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2.1 Solution forte - Diffusion. 31
Le lemme de Fatou et la condition de Lipschitz (2.3) montrent que pour tout m,
(∫ T
E
0
) (∫ T
|X t − X (m)
t | 2 dt ≤ lim inf E |X (n)
t
n
0
)
− X (m)
t | 2 dt → 0
quand m → ∞. L’inégalité de Schwarz et la condition de Lipschitz (2.3) montrent alors
que ∫ t
b(s, X(n)
0 s )ds converge dans L 2 vers ∫ t
b(s, X 0 s)ds, tandis que l’isométrie des intégrales
stochastiques prouve que ∫ t
σ(s, X(n)
0 s )dB s converge dans L 2 vers ∫ t
σ(s, X 0 s)dB s . On en
déduit que X satisfait (2.6) en prenant la limite dans L 2 de l’équation (2.9).
Enfin, si l’on renforce l’intégrabilité de la condition initiale, la démonstration précédente
dans laquelle on remplace l’isométrie de l’intégrale dans L 2 par l’inégalité de Burkholder-
Davies-Gundy (1.13) permet de montrer (2.8). ✷
Exemple 2.7 (Brownien géométrique) Soit σ et b des nombres réels, S 0 un nombre réel
strictement positif. Le Brownien géométrique est la solution de l’EDS
S t = S 0 +
∫ t
0
σS s dB s +
∫ t
0
bS s ds.
Le Théorème 2.6 montre que cette EDS a une unique solution forte, puisque les coefficients
σ(t, x) = σx et b(t, x) = bx satisfont clairement les conditions globales de Lipschitz et de
restriction sur la croissance. Pour tout t ≥ 0, notons
X t = S 0 exp
[
σB t +
(b − σ2
2
) ]
t . (2.12)
En appliquant la formule d’Itô à la fonction f(t, x) = S 0 exp[σx + (b − σ2 )t] et au Brownien
2
B, puisque ∂f
σ2 ∂f
(t, x) = (b − )f(t, x), (t, x) = σf(t, x), ∂2 f
(t, x) = σ 2 f(t, x), f(t, B
∂t 2 ∂x ∂x 2 t ) = X t
et f(0, B 0 ) = S 0 , on déduit que
∫ t
X t = S 0 +
0
) (b − σ2
X s ds +
2
∫ t
0
σX s dB s + 1 2
∫ t
0
σ 2 X s ds = S 0 +
∫ t
0
∫ t
σX s dB s + bX s ds,
0
c’est à dire que X est solution de (2.12). L’unicité de la solution forte entraîne que X = S.
On en déduit que S t > 0 pour tout t ≥ 0 p.s. En appliquant de nouveau la formule d’Itô
à la fonction g(x) = ln(x) et à S t , on voit que si on avait postulé que le processus S ne
prenait p.s. que des valeurs positives (ce que nous venons de vérifier) on aurait trouvé pour
Y t = ln(S t ),
Y t = Y 0 +
∫ t
0
σ S s
S s
dB s +
∫ t
0
b S s
ds − 1 ∫ t
σ 2 Ss
2 ds = Y
S s 2 0 Ss
2 0 + σB t +
) (b − σ2
t,
2
c’est à dire que la forme (2.12) de la solution était « naturelle ». L’exercice 2.4 généralisera
cette observation à une EDS linéaire plus générale. De plus, la loi de ln(S t ) − ln(S 0 ) est
gaussienne N((b − σ2)t,
2 σ2 t), c’est à dire que S t suit une loi log-normale. La figure suivante
montre la simulation de trajectoires du Brownien géométrique sur [0, 1] avec σ = 0.5 (resp.
σ = 2), b = 2 et S 0 = 1.
26 octobre 2009 Calcul Stochastique 2 - Annie Millet