cours mecanique du solide rigide[1].pdf

5⎛u1 v1 w1⎞⎜ ⎟P= u2 v2 w2⎜u3 v3 w ⎟⎝3⎠( , , ) det ( ) ( ) ( )Nous aurons uvw = [ P] = w1 uv2 3−uv 3 2−w2 uv1 3− uv3 1+ w3 uv1 2−uv2 1Si l’on pose pour α : α = ( uv −uv) e −( uv − uv) e + ( uv −uv)e2 3 3 2 1 1 3 3 1 2 1 2 2 1 3Nous obtenons alors : ( uvw , , ) = α.wLe vecteur α ainsi défini est le produit vectoriel des deux vecteurs uv , et on note : α = u ∧ vRetour au produit mixte :Nous pouvons donc aisément écrire le produit mixte de la manière suivante :( uvw , , ) = u ∧ vw . .Les propriétés du déterminant et la symétrie du produit scalaire permettent d’écrire :( uvw , , ) = u ∧ vw . =− ( vuw , , ) = ( vwu , , ) = uv . ∧wExpression du produit vectoriel : Le produit vectoriel α = u ∧vpeut s’écrire de divers manières, en particulier en se servantde l’expression du déterminant précédente, on aura : u v u v u v u ∧ v = e e + eu v u v u v2 2 3 3 1 11+23 3 1 1 2 23Propriétés du produit vectoriel :a) L’application ∧ de E×E dans E est anticommutative, bilinéaire et non associative.b) u ∧v ⊥u et u ∧v ⊥v c) u∧ v = 0 ⇔u, v colinéairesFormule du double produit vectorielUPMCA. ALLICHE

6u ∧( v ∧ w ) = ( u . w ) v −( uv . ) w(démonstration en TD)2 – 4 Division vectoriel :Soient deux vecteurs v∧ x = w ?v et w connus, existe-t-il un vecteur x tel que :Remarque :• v doit être non nul • v et w doivent être orthogonauxSi x existe, alors x+λvest aussi solution.Recherchons maintenant le vecteur x en fonction deEn multipliant vectoriellement par v , on obtient :vv ( ∧ x ) = v ∧wv et w .En utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit à l’expression suivante :1( v . x ) v − ( v . v ) x = v ∧w ⇒ x = λv − v ∧w2vOn peut démontrer, à ce niveau la deuxième remarque ci-dessus : 1 −v ∧(v∧w)v ∧ x = v∧( λv− v∧ w)=2 en développant ce double produit vectoriel, on2vvobtient : −(. vww ) v ∧ x = + w2vCette solution n’est valable que si vw= . 03 - Identité de LagrangeThéorème : Soient u et v deux vecteurs de E.L’identité de Lagrange est définie par la relation suivante :22 2( uv . ) + u ∧ v = u . v 2Démonstration :2u ∧ v = ( u ∧v ).( u ∧ v ) = ( u , v , u ∧ v ) = ( v , u ∧ v , u ) = ( v ∧( u ∧v ). u )UPMCA. ALLICHE

7En utilisant la formule du double produit vectoriel on obtient :v ∧( u ∧ v ) = ( v . v ). u −( vu . ). vD’où :u ∧ v = u . v −( uv . )2 2 2 2L’identité de Lagrange nous permet d’écrire une autre formulation du produit vectoriel :( u ∧ v ) = u . v sin( u , vDémonstration :2u ∧ v =2 2 2u . v − ( uv . ) =2 2 2u . v (1− cos ( u , v )) =2 2u . v (sin ( u , v2))et donc :u∧ v = u . v sin( u,v ) vOrientation du produit vectoriel : Considérant le plan passant par le point O et contenant les vecteursu et . Soient ( e , e ) unebase de ce plan. Soit e un vecteur perpendiculaire à ce plan et tel que 3( e , e , e ) constitue une1 2 3base orthonormé directe de E : on dit que le plan est orienté pare 3 . On a alors l’expression duproduit vectoriel :1 2( u ∧ v ) = u . v sin( u , v ). e34 – Applications• u ∧ v est l’aire orientée du parallélogramme construit sur les vecteursu ,v .• le produit mixte ( uvw , , ) est le volume du parallélépipède construit sur les vecteursuvw , ,u ∧ vθvhuuθwvAire parallélogramme : Aire = Base * Hauteur = v . h=v . u cosθVolume parallélépipède :UPMCA. ALLICHE

8Volume = Base * Hauteur = u ∧ v . w .cos θ = ( u ∧ v ). w = ( u , v , w )UPMCA. ALLICHE

9CHAPITRE 2 - TORSEURSI- Applications antisymétriques.Soit une application de l'espace vectoriel E dans E : u M → L( u M )( ) ( ) L est antisymétrique ⇔ ∀ u , v ∈ E x E :( )u L v v L u( ) = - ( )Propriété : Toute application antisymétrique est linéaire. ∀ u , u ∈ E1 2et α1 , α2∈ R on a : L u u L u L u( α , + α ) = α ( ) + α ( )1 2 2 1 1 22.L]Soit maintenant [ la matrice représentant l'application par rapport à la base orthonormée directe β e , e , e de E :( )1 2 3[ L]⎛l 11l12l13⎞⎜ ⎟= ⎜⎜l21l22l23l31l32l ⎟⎝ 33 ⎠avec l11 = e1 L ( e1) = - e1 L ( e1)= - l11= 0 l = e L e = - e L e = - l pour tout i ≠ j( ) j ( )ij i j i jiPosons arbitrairement l12 = - r3 ; l13 = r2 ; l23 = - r1d'où[ L]⎛0 - r3 r2⎞⎜ ⎟= r3 0 - r1⎜ - r2 r10 ⎟⎝ ⎠ L u = R ∧ u( )on remarque alors que∀ u ε E;où R = r e + r e + rantisymétrique L .e 1 1 2 2 3 3est appelé le vecteur caractéristique de l’applicationUPMCA. ALLICHE

10Expression du vecteur caractéristique :Si e,e,e1 32 3sont les vecteurs unitaires de la base orthonormée de l’espace vectoriel E, alors ona la relation suivante : 31 = ∑ i∧i2 i=1R e L( e )Démonstration : En utilisant la relation du double produit vectoriel ; e ∧ L( e ) = e ∧( R∧ e ) = ( e. e ) > . R− ( e. R). e = 2R3 3 3∑ ∑ ∑i i i i i i i ii= 1 i= 1 i=1Champ antisymétrique :Le champ α Q → α ( Q)est antisymétrique, s'il existe une application antisymétrique L, telleque : ∀ MetP∈ ε : α ( M ) = α ( P ) + L ( PM ) ∀ M , P ε : α M = α P + R∧ MPSoit ε ( ) ( )Propriété : Multiplions scalairement par MP : α or MP. S PM 0 M . MP P . MP( M ) . MP = α ( P) . MP + MP.( S ∧ PM ) ( ∧ ) = ⇒ α ( ) = α ( )Le vecteur α (M) a la même projection que ( P)Un champ antisymétrique est équiprojectif.α sur la direction PM .UPMCA. ALLICHE

11 α( M) α ( P)PMDémontrons la réciproqueα M . MP P . MP( ) = α ( )En insérant un point fixé O, l’expression devient : α M . ( OP - OM ) = α P . ( OP - OM )( ) ( )Par ailleurs nous pouvons aussi écrire : α ( M ) . OM - α ( M ) . OP = α ( P) . OM - α ( P). OP ⇔ α ( O) . OM - α ( M) . OP = α ( P) . OM - α ( O). OP ⇔ OM.( α O - α P ) = OP.( α M - α O )( ) ( ) ( ) ( )On définit une application L telle que : LOP ( ) = ( α ( P) - α ( O)) LOM ( ) =−( α O - α M( ) ( )Ce qui nous donne : OM . L( OP) =−OP. L( OM ))L’application L est donc bien antisymétrique. De plus nous avons α P = α O + L( OP)( ) ( )α ( P)est donc un champ de vecteur associé à une application antisymétrique.UPMCA. ALLICHE

12II - Torseurs.1 - DéfinitionOn appelle torseur { T } l'ensemble d'un champ antisymétrique m et de son vecteur R caractérisé en un point M (quelconque) par le vecteur m ( M )vecteur R appelé résultante du torseur.appelé moment du torseur et leOn a donc la relation pour tout couple de point (M, P) m = m + MP ∧ R appelé formule de transport.On écrit aussi : { T}M2 - Invariant scalaire( M) ( P)⎧⎪R ⎫⎪= ⎨ m⎬.⎪⎩( M ) ⎪⎭Multiplions scalairement cette relation par R . m M . R = m . R + MP ∧ R . R = cste( )( ) ( )or ( MP ∧ R) . R = 0P d’où l’invariant I : I = m M . R = m . R( )( P)Invariant vectorielOn définit le vecteur u R = ; u . m( M) = u . m( P)=csteR L'invariant vectoriel est le vecteur I = Iu . (vecteur projection de m surR ).3 - Opérations sur les torseurs ⎧⎪R = R1 + R ⎫2 ⎪• Sommes { L} = { L1} + { L} ⇔M M ⎨ ⎬M 2 ⎪⎩mM= m1 M+ m2M ⎭⎪• Multiplications par un scalaire. R = α R1{ L} = α { L1} ⇔M m = α mM1 M• Produit (Comoment de deux torseurs).Soient les deux torseurs suivants:UPMCA. ALLICHE

13⎪⎧R ⎪⎫⎪⎧R2⎪⎫⎨ ⎬ =2 M ⎨ ⎬⎪⎩ m1( M ) ⎪⎭ ⎪⎩ m2( M ) ⎪⎭1{ T } = et { T }1MLe comoment de deux torseurs est obtenu en multipliant les éléments de réductions de deux ⎪⎧R1⎪⎫⎪⎧R2⎪⎫P = ⎨ ⎬ . ⎨ ⎬⎪⎩ m1( M ) ⎪⎭ ⎪⎩ m2( M ) ⎪⎭torseurs de la manière suivante C'est donc le réel P = R1 . m2 ( )+ R2 . mM1( M ).Il est indépendant du choix du point M. (pour le calculer il faut impérativement que les deuxtorseurs soient définis au même point).Démonstration : P = R1.m2( M ) + R2.m1( M ) = R1.(m ⇒ P = R . m ( Q)+ R . m ( Q)12212( Q)+ R2 ∧ QM)+ R .( m ( Q)+ R211∧ QM )Le scalaire P n'est pas affecté lorsqu'on exprime les torseurs4 - Exemples de torseur :Torseur associé à un vecteur lié.Soit ( A , u)un vecteur lié de E. En mécanique on rencontre beaucoup de grandeursreprésentées par un vecteur défini en un point de l’espace. C’est le cas d’une force appliquéeen point (exemple le poids), du champ des vitesses d’un solide … A chaque point M faisonscorrespondre le vecteur m = MA ∧ , moment du vecteur lié.( ) uML'ensemble formé par le vecteur u et le champ m forme un torseur. En effet : m = PA ∧ u = PM + MA ∧ u = PM ∧ u + m( P) ( ) ( M )m ( P)est un champ antisymétrique donc un champ de moment de torseur.Pour que le moment soit nul en un point M, il faut et il suffit que le vecteur lié passe par M. Ilfaut en effet queMAetu soient colinéaires.UPMCA. ALLICHE

145 - Torseurs élémentairesa) Glisseur Un torseur est un glisseur s'il existe un vecteur lié dont il soit le torseur associé.⎧u⎫{ L}= ⎨ ⎬ est un glisseur ⇔ il existe un vecteur lié ( A , u ) tel que ∀ P, m P= PA ∧ u .⎩m⎭A , uAxe d'un glisseur non nul. Soit B point de la droite ( )m = PA ∧ u = PB + BA ∧ u = PB ∧( P) ( )u .L est un glisseur associé à ( B , u)ceci{ }∀ Bεla droite ( A , )uPar définition cette droite passant par A et parallèle à u est l'axe du glisseur.Le moment d'un glisseur est donc nul en tout point de l'axe.Réciproquement pour qu'un torseur soit un glisseur, il faut il suffit qu'il existe un point où sonmoment soit nul.Donc si un torseur de résultante R , a un moment nul en A, alors c'est un glisseur associé auvecteur lié ( A , R ) .On peut que l’ensemble des points P tels que m( )= 0est un axe parallèle à la résultante R : m = m PA ∧R= 0, or m( )= 0 , ce qui entraîne PA ∧ R = 0 . Nous en concluons que( ) ( ) +P A PA // R . L’axe ainsi défini est appelé axe du glisseur.APPropriétéL'invariant scalaire d'un glisseur est nul. u . m = u . PA ∧ u = 0( P) ( )b) Couples Considérons un torseur tel que son moment soit indépendant du point où on lecalcule :∀ M, P distincts m =m +PM ∧R =m ⇒PM ∧R ⇒R=0 .( P) ( M) ( M)Remarque : Un couple peut-être obtenu d'une infinité de façon en particulier par la somme dedeux glisseurs de résultantes parallèles, de même module et de sens contraires.6 - DécompositionUPMCA. ALLICHE

15⎧⎪R ⎫⎪=M ⎨⎬⎪⎩mM ⎪⎭ ⎧M ⎫ ⎧⎪ R ⎫⎪ ⎪⎧ O ⎪⎫L = MA RM ⎨ + ∧ ⎬ = ⎨⎬+ ⎨⎬⎩mA⎭ ⎪⎩MA∧ R⎪⎭⎪⎩mA ⎭⎪Soit { L}{ }coupleUn torseur quelconque est donc la somme d'un glisseur associé à ( A , R ) et d'un couple demoment m A .glisseurasso Aci,éR7 - Axe centrale d'un torseur.L’axe central d’un torseur est le lieu des points où le moment du torseur est colinéaire à larésultanteAC . = P∈ / m =R{ ( ς)Pλ } mP. Rλ =est le pas de l' A. C2RUPMCA. ALLICHE

16CHAPITRE 3 - CINEMATIQUE DU SOLIDE RIGIDEI – Rappels1 – Notions de référentielLors de l’étude d’un système, la formulation mathématique de certains concepts liés à cesystème nécessite que l’on procède à sa description et à son repérage tout au long de sonévolution.- Définition d’un référentielLa notion de référentiel est liée à celle d’observateur : le référentiel en quelque sorte l’espaceeuclidien entrainé par l’observateur. D’où la définition mathématique :- On suppose choisie une fois pour toute la chronologie (l’axe des temps) valable pourtous les observateurs- On appelle alors référentiel l’ensemble des points de l’espace euclidien animés d’unmouvement de corps rigide de l’observateur. Le référentiel noté R, est dit lié àl’observateur. Pour repérer les positions des points du référentiel, on utilise un repèreR lié au référentiel.Il ne fat pas confondre référentiel et repère. Un référentiel peut être associé à plusieursrepères.2 – Repérage d’un point dans un référentiel associé à un repère R. Soit un point M mobile par rapport à R de base ( x, y, z)et d’origine O. On peut écrire : OM () t = x() t x + y() t y + z()t zLes fonctions x(t), y(t) et z(t) sont continues et continument différentiables par morceaux.La trajectoire de M(t) est l’ensemble des points de l’espace occupés par M quand t varie.3 – Vitesse d’un point dans un repèreLa vitesse du point M est définie par : dxd’où VM / R= x()t x+ yy + zz avec xt () =dtdOM( ) (V OM t+ τ −OM tM / R= ( )R=dlim)τ →0τUPMCA. ALLICHE

17II - Définition d’un solide – Torseur cinématique Le mouvement du solide est étudié par rapport à un repère R( Oxy ; , , z)1 – DéfinitionSoient M et P deux points d’un solide (S), pour tout instant t on a la propriété suivante pourun solide :M () tPt ()2= cstePropriété : Soient 4 points A, B, C, D quatre points de (S) choisis tels que ; si ( A, At (0) Bt (0), At (0) Ct (0), At (0) Dt (0))est un repère orthogonal direct alors ( A, At () Bt (), AtCt () (), At () Dt ()) est aussi un repère orthogonal directe.2 – Champ de vitesse des points d’un solide. Torseur cinématiqueLe champ de vitesse des points d’un solide est le champ noté V t qui à tout point P du solideassocie le vecteur vitesse V( P, t)de la particule du solide dont la position à cet instant est lepoint P.Soient maintenant deux points M et P du solide. Nous pouvons donc écrire que : 2 M () tPt () = cste et par dérivation par rapport au temps, obtenir la propriétéd’équiprojectivité du champ des vitesse :d 2 d [( MP) ] = 2[ MP]. MP = 0 d’oùdtdt ( V − V ). MP = 0 ⇔ V . MP = V . MPP M P MD’où on peut conclure que le champ de vitesse d’un solide est un champ équiprojectif (voir lecours sur les torseurs). C’est donc un champ de moment d’un torseur appelé torseurcinématique. La résultante de ce torseur est notée Ω ( S/ R, t). Nous allons montrer plus loinque la résultante du torseur cinématique est le vecteur rotation instantanée du solide. Elleindépendante du point où l’on défini le torseur et donc le moment.Pour deux points M et P d’un même solide peut appliquer les propriétés des champsantisymétriques :UPMCA. ALLICHE

18 V − V = PM ∧Ω RP / R M / R ( S)/Notation :Le torseur cinématique est défini en un point A par ses deux éléments de réductionet que l’on représente sous la forme suivante :⎧⎪Ω ⎫⎪{ C}=A ⎨ ⎬⎩⎪VA ∈ ( S)/R⎭⎪3 - Dérivation d’un vecteur lié au solide par rapport à un repère.On considère le vecteur u ayant pour extrémités deux points d’un solide (S) en mouvement dans le repère R( Oxy ; , , z)tels que :u = KLDérivons le vecteur u dans ce repère par rapport au temps :d d [ u] R= [ KL]R= VL − VK =Ω( S)/ R∧ KL=Ω( S)/R ∧udt dt• Dérivation composéeOn considère le mouvement d’un solide (S) en mouvement dans un repère mobil dans lerepère R( O1; x 1, y 1, z 1), lui-même ,en mouvement par rapport à un repère R ( Oxy ; , , z ) . Soit le vecteur OM1= xx1 1+ y1y1+zz1 1On dérive le vecteur OM dans le repère R.d d d d [ OM ]R= [ ( OO1+ O1M )]R= [ OO1] R+ [ ( O1M)]Rdt dt dt dtd d d d d [ OM1]R= [ ( xx1 1+ yy1 1+ zz1 1)] R= xx 1 1+ yy 1 1+ zz 1 1+ x1 ( x1) + y1 ( y1) + z1 ( z1)dt dt dt dt dtd [ OM1]R= V M∈( S)/R +Ω1 R1/ R∧OM1dtCe qui nous donne la composition des vitesses suivantes :V = V + [ V +Ω ∧OM]M∈( S)/ R M∈( S)/ R1 O1∈R1/ R R1/ R 1Cette expression traduit la composition du vecteur vitesse4 - Mouvements particuliers.Nous allons montrer à travers quelques mouvements particuliers que la résultante du torseurcinématique est bien le vecteur de rotation instantanée du solide.4 - 1 translation pure.UPMCA. ALLICHE

19Un solide est animé d’un mouvement de translation par rapport au repère R, si à chaqueinstant t, tous les points du solide ont même vecteur vitesse par rapport à R :∀t, ∀A et B∈ ( S) ou rigidement lié à ce solide on a : V () t = V () tA/ R B/RDans cette relation les vecteurs vitesses sont déterminés au même instant. A un instant t’, lesvitesses d’un même point A du solide peut être différente. dans ce cas le solide est animé d’unmouvement rectiligne. Si en plus la vitesse de ce point reste constante en module, on parlealors de mouvement de translation rectiligne uniforme.Reprenons l’expression du champ des vitesses :V () t = V () t + AB∧Ω ⇒ AB∧Ω= 0A/ R B/ R ( S)/ R ( S)/Rles points A et B étant des points quelconques du solide, on peut écrire queΩ= ( S)/ R0Inversement si ∀ Ω = 0 , on a alors VA/ R() t = VB/R()t .t,( S)/RCeci traduit que dans le cas du mouvement de translation, le torseur des vitesses est uncouple.Pour qu’un solide soit animé d’un mouvement de translations, il faut et il suffit que les axesde id’un repère lié au solide garde des directions constantes : ( )R= 0 , puisque la résultante estdt31 de icalculée par la formule : Ω( S)/R= ∑ ei∧ = 0 (démonstration donnée ci-dessous)2 dti=14 - 2 Rotation autour d’un axe fixe.On dit qu’un solide (S) est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe( ∆ ) = ( Oz ; ) si deux points distinct A et B ont une vitesse nulle. Il s’ensuit :- tous les points de l’axe ( ∆ ) = ( Oz ; ) ont une vitesse nulle,- le torseur cinématique est un glisseur d’axe ( ∆)parallèle à la résultante du torseurcinématique Ω (voir cours sur les torseurs)- tous les points du solide dessinent des trajectoires circulaires autour de l’axe fixe( ∆)appelé axe de rotation.UPMCA. ALLICHE

20Nous définissons le repère R1( Ox ; 1, y 1, z 1) lié au solide tel que z = z et1 ( xx , ) = ( yy , ) = θ angle mesuré autour ( Oz ; ).1 1z y 1θθx x 1y La variation des vecteurs du solide R1( Ox ;1, y1, z1)sont déterminés par les relations établiesprécédemment :d [ x ]dtd [ y ]dtd [ z ]dt = Ω ∧x1 R ( S)/R1 R ( S)/R1 R ( S)/R1 = Ω ∧ y = Ω ∧ z d d d ⇒ x1∧ [ x1] R+ y1∧ [ y1] R+ z1∧ [ z1] R= x1 ∧( Ω( S)/ R∧ x1) + y1 ∧( Ω( S)/ R∧ y1) + z1 ∧(Ω( S)/R∧zdt dt dt111 )D’où en utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit à : ⇒ x1 ∧( Ω( S)/ R∧ x1) + y1 ∧( Ω( S)/ R∧ y1) + z1 ∧( Ω( S)/ R∧ z1) = ( x1. x1 ) Ω( S)/ R−( x1 . Ω( S)/ R)x1+ ( y1. y1 ) Ω( S)/ R−( y1 . Ω( S)/ R) y1+ ( z1. z1 ) Ω( S)/ R−( z1 . Ω( S)/ R)z1 = 3Ω −Ω = 2Ω( S)/ R ( S)/ R ( S)/RDans le cas du mouvement de rotation autour d’un axe fixe nous cette relation devient : ddx ∧ [ x ] y [ y ] 2dt+ ∧ dt= Ω 1 1 R 1 1 R 1( S)/car d [R z1] R= 0dt Dans le repère R( Oxy ; , , z), les vecteurs de base de R1 s’expriment en fonction de l’angle θ :UPMCA. ALLICHE

21x = x cosθ + y sin θ et y =− x sinθ+ y cosθ et leurs dérivées par rapport au temps sont1 1données par :d d[ x1] =− x θ sinθ + y θ cos θx = θy1 et [ y1] =−x θ cosθ − y θ sinθ = θx dtdtd’où le résultat :4 - 3 Mouvement hélicoïdal Ω =θ ( S)/RzUn solide est animé d'un mouvement hélicoïdal si une droite du solide glisse sur un axe fixe( O;z0)(0O;z ) .et si une particule du solide non située sur cette droite a un mouvement hélicoïdal d'axe1HAOPCalculons la vitesse du A, point du solide animé d'un mouvement hélicoïdal.V= VA R H / R+ AH ∧ Ω/ qui est la formule du champ des vitesses champ antisymétrique.Par ailleurs, on a :OA = OH + HA=OH + OP⇒VA/R= VH/ R+ VP/ RLe point P étant la projection du point A sur le plan ( O; x,y), il décrit une trajectoire circulairedans ce plan. De ce fait, et en vertu des expressions obtenues pour le mouvement de rotationautour d'un axe fixe on a : ⇒ Ω = θ z V P / R= θVV z=A / R H / RD'où le résultat pour le vecteur vitesses du point A :+ AH ∧ Ω ⇒ λ z + AH ∧ θ z4 - 4 Mouvement quelconque.Nous analysons le mouvement quelconque d’un solide (S) par rapport à un repère donné R.UPMCA. ALLICHE

22Axe instantané de rotation : Le torseur cinématique peut être décomposé en un couple et unglisseur.Choisissons de passer par un point P dont la vitesse est parallèle au vecteur résultante Ω .Nous avons alors la décomposition suivante :⎧⎪ Ω ⎫⎪ ⎪⎧0 ⎪⎫⎪⎧Ω ⎪⎫{ C}=A ⎨ ⎬= ⎨ ⎬+⎨ ⎬⎪⎩V A∈( S)/ R⎪⎭ ⎪⎩V P∈( S)/R= λΩ⎪⎭ ⎪⎩AP∧ Ω⎭⎪Ce mouvement quelconque se décompose donc un mouvement de translation parallèle à unaxe (∆) (parallèle à la direction de la résultante Ω ) plus un mouvement associé au glisseurd’axe parallèle à la résultante Ω .Nous avons donc un mouvement qui s’apparente à un mouvement hélicoïdal d’axe parallèle àla résultante Ω . La direction de Ω étant variable dans le temps, on appelle cet axe l’axeinstantané de rotation.Cet axe (∆) est un axe parallèle à Ω et passant par un point P défini par :1 Ω. VAP = ( Ω∧V). Nous avons aussi à calculer la valeur du pas λ = A.2ΩAΩ2 1 Pour cela il suffit d’écrire VA ∈( S)/ R. Ω= λΩΩ⇒ . λ = V2 A∈( S)/R.ΩΩ5 - Composition des vitessesIci nous reprenons les calculs précédents pour exprimer le vecteur vitesse par rapport à unrepère R 1 lorsqu’on la connaît dans un repère de départ R.Par définition, on peut écrire : ⎡d ⎤ ⎡d ⎤ V =⎢OM⎥=⎢( OO + OM)⎥= V + V +Ω∧OM 1M / R 1 1 O1/ R M / R1⎣dt⎦R⎣dt⎦R ⇒ VM / R= VM / R+ ( V1 O1/ R+Ω( S)/ R∧OM1) V = V +Ω ∧OMM∈R1/ R O1/ R ( S)/ R 1D’où : ⇒ VM / R= VM / R+V1 M∈R1/ Ret on peut écrire V = V + Va r eavecavec V a la vitesse absolue, V r la vitesse relative et V e la vitesse d’entraînement.La signification physique de cette compostions des vecteurs vitesse peut être imagée par levoyageur dans le train observé par une personne sur le quai.UPMCA. ALLICHE

23L’observateur mesure la vitesse du voyageur, c’est la vitesse absolue. La vitesse du voyageurpar rapport au wagon du train, c’est la vitesse relative. Le wagon est donc lié au repère relatif.Enfin la vitesse du wagon par rapport à l’observateur sur le quai est la vitesse d’entrainementdu voyageur. Elle s’interprète comme étant la vitesse du voyageur lié au wagon mais entrainédans son mouvement.6 - Composition des rotationsNous allons montrer que la composition des vitesses de rotation instantanée se compose de lamême manière que les vitesses de translation des points d’un solide. Pour cela on considère un solide (S) en mouvement par rapport au repère R1( O1; x1, y1, z1),repère qui est lui-même en mouvement par rapport à un repère fixe R( Oxyz ; , , ) .Nous considérons le mouvement de deux points M et P du solide (S) : VM / R= VM / R+V1 M∈R1/Ret VP/ R= VP/ R+V1 P∈R1/Ret donc V +Ω ∧ MP= V +Ω ∧ MP+ V +Ω ∧MPM / R ( S)/ R M / R1 ( S)/ R1 M∈R1/ R R1/ROn obtient alors le résultat : Ω ∧ MP =Ω ∧ MP +Ω ∧MP( S)/ R ( S)/ R1 R1/RLe produit vectoriel étant distributif, on obtient : Ω =Ω +Ω( S)/ R ( S)/ R1 R1/RGénéralisation à un n repère pour le torseur cinématique.Pour un solide en mouvement par rapport à n repères, nous écrivons{ C ( S)/ R} = { C ( S)/ R } + { C R / R } + ... + { C R / R}1 An An n−17 – Composition des accélérationsNous allons reprendre l’expression du vecteur vitesse obtenu par dérivation composée. Nousécrivons alors :V = V + ( V +Ω ∧OM)M / R M / R1 O1/ R ( S)/ R 1Par dérivation nous avons :A2 1AUPMCA. ALLICHE

24d d [ ( VM / R)] R= [ ( VM / R+ ( V1 O1/ R+Ω( S)/ R∧OM1))]Rdt dt d d d ⇒Γ = [ ( V )] +Ω ∧ V +Γ + [ ( Ω )] ∧ OM+Ω ∧[ ( OM))]dt dt dt d ΓM / R=Γ M / R+Γ 1 O1/ R+ [ ( Ω( S)/ R)]R∧ OM1+Ω( S)/ R∧( Ω( S)/ R∧ OM1) + 2Ω( S)/ R∧VM / R1dtΓ M / Rreprésente l’accélération absolue,Γ est l’accélération relative,M / R1M / R M / R1 R1 ( S)/ R M / R1 O1/ R ( S)/ R R 1 ( S)/ R 1 R1 /[ d ΓO R+ ( Ω( S)/ R)] R∧ OM1+Ω( S)/ R∧(Ω( S)/ R∧ OM1) représente l’accélérationdtd’entraînement, Ω ∧V est l’accélération complémentaire ou de Coriolis2( S)/ R M / R1Exemple de l’effet de la force de CoriolisConsidérons un disque horizontal tournant à la vitesse angulaire constante, et un objet (parexemple un glaçon) glissant sans frottement, lancé à l'instant du bord du disque vers soncentre à une vitesse V0 dans le référentiel du laboratoire. Nous allons observer le mouvementdans le référentiel fixe du laboratoire (galiléen), puis dans le référentiel du disque (nongaliléen).Dans le référentiel galiléen, comme il n'y a pas de frottement, le glaçon n'est soumis à aucuneforce, et donc sa vitesse est uniforme et le glaçon décrit une ligne droite, comme prévu par leprincipe d'inertie. Mais si notre mobile a laissé une trace d'eau sur le disque, celle-ci n'estclairement pas rectiligne : le point de sortie A' du glaçon n'est pas diamétralement opposé à A.ΩΩΩUPMCA. ALLICHE

25III – Angles d’Euler1 – définitionLe mouvement quelconque d’un solide (S) dans l’espace peut toujours être considéré à chaqueinstant comme la somme d’un mouvement de translation pure et d’une rotation autour d’unpoint de l’espace. Nous allons uniquement analyser le mouvement de rotation que nous allonsdécomposer en 3 rotations possibles qui sont associées aux angles d’Euler.2 - Repérage On définit d’abord un repère R lié à (S) d’origine A particule de (S) et de base ( x, yz , ) . Cerepère est construit en tenant compte des propriétés géométriques de (S). On note R 0 définit par ( Ox ;0, y0, z0)le repère de référence.On introduit un vecteur unitaire u tel que uz . 0 = 0 et uz= . 0On construit les repères intermédiaires R v er R w d’origine O, de bases orthonorméesrespectives : ( uvz , , 0)et ( uwz , , )On introduit ψ ( t)pour repérer u dans le plan ( Ox ;0, y0) ψ () t = ( x0, u) = ( y0, v)mesuré autour de0orienté par z 0:z z 0x0ψ () tu y 0De même on introduit θ ( t)pour repérer z dans le plan ( Ovz ; , 0) θ () t = ( z0, z) = ( v, w)mesuré autour de uorienté par u .UPMCA. ALLICHE

26Enfin on introduit ϕ( t)pour repérer x dans le plan ( Ouw ; , ) orienté par z . ϕ () t = ( u, x) = ( w, y)mesuré autour de z .Repères obtenus : R0( Ox ;0, y0, z 0)( ; R , , )vOuvz0( ;R , , )wOuwzR( Axyz ; , , )z x0θ () tψ () tlié à (S).z 0ϕ()tu xy 0Pour réaliser les projections et le calcul des rotations, il est souvent préférable de donner lesfigures planes de calcul qui permettent d’obtenir les angles de rotations dans différentes bases.UPMCA. ALLICHE

v 27y 0v u ψ () tz x 00zz 0u θ () tw ywzxϕ () tu Les angles ψ ( t), θ ( t), ϕ ( t)sont appelés les angles d’Euler. Ces angles définissent toutes lespossibilités de rotation d’un solide dans l’espace.UPMCA. ALLICHE

28III – Mouvement plan sur plan1 DéfinitionLe solide (S) est animé d’un mouvement plan sur plan par rapport au repère R 0 si un plan (π)lié au solide (S) glisse sur un plan (π 0 ) du repère R 0.Exemples de tels mouvements :• Mouvement d’une échelle en contact constant sur le sol et le mur• Mouvement d’un fer à repasser• Mouvement d’une table d’une machine à fraiser.2 Propriétés- Un point M quelconque du solide (S) a le même mouvement que sa projection m sur le plan(π). Il suffit donc d’étudier le mouvement des points du plan (π) du repère R( O'; x, y, z0)en mouvement par rapport au repère R 0( Ox ; 0, y 0, z 0). Nous choisissons le plan ( Ox ; , y)comme étant le plan (π0). L’axe ( Oz ; ) est donc un axeperpendiculaire au plan (π).0 00– Le vecteur vitesse instantané de rotation est orthogonal au plan (π) et (π 0 ).En se reportant à la définition du mouvement de rotation autour d’un axe fixe, et pour unmouvement paramétré par l’angleθ, nous pouvons en déduire que la vitesse de rotationinstantanée est donnée par :Ωπ π= θ z .( )/( 0 ) 0Cette propriété peut être aussi démontrée si l’on écrit la formule de transport pour le champ devitesse de deux points du plan (π) M et A : VA/ π() t = V0 M / π() t + AM ∧Ω0( π)/( π 0) Avec V t et V t deux vecteurs appartenant au plan (π). Ce qui implique que levecteurA/ π()0 ∧ΩAMπ πM / π()0( )/( 0 )appartient aussi au plan (π). Or quand le point M décrit le plan (π), leUPMCA. ALLICHE

vecteur ∧ΩAMπ π( )/( 0 )balaie toutes les directions du plan orthogonal àdonc contenu dans (π), donc égal à (π), ce qui implique queΩ ππ( )/( 0 )Ω ππ( )/( 0 ). Ce plan estest orthogonal à (π)293 Centre instantané de rotation (CIR)Le torseur cinématique du mouvement de (π) par rapport à (π 0 ) s’écrit alors :⎧Ω ( π)/( π0)= ⎪ θ z0{ C( ) /( } ⎫⎪π π0)= ⎨ ⎬M⎪⎩VM/( π 0 ) ⎭⎪Nous avons la propriété suivante des champs de vitesse : V . z 0M∈ ( π)/( π0) 0=Par ailleurs, les points I de l’axe instantané de rotation (∆) du mouvement d’un solide (S) parrapport à un repère R 0 vérifient la propriété suivante: I∈∆⇔ ( ) VI ( S)/ R= λΩ( S)/R∈0 0Dans le cas du mouvement plan sur plan, si le point I appartient aussi au plan (π), son vecteurvitesse est tel que :I /( )∈( π ). Le point I intersection entre l’axe instantané de rotation et lesV π0plans (π) et (π 0 ) a onc une vitesse nulle à chaque instant.Ce point I est appelé Centre Instantané de Rotation (CIR) du mouvement plan sur plan.Construction du CIR.Soient deux points M et M’ de (π). Leur vitesse peut être calculée en utilisant la vitesse dupoint I : VM/( π0) = VI/( π0) +Ω( π)/( π0) ∧ IM =Ω( π)/( π0)∧IM V = V +Ω ∧ IM ' =Ω ∧IM'π π π π π πM '/( 0) I/( 0) ( )/( 0) ( )/( 0)Ce qui aboutit, par produit scalaire au résultat suivant : V . IM = 0 et V . IM ' =0. Le centre instantané de rotation est donc situé sur les droitesπM /( 0) M '/( 0)perpendiculaires à Vππet VπM /( 0) M '/( 0)respectivement en M et M’.UPMCA. ALLICHE

30VπM /( 0)MV M '/( π 0)M’VπM ''/( 0)M’’I4 Base et roulanteLa position du point I varie au cours du temps.• On appelle base B du mouvement du solide (π) par rapport au solide (π 0 ) la trajectoiredu point I dans le repère R 0 lié au plan (π 0 ).• On appelle roulante, la trajectoire du point I dans le repère R lié à (π).Exemple de détermination de la base et de la roulanteOn considère le mouvement plan d’une tige (AB) sur le plan O;x 1, x ) . Le point A est assujettià rester sur l’axe O;x ) et le point B sur l’axe ; x )(2(1O .(2C.I.RBaseRoulanteOn définit le repère lié au solide ; X 1, X ) . ; G est le centre de la tige. Le centre instantané du(2G mouvement de la tige par rapport au plan fixe O;x 1, x ) est facilement identifiable : le point B(2a sa trajectoire portée par l’axe O;x ) et le point A a sa trajectoire portée par l’axe ; x )(1(2O .Les points A, O, B, I forment un parallélépipédique dont la longueurs des diagonales restentUPMCA. ALLICHE

31constantes pendant le mouvement. Le déplacement du point I par rapport au plan O;x 1, x )(2alieu donc sur un cercle de centre O et de rayon la longueur de la barre (AB), c’est la base dumouvement de la barre (AB) par rapport au plan fixe O;x 1, x ) .(2Par ailleurs La distance GI est constante et égale à la demi longueur de la barre (AB). Ledéplacement du point I par rapport au plan ; X 1, X )(2G a donc lie sur un cercle de centre G etde rayon la demi longueur de la barre (AB). C’est la roulante du mouvement plan sur plan dela barre (AB) par rapport au plan O;x 1, x ) .(2Mouvement relatif de 3 plansL’objectif de cette partie est de montrer que le mouvement relatif de 3 plans parallèlesengendre trois centre instantanés de rotation alignés.En premier lieu si I jk est le CIR du plan ( π j) par rapport au plan ( πk) alors V I ∈ j/ k= 0.On a aussi = . On en déduit que Ikj est aussi le CIR de ( π ) par rapport à ( π ) .VI ∈ k/ j0On peut exprimer aussi cette propriété en disant que la base et la roulante sont tangentes aupoint I jk = I kj .On considère les plans ( π1),( π2),( π3)en mouvements relativement parallèles les uns parrapport aux autres. Soient I jk (j,k =1,2,3) les CIR des plans ( π j) et ( πk) .Notons ω la vitesse de rotation du plan ( π ) par rapport au plan ( π ) .jkOn a : ωkj =− ωjket ωjk= ωjm+ ωmkThéorème :jLes trois centres instantanés I12, I23,I31sont alignés.Considérons le CIR I31point lié à ( π3). Nous avons alors V / π= 0. ceci peut être développéI31 1sous forme de composition des vitesses :V I31 / π= V 1 I31 / π+ V2 I31∈π2 / π= 0 où V1I31 ∈π2 / πest la vitesse d’entraînement.1On a V Iet31 / π= ω2 32z∧ I23IV I I31 I31∈ π2 / π= ω1 21z∧ 12d’où :31 Vπ= Vπ+ Vπ π= ω z ∧ I I + ω z ∧ I I =I31 / 1 I31 / 2 I31∈2 / 1 32 23 31 21 12031Les points I12, I23,I31étant sur un plan normal à z cette relation implique donc que ω I I + ω I I = . Il en résulte que les points I12, I23,I31sont alignés, et aussi que :32 23 21 12031 31kkjUPMCA. ALLICHE

32ω12ωω23 31= = .I I I I I I13 32 21 13 32 21UPMCA. ALLICHE

33CINETIQUEI – REPRESENTATION DES MASSES DANS UN SYSTEME MATERIEL,OPERATEURS D’INERTIE ;1 – Système matériel. Notion de masseUn système matériel est un système ne perdant pas de matière au cours du temps. Pour lesbesoins de la modélisation mécanique un système matériel peut être considéré comme discret(ensemble de points matériels pesant par exemple), ou continu à densité de masse (un solidepar exemple).La cinématique des solides que nous venons d’étudier ne suffit pas pour décrire le mouvementd’un système matériel dans tous ses aspects (causes et conséquences). Il faut introduire unequantité extensive (croissante quand le corps croît et inversement) caractérisant l’inertie : lamasse.A chaque matériel on associe donc un scalaire m qui est la masse. Dans u système continu ondmdvdéfinit une grandeur locale : la masse volumique : ρ ( M ) = .En fait un système matériel est caractérisé par 10 constantes d’inertei :o m, la masseo x G, , y g , z G les coordonnées dans un référentiel donné de G, centre d’inertie du solideo A, B, C les moments d’inertie par rapport aux axes du repère de référenceo D, E, F les produits d’inertie par rapport aux plans du même repère.Nous allons définir et mettre en évidence ces différents paramètres dans les paragraphes quisuivent.2 – Centre d’inertie2 – 1 Système de points discretsOn considère un système discret de n points M i pesant de masse m i . On dit que le point G estcentre d’inertie de ce système s’il vérifie la relation suivante :avecm∑= mi2 – 2 Système continumOG=n∑i=1OM i miUPMCA. ALLICHE

34Dans le cas d’un système continu, il s’agit de diviser le domaine en sous-système de massedm autour d’un point dit courant M :OG=∫∫∫OMdm(S )Le point G est le centre d’inertie du système continu (S).2 – 3 Recherche pratiqueo Système continu homogèneDans ce cas le centre d’inertie du système est le centre géométrique. Par exemple le centred’inertie d’un cerceau, d’une sphère, d’un cube … sont facilement déterminables puisqu’onconnaît leur centre géométrique.o Systèmes à axe de symétrieLe centre d’inertie est sur l’axe de symétrie. On choisit un repère dont un des axes estconfondu avec l’axe de symétrie et l’on projette la relation précédente.o Systèmes que l’on sait décomposer en petits éléments dont les centres d’inertie M ipartiels sont alignés.On sait alors que G est sur la droite portant les M i , on projette la relation sur cet axe.On calcul donc le dm associé au M i . On calcul ∫ dm (même si on connaît le résultat, car c’estun bon moyen de vérifier le dm et les bornes d’intégration).Exemple de calcul : centre d’inertie d’un cône gauche.OM idzhAαRu z On choisit comme volume élémentaire un petit disque de centre M i parallèle à la base ducône. Tous les M i sont alignés sur la droite (OA). On projette la relation sur l’axe portant cettedroite : OG. u dv = OM . udv∫∫∫∫∫∫( S) ( S)iUPMCA. ALLICHE

3522 R π R 2dv = π r dz avec r = z ⇒ dv = z dz2h h∫∫∫h2 2 2z R 2 π R hOM . udv = ∫ π z dz =2sinαh 4sinα2i( S ) 0hR 2 π 2π2h 3( S ) 0∫∫∫ ∫ hV = dv= z dz = R 3 3 d’où OG.u = h = OA .4sinα4Donc G est situé au 3/4 de la médiane.3 - Moments d’inertie, Produits d’inertie.3 – 1 DéfinitionsOn appelle moment d’inertie d’un système (S) par rapport à un axe (respectivement un plan,un point) la grandeur définie par :J∫∫∫2= r dm( S )où r désigne la distance de l’élément de volume de masse dm à l’axe(resp. au plan, resp. aupoint).Remarque :On mettra toujours le moment d’inertie sous la forme d’un produit d’une masse par unparamètre associé à une distance élevé au carré :J = mdm est la masse du système et d est le rayon de giration.23 – 2 Expressions dans une base orthonormée.a – Moments d’inertie Soit ( Oe ; , e, e)un repère orthonormé. On définit les moments d’inertie par les expressions1 2 2données ci-dessous.UPMCA. ALLICHE

36J / axe( O; e ) = ( x + x ) dm = A∫∫∫2 21 2 3( S )J / axe( O; e ) = ( x + x ) dm = B∫∫∫2 22 1 3( S )J / axe( O; e ) = ( x + x ) dm = C∫∫∫2 23 1 2( S ) J / plan( O; e , e ) = x dm∫∫∫21 2 3( S ) J / plan( O; e , e ) = x dm∫∫∫21 3 2( S ) J / plan( O; e , e ) = x dm∫∫∫22 3 1( S )∫∫∫J / point O= ( x + x( S )2 21 2+ x ) dm23b – Produits d’inertiePar définition les produits d’inertie sont définis par les expressions ci-dessous. P / plans(( O; e , e ),( O; e , e )) = x x dm noté D∫∫∫1 2 1 3 2 3( S ) P / plans(( O; e , e ),( O; e , e )) = x x dm noté E∫∫∫1 2 2 3 1 3( S ) P / plans(( O; e , e ),( O; e , e )) = x x dm noté F∫∫∫1 3 2 3 1 2( S )3 – 3 Théorème de Huyghens.Le théorème de Huyghens permet de simplifier les calculs des grandeurs liées à l’inertie d’unsystème. Les calculs de ces grandeurs sont relativement aisées si l’origine du repère est aucentre d’inertie. Pour obtenir ces grandeurs en un autre point, on dispose d’une relationdonnée par le théorème de Huyghnes.Enoncé :Le moment d’inertie du système par rapport à un axe ( ∆ ) est égal au moment d’inertie de cesystème par rapport à un axe (D) passant par le centre d’inertie G du système augmenté dumoment d’inertie par rapport à ( ∆) d’un point matériel de masse m (la masse total du système)situé sur (D)Démonstration :UPMCA. ALLICHE

37(D)(∆)GKMHSoit M le point courant du système (S). Soit le plan (π) normal à ( ∆)et passant par le point M.Il coupe ( ∆)et (D) respectivement en H et K.On écrit que : 2 2 2 J /( ∆ ) = HM dm= HK dm+ KM dm+2 HK.KMdm∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫( S) ( S) ( S) ( S) 2 2 dm∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫⇔ J /( ∆ ) = HK dm+ KM dm+ 2 HK. ( KG+GM)( S) ( S) ( S) 2 2⇒ J /( ∆ ) = HK dm+ KM dm= J /( D)+ md∫∫∫∫∫∫( S) ( S)2= 04 – Opérateur d’inertie4 – 1 Construction de l’opérateur d’inertieNous allons mettre en évidence un opérateur d’inertie sous forme de matrice dont lescomposantes sont les moments et les produits d’inerties précédemment définis. Nous plaçons dans un repère orthonormé ( Oe ;1, e2, e3). Calculons le moment d’inertie d’unsystème matériel (S) par rapport à un axe ( ∆ ) passant par O et de vecteur directeur i = αe1+ βe2+ γe3dans cette base.Nous avons écrit que par définition le moment d’inertie par rapport à l’axeci-dessous :( ∆)s’écrit commeUPMCA. ALLICHE

38J /( ∆ ) =∫∫∫( S )r2dm(∆)HrMi OOn remarque d’abord que : i∧ OM = OM sinθ= r 2 2r = ( i ∧ OM ) = i .( OM ∧i ∧OM)d’où : 2⇒ J /( ∆ ) = r dm = i . ( OM ∧i ∧OM ) dm∫∫∫∫∫∫( S) ( S)Donnons les composantes des grandeurs vectorielles utilisées :⎧x1⎧α ⎪ ⎪OM ⎨x2, i ⎨β⎪x⎪⎩ 3 ⎩γ⎧ αx + αx −βxx −γxx ⎪⇒OM ∧i ∧ OM = U ⎨βx + βx −βx x −αx x⎪⎩ γx + γx −αx x −βx x2 22 3 1 2 1 32 23 1 3 2 1 22 21 2 1 3 2 3⎡⎤2 2⎢ α∫∫∫ ( x2 + x3)dm−β∫∫∫ x1x2dm−γ∫∫∫x1x3dm⎥⎢ ( S) ( S) ( S)⎥t⎢2 2⎥⇒ J /( ∆ ) = ( i) ⎢− α∫∫∫x1x2dm+ β∫∫∫( x2+x3)dm −γ∫∫∫ x2x3dm⎥⎢ ( S )( S) ( S)⎥⎢2 2 ⎥⎢−α∫∫∫ x1xdm 3− γ∫∫∫ xxdm2 3+ γ∫∫∫( x1+x2)dm⎥⎣ ( S) ( S) ( S)⎦Cette expression peut être exprimée sous forme vectorielle : J /( ∆ ) = i. I O( i)UPMCA. ALLICHE

39IOest une application linéaire symétrique de matrice :⎡ A −F −E⎤IO=⎢F B D⎥⎢− −⎥⎢⎣−E −D C ⎥⎦[ ] Ne pas oublier que cette matrice a été calculée dans la base ( e1, e2, e3). Les composanteschangent si le point O change ou si la base change.Théorème de Huyghens pour l’opérateur I O Supposons que le changement de repère ( Ge ;1, e2, e3) tel que OG = ae1 1+ ae2 2+ ae3 3On peut montrer que :⎡a + a −aa −aa⎢IO= IG+ m⎢− aa a + a −aa⎢⎣ − − +[ ] [ ]2 22 3 1 2 1 32 22 1 1 3 2 32 2aa3 1aa3 2a1 a2⎤⎥⎥⎥⎦4 – 2 Valeurs principales, directions principales.Rappels :Nous rappelons que u vecteur unitaire est vecteur propre de la matricevaleur propre λ si l’on peut écrire :Ce qui équivaut au système d’équations :On a des solutions non triviales si : [ IO]. u = λu⎧ ( A− λα ) −Fβ− Eγ=0⎪⎨ − Fα + ( B − λ)β − Dγ= 0⎪⎩ − Eα − Dβ + ( C − λ)γ = 0A−λ−F −E−F B−λ−D−E −D C−λC’est le polynôme caractéristique de 3 ème degré en λ .= 0A chaque valeur propre correspond un système d’équation dont les solutions[ IO ] associé à la( αi, βi, γi)donnent les composantes d’un vecteur propre. La matrice étant symétrique, les 3vecteurs propres unitaires sont orthogonaux. Les supports des vecteurs propres sont les axesprincipaux d’inertie du solide.UPMCA. ALLICHE

40 Dans le repère ( Ou ; , u, u), la matrice d’inertie s’écrit :1 2 3[ ]I O⎡λ0 0⎤1=⎢0 λ20⎥⎢ ⎥⎢⎣0 0Cas particulier d’une racine double :Soit λ1 = λ2. Choisissons l’axe ( Oe ; 3)l’axe principal correspondant à la racine simple. On adonc [ ]I O⎡λ1⎢0= ⎢⎢1⎥0 0 λ3⎥⎣λ ⎥3 ⎦0 0⎤λ 0⎥, soit i un vecteur quelconque mais normal à l’axe ( Oe ; .Les 3)⎦coordonnées de ce vecteur sont :⎧α ⎪i ⎨β.⎪⎩ 0 I i = λ i .On remarque alors que [ O ].1i est donc vecteur propre d’inertie par rapport à l’axe ( Oe ; 3). On en déduit que tous les axes du plan ( Oe ; , e)pasant par O sont axes principaux d’inertie. L’opérateur possède une1 2symétrie de révolution. C’est le cas des solides cylindriques a section droite circulaire.Cas particulier d’une racine triple.⎡λ0 0⎤Soit λ1 = λ2 = λ3=λla racine triple. ⇒ [ I O ] =⎢0 λ 0⎥⎢ ⎥⎢⎣0 0 λ⎥⎦unitaire i et passant par le point O est axe principale.. Quelque soit l’axe de vecteurUPMCA. ALLICHE

41Exemple de calcul d’opérateur d’inertie.Soit le cône d’axe ( Oe ; 3), de hauteur h, de rayon de la base R et d’angle au sommet α .dm = ρ(2 πη)dηdx3OOn peut aisément montrer que ce solide a une symétrie axiale. De ce fait l’opérateur estreprésenté par une matrice dite diagonale.[ I ]O⎡A0 0⎤=⎢0 A 0⎥⎢ ⎥⎢⎣0 0 C⎥⎦3RLe calcul de la masse du cône donne : m =ρπ 3tanαLes trois composantes A, B, C sont calculés à partir de leur définition :∫∫∫A= ( x + x ) dm( S )∫∫∫( S )( S )2 22 3B = ( x + x ) dm∫∫∫2 21 3C = ( x + x ) dm2 21 2Du fait de la symétrie axiale on a∫∫∫ x dm = ∫∫∫ x dm = C /2.2 22 1( S) ( S)Le calcul de C doit être fait en premier afin de faciliter le calcul de A et B.UPMCA. ALLICHE

42∫∫∫∫∫∫ dmC = ( x + x ) dm=η2 2 21 2( S) ( S)η est la distance du point courant M à l’axe ( Oe ; 3).Nous choisissons comme élément de volume une petite couronne de rayon moyen η etcomme épaisseur dx 3:dm = ρ(2 πη)dηdx3R r⎡ ⎤ dr ρπ R 3C = ∫∫ ⎢ 2πηdη⎥= = mRtanα10 tanα100⎣0⎦53 2drsachant que dx3= .tanαIl nous reste à calculer le terme2∫∫∫ x3dm :( S )R 2 52 2 2 πrρπRxdm3ρ x3πrdx3 ρ dr3 3( S ) 023mR= = = =2tan α 5tan α 5tan α∫∫∫ ∫ ∫ .La matrice d’inertie du cône est alors donnée par :[ I ]O⎡ 2⎤⎢1/2+0 02tan α⎥⎢⎥3 2= ⎢ 0 1/2+0⎥mR210 ⎢tan α ⎥⎢⎥⎢0 0 1⎥⎢⎣⎥⎦2UPMCA. ALLICHE

43II –grandeurs associées aux vitesses.1 – Torseur cinétique1 – 1 Résultante cinétique, quantité de mouvementSoit (S) un système matériel en mouvement dans un repère fixe R( Oe ; 1, e 2, e 3). On considèreun élément de volume autour d’un point M courant de (S). On définit la quantité de mouvement de (S) dans le repère fixe ( Oe ;1, e2, e3)par la quantité :p V ρdv= ∫∫∫ ( S )Nous pouvons développer cette expression en nous servant de la définition du centre c’inertieM / Rdonnée précédemment : dOM ( ) d d p = V ρdv = ρdv = OM ρdv = ( mOG)= mV∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫M / RG/Rdt dt dt( S) ( S) ( S)La résultante cinétique d’un système est égale à la quantité de mouvement d’un pointmatériel, portant la masse totale du système et qui serait confondu avec le centre d’inertie.On appelle repère propre d’un système, un repère dans lequel sa quantité de mouvement estnulle à chaque instant.Si en plus son origine est en G, il est appelé alors repère barycentrique. Si en plus les axesgardent une direction fixe, c’est alors le repère de Koenig.1 – 2 Moment cinétique – Torseur cinétiqueOn définit le moment cinétique par la grandeur : σ = QM ∧V dmQ∫∫∫( S )M / RSi le point Q est un point du système (S) alors on peut écrire :V = V +Ω ∧QMM / R Q/ R ( S)/RD’où : ( ) σQ= QM ∧ VM / Rdm = QM ∧Ω∧ QMdm + QM ∧ VQ/Rdm = IQ Ω + mQG ∧V∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫( S) ( S) ( S)L’expression se simplifie si Q = G alors σ = I ( Ω )ou bien si Q = O point fixe : σ = I ( Ω )OOGGQ/RUPMCA. ALLICHE

44Montrons que ce moment est un champ antisymétrique et donc un moment d’un torseurappelé torseur cinétique.Comparons les moments cinétiques d’un même système en P et Q : σ = PM ∧ V dm = ( PQ + QM ) ∧ V dm = PQ ∧ V dm + QM ∧V dmP M / R M / R M / R( S) ( S) ( S) ( S) = σ + PQ ∧ pQ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫Nous définissons ainsi le torseur cinétique du solide (S) dans son mouvement par rapport aurepère (S) par ses deux éléments de réduction : ⎧⎪p=mV ⎫G/R⎪{ σ( S)/R} =Q⎨ ⎬⎪⎩σQ,( S)/R ⎪⎭QM / RCas du centre de gravité et d’un point fixe :Nous pouvons utiliser la propriété de la formule de transport pour le champ antisymétrique,pour l’exprimer au point G, centre d’inertie pour le solide : σ = σ + QG ∧ mV G/ R= I ( Ω + mQG ∧VG/RQ G G ( S)/RNous pouvons voir que pour un mouvement de type translation pureσ = I ( Ω = 0 et donc σQ= mQG ∧V G/RG G ( S)/RLe torseur est un glisseur passant par G.Dans le cas d’un mouvement de rotation à point fixe O, nous avons :σ = I ( Ω = 0O O ( S)/R( Ω= 0) alorsCe qui permet de formuler le théorème de Koenig pour le torseur cinétique :Le moment cinétique d’un solide (S) animé d’un mouvement quelconque est égal à la sommedu moment cinétique de ce solide animé d’un mouvement de translation pure de vitesse égaleà la vitesse du centre d’inertie et du moment cinétique de ce solide en rotation autour de G(considéré comme fixe).( S)/R2 – Energie cinétique2 – 1 DéfinitionSoit (S) un solide en mouvement par rapport au repère R et soit un point courant M.UPMCA. ALLICHE

45L’énergie cinétique de (S) dans son mouvement par rapport au repère R est donnée parl’expression suivante :Ec12( S )V2M /= ∫∫∫ dm R/ = Q/ R+Ω( S)/R ∧ MCette expression peut être expliciter en prenant un autre pont Q du même solide (S).Le champ des vitesses est donné par : V M R V QEn introduisant cette expression dans celle de l’énergie cinétique, nous obtenons 2 2 E = mV Q +Ω. I ( Ω ) + 2 m( V Q,Ω, QG)CQCette expression de l’énergie assez complexe peut être avantageusement simplifiée si onl’exprime en des point Q tels que : • QG parallèle à Ω• V Q/ Rparallèle à Ω• Le point Q est en G. Le cas le plus intéressant : 2 2 EC= mV G +Ω. IG( Ω ) = V G.p +Ωσ .GOn reconnaît ici le comoment de deux torseurs : le torseur cinématique pra le torseurcinétique. Or le produit de 2 torseurs est indépendant du choix du point où ils sont définis.Donc ∀ Q, 2 EC= V Q. p+Ω . σQ2 – 2 Théorème de Koenig• Mouvement de translation pure de vitesse V G/R22ECmV G/R= • Mouvement de rotation autour d’un point fixe O : 2 E =Ω. I ( Ω )COD’où l’énoncé du théorème de Koenig pour l’énergie cinétique :L’énergie cinétique d’un solide (S) animé d’un mouvement quelconque est égal à la sommel’énergie cinétique de ce solide animé d’un mouvement de translation pure de vitesse égale àla vitesse du centre d’inertie et de l’énergie cinétique de ce solide en rotation autour de G(considéré comme fixe).UPMCA. ALLICHE

46III – GRANDEURS ASSOCIEES AUX ACCELERATIONS1 – Résultante dynamique- Quantité d’accélération1 – 1 DéfinitionSoit le solide (S) en mouvement dans un repère R. On désigne par G son centre d’inertie, m samasse. Soit M un point courant de (S).On désigne par R la résultante dynamique du solide (S). Cette résultante dynamique est aussiappelée quantité d’accélération par analogie avec la quantité de mouvement p définieprécédemment.1 – 2 CalculR est définie par l’expression suivante : 2d ⎡d ⎤ ⎡ d ⎤R = M / Rdm ( V M / Rdm) ( OG) m2G/R∫∫∫ Γ = = = Γ = ( p)dt∫∫∫ ⎢dt⎥ ⎢dt⎥( ) ( ) ⎣ ⎦⎣ ⎦S S RLa résultante dynamique d’un solide est donc égale à la quantité d’accélération d’un pointpesant de masse m et qui serait confondu avec le centre d’inertie G. On constate aussi quec’est la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement p .R2 – Moment dynamique – torseur dynamique2 – 1 DéfinitionLe moment dynamique est défini d’une manière équivalente au moment cinétique.Soit Q un point quelconque de l’espace, on définit le moment dynamique par l’expressionsuivante : QM∫∫∫δ Q = ∧ΓM / R( S )dm2 – 2 Relation entre moment dynamique et moment cinétiqueReprenons l’expression du moment cinétique et dérivons par rapport au temps relativement aurepère de départ R. σQ= QM ∧ VM / Rdm = ( OM −OQ)∧VM / Rdm et la dérivée donne :∫∫∫∫∫∫( S) ( S)UPMCA. ALLICHE

47⎡d⎢dt σ⎤ = V −V ∧ V dm+ QM ∧Γ dm(Q) ( M / R Q/ R) /( ) M / R⎥M RR ( S) ( S)⎣ ⎦∫∫∫ ∫∫∫ ⎡d ⎤ soit δ Q = QM ∧Γ M / Rdm = σ Q + mV Q/ R ∧V/∫∫∫⎢⎣dt⎥⎦( S )Le second terme s’annule pour Q en G ou bien au point fixe O. ⎡d ⎤Dans ce cas δ G = ⎢ σ G⎣dt⎥⎦RR3 – Torseur dynamiqueNous allons montrer que le moment dynamique a les propriétés d’un champ antisymétrique.Pour cela nous allons l’exprimer en deux points et voir si l’on obtient la fameuse relation detransport des moments de torseurs ;Soit P et Q deux points du solide (S). Nous avons la définition de base du momentdynamique : δ Q = QM ∧Γ M / Rdm = QP ∧Γ M / Rdm + PM ∧Γ M / Rdm = δ P + QP ∧ R∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫( S) ( S) ( S)Nous avons bien obtenu la propriété des champs antisymétriques, le moment dynamique estdonc un moment de torseur appelé torseur dynamique défini en un point Q par ses élémentsde réduction : ⎧⎪R= mΓG/R⎫⎪{ δ( S)/R}=Q⎨ ⎬⎪⎩δ Q ⎪⎭Si le point Q est en G ou bien en point O fixe alors on peut écrire de manière global :G Rd ⎤= ⎢⎣dt⎥⎦⎡{ δ( S)/ R} { σ( S)/R}G G RCette formulation, on le verra, est souvent utilisée dans la résolution des problèmes dedynamique.UPMCA. ALLICHE

48CHAPITRE IV - STATIQUE ET REPRESENTATION DES ACTIONSMECANIQUESI – MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES AGISSANT SUR UNSYSTEME MATERIEL1 – Définition :Action mécanique : toute cause qui a pour effet de maintenir au repos, de modifier l’état durepos ou de mouvement d’un système matériel ou d’une partie du système.* Exemple d’actions mécanique :- l’action de la pesanteur provoque la chute de la pomme de Newton- le soleil dévie la trajectoire rectiligne de la terre- l’écoulement de l’eau est arrêté par la présence de la paroi du barrage …2 – Classification des actions mécaniquesOn classe les actions mécaniques selon leur mode d’action et leur nature. On distingue ainsi :• les actions mécaniques qui s’exercent à distance telles l’action de la pesanteur, l’actiond’un champ magnétique.• les actions mécaniques de contact telle l’action de l’eau sur une paroi de barrage (forcede pression)Les deux types d’actions peuvent s’exercer sous forme d’action ponctuelle, c'est-à-dire en unpoint de l’espace. Cette hypothèse est physiquement difficile à réaliser. On modélisecependant souvent des forces s’appliquant en un point du système par un vecteur forceappliquée en ce point. Ce mode d’action est alors associé à un vecteur lié et donc sareprésentation peut être faite, comme nous l’avons vu dans le cours sur les torseurs, à l’aideglisseur.L’ensemble des actions évoquées précédemment sont modélisées par des torseurs associés àdes densités de force (sauf pour ce qui est de la force ponctuelle).Nous allons successivement examiner les actions mécaniques à densité volumique de forcepuis surfacique ou linéique.a – Action mécanique à densité volumique de force.UPMCA. ALLICHE

49Considérons un système matériel (Σ) continu occupant un volume V de l’espace à troisdimensions. Chaque élément de volume dV autour d’un point courant M peut être sollicité parune force : dF = rdVNous avons donc un glisseur associé au vecteur lié ( M , dF).On peut en déduire la densité de force volumique : dFr =dVr est donc un vecteur densité volumique de force.En mécanique des milieux continus, on se ramène à des grandeurs locales et l’on écrit : dFr = limdV →0dVL’ensemble de ces forcesdF appliquées sur chaque élément de volume entourant le point, )courant M constitue un ensemble de glisseurs associés aux vecteurs liés ( M dF . L’ensemblede ces glisseurs constituent un torseur de résultante : R r( M)dV= ∫∫∫et de moment en un point A quelconque :: M = AM ∧r ( M ) dVA∫∫∫( V )( V )Remarque : On peut facilement vérifier que cet ensemble de vecteur est bien un torseur. Ilsuffit pour cela d’écrire cette formulation en passant par un point B quelconque : ( ) ( ) ( ) M ( )A= ∫∫∫ AB + BM ∧ r M dV = AB ∧ r M dV + BM ∧r M dV( V) ∫∫∫( V) ∫∫∫( V) = M + AB∧RBOn se retrouve bien avec la forme d’un champ antisymétrique.Exemple particulier : Champ de pesanteur uniforme.La pesanteur terrestre agit sur l’ensemble des milieux matériels par l’intermédiaire d’uneforce à distance qui agit sur l’ensemble du milieu et donc sur le volume de matière constituantle milieu en question. Nous avons donc une action à densité volumique. Chaque élément devolume est de ce fait soumis à une force de la forme : dF = rdV = ρgdVLa densité volumique de force est donc défini par : r = ρgUPMCA. ALLICHE

50Le torseur ainsi constitué pour tout le volume V a pour résultante : R = ρ( M ) gdV = mgm étant la masse totale du système.Son moment en un point A est défini de la manière suivante : M = M + AG∧ R= AG∧mgAGCette dernière expression est justifiée si l’on remarque que∫∫∫( V )M = GM ∧mgdV= 0pardéfinition du centre de masse G. Le torseur associé aux forces réparties de pesanteur de densité r = ρgest donc un glisseurassocié au vecteur lié ( Gmg , ) .G∫∫∫( V )Mdρgdvb – Actions mécaniques à densité massique (ou linéique)La même démarche peut-être faite lorsqu’on traite des actions mécaniques à densitésurfacique (ou linéique) :Nous reprenons pour cela le solide (Σ) de frontière (S). Chaque élément de volume dS autourd’un point courant M de (Σ) peut être sollicité par une force : dF = rdSNous avons donc un glisseur associé au vecteur lié ( M , dF ) .On peut en déduire la densité surfacique (ou linéique) de force: dFr =dSr est donc un vecteur densité surfacique de force.En mécanique des milieux continus, on se ramène à des grandeurs locales et l’on écrit :UPMCA. ALLICHE

51L’ensemble de ces forcesdF dFr = limdS→0dSappliquées sur chaque élément de surface (ou de ligne)entourant le point courant M constitue un ensemble de glisseurs associés aux vecteursliés ( M , dF ) . L’ensemble de ces glisseurs constituent un torseur de résultante : R r( M)dS= ∫∫∫et de moment en un point A quelconque :: M = AM ∧r ( M ) dSA∫∫∫( S )( S )Remarque : On peut facilement vérifier que cet ensemble de vecteur est bien un torseur. Ilsuffit pour cela d’écrire cette formulation en passant par un point B quelconque :M ( AB BM ) r ( M ) dS AB r A( M ) dS BM r = ∫∫∫ + ∧ = ∧ + ∧ ( M ) dS( S) ∫∫∫( S) ∫∫∫( S) = M + AB∧RBOn se retrouve bien avec la forme d’un champ antisymétrique.3 – Modélisation des actions de contact – Loi de CoulombNous venons de traiter des actions mécaniques de contact. Nous allons analyser ce problème àtravers le contact entre deux solides (Σ 1 ) et (Σ 2 ) . Supposons que ces deux solides soient encontact au travers d’une portion de surface (σ). Nous considérons un point K de (σ) et lanormale en K orientée de (Σ 1 ) vers (Σ 2 )(Σ 2 )n KdF (σ)(Σ 1 )La force élémentaire dF qui s’exerce sur une surface élémentaire ds peut être décomposée surle plan tangent commun à (σ) de la manière suivante :UPMCA. ALLICHE

52 dF = f ( M ) dS = ( − f n + f ) dSfnest la composante normale de la densité de force élémentaire de contact en K, elle exprimela pression exercée par le solide (Σ 2 ) sur (Σ 1 ).est la densité de force élémentaire tangentielle (dite de cisaillement) au point K.f tntd – Lois de Coulomb (1726,1805).Le contact entre deux solides s’accompagne de phénomènes de frottement dans certainesconditions. Ces frottements dépendent principalement de la nature du mouvement relatifentre les deux solides en contact, de la nature des matériaux qui les constituent et aussi del’état des surfaces en contact.Nous allons voir que dans certaines conditions les forces mises en œuvre dans le contactpeuvent s’annuler ou non.Les lois de Coulomb donnent une relation entre les composantes des actions locales decontact.Nous allons préciser les différentes configurations de l’action de contact et leur valeur.• Cas du glissement non nul( V ≠ 0)g,( S1)/( S2)Dans ce cas il y a frottement de glissement et on a une propriété géométrique entre lesrésultantes du torseur cinématique et le torseur de l’action locale de contact.Au point K le torseur cinématique du mouvement d u mouvement de (S 1 ) par rapport à (S 2 )s’écrit :⎧⎪Ω⎨ ⎩⎪( S1)/( S2)VK ∈ ( S1)/( S2)et le torseur de l’action locale en K s’exprime par : ⎧⎪dF =− fnn + f ⎫t ⎪⎨ ⎬⎪⎩M K= Mnn+ Mt⎭⎪Nous avons alors : ⎪⎧ VK∧ ft= 0⎨ ⎪⎩ VK. ft≤ 0Ceci traduit le fait que l’effort de frottement est colinéaire à la vitesse de glissement mais desens opposé.⎫⎪⎬⎭⎪UPMCA. ALLICHE

53La loi de Coulomb défini un rapport entre les deux composantes de f ( M ) :ftf = = tanθff est le coefficient de frottement entre les deux surfaces. Ce coefficient dépend de la naturedes matériaux mis en contact. On appelle θ, l’angle de frottement.nn dF Kf n(σ)f tθDans le cas ou le vecteur est quelconque dans le plan tangent (σ ), le vecteur force de contactf ( M ) décrit un cône d’angle au sommet θ.Torseur résultant de l’action de contactLorsque l’action de contact s’exerce sur une surface (ou un tronçon de ligne) il est possibled’exprimer le torseur résultant de l’action de contact entre deux solides. Pour cela on sommesous forme d’intégrale sur la surface (la ligne) de contact.⎧ RP= −fn( n− f t)= Nn+T ⎫∫⎪( S )⎪{ A( S1) →( S2)} = ⎨ K ⎬⎪M P= ∫ PM ∧−fn( n − f t ) = Mnn + M t ⎪⎪⎩( S )⎪⎭Loi de Coulomb pour les frottements et le roulement.Il est possible d’énoncer des lois de Coulomb de frottement dans le cas des mouvementsfaisant intervenir des rotations de pivotement et de roulement.Pour cela nous reprenons l’écriture du torseur cinématique :UPMCA. ALLICHE

54a – cas où le Ωn≠0(pivotement)M n est supposé opposé à Ω .nMn . Ω n ≺ 0 .nn ⎧⎪ Ω ⎫( S1)/( S2) ⎪ ⎧⎪Ω ( S1)/( S2)=Ωnn+ Ω ⎫t⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬⎪⎪⎩VK∈( S1)/( S2) ⎪⎭ ⎪⎩VK∈( S1)/( S2)⎭n nNous avons alors la loi de Coulomb pour le frottement de pivotement :M nk = , k est le coefficient de frottement de pivotement.Nb – Cas où Ω t≠0M test supposé opposé à Ω t: ⎧⎪Mt∧ Ωt= 0⎨ ⎪⎩ Mt. Ωt≺ 0Nous avons alors la loi de Coulomb pour le frottement de roulement :M tk ' = , k’ est le coefficient de frottement de roulement.NII – LES LIAISONS1 – Degrés de liberté et définition d’une liaisonUn degré de liberté est un mouvement de base pour un solide en mouvement dans unréférentiel. Une rotation autour d’un axe est un degré de liberté, une translation suivant unedirection est aussi un degré de liberté. En somme un solide peut posséder 6 degrés de libertéau maximum. Ce sont les 3 paramètres de positions d’un point du solide et les 3 rotationspossible du solide.Une liaison est un dispositif entre deux solides permettant de limiter le nombre de degrés deliberté. Ces liaisons peuvent être associées à des mouvements de translation suivant unedirection ou bien à des mouvements de rotation autour d’un point. On distingue ainsi desliaisons glissière, rotule, pivot, pivot glissant…Lorsqu’une liaison est permanente on dit que la liaison est bilatérale. Dans le cas contraire laliaison est unilatérale. Une vis dans un écrou constitue une liaison bilatérale, tandis que lecontact d’une bille sur un plan est une liaison unilatérale.UPMCA. ALLICHE

552 – Les différentes liaisons de base2 -1 Liaison glissièreOn dit qu’une liaison entre deux solides est une liaison glissière si le seul mouvement permisentre les deux solides est un mouvement de translation suivant une direction liée à un desdeux solides.Nous avons alors un seul degré de liberté associé au mouvement relatif des deux solides.Représentation de la liaison glissière selon G. HENONLa caractérisation cinématique de la liaison est donnée par le torseur cinématique suivant :12{ C } 1/2A ⎧⎪Ω = 0 ⎫⎪= ⎨⎪⎩VA= ⎬ si la direction de mobilité est suivant la direction x λx⎪⎭Le torseur de l’action du solide (S 1 ) sur le solide (S 2 ) est de la forme :P 12 12{ A( S1) →( S2)}A ⎧⎪R = Y y+Z z ⎫⎪= ⎨ ⎬⎪⎩M A,12 = L12 x+ M12 y+N12z⎪⎭2 – 2 Liaison pivotDeux solides sont en liaisons pivot si le seul mouvement relatif permis e est un mouvement derotation autour d’un axe de l’un des deux solides.Là aussi nous avons un seul degré de liberté.UPMCA. ALLICHE

56Roue de véhiculeLiaison pivot selon G. HENONLe torseur cinématique associé à cette liaison est le suivant : ⎧⎪Ω12= α x⎫⎪{ C1/2}=O ⎨ ⎬⎪⎩VO= 0 ⎭⎪Le torseur des actions mutuelles entre les deux solides est donné par : ⎧⎪R12 = X12x+ Y12 y+Z12z⎫⎪{ A( S1) →( S2)} = ⎨ ⎬A⎩⎪MA,12 = M12 y+N12z ⎭⎪2 – 3 Liaison pivot glissantDeux solides sont en liaisons pivot glissant si le seul mouvement relatif permis est unmouvement de rotation autour d’un axe lié à un des deux solides combiné à un mouvement detranslation suivant le même axe..Le mouvement relatif entre les deux solides est caractérisé par deux degrés de libertés.Liaison pivot glissant selon G. HENONLe torseur cinématique associé à cette liaison est le suivant : ⎧⎪Ω12= α x⎫⎪{ C1/2} =O ⎨ ⎬⎪⎩VO= λx⎭⎪Le torseur des actions mutuelles entre les deux solides est donné par :UPMCA. ALLICHE

5712 12 12{ A( S1) →( S2)}O ⎧⎪R = Y y+Z z ⎫⎪= ⎨ ⎬⎩⎪MA,12 = M12 y+N12z⎭⎪2 - 4 Liaison encastrementDeux solides sont en liaisons encastrement si aucun mouvement relatif n’est permis entre lesdeux solides en question.(S 2 )(S 1 )Poutre encastréeLe torseur cinématique associé à cette liaison est le suivant : ⎧⎪Ω12= 0⎫⎪{ C1/2}=O ⎨ ⎬⎪⎩VO= 0 ⎭⎪Le torseur des actions mutuelles entre les deux solides est donné par : ⎧⎪R12 = X12x+ Y12 y+Z12z⎫⎪{ A( S1) →( S2)} = ⎨ ⎬O⎩⎪MA,12 = L12 x+ M12 y+N12z⎭⎪UPMCA. ALLICHE

582 – 5 Tableau des liaisonsTorseur des actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite (Source L. Granjon))Désignation de laliaisonSchématisation spatialeMobilitésTorseur d’actionmécaniquetransmissibleTorseur d’actionmécaniqueSimplifiéSymétrie par rapportPivotd’axe (A, x )Tr000RxRot 00A⎧⎨⎩X 120Y 12M 12Z 12N 12⎫⎬⎭à (A, y , z )A⎧⎨⎩0 0Y 120Z 120⎫⎬⎭Glissièred’axe (A, x )TrTx000Rot 00A⎧⎨⎩0 L 12Y 12M 12Z 12N 12⎫⎬⎭Symétrie par rapportà (A, x , z )A⎧⎨⎩0 00 M 12Z 120⎫⎬⎭Symétrie par rapportPivot glissantd’axe (A, x )TrTx00⎧Rx 0 0Rot 0 ⎨ Y 12M 120 A⎩ Z 12N 12⎫⎬⎭à (A, y , z )A⎧⎨⎩0 0Y 120Z 120⎫⎬⎭Symétrie par rapportAppui plan denormale (A, x )Tr0TyTz⎧Rx X 120Rot 0 ⎨ 0 M 120 A⎩ 0 N 12⎫⎬⎭à (A, x , y )A⎧⎨⎩X 1200 00 N 12⎫⎬⎭Symétrie par rapportRotulede centre ATr000RxRot RyRzA⎧⎨⎩X 120Y 120Z 120⎫⎬⎭à (A, x , y )A⎧⎨⎩X 120Y 1200 0⎫⎬⎭UPMCA. ALLICHE

59Linéaire annulaired’axe (A, x )TrTx00⎧Rx 0 0Rot Ry ⎨ Y 120Rz A⎩ Z 120⎫⎬⎭Symétrie par rapportà (A, x , z )A⎧⎨⎩0 00 0Z 120⎫⎬⎭LinéaireSymétrie par rapportrectilignede normale(A, x )et de contact(A, y )Tr0TyTz⎧Rx X 120Rot Ry ⎨ 0 00 A⎩ 0 N 12⎫⎬⎭à (A, x , z )A⎧⎨⎩X 1200 00 0⎫⎬⎭III – Principe fondamental de la statique.UPMCA. ALLICHE