a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.1 Solution forte - Diffusion. 27
Démonstration. Il suffit d’itérer la majoration sous l’intégrale. On en déduit pour tout n ≥ 1
∫ t
( ∫ s
)
f(t) ≤ a + b a + b f(u) du ds
0 0
∫
≤ a + abt + b 2 f(u) du ds
0≤u≤s≤t
∫ ( ∫ u
)
≤ a + abt + b 2 a + b f(v) dv du ds
0≤u≤s≤t 0
∫
∫ t ∫ s ∫ u
≤ a + abt + ab 2 du ds + b 3 f(v) dv du ds
0≤u≤s≤t
≤ a + abt + a b2 t 2
+ · · · + a bn t n
2! n!
0
0
0
+ M bn+1 t n+1
(n + 1)! ,
où dans la dernière intégrale on a majoré la fonction f par M. La dernière majoration de f
donne f(t) ≤ a e bt par passage à la limite en n. ✷
On peut cependant affaiblir les hypothèses en ne demandant qu’une hypothèse de Lipschitz
« locale » de ceux-ci, mais en gardant une restriction sur la croissance globale.
Définition 2.5 La fonction ϕ satisfait la condition de Lipschitz locale sur [0, T] par rapport
à la variable spatiale x si pour tout n ≥ 1 il existe K n > 0 tel que pour tout t ∈ [0, T] et
x, y ∈ R d :
|ϕ(t, x) − ϕ(t, y)| ≤ K n |x − y| pour |x| ≤ n et |y| ≤ n. (2.5)
Si ϕ est définie sur [0, +∞[ et satisfait la condition de Lipschitz locale (2.5) sur chaque
intervalle [0, T] avec une suite de constantes K n qui ne dépend pas de T, on dit qu’elle est
localement Lipschitzienne.
Théorème 2.6 (Théorème d’existence et d’unicité forte) Soit σ et b des coefficients qui satisfont
sur [0, +∞[ les conditions globales de Lipschitz (2.3) et de restriction sur la croissance
(2.4). Alors, si B est un Brownien standard de dimension r, pour toute variable aléatoire
X 0 de carré intégrable et indépendante de σ(B s , s ≥ 0) il existe une unique solution forte de
l’EDS
X t = X 0 +
∫ t
0
σ(s, X s )dB s +
∫ t
0
b(s, X s )ds p.s. , ∀t ≥ 0. (2.6)
Cette solution forte X de (2.6), adaptée à la filtration (F t ) où F t est la tribu complétée de
σ(X 0 , σ(B s , 0 ≤ s ≤ t)), est continue. De plus, il existe une constante ˜C(C, T) telle que pour
tout t ≥ 0 : ( )
E sup |X s | 2 ≤ ˜C(C, T)e ˜C(C,T)t [1 + E(|X 0 | 2 )]. (2.7)
0≤s≤t
Si la condition initiale X 0 ∈ L p , 2 ≤ p < +∞, il existe une constante ¯C(C, T, p) telle que
( )
E sup |X t | p < ¯C(C, T, p)[1 + E(|X 0 | p )]. (2.8)
0≤t≤T
Démonstration. Fixons un instant T > 0 quelconque et prouvons l’existence et l’unicité de
la solution forte sur l’intervalle [0, T].
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet