a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.3 Quelques propriétés des diffusions. 37
alors la restriction sur la croissance des coefficients σk i (t, x) et le fait que la condition initiale
soit constante (donc dans tous les espaces L p , 1 ≤ p < +∞) entraînent que pour tout k, il
existe une constante C et un exposant b i,k > 0 tels que pour tout t > 0
E
∫ t
0
∂f
∣ (s, X s ) ∣
∣2 ∣ σk i ∂x (s, X s) ∣ 2 ds ≤ C
i
(
)
1 + sup E(|X s | b i,k
) < +∞.
0≤s≤t
Une croissance polynomiale de toutes les dérivées partielles ∂f
∂x i
(t, x) permet donc de conclure
que les intégrales stochastiques dans la formule d’Itô de f(t, X t ) sont des martingales continues
(de carré intégrable).
En appliquant le théorème 2.16 avec d = r = 1, on déduit immédiatement que si f ∈ C 1,2
a une dérivée partielle ∂f bornée (ou à croissance polynomiale) et si
∂x
∂f
∂t (t, x) + A tf(t, x) = ∂f (t, x) + b(t, x)∂f
∂t ∂x (t, x) + 1 2 σ(t, f
x)2∂2 (t, x) = 0,
∂x2 alors f(t, X t ) est une vraie (F B t )- martingale
De même, si
∂f
∂t (t, x) + A tf(t, x) = rf(t, x),
alors le processus e −rt f(t, X t ) est une (Ft B )-martingale. Le coefficient r est appelé coefficient
d’actualisation. En particulier, si f(T, x) = h(x), on a f(t, X t ) = e r(t−T) E[h(X T )|Ft B ]. Ceci
sera fort utile en finance, comme on le verra dans les chapitres suivants. On peut généraliser
cette propriété de martingale pour un coefficient d’actualisation non constant.
Théorème 2.17 Soit σ et b des fonctions qui satisfont les conditions globales de Lipschitz
et de restriction sur la croissance (2.3) et (2.4), B un mouvement Brownien standard de
dimension r, X t la solution de l’équation différentielle stochastique :
X t = x +
∫ t
0
σ(s, X s ) dB s +
∫ t
0
b(s, X s ) ds (2.24)
et A t son générateur infinitésimal. Alors pour toute fonction continue minorée ρ : [0, T] ×
R d → [m, +∞[ et toute fonction f : [0, T] × R d → R d de classe C 1 et t et de classe C 2 en x
telle que les dérivées partielles ∂f
∂x i
de f sont à croissance polynomiale, le processus
M ρ t (f) = e − R t
0 ρ(s,Xs) ds f(t, X t ) − f(0, X 0 )
−
∫ t
est une martingale pour la filtration ( F B t ).
0
e − R s
0 ρ(u,Xu) du ( ∂f
∂s + A sf − ρ f
)
(s, X s ) ds
Démonstration : La formule d’Itô pour un produit entraîne que
d
(e − R )
t
0 ρ(s,Xs) ds f(t, X t ) = −ρ(t, X t ) e − R t
0 ρ(s,Xs) ds f(t, X t ) dt
+e − R t
0 ρ(s,Xs) ds d ( f(t, X t ) ) .
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet