a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

1.2 Variation quadratique - Crochet d’une martingale locale 7
On remarque d’ailleurs que la démonstration précédente et le Théorème de convergence
dominée entraînent que si V [0,t] (X) ≤ C p.s. où C est constante, Tt
∆ converge vers 0 dans
L 1 . ✷
Le résultat suivant a été montré dans le cours de Calcul Stochastique 1.
Théorème 1.18 Le mouvement Brownien (B t ) est de variation quadratique finie sur tout
intervalle [0, T] et 〈B, B〉 t = t. Plus précisément, lorsque |∆| → 0, E(|Tt ∆ (B) − t| 2 ) → 0,
c’est à dire que la convergence a lieu dans L 2 .
De plus, si σ ∈ H2 loc,
le processus (∫ t
σ 0 sdB s , t ≥ 0) est de variation quadratique ∫ t
0 σ2 s ds
sur chaque intervalle [0, t].
Nous allons tout d’abord le généraliser à des martingales locales continues.
Notation Soit ∆ = {t 0 = 0 < t 1 < t 2 < · · · } une subdivision de [0, +∞[ telle que pour tout
t > 0, ∆ ∩ [0, t] ne comprend qu’un nombre fini de points. Par analogie avec les notations
précédentes, pour tout t > 0 (en ajoutant t à la subdivision) et pour tout processus X
notons
Tt ∆ (X) = ∑ ti+1 ∧t − X ti ∧t)
i≥0(X 2 . (1.2)
Le processus X est à variation quadratique finie si pour tout t la famille de processus T ∆
t (X)
converge en probabilité vers 〈X, X〉 t quand le pas |∆| de la subdivision sur [0, t] tend vers
0.
Le résultat suivant est fondamental. Il relie la variation quadratique à une martingale
associée au carré du processus.
Théorème 1.19 Soit M une (F t )-martingale locale continue. Alors M est de variation quadratique
finie et sa variation quadratique 〈M, M〉 t est l’unique processus croissant, adapté,
continu, nul en zéro tel que
(
M
2
t − 〈M, M〉 t , t ≥ 0 ) est une (F t ) martingale locale .
De plus, ∣ pour s < t et toute∣ suite (∆ n ) de subdivisions dont le pas |∆ n | tend vers 0, la suite
sup s≤t Ts
∆n (M) − 〈M, M〉 s converge vers 0 en probabilité.
Si de plus, M est une martingale de carré intégrable (c’est à dire que E(Mt 2 ) < +∞
pour tout t), alors (Mt 2 − 〈M, M〉 t, t ≥ 0) est une (F t ) martingale continue telle que pour
tout couple de temps d’arrêt bornés S ≤ T ≤ C,
E(M 2 T − M 2 S|F S ) = E(|M T − M S | 2 |F S ) = E(〈M, M〉 T − 〈M, M〉 S |F S ).
Démonstration. L’unicité de la décomposition découle de la Proposition 1.15. En effet,
soit Mt 2 = Y t + A t = Z t + B t où A, B sont des processus continus à variation finie et nuls
en 0, Y, Z sont des martingales locales, continues puisque M. 2 , A . et B . le sont. Alors la
différence Y − Z = B − A est une martingale locale continue à variation finie nulle en 0,
donc est nulle d’après la Proposition 1.15.
Pour prouver l’existence, nous distinguerons plusieurs étapes. Pour alléger les notations,
nous ne ferons pas référence à la filtration pour les temps d’arrêt, martingales, ... En remplaçant
(M t ) par (M t − M 0 , t ≥ 0) qui est aussi une martingale (ou une martingale locale),
nous supposerons que M 0 = 0.
(1) On suppose que M est une martingale bornée par C. Pour toute subdivision ∆,
s < t, notons i et k les entiers tels que t i ≤ s < t i+1 et t k ≤ t < t k+1 .
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet