a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.1 Solution forte - Diffusion. 25
(c’est à dire y t = 5e −t ) et des EDS
Y t = 5 −
∫ t
avec σ = 0.4 et σ = 2 obtenues par simulation.
0
Y s ds + σB t
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
2.1 Solution forte - Diffusion.
Dans la suite, nous étudierons donc des Équations Différentielles Stochastiques (EDS),
dont la définition précise est la suivante.
On se donne de nouveau une filtration (F t ) continue à droite et formée de tribus
complètes (mais on ne suppose pas nécessairement que F 0 est la tribu des ensembles négligeables),
un (F t )-Brownien B à valeurs dans R r , une variable aléatoire ξ à valeurs dans R d indépendante
de Fs B = σ(B s , s ≥ 0), des fonctions boréliennes
σ : [0, +∞[×R d → M(d, r) ∼ R dr et b : [0, +∞[→ R d .
On appelle Équation Différentielle Stochastique (EDS) de condition initiale ξ, de coefficient
de diffusion σ et de coefficient de dérive b un processus X tel que pour tout t ≥ 0,
X t = ξ +
∫ t
0
σ(s, X s )dB s +
L’équation (2.2) sera aussi notée
{ dXt = σ(t, X t )dB t + b(s, X s )ds,
X 0 = ξ.
∫ t
0
b(s, X s )ds. (2.2)
On s’intéresse tout d’abord à l’existence et l’unicité de solutions au sens fort.
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet