a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

1.4 Processus d’Itô de dimension d - Formule d’Itô générale 13
(iv) Soit (X t ) un processus d’Itô qui est une (Ft B
est nulle ds ⊗ dP p.p.
)-martingale locale. Alors sa dérive b
Démonstration. (i) et (ii) sont des conséquences immédiates de la Proposition 1.17, du
Théorème 1.18 et de la polarisation.
(iii) La différence D t = ∫ t
(˜b 0 s − b s )ds = ∫ t
(σ 0 s − ˜σ s )dB s est dont un processus à variation
bornée sur [0, T] (à cause de l’intégrale déterministe) et une martingale locale continue (à
cause de l’intégrale stochastique et du Théorème 1.13). La Proposition 1.17 montre que la
variation quadratique de l’intégrale stochastique de σ − ˜σ est nulle p.s. sur tout intervalle
[0, t], soit ∫ t
|σ 0 s − ˜σ s | 2 ds = 0, et σ = ˜σ ds ⊗ dP p.p. sur [0, t] × Ω. On en déduit que
∫ t
(b 0 s − ˜b s )ds = 0 pour tout t, ce qui termine la démonstration puisque X 0 = x = ˜x.
(iv) Le processus d’Itô X t = x+ ∫ t
σ 0 sdB s + ∫ t
b 0 sds est continu. Puisque t → x+ ∫ t
σ 0 sdB s
est une (Ft B )-martingale locale continue, par différence le processus t → ∫ t
b 0 sds est une
martingale locale continue et est à variation finie sur tout intervalle [0, t]. Il est donc constant
(et égal à 0) p.s. d’après la Proposition 1.15 ✷
1.4 Processus d’Itô de dimension d - Formule d’Itô générale
1.4.1 Processus d’Itô de dimension d
Nous étendons tout d’abord la définition du mouvement Brownien réel au cas d’un
processus de dimension quelconque.
Définition 1.26 Soit ( B t = (B 1 t , B 2 t , . . .,B r t ), t ≥ 0 ) un processus r-dimensionnel et (F t )
une filtration. On dit que B est un (F t )-Brownien standard r-dimensionnel si les processus
(B i ), 1 ≤ i ≤ r sont des (F t )-Browniens réels indépendants, c’est à dire : B 0 = 0 et pour
0 ≤ s ≤ t
(i) B t − B s suit une loi normale N(0, (t − s)Id r ).
(ii) l’accroissement B t − B s est indépendant de la tribu F s .
Quand la filtration n’est pas précisée, on dit que B est un Brownien standard d-dimensionnel
si c’est un mouvement Brownien pour sa filtration naturelle (F B t ). Si B est un Brownien
standard pour la filtration (F t ), c’est aussi un Brownien standard pour sa filtration naturelle
(F B t ). Le Brownien est un processus gaussien à accroissements indépendants.
Nous commettrons l’abus de notation consistant à identifier un vecteur (x 1 , · · · , x r ) ∈ R r et
la matrice colonne de ses composantes dans la base canonique. Nous noterons donc
⎛ ⎞
B t =
⎜
⎝
B 1 t
.
B r t
⎟
⎠ .
Nous généralisons de même la notion de processus d’Itô. Notons M(d, r) l’ensemble des
matrices d × r à d lignes et r colonnes. On dit qu’un processus X = (Xj(t) i : 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤
j ≤ r, t ≥ 0) à valeurs dans M(d, k) appartient à H1 loc(F
t) (resp. H2 loc(F
t), H2 2(F t), H2 ∞(F t))
si chaque composante Xk i est un processus réel qui appartient à Hloc 1 (F t ) (resp. H2 loc (F t ),
H2 2(F t), H2 ∞(F t)).
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet