a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

1.2 Variation quadratique - Crochet d’une martingale locale 9
On en déduit
T ˜∆
a
(
T ∆ (M) ) ≤ T ˜∆
a (M)
(
)
sup |M sk+1 + M sk − 2M tl | 2 .
k
Puisque M est continue bornée, le théorème de convergence dominée entraîne que
(
)
E sup |M sk+1 + M sk − 2M tl | 4 → 0 quand |∆| + |∆ ′ | → 0.
k
Il suffit d’après l’inégalité de Schwarz de prouver que E(|T ˜∆
a (M)| 2 ) reste bornée par une
constante, c’est à dire que
sup E(|Ta ∆ (M)|2 ) < +∞.
∆
Soit ∆ une subdivision qui contient a = t n . Alors
( n−1
) 2
∑
|Ta ∆ (M)|2 = |M ti+1 − M ti | 2
i=0
∑n−1
∑n−2
∑n−1
= |M ti+1 − M ti | 4 + 2 |M ti+1 − M ti | 2
i=0
i=0
i=0
i=0
j=i+1
|M tj+1 − M tj | 2
∑n−1
∑n−2
( )
= |M ti+1 − M ti | 4 2 (
+ 2 Mti+1 − M ti T
∆
a (M) − Tt ∆
i+1
(M) ) .
L’équation (1.3) montre que E [ T ∆ a (M)−T ∆
t i+1
(M)|F ti+1
]
= E
[
(Ma −M ti+1 ) 2 |F ti+1
]
. Puisque
(M ti+1 − M ti ) 2 est F ti+1 -mesurable, on en déduit
∑n−1
E(|Ta ∆ (M)|2 ) = E(|M ti+1 − M ti | 4 )
i=0
n−1
∑
+ 2
i=0
n−1
E [ |M ti+1 − M ti | 2 E ( T ∆ a (M) − T ∆
t i+1
(M)|F ti+1
)]
∑
∑n−1
= E(|M ti+1 − M ti | 4 ) + 2 E [ |M ti+1 − M ti | 2 (M a − M ti+1 ) 2]
i=0
[(
≤ E
sup
k
i=0
) ]
|M tk+1 − M tk | 2 + 2 sup |M a − M tk | 2 Ta ∆ (M) .
k
Puisque sup t |M t | ≤ C et M 0 = 0, l’équation (1.3) pour 0 et a entraîne que E(T ∆ a (M)) ≤ C 2
et donc
E(|T ∆ a (M)|2 ) ≤ 12C 2 E(T ∆ a (M)) ≤ 12C4 . (1.4)
La suite (Ta
∆n (M), n ≥ 1) est donc de Cauchy dans L 2 ; elle converge dans L 2 (donc aussi
en probabilité) vers une limite notée 〈M, M〉 a .
(3) Soit M une martingale continue bornée par C. Il reste à vérifier que le processus
〈M, M〉 a les propriétés annoncées. Soit (∆ n ) une suite de subdivisions dont le pas |∆ n | tend
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet