a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.1 Solution forte - Diffusion. 29
ce qui prouve (2.10).
(ii) Pour tout n ≥ 1,
sup
n≥1
sup
t∈[0,T]
E(|X (n)
t | 2 ) ≤ K[1 + E(|X 0 | 2 )]e Ct . (2.11)
En effet, pour tout t ∈ [0, T], la partie (i) montre que E(|X (1)
t | 2 ) ≤ C[1 + E(|X 0 | 2 )], tandis
que pour tout n ≥ 1,
E(|X (n+1)
t | 2 ) ≤ C[1 + E(|X 0 | 2 )] + C
∫ t
0
E(|X s
(n) | 2 )ds.
En itérant cette inégalité, on en déduit par récurrence sur n que pour tout n ≥ 1 et t ∈ [0, T],
E(|X (n+1)
t | 2 ) ≤ C[1 + E(|X 0 | 2 )]
[1 + Ct + (Ct)2
2!
ce qui termine la démonstration de (2.11).
]
+ · · · + (Ct)n ,
n!
(iii) Montrons que la suite (X (n) ) converge p.s. uniformément sur [0, T] vers un processus
X continu, (F t )-adapté X tel que (2.7) soit vraie. Pour tout n ≥ 1, notons
où
A n t = ∫ t
0
X (n+1)
t
− X (n)
t = A n t + M n t ,
[
b(s, X
(n)
s ) − b(s, X s (n−1) ) ] ∫ t
ds , Mt n =
0
[
σ(s, X
(n)
s ) − σ(s, X s (n−1) ) ] dB s .
Alors, E(sup 0≤s≤t |X s
(n+1) − X s (n) | 2 ) ≤ 2E ( sup 0≤s≤t |A n s |2) + 2E ( sup 0≤s≤t |Ms n|2) .
L’inégalité de Schwarz et (2.3) entraînent pour tout r ∈ [0, t],
|A n t |2 ≤ t
∫ t
0
|b(s, X (n)
s
) − b(s, X s
(n−1) )| 2 ds ≤ CT
∫ t
0
|X (n)
s
− X s
(n−1) | 2 ds
De plus, l’inégalité (2.11) montre que le processus s → σ(s, X s
(n) ) − σ(s, X s
(n−1) ) appartient
à H2 T (F t ). En effet, (2.3) montre que
(∫ t
E ∣ σ(s, X
(n)
s ) − σ(s, X s
(n−1) ) ∣ ) ∫ t
2 ds ≤ C 2 E(|X s
(n) − X s
(n−1) | 2 )ds
0
0
≤ 2C 2 ∫ t
0
0
[
E(|X
(n)
s
| 2 ) + E(|X s
(n−1) | 2] ds < +∞.
L’inégalité de Doob appliquée à la martingale continue (Mt n , t ≥ 0), puis (2.3) montrent que
( ) ∫ t
E sup |Ms n |2 ≤ 4 E(|σ(s, X s
(n) ) − σ(s, X s
(n−1) )| 2 )ds
0≤s≤t
0
∫ t
≤ 4C 2 E(|X s
(n) ) − X s
(n−1) )| 2 )ds.
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet