a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

1.4 Processus d’Itô de dimension d - Formule d’Itô générale 15
L’indépendance de (B l t j+1
− B l t j
et de F tj entraîne :
si i < I ≤ j, ξ i k (Bk t i+1
− B k t i
)E(ξ j l E(Bl t j+1
− B l t j
|F tj )|F tI ) = 0,
si I ≤ i < j, E(ξk i(Bk t i+1
− Bt k i
)ξ j l E(Bl t j+1
− Bt l j
|F tj ) ∣ FtI ) = 0,
Cette propriété s’étend ensuite à des processus σ k et σ l de H2(F 2 t ) pour lesquels on déduit
que
(∣ ∣∣
r∑
∫ t
σ k (s)dBs
k r∑
∫
∣ 2 t
)
− |σ k (s)| 2 ds , t ≥ 0
k=1
0
k=1
est une (F t )-martingale. Par localisation, on montre enfin que ce processus est une (F t )-
martingale locale si on sait seulement que les processus σ k , 1 ≤ k ≤ r appartiennent à
H2 loc (F t ).
Le crochet des processus ξ et ¯ξ est donc celui de leurs parties martingales
m t = ∑ r
∫ t
k=1
σ 0 k(s)dBs k, et ¯m t = ∑ r
∫ t
k=1 ¯σ 0 k(s)dBs k soit
∫
〈ξ , ¯ξ〉
t r∑
t = 〈m, ¯m〉 t = σ k (s)¯σ k (s)ds.
Le crochet de la martingale locale m est égal à celui de ξ, soit
〈ξ , ξ〉 t = 〈m, m〉 t =
∫ t
0
0
0
k=1
r∑
|σ k (s)| 2 ds =
k=1
∫ t
0
‖σ(s)‖ 2 ds,
où ‖σ(s)‖ désigne la norme euclidienne dans R r du vecteur (σ 1 (s), · · · , σ r (s)).
1.4.2 Formule d’Itô générale
Les résultats de la section précédente sont résumés dans la
Proposition 1.28 Soit (B t ) un (F t )-Brownien standard à valeurs dans R r , (X t ) un processus
d’Itô à valeurs dans R d de la forme (1.7). Alors X est à trajectoires continues. Pour
chaque i = 1, · · · , d, le processus ( ∫ t
0 bi (s)ds, t ≥ 0) est continu à variation finie (c’est à dire
que chacune de ses composantes est à variation finie), nul en 0. Le processus ∫ t
σ(s)dB 0 s est
une martingale locale continue (c’est à dire que chacune de ses composantes est une martingale
locale continue) nulle en 0. La décomposition est unique. Le crochet des composantes
X i et X j , 1 ≤ i, j ≤ d est
〈X i , X j 〉 t =
∫ t
0
r∑
σk i (s)σj k (s)ds.
k=1
La formule d’Itô, montrée pour un processus d’Itô réel dans le cours de Calcul Stochastique
1, se généralise immédiatement à des processus d’Itô multidimensionnels. Rappelons
la tout d’abord en dimension 1 sous sa forme la plus simple.
Théorème 1.29 Soit X t = x+ ∫ t
σ(s)dB 0 s+ ∫ t
b(s)ds, où x ∈ R, (B 0 t) est un (F t )-Brownien,
b ∈ H1 loc , σ ∈ H2 loc . Soit f : R → R une fonction de classe C 2 . Alors pour tout t ≥ 0,
f(X t ) = f(x) +
= f(x) +
∫ t
0
∫ t
0
f ′ (X s )dX s + 1 2 f ′′ (X s )d〈X, X〉 s (1.8)
∫ t
[
f ′ (X s )σ(s)dB s + f ′ (X s )b(X s ) + 1 ]
2 f ′′ (X s )σ 2 (s) ds.
0
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet