a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

1.2 Variation quadratique - Crochet d’une martingale locale 5
En particulier soit h un processus cadlag (F t )-adapté; si pour tout t > 0 on a ∫ t
( 0 h2 s ds <
∫ )
+∞ p.s., alors h ∈ H2 loc t
, si E
0 h2 sds < ∞ pour tout t, alors h ∈ H 2 (F t ), ... Lorsque
la filtration (F t ) est la filtration naturelle (Ft B ) d’un mouvement Brownien B, on notera
simplement H1 loc := H1 loc (Ft B ), H2 loc := H2 loc (Ft B ), ...
La propriété suivante des intégrales stochastiques par rapport au mouvement Brownien
est fondamentale.
Théorème 1.13 Soit B un mouvement Brownien et (Ft B ) sa filtration naturelle. Soit h ∈
H 2 ; alors le processus t → I t = ∫ t
h 0 sdB s est une (Ft B )-martingale de carré intégrable et à
trajectoires p.s. continues.
Soit h ∈ H2 loc (par exemple un processus cadlag, (Ft B)-adapté tel que ∫ t
0 h2 sds < +∞
p.s.) Alors l’intégrale stochastique I t = ∫ t
h 0 sdB s peut être construite comme une martingale
locale continue.
Rappelons la notion de variation satisfaite par les intégrales de la borne supérieure déterministes.
Définition 1.14 (i) Soit s < t et f : [s, t] → R. La fonction f est à variation bornée sur
[s, t] si V [s,t] (f) < +∞, où
{ }
∑
V [s,t] (f) := sup |f(t i+1 ) − f(t i )| : {s = t 0 < t 1 < · · · < t n ≤ t} subdivision de [s, t] .
i
La fonction f : [0, +∞[ est à variation finie sur [0, +∞[ si elle est à variation bornée sur
tout intervalle [0, T].
(ii) Le processus (X t ) est à variation bornée sur [s, t] (resp. à variation finie) si ses
trajectoires sont p.s. à variation bornée sur [s, t] (resp. p.s. à variation finie).
De façon évidente, si b ∈ H1 loc (F t ), le processus t → I t = ∫ t
b 0 sds est à variation finie; en
effet pour tout T ≥ 0, V [0,T] (I) ≤ ∫ T
|b(t)| dt. Le comportement des intégrales stochastiques
0
est tout autre.
Proposition 1.15 Soit (M t ) une (F t )-martingale locale p.s. continue à variation finie.
Alors pour tout t la variable aléatoire M t est presque sûrement constante (égale à M 0 ).
Démonstration. Puisque M 0 est p.s. constante, en remplaçant M t par M t − M 0 , on peut
supposer M 0 = 0.
(i) Fixons T et supposons que (M t ) est une martingale continue et que sa variation
V [0,T] (M) est (p.s.) bornée par C. Soit ∆ = {t 0 = 0 < t 1 < · · · < t n = T } une subdivision de
[0, T], |∆| = sup n−1
i=0 |t i+1 − t i | son pas et pour 0 ≤ k ≤ n − 1 soit X k = M tk+1 − M tk . Alors
∑n−1
E(|M T | 2 ) = E(|M T − M 0 | 2 ) = E(Xk) 2 + 2
k=0
∑
1≤i