a la Finance Université Paris 1 Calcul Stochastique ... - samos-matisse

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1 Processus d’Itô de dimension quelconque
Le but de ce chapitre est d’étendre les notions de mouvement Brownien, de processus
d’Itô et la formule d’Itô de la dimension 1 à une dimension d arbitraire.
1.1 Rappels
Nous rappelons tout d’abord quelques définitions et notations du cours de Calcul Stochastique
1. La filtration donne « l’information » dont on dispose à chaque instant t.
Définition 1.1 Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé.
(i) Une filtration est une famille croissante (F t , t ≥ 0) de sous-tribus de F, c’est à dire
telle que F s ⊂ F t ⊂ F si s ≤ t.
(ii) On dit que la filtration (F t ) satisfait les conditions usuelles si elle est :
• continue à droite, i.e., F t = F t+ := ⋂ s>t F s.
• complète, i.e., toutes les tribus F t contiennent les ensembles négligeables, ce qui revient
à demander que P(A) = 0 entraîne A ∈ F 0 .
Convention. Dans toute la suite on se donne un espace probabilisé filtré (Ω, F, (F t , t ≥
0), P) et on suppose que sa filtration (F t ) satisfait les conditions habituelles. On supposera
de plus que la tribu F 0 est la complétée de la tribu triviale {∅, Ω}, ce qui entraîne que les v.a.
F 0 mesurables sont presque sûrement constantes. Ceci ne sera pas rappelé dans les énoncés.
Définition 1.2 Un processus stochastique (à valeurs dans R d ) est une famille (X t , t ≥ 0)
de variables aléatoires X t : (Ω, F) → (R d , R d ).
(i) Le processus stochastique (X t ) est (F t )-adapté si X t est mesurable de (Ω, F t ) dans
(R d , R d ) pour tout instant t ≥ 0.
(ii) Le processus stochastique (X t ) est progressivement mesurable (ou progressif) si pour
tout instant t ≥ 0, l’application (s, ω) ↦→ X s (ω) est mesurable de B([0, t])⊗F t dans (R d , R d ).
(iii) Soit (X t ) un processus stochastique. Sa filtration naturelle est (F X t , t ≥ 0) où F X t =
σ(σ(X s , s ∈ [0, t]), N) où N désigne les ensembles négligeables. Si le processus (X t ) est
continu à droite, sa filtration naturelle (F X t ) satisfait les conditions habituelles.
Théorème 1.3 Soit (X t ) un processus stochastique à valeurs dans R d , adapté et continu à
droite. Alors (X t ) est progressif.
La notion de temps d’arrêt joue un rôle crucial dans la théorie.
Définition 1.4 Une variable aléatoire τ : Ω → [0, +∞] est un temps d’arrêt (relativement
à la filtration (F t )), ou (F t )-temps d’arrêt, si {τ ≤ t} ∈ F t pour tout t ≥ 0. Si τ est un
temps d’arrêt relativement à (F t ), on note
F τ = {A ∈ F : A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t , ∀t ∈ [0, +∞[}.
Enfin si (X t ) est un processus (F t )-adapté, on note X τ (ω) = X τ(ω) (ω); si le processus (X t )
est continu à droite et adapté, X τ 1 {τ