Transformations du milieu continu - mms2

Transformations du milieu continu

Extensométriemesures du déplacement relatif de deux points3/75

Mesures de champmesures de champs de déformations4/75

Mesures de champ de déplacementessai de traction simple5/75

Mesures de champ de déplacementessai de traction simple6/75

Mesures de champ de déplacementessai de traction simple7/75

Mesures de champ de déplacementallongement de la zone utileétat initialétat déformé8/75

Mesures de champ de déplacementméthode de corrélation d’images : reconnaissance des motifs autour d’unréseau de points matériels et suivi de leurs déplacements219/75

Mesures de champ de déplacementméthode de corrélation d’images : reconnaissance des motifs autour d’unréseau de points matériels et suivi de leurs déplacements2110/75

champs de...Mesures de champ de déplacement-0.475-0.325-0.175-0.0250.1250.2750.425-0.21-0.15-0.09-0.030.030.090.15-0.55-0.4-0.25-0.10.050.20.350.5-0.24-0.18-0.12-0.06-2.78e-170.060.1222U2 minimum:-0.583 maximum:0.545 1déplacement u 2U1 minimum:-0.253 maximum:0.221 1déplacement u 1 en mm11/75

Mesures de champ de déplacementprofils de déplacement le long d’une ligne0.60.250.40.20.20.150.10.050u 2(mm)-0.2-0.4-0.60 2 4 6 8 10 12 14 16x 2 (mm)verticaleu 10(mm)-0.05-0.1-0.15-0.2-0.250 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 1 (mm)horizontale12/75

Mesures de champ de déplacementprofils de déplacement le long d’une ligne0.60.250.40.20.20.150.10.050u 2(mm)-0.2-0.4-0.60 2 4 6 8 10 12 14 16x 2 (mm)verticaleu 10(mm)-0.05-0.1-0.15-0.2-0.250 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 1 (mm)horizontaleF 22 − 1 = ∂u 2∂x 2F 11 − 1 = ∂u 1∂x 113/75

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Transformation du milieu continuXΦx( E , R )Ω0 Ωtla transformation Φ x = Φ(X , t)le champ de déplacementu (X , t) = x − X = Φ(X , t) − XLe gradient de la transformation 16/75

Le gradient de la transformationΦdXdxxXapplication linéaire tangente associée à ΦΦ(X + dX ) − Φ(X ) = ∂Φ .dX + o(X , dX )∂Xélément de fibre matérielle dX initiale et dx actuelleF ∼(X , t) = ∂Φ∂X = Grad Φ = 1 ∼ + Grad u ,dx = F ∼ .dXLe gradient de la transformation F ∼est une caractérisation locale de latransformation (F ∼(X , t = 0) = 1 ∼)Le gradient de la transformation 17/75

Le gradient de la transformationLe gradient en coordonnées cartésiennes orthonormées (e i ) i=1,3dx i = F ij dX j , avec F ij = ∂x i∂X j= δ ij + ∂u i∂X jet F ∼= F ij e i ⊗ e jdx 1 = ∂Φ 1∂X 1dX 1 + ∂Φ 1∂X 2dX 2 + ∂Φ 1∂X 3dX 3dx 2 = ∂Φ 2∂X 1dX 1 + ∂Φ 2∂X 2dX 2 + ∂Φ 2∂X 3dX 3dx 3 = ∂Φ 3dX 1 + ∂Φ 3dX 2 + ∂Φ 3dX 3∂X 3 ∂X 3 ∂X 3⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤dx 1 F 11 F 12 F 13 dX 1⎣ dx 2⎦ = ⎣ F 21 F 22 F 23⎦ ⎣ dX 2⎦dx 3 F 31 F 32 F 33 dX 3les composantes de F ∼sont sans dimension physiqueLe gradient de la transformation 18/75

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Transport d’un élément de volume• volume élémentaire initial dV et actuel dvLe gradient de la transformation 20/75

Transport d’un élément de volume• volume élémentaire initial dV et actuel dvdV = dX 1 .(dX 2 ∧dX 3 ) = [dX 1 , dX 2 , dX 3 ] = det(dX 1 , dX 2 , dX 3 )dv = [dx 1 , dx 2 , dx 3 ] = [F ∼.dX 1 , F ∼.dX 2 , F ∼.dX 3 ]dv = J dVJ = det F ∼> 0jacobien de la transformation• transformation isochore en un point ou en tout pointun matériau est dit incompressible s’il ne peut subir que destransformations isochoresLe gradient de la transformation 21/75

Retour sur la conservation de la masseρ dv = ρ 0 dV = ρ J dV =⇒ ρ 0 = Jρinterprétation en terme de changement de variable dans uneintégrale sur un domaine matériel D(t)∫∫ρ(x , t) dv = ρ(Φ(X , t), t) J dVD(t)D 0} {{ }ρ 0 (X )avec D 0 = Φ −1 (D(t))Le gradient de la transformation 22/75

Transport d’un élément de surfaceNΦnXxdS = dX 1 ∧ dX 3 = dS N ,ds = dx 1 ∧ dx 3 = ds nLe gradient de la transformation 23/75

Transport d’un élément de surfaceNΦnXxdS = dX 1 ∧ dX 3 = dS N ,ds = dx 1 ∧ dx 3 = ds nl’élément de surface est défini par les directions matériellesorthogonales dX 1 et dX 3 qu’il contient. Le vecteur élément desurface dS ne se transforme pas comme une fibre matérielle :ds = J F ∼ −T .dSdS et ds (resp. N et n ) ne sont pas constitués des mêmes pointsmatérielsLe gradient de la transformation 24/75

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Décomposition polaire du gradient de latransformationPour tout tenseur F ∼inversible, il existe deux tenseurs symétriquesdéfinis positifs U ∼et V ∼uniques et un unique tenseur orthogonal R ∼tels queF ∼= R ∼.U ∼= V ∼.R ∼Si det F ∼> 0, R ∼est une rotation pure (i.e. det R ∼= +1).R ∼rotation propre (3 composantes) R ∼ −1 = R ∼TU ∼, V ∼déformations pures (6 composantes) U ∼ T = U ∼, V ∼ T = V ∼Le gradient de la transformation 26/75

Décomposition polaire de F ∼URFRVLe gradient de la transformation 27/75

Transport d’un trièdre principal de U ∼• décomposition spectrale de U ∼et V ∼U ∼.V r = λ r V r , λ r > 0 (no sum), U ∼=3∑λ r V r ⊗ V rr=1Les vecteurs propres sont appelés directions principales ou axesprincipaux de U ∼, et les valeurs propres déformations principalesv r = R ∼.V r , V ∼=3∑λ r v r ⊗ v rr=1• Tout trièdre principal de U ∼se transforme en un trièdre trirectangle.L’orientation du trièdre déformé par rapport au trièdre initial estdonnée exactement par R ∼=⇒ il est intéressant de suivre une grille dont les arêtes (fibresmatérielles) sont parallèles aux directions principales de U ∼. C’est lecas si les trièdres trirectangles formés par des arêtes de la grille initiale setransforment en trièdres trirectangles. L’orientation du triangle final parrapport au premier permet de “visualiser” la rotation propre.Le gradient de la transformation 28/75

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Transformations homogènes• transformation homogène : F ∼(X , t) = F ∼(t)état initial homogène hétérogènelorsque tous les carrés déformés sont superposables, ladéformation est homogène• conséquence sur le champ de déplacement :x (t) = F ∼(t).X + c (t)pour tout couple de points matérielsx 1 − x 2 = F ∼.(X 1 − X 2 )Le gradient de la transformation 30/75

Extension simpleLe gradient de la transformation 31/75

Extension simple⎧⎨⎩x 1 = X 1 (1 + λ)x 2 = X 2⎡⎣x 3 = X 3∼ ∼ 1 1 ∼R ∼= 1 ∼,U ∼= F ∼1 + λ 0 00 1 00 0 1⎤⎦Le gradient de la transformation 32/75

Glissement simpleLe gradient de la transformation 33/75

Glissement simple⎧⎨⎩x 1 = X 1 + γX 2x 2 = X 2⎡⎣x 3 = X 3∼ ∼ 1 2 ∼1 γ 00 1 00 0 1⎤⎦Le gradient de la transformation 34/75

Glissement simpleC ∼= 1 ∼+γ(e 1 ⊗e 2 +e 2 ⊗e 1 )+γ 2 e 2 ⊗e 2 , [C ∼] = ⎣Les valeurs propres de C ∼sont⎡1 γ 0γ 1 + γ 2 00 0 1λ 1 = 1 2 (γ2 + 2 + γ √ γ 2 + 4) = ( 1 2 (γ + √ γ 2 + 4)) 2λ 2 = 1 2 (γ2 + 2 − γ √ γ 2 + 4) = ( 1 2 (−γ + √ γ 2 + 4)) 2λ 3 = 1Les vecteurs propres de C ∼et U ∼sontV 1 = 1 2 (−γ + √ γ 2 + 4)e 1 + e 2⎤⎦V 2 = 1 2 (−γ − √ γ 2 + 4)e 1 + e 2V 3 = e 3Le gradient de la transformation 35/75

⎡U ∼=⎢⎣⎡V ∼=⎢⎣Glissement simple1γ⎤√01 + (γ/2) 2 2√1 + (γ/2) 2 γ1 + γ 2 /2√02 1 + (γ/2)√1 2 + (γ/2) 2 ⎥⎦0 0 11 + γ 2 ⎤/2γ√01 + (γ/2) 2 2√1 + (γ/2) 2 γ1√02 1 + (γ/2)√1 2 + (γ/2) 2 ⎥⎦0 0 1⎡R ∼=⎢⎣γ010√11 + (γ/2) 2 2√1 + (γ/2) 2√−γ2 1 + (γ/2) 2 √1 + (γ/2) 20 0 1⎤⎥⎦la rotation propre est une rotation autour de e 3 d’angle tan θ = − γ 2Le gradient de la transformation 36/75

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Les tenseurs de Cauchy–GreenΦdX 1 dX 2dx 1Xx dx 2Déformations 39/75

Les tenseurs de Cauchy–GreenΦdX 1 dX 2dx 1Xx dx 2dx 1 .dx 2 = (F ∼.dX 1 ).(F ∼.dX 2 ) = dX 1 .F ∼ T .F ∼.dX 2 = dX 1 .C ∼.dX 2le tenseur de Cauchy–Green droit C ∼= F ∼ T .F ∼instaure une métrique sur Ω 0dX 1 .dX 2 = dx 1 .B ∼ −1 .dx 2le tenseur de Cauchy–Green gauche B ∼= F ∼.F ∼ T instaure une métrique surΩ t(C ∼et B ∼sont symétriques et définis positifs, B ∼ ≠ C ∼ T !!)Déformations 40/75

Variation de longueurs• variation de longueurs• allongement relatif‖dx ‖ 2 − ‖dX ‖ 2dX = ‖dX ‖ Mλ(M ) = ‖dx ‖‖dX ‖• interprétation des composantes de C ∼λ(e 1 )Déformations 41/75

Variation de longueurs• variation de longueurs‖dx ‖ 2 − ‖dX ‖ 2 = dX .(C ∼− 1 ∼).dX = dx .(1 ∼− B ∼ −1 ).dx• allongement relatifdX = ‖dX ‖ Mλ(M ) = ‖dx ‖‖dX ‖ = √M .C ∼.M = ‖F ∼.M ‖ = ‖U ∼.M ‖• interprétation des composantes de C ∼λ(e 1 ) = √ √C 11 = F11 2 + F 21 2 + F 312C 11 désigne donc le carré de l’allongement du premier vecteur debaseDéformations 42/75

Variation d’angles• variation d’angle entre deux éléments de fibre matérielledX 1 = |dX 1 | M 1 , dX 2 = |dX 2 | M 2dx 1 = |dx 1 | m 1 , dx 2 = |dx 2 | m 2cos Θ = M 1 .M 2cos θ = m 1 .m 2• angle de glissement γ des directions M 1 et M 2 dans le plande glissement (M 1 , M 2 )γ := Θ − θSi Θ = π/2 (directions initialement orthogonales)sin γ =• interprétation des composantes de C ∼: M 1 = E 1 et M 2 = E 2sin γ =Déformations 43/75

Variation d’angles• variation d’angle entre deux éléments de fibre matérielledX 1 = |dX 1 | M 1 , dX 2 = |dX 2 | M 2dx 1 = |dx 1 | m 1 , dx 2 = |dx 2 | m 2cos Θ = M 1 .M 2cos θ = m 1 .m 2 = M 1.C ∼.M 2λ(M 1 )λ(M 2 )• angle de glissement γγ := Θ − θSi Θ = π/2 (directions initialement orthogonales)sin γ = M 1.C ∼.M 2λ(M 1 )λ(M 2 )• interprétation des composantes de C ∼: M 1 = E 1 et M 2 = E 2sin γ = C 12√C11 C 22Déformations 44/75

Retour sur les mouvements de corps rigideUne transformation homogène est appelée mouvement de corpsrigide lorsque la distance entre tout couple de points matérielsreste inchangée au cours du mouvement :∀X 1 , X 2 ≠ 0,‖x 1 − x 2 ‖ = ‖X 1 − X 2 ‖Déformations 45/75

Retour sur les mouvements de corps rigideUne transformation homogène est appelée mouvement de corpsrigide lorsque la distance entre tout couple de points matérielsreste inchangée au cours du mouvement :(F ∼.(X 1 −X 2 )) 2 = (X 1 −X 2 ).F ∼ T .F ∼.(X 1 −X 2 ) = (X 1 −X 2 ).(X 1 −X 2 )=⇒ F ∼ T .F ∼= C ∼= 1 ∼Le gradient de la transformation est donc orthogonal direct. C’estune rotation Q ∼(t). La transformation correspondante estx = Q ∼(t).X + c (t)Déformations 46/75

Mesures de déformation• candidatsC ∼, B ∼, U ∼, V ∼• quelques règles supplémentaires conventionnelles pour une mesurede déformation :⋆ elle est symétrique et sans dimension physique;⋆ elle est nulle pour un mouvement de corps rigide et en F ∼= 1 ∼;⋆ son développement limité autour de F ∼= 1 ∼s’écrit12 (H + H T ) + o(H∼ ∼∼)= F ∼− 1 ∼= Grad u• les tenseurs de Green–Lagrange et d’AlmansiH ∼E ∼:= 1 2 (C ∼ − 1 ∼ ), A ∼ := 1 2 (1 ∼ − B ∼ −1 )E ∼= 1 2 (H ∼ + H ∼ T + H ∼ T .H ∼)E ij = 1 2 ( ∂u i∂X j+ ∂u j∂X i+ ∂u k∂X i∂u k∂X j)• mesures lagrangiennes / mesures eulériennes de déformationDéformations 47/75

Grandes déformations / grandes rotationsF ∼= R ∼.U ∼Déformations 48/75

Petites déformations / grandes rotationsU ∼≃ 1 ∼+ E ∼, ‖E ∼‖ ≪ 1pour les corps élancés dans une ou deux directions (poutres,plaques et coques...), “grandes transformation” n’implique pasnécessairement “grande déformation”...Déformations 49/75

Grandes déformations / petites rotations⎡[R ∼] = ⎣représentation des petites rotations⎤ ⎡1 0⎤0⎡⎦ ≃ ⎣ 0 1 0 ⎦ + ⎣0 0 1cos φ − sin φ 0sin φ cos φ 00 0 10 −φ 0φ 0 00 0 0⎤⎦R ∼≃ 1 ∼+ ω ∼ω ∼antisymétrique : ω ∼ T = −ω ∼Déformations 50/75

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Petites déformations / petites rotationsH ∼= Grad u , F ∼= 1 ∼+ H ∼= 1 ∼+ ε ∼+ ω ∼= 1ε∼2 (H + H T ), ω∼ ∼∼= 1 2 (H − H T )∼ ∼• le contexte des transformations infinitésimales (dans un référentieldonné) :‖H ∼= Grad u ‖ ≪ 1 ⇐⇒ F ∼= O(1 ∼)transformation infinitésimale = petite déformation + petite rotationF ∼= 1 ∼+ ε ∼+ ω ∼≃ (1 ∼+ ω ∼).(1 ∼+ ε ∼)tenseur des déformations infinitésimales ε ij = 1 2 (u i,j + u j,i )tenseur des rotations infinitésimales ω ij := 1 2 (u i,j − u j,i )• objectif : tenue en service des matériaux et des structures(dimensionnement, fiabilité)• piège : on peut toujours calculer ε ∼mais il n’a de sens que dans lecontexte infinitésimal...F ∼= Q∼=⇒ C ∼= 1 ∼, E ∼= 0 mais ε ∼= 1 2 (Q ∼ + Q ∼ T ) − 1 ∼ ≠ 0 !!!Déformations 52/75

Etude des déformations dans le contexteinfinitésimal• C ∼≃ 1 ∼+ 2ε ∼, E ∼≃ ε ∼• variation de volume⎡dvdV = det F = det ⎣∼cas d’une transformation isochore• variation de longueur• variation d’angle⎤1 + u 1,1 u 1,2 u 1,3u 2,1 1 + u 2,2 u 2,3⎦u 3,1 u 3,2 1 + u 3,3λ(M ) = ‖dx ‖‖dX ‖ = √M .C ∼.Mcos θ = m 1 .m 2 = M 1.C ∼.M 2λ(M 1 )λ(M 2 )cas de deux directions initialement orthogonalesDéformations 53/75

Etude des déformations dans le contexteinfinitésimal• C ∼≃ 1 ∼+ 2ε ∼, E ∼≃ ε ∼• variation de volumedv − dV≃ div u = trace εdV∼cas d’une transformation isochore : trace ε ∼= 0‖dx ‖ − ‖dX ‖• variation de longueur‖dX ‖si M = e 1 , l’allongement relatif est ε 11• variation d’angleMcos θ = 1 .M 2 + 2M 1 .ε ∼.M 2(1 + M 1 .ε ∼.M 1 )(1 + M 2 .ε ∼.M 2 )≃ M .ε ∼.Mcas de deux directions initialement orthogonales :γ ≃ 2M 1 .ε ∼.M 2si M 1 = e 1 , M 2 = e 2 , alors γ ≃ 2ε 12Déformations 54/75

Application : jauges de déformation‖dx ‖ − ‖dX ‖‖dX ‖≃ M .ε ∼.MDéformations 55/75

Application : jauges et extensomètresDans une zone “utile” où la transformation est (quasi–)homogène,C 11 = l 2X 2 − X 1 = l 0 Mx 2 − x 1 = l ml 2 0Dans le contexte infinitésimal, E 11 = l 2 − l 2 0l 2 0ε 11 = l − l 0l 0= δll 0Si F ∼.M ‖ M ,F 11 = U 11 = ll 0Déformations 56/75

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Position du problème de compatibilitéle champ C ∼(X , t) caractérise la forme actuelle de tous les petitsparallélogrammes individuelsCompatibilité d’un champ de déformation 59/75

Position du problème de compatibilitéle champ C ∼(X , t) caractérise la forme actuelle de tous les petitsparallélogrammes individuelsCompatibilité d’un champ de déformation 60/75

Position du problème de compatibilitéA quelles conditions est–il possible de reconstituer le puzzle etcomment passer deà ?Compatibilité d’un champ de déformation 61/75

Position du problème de compatibilité• Question 1 (théorique) : soit C ∼(X ) un champ de tenseursd’ordre 2 symétriques définis positifs, à quelles conditionsexiste–t–il une transformation Φ(X ) telle que(Grad Φ) T .(Grad Φ) = C ∼?Si un tel champ u (X ) existe, le champ de déformation C ∼(X )est dit compatible• Question 2 (théorique, pratique) : si ces conditions sontremplies, de combien diffèrent les solutions possibles?• Question 3 (pratique) : si ces conditions sont remplies,comment reconstituer le(s) champ(s) de déplacement dumilieu si l’on connaît le champ de déformation?en d’autres termes, connaissant C ∼(X ), comment reconstituer R ∼(X )pour connaître F ∼(X ) et l’intégrer ensuite?Compatibilité d’un champ de déformation 62/75

Un cas particulierTrouver une classe de champs C ∼qui soient systématiquementcompatible?Compatibilité d’un champ de déformation 63/75

Un cas particulier : les déformations homogènesTrouver une classe de champs C ∼(X ) qui soient systématiquementcompatible?les déformations homogènes sont toujours compatibles :C ∼(X ) = C ∼0(les pièces du puzzle ont toutes la même formeparallélépipédique)• Si la transformation est homogène (F ∼(X ) = F ∼0), alors ladéformation est homogènedémonstration basée sur l’unicité de la décomposition polaire• Si la déformation est homogène (C ∼(X ) = C ∼0) alors latransformation est homogèneintuitif mais démonstration plus délicateCompatibilité d’un champ de déformation 64/75

Un cas particulier : les déformations homogènesTrouver une classe de champs C ∼(X ) qui soient systématiquementcompatible?les déformations homogènes sont toujours compatibles :C ∼(X ) = C ∼0(les pièces du puzzle ont toutes la même formeparallélépipédique)• Si la transformation est homogène (F ∼(X ) = F ∼0), alors ladéformation est homogènedémonstration basée sur l’unicité de la décomposition polaire• Si la déformation est homogène (C ∼(X ) = C ∼0) alors latransformation est homogèneintuitif mais démonstration plus délicateCorollaire : si la déformation de Green–Lagrange E ∼est nulle entout point, alors la transformation est un mouvement de corpsrigideCompatibilité d’un champ de déformation 65/75

Réponse à la question 2Soit C ∼(X ) un champ compatible de tenseurs d’ordre 2symétriques définis positifs.Supposons qu’il existe 2 transformations Φ 1 (X ) et Φ 2 (X ) dedéplacements dont C ∼(X ) soit le champ des déformations deCauchy–Green droit associé. Quel est le lien entre Φ 1 et Φ 2 ?Compatibilité d’un champ de déformation 66/75

Réponse à la question 2Soit C ∼(X ) un champ compatible de tenseurs d’ordre 2symétriques définis positifs.Supposons qu’il existe 2 transformations Φ 1 (X ) et Φ 2 (X ) dedéplacements dont C ∼(X ) soit le champ des déformations deCauchy–Green droit associé. Quel est le lien entre Φ 1 et Φ 2 ?Réponse : les deux transformations diffèrent d’un mouvement decorps rigideF ∼2= Q ∼.F ∼1Φ 2 (X ) = Q ∼.Φ 1 (X ) + cCompatibilité d’un champ de déformation 67/75

Réponse à la question 2Soit C ∼(X ) un champ compatible de tenseurs d’ordre 2symétriques définis positifs.Supposons qu’il existe 2 transformations Φ 1 (X ) et Φ 2 (X ) dedéplacements dont C ∼(X ) soit le champ des déformations deCauchy–Green droit associé. Quel est le lien entre Φ 1 et Φ 2 ?Réponse : les deux transformations diffèrent d’un mouvement decorps rigideF ∼2= Q ∼.F ∼1Φ 2 (X ) = Q ∼.Φ 1 (X ) + cOn va répondre aux questions 1 et 3 uniquement dans le contexteinfinitésimalCompatibilité d’un champ de déformation 68/75

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Compatibilité dans le contexte infinitésimalSoit ε ∼(X ) un champ de tenseurs symétriques, à quelles conditionsexiste–t–il un champ de déplacements u (X ) tel que1() (Grad u ) + (Grad u ) T = ε2∼(X ) ?les 6 champs ε ij (X ) ne doivent dépendre en fait que de la connaissancede 3 champs u i (X )Conditions de compatibilité :∀i, j, k, l,ε ij,kl + ε kl,ij = ε il,jk + ε jk,ilCompatibilité d’un champ de déformation 70/75

Conditions de compatibilité• cas 2Dε 11,22 + ε 22,11 − 2ε 12,12 = 03 champs ε ij - 1 condition = 2 degrés de liberté (u 1 , u 2 )• cas 3Dε 11,22 + ε 22,11 − 2ε 12,12 = 0ε 22,33 + ε 33,22 − 2ε 23,23 = 0ε 33,11 + ε 11,33 − 2ε 31,31 = 0ε 12,23 + ε 23,12 = ε 22,31 + ε 31,22ε 23,31 + ε 31,23 = ε 33,12 + ε 12,33ε 31,12 + ε 12,31 = ε 11,23 + ε 23,11on peut établir trois relations supplémentaires liant ces équations =⇒ 3conditions indépendantes seulement6 champs ε ij - 3 conditions = 3 degrés de liberté (u 1 , u 2 , u 3 )Compatibilité d’un champ de déformation 71/75

Plan1 Mise en évidence expérimentale2 Le gradient de la transformationTransports convectifsDécomposition polaireExtension et glissement simples3 DéformationsMesures de déformationsTransformations infinitésimales4 Compatibilité d’un champ de déformationLe cas général des transformations finiesEquations de compatibilité dans le contexte infinitésimal5 Bilan : déformation du milieu continu

Bilan : transports convectifsTransport d’un élément de fibre matérielle :dx = F ∼.dXTransport d’un élément de surface :Transport d’un élément de volume :ds = J F ∼ −T dSdv = J dVBilan : déformation du milieu continu 73/75

Bilan : transformations finiesF ∼= R ∼.U ∼= V ∼.R ∼gradient de la transformation (det F ∼> 0)R ∼rotation propre (det R ∼= 1)U ∼V ∼tenseur droit de déformation puretenseur gauche de déformation pureC ∼:= F ∼ T .F ∼= U ∼2B ∼:= F ∼.F ∼ T = V ∼2E ∼:= 1 2 (C ∼ − 1 ∼ )tenseur de Cauchy–Green droittenseur de Cauchy–Green gauchetenseur de Green–LagrangeA ∼:= 1 2 (1 ∼ − B ∼ −1 ) tenseur d’AlmansiBilan : déformation du milieu continu 74/75

Bilan : le contexte infinitésimalH ∼= ε ∼+ ω ∼= Grad u gradient du déplacementε∼ = 1 2 (Grad u + (Grad u )T )tenseur des déformations infinitésimalesω ∼= 1 2 (Grad u − (Grad u )T ) tenseur des rotations infinitésimalesF ∼= 1 ∼+ ε ∼+ ω ∼≃ (1 ∼+ ε ∼).(1 ∼+ ω ∼), C ∼≃ 1 ∼+ 2ε ∼≃ B ∼, E ∼≃ ε ∼|dx | − |dX ||dX |≃ M .ε ∼.Mallongement infinitésimaldv − dVdV≃ div u = trace ε ∼variation de volume infinitésimaleBilan : déformation du milieu continu 75/75