a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

2.5 Lien avec les EDP 41
la fonction définie par u(t, x) = E[f(x+σ B t )] satisfait donc l’EDP ∂u σ2 ∂
(t, x) = 2 u(t, x) sur
∂t 2 ∂x 2
]0, +∞[×R et appartient à K 1,2 ([ε, +∞[×R) pour tout ε > 0. Reste à vérifier le comportement
asymptotique de u(t, y) quand (t, y) → (0, x). De nouveau, puisque f est à croissance
polynomiale, si cette fonction est de plus continue, le théorème de convergence dominée
entraîne que pour tout x ∈ R,
lim u(t, y) = f(x) .
(t,y)→(0,x)
On a ainsi prouvé que l’équation (2.26) de condition initiale f continue à croissance
polynomiale a une solution; reste à prouver l’unicité de la solution de (2.26) pour la condition
initiale, ce qui donnera une interprétation probabiliste à la solution de cette EDP. De
nouveau, on peut montrer l’unicité de la solution de (2.26) de façon probabiliste.
Théorème 2.21 Soit u une fonction de classe C 1,2 sur ]0, T] × R qui satisfait l’équation
de la chaleur (2.26), telle que sup |u(t, x)| soit à croissance polynomiale en x et telle pour
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