a a l'infini P p - mms2

Cette méthode (convergence-confinement) montre clairement quesi le soutènement est posé tôt (point A proche de l’origine), lesdéplacements du terrain, et donc son endommagement, seront réduitsmais le soutènement sera très chargé et inversement. Il y a un justecompromis à trouver.Pour p < p e , dans la zone élastique les déplacements sont déjàdéterminés. Pour calculer dans la zone plastique on élimine lesdéformations plastiques en formant l’expression de ε r + βε θ , carεr p + βε p θ= 0. D’où :E(ε r + βε θ ) = (1 + ν)[σ r + P + β(σ θ + P)]−ν(1 + β)(σ r + P + σ θ + P)(1 + ν)En utilisant la relation de compatibilité ε r = rε ′ θ + ε θ et lesexpressions des contraintes déjà déterminées dans la zone plastique,4on obtient pour ε θ une équation du premier ordre que l’on intègreen tenant compte du fait que ε θ pour r = c est connu (continuité dudéplacement à l’interface des deux zones).On obtient ainsi l’expression de ε θ = u/r en fonction de r et dep. En particulier pour r = a (à la paroi du tunnel), la convergence(−u(a)/a) est reliée à la pression de soutènement p (confinement)par une relation non linéaire qui n’est valable que pour p ≤ p e maisqui peut être complétée par celle obtenue en élasticité (p ≥ p e ).Ainsi, dans le diagramme convergence (en abscisse), confinement(en ordonnée) on obtient une courbe descendante à concavité versle haut commençant par une portion de droite (phase élastique) etprésentant une asymptote (p = 0 pour −u(a)/a tendant vers l’infini).Cette asymptote traduit simplement le fait qu’il est impossible deconcevoir un tunnel dans du sable sec sans soutènement (p = 0).