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1.5 Propriétés du Brownien. 21
Soit s < t; appliquons le lemme précédent avec E 1 = E 2 = R d , G = F s , F = F t , X = B s
et Y = B t − B s . Nous en déduisons que pour toute fonction borélienne bornée f : R d → R,
E [ ]
f(B t )|F s = ϕ(Bs ) où ϕ(x) = E [ f(x + B t − B s ) ] . Un calcul similaire avec G = σ(B s ) et
F = F t pour les mêmes variables aléatoires X = B s et Y = B t − B s permet de conclure
E [ ]
f(B t )|B s = ϕ(Bs ). La loi de B t − B s étant gaussienne N(0, (t − s)Id), ceci termine la
démonstration. ✷
Corollaire 1.38 Soit τ un (F t )-temps d’arrêt fini presque sûrement et B un (F t )-Brownien
standard de dimension d. Alors le processus (M t = B τ+t − B τ , t ≥ 0) est un (F τ+t , t ≥ 0)-
Brownien standard indépendant de F τ .
Démonstration. Supposons tout d’abord que τ ≤ C p.s. et notons G t = F τ+t pour tout
t ≥ 0. Alors (G t ) est une filtration et le Théorème d’arrêt 1.7 montre que si (X t ) est une
(F t )-martingale et si on note Y t = X τ+t , Y t est intégrable et pour s < t, E(Y t |G s ) =
E(X τ+t |F τ+s ) = X τ+s = Y s , c’est à dire que (Y t ) est une (G t )-martingale.
Il faut montrer que si 0 ≤ s < t, le vecteur aléatoire M t − M s suit une loi N(0, (t −
s)Id) et est indépendant de G s . Un argument utilisé dans la démonstration du théorème
de caractérisation du Brownien de Paul Lévy montre qu’il suffit de vérifier que pour tout
u ∈ R d l’équation (1.15) est satisfaite.
Fixons u ∈ R d et notons f(x) = e i(u,x) pour tout x ∈ R d . Alors |f| = 1 et en décomposant
f en partie réelle et partie imaginaire, la propriété de Markov et la définition du Brownien
montrent
)
(t − s)‖u‖2
E(exp(i(u, B t )|F s ) = E(exp(i(u, B t )|B s ) = exp(i(u, B s )) exp
(− .
2
On en déduit que le processus X t = exp ( i(u, B t ) + t‖u‖ 2 /2) est une (F t )-martingale, et
d’après la remarque précédente, que (Y t = X τ+t , t ≥ 0) est une (G t )-martingale. Pour tout
s ≤ t, on a donc
(
Yt
∣ )
∣∣Gs
E = E(Y t|G s )
= Y s
,
Y 0 Y 0 Y 0
ce qui prouve que ( Y t
Y 0
= exp(i(u, M t ) + t‖u‖ 2 /2), t ≥ 0 ) est une (G t )-martingale. Donc pour
s ≤ t,
∣ ) (
)
E
(e i(u,Mt−Ms) ∣∣Gs
t‖u‖2
i(u,Mt)+ ∣
t‖u‖2
−i(u,Ms)−
= E e 2
∣G s e 2 = e −(t−s)‖u‖2 2 ,
ce qui termine la démonstration de (1.15) lorsque τ est borné p.s.
Soit τ un temps d’arrêt presque sûrement fini; pour conclure, il suffit d’écrire (1.15) pour
la suite de temps d’arrêt τ ∧ n et de faire tendre n vers +∞. ✷.
On en déduit une propriété similaire à la propriété de Markov simple (Théorème 1.36)
en remplaçant les temps fixes par des temps d’arrêt.
Théorème 1.39 (Propriété de Markov forte) Soit B un (F t )-Brownien standard à valeurs
dans R d et τ un (Ft B )-temps d’arrêt fini presque sûrement; alors pour tout t > 0,
∫
1
E[f(B τ+t ) | F τ ] = E[f(B τ+t ) | B τ ] = f(y) exp
(− ‖y − B )
τ‖ 2
dy. (1.19)
(2πt) d 2 R 2t
d
Démonstration. Le lemme 1.37 appliqué à X = B τ , Y = B τ+t − B τ , G = F τ (ou bien
G = σ(X τ )), F = F t+τ et le Corollaire 1.38 montrent que, puisque (B τ+t −B τ , t ≥ 0) est un
Brownien indépendant de F τ , la propriété de Markov forte (1.19) est satisfaite. ✷
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet