Chapitre 4.1 – La cinétique de rotation

Le mouvement de rotation uniformément accéléréLorsqu’un objet subit une accélération angulaire α constante lors d’une rotation, l’objeteffectue un mouvement de rotation uniformément accéléré (RUA). Les équations dumouvement sont alors identiques à celles d’un objet uniformément accéléré (MUA) :Mouvement rectiligneMUA : Mouvement uniformément accéléréa t = ao x( )xo v ( t) v a tx=x 0+x t=xo ( )20+ vxx 0t+1axt222o v ( x) = v + 2a( x − x )xx0x0Mouvement rotatifRUA : Rotation uniformément accéléréo α ( t ) = αω ω + αo ( t) t= 01θ t = θ0+ ω0t+ α t2o ( )222o ω ( θ ) = ω + 2α( θ −θ)00Preuve :La preuve est identique à la démonstration des équations du MUA en appliquant lacorrespondance suivante :x → θ v → ω a → αxSituation 1 : Un disque tourne en ralentissant. Un disque tourne sur lui-même avecune vitesse angulaire initiale de 20 rad/s. En raison du frottement, son mouvement derotation ralentit au taux constant de 4 rad/s 2 . On désire déterminer combien de tours ileffectue avant de l’arrêter.Voici les données de base :ω = 20 0rad/s= 0 0 α = −4 rad/sω = 0θ = ?t = ?En utilisant la formule ω 2 ( θ )disque :2ωxθ 2pour un RUA, on peut évaluer la position finale angulaire du22 2= ω + 2α( θ −θ) ⇒ ( 0) = ( 20) + 2( − 4) ( θ − ( 0))00⇒θ = 50radAvec la relation suivante, on peut évaluer le nombre de tour : ( 2 π = 1 tour )50 rad n tours50= ⇒ n = ⇒ n = 7,96 tours2πrad 1 tours2πRéférence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 3Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Les relations entre les variables linéaires et angulairesUn arc de cercle L est relié au rayon r d’un cercle et à un angle d’ouverture θ de la façonsuivante :L = rθ ⇔ Circonférence= 2πrÀ partir de cette relation, nous pouvons associé la cinématique de translation selon un axe xcirculaire avec la cinématique de rotation selon un axe θ de la façon suivante en imposantla contrainte x = θ = 0 à l’origine :où• x = rθdxdtddtdθdt• v x= = ( rθ) = r = rωdvddtdωdtx• a = = ( rω) = r rαx=dtx : Position tangentielle (m)vx: Vitesse tangentielle (m/s)a : Accélération tangentielle (m/s 2 )xxaxerPθP 0θ = 0Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 4Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Situation 2 : Un disque qui tourne de plus en plus vite. Un disque de 30 cm de rayonest initialement au repos. À partir de t = 0, il est entraîné par une courroie qui luiimprime une accélération angulaire constante de 2 rad/s 2 (l’axe de rotation du disque estau centre). On désire déterminer (a) la vitesse d’une particule située sur le bord dudisque à t = 3 s ; (b) la longueur du trajet parcouru par une particule située à mi-cheminentre le centre du disque et le bord entre t = 0 et t = 3 s.Données de base :ω = 0 0 = 0 0 α = 2 rad/sω = ?θ = ?t = 3 sÉvaluer la vitesse du disque à 3 s :ω ω + α t= 0⇒ = ( 0 ) + ( 2) ( 3)θ 2ω (Remplacer valeurs num.)⇒ω = 6 rad/s(Évaluer ω )a) La vitesse sur le bord du disque :v x= rω⇒ v = ( 0,3)( 6)(Remplacer valeurs num.)x⇒vx= 1,8 m/s(Évaluer vx)L’angle de rotation parcouru durant 3 s :1 21 2θ = θ0+ ω0t + α t ⇒ θ − θ0= ω0t + α t(Isoler θ − θ0)221θ ω t + α t2⇒ ( )2∆ θ = θ −θ)∆ =0(Remplacer01∆θ = 0 3 + 2 3(Remplacer valeurs num.)2∆θ = 9 rad(Évaluer ∆ θ )⇒ ( )( ) ( )( ) 2⇒b) La distance parcourue à mi-chemin du rayon total :x = rθ⇒ ∆x = r ∆θ(Relation en ∆xet⇒ = ( 0,3/ 2)( 9)∆ θ )∆x (Remplacer, r est à mi-chemin)⇒∆x = 1,35 m(Évaluer ∆ x )Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 5Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Voici les relations existant entre la cinématique de translationdu centre de la roue et la cinématique de rotation de la roue :Déplacement du centre de la roue :Vitesse de translation du centre de la roue :Accélération du centre de la roue :∆x CR= r∆θvCR= rωaCR= rαCRrLa cinématique d’un point en bordure d’une roue est beaucoupplus complexe lorsqu’on l’analyse en deux dimensions :∆θ = 2π radr∆θr∆x = 2π r∆x CRPosition angulaire et coordonnée xy de l’axe de rotation selon zLorsqu’un corps effectue une rotation autour d’un axe z, la distance entre la position xy oùpasse l’axe de rotation et le corps en rotation n’influence pas la position angulaire θzet lavitesse angulaire ωzdu corps. Les valeurs de θzet ωzsont uniques au corps.Pour se convaincre, effectuons une rotation de 60 o d’un corps autour de l’axe z situé à deuxendroits dans le plan xy :Schéma initiale : θ = 0°Rotation axe 1 : θ = 60°Rotation axe 2 : θ = 60°zzzzyxAxerotation 2∆ θ zAxerotation 2Axerotation 1∆ θ zAxerotation 1 Dans les deux cas, le corps a bel et bien effectué une rotation de 60 o autour de l’axe derotation z et le corps possède le même état de rotation qui est θ = 60°. Un corps possède une position angulaire θzunique par rapport à un axe de rotation z. Un corps possède une vitesse angulaire ωzunique par rapport à un axe de rotation z, carω z= dθz/ dt et θzest unique. L’accélération angulaire αzn’est pas unique par rapport à un axe de rotation z, car elledépend du choix de point de référence. (voir chapitre 4.7 : La dynamique de rotation)zRéférence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 7Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Situation A : La vitesse d’un bout de pneu. La roue R d’une voiture se déplace sansglisser selon l’axe x à la vitesse v x RS= v par rapport au sol S. La roue possède un rayonr et tourne à la vitesse angulaire ω . On désire évaluer l’expression de la vitesse selonl’axe x d’un bout de pneu P en fonction de son positionnement angulaire θ par rapport(a) au centre de la roue R et (b) par rapport au sol S.Selon le référentiel de la roue, la roue est immobile et tous les bouts de pneu tournent à lamême vitesse angulaire ω . Représentons graphiquement le vecteur vitesse v v dans unsystème d’axe xy à l’aide d’un angle θ :Avecv = rω:θθ = 0°ω vθv v v v= rωi= −rωjθ = 90°ω vθv v= −rωiθ = 180°θθv ωv v= rωcos( θ ) iv− rωsin( θ ) jθθ = quelconqueω v(a) Voici l’expression de la vitesse d’un bout de pneu P selon l’axe x en fonction de l’angleθ dans le référentiel de la roue R :v x PR= rω cos( θ )(b) Selon le référentiel du sol, la roue se déplace à vitesse vxRSen même temps qu’elleeffectue des rotations à vitesse angulaireω . À l’aide de l’addition des vitesses relatives enune dimension, nous pouvons évaluer la vitesse d’un bout de pneu P selon l’axe x à partirde la mesure effectuée dans le référentiel de la roue R :v +xPS= vxPRvxRS⇒ vxPS = r cos( θ ) + vxRSv x PR= rω cos )ω (Remplacer ( θ )⇒ vxPS vxRScos( ) + vxRS= θ (Roue glisse pas : v = rω⇒ v ( 1 cos( θ ) )v x PS= x RS+(FactoriserxRS⇒ = v ( 1 cos( θ ) )PS+Avec cette équation, on réalise que le bout depneu possède une vitesse nulle par rapport ausol lorsque l’angle est égal à 180 o ce quicorrespond à la position du contact au sol (voirschéma ci-contre). Ce raisonnement est valideuniquement lorsque la roue roule sans glisser.Le frottement qui propulse une roue sansv )v x (Remplacer v x= vRS)glisser est alors du frottement statique.Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 8Note de cours rédigée par : Simon VézinavACRv = 0BvRéférentielde la voitureθ A=0 oACRBv = 0θ B=180 oCR)v2vRéférentielde la route

Exercice4.1.7 De moins en moins vite. Un disque tourne sur lui-même dans le sens anti-horaire à24 rad/s. En raison du frottement, il ralentit à un taux constant. Après avoir fait 10 tourssur lui-même, il ne tourne plus qu’à 18 rad/s. (a) Déterminez α ? (b) Combien de tourssupplémentaires le disque fera-t-il avant de s’arrêter?Solution4.1.7 De moins en moins vite.Informations de base :ω = 24 0rad/s θ = 0 radα = ?02π radω = 18 rad/s θ = 10 tours × = 20πrad t = ?toura) Avec l’une des équations du RUA :2ω22 2= ω + 2α( θ −θ) ⇒ ( 18) = ( 24) + 2α(( 20π) − ( 0))0Informations de base :0⇒324 = 576 + 40πα⇒ 40πα= −252⇒ω = 18 0rad/s = 0 rad0α = −2,012rad/s= −2,01rad/sθ 2αω = 0 rad/s θ = ?t = ?b) Avec l’une des équations du RUA :2ω22 2= ω + 2α( θ −θ) ⇒ ( 0) = ( 18) + 2( − 2,01) ( θ − ( 0))00⇒− 324 = −4,02θ⇒Puisque chaque tour représente 2π :θ = 80,60rad1 tourN = 80,60 rad ×⇒ N = 12,83 tours2π radRéférence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 9Note de cours rédigée par : Simon Vézina