a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

1.5 Propriétés du Brownien. 19
Les intégrales stochastiques ( ∫ t
s ei(λ,Mu−Ms) H j k (u)dBk u , t ≥ s) sont des martingales pour tout
j = 1, · · · , d et k = 1, · · · , r, et sont indépendantes de F s . En utilisant le théorème de Fubini,
on en déduit
( ∫ t
) ∫ t
f(t) = P(A) − ‖λ‖2
2 E 1 A e i(λ,Mu−Ms) du = P(A) − ‖λ‖2 f(u)du.
2
s
Puisque f ′ (t) = − ‖λ‖2 f(t) pour t ≥ s et que f(s) = P(A), nous avons établi que pour tout
2
t ≥ s, f(t) = P(A) exp(− ‖λ2 ‖
(t − s)). ✷
2
1.5.2 Propriétés de Markov
Une propriété fondamentale du Brownien est la propriété de Markov, qui traduit le fait
que ce qui se passe après l’instant t (c’est à dire dans le futur à l’instant t) ne dépend pas
de toute la tribu F t des évènements du « passé » , mais seulement de l’état B t à l’instant t.
Décrivons tout d’abord le passage d’un instant s à un instant t ≥ s.
Définition 1.34 Une probabilité de transition sur R d est une application Π : R d × R d →
[0, 1] telle que
(i) pour tout x ∈ R d , l’application A ∈ R d → Π(x, A) est une probabilité.
(ii) pour tout A ∈ R d , x ∈ R d → Π(x, A) est mesurable de (R d , R d ) dans ([0, 1], B([0, 1]).
Une fonction de transition sur R d est une famille (P s,t , 0 ≤ s < t) de probabilités de transition
telle que si s < t < v l’équation de Chapman-Kolmogorov soit satisfaite :
∫
P s,t (x, dy)P t,v (y, A) = P s,v (x, A) , ∀A ∈ R d , ∀x ∈ R d . (1.16)
Pour toute fonction f : R d → R borélienne positive (ou bornée) on note
∫
P s,t f(x) = f(y) P s,t (x, dy).
R d
Si la fonction de transition P s,t ne dépend que de t − s, on dit qu’elle homogène et dans ce
cas, si on note P t = P 0,t , l’équation (1.16) s’écrit
∫
P s+t (x, A) = P s (x, dy)P t (y, A).
Pour toute fonction f : R d → R borélienne positive (ou bornée), on a P s+t f(x) = P t
(
Ps f(x) )
et on dit que (P t ) est un semi-groupe.
L’équation (1.16) est naturelle. En effet, si X est un processus et (x, A) ∈ R d × R d →
P s,t (x, A) est une probabilité de transition tels que pour tout A ∈ R d et s < t,
∫
P(X t ∈ A|σ(X u , u ≤ s)) = P s,t (X s , A) = 1 A (y) P s,t (x, dy) p.s.,
on en déduit E(f(X t )|σ(X u , u ≤ s)) = ∫ R d f(y)P s,t (X s , dy) pour toute fonction borélienne
f : R d → R positive (ou bornée). Pour s < t < v, A ∈ R d et f(y) = P t,v (y, A), on en déduit
P s,v (X s , A) = P(X v ∈ A|σ(X u , u ≤ s))
= E [ P(X v ∈ A|σ(X u , u ≤ t) | σ(X u , u ≤ s) ]
= E [ f(X t )|σ(X u , u ≤ s) ] ∫
= P s,t (X s , dy)P t,v (y, A).
Ces notions permettent de formuler précisément la propriété de Markov « faible ».
s
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet