a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.6 Exemples en finance 47
de l’argent avant la date T) et de valeur terminale h(S T ). La valeur de ce portefeuille à la
date t est
V t = α t S 0 t + ∆ t S t .
La condition d’autofinancement se formalise par
dV t = α t dS 0 t + ∆ t dS t ,
soit
dV t = α t rS 0 t dt + ∆ t[bS t dt + σS t dB t ] = σ∆ t S t dB t + [ rV t + ∆ t S t (b − r) ] dt.
La valeur initiale du portefeuille sera la valeur de l’actif financier. On suppose que la
valeur V t du portefeuille à la date t est une fonction déterministe du temps et de la valeur
de l’actif risqué, soit V t = V (t, S t ). En utilisant la formule d’Itô, on calcule
dV t =
( ∂V
∂t (t, S ∂V
t) + bS t
∂x (t, S t) + σ2 St
2
2
) ( )
∂ 2 V
∂x (t, S ∂V
t) dt + σS 2 t
∂x (t, S t) dB t .
En utilisant la condition d’autofinancement et en identifiant les parties martingales on obtient
(parce que S t > 0 pour tout t)
σ∆ t S t = σS t
∂V
∂x (t, S t) soit
∆ t = ∂V
∂x (t, S t) ,
ce qui entraîne alors en identifiant les parties à variation finie
∂V
rS t
∂x (t, S t) + ∂V
∂t (t, S t) + σ2 St
2
2
∂ 2 V
∂x 2 (t, S t) − rV (t, S t ) = 0 ,
avec pour condition terminale V (T, S T ) = h(S T ). Comme S t est une variable aléatoire
qui peut prendre toutes les valeurs de ]0, +∞[, on en déduit que V satisfait l’EDP sur
[0, +∞[×[0, +∞[ :
rx ∂V ∂V
(t, x) +
∂x ∂t (t, x) + σ2 x 2
2
∂ 2 V
(t, x) − rV (t, x) = 0 , (2.37)
∂x2 avec pour condition terminale V (T, x) = h(x). On notera que le coefficient b a disparu.
Nous allons résoudre cette EDP dans le cas d’un call européen, c’est à dire pour une
condition terminale h(x) = (x − K) + , avec σ > 0. On note C la valeur du portefeuille dans
ce cas particulier, Les détails des calculs sont laissés en exercice (cf. Exercice 2.5). Nous
verrons au chapitre suivant une façon plus rapide et moins technique de les retrouver.
Les résultats précédents entraînent que C satisfait l’équation (2.37)
∂C
(t, x) + rx∂C
∂t ∂x (t, x) + σ2 x 2
2
∂ 2 C
(t, x) = rC(t, x) ,
∂x2 avec C(T, x) = (x−K) + . La formule de Feynman-Kac (2.32) appliquée à la fonction f(x) =
(x −K) + et à ρ(s, x) = r montre que la valeur du call européen à l’instant t, est donnée par
[
]
C(t, x) = E e r(t−T) (˜S t,x
T − K)+ , (2.38)
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet