a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.5 Lien avec les EDP 43
Une généralisation immédiate de (2.8) basée sur le lemme de Gronwall et l’inégalité de
Burkholder montre que pour tout p ∈ [1, +∞[, E(sup t≤s≤T |Xs t,x|p
) ≤ C p (1 + |x| p ). Il existe
K > 0 tel que le terme |Tn(t, 1 x)| est dominé par Cn K P(τ n ≤ T). Pour tout p ∈ [1, +∞[,
P(τ n ≤ T) ≤ C p n −p E ( sup |Xs t,x | p) ≤ C p n −p .
t≤s≤T
Choisissant p > K nous obtenons Tn 1 (t, x) → 0 quand n → +∞. Le théorème de convergence
dominée entraîne que lorsque n → +∞,
[
Tn(t, 2 x) → E f(X t,x
T ) R ]
T
e− 0 ρ(s,Xt,x s ) ds
,
ce qui termine la démonstration.
✷
Nous verrons dans l’exercice 2.6 que le problème de Cauchy (2.31) admet comme solution
[
]
v(t, x) = E
f(X t,x R T
T )e− t ρ(s,Xs t,x ) ds +
∫ T
t
g(s, X t,x
s ) e − R s
t ρ(u,Xt,x u ) du ds
. (2.34)
On déduit immédiatement du Théorème de Feynman Kac le résultat suivant. Soit r > 0
et f : R d → R une fonction continue à croissance polynomiale. Alors si v continue sur
[0, T] × R d et v ∈ K 1,2 ([0, T[×R d ) est solution du problème de Cauchy
{ ∂v
∂t (t, x) + A t v(t, x) = r v(t, x) pour (t, x) ∈ [0, T[×R d ,
v(T, x) = f(x) pour x ∈ R d ,
alors v(t, x) = E ( e −r(T −t) f(X t,x
T )) .
Ces liens entre diffusions et EDP peuvent être vus de deux façons.
D’une part en « petite dimension » on peut utiliser des méthodes numériques d’EDP (différences
finies ou éléments finis) afin de résoudre numériquement l’EDP (il faut encore des
conditions pour qu’elle ait une solution unique) et en déduire une information sur l’espérance
d’une fonction du processus.
Mais les méthodes numériques, efficaces en petite dimension, deviennent très difficiles
à implémenter en grande dimension. Par contre, les méthodes de Monte-Carlo ou de quasi
Monte Carlo permettent d’approximer l’espérance d’une variable aléatoire ou d’un processus
en une famille finie d’instants t et d’états x. On peut se servir de l’interprétation de la solution
v(t, x) de l’EDP (sous réserve qu’elle soit unique) comme une espérance pour écrire cette
fonction au point (t, x) à l’aide de l’espérance d’une diffusion. Par un schéma d’Euler de pas
T/n, on sait approximer la trajectoire de la diffusion par celle d’un processus très simple et
très rapide à simuler. La vitesse de convergence « forte » , qui donne une majoration de la
norme uniforme de la différence des trajectoires, est en 1/ √ n. Si on s’intéresse seulement à
l’espérance d’une fonction de la diffusion en un instant T, la vitesse de convergence « faible »
du schéma est en 1/n. L’espérance de la fonction du processus approximant à l’instant T
est elle-même approximée par une moyenne d’après la loi forte des grands nombres. Le
théorème de la limite centrale montre alors que si on dispose de N réalisations, la vitesse
de convergence de la moyenne vers l’espérance est en √ 1
N
. Simuler une approximation de
la diffusion par un schéma d’Euler est très simple et l’inconvénient est plutôt le nombre de
simulations qu’il faut utiliser pour avoir une approximation « raisonnable ». Cette méthode
est donc « lente », mais « insensible à la dimension ».
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet