a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.4 Processus de Bessel 39
Théorème 2.19 (Théorème de comparaison) Soit (B t , t ≥ 0) un mouvement brownien
réel, b 1 , b 2 et σ des fonctions globalement lipschitziennes de R dans R, x 1 ≥ x 2 des nombres
réels. Pour i = 1, 2, on considère les EDS
X i t = x i +
∫ t
0
b i (X i s) ds +
∫ t
0
σ(X i s) dB s
Supposons que b 1 (x) ≥ b 2 (x) pour tout x ∈ R. Alors X 1 t ≥ X2 t p.s. pour tout t ≥ 0.
2.4 Processus de Bessel
Dans la pratique, le théorème d’existence et d’unicité de solutions d’EDS sous les conditions
usuelles sur les coefficients (conditions globales de Lipschitz et de restriction sur la
croissance) est parfois insuffisant pour ce qui concerne le coefficient de diffusion. On peut
notablement améliorer ce théorème dans le cas réel.
Théorème 2.20 (Yamada-Watanabe) Soit d = r = 1. Supposons que b et σ sont à croissance
linéaire, c’est à dire satisfont la condition de restriction sur la croissance globale (2.4),
que b vérifie la condition de Lipschitz globale (2.3) et que
|σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ ρ(|x − y|) , ∀t ≥ 0, ∀x, y ∈ R,
où ρ :]0, +∞[→]0, +∞[ est une fonction borélienne strictement croissante telle que ρ(0) = 0
et
∫ ε
dz
ρ 2 (z) = +∞
0
pour tout ε > 0. Alors si X 0 = x ∈ R, il y a unicité forte pour l’équation (2.6).
Une classe très importante d’EDS dont l’unicité forte est montrée en appliquant le
théorème précédent est la suivante :
X t = x + 2
∫ t
0
√
Xs dB s + δ t (2.25)
où B est un Brownien réel et x, δ > 0. En effet, | √ x − √ y| ≤ √ |x − y| et le théorème
de Yamada-Watanabe appliqué avec la fonction ρ(x) = √ x montre que (2.25) admet une
unique solution forte. De plus, on peut montrer que cette solution est toujours positive et
définie sur [0, +∞[. Cependant, le théorème 2.6 n’aurait pas permis d’obtenir ce résultat,
car σ(x) = √ x n’est pas lipschitzienne en zéro. Le processus X est un processus de Bessel
carré de dimension δ.
Nous allons relier le processus de Bessel au Brownien. Soit n > 1 et B = (B 1 , B 2 , . . .,B n )
un mouvement Brownien n-dimensionnel. Soit X le processus défini par X t = ||B t || ; alors
Xt 2 = ∑ n
i=1 (Bi t) 2 et la formule d’Itô montre que dXt 2 = ∑ n
i=1 2Bi tdBt i + n dt.
En notant (x, y) le produit scalaire des vecteurs x et y, on voit que le processus β défini par
dβ t = 1 X t
(B t , dB t ) = 1
||B t ||
n∑
Bt i dBi t , β 0 = 0,
i=1
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet