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Systèmes MIMO et codage SpatioTemporelDidier Le RuyetConservatoire National des Arts et MétiersEmail leruyet@cnam.frCours ELE 203v2.0CNAM Cours ELE 203. – p.1/77

PlanCanal radiomobile et diversitéSystème MIMOCapacité et modèles de canauxProbabilité d’erreurs et critères de constructionCodes spatio-temporels en blocCodes en treillis spatio-temporelCNAM Cours ELE 203. – p.2/77

Canal radiomobileatténuation proportionnelle à 1/d α avec α compris entre 2.5 et 5bruit thermiquephénomène de masquage ( variation suffisamment lente pour pouvoirêtre corrigée par un contrôle de puissance)multi-trajets engendrant des évanouissements (variation rapide)interférence entre utilisateurs, cellules, ...CNAM Cours ELE 203. – p.3/77

Modèle Bande étroiteRéponse équivalente en bande de base :r b (t) = h b (τ, t) ∗ x b (t)=N∑α n (t)e −jφn(t) x b (t − τ n (t))n=0avec φ n (t) = 2πf 0 τ n (t) − φ Dnlorsque l’étalement temporel est trés inférieur au temps symbole, on a :r b (t) =N∑α n (t)e −jφn(t) x b (t)n=0CNAM Cours ELE 203. – p.4/77

Modèle Bande étroiteUne petite variation du retard entraîne une grande variation de la phasedu trajet associéeOn peut aussi considérer que les retards comme les phases associés auxN + 1 trajets varient indépendamment et de façon imprévisible. Lesignal reçu est donc un processus aléatoire.Théorème limite centrale : lorsque le nombre de trajets est grand, laréponse rb(t) peut être modélisée par un processus complexe gaussien.La distribution du module de r b (t) est une distribution de Rayleighla phase est distribuée uniformément sur l’intervalle [0, 2π]CNAM Cours ELE 203. – p.5/77

Distribution de RayleighSoit la variable aléatoire R obtenue comme suit:R =√X 2 1 + X2 2(1)Si X 1 et X 2 sont deux v. a. indépendantes centrées gaussiennes et de variance σ 2 , alorsR est une v. a. dont la distribution est de Rayleigh.p R (r) = rσ 2 exp (− r22σ 2 )(2)0.70.60.50.4p R(r)0.30.20.100 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5rCNAM Cours ELE 203. – p.6/77

Correlation temporelle• Lorsque la somme résultante est nulle ou proche de zéro, on dit qu’il seproduit un évanouissement Les évanouissements sont principalement liés auxvariations des phasesCNAM Cours ELE 203. – p.7/77

Canal de Rayleighx ih i b iy iSi le canal est non sélectif en fréquence : y i = h i x i + b i• ||h i || = r suit une loi de Rayleigh en absence de trajet direct.• La phase de h i est distribuée uniformément entre [0; 2π].CNAM Cours ELE 203. – p.8/77

¡¥ £¤¢Performance sur canal gaussien±E bx iy iNn iN0,20TEB = 1 2 erfc ()d eucl2 √ N 0= 1 2 erfc (√EbN 0)avec erfc(a) = 2 √ π∫ +∞aexp(−x 2 )dxCNAM Cours ELE 203. – p.9/77

Performance sur canal de Rayleighx ih i b iy i• Le taux d’erreurs bit s’obtient en intégrant sur r :E ′ b = ||h i || 2 E b = r 2 E b (3)TEB =∫ +∞0(√ )12 erfc r 2 E bp(r)drN 0CNAM Cours ELE 203. – p.10/77

Performance sur canal de Rayleigh• Après calcul, on obtient :(TEB = 1 1 −2√ )γ1 + γavec γ le rapport signal à bruit moyen :γ = E()Eb′N 0= E( )r 2 E bN 0• Lorsque γ est grand en utilisant la relation de Taylor√ (γ1 + γ = 1 − 12γ + O• Nous obtenons l’approximation suivante :)1γ 2TEB ≈ 14γCNAM Cours ELE 203. – p.11/77

Diversité• Plus il y a de branches indépendantes, plus la probabilité d’êtresimultanément dans un évanouissement diminue :Pour 2 branches :Pour L branches :1P e ≈ 3(4γ) 2P e ≈ C L 2L−11(4γ) LCNAM Cours ELE 203. – p.12/77

Diversité temporelle, fréquentielle etspatialeIl est possible d’améliorer les performances d’un système en exploitantses différentes diversitéstemporelle : le signal est transmis sur plusieurs trames (temps decohérence). L’entrelacement est généralement utilisé à cet effet.Possible uniquement sur des canaux variant dans le tempsfréquentielle : le signal est transmis sur plusieurs bandes de fréquence(bande de cohérence). Possible uniquement sur les canaux sélectifs enfréquence. Exemple de technique utilisant cette diversité :RAKE,OFDM.spatiale : en utilisant plusieurs antennes à l’émission et à la réception.Ces antennes doivent être espacées suffisamment pour quel’évanouissement sur chaque antenne soit indépendant (distance decohérence)CNAM Cours ELE 203. – p.13/77

Système SISOhTXRXn E SxyhC = log 2 (1 + ||h|| 2 ρ) en Sh/2Davec ρ = E sN 0.Pour le canal de Rayleigh, la capacité est une variable aléatoireCNAM Cours ELE 203. – p.14/77

Système MISOTX 1TX 2TXRX 1RXTX N tCNAM Cours ELE 203. – p.15/77

Système MISOnESNtx 1yESNtx2h1h2ESNtxNthNtC = log 2 (1 + ρ ∑N tN ti=1||h i || 2 )CNAM Cours ELE 203. – p.16/77

Système SIMORX 1TXTX 1RX 2RXRX N rCNAM Cours ELE 203. – p.17/77

Système SIMOh 1n 1( ) E Sxy 1h 2n 2y 2y Nrh Nrn Nr• la capacité est atteinte par combinaison linéaire optimale (MRC) : onmultiplie chaque y i par h ∗ iρ instant = E s( ∑ N ri=1 ||h i|| 2 ) 2N 0 ( ∑ N ri=1 ||h i|| 2 ) = E s( ∑ N ri=1 ||h i|| 2 )=N 0∑N ri=1||h i || 2 ρC = log 2 (1 +∑N r||hi || 2 ρ)CNAM Cours ELE 203. – p.18/77

Système MIMOh 11entrée binairecodage etmodulationc 1y 1c 2y 2c Nth NrNty Nrdécodage etdémodulationsortie binairey = Hc + n avec H =⎡⎢⎣⎤h 11 ... h 1Nt.. .. . ⎥⎦h Nr 1 ... h Nr N tCNAM Cours ELE 203. – p.19/77

Capacité des systèmes MIMO• hypothèse : canal connu parfaitement à la réception• r ≤ min(N t , N r ) est le rang de la matrice de canal H• N t ≤ N r• Décomposition SVD de la matrice H (dimension N r × N t ):H = UΣV HN r × N t N t × N t N t × N toù U et V sont des matrices unitaires et Σ est la matrice diagonale :⎛ √λ1 √ λ2 Σ =. .. √ ⎜⎝λr ⎟⎠0⎞(4)où λ i (i = 1, ..., r) sont les valeurs propres non nulles de H H H (N t × N t )CNAM Cours ELE 203. – p.20/77

Capacité des systèmes MIMOcH= UΣVHyny = UΣV H c + nCNAM Cours ELE 203. – p.21/77

Capacité des systèmes MIMO~cVcHH=UΣVyU Hy~précodagenpostcodageU H y = U H (UΣV H )V˜c + U H nỹ = Σ˜c + ñoù ñ est encore gaussien avec la même variance que n.Système équivalent à r canaux SISO en parallèle dont les puissancessont données par les valeurs propres.CNAM Cours ELE 203. – p.22/77

Water filling (cas général)hypothèse : N canaux gaussiens parallèles indépendantsE s = ∑ Ni=1 E sib i : C(0, N 0i )energyx 1y 11b 1µEs 2Es 3Es 1Es 4x Nb Ny NNo 2NoNo 3No 4channelC =N∑i=1(log 2 1 + E )siN 0i⎧⎨E si = µ − N 0i si N 0i ≤ µ⎩E si = 0sinonCNAM Cours ELE 203. – p.23/77

Capacité des systèmes MIMO~ c~y11λ 1~n1c~ry~rλ rn~rN 0i = N 0λ iC =∑N ti=1log 2(1 + E siN 0λ i)CNAM Cours ELE 203. – p.24/77

Capacité (suite) Foschini98 Telatar95hypothèse : canal inconnu à l’émissionla même énergie E si = E sN test appliquée sur chacune des N t antennesd’émissionsoit ρ = E sN ole rapport signal à bruit à la réceptionC(ρ, N t , N r ) ==r∑i=1r∑i=1C ilog 2(1 + ρ N tλ i)= log 2 det(I Nr + ρ )HH HN t(5)CNAM Cours ELE 203. – p.25/77

Capacité ergodique et de coupureLa capacité ergodique s’obtient en calculant l’espérance sur toutes lesréalisations possibles du canal MIMO.C(ρ, N t , N r ) = E{log 2 det(I Nr + ρ N tHH H ) } (Sh/2D) (6)Si la durée du bloc d’information est limitée devant le temps de cohérence ducanal, on utilise la capacité de coupure q% C out,q . Elle est définie comme ledébit d’information garanti pour (100 − q)% des réalisations du canal, i.e,P(C ≤ C out,q ) = q%.CNAM Cours ELE 203. – p.26/77

Capacité ergodique C=f(RSB)353025(1,1) iid(2,2) iid(3,3) iid(4,4) iid(2,2) corr.(3,3) corr.(4,4) corr.Capacité ergodique en fonction du RSBC (bit/s/Hz)201510500 5 10 15 20 25 30RSB (dB)Les capacités ergodiques pour canaux i.i.d gaussiens et pour canaux de transmission corrélés (lienmontant, à l’émission : distance entre antenne =0.5 λ, angle de départ= 20 ˚, à la réceptiondistance entre antenne =4.0 λ, angle d’arrivée= 50 ˚, angle de dispersion azimutal= 5 ˚).La capacité croît en fonction de min(N t , N r )log(SNR)CNAM Cours ELE 203. – p.27/77

Modèle de canaux de transmission• Modèle i.i. d. gaussien• Modèle de Kronecker :H = RrecΘR 1/2 1/2txR tx et R rec sont respectivement les matrices de corrélation à l’émission et àla réceptionΘ est une matrice N r × N t i.i.d. gaussienne• Modèle "trou de serrure"CNAM Cours ELE 203. – p.28/77

Codes spatio temporel en blocOn considère des canaux à évanouissement par bloc ( constant pendant Tintervalles de temps élémentaires)Q symbole d’information S = [s 1 , s 2 , ..., s Q ] T de dimension Q × 1 sontencodés par la matrice code C de dimension N t × T :C =⎡⎢⎣c 11 · · · c 1T... ....c Nt 1 · · · c Nt T⎤⎥⎦(7)Le rendement du code MIMO code est égal à R MIMO = Q/T .On a alors la relation suivante :Y = HC + N (8)où Y et N sont respectivement les matrices de réception et de bruit dedimension N r × T .CNAM Cours ELE 203. – p.29/77

Compromis diversité - rendement Lu03• Si T ≥ N t alorsd t diversité à l’émissionDémonstration : borne de SingletonR ≤ N t − d t + 1•Si T < N t alorsR ≤ N t − N t(dt + 1)TCNAM Cours ELE 203. – p.30/77

Compromis facteur de diversité -facteur de multiplexage Zheng03facteur de diversité d = d t N r = − limSNR→∞facteur de multiplexage r = limSNR→∞log P e (SNR)log SNRR(SNR)log SNRSi T ≥ N t + N r − 1, on a la relation limite : d = (N t − r)(N r − r)(0,N tN r)Diversity−multiplexing tradeoffDiversity gain, d(r)Multiple antennachannel(1,(N t−1)(N r−1))(2,(N t−2)(N r−2))(r,(N t−r)(N r−r))(0,1)Single antennachannel(min(N t,N r),0)(1,0) Multiplexing gain, rCNAM Cours ELE 203. – p.31/77

Probabilité d’erreurs par paire Tarokh98• Probabilité d’erreurs par paire P {C → C ′ |H} : probabilité que lerécepteur décode le bloc C ′ alors que le bloc C a été transmis.Soit la matrice de différence⎡⎤D =⎢⎣c 11 − c ′ 11 ... c 1T − c ′ 1Tc 21 − c ′ 21 ... c 2T − c ′ 2T. . .⎥⎦(9)c Nt 1 − c ′ N t 2 ... c Nt 2 − c ′ N t 2Soit la matrice hermitique E = DD H . Il existe une matrice unitaire T et unematrice réelle diagonale U tel que TET H = U. Les éléments de la diagonalede U sont les valeurs propres de E, i.e. λ i ; i = 1, 2, .., N t .CNAM Cours ELE 203. – p.32/77

Probabilité d’erreurs par paire(√ )P(C → C ′ |H) = 1 2 erfc Esd4N t N 2 (C,C ′ )0(≤ exp −E )sd 2 (C,C ′ )4N t N 0avec d 2 (C,C ′ ) =∑N rj=1h j DD H h H j ==∑N rj=1∑N r∑N tj=1h j T H UTh H ji=1λ i ||β ij || 2où h j = [ h j1 h j2 ... h jNt ] est la j-ième ligne de H. β ij est le ièmeélément du vecteur β j = h j T H .CNAM Cours ELE 203. – p.33/77

Probabilité d’erreurs par pairePour calculer P(C → C ′ ), il faut moyenner sur l’ensemble des ||β ij ||,P(C → C ′ ) ≤ E|βij |∏N r∏N tj=1 i=1exp(− E s4N 01N tλ i ||β ij || 2 )β ij sont des variables aléatoires complexes gaussiennes centrées de variance1/2 par dimension (canal de Rayleigh) :P(C → C ′ ) ≤∏N ti=1(1 + E s4N 01N tλ i) −NrPour les rapports SNR suffisamment élevés on obtientP(C → C ′ ) ≤(Es4N 01N t) −rd N r(rd∏k=1λ k) −Nr(10)où r d est le rang de la matrice E et λ k correspond aux valeurs propres nonnulles de la matrice de différence D.CNAM Cours ELE 203. – p.34/77

Critères de construction• Objectif : minimiser P {C → C ′ } pour toutes les paires possibles.• On dérive deux critères : le critère de rang et le critère de déterminant• Critère du rang: Afin d’obtenir le degré maximum de diversité N t N r , lamatrice de différence D doit avoir un rang plein pour toutes les pairesdistinctes de mot de code. Si le rang minimum est égal à r d , le gain dediversité sera égal à r d N r .• Critère du déterminant: le terme r d∏r d = minC̸=C ′ rank(C − C′ ) (11)k=1λ k représente le gain de codage.Celui-ci doit être maximisé pour l’ensemble de toutes les paires de matricescodes C.( r d∏c g = minC̸=C ′k=1λ k)CNAM Cours ELE 203. – p.35/77

Critères de constructionTEBGain de diversitéGain de codageSNRSoit la pseudo distance( ∏N td g = minC̸=C ′k=1λ k)Si d g ≠ 0, alors le code est à diversité maximale et d g est égal au gain decodageCNAM Cours ELE 203. – p.36/77

Code d’Alamouti Alamouti98• Pour le cas N t = 2 et N r = 1, Alamouti a proposé un code spatio-temporelavec Q = T = 2 et donc R MIMO = 1.A l’instant 1, les symboles s 1 et s 2 sont transmis respectivement sur lesantennes 1 et 2 puis à l’instant 2, les symboles −s ∗ 2 et s ∗ 1 sont transmis sur lesantennes 1 et 2. Ainsi sous forme matricielle, on a :⎡⎤C STBC,2 =⎣ s 1 −s ∗ 2s 2 s ∗ 1⎦ (12)[y 11 y 12 ] = [h 11 h 12 ]⎡⎣ s 1 −s ∗ 2s 2 s ∗ 1⎤⎦ + [n 11 n 12 ]Le code présente la propriété d’être orthogonal car nous avonsC STBC,2 C H STBC,2 = ( ||s 1 || 2 + ||s 2 || 2) I 2CNAM Cours ELE 203. – p.37/77

Code d’AlamoutiCe système peut se mettre sous la forme équivalenteY =⎡⎣ y 11y ∗ 12⎤⎦ =⎡⎣ h 11 h 12h ∗ 12 −h ∗ 11⎤⎡⎤⎦⎣ s 1⎦ +s 2⎡⎣ n 11n ∗ 12⎤⎦ = Hs + NPour ce code, le gain de diversité est égal à ||h 11 || 2 + ||h 21 || 2 .Comme H est une matrice orthogonale, le décodage au sens du maximum devraisemblance (MV) s’obtient simplement en multipliant le vecteur reçu parH H ,˜s = H H Y = (||h 11 || 2 + ||h 12 || 2 )s + ñCNAM Cours ELE 203. – p.38/77

Code d’Alamouti• 3 dB de moins que la diversité MRC à l’émissionSNR = E s(||h 11 || 2 + ||h 12 || 2 ) 22N 0 (||h 11 || 2 + ||h 12 || 2 ) = E s(||h 11 || 2 + ||h 12 || 2 )2N 010 010 −1Alamouti (M=2,N=1)Alamouti (M=2,N=2)MRC (M=2, N=1)MRC (M=2, N=2)canal de Rayleigh10 −2Uncoded BER10 −310 −410 −510 −60 5 10 15 20 25 30CNAM Cours ELE 203. – p.39/77

Autres codes ST en bloc orthogonaux• Le code d’Alamouti est le seul code orthogonal complexe permettantd’atteindre la diversité maximale avec un rendement égal à R MIMO = 1Tarokh99.• Il existe seulement quelques autres codes orthogonaux complexes ayant unrendement inférieur à 1. Par exemple pour N t = 3, N r = 1,Q = 3 et T = 4 etdonc R MIMO = 3/4 on a le matrice code suivante:C STBC,3 =⎡⎢⎣⎤s 1 s 2 s 3 0−s ∗ ∗2 s 1 0 −s 3⎥⎦ (13)−s ∗ ∗3 0 s 1 s 2• Comme précédemment, la structure orthogonale permet de décodersimplement ce code.CNAM Cours ELE 203. – p.40/77

Codes ST en bloc presque orthogonaux• Sous réserve de sacrifier la propriété d’orthogonalité, il est possible deconstruire des codes de rendement supérieur ou égal à 1.Exemple : N t = 4 et R MIMO = 1.C STBC,4 =⎡⎢⎣⎤s 1 −s ∗ 2 −s ∗ 3 s 4∗s 2 s 1 −s ∗ 4 −s 3s 3 −s ∗ ∗4 s 1 −s 2⎥⎦s 4 s ∗ ∗3 s 2 s 1(14)Cette matrice est obtenue à partir de deux matrices d’Alamouti et d’unetransformée de Hadamard.• Contrairement aux codes STBC orthogonaux on a :H H H =4∑(||h 1i || 2 )I 4 + J (15)i=1où la matrice J est la matrice d’interférenceCNAM Cours ELE 203. – p.41/77

Codes ST en bloc presque orthogonaux• la matrice de différence B n’est pas de rang plein pour toutes les paires demot de code.• Pour obtenir un rang plein, on applique une rotation sur les symboles s 3 ets 4 :C STBC,4 =⎡⎢⎣⎤s 1 −s ∗ 2 −s ∗ 3e −jφ rts 4 e jφ rt∗s 2 s 1 −s ∗ 4e −jφ rt−s 3 e jφ rts 3 e jφ rt−s ∗ 4e −jφ rt ∗s 1 −s 2⎥⎦s 4 e jφ rts ∗ 3e −jφ rt ∗s 2 s 1(16)CNAM Cours ELE 203. – p.42/77

Code DAST Damen02• les codes spatio-temporels DAST (Diagonal Algebraic Space Time Block)sont une généralisation des modulations tournées introduites pour le canal deRayleigh par Boullé et Belfiore.• Le codage spatio-temporel DAST est un code de rendement R MIMO = 1avec Q = T = N t construit à partir d’une matrice de rotation M. La matricecode est de la formeC = diag(t 1 , t 2 , . . .,t Nt ) (17)avec t = [t 1 t 2 . . . t Nt ] T = Ms• La matrice de rotation M est le produit de la matrice de Fourier F Nt dedimension N t × N t et de la matrice diagonale composée des puissancessuccessives du paramètre de rotation α :M = F Nt diag [ 1, α, α 2 , . . .,α N t−1 ] (18)CNAM Cours ELE 203. – p.43/77

Code DAST• Les codes DAST atteignent la diversité maximale de N t N r grâce àl’extension de constellation.α est choisi afin de maximiser le gain de codage.• α est déterminé soit par recherche exhaustive ou en utilisant les propriétésde la théorie des nombres. Par exemple, pour N t = T = 2 et une modulationMDP4 des symboles s i , on obtient α = exp( jπ 4 )C =⎛⎝ s 1 + s 2 expj π 400 s 1 − s 2 expj π 4⎞⎠CNAM Cours ELE 203. – p.44/77

Codes TAST Damen02 El Gamal 03• Les codes TAST (threaded algebraic space time) sont une généralisation descodes DAST . Ces codes permettent d’atteindre le compromis optimal entregain de diversité et de multiplexage. Pour N t = 2, N r ≥ 2 et un rendementR MIMO = 2, on a la matrice de code suivante :C =⎛⎞⎝ s 1 − ψ tt s 2 ψ 1/2tt (s 3 + ψ tt s 4 )⎠ (19)ψ 1/2tt (s 3 − ψ tt s 4 ) s 1 + ψ tt s 2où ψ tt = e jζ ttet ζ tt est un paramètre réel à optimiser pour obtenir le meilleurgain de codage. On a ζ tt = 0.5 pour une modulation MDP4 et ζ tt = 0.448pour une modulation MAQ16.• Comme pour les codes non orthogonaux, on peut utiliser un décodagelinéaire (ZF ou MMSE), non linéaire (SIC) ou par sphère.CNAM Cours ELE 203. – p.45/77

Performances des codes TAST• Comparaison des performances TEM = f(E B /N 0 ) du code d’Alamouti(2, 2) avec le code TAST (2, 2) pour un débit binaire de 4 bits par intervallede temps élémentaire ( MAQ 16 pour le code d’Alamouti et MAQ 4 pour lecode TAST).10 0 Alamouti codeTAST codeTaux d’erreurs bloc10 −110 −210 −310 −45 10 15 20 25CNAM Cours ELE 203. – p.46/77

Multiplexage spatial V-BLAST Foschini99modulation et codagedémodulation et décodageExemple :N t = N r = N = 2, Q = 2, T = 1 soit R MIMO = 2 :C V BLAST,2 =⎡ ⎤⎣ s 1⎦s 2Le signal reçu s’écrit alors :⎡⎣ y 11y 21⎤⎦ = H⎡⎣ s 1s 2⎤⎦ +⎡ ⎤⎣ n 11⎦n 21CNAM Cours ELE 203. – p.47/77

Décodage linéaire• Décodeur par forçage à zéroỹ = H −1 yŝ= décision(ỹ)• Décodeur MMSEỹ = (H H H + σ 2 I) −1 H H yŝ= décision(ỹ)CNAM Cours ELE 203. – p.48/77

Décodage par soustraction successived’interférence1) Décomposition QR de H = QR où Q est une matrice unitaire et R est unematrice triangulaire supérieure. On calcule ensuite les deux matrices G et L :⎧⎨G = diag −1 (R)Q H⎩L = diag −1 (R)R − I N2) Multiplication du vecteur reçu par G :ỹ = Gy = diag −1 (R)Rs + Gn3) Estimation successive des symboles s N ,s N−1 , . . .,s 1CNAM Cours ELE 203. – p.49/77

Décodage par soustraction successived’interférenceG ++ –Réduction de l’interférence spatialeLdécodeur⎧ŝ N = décision ((ỹ) N )⎪⎨ŝ N−1 = décision ((ỹ) N−1 − ŝ N L N−1,N ).⎪⎩ŝ 1 = décision ((ỹ) 1 − ŝ N L 1,N − . . . − ŝ 2 L 1,2 )CNAM Cours ELE 203. – p.50/77

Décodage par sphère• On utilise la relation réelle entre x et y (dimension 2N × 1)ˆx = arg min ||y − Bx|| 2x⎡⎤• avec b ij = ⎣ R(h ij) −I(h ij )⎦I(h ij ) R(h ij )• Equivalent à la recherche du point le plus proche dans un réseau de point• Au lieu de rechercher les 2 2N points (modulation QPSK), on limite cetterecherche aux points situés dans l’hypersphère de rayon √ C 1 autour du pointreçu yCNAM Cours ELE 203. – p.51/77

Décodage par sphèreM(x(c)) = ‖y − Bx(c)‖ 2= (x − ˜x) T B T B(x − ˜x) + y T (I − B(B T B) −1 B T )y= (x − ˜x) T R T R(x − ˜x) + y T (I − B(B T B) −1 B T )yoù ˜x = (B T B) −1 B T y est la solution ZFR = {r ij } 2N×2N est une matrice triangulaire avec B T B = R T R obtenue parfactorisation de Cholesky.CNAM Cours ELE 203. – p.52/77

Calcul de métriqueM(x(c)) =où2N∑i=1w(x 2Ni ) + M ′w(x 2Ni ) =(q ii(z i +2N∑j=i+1q ij z j) 2z i = x i − ˜x i , q ii = r 2 ii, q ij = r ijr iipour j > i• La métrique peut être calculée séquentiellement sur un arbre en partant dei = 2N (racine de l’arbre) jusqu’à i = 1 comme suit :M(x 2Ni ) =2N∑j=iw(x 2Nj) + M(x 2N2N+1)= M(x 2Ni+1) + w(x 2Ni )avec M(x 2N2N+1 ) = M′ .CNAM Cours ELE 203. – p.53/77

Arbre de décision' = M ( x2M N2N+ 1)Initial valuew x( 2 N2N)Branch metricDepth 2NM x( 2 N2N)Partial metric( 2 Nw x ) 12N−Depth 2N-1( 2 NM x ) 12N−Depth 2N-2CNAM Cours ELE 203. – p.54/77

Exemple de décodage par sphère• système SISO : N = 1 => réseau de point à 2 dimensions• Constellation :64-QAM x i ∈ {−7, −5, −3, −1, +1, +3, +5, +7}x = [1, −3] TB =⎛ ⎞⎝ 0.5 −1 ⎠1 0.5v = [0.58, −0.31] Ty = [4.08, −0.81] T˜x = [0.984, −3.588] T• Le carré du rayon de la sphère C 1 est fixé à 49 (choisi en fonction de lavariance du bruit)CNAM Cours ELE 203. – p.55/77

Exemplex 1x 2x 2x 1CNAM Cours ELE 203. – p.56/77

Exemplex 1x 2CNAM Cours ELE 203. – p.57/77

Exemplex 1x 214.514.5CNAM Cours ELE 203. – p.58/77

Exemple14.514.519.834.3CNAM Cours ELE 203. – p.59/77

Exemple14.514.519.834.3CNAM Cours ELE 203. – p.60/77

Exemple14.514.519.84.934.319.4CNAM Cours ELE 203. – p.61/77

Exemple14.514.519.84.934.319.4CNAM Cours ELE 203. – p.62/77

Exemple14.514.519.84.9034.319.414.5CNAM Cours ELE 203. – p.63/77

Exemple14.514.519.84.9034.319.414.5CNAM Cours ELE 203. – p.65/77

Exemplex 1x 2x 214.514.52.52.5x 119.84.9034.319.414.5CNAM Cours ELE 203. – p.66/77

Exemplex 1x 2x 214.514.52.52.5x 119.8 4.9 0 4.934.319.414.57.4CNAM Cours ELE 203. – p.67/77

Exemplex 1x 2x 214.514.52.52.5x 119.8 4.9 0 4.934.319.414.57.4CNAM Cours ELE 203. – p.68/77

Exemplex 1x 2x 214.514.52.52.5x 119.8 4.9 0 4.9034.319.414.57.42.5CNAM Cours ELE 203. – p.69/77

Exemplex 1x 2x 214.514.52.52.5x 119.8 4.9 0 4.9034.319.414.57.42.5CNAM Cours ELE 203. – p.70/77

Exemplex 1x 2x 214.514.52.52.5x 119.8 4.9 0 4.9034.319.414.57.42.5CNAM Cours ELE 203. – p.71/77

Exemplex 1x 2x 214.514.52.52.50.4x 119.8 4.9 0 4.9034.319.414.57.42.5CNAM Cours ELE 203. – p.72/77

Exemplex 1x 2x 214.514.52.52.50.4x 119.8 4.9 0 4.90034.319.414.57.42.50.4ˆx = [1, −3] TCNAM Cours ELE 203. – p.73/77

Codage en treillis spatio temporel• Même critères de construction que les codes spatio temporel en blocexemple simple :antenne 1 antenne 2état 00000 01 02 03030201antenne 2état 110 11 12 13Dantenne 1état 220 21 22 2310état 330 31 32 332 3modulation MDP4• Ces codes atteignent le compromis diversité - rendement mais avec unecomplexité exponentielleCNAM Cours ELE 203. – p.74/77

Codage STBC-OFDM• Dans le cas d’un canal sélectif en fréquencedonnéesd(n).. TFDI........ TFD..Conversionsérie parallèleAjout dupréfixe cycliqueSuppressiondu préfixe cycliqueConversionparallèle série....DémultiplexeurMultiplexeurCanal.. TFDI.......TFD ...Conversionsérie parallèleAjout dupréfixe cycliqueSuppressiondu préfixe cycliqueConversionparallèle série....frequence frequenceSTBC-OFDM SFBC-OFDMespaceespacetempstempsCNAM Cours ELE 203. – p.75/77

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