a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

1.6 Exercices 23
3. En appliquant l’inégalité de Doob, montrer qu’il existe une constante K p que l’on
explicitera telle que
( ) (∫ T
E sup |M t | 2p ≤ K p E
0≤s≤T
0
)
|X s | 2p ds .
Exercice 1.9 Soit (X t ) un processus (F t )-adapté continu, positif tel que X 0 = 0, (A t ) un
processus croissant continu (F t )-adapté tel que pour tout temps d’arrêt T, E(X T ) ≤ E(A T ).
Pour tout t ≥ 0, on note V t = sup 0≤s≤t X s .
1. Montrer que pour tout temps d’arrêt T et tout ǫ > 0, P(V T ≥ ǫ) ≤ 1 ǫ E(A T). (On
pourra utiliser τ ε = inf{t ≥ 0 : X t ≥ ε} et T n = T ∧ n ∧ τ ε .)
2. Montrer que pour tout temps d’arrêt T, et tout δ > 0, ǫ > 0, si S = inf{t ≥ 0 : A t ≥
δ}, P(V T ≥ ǫ, A T ≤ δ) ≤ P(V T ∧S ≥ ε) ≤ 1 ǫ E(δ ∧ A T).
3. Soit F : [0, +∞[→ [0, ∞[ une fonction dérivable, strictement croissante telle que
F(0) = 0 et pour tout x > 0, u → F ′ (u)
1 u [x,+∞[(u) ∈ L 1 (λ), où λ désigne la mesure de
Lebesgue. Notons G :]0, +∞[→]0, +∞[ la fonction définie par
(a) Montrer que G ′ (x) = F ′ (x) + ∫ +∞
x
(b) Montrer que
E(F(V T )) =
≤
∫ +∞
0
∫ +∞
0
∫ +∞
F ′ (u)
G(x) = 2F(x) + x du.
x u
≤ E(G(A T )).
F ′ (u)
u
P(V T ≥ u)F ′ (u)du
du.
2P(A T ≥ u)F ′ (u)du +
∫ +∞
0
1
u E( )
A T 1 {AT ≤u} F ′ (u)du
En déduire que si p ∈]0, 1[, pour tout temps d’arrêt T, E(V p
T ) ≤ 2−p
1−p E(Ap T ).
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet