a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

1.1 Rappels 3
Démonstration. (i) Pour tout n ≥ 1, soit S n (ω) = k2 −n sur {S ∈ [(k − 1)2 −n , k2 −n [},
k ≤ K2 n + 1 et T n défini de façon similaire. Alors S n et T n sont des (F t )-temps d’arrêt
qui ne prennent qu’un nombre fini de valeurs et tels que S ≤ S n ≤ T n , lim n S n = S et
lim n T n = T. Si A ∈ F Sn , en découpant l’ensemble A suivant les valeurs prises par S n et en
utilisant la propriété de martingale, on voit que ∫ M A S n
dP = ∑ ∫
k
M A∩{S n=k} KdP, c’est à
dire que M Sn = E(M K |F Sn ). Puisque F Sn ⊂ F Tn , on a donc
E(M Tn |F Sn ) = E(E(M K |F Tn )|F Sn ) = M Sn .
On en déduit que pour A ∈ F S ⊂ F Sn , ∫ M A S n
dP = ∫ M A T n
dP. De plus, les suites de
temps d’arrêt (S n , n ≥ 1) et (T n , n ≥ 1) étant décroissantes, le calcul précédent montre que
les suites (M Sn , F Sn ) et (M Tn , F Tn ) sont des martingales descendantes, donc uniformément
intégrables. Puisque la martingale M est continue à droite, M T = lim n M Tn et M S =
lim n M Sn p.s. et dans L 1 . On en déduit que pour tout A ∈ F S , ∫ M A SdP = ∫ M A TdP,
ce qui termine la démonstration. On remarque que cette démonstration s’étend aisément au
cas où S et T sont des temps d’arrêt non bornés tels que S ≤ T si la martingale M est
uniformément intégrable, donc fermée.
(ii) Si s ≤ t, il suffit d’appliquer la partie (i) aux temps d’arrêt s ∧ T ≤ t ∧ T ≤ t,
pour déduire que M t∧T est une (F t∧T )-martingale. Montrons que ce processus (F t )-adapté
intégrable est encore une (F t )-martingale.
Soit A ∈ F s . De façon évidente, A ∩ {T > s} ∈ F s∧T , et puisque E(M t∧T |F s∧T ) = M s∧T ,
∫
∫
M t∧T dP = M s∧T dP.
A∩{T>s}
A∩{T>s}
De plus, sur {T ≤ s}, M t∧T = M T = M s∧T ; on en déduit ∫ M A t∧TdP = ∫ M A s∧TdP, ce qui
termine la démonstration. ✷
Cette proposition justifie la définition suivante qui permet de « localiser » la notion de
martingale en introduisant une suite croissante de temps d’arrêt.
Définition 1.8 Un processus (F t )-adapté et continu à droite M est une (F t )-martingale
locale s’il existe une suite croissante (τ n ) de (F t )-temps d’arrêt telle que τ n → ∞ et M τn :=
(M t∧τn , t ≥ 0) est une (F t )-martingale pour tout n.
Remarque 1.9 (1) Soit M une martingale locale. En remplaçant la suite de temps d’arrêt
(τ n ) par (τ n ∧ n) on voit que l’on peut demander que chaque martingale M τn soit uniformément
intégrable. Pour tout n ≥ 1, soit S n = inf{t ≥ 0 : |M t | ≥ n}. Alors S n est
un temps d’arrêt et si la martingale locale M est continue, on peut, en remplaçant τ n par
τ n ∧ n ∧ S n , demander que la martingale M τn soit bornée.
(2) Même si M est une martingale locale intégrable, ce n’est pas nécessairement une
martingale. On pourra voir un contre-exemple dans [11], page 182.
Définition 1.10 Le processus (B t , t ≥ 0) est un mouvement Brownien (standard) réel - ou
unidimensionnel si les propriétés (a)-(c) sont vérifiées :
a) P(B 0 = 0) = 1 (le mouvement Brownien est issu de l’origine).
b) Pour 0 ≤ s ≤ t, B t − B s est une variable réelle de loi gaussienne, centrée de variance
(t − s), notée N(0, t − s).
c) Pour tout n et 0 ≤ t 0 ≤ t 1 · · · ≤ t n , les variables aléatoires B t0 , B t1 − B t0 , · · · ,
B tn − B tn−1 sont indépendantes.
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet