k, alors σ(t) ∗ est Q p.s. surjective et l’équation 

admet Q p.s. une solution θt i , i = 1, · · · , d. Pour satisfaire l’autofinancement (après actualisation), 

on en déduit θt 0 = M t − ∑ d 

i=1 θi ˜S t t i Q p.s. La stratégie Θ = (θi , 0 ≤ i ≤ d) est 

donc autofinancée, de valeur Ṽ t 

Θ égale à M t à l’instant t. Puisque (Ṽ t Θ , 0 ≤ t ≤ T) est une 

(Ft B Θ 

)-martingale sous Q, la stratégie Θ est admissible et puisque Q p.s. VT = M TST 0 = 

E Q (ζ|F T ) = ζ, elle duplique ζ. ✷ 

Remarquons que l’absence d’opportunité d’arbitrage et l’existence de primes de risque λ 

donnent l’existence d’une mesure martingale équivalente Q (par le théorème de Girsanov) 



et la Q-complétude du marché sous des conditions sur le rang de σ(t). Le théorème 4.13 

montre alors l’unicité de la mesure martingale équivalente. 

La condition imposant à σ(t) d’être de rang k montre qu’on doit avoir d ≥ k, c’est à 

dire qu’il y ait assez d’actifs pour dupliquer les k sources d’aléa B j , 1 ≤ j ≤ k. Remarquons 

enfin que si k = d et si pour presque tout (t, ω) ∈ [0, T] × Ω σ(t) est inversible, on a, 

λ t = σ(t) −1 [b(t)−r t¯1]. Donc, si la matrice σ(t, ω) est presque sûrement bornée et si σ(t)σ(t) ∗ 

est strictement elliptique, c’est à dire qu’il existe des constantes 0 < m < M telles que pour 

tout y ∈ R k , m‖y‖ 2 ≤ y ∗ σ(t)σ ∗ (t)y ≤ M‖y‖ 2 , et si les coefficients b i (t) sont bornés presque 

partout, les conditions du Théorème 4.15 sont satisfaites. 

Dès que le marché est complet et qu’il y a absence d’opportunité d’arbitrage, le prix 

de tout actif dérivé est déterminé de façon unique; cet actif est redondant et son prix est 

indépendant de l’attitude des investisseurs à l’égard du risque. 

4.2.3 Calcul du portefeuille de couverture dans le modèle de Black & Sholes 

Rappelons que dans ce modèle on dispose d’un actif sans risque St 

0 = exp(rt) de 

taux constant r > 0 et d’un actif risqué S t modélisé par un Brownien géométrique S t = 

“ ” 

S 0 e σBt+ b− σ2 

2 t , solution de l’EDS linéaire dS t = S t (σdB t + bdt) où B est un Brownien standard 

unidimensionnel et σ > 0. On note (F t ) la tribu naturelle de B. En collectant les calculs 

faits précédemment et les résultats généraux montrés sur les marchés financiers, nous avons 

les propriétés suivantes : 

Après changement de numéraire, si ˜S t = S t e −rt (, on a d ˜S t = ) σ ˜S t + ˜S t (b − r)dt. Si on note 

et Q la probabilité de densité L T = exp −λB T − λ2 par rapport à P sur F 

2 

T , le 

λ = b−r 

σ 

processus (W t = B t + λt, 0 ≤ t ≤ T) est une (F t , 0 ≤ t ≤ T)-martingale sous Q telle que 

d ˜S t = σ ˜S t dW t . La probabilité Q est donc une mesure martingale équivalente, et sous Q, le 

processus ˜S est la martingale exponentielle 

( ) 

˜S t = S 0 exp σW t − σ2 t 

. (4.4) 

2 

Il y a donc absence d’opportunité d’arbitrage parmi les stratégies à richesse positive. Puisque 

σ > 0, le marché est complet et la mesure martingale Q est unique. De plus, pour tout ζ ∈ F T 

tel que Z ∈ L 1 (Q), le prix actualisé à l’instant t de l’actif versant la somme ζ à l’instant 

terminal T est e −r(T −t) E Q (ζ|F t ). La probabilité Q est la probabilité risque neutre. 

On sait qu’il est possible à chaque instant de trouver un portefeuille autofinancé d’actifs 

de base (l’actif non risqué S 0 et le sous-jacent S) qui à chaque instant t ∈ [0, T] a le même 

prix que l’option. Le vendeur de l’option doit constituer ce portefeuille appelé portefeuille de 

couverture de l’option. A l’instant terminal, ce portefeuille vaudra exactement ζ, la somme 

que le vendeur s’est engagé à payer. 

Le portefeuille est théoriquement ajusté à chaque instant, sans tenir compte des variations 

du cours du sous-jacent S. Il correspond à des transactions faites en continu et 

sans frais, adjonction ni retrait d’argent. La quantité d’actif risqué dans le portefeuille de 

couverture est appelé le Delta. 

En réalité, les transactions sont discrètes et les coûts de transaction limitent le nombre 

d’ajustements (appelés « hedges » ). Le vendeur prend donc concrètement un risque. Plus 

il fait de hedges, plus son portefeuille est proche de l’option, mais plus il paye de coûts de 

transaction. 



Évaluation de couverture versant la somme h(S T ) à l’instant T 

Cette option ne dépend que de la valeur terminale (c’est le cas d’un call ou d’un put) 

mais pas de toute la trajectoire (S t , t ∈ [0, T]). 

Si h(S T ) est Q-intégrable, l’actif est duplicable par une stratégie Q-admissible. Si W t = 

B t + λt, (W t , t ∈ [0, T]) est un Brownien sous Q et l’équation (4.4) montre que le prix de 

l’option à l’instant t est 

E Q 

( 

e 

−r(T −t) h(S T )|F t 

) 

avec ST = S t exp 

[ 

σ(W T − W t ) + 

) ] 

(r − σ2 

(T − t) . 

2 

La variable aléatoire S t est F t -mesurable et W T − W t est indépendante de F t . La propriété 

de Markov montre que ce prix s’écrit V (t, S t ) où 

“ 

V (t, x) = E Q 

[e −r(T −t) h 

(xe σY + 

r− σ2 

2 

” )] 

(T −t) 

où Y ∼ N(0, T − t). 

On a montré dans la section 2.6.2 que la fonction V (t, x) est solution de l’équation de 

Feynman-Kac 

{ ∂V 

(t, x) + L ∂t tV (t, x) = rV (t, x), ∀(t, x) ∈ [0, T] × R 

, 

V (T, x) = h(x) 

où L t f(t, x) = rx ∂f σ2 

(t, x) + 

∂x 2 x2 ∂2 f 

(t, x). 

∂x 2 

“ 

Le prix en 0 est V (0, S 0 ) = E Q 

[e −rT h 

(S 0 e σN(0,T)+ 

r− σ2 

2 

” )] 

T 

. 

Il reste à calculer le portefeuille de couverture, c’est à dire les quantités θt 0 d’actif sans 

risque et ∆ t = θt 1 d’actif risqué qui constituent à l’instant t la stratégie autofinancée Θ qui 

duplique l’option. Ce portefeuille est entièrement déterminé par le prix de l’option à l’instant 

0 (valeur initiale du portefeuille) et le « ∆ », c’est à dire le processus (∆ t ). Nous avons vu 

dans la section 2.6.2 que l’unicité de la décomposition d’un processus d’Itô et la condition 

d’autofinancement entraînent que 

∆ t = ∂V 

∂x (t, S t). (4.5) 

On voit que l’EDP parabolique satisfaite par V (t, x) ne dépend pas de b. Le delta ∆ t 

mesure la sensibilité du prix de l’option aux variations du cours du sous-jacent S t ; c’est la 

part du portefeuille investi sur l’actif risqué. Cette couverture est réajustée en temps discret. 

Si ∆ t varie beaucoup, on doit modifier souvent la composition du portefeuille et la sensibilité 

du delta au cours du sous-jacent est mesurée par le « gamma » défini par 

Γ t = ∂2 V 

∂x 2 (t, S t). (4.6) 

Calcul du delta Supposons que h ∈ C 2 est à croissance polynomiale ainsi que ses dérivées 

d’ordre 1 et 2. Nous ne ferons les calculs explicites qu’à l’instant 0. Les formules à l’instant 

t sont similaires en remplaçant T par T − t et S 0 par S t . 

Notons 

) 

f(x, ω) = e −rT h 

(xe σW T +(r− σ2 

2 )T . 



On a V (0, x) = E Q (f(x, ω)). Pour calculer ∆ 0 , il suffit d’intervertir la dérivation par rapport 

à x et l’espérance sous Q. D’après les résultats classiques de théorie de la mesure, il suffit 

que pour Q-presque tout ω, l’application x → f(x, ω) soit de classe C 1 , et qu’il existe une 

variable aléatoire g ∈ L 1 (Q) telle que pour tout x 0 et tout x dans un voisinage de x 0 , 

∣ ∂f (x, ω)∣ ∣ 

∂x ≤ g(ω) pour Q presque tout ω. 

Puisque h ′ est à croissance polynomiale, si x reste borné, on majore bien 

f ′ x (x, ω) = eσW T − σ2 

2 T h ′ (xe σW T + 

hr− σ2 

2 

par une variable aléatoire intégrable indépendante de x dans une boule donnée. On en déduit 

donc 

∆ 0 = ∂V ( 

) 

∂x (t, S 0) = E Q e σW T − σ2 

2 T h ′ (S T ) . 

Un calcul similaire donne 

∆ t = ∂V ( 

) 

∂x (t, S t) = E Q e σW T −t− σ2 

2 (T −t) h ′ (S T −t ) . 

Si h ′ est de signe constant (c’est à dire h est monotone), le signe de ∆ 0 est celui de h ′ . 

Un nouveau changement de probabilité permet de trouver une expression légèrement plus 

simple du delta. 

Soit ˜Q la probabilité de densité exp(σW T − σ2 T) par rapport à Q. Alors le processus défini 

2 

par ˜W t = W t − σt pour 0 ≤ t ≤ T est un (Ft B, 0 ≤ t ≤ T)-Brownien sous ˜Q. De plus 

∆ 0 = E˜Q 

[ 

h 

′ ( S 0 e σ ˜W T +(r+ σ2 

2 )T)] . 

i 

T 

) 

Calcul du gamma Un raisonnement similaire permet de dériver de nouveau sous le signe 

somme, ce qui donne 

Γ 0 = ∂2 V 

( 

) 

∂x (t, S 0) = E 2 Q e σW T −t− σ2 

2 (T −t) h ′′ (S T −t ) . 

Le second changement de probabilité montre que Γ 0 = E˜Q 

Lorsque h est convexe, le gamma est donc positif. 

[ 

h 

′′ ( S 0 e σ ˜W T +(r+ σ2 

2 )T)] . 

Prix d’un call de maturité T et d’exercice K 

On applique les résultats précédents au cas où h(x) = (x − K) + . Sous la probabilité Q, 

˜S est solution de l’EDS d ˜S t = σ ˜S t dW t + ( ) 

r − σ2 

2 dt. Les calculs de la valeur du call ont 

été faits dans la section 2.6.2. La formule (2.38) montre que valeur du call à l’instant t est 

∫ 

donné par (2.38). Pour tout x > 0 la formule (2.39) montre que si F(a) = √ 1 a x2 

e− 2 2π 

dx, 

−∞ 

( ) 

C(0, x) = E Q e −rT (˜S T − K) + = S 0 F(d 1 ) − Ke −rT F(d 2 ), 

où 

d 1 = 1 

σ √ T 

[ 

ln 

( ) 

S0 

+ 

K 

d 2 = d 1 − σ √ T = 1 

σ √ T 

) (r + σ2 

2 

[ ( 

S0 

ln 

K 

] 

T 

) 

+ 

) ] (r − σ2 

T . 

2 



En remplaçant S 0 par S t et T par T − t, on vérifiera en exercice que l’on peut récrire 

l’équation (2.39) sous la forme 

C(0, x) = S t F(d 1 (t, S t )) − Ke −r(T −t) F(d 2 ), 

avec 

d 1 (t, y) = 

1 

σ √ T − t 

[ ( y 

) 

ln + 

K 

d 2 (t, y) = d 1 (t, y) − σ √ T − t = 1 

σ √ T 

) ] 

(r + σ2 

(T − t) , 

2 

[ ( y 

) 

ln + 

K 

(r − σ2 

2 

) ] 

(T − t) . 

La fonction h(y) = (y − K) + est dérivable en tout y ≠ K et l’ensemble des ω tels que 

xe σW T +(r− σ2 

2 )T (ω) = K est négligeable. De plus, dy-presque partout h ′ (y) = 1 ]K,+∞[ (y). Le 

raisonnement précédent de dérivation sous l’intégrale par rapport à Q montre qu’en utilisant 

la probabilité ˜Q 

∆ 0 = E˜Q 

[1 ]K,+∞[ (S 0 e σ ˜W T +(r+ σ2 )T)] 2 , 

c’est à dire, puisque ˜W est un Brownien sous ˜Q, 

( [ ( )]) 

∆ 0 = ˜Q σ ˜W 

S0 

T ≤ ln 

K + r + σ2 

2 )T = F(d 1 (0, S 0 )). 

Un calcul similaire montre que ∆ t = F(d 1 (t, S t )), c’est à dire que la forme du prix fournit 

la composition du portefeuille de couverture : 

4.2.4 Volatilité 

C t = ∆ t S t + θ 0 t e rt , où θ 0 t = −Ke −rT F(d 2 (t, S t )) ≤ 0. 

Les formules précédentes du prix et du delta dépendent d’un paramètre du sous-jacent 

S qui n’est pas directement observable : sa volatilité σ. Le coefficient de dérive b a en effet 

disparu des formules de C t et ∆ t . 

On dispose classiquement de deux façons d’estimer σ. 

Volatilité historique On cherche à estimer σ à partir des observations passées du cours. 

On regarde les données (S ih , 0 ≤ i ≤ n) à des instants multiples d’un intervalle de temps ( de ) 

S 

base (par exemple un jour). Pour tout i = 1, · · · , n, les variables aléatoires X i = ln ih 

S 

([ ] ) 

(i−1)h 

sont indépendantes de même loi gaussienne N b − σ2 h, σ 2 h . L’estimateur classique de 

2 

la variance d’un n-échantillon dont on ignore 

∑ 

l’espérance donne l’estimateur suivant, qui est 

un estimateur sans biais de σ 2 1 

(car n 

h σ 2 i=1 (X i − ¯X n ) 2 est un χ 2 n−1) : 

1 

h (n − 1) 

n∑ 

(X i − ¯X n ) 2 où ¯X n = 1 n 

i=1 

n∑ 

X i . 

i=1 

Souvent on prend une taille d’échantillon qui correspond au temps de vie qui reste pour 

l’option. 



Volatilité implicite 

On observe que le prix du call est une fonction continue strictement croissante de σ. En 

observant les prix de puts et calls sur le marché avec diverses dates de maturité et diverses 

valeurs de l’exercice K, on recherche σ en inversant la formule. 

Concrètement, il y a de nombreux actifs qui donnent des volatilités différentes. La variation 

de K donne une forme de « smile » , c’est à dire que les options sur de « petites » 

ou « grandes » valeurs de K sont plus chères et ont une volatilité implicite plus élevée. 

Deux facteurs expliquent en partie ce phénomène : d’une part le modèle n’est pas pertinent 

(surtout dans l’aspect d’une volatilité constante) et il n’y a que peu de transactions sur des 

options dont les prix d’exercice sont extrêmes. 

Les traders raisonnent plus en termes de volatilité et de smile de volatilité, et se servent 

du modèle de Black & Sholes comme d’une traduction entre prix et volatilité implicite. 

Les modèles qui permettent de prendre en compte les smile de volatilité sont ceux où la 

volatilité σ t est stochastique et dépend du temps. Un modèle à volatilité non constante mais 

déterministe ne suffit pas. 

Divers modèles sont utilisés : 

Modèle de Hull & White On dispose de deux Browniens indépendants B et W. Le cours 

du sous-jacent S t est modélisé par l’EDS dirigée par B de coefficient de diffusion σ t S t et de 

coefficient de dérive b t S t . La volatilité σ t est aléatoire et son carré V t est solution d’une EDS 

linéaire dirigée par W de coefficient de diffusion s t V t et de dérive m t V t , ce qui conduit au 

système 

{ 

dSt = S t (σ t dB t + b t dt), 

dV t = V t (s t dW t + m t dt), où V t = σ 2 t . 

Dans ce cas, le prix du call peut être exprimé en fonction de celui du modèle de Black & 

Sholes. 

Modèle de Dupire La volatilité est une fonction σ(t, S t ) avec 0 < α ≤ σ(t, S t ) ≤ β. Il y a 

existence et unicité de la solution de l’EDS, mais pas de formule explicite. 

Modèles à sauts De nombreux modèles récents font appel à des équations différentielles 

stochastiques dirigées par un processus de Lévy (à la place du Brownien B) afin de rendre 

compte des discontinuités des trajectoires du prix des actifs en fonction du temps. Ces 

modèles ne seront pas abordés ici. 

4.3 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross 

Une classe importante de modèles stochastiques (plus récents que le modèle de Black & 

Sholes) utilisés en finance est liée au processus de Bessel. 

4.3.1 Processus de Bessel généraux 

Nous avons introduit des processus de Bessel dans le Chapitre 2. Nous allons maintenant 

définir les processus de Bessel généraux. 

Soit B un mouvement Brownien. En utilisant l’inégalité | √ x − √ y| ≤ √ |x − y|, le 

théorème de Yamada-Watanabe 2.20 montre que pour δ ≥ 0 et α ≥ 0, l’équation 

dZ t = δ dt + 2 √ |Z t |dB t , Z 0 = α , 

a une unique solution forte. Cette solution est un processus de Bessel carré de dimension δ, 

que l’on désigne par BESQ δ . En particulier, si α = 0 et δ = 0, la solution Z ≡ 0 est l’unique 


4.3 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross 83 

solution. En utilisant le théorème de comparaison 2.19, si 0 ≤ δ ≤ δ ′ et si ρ et ρ ′ sont des 

processus de Bessel carré de dimension δ et δ ′ partant du même point, alors 0 ≤ ρ t ≤ ρ ′ t p.s. 

Dans le cas δ > 2, le processus de Bessel carré BESQ δ partant de α n’atteint jamais 0. 

Si 0 < δ < 2, le processus ρ atteint 0 en un temps fini. Si δ = 0 le processus reste en 0 dès 

qu’il atteint ce point. 

Définition 4.18 (BESQ δ ) Pour tout δ ≥ 0 et α ≥ 0, l’unique solution forte de l’EDS 

ρ t = α + δt + 2 

∫ t 

0 

√ 

ρs dB s 

est un processus de Bessel carré de dimension δ, partant de α et est noté BESQ δ . 

Définition 4.19 (BES δ ) Soit ρ un BESQ δ partant de α. Le processus R = √ ρ est un 

processus de Bessel de dimension δ, partant de a = √ α et est noté BES δ . 

Définition 4.20 Le nombre ν = (δ/2) − 1 (soit δ = 2(ν + 1)) est l’indice du processus de 

Bessel et un processus de Bessel d’indice ν est noté BES (ν) . 

En appliquant la formule d’Itô, on voit que pour α > 0 et δ > 2, un BES δ est solution de 

R t = α + B t + δ − 1 

2 

∫ t 

Les fonctions de Bessel modifiées I ν et K ν solutions de 

sont données par : 

x 2 u ′′ (x) + xu ′ (x) − (x 2 + ν 2 )u(x) = 0 

I ν (z) = 

( z 

2) ν ∞ 

∑ 

n=0 

K ν (z) = π(I −ν(z) − I ν (z)) 

. 

2 sin πz 

0 

1 

R s 

ds . (4.7) 

z 2n 

2 2n n! Γ(ν + n + 1) 

Les probabilités de transition q (ν) 

t d’un BESQ (ν) sont 

q (ν) 

t (x, y) = 1 ( ( y ν/2 

exp − 

2t x) x + y ) 

2t 

√ xy 

I ν ( ) (4.8) 

t 

et le processus de Bessel d’indice ν a une probabilité de transition p (ν) 

t 

p (ν) 

t (x, y) = y t 

( y 

x) ν 

exp(− 

x 2 + y 2 

2t 

donnée par 

( xy 

) 

)I ν , (4.9) 

t 

Les processus de Bessel sont utilisés dans le modèle suivant de Cox-Ingersoll-Ross. 



4.3.2 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross 

Pour modéliser des taux, Cox-Ingersoll-Ross étudient l’équation suivante 

dr t = k(θ − r t )dt + σ √ r t dB t (4.10) 

Le théorème d’existence de Yamada-Watanabe (Théorème 2.20) montre que (4.10) a une 

unique solution; c’est un processus positif pour kθ ≥ 0, mais il n’est pas possible d’en 

obtenir une formule explicite. Soit r x le processus solution de (4.10) avec r x 0 = x. 

Le changement de temps A(t) = σ 2 t/4 réduit l’étude de (4.10) au cas σ = 2. En effet, si 

Z t = r σ 2 t/4, alors 

dZ t = k ′ (θ − Z t ) dt + 2 √ Z t dB t , 

avec k ′ = kσ 2 /4 et où B est un mouvement Brownien. 

Le processus de CIR solution de l’équation (4.10) est un BESQ changé de temps : en effet, 

( ) σ 

r t = e −kt 2 

ρ 

4k (ekt − 1) , 

où (ρ(s), s ≥ 0) est un BESQ δ (α), avec δ = 4kθ . 

σ 2 

On peut montrer que, si T0 x := inf{t ≥ 0 : rx t = 0} et 2kθ ≥ σ 2 alors P(T0 x = ∞) = 1. Si 

0 ≤ 2kθ < σ 2 et k > 0 alors P(T0 x < ∞) = 1 et si k < 0 on a P(T 0 x < ∞) ∈]0, 1[. (Cela se 

fait au moyen du théorème de comparaison) 

Cependant, on peut calculer l’espérance de la v.a. r t au moyen de l’égalité 

E(r t ) = r 0 + k(θt − 

∫ t 

0 

E(r s )ds), 

en admettant que l’intégrale stochastique est une martingale, ce qui est le cas. On calcule 

sans difficultés supplémentaires l’espérance conditionnelle, en utilisant le caractère Markovien 

: 

Théorème 4.21 Soit r le processus vérifiant 

dr t = k(θ − r t )dt + σ √ r t dB t . 

L’espérance conditionnelle et la variance conditionnelle sont données par 

E(r t |F s ) = r s e −k(t−s) + θ(1 − e −k(t−s) ), 

Var(r t |F s ) = r s 

σ 2 (e −k(t−s) − e −2k(t−s) ) 

k 

Démonstration. Par définition, on a pour s ≤ t 

r t = r s + k 

et en appliquant la formule d’Itô 

∫ t 

s 

(θ − r u )du + σ 

∫ t 

rt 2 = rs 2 + 2k (θ − r u )r u du + 2σ 

= r 2 s + (2kθ + σ 2 ) 

s 

∫ t 

s 

r u du − 2k 

∫ t 

s 

∫ t 

s 

+ θσ2 (1 − e −k(t−s) ) 2 

. 

2k 

∫ t 

s 

√ 

ru dB u , 

∫ t 

(r u ) 3/2 dB u + σ 2 r u du 

r 2 udu + 2σ 

∫ t 

s 

s 

(r u ) 3/2 dB u . 


4.3 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross 85 

En admettant que les intégrales stochastiques qui interviennent dans les égalités ci-dessus 

sont d’espérance nulle, on obtient, pour s = 0 

( ∫ t 

) 

E(r t ) = r 0 + k θt − E(r u )du , 

et 

E(r 2 t ) = r 2 0 + (2kθ + σ 2 ) 

∫ t 

0 

0 

∫ t 

E(r u )du − 2k E(ru)du. 

2 

0 

Soit Φ(t) = E(r t ). En résolvant l’équation Φ(t) = r 0 + k(θt − ∫ t 

Φ(u)du), c’est à dire 

0 

l’équation différentielle Φ ′ (t) = k(θ − Φ(t)) et Φ(0) = r 0 , on obtient 

Φ(t) = E[r t ] = θ + (r 0 − θ)e −kt . 

De la même façon, on introduit Ψ(t) = E(rt 2) et en résolvant Ψ′ (t) = (2kθ+σ 2 )Φ(t)−2kΨ(t), 

on calcule 

[ 

Var[r t ] = σ2 

k (1 − e−kt ) r 0 e −kt + θ ] 

2 (1 − e−kt ) . 

L’espérance et la variance conditionnelle de r s’obtiennent grâce à la propriété de Markov : 

E(r t |F s ) = θ + (r s − θ)e −k(t−s) = r s e −k(t−s) + θ(1 − e −k(t−s) ), 

σ 2 (e −k(t−s) − e −2k(t−s) ) 

Var(r t |F s ) = r s 

k 

( 

e − R ) 

T 

r t u du 

∣ F t . 

Nous allons calculer E 

+ θσ2 (1 − e −k(t−s) ) 2 

. 

2k 

✷ 

4.3.3 Calcul du prix d’un zéro-coupon 

Proposition 4.22 Soit 

Alors 

dr t = a(b − r t )dt + σ √ r t dB t . 

E 

(e − R T 

t 

r u du 

∣ F t 

) 

= G(t, r t ), 

avec 

G(t, x) = Φ(T − t) exp[−xΨ(T − t)], 

( 

) 

2(e γs − 1) 

Ψ(s) = 

(γ + a)(e γs − 1) + 2γ , Φ(s) = 2γe (γ+a) s 2ab 

2 

σ 2 , γ 2 = a 2 + 2σ 2 . 

(γ + a)(e γs − 1) + 2γ 

Démonstration. Soit (rs 

x,t , s ≥ t) la solution de 

et pour tout s ≥ t soit 

dr x,t 

s 

√ 

= a(b − rs x,t )ds + σ rs x,t dB s , r x,t 

t = x 

R t s = exp (− 

∫ s 

t 

r x,t 

u du ) 

. 

La propriété de Markov implique qu’il existe G telle que 

( ∫ s ∣ ) 

exp − ru x,t du ∣∣Ft 

= G(t, r t ). 

t 



Nous admettrons que G est de classe C 1,2 . La formule d’Itô appliquée à G(s, rs x,t)Rt 

s , qui est 

une martingale, montre que 

G(T, r x,t 

T )Rt T = G(t, x) + M T − M t 

∫ T 

[ 

+ Rs 

t −rs x,t G(s, rx,t s ) + ∂G (s, rx,t s ) + a(b − rx,t s 

∂t )∂G ∂x 

t 

(s, rx,t 

s ) + 1 2 σ2 rs 

x,t ∂ 2 G 

(s, rx,t 

∂x2 s 

]ds, ) 

où M t est une intégrale stochastique. Par analogie avec la formule de Feynman-Kac, en 

choisissant G telle que 

−yG(s, y) + ∂G (s, y) + a(b − y)∂G 

∂s ∂y (s, y) + 1 2 σ2 y ∂2 G 

(s, y) = 0 (4.11) 

∂y2 et G(T, y) = 1 pour tout y, on obtient 

R t T = G(t, x) + M T − M t , 

où M est une martingale. En particulier, lorsque t = 0 on obtient E 

E(R T ) = G(0, x). En se plaçant entre t et T, on obtient 

E 

(e − R T 

t 

) 

ru 

x,t du 

= G(t, x). 

( ( 

exp − ∫ )) 

T 

r 0 sds = 

Il reste à calculer la solution de l’équation aux dérivées partielles (4.11). Un calcul assez 

long montre que 

G(t, x) = Φ(T − t) exp[−xΨ(T − t)], 

avec 

Ψ(s) = 

( 

2(e γs −1) 

, Φ(s) = 2γe (γ+a) 2 

s 

(γ+a)(e γs −1)+2γ (γ+a)(e γs −1)+2γ 

γ 2 = a 2 + 2σ 2 . 

Si l’on note P(t, T) le prix du zéro-coupon associé, 

on montre que 

avec σ(u, r) = σΨ(u) √ r. 

4.4 Exercices 

P(t, T) = Φ(T − t) exp[−r t Ψ(T − t)], 

P(t, T) = B(t, T) (r t dt + σ(T − t, r t )dB t ), 

) 2ab 

σ 2 , 

Exercice 4.1 Soit σ et b des constantes, r > 0, x ∈ R, et (S t ) le Brownien géométrique 

solution de l’EDS 

dS t = S t 

[ 

σdBt + bdt ] , S 0 = x. 

1. Écrire S t sous forme exponentielle. 

2. On note θ = − b−r 

σ . Soit Q la probabilité définie sur F t par dQ = L t dP où 

L t = e θBt−1 2 θ2t . Montrer que sous Q, W t = B t − θt est un Brownien. 

✷ 



3. Soit ˜P 

σ2 

σWt− 

la probabilité définie sur F t par d˜P = Z t dQ où Z t = e 2 t . Montrer que 

dS t = S t 

[ 

σd ˜Bt + (r + σ 2 )dt ] , 

où ˜B est un Brownien sous ˜P. 

( ) 

4. Soit P 0 > 0 et pour tout t ≥ 0, P t = P 0 e rt S 

. Montrer que t 

P t 

, t ≥ 0 est une martingale 

( ) 

P 

sous Q. Montrer que t 

S t 

, t ≥ 0 est une martingale sous ˜P. 

( ∫ ) 

5. Soit A et λ des constantes réelles, F t = e −λt t 

S 0 udu + xA et Ψ t = Ftert 

S t 

. Écrire 

l’EDS satisfaite par Ψ t en utilisant le Brownien ˜B sous ˜P. 

Exercice 4.2 Volatilité stochastique Soit B 1 et B 2 deux Browniens indépendants, F t = 

σ(B 1 s , B2 s , s ≤ t) la filtration engendrée par B1 et B 2 . Soit µ et η des fonctions (déterministes) 

bornées de [0, +∞[ dans R, σ et γ des fonctions (déterministes) bornées de R dans [m, +∞[ 

avec m > 0. On note S la solution de 

où (Y t ) est solution de l’EDS 

dS t = S t 

[ 

σ(Yt )dB 1 t + µ(t)dt ] , S 0 = x ∈ R, 

dY t = γ(Y t )dB 2 t + η(t)dt , Y 0 = 1. 

1. Soit θ un processus (F t ) adapté borné et (Z t ) la solution de l’EDS 

dZ t = Z t θ t dB 1 t , Z 0 = 1. 

Écrire explicitement Z t sous forme exponentielle. 

2. Soit λ et ν des processus (F t )-adaptés, bornés et (L t ) le processus défini par 

(∫ t 

L t = exp λ s dBs 1 − 1 

0 2 

∫ t 

0 

∫ t 

λ 2 s ds + ν s dBs 2 − 1 2 

0 

∫ t 

0 

ν 2 s ds ) 

. (4.12) 

Écrire l’EDS satisfaite par (L t ). On note Q la probabilité définie par dQ = L t dP sur 

F t . 

3. Soit ˜B t 1 = Bt 1 − ∫ t 

λ 0 sds et ( ˜Z t ) la solution de l’EDS d ˜Z t = ˜Z t αd ˜B t 1 et ˜Z 0 = 1, où α est 

une constante. Montrer que (L t ˜Zt ) est une (F t )-martingale sous P. 

4. Montrer que ˜B t 2 = B2 t − ∫ t 

ν 0 sds est un (F t )-Brownien sous Q. 

5. On admettra que si Q est une probabilité équivalente à P il existe λ et ν tels que la 

densité de Q par rapport à P soit de la forme (4.12). Décrire l’ensemble des couples 

(λ, ν) correspondant à des probabilités Q telles que le processus (S t e −rt , t ≥ 0) soit 

une martingale sous Q. On notera Q cet ensemble de probabilités 

6. Le marché financier est-il complet? 

7. Soit X un actif duplicable au sens suivant : il existe un processus (F t )-adapté (V t ) tel 

qu’il existe un processus (φ t ) borné (F t )-adapté pour lequel : 

dV t = rV t dt + φ t 

[ 

dSt − rS t dt ] , et V T = X. 



(a) Montrer que (V t e −rt ) est une (F t )-martingale sous Q pour toute probabilité Q ∈ 

Q. 

(b) On suppose que V t = v(t, S t , Y t ). Montrer que v satisfait une EDP que l’on 

explicitera. 

Exercice 4.3 Options power Soit r, δ, σ des constantes positives, x > 0. On modélise la 

dynamique d’un actif versant des dividendes au taux δ alors que le taux spot est r sous la 

probabilité risque neutre par 

dS t = S t 

[ 

σdBt + (r − δ)dt ] , S 0 = x. 

1. On souhaite évaluer un actif contingent sur S versant des dividendes, c’est à dire 

calculer E P 

[ 

h(ST )e −r(T −t)∣ ∣ Ft 

] 

. En s’inspirant des formules permettant de faire le calcul 

dans le cas classique, quelle est la valeur de cet actif lorsque h(x) = (x α − K) + où 

α > 0? 

2. On suppose que δ = r. On note Q la probabilité qui sur F t a pour densité St par x 

rapport à P. Justifier que Q est bien une probabilité. On note Z t = x2 

S t 

. Quelle est 

la dynamique de (Z t , t ≥ 0) sous Q. Montrer que pour toute fonction f borélienne 

bornée, 

[ ( )] 

1 x 

2 

x E P S T f = E P (f(S T )). 

S T 

3. On revient au cas général. Montrer que (St a , t ≥ 0) est une martingale pour une valeur 

de a que l’on précisera. Monter que pour toute fonction f borélienne bornée, 

E P [f(S T )] = 1 ( )] x 

x αE P 

[ST a 2 

f . 

S T 

4. On suppose que h(x) = x β (x − K) + . Montrer que h(S T ) est la différence de deux 

payoffs correspondant à des options d’achat européennes portant sur S β+1 et S β et sur 

des strikes que l’on déterminera. 

Remerciements Ce cours remplace celui de Calcul Stochastique et Finance, Temps continu, 

fait par Isabelle Nagot dans l’ex DEA MME de l’Université Paris 1. Il fait suite au cours 

de Calcul Stochastique fait Bernard de Meyer puis par Ciprian Tudor. Je remercie ces trois 

collègues de Paris 1 de m’avoir fourni leurs polycopiés. 

Je tiens aussi à exprimer ma gratitude à Monique Jeanblanc et à Thomas Simon, qui 

m’ont donné la toute dernière version des notes de deux cours de calcul stochastique appliqué 

à la finance qu’ils ont mis au point dans des formations de M2 à l’Université d’Évry. 


Références 89 

Références 

[1] Comets, F., Meyre, T., Calcul stochastique et modèles de diffusions, Dunod 2006. 

[2] De Meyer, B., Calcul Stochastique, Polycopié du cours de l’ex DEA MME de l’Université 

Paris 1, année 2004-2005. 

[3] Friedman, A., Stochastic Differential Equations and Applications, Volume 1, Academic 

Press, 1975. 

[4] Jeanblanc; M., Cours de calcul stochastique, DESS IM Evry, Septembre 2005, 

http ://www.maths.univ-evry.fr/pages perso/jeanblanc/ 

[5] Jeanblanc, M., Simon, T., Eléments de calcul stochastique, IRBID, Septembre 2005. 

[6] Jeanblanc, M., Yor, M. et Chesney, M., Mathematical Methods for financial Markets, 

Springer Verlag, à paraître. 

[7] Karatzas, I., Shreve, S.E., Brownian motion and Stochastic Calculus, Springer Verlag, 

1991. 

[8] Lamberton, D., Lapeyre., B, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance., 

Ellipses, Paris, 1991. 

[9] Malliavin P., Stochastic Analysis, Springer, Berlin, 1997. 

[10] Nagot, I., Calcul Stochastique et Finance, Temps continu, Polycopié du cours de l’ex 

DEA MME de l’Université Paris 1, année 2004-2005. 

[11] Revuz, A., Yor, M., Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, Berlin, 

3th edition 1999. 

[12] Rogers L. C. G. et Williams, D., Diffusions, Markov Processes, and Martingales. Volume 

1 : Foundations, Wiley, Chichester, 1994. 

[13] Rogers L. C. G., Williams, D., Diffusions, Markov Processes, and Martingales. Volume 

2 : Itô Calculus, Wiley, Chichester, 1987. 

[14] Tudor, C., Calcul Stochastique 1, Cours polycopié du Master M2 MMEF de l’Université 

Paris 1, année 2005-2006, http ://pagesperso.aol.fr/cipriantudor/

a la Finance UniversitÃ© Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

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