VARIÉTÉS DE CONTACT FEUILLETÉES ET GROUPOÏDES DE ...

VARIÉTÉS DE CONTACT FEUILLETÉES ETGROUPOÏDES DE CONTACT.Paulette LIBERMANNUniversité Paris 6-Pierre et Marie Curie, FranceDominique Flament (dir)Série Documents de travail (Équipe F 2 DS)Feuilletages -quantification géométrique : textes des journées d’étude des 16 et 17 octobre 2003,Paris, Fondation Maison des Sciences de l’Homme, 2004

IntroductionVariétés de contact feuilletées et groupoïdes de contactPaulette LIBERMANNCet exposé reprend certains résultats publiés dans les articles antérieurs, [L 5 ][L 6 ], concernant les groupoïdes symplectiques et de contact. Dans [L 5 ] nous avonsdéfini la notion de groupoïde symplectique ( ΓΩ , ) en imposant notamment lacondition suivante : les distributions A et B tangentes au α-fibres et β-fibres sontsymplectiquement orthogonales ; par suite ces distributions sont complètes vis-à-visdu crochet de Poisson, d’où des structures de Poisson opposées sur la variété desunités Γ 0pour lesquelles α et β sont des morphismes de Poisson. En utilisant lesméthodes de C.Albert et P.Dazord [A.D.] nous avons montré que, dans le cas où lesα -fibres et β -fibres sont connexes, notre définition est équivalente à celle due àA.Weinstein [C.D.W] ainsi M.V Karasev [K.M.].Les mêmes méthodes sont applicables aux groupoïdes de contact ( Γ,ω) tels queφ* ω =− ω (où φ est la symétrie x→x−1 ). On utilise la notion de «pseudoorthogonalité» , chacune des distributions A et B étant localement engendrée par leschamps de vecteurs ω-hamiltoniens correspondant aux intégrales premières de l’autre ;les distributions sont alors complètes vis-à-vis du crochet de Jacobi, d’où desstructures de Poisson sur Γ 0pour lesquelles α et β sont des morphismes de Jacobi.Y. Kerbrat et Z. Souici-Benhammadi ont défini la notion de groupoïde decontact par la condition1m ω x,y ω1 x ω2ycy∗( )= ( ) ( )+ ( )où, Γ 2étant la sous-variété des couples composables, m est l’application Γ2 → Γ telleque mxy ( , )= xy . et ω = p * ω, ω = p ∗ ω.1 12 2À la suite de cette Note, nous avons été amenés dans [L 6 ] à considérer des* ωgroupoïdes Γ,ω=− , où c est une fonction à valeurs dans R + .c( ) pour lesquelles φ ωLa situation est plus compliquée car il n’y a plus de réciprocité entre les distributionsΑ et Β. Pour démontrer qu’on a des feuilletages ω-complets et ω − complets (d’où descstructures conformes sur Γ oinduites par α et β), on est conduit à utiliser le symplectifié˜Γet Γ et à définir sur ˜Γ une structure de groupoïde prolongement ; on démontre alorsque Γ est de contact si et seulement si ˜Γ est symplectique. La considération de ˜Γpourrait permettre d’étudier les groupoïdes conformément de contact (quand ω n’estpas définie globalement). Cette question n’est pas traitée dans la suite de cet article.Elle est liée à l’étude des structures conformes de Jacobi [Lic], [Μ 1 ], [D.L.M.].Nous avons ajouté aux résultats de [L 5 ] [L 6 ], une étude des algébroïdes de Lie desgroupoïdes de contact ; nous avons retrouvé le résultat de [K.S.] suivant lequel la

variété des jets J 1( Γ o, R) =Τ ∗ Γ oxR est munie d’une structure d’algébroïde de Lieisomorphe à celle du groupoïde Γ. L’article se termine par des exemples.Notations :1°) On désigne par R ∗, R + , R n∗ respectivement l’ensemble des réels non nuls,l’ensemble des réels positifs, le dual de R n2°) On suppose les variétés et les applications de classe C ∞ , les variétés étantséparées. La dérivée de Lie d’une forme ϕ relativement à un champ de vecteurs seranotée l( X)ϕ ; si ϕ est une fonction f, on écrira l( X) f = X. f.3°) Pour un produit de variétés N = M 1× M 2de projections p 1 et p 2 et M 2 , on écrira ϕ 1(resp. ϕ 2 ) au lieu de p ∗ 1ϕ 1(p * 2ϕ 2), quand il n’y aura pas de risque de confusion. SiN = M × M, on écrira N = M 1× M 2avec M 1 =M 2 =M et ϕ1 = p ∗1ϕ, ϕ2 = p * 2ϕpourtoute forme ϕ sur M.4°) On rappelle qu’un algébroïde de Lie (notion due à J. Pradines [P] est un fibrévectoriel A→ M tel que 1°) l’espace des sections de Α est muni d’une structured’algèbre de Lie 2°) il existe un morphisme de fibrés vectoriels a: A→ T M(appelél’ancrage) induisant sur les sections un morphisme d’algèbres de Lie 3°) pour toutcouple (ξ, η) de sections de Α, et toute fonction f , sur M , on a :[ fξη , ]= f[ ξη , ]− ( a( η)⋅f) ξ.I - Sur quelques propriétés des variétés symplectiques et de contact feuilletées1. On rappelle [L 2 ][L 3 ] que sur une variété symplectique ( W,Ω) un feuilletagef (de fibré tangent F ) est dit symplectiquement complet si le crochet de Poisson{ f,g} de tout couple d’intégrales premières du feuilletage est aussi une intégrablepremière. On démontre alors la propriété fondamentale : le feuilletage estsymplectiquement complet si et seulement si le fibré vectoriel orthF (orthogonalsymplectique de F) est complètement intégrable, le feuilletage ainsi obtenu est aussisymplectiquement complet.Si, de plus, le feuilletage f est simple, alors la projection π de W sur l’espacedes feuilles W/ f induit sur W / f une structure de Poisson pour laquelle π est unmorphisme de Poisson ; tout champ hamiltonien X f(où f est une intégrale premièrede f) est projetable par π sur W / f. On utilise pour démontrer ces propriétés ladualité symplectique. Si le feuilletage est défini localement par les intégralespremières indépendantes f 1,…,f p, alors les relations2

(1) d { f i, f j}=p∑ λ1kijf ksont équivalentes àp(2) [ Χ fiΧ f j]=∑ λ kijXf k.12. Dans le cas d’une variété ( M,ω) munie d’une forme de contact ω, la situationest plus compliquée car la dualité entre 1-formes et champs de vecteurs est une notionplus complexe. Nous allons résumer les résultats de [L 1 ] [L.M.] Soit E le champ devecteurs de Reeb, c’est-à-dire le champ défini par( ) = ( ) =(3) iEdω0 iEω1On a les décompositions, .TM = ξ ⊕Havec ξ = ker dω (c’est-à-dire le fibré vectoriel engendré par E)et H = kerω (fibré horizontal)T × M = Rω ⊕ K où Κ admet pour sections les formes semi-basiques ϕ c’est-àdiretelles que i Ε ϕ 0 Rω est le sous-fibré vectoriel de ΤΜ∗( ) =engendré par ω c’est-à-dire l’annulateur de H dans ΤΜ∗Tout champ de vecteurs X sur M peut être décomposé en( ) +(4) X i X ω E Xˆ .où ˆX est horizontal ; X= ( )− X ˆ sera appelé partie verticale de X.De même, toute forme de Pfaff η se décompose en(5) η = (( iE) η) ω + ˆ ηoù ˆη , qui satisfait la condition iE ( )ˆη = 0, est dite la partie semi-basique de η.L’applicationωb : X →− i ( X ) d ω, restreinte aux vecteurs tangents à H, est unisomorphisme de H sur K. Soitω # son inverse.On obtient ainsi sur M une structure de Jacobi (M, Λ,Ε) où Λ est le champ debivecteurs défini parΛ(ϕ,ξ) = dω(ω # ϕω ˆ,# ˜) ξ .Le noyau de Λ # ∗:TM→ TM(oùΛ # est défini par =Λ( ϕψ , )pour tout couplede 1-formes) est Rω.On sait [L 1 ] [L.M.] qu’il existe un isomorphisme φ de l’espace vectoriel ℵ desautomorphismes conformes de ω (c’est-à-dire des champs de vecteurs vérifiant la3

conditionl( X) ω = ρω)sur l’espace vectoriel C ∞ ( M,R) des fonctions sur M. Cetisomorphisme φ et son inverse sont définis par(6)φ( X) = i( X)ωφ1 f fE−( ) = +( ) = +Λ # dfω #df˜fE( )On a φ()= 1 E.Le champ de vecteurs φ −1 ( f ) sera noté X fet appelé le ω−hamiltonien de lafonction f . On déduit de l’isomorphisme φ le crochet de JacobiSoit encore−1 −1[ f, g]=φφ ( ( f), φ ( g))(7) X[ X Xf, g] = [ f,g], X[ E,X1, f ] = [ f ];on peut écrire(8) [ f, g]= dω( X , X ) + f( E. g) −g( E. f)ou encore(9) [ f, g]= X . g− g( E. f).fEn particulier on a [ 1, g]= E.g.c ωSi l’on considère la forme de contact ω = où c est une fonction sur M àcvaleurs dans R * , on obtient un isomorphisme Ψ de N sur C ∞ ( M, R) tel que( ) =c −1 −(10) Ψ f Ψ1 ( cf),cCe qui peut s’écrire ( Xf) = Xcf; en particulier le ω c -champ de Reeb E c est lechamp X c, le crochet f,g c[ ] satisfait la relationc(11) f, g1 cf , cgc[ ] = [ ]fgd’oùΛ c =cΛ.3. Soitf un feuilletage sur M, de fibré tangent F. La distribution F ⊥ = ξ ⊕Λ # F ooù F oest l’annulateur de F dans T ∗ M( )dite pseudo-orthogonale à F. Cette distribution4

est localement engendrée par les champs ω-hamiltoniens correspondant aux intégralespremières (y compris les constantes) de la distribution F.Le feuilletage f sera dit ω-complet si le crochet de Jacobi [f,g] de deuxintégrales premières def est également une intégrale première de f(éventuellementune constante).On démontre [L 3 ] que si f est ω-complet, la distribution F ⊥ est complètementintégrable (éventuellement au sens de Sussmann si F ⊥ n’est pas de rang constant).Mais la réciproque n’est pas nécessairement vérifiée même si F ⊥ est de rang constant.En effet soient EX ,f, L , X engendrant localement1 f F⊥ p; si celui-ci, de rang constantp+1, est complètement intégrable alors :(12)kX = X X X Ef f f,f ij f ij[ i,j][ i j ] = λ + ηkkX = [ E,X ]= λ X + ηE[ 1,f ]fλ∑1p∑1fkPour les composantes horizontales, on aˆkXXˆf , f ij[ i j] = ∑λd’où par dualité pour les composantes semi-basiquesp1jkpkd[ fi,fj]= ∑λijdf1kpkd[ 1,f]∑λdf1ksoit encorep[ i j]= ∑1kkd f, f λ df mod. ω d 1, f df modijkp[ ]= ∑ λ ω1kDans les deux cas suivants, on peut affirmer que f estω−complet :a) Si le champ de Reeb E est tangent au feuilletage, alors les df isont égales àleurs composantes semi-basiques car iEdf ( ) i= 0 ;b) Si les feuilles sont isotropes (c’est-à-dire si la forme induite par ω sur chaquefeuille est nulle), alors ω appartient à l’idéal engendré par les df i. Dans ce cas F ⊥ estde rang p.5

II – Sur la symplectification des variétés de contact1. Soit( M,ω ) une variété munie d’une forme de contact. Le sous-fibré Rω deTM∗ , engendré par ω est muni d’une 2-forme ˜Ω=dθ où θ est la forme induite surRω par la forme de Liouville de T ∗ M.On sait [L.M.] que la restriction de ˜Ω, au complémentaire ˜M de la section nullede Rω est une forme symplectique. C’est pourquoi Arnold [Ar.] a désigné cettevariété ˜M comme la symplectifiée de ( M,ω).La projection π: ˜M → M définit unestructure de R + -fibré principal. Toute section de Π est une forme de contact ; elle peutc ωs’écrire ω = où c est à valeurs dans.R + .cLes structures de contact ( M,ω) et ( M,ωc) ont la même symplectifiée.On peut identifier ˜M à M ×R ∗au moyen de la trivialisation(1) τ: ( x,λ)→ λω( x)On supposera désormais que la variété M est connexe; dans ces conditions, lasymplectifié ˜M a deux composantes connexes correspondant à λ > 0 et λ < 0 . Lac ωfonction c telle que ω = a un signe constant. La trivialisation définit sur ˜M uncfeuilletage f ωdont les feuilles sont les variétés M × { λ}et sont donc difféomophes àΜ.Il a été démontré dans [ L,Μ] que tout symplectomorphisme infinitésimal ˜X de˜Ω, invariant sous l’action de R ∗, est projetable sur M suivant unautomorphisme infinitésimal conforme X de ω ; ˜X est le ˜Ω-hamiltonien d’unefonction F, homogène c’est-à-dire vérifiant ZF . = F,où Z est la restriction à ˜M , duchamp des homothéties de TM* .Inversement tout automorphisme infinitésimal conforme X deω, se relève demanière unique en un symlecto-morphisme infinitésimal de ˜Ω.Au moyen de la trivialisation τ: ( x,λ)→ λω( x), on peut exprimer la relationentre ˜X et X de la manière suivante ; ˜X est un champ ˜X Fet X un champ X foù F et fsont liées par les relations(2)Fx ( , λ) = λf( x)( ) = ( ) = ( )f x F x, 1 Fωx .Le champ Z s’écrit λ ∂∂λ . Le relèvement ˜X Fde X fest le champ de vecteurs(3) X˜ x,λ X p xF( ) = − ( )Ζf6

( ) =où p est égal à Ef . et vérifie l x ω pω.On en déduit que le relèvement ˜X Fde X fest tangent au feuilletage f ω définipar la trivialisation τ , si et seulement si ρ( x)= 0, c’est-à-dire si X fest unautomorphisme infinitésimal de ω .On vérifie que le crochet { F1,F2}de deux fonctions homogènes sur ˜M et lecrochet de Jacobi [ f1,f2] des fonctions correspondantes sur ˜M sont liées par larelation{ }( ) = [ ]( )(4) FF x, λ λ f , f x .1 2 1 22. Plus généralement soit ( υ, Λ,Ε) une variété de Jacobi, de champ de bivecteursΛ, de champ de vecteurs E.Il a été démontré par A.Lichnerowicz que le champ de bivecteurs˜Λ = 1 λ (Λ+ ∂∂λ ΛΕ)définit sur la variété Ṽ = V ×R ∗une structure de poisson homogène c’est-à-direl( Ζ) Λ ˜ =− Λ ˜∂avec Ζ= λ ; la variété Ṽ∂ λ( , ˜Λ ) sera dite « l’homogénéisée » de lavariété Jacobi ( V, Λ).III– Rappels sur les groupoïdes symplectiquesUn groupoïde de Lie muni d’une forme symplectique Ω, est appelé groupoïdesymplectique si le graphe de la multiplication est une sous-variété lagrangienne de lavariété symplectique ΓxΓx Γ, (où Γ , désigne la variété Γ munie de la forme- Ω). Voir[C.D.W] et [K.M.].Dans [C.D.W] il est démontré qu’un groupoïde symplectique possède lespropriétés suivantes :a) la variété Γ odes unités est une sous variété lagrangienneb) la symétrie φ ∗ :Γ → Γ définie par φ ∗ ( x) = x −1est unantisymplectomorphisme (c’est-à-dire φ ∗ Ω =−Ω)c) le α -feuilletage et le β -feuilletage, définis par les α -fibres et les β -fibres,sont symplectiquement orthogonaux.En utilisant les résultats de [C.D.] qui introduisent la notion de «faisceau dedéfinition », nous avons démontré dans [L 6 ] la réciproque :Soit Γ un groupoïde muni d’une forme symplectique Ω, dont les α-fibres etles β-fibres sont connexes. Si7

Γα⎯→ ⎯⎯→Γ⎯ 0βpossède les propriétés suivantes :1) Γ oest une sous-variété lagrangienne de Γ o2) les α-fibres et les β-fibres définissent des feuilletages symplectiquementorthogonaux,alorsΓα⎯→ ⎯⎯→Γ⎯ 0βest un groupoïde symplectique.Il en résulte qu’il existe sur Γ oune structure de Poisson unique telle que laprojection α (resp. β) est morphisme (resp. antimorphisme) de Poisson. Un groupoïdesymplectique ( ΓΩ , ) sera dit homogène s’il existe sur Γ un champ de vecteurs Zsatisfaisant les conditions suivantes :( ) =a) la forme Ω est homogène c’est-à-dire l Z Ω Ω, d’où pour le tenseur dePoisson dual l( Z)Λ=−Λ.b) le α-feuilletage et le β-feuilletage sont homogènes, c’est-à-dire, pour touteintégrale première f de l’un des feuilletages, la fonction Z est aussi une intégralepremière du même feuilletage.IV – Groupoïdes strictement de contact1. Les considérations précédentes nous ont conduit [L 5 ] à définir les groupoïdesde contact ( Γ,ω) pour lesquels la symétrie φ:x → x−1 ∗vérifie la condition ϕω=− ω.Dans [L 6 ], nous avons étendu la notion de groupoïde de contact en imposant seulement∗ ωla condition φω=− , où c est une fonction à valeurs dans R ∗. Les groupoïdes pourclesquels c = 1 sont dits strictement de contact.Un groupoïde strictement de contact est un groupoïde de LieΓα⎯→ ⎯⎯→Γ⎯ 0βdont les α -fibres et les β − fibres sont connexes, la variété Γ étant munie d’une formede contact ω telle que*a) φω=− ω.8

) Chacun des α-feuilletages et β-feuilletages est engendré localement par leschamps de vecteurs ω-hamiltoniens correspondant aux intégrales premières de l’autre(éventuellement les constantes).Cette définition est cohérente car φ échangeant les champs de Reeb E et -E, ona, d’après la formule 6 du paragraphe I :(1)Β= ξ⊕ Λ # Α °Α= ξ⊕ Λ # Β ° ,oooù A (resp. B) est le fibré tangent à la α-fibration (resp. β−fibration), A ( resp. B ) estl’annulateur de A (resp. B) dans T ∗ Γ .Les distributions A et B sont pseudo-orthogonales. Comme le champ Eappartient aux deux distributions, d’après le paragraphe I3 ces distributions sont ω-complètes et les champs ω-hamilitoniens sont projetables par α et β, induisant sur Γ oune structure de Jacobi.. On démontre le thèorème :Théorème . Soit ( Γ,ω), un groupoïde strictement de contact. Alorsa) la variété des unités Γ oest une sous variété lagrangienne de Γ.b) cette sous variété est munie d’une structure de Poisson telle que la projectionα (resp. β) soit un morphisme de Jacobi (resp. un antimorphisme de Jacobi).{ } = { }∗ ∗ ∗En effet, la structure sur Γ odéfinie par α f1, f2 α f1, α f2est de Poisson car Eest projeté sur le champ de vecteur nuls.( ) un groupoïde de Lie connexe muni d’une forme de contact ω telle2. Soit Γ,ω∗que φω=−ωLa symplectifiée π: ˜Γ→ Γ (au sens de II) est munie d’une structure degroupoïde appelée ω -prolongement. En effet, la trivialisation τ:Γ×R + → ˜Γ définiepar τ( x,λ) = λω( x) induit sur ˜Γ, la structure de groupoïde, produit de la structure degroupoïde Γ par l’application identique de R ∗ . On a( )= ( )(2) α˜ x, λ α x , λ( )˜ ∗−1β( x, λ) = ( β( x), λ) φ x, λ x , λLe produit ( y,δ ). ( x,λ)est défini si et seulement si yx ,( ) = ( )( ) est défini et δ = λ.On a( y, λ)( x, λ)= ( y, x,λ).Chaque feuille Γ×{ λ } du feuilletage f wsur ˜Γ, induit par la trivialisation estmunie d’une structure de groupoïde isomorphe à celle de Γ. Le feuilletage f wainsi.9

que le ˜α −feuilletage et le ˜β - feuilletage sont invariants sous l’action de R ∗. Ainsi lastructure de groupoïde sur ˜Γ est homogène.On obtient le théorème suivant :Théorème. Soit ( Γ,ω) un groupoïde de Lie connexe dont les α-fibres et β-fibres sont∗connexes, muni d’une forme de contact ω telle que φω=− ω.La symplectifiée ( ΓΩ= ˜ , d ( λω ) ) munie de la structure de groupoïde ω-prolongée est un groupoïde symplectique homogène si et seulement si ( Γ,ω) est ungroupoïde strictement de contact.Preuve : supposons que Γ, de dimension 2n+1, soit strictement de contact. Leβ-feuilletage est localement engendré par les champs ω-hamiltoniens correspondantaux intégrales premières f idu α-feuilletage (ou les constants). Comme E est tangentau α-feuilletage, on a Ef . i= 0 et les relèvements ˜Χ Fi, Ẽ des champs Xf i, E (avecF = λ f ) sont tangents au feuilletage f ω, d’après la formule(3) de II. Ces champs X F1,iiẼ engendrent localement le ˜β -feuilletage. Comme Γ 0est une sous-variété deLegendre, ˜Γ −o= π 1( Γo)est une sous variante lagrangienne de ˜Γ ; donc ˜Γ estsymplectique.Inversement si ˜Γ admet une structure de groupoïde symplectique homogène, le˜β -feuilletage peut être engendré localement par des champs de vecteurs ˜Χ Fi(avecf i= λf i) qui se projettent sur des champs de vecteurs ˜Χ Fi,E . Ceux-ci engendrentlocalement le β-feuilletage. Comme les f isont des intégrales premières du α-feuilletage, le β-feuilletage est pseudo-orthogonal au α-feuilletage.∗De la relation φω=− ω, on peut déduire que dim Γ o= n et Γ oest une sousvariété de Legendre.On vérifie que ˜φ ∗ ( λω)=− λω , d’où ˜ φ * d λω d λω( )=− ( ).V – Groupoïdes de contact1- Soit ( Γ,ω) un groupoïde de Lie connexe, dont les α-fibres et β-fibres sont∗ ωconnexes, muni d’une forme de contact telle que φω=− , où c est une fonction àcvaleurs dans R + . Comme φ 2 = id Γ, la fonction c vérifie la relation c ( −1 x ) = 1 . Encx ( )c ωparticulier c(u) = 1 pour toute unité u On posera ω = . Nous verrons que lacsituation est plus compliquée que lorsque la fonction c est constante.Supposons que la distribution B (tangente au β-feuilletage) soit pseudoorthogonaleà la distribution A (tangente au α-feuilletage). On a10

(1) B = ξ ⊕ Λ # (Α ° )Le β-feuilletage est localement engendré par les champs ω-hamiltonienscorrespondant aux intégrales premières du α-feuilletage.Comme le symétrie φ:x → x−1 échange le α-feuilletage et le β-feuilletage ainsique le ω-champ de Reeb E et le ω c-champ de Reeb E c = - Χ c(avec les notations de I),on a :(2) Ac= ξ ⊕ (Λ c ) # (Β ° )où ξ c est engendré par E c et Λ c est le bivecteur de Jacobi associé à la forme decontact ω c .2- Considérons la symplectifiée ˜Γ de Γ, munie des trivialisations τ et τ c deΓ×R ∗ sur ˜Γ, définies parcc(3) τ( x, λ)= λω( x)τ c,δ δω xδcx( ) = ( )= ω ( ) ( )cOn remarque que τ( x, λ)= τ ( x,c( x)λ). À ces trivialisations, correspondent desfeuilletages f ωet f ωc de ˜Γ qui coïncident sur Γ 0×R + .On va définir sur ˜Γ une structure de groupoïde telle que la projectionπ : ˜Γ→ Γ, soit un foncteur c’est-à-dire π( ˜Γ0)= Γ0et π( x˜ ⋅ y˜)= π( y˜) π( x˜) toutes les foisque yx ˜.˜ est défini. La variété des unités ˜Γ oest l’image de Γ 0×R ∗ par τ et τ c,. On va,de plus, imposer les conditions suivantes : chaque ˜α -fibre (resp. ˜β -fibre) sera contenuedans une feuille de f (resp f ) et le ˜α -feuilletage (resp. ˜β -feuilletage) seraωclocalement engendré par les champs de vecteurs homogènes, relèvements des champsde vecteurs ω c −hamiltoniens (resp. ω-hamiltoniens) engendrant localement le α-feuilletage (resp. le β-feuilletage).( )= ( )⋅( )= ( )Pour simplifier, on posera x, λ τ x, λ y, δ τ' y,δ .x .parOn définit alors sur ˜Γ, les projections, ˜α , ˜β et le difféomorphisme φ:x →x−111

(4)( ) = ( ( ) ) = ( ( ))α˜ x, λ α x , λ λω α x˜ φ , λ ˜ λ ω −1x−1−1 −1( x ) = x = cxλω x ( x , cxλ−1)cx( ) = ( ) = ( ( ) ( ) )˜ β x, λ αφ ˜ ˜ x, λ β x , c x λ( )( ) = ( ) ( ) = ( )( )⋅( ) est défini si et seulement si α ˜ ( y ˜ ) = ˜ β(x˜) C’est-à-direLe produit y, δ x,λ(5) α y β x( ) = ( ), δ = ( ) λ( ( ) )( )Alors ycx , λ . yx . , λ .On vérifie les relations( ( ) )⋅( )= ( )cx .( )⋅( ( ) )= ( )−(6) x 1 , c x λ x , λ α ˜ x ,−1λ , x, λ x , c x λ ˜ β x,λ .On doit imposer la condition( ) = ( )(7)˜ β y˜˜ β y˜, x˜qui entraîne l’associativité, cette condition est équivalente à :(8) cy ( ⋅ x)= cycx ( ) ( )toutes les fois que y⋅ x est défini.Soit g 1,..., g ndes intégrales premières indépendantes du β-feuilletage dans un−ouvert V = β 1( U)où U est un ouvert de Γ 0. Les champs de vecteursω c cc−hamiltoniens ( Xg) …( X1g ) , E c engendrent localement le α-feuilletage. D’aprèsn(10) et (11) du paragraphe I, ce sont les champs ω-hamiltoniens X ,..., cgX , cgX .1 n cD’après (3) du paragraphe II, ils se relèvent dans ˜Γ suivant des champs tangents aufeuilletage f ω si et seulement s’ils sont des automorphismes infinitésimaux de ω,c’est-à-dire si Ecg .1= 0,.., Ecg . n= 0. Ec . = 0 . Cette dernière relation est suffisante carE est tangent au β -feuilletage d’où Eg . i= 0On vérifie alors que, f 1, … f nétant des intégrales premières indépendantes duα-feuilletage, les champs X f1,… X fn, E qui engendrent localement le β-feuilletage serelèvent dans ˜Γ suivant des champs de vecteurs hamiltoniens ˜X F1,…, ˜X Fn, Ẽλ qui sonttangents au f ωc-feuilletage.La formule (9) du paragraphe I peut s’écrire[ ]= − ( )(9) cg, f X . f f E.cgcg12

Par suite si f (resp. g) est une intégrale première du α-feuilletage (resp. du β-feuilletage), alors[ cg,f ]= 0 et [ Xcg,Xf]= 0Les fonctions f et cg se relèvent sur ˜Γ au moyen de la trivialisation τ en G =λcg,F = λf ; d’où{ } = [ ]=(10) FG , λ cg,f 0d’après la formule (4) du paragraphe II.Le ˜α -feuilletage (resp ˜β -feuilletage) étant homogène, il peut être localementengendré par des champs hamiltoniens correspondant à des fonctions homogènes ; parsuite la relation (10) entraîne que le ˜α -feuilletage et le ˜β -feuilletage sontsymplectiquement orthogonaux. Ils sont donc symplectiquement complets c’est-à-direle crochet de poisson { FFi,j} de tout couple d’intégrales premières du ˜α -feuilletageest encore une intégrale première ; les fonctions F i et F j peuvent être supposéeshomogènes d’après ce qui précède, donc si F = λf, F = λf, on a{ FFi, j}= λ [ fi,fj];i i j jComme λ est aussi une intégrale première du ˜α -feuilletage, on en déduit que lecrochet de Jacobi [ f i, f j] est une intégrale première duα -feuilletage, celui-ci est doncω-complet. Par suite il existe sur Γ oune structure de Jacobi telle que la projection αsoit un morphisme de Jacobi. On démontre de même que la projection β est unmorphisme de Jacobi conforme pour cette structure de Jacobi sur Γ o.Le groupoïde ˜Γ est bien un groupoïde symplectique car ˜Γ −1o= Π ( Γo)est sousvariété lagrangienne de ˜Γ. D’autre part soit θ la forme induite sur ˜Γ par la forme deLiouville sur T * Γ ; on peut écrire θ = λω = cλ ω . Le difféomorphisme ˜ *φcéchangeant λ et cλ, on obtient ˜φθ =− θ , d’où ˜φdθ =− dθ.L’étude qui vient d’être faite conduit à la définition et aux théorèmes suivants :Définition :Un groupoïde de Lie connexeΓα⎯→ ⎯⎯→Γ⎯ 0βde base Γ odont les α -fibres et β -fibres sont connexes, muni d’une forme de contactω est appelé un groupoïde de contact s’il satisfait les conditions suivantes :R + telle que∗ ωa) φω=− où φ est la symétrie x → x−1 , et c une fonction à valeurs dansc13

( ) = ( ) ( ) quand yxEc . = 0 et cyx . cycx . est défini.b) Le β-feuilletage est ω-pseudoorthogonal au α-feuilletage ou, ce qui estéquivalent, le α-feuilletage est ω c c ω-pseudoorthogonal au β-feuilletage (où ω = ).cThéorème1. Soit ( Γ,ω) un groupoïde de Lie connexe, dont les α-fibres et les β-fibressont connexes, muni d’une forme de contact ω satisfaisant les conditions a) de ladéfinition.Le symplectifié ( ΓΩ= ˜ , ˜ d( λω ))de Γ, muni de la structure de ω -prolongementdéfini par les formules (4) est un groupoïde symplectique homogène si et seulement si( Γ,ω) est un groupoïde de contact.On a démontré que si ( Γ,ω) est de contact, alors ( ΓΩ ˜ , ˜ ) est un groupoïdesymplectique ; la réciproque se démontre comme dans le cas des groupoïde strictementde contactSoit ( Γ,ω) un groupoïde de contact. Alors la variété des unités Γ oestThéorème 2.une sous variété de Legendre de Γ. Cette sous variété est munie d’une structure deJacobi telle que la projection α:Γ → Γ oest un morphisme de Jacobi et le projectionβ:Γ → Γ oun morphisme de Jacobi conforme.Remarque 1. Soit ( Γ,ω) un groupoïde de contact, π la projection ˜Γ→Γ, π °larestriction de π à ˜Γ o. On obtient la relation α⋅ π = π0 ⋅α˜ et l’on en déduit que lastructure de Poisson sur ˜Γ oinduite par la projection ˜α est identique à la structure dePoisson sur ˜Γ o, considéré comme l’homogénéisé de Γ oau sens de II.Pour cela, on compare les crochets de Poisson sur ˜Γ et ˜Γ o, et les crochets deJacobi sur Γ et Γ o.Remarque 2. Nous verrons dans l’exemple 4 qu’un groupoïde ( Γ,ω) tel que,∗φω=− ω, dont la base est une sous-variété de Legendre de Γ et qui admet unsymplectifié ( ΓΩ ˜ , ˜), muni d’une structure de groupoïde symplectique n’est pasnécessairement un groupoïde de contact. Ceci n’est pas contradictoire avec lethéorème 1, car dans le cas considéré ici, la structure de groupoïde de ˜Γ n’est pas leω-prolongement de celle de Γ.3. La remarque 2 conduit au problème suivant : étant donné un groupoïde decontact ( Γ,ω ), peut-on trouver une fonction b à valeurs dans R + telle que ⎛Γ, ω ⎞⎝ b ⎠ soitaussi un groupoïde de contact, avec la même structure de groupoïde ?b ωSoit ω = ; le β-feuilletage doit être ω b -pseudoorthogonal au α-feuilletage. Doncbtout champ ω b b-hamiltonien X X( f ) =fb(avec f intégrale première du α -feuilletage)doit être tangent au β -feuilletage. Il en résulte que b doit être une intégrale premièredu α-feuilletage. Cette condition réalisée, on vérifie que le α-feuilletage est ω cφb× -14

pseudoorthogonal au β−feuilletage où φ , est la symétrie sur Γ définie par x →c est défini par∗ ωφω=− . cx−1 etLe groupoïde⎛Γ, ω ⎞est donc bien un groupoïde de contact ; sur le symplectifié⎝ b ⎠˜Γ (commun à ( Γ,ω ) et ⎛Γ, ω ⎞⎝ b ⎠ ), la structure de ω b -prolongement coïncide avec labstructure de ω-prolongement. De la relation [ f, g] = 1 [ bf , bg], on déduit que le α-bfeuilletage est aussi ω b -complet ; donc la projection α sur Γ oinduit une structure deb bJacobi ( Λ o, E o ) conforme à la structure de Jacobi ( Λ o, E o ) définie par ω. Ces deuxstructures de Jacobi ont la même distribution caractéristique c’est-à-dire la#distribution engendrée par E oet Λ o ( T ∗ ,Γ o ). La structure de Poisson ( Γ ˜ , Λ ˜o o ) estl’homogénéisée de ces deux structures de Poisson conformes, ce qu’on peut déduire dela remarque 1.Dans le cas d’un groupoïde Γ,ωb bΛ o, E ocaractéristique est pair dans ce cas.( ) est conforme à la structure de Poisson Λ o o( ) strictement de contact, la structure de Jacobi( , E = 0 ) ; le rang de la distributionOn désigne par rang de la structure de Jacobi le rang de sa distributioncaractéristique.4. De l’étude précédente, il résulte que le problème de l’intégration d’unestructure de Jacobi Γ, Λ ,E( ) c’est-à-dire la recherche de groupoïde de contacto o oΓα⎯→ ⎯β←⎯ ⎯Γ0,tel que la projection α induise la structure de Jacobi donnée sur Γ o, conduit àl’intégration symplectique de l’homogénéisé ˜Γ ode Γ o.C. Albert [A] a utilisé cette méthode pour montrer qu’étant donnée une structurede Jacobi ( Λ, E) sur une variété M, il existe une variété V munie d’une forme decontact ω et une projection pV : → M telles que p soit un morphisme de Jacobi et Mune sous-variété de Legendre de V.On sait que l’intégration symplectique d’une variété de Poisson n’est pastoujours possible. Il a été démontré dans [C.D.W.] que l’intégration symplectique estpossible en se limitant à des “groupoïdes locaux”. L’intégration par des groupoïdesconduit à des obstacles [D.H.].15

En se restreignant à des problèmes locaux, nous avons montré dans [L 4 ] qu’étantdonné un feuilletage sur une variété de contact ( M,ω) qui est ω-complet et régulier(ce qui est le cas pour les groupoïdes de contact), on obtient deux modèles auvoisinage de chaque point suivant la parité de la classe de la forme induite sur chaquefeuille par la formeω.SoitΓα⎯→ ⎯β←⎯ ⎯Γ0un groupoïde de contact ; si Γ oest muni d’une structure de Poisson ou d’une structurede Jacobi dont la distribution caractéristique est de rang pair, la forme induite par ω-sur les feuilles est de classe impaire (exemple 1,2,3). Dans le cas d’une distribution derang impair, la classe de la forme induite est paire (exemples 4 et 5).Soit une variété Γ oune structure de Jacobi (éventuellement de Poisson) régulière(c’est-à-dire sa distribution caractéristique est de rang constant). Les résultats de[D.L.M.] appliqués au cas régulier montrent que tout point x ∈Γ oadmet un voisinageouvert U tel qu’il existe un difféomorphisme conforme de Jacobi de U vers V × W, oùV est une variété symplectique et W est une variété de rang nul.Si Γ oest de rang impair, tout x ∈Γ oadmet un voisinage ouvert U tel qu’il existeun difféomorphisme de Jacobi de U vers M × W, où M est une variété de contact et Wde rang nul.Dans le premier cas, le groupoïde de contact intégrant V × W est le groupoïde∗V × V × T M × R (exemple1). Dans le deuxième cas, le groupoïde de contact intégrant∗M × W est M × M × T W × R (exemple5). Si W est réduite à un point, on al’exemple 4.VI - Sur les algébroïdes de Lie associés aux groupoïdes de contactPour tout groupoïde de LieΓα⎯→ ⎯⎯→Γ⎯ 0β( ) le fibré vectoriel, de base Γ o, constitué des vecteursnous désignerons par Α α Γtangents aux α-fibres dont l’origine est un point de Γ o. J. Pradines [P] a montré quetoute section U ⊂ Γo → Α α ( Γ)s’étend en un champ de vecteurs sur α − 1 ( U ), invariantpar les translations à droite du groupoïde Γ, d’où une structure de faisceau d’algèbresde Lie dans le faisceau des germes de sections locales de Α( Γ); c’est à partir de cettesituation que J. Pradines a élargi la notion d’algébroïde de Lie. L’application T β:Α α ( Γ)→ TΓoqui induit un homomorphisme d’algèbres de Lie des sections de Α α ( Γ)16

( ) sont,vers les champs de vecteurs tangents à Γ oest l’ancrage. Les éléments de Α α Γdans le cas du groupoïde de jauge d’un fibré principal, les “déplacementsinfinitésimaux“ des fibres au sens de C. Ehresmann [E].On peut, de la même manière, définir Α β ( Γ)→Γ o, dont les fibres sont les β-fibres; toute section U ⊂ Γ o→ Α β ( Γ) s’étend en un champ de vecteurs sur β − 1 ( U ),invariant par les translations à gauche, d’où une structure d’algébroïde de Lie,Γd’ancrage Tα . Les identifications de Α α ( Γ)et de Α β ( Γ) au fibré normal N( Γ)= T TΓ0définissent sur cet espace deux structures d’algébroïde de Lie qui sont opposées[C.D.W.].Dans le cas d’un groupoïde symplectique ( ΓΩ , ), il a été démontré dans[C.D.W.] que le champ Ω-hamiltonien X α∗ f(où f, est une fonction définie dans unouvert U de Γ o) est invariant à gauche et tangent aux β-fibres ; de même X β∗ festinvariant à droite et tangent aux α-fibres, puisque les α-fibrations et β-fibrations sontsymplectiquement orthogonales.On en déduit que l’on peut prendre dans α − 1 ( U ) comme base du module deschamps invariants, les champs hamiltoniens X ∗ X ∗ ,où f fα f,..., α f n 1,.., n, sont des fonctionsindépendantes sur Γ o; la structure d’algébroïde de Lie de Α β ( Γ),est définie par lescrochets [ X ∗ , X ∗ ]. Même propriété pour la structure d’algébroïde de Lie de Α α ( Γ),α fiα fjau moyen des crochets [ X , X ].∗ ∗β fi β fj fjLa dualité symplectique associe à tout champ X α× fla forme df ∈T∗ Γ o. On peuten déduire une structure d’algébroïde de Lie sur T ∗ Γ otelle que le crochet[ df , dg]= d{ f , g}.où {} est le crochet de Poisson de la structure de Poisson Λ oαinduite par la projection Γ⎯→⎯ Γ o, l’ancrage étant l’application Λ ∗ *°: T Γ → 0TΓ.Mêmes propriétés si l’on considère les champs X β∗ fet la structure de Poisson induitepar la projection Γ⎯→⎯ Γ o.βConsidérons maintenant un groupoïde de contact (Γ,ω ), de champ de Reeb E,de tenseur Λ. On remarque qu’à toute section sU : ⊂ Γ o→ Α β ( Γ) est associée unesection ( f ,η)de J 1 ( Γ o,R)= T ∗ Γ o× R, où fu ( ) = isu ( ( ))ω pour tout u ∈ U.La forme η est définie de la manière suivante : Le fibré B tangent aux β-fibresde Γ est d’après la formule (1) de IV la somme directe ξ ⊕ Λ ∗ A 0 , # où A 0 estl’annulateur du fibré A tangent aux α-fibres. Dans α − 1 ( U ), ce fibré A o est localement∗ ∗engendré par n formes indépendantes αη1,..., αη , où les η k isont des formesdifférentielles sur Γ o. Pour des raisons de dimension ( A 0 est de rang n et Λ ∗ A 0( ) de17

même rang si dim Γ= 2n+ 1), Λ ∗ est un isomorphisme. En tout point u de U ⊂Γ o, onpeut écrireΑ u β =ξ u⊕Λ # ((Α u α ) ° )où pour simplifier, on a noté Α β =Α β ( Γ)et Α α =Α α ( Γ). À cette décompositioncorrespond une décomposition s( u) = f( uE ) u+ υ; la forme η ∈T ∗uΓ o,est la forme(Λ # ) −1 υ .De cet isomorphismeϕ, de J 1 ( Γ o,R) sur Α β , on déduit une structure d’algébroïdede Lie sur J 1 ( Γ o,R) et l’on retrouve un résultat dû à Kerbrat et Souici Benhammadi[ KS . ], L’ancrage de, J 1 ( Γ o,R) est l’application Tα o ϕ.Parmi les sections de J 1 1 1( Γ o,R) il y a les sections holonomes J f: u→ Juf , ouencore ( f,df). À chacune de ses sections, correspond sur α − 1 ( U ) un champ de*vecteurs ω-hamiltoniens X * α f Eα f( ) + Λ ∗ ( dα * f) . D’après la formule (7) de I, lecrochet de deux tels champs est encore un champ ω-hamiltonien. On en déduit que le1crochet de deux sections holonomes J f1 1 1J f, J g : J f,g0de Jacobi α:Γ→ Γ 0.et Jg1 est une section holonome[ ] [ ] Γoù [] 0est le crochet de Jacobi de f et g, induit par le morphismeRemarquons qu’à la section ( f ,η) de J 1 ( Γ o,,R) sont associées les sections( f, df ) et ( o,η − df ) ; les sections de ce dernier type ne forment pas une algèbre deLie car le crochet de deux champs appartenant à Λ 0 ( A 0), n’est pas nécessairement unchamp appartenant à Λ # (A 0 ), cette distribution n’étant pas complètement intégrable.Ces propriétés peuvent être déduites des formules suivantes (dûes à C. Marle[M 2 ] et inspirées de celles de [K.S.]).1L’ancrage Tαo ϕ = a: J ( Γ0, Ρ) est l’application ( f ,η)→Λ # η + fE. Enposant a1 = a( f1,η 1), a2 = a( f2,η 2)on obtient pour le crochet [( f1, η1) ,( f2,η2)]lasection f ,η( ) avec( )+ ia ( ) df − ( )f =-Λ γ , γia df1 2 1 2 2 1η =−d Λ( η , η )+l( a 1 )η 2-l( a ) η + ( i( E)η )( η − df )− ( i( E)η ) η − df1 2( )2 1 2 1 1 1 2 2On peut encore écrire :η = df + i (Λ # γ 1 ) dη − i(Λ # η2)dη1− ( iE ( ) η )( η − df)+ ( iE ( ) η )( η − df)+ iE ( ) fdη − fdηSi η 1= df 1et η 2= df 2, on retrouve bienη = df .( )1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 .18

Il est à noter que la variété J 1 ( Γ o,R) = T Γ 0xR étant munie de la forme decontact η = dt −θΓ 0(où θ Γ0est la forme de Liouville sur T * Γ 0; pour toutesection s = ( f,η ) de J 1 ( Γ o,,R) la forme s * η est égale à df − η .Si l’on remplace A β ( Γ) par A α ( Γ), les sections de A α ( Γ) s’étendent enchamps ω c ∗ ω−hamiltoniens X cβ*f, où la fonction c est définie par φω=− ,. On crappelle que les restrictions à Γ odes formes ω et ω c coïncident.Remarque : On peut retrouver les résultats précédents en considérant le symplectifié( ΓΩ ˜ , ˜)de ( Γ,ω).Il résulte de la remarque 1 du paragraphe V 2, qu’on peut identifier A ( β ˜Γ ) auproduit fibré˜Γ 0xA β ( Γ)π 0xpoù π 0, est le restriction à ˜Γo= Γo×R + de π : ˜Γ→ Γ et p la projection A β ( Γ)→ Γ 0.Pour démontrer le théorème plus général de [K.S.] suivant lequel pour toutevariété de Jacobi (M, Λ, E) le fibré J1 ( M,R) est muni d’une structure d’algébroïde deLie, C. Marle considère l’homogénéisé ( p,Λ p ) de (M , Λ , E) avec P = M ×R ∗et Λ p = 1 λ (Λ+λ ∂ ΛE); il montre, en associant à toute section f ,η∂λ ( ) de J 1 ( M , R), laforme ρ = λη+ fd λ , qu’il y a correspondance biunivoque entre sections de J 1 ( M,R)1et 1-formes homogènes sur P. Remarquons qu’à la section holonome jf,correspondla forme exacte d( λf). Dans le cas du groupoïde symplectique homogène ˜Γ, les 1-formes homogènes sur ˜Γ osont transformées par la dualité symplectique en champ ˜Ωhamiltonienshomogènes ; comme il y a correspondance biunivoque, entre de telschamps et les champs ω-hamiltoniens X α× fsur Γ, on retrouve l’isomorphismede Α β ( Γ), sur J 1 ( Γ o,R).VII - Exemples de groupoïdes de contact1-Les considérations du paragraphe V nous conduisent à distinguer les exemplespour lesquels la structure du premier groupe de Jacobi de la base Γ oest de rang pair(groupoïdes strictement de contact et structures conformes) de ceux pour lesquels Γ oest de rang impair.Dans le premier groupe, l’exemple 1 est “élémentaire“, les exemples 2 et 3 sontliés à la préquantification et à la Mécanique.2- Exemples de groupoïdes strictement de contact et structures conformes19

Exemple 1:soitγa⎯→⎯γ⎯→⎯ 0bun groupoïde symplectique muni d’une forme exacte Ω=dθ .Considérons la variété Γ= γ × R munie de la forme de contact s’écrivent(avec les conventions de l’introduction) ω = dt −θ.On définit sur Γ, une structure de groupoïde, produit de la structure degroupoïde, produit de la structure de groupoïde de δ par la structure de groupe additifde R . Ainsisi x ⋅ x , est défini.1 2( )( )( x , t )( . x , t ) = ( x . x , t + t )α( xt , ) = ax ( ),0β( xt , ) = bx ( ),01 1 2 2 1 2 1 2On vérifie qu’on a un groupoïde Γ strictement de contact, sa base Γ 0= γ°x {} 0est munie de la structure de Poisson deγ 0.Le symplectifié de Γ est le groupoïde ˜Γ =γ x R×R, dont les applications ˜α et˜β sont définie par( )( )( ) = ( )( ) = ( )α˜ xts ,, ax, 0,s˜ β xts ,, bx, 0,sCas particuliers Soit W une variété quelconque ; on désigne par θ wla forme deLiouville de T * W , soit Md , ϕ( ) une variété symplectique exacte.- Le groupoïde Γ=T * W xR= J 1 ( W,R) muni de la forme ω = dt −θw est ungroupoïde strictement de contact dont la base est la variété W munie d’une structure deJacobi de rang nul.- Le groupoïde Γ = M × M × R muni de la forme ω qui peut s’écrire (avec laconvention de l’introduction).( )ω = − ϕ −ϕdt1 2est un groupoïde strictement de contact dont la base est diagonal ∆ Mdu produitM × M c’est-à-dire une variété symplectique.- Le groupoïde Γ= M × M × R x T * W muni de la forme ω = dt −( ϕ1 −ϕ2 )+ θwestun groupoïde strictement de contact dont la base ∆ M×W est munie d’une structure dePoisson.20

Exemple 2 :Groupoïde de jauge d’une préquantificationUne préquantification d’une variété symplectique ( M,Ω)est un S 1−fibréprincipal π : P→ M possédant une forme de connexion ω dont le courbure est laforme - Ω ; cette forme de connexion est une forme de contact.Il a été démontré par A.Weinstein [W 2 ] que le groupoïde de jauge Γ P, de P(quotient de P× P par l’action diagonale de S 1) est muni d’une forme de contact η,qui en fait une préquantification de M × M, la variété des unités de Γ P, étant une sousvariété de Legendre.En utilisant le fait que le fibré horizontale h=kerη est le “pull-back”p*T ( MxM)où p = ( αβ , ) est la projection Γ P→ ( M × M) ; on a démontré dans [L 5 ]que est un groupoïde strictement de contact.La structure de contact sur le groupoïde Γ Pavait été démontrée dans [L 2 ] pour lafibration princiaple S → 2n+ 1P (C) de la sphère S sur l’espace projectif P n2n+ 1n(C). Onutilisait le plongement de S2n+ 1× S2n+1dans S 4n+3. En particulier pour la fibration deHopf :S → S , le groupoïde est difféomorphe à S × S .3 23 2Exemple 3 La variété Γ=J 1 (R n × R) = T ∗ R n × R= R n × R n* × R est munied’une première structure de groupoïde strictement de contact au moyen de la forme,(voir exemple 1).ω = dtn−∑1ipidyOn peut mettre en évidence une deuxième structure de groupoïde de contact.L’involution de Legendre (dans la terminologie de [L.M.] est l’applicationdéfinie paren posanton exprime Ψ parla forme ω peut s’écrireΨ: R n × R n+ × R→R n* × R n × R( ) = ( − + < > )Ψ v, ξ, t ξ, v, t ξ, v ;1τ( v, ξ, t) = t− < ξ, v > ,2( ) = ( − )Ψ v, ξτ , ξ, v,τ21

n1ω = dτ− ∑( pdyi i− ydpi i);2 1on en déduit que Ψ *ω =− ω.Considérons une fonction L sur R n telle que l’application l: R n → R n* définiepar l=dL, soit un difféomorphisme (donc une transformation de Legendre). Encombinant Ψ et l, on obtient un difféomorphismetel queou( )= ( )φ : R n × R n* × R→R n × R n* × R( ) , ξ ' =l v( )=− ( )φ v, ξ, t v' , ξ' , t' avec v' =l -1 ξ ()τ v' , ξ' , t'τ v, ξ,t1 1t' =− t + ξ,v +2 2l(),l v-1 ( ξ) .On définit sur Γ une structure de groupoïde telle sur le difféomorphisme φ soitla symétrie : u → u−1 . Alors la variété des unités Γ oest l’ensemble.{ ∈ R n × R n* 1× R; ξ = l() v , t = }et12 = (){ } v∈Γ o= vdLv () Lv (), , , R n ;Γ oest l’image de R n , par la section jL1 de J 1 (R n , R) ; d’après [L.M], c’est une sousvariétéde Legendre de J 1 (R n ,R). On définit sur J 1 (R n , R) les lois de compositionsuivantes :Le produit ν , ξ , τ ν , ξ , τ( ) = ( l v L vβ v, ξ, t v,2 2 2 1 1 1(), ()) etα = βo φ.( )⋅( ) est défini si et seulement sialorsξ 2= l( v 1 )22

[( 2 2 2)( 1 1 1)]= ( 2 2 2)+ ( 1 1 1).τ v , ξ , t . v , ξ , t τ v , ξ , t τ v , ξ , tLes α-fibres (resp. les β-fibres) sont difféomorphes à R n × R (resp. R n* × R) ; ellescontiennent le champ de Reeb. Comme[ yi,yj]= 0 et [ pi,pj]= 0 , les deux feuilletagessont pseudo-orthogonaux.On vérifie que φ* ω =− ω.On a donc un groupoïde de contact.2. Exemples de groupoïdes de contact Γ induisant sur la base Γ oune stucture deJacobi de rang impair.( ) une variété de contact. On peut montrer (cf. [L 5 ]) que sur laExemple 4. Soit M,ωtvariété Γ= M1 × M2 × R (avec M1 = M2= M) la forme η = eω −e− t1ω2 est uneforme de contact.Comme dans l’exemple 1, on définit sur Γ une structure de groupoïde, produitde la structure de groupoïde de M1 × M2par le groupe additif de R.Soit φ la symétrie x → x , x → x , t →− t. Cette symétrie vérifie la relation1 22 1∗φω=− ω.La variété des unités Γ os’identifiant à M est une sous-variété de Legendre de Γ.Mais ( Γ,η) n’est pas un groupoïde de contact; par exemple le α-feuilletage (dont lesintégrales premières sont les fonctions sur M 2 ) n’est pas η-complet ; le crochet de deuxintégrales premières dépend de t. De plus, le champ de Reeb 1 2n’appartient pas au α-feuilletage.D’autre part, si l’on considère la forme2t tµ = e ω − ω = eη1 2ainsi qu’il a été fait par C.Albert [A], on obtientOn vérifie que Γ,µ( Γ,η)et Γ,µφµ ∗ − 2t= e ω − ω = −e− 2tµ .2 1( e −t E1 − e t E2)( ) est un groupoïde de contact. Le symplectifié commun ˜Γ de( ) s’identifie au produit M ˜ × M ˜ , où ˜M est la symplectifiée de ( M,ω).( ) une variété de contact et W une variété quelconque. OnExemple 5 Soit M,ωconsidère Γ= M1 × M2 × R × TW ∗ (avec M1 = M2= M). On peut définir sur Γ unepremière structure de groupoïde, produit de la structure naturelle de groupoïde deM1 × M2×R définie dans l’exemple 4 par la structure naturelle de groupoïde du fibrévectoriel TM∗ ; la sous –variété des unités Γ oqui s’identifie à M × W est une sousvariétéde Legendre de Γ,ρ( ) avec23

tρ = ω − − te e ω + θ1 2 W,( ) n’est pasoù θ West la forme de Liouville sur TW∗ *. On aφ ρ=− ρ. Cependant Γ,ρun groupoïde de contact.Pour obtenir un groupoïde de contact, il faut à la fois modifier la structure degroupoïde et la forme de contact. La structure de groupoïde de Γ sera le produit de lastructure de groupoïde naturel de M × M par la structure de groupoïde suivante surR × TW∗ ; le composé ( tu , )( sv , ) est défini si et seulement si u et v appartiennent à la∗même fibre de qTW : → W; alors( )( )( )= + +2stu , sv , t se , u v.L’ensemble des unités de R × TWest ∗{}× 0 O w(image de la section nulle de TW∗ ).−La symétrie φ west définie par φ w ( tu , ) = −t,−e 2 tu. Par suite si θ = e t θ , on a wOn vérifie alors que la forme∗ −tφθ=− e θ.2ttυ = e ω − ω + eθw1 2( )est une forme de contact sur Γ, telle que φ ∗ υ= −e −2tυ, et définissant sur Γ unestructure de groupoïde de contact.Cet exemple est inspiré, avec des notations différentes, de celui de Kerbrat-Souici Benhammadi [K.S].wRéférences[A] C.Albert, C.R. Acad.Sci. Paris juillet 1993[A.D.] C.Albert & P.Dazord, Groupoïdes de Lie et groupoïdes symplectiques,M.S.R.I Berkeley Publications, 20, 1989. Publ. Dep. Math. Lyon (1990)[Ar] V.I Arnol’d, Les méthodes mathématiques de la mécanique classiqueEditions Mir, Moscou, 1976.[C.D.W] A.Coste, P.Dazord & A.Weinstein, Groupoïdes symplectiques, Publ.Dept. Math. Lyon 2/A , 1987, 1-64.[D.H] P.Dazord & G. Hector,Intégration symplectique des variétés de Poissontotalement asphériques. M.S.R.I Berkeley Publications, 20, 1989.[D.L.M.] P.Dazord, A.Lichnerowicz & C. Marle, "Structure locale des variétés deJacobi", J.Math. Pures et Appliquées, 70 (1991), 101-152[D.S.] P.Dazord & D.Sondaz, Variétés de Poisson, Séminaire Sud –Rhodamien. Publ. Dep. Math. Lyon (1988).[E] C.Ehressmann, Oeuvres complètes. Parties I.1 et I.2 Topologiealgébrique et géométrique Différentielle. Amiens 1984.24

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