a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.6 Exemples en finance 45
qui représente le temps d’occupation de [0, +∞[ par le Brownien. En effet, si on pose k(x) =
β1 [0,+∞[ (x) et g(x) = 1, en approximant k par une suite de fonctions continues on en déduit
que pour α, β > 0 la fonction
est solution de l’EDO
[∫ ∞
f(x) = E
{
0
(
exp −αt − β
∫ t
0
) ]
1 [0,∞) (x + B s )ds dt
αf(x) = 1 − βf(x) + f ′′ (x)
si x > 0,
2
αf(x) = 1 + f ′′ (x)
si x < 0.
2
L’unique solution bornée et continue de cette EDO est donnée par :
{
Ae
f(x) =
−x√2(α+β) + 1 si x > 0,
α+β
Be x√2α + 1 si x < 0.
α
En imposant la continuité de f et f ′ en zéro, on trouve
A =
1 1
√ −
α(α + β) (α + β)
et B =
1
√
α(α + β)
− 1 α ,
ce qui entraîne
∫ ∞
0
e −αt E
[ ]
e −βA+ t
dt = f(0) =
1
√
α(α + β)
.
Puisque Γ( 1 2 ) = √ π, le théorème de Fubini et un changement de variables montrent que
∫ ∞
0
(∫ t
e −αt du
0
e−βu
π √ u(t−u)
)
dt = 1 √ π
∫ +∞
=
0
1 1
√ √ . α + β α
e −(α+β)u
√ u
du 1 √ π
∫ +∞
u
e −α(t−u)
√ t − u
dt
Puisque la transformée
∫
de Laplace caractérise la loi, on en déduit que pour tout β > 0,
t
E[e −βA+ t ] =
0 e−βu √ 1 du, puis que la densité de π u(t−u) A+ t est la fonction h définie par
h(u) =
1
π √ u(t − u) 1 ]0,t[(u).
La fonction de répartition de cette loi est définie pour tout θ ∈]0, t[ par :
P ( A + t ≤ θ ) =
∫ θ
0
∫
du
θ/t
π √ u(t − u) = ds
π √ s(1 − s) = 2 √
θ
π Arcsin t .
0
La loi de A + t est appelée loi de l’arcsinus. On remarque enfin que pour θ ∈]0, t[,
P ( A + t ≤ θ ) = P ( tA + 1 ≤ θ ) ,
ce qui montre que les variables A + t et tA + 1 ont même loi. On aurait pu aussi obtenir ce
résultat directement par « scaling » du Brownien.
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet