a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.3 Quelques propriétés des diffusions. 33
Une solution forte est clairement une solution faible, mais la réciproque est fausse, comme
le montre l’exemple suivant. L’existence d’une solution faible peut en effet être montrée sous
des conditions plus générales sur les coefficients.
Exemple 2.9 (Équation de Tanaka) Notons sign(x) = 1 si x ≥ 0 et sign(x) = −1 si
x < 0. Alors l’EDS
X t =
∫ t
admet une solution faible, mais pas de solution forte.
0
sign(X s )dB s (2.14)
Si ( Ω, F, (F t ), B, X ) est une solution faible, le processus X est une martingale continue
de variation quadratique 〈X, X〉 t = ∫ t
sign(X 0 s) 2 ds = t et d’après la caractérisation du
Brownien de P. Lévy (Théorème 1.33), X est un (F t )-Brownien. On en déduit immédiatement
la « construction » d’une solution faible.
∫
Soit (X t ) un Brownien et (F t ) sa filtration naturelle. Pour tout t ≥ 0 soit B t =
t
sign(X 0 s)dX s . Le processus (B t ) est une (F t )-martingale continue, de variation quadratique
〈B, B〉 t = t. La caractérisation du Brownien de P. Lévy montre donc que B est un
(F t )-Brownien. De plus, dB t = sign(X t )dX t , c’est à dire que dX t = sign(X t )dB t .
Sur l’espace probabilisé (Ω, F, (F t ), P), le couple (B, X) est donc une solution faible de
(2.14). On voit d’ailleurs que sur le même espace probabilisé, (B, −X) est également une
solution faible de (2.14), qui ne peut donc avoir une unique solution « trajectorielle » mais
au mieux une unique solution « en loi ».
L’absence de solution forte sera admise.
Définition 2.10 On dit qu’il y a unicité en loi de la solution de (2.13) si deux solutions
faibles ( (Ω, F, (F t ), P), B, X ) et ( (˜Ω, ˜F, ( ˜F t ), ˜P), ˜B, ˜X ) ont la même loi, c’est à dire que
pour tout n ≥ 1 et tout 0 ≤ t 1 < t 2 < · · · < t n , les lois des vecteurs (X t1 , · · · , X tn ) et
( ˜X t1 , · · · , ˜X tn ) sont égales.
Le raisonnement précédent montre que pour l’équation de Tanaka (2.14), il y a unicité en
loi puisque nous avons montré que toute solution faible est un Brownien.
On remarque par ailleurs que si les coefficients σ et b satisfont les conditions (2.3)
et (2.4), le Théorème 2.6 montre l’existence et l’unicité forte de la solution de (2.6). Il
y a aussi unicité en loi de la solution forte ou de la solution faible de (2.13). En effet,
soit ( (Ω, F, (F t ), P), B, X ) et ( (˜Ω, ˜F, ( ˜F t ), ˜P), ˜B, ˜X ) deux solutions faibles et soit Y et Ỹ
deux ( solutions fortes continues de (2.6) définies respectivement sur les espaces probabilisés
Ω, F, (Ft ), P), B ) et (˜Ω, ˜F, ( ˜Ft ), ˜P), ˜B ) . Le Théorème 2.6 permet de conclure que l’on a
X t = Y t pour tout t ≥ 0 P p.s. (c’est à dire, qu’en utilisant la continuité des trajectoires
on a un ensemble négligeable construit à partir des instants rationnels en dehors duquel les
trajectoires coïncident). De même ˜X t = Ỹt pour tout t ≥ 0 ˜P p.s. Pour prouver l’unicité
faible, il suffit donc de prouver que les lois de X et ˜X sont égales. En reprenant les schémas
d’itération de Picard (2.9) pour X et ˜X, on vérifie que pour tout n ≥ 0, les lois des processus
continus (B t , X (n)
t
) et ( ˜B t ,
˜X
(n)
t
) sont égales.
2.3 Quelques propriétés des diffusions.
2.3.1 Flot stochastique et Propriété de Markov
Soit σ et b des coefficients qui satisfont les conditions globales de Lipschitz (2.3) et
de restriction sur la croissance (2.4). En reprenant la démonstration du Théorème 2.6, on
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet