a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.3 Quelques propriétés des diffusions. 35
Lorsque les coefficients sont homogènes, c’est à dire ne dépendent pas du temps, on peut
écrire la propriété de Markov sous une forme plus précise (homogène) et on a la propriété
de Markov forte. En effet, dans ce cas, puisque le processus défini par ˜B t = B s+t − B s
est un (F s+t , t ≥ 0)-Brownien, on en déduit que les variables aléatoires X s,y
s+t et X t (y)
ont la même loi et la fonction Φ t (y) utilisée dans la propriété de Markov peut s’écrire
Φ t (y) = E[f(Xs+t)] s,y = E[f(X t (y))] = P t f(y). De plus, on a le
Théorème 2.13 (Propriété de Markov homogène - Propriété de Markov forte)
Soit σ i k : Rd → R et b i : R d → R, 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ k ≤ r des coefficients indépendants du
temps tels qu’il existe C > 0 pour lequel pour tout i = 1, · · · , d et k = 1, · · · , r :
|σ i k (x) − σi k (y)| + |bi (x) − b i (y)| ≤ C|x − y|, (2.17)
Notons X(x) la solution forte de l’EDS homogène
X t = X 0 +
∫ t
0
σ(X s )dB s +
∫ t
0
b(X s )ds (2.18)
qui correspond au cas X 0 = x. C’est un processus de Markov fort homogène, c’est à dire
que pour tout (Ft B )-temps d’arrêt τ fini presque sûrement et pour toute fonction borélienne
positive (ou bornée) f : R d → R,
où P t (x) = E[f(X t (x))].
E[f(X τ+t (x))|F τ ] = E[f(X τ+t (x))|X τ (x)] = P t f(X τ (x)),
Remarquons que dans le cas homogène, la condition de Lipschitz (2.17) entraîne immédiatement
un analogue de la restriction sur la croissance
|σ i k (x)| + |bi (x)| ≤ C(1 + |x|). (2.19)
Dans le cas général (in-homogène), on montre de façon similaire que le processus espacetemps
est fortement Markovien, c’est à dire que si f : [0, +∞[×R d → R est borélienne
positive, alors pour tout temps d’arrêt τ fini presque sûrement, si
on a :
Φ t (s, x) = E[f(s + t, X s,x
t )]
E[f(τ + t, X τ+t (x))|F τ ] = E[f(τ + t, X τ+t (x))|X τ (x)] = Φ t (τ, X τ (x)).
2.3.2 Générateur infinitésimal
Convention : Dans toute cette section, nous considérons des coefficients σ et b qui satisfont
les conditions (2.3) et (2.4) dans le cas général, ou bien les conditions du Théorème 2.13
dans le cas homogène et que la condition initiale X 0 est constante.
Notons C n,p ([0, +∞[×R d ) l’ensemble des fonctions u : [0, +∞[×R d → R de classe C n par
rapport à la variable t ∈ [0, ∞[ et de classe C p par rapport à la variable x ∈ R d .
Définition 2.14 Lorsque X est la solution de l’EDS homogène (2.18), si on note a = σσ ∗ ,
le générateur infinitésimal de X est l’opérateur différentiel A défini pour u ∈ C 2 (R d ) par
Au(x) =
d∑
i=1
b i (x) ∂u
∂x i
(x) + 1 2
d∑
a i,j ∂ 2 u
(x) (x) . (2.20)
∂x i ∂x j
i,j=1
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet