Chapitre 9 Quantité de mouvement

Chapitre 9Quantité de mouvementQuestions :#3) Lancez les objets que vous portez dans la direction inverse à la berge. Votre quantitéde mouvement est initialement nulle et doit être conservée. Si vous lancez un objet,dans la direction opposée à la berge, celui-ci acquiert une quantité de mouvementqui doit nécessairement être annulée par la vôtre. Ainsi vous acquérez une vitessevers la berge.#4) Collision parfaitement inélastique :m : voiture ; u1M : camion;u2collision inélastique : p = consta) Variation de vitesse :mu1p0= p+ M u2= ( m + M ) v ( u − v) = M ( v − u ) = mv + M vm12 − m ∆v1= M ∆v2Pour avoir égalité, tout en sachant que M > m, il faut que la variation devitesse de la voiture ∆ v 1soit plus importante que celle du camion ∆ v 2.b) On reprend la dernière égalité de la sous-question précédente : − m ∆v1= M ∆v2 − ∆p1= ∆p2Donc, les 2 subissent la même variation de quantité de mouvement.c) Variation d’énergie cinétique :2∆p1∆K1=2m2∆p2∆K2=2M∆K12MM= =∆K22mmDonc, la variation de l’énergie cinétique de la voiture est plus grande quecelle du camion.1

#7) Collision élastique (conservation de l’énergie cinétique)mmAB; u; uAB(1)Cas particulier #2 de collision élastique := 0(2)vvAB==( mA− mB)( m + m )A2mA( m + m )a) Consultez l’exemple 9.7 :2( mA− mB)fB= 1−( m ) 2 A+ mBIci, la plus grande valeur possible est 1. On obtient cette valeur lorsquem =Am BAABBuuAb) On veut la plus grande quantité de mouvement pour B : mAuA= mAvA+ pB p = m u − vppBBB= m= mAAA(A A)⎛ ( mA− mB) ⎜uA− uA⎝ ( mA+ mB) ⎛ ( mA− mB) ⎞u⎜A1−⎝ ( m + ) ⎟⎟ AmB⎠⎞⎟⎠Ici, la plus grande valeur possible est lorsque la parenthèse égale 1. On obtientcette valeur lorsque m = mABc) La vitesse la plus grande que peut récupérer B est celle que possède Ainitialement. Le cas particulier du « transfert de vitesses » se produit lorsquem =Am B#9) La personne devrait marcher vers la falaise. En marchant, elle pousse la voiture dansla direction opposée à la falaise, ce qui entrainera la voiture à s’éloigner du ravin.La quantité de mouvement est conservée : nulle avant et après.#11) On amortit la vitesse de recul avec un appui stable du corps (l’épaule). On éviteainsi les blessures à l’œil appuyé sur la lunette de visée.3

#12) Les muscles étant plus relâchés, on augmente le temps de collision. Pour unemême impulsion : I = ∆p= p − p I = − p = F0Si ∆t+ > ⇒0moyenne= 0 − p∆tFmoyenne0= − p0+ < ( force appliquée sur lapersonnepar lesol)#16) Conservation de la quantité de mouvement ou application de la 3 ième loi deNewton :pballon= mballonvballon p air= − p ballonpair= mairvairExercices :#1) Quantité de mouvementm = 70kgv m= 10 is ⇒ p = mv = 700kg msia) Même quantité de mouvement pour la balle : p = p′3700kg m i− = 20×10 kg v ′s⇒ v′= 35,0 kmis4

) Même quantité de mouvement pour la voiture : p = p′kg m 700 i = 1500kgv′s⇒ v′= 0,467 m is#3) Une balle et un coureur :−3mB= 20×10 kg ; vBm = 60 kg ; vCCa) Même quantité de mouvement : pB= pC m v = m v(1)(2)(1)(2)KKBK=KCBCB==Bv1212Bmm=mmBC⎛ m=⎜⎝ mBCvC2Bv2C⎛ m⎜⎝ mC=BCCB⎞⎟⎠⎞ ⎟v⎠122CmB⎛ m⎜⎝ m⎛ m=⎜⎝ mCBCB2⎞⎟ v⎠2C⎞⎟ = 3000⎠b) Même énergie cinétiqueK = K(1)(2)(1)(2)=p12BpCppBCmBv= mB= mB2BvBCm=mBC1= m2⎛ m=⎜⎝ mvBvC= m⎛ m⎜⎝ mCCBCBCB⎞⎟⎠⎞⎟⎠12v2C12v⎛ m⎜⎝ mCBC⎞⎟⎠12⎛ m=⎜⎝ mBCvC⎞⎟⎠12= 0,01835

#4) Conservation de la quantité de mouvement :• Avant :M avec u = 0• Après :m1= M3m2= M3m3= M3;;; v1= 20 m isv2= 15mà 135°sv = ?3 p0= p 0 = m1v1+ m2v 0 = v + v + v1232+ m3v3 v xv y= ∑ + ∑(1)(2)⇒v3∑vx= ( v1+ v2cos135°) i + v3x= 0 ⇒ ∑vy= v2sin135°i + v3y= 0 = ( − 9,39 i −10,6j ) m = 14,2 m à 228°ss⇒v3xv3y= −9,39m is= −10,6m is#5) Conservation de la quantité de mouvement :• Avant :M = 10 kg avec u = 6msi• Après :m1= 5kgm = 5kg2;; v1=v = ?2( 2i− j )ms⇒⇒⇒ p0= pkg m 60 i =s v m2x= 10 isv m2 y= 1 js v =2( 10i− 5 j )( 10,0 i + 1,00 j ) mskgms+ 5kgv26

• 25% de l’énergie cinétique est perdue lors de la collision :1 1K = ( m ) 2 21+ m2 v = K0 − 0,25K0 = 0,75K0 = 0,75⋅ m1 u1= 6,75 J (1)2 2• Conservation de la quantité de mouvement : p0= pm1u1= ( m1+ m2) v3kg m i = ( 0,5kg+ m2) v (2)s• De (1) : ⎛ 2⋅6,75J⎞v = ⎜( 0,5kg+ m2) ⎟⎝⎠1 2i(1)• (1) dans (2) :21⎛213,5J⎞1( ( ) )22 ⎜2( 0,5 +2 ) ⎟3kg m i = ( 0,5 kg + m )i = 13,5 J ⋅ 0,5 kg + m is⎝ kg m ⎠⇒ m = 0,167kg #10) Collision parfaitement inélastique : v v = vm1= 2kg;m = 3kg;2uu12= u i1= 01= 2• 60J d’énergie cinétique est perdue lors de la collision :1 21K = ( m ) 6021+ m2v = K0− J = m1u1− 60J(1)22• Conservation de la quantité de mouvement : p0= pm u = m + m v (211( ) )12• De (2) : 2 v =5u 1(2)8

9• (2) dans (1) :( )ismuuuummJum10,0526052216021121212121211=⇒=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−#14) Collision inélastique à 2D :• Avant :0;2;122111====ukgmiuukgm• Après :°−=°=451030211àsmvàvvismusmvvjsmkgvkgpppismkgvkgppppiukgppppppyyyxxxyx38,6(3)(1)28,314,10,50(4)(2)sin 31520sin 301(4)cos31520cos301(3)0(2)1(1)1111211210110121010=⇒==⇒−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛°° +=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛°° +=+===+==

Dans la 4 ième équation de la cinématique, pour trouver la vitesse après lacollision :2 2 v′ = v + 2a i ∆x20 = v + 2a ∆ x cos180° ⇒ v = 6,86 miisb) Conservation de la quantité de mouvement : p0= p m u ( m m ) vu 11,8 m1 1=1+2⇒1= is#18) Collision parfaitement inélastique avec une force de frottement :m1= 1500kgm = 1000kg2;;u1= 20msu = 02i p0= pm u =11∆x= ?( m + m ) v ⇒ v = 12mi1µc= 0,5 a = −µg ic2 2v v 2a i x2( voir #17) ′ = + ∆ = v + a i ∆ x ° ⇒ ∆ x = mi20 2 cos180 14,7s#21) Conservation de la quantité de mouvement :• Avant :M avec u = 0• Après :−15 7:14 ;16,72 1011,42 10 mα m = u K = × J ⇒ v = × isRn : m = 222 u ; v = ?2 211

a) Vitesse de recul p0= p 50 = m1 v1 + m2 v2 ⇒ v2= − 2,56×10 misb)1 2 −14K2 = m2 v2= 1,21×10 J2#27) Collision parfaitement inélastique avec force gravitationnelle (pendule balistique) :mm12= 15 x10= 2kg−3kg;;uu12= u1= 0iL = 1,2mθ max= 20°θ maxLh = L − Lcosθ= Lmax( 1−cosθ)maxh• Conservation de l’énergie( juste après l'impact)12KE+ U0g= E ( au sommet)= K + U2( m + m ) v + 0 = 0 + ( m + m ) g L( 1−cosθ)1200g12max⇒v =[ 2gL( 1−cosθ)] 1 2 i = 1,19 m imaxsa) Conservation de la quantité de mouvement : p0= p m u ( m m ) vu 160m1 1=1+2⇒1= is12

a) Conservations de la quantité de mouvement et de l’énergie :• Quantité de mouvement avant et après l’impact : p0= p m u m v m vv 1,2 m1 1=1 1+2 2⇒2= is• Énergie du pendule après l’impact et au sommet de m 2 :E = EK1200m+ U2v220g= K + Ug+ 0 = 0 + m⇒ H = 7,35cm2g H1 22 2 02 2 2 2 2=2b) W NET= ∆K= K − K = m v − m u 750J#32) Collision élastique cas particulier #2 :• Avant : m1= ? ; u1= 160kmihm = 0,046kg; u = 02• Après : mv1=mv2=(1− m2)( + m )12m1( m + m )1122u1u22a) Si m1= 0,046kg= m2, cas particulier #1, transfert de vitesses : v1= u2= 0 v u km2=1= 160 ihb) Si m = 10, 092kgv km1= 53,3 ihv 213km2= ih1214

#34) Collision élastique cas particulier #2 :• Avant :m1; u1m ; u = 02• Après : mv1=mv2=2(1− m2)( + m )12m1( m + m )1122u1ua) Si m1= 3m2 3mv1=3mv2(2− m2)( + m )22 x3m=4m22 2m2u1=24m2 3u1u1=2u1u1=2b) Si m2= 3m1 ( m1− 3m1) v1=u( m1+ 3m1) 2 m1 u1v2= u1=4m211=− 2m4m11u1=− u21#36) Collision élastique cas particulier #2 :• Avant : m1; u1= u1im ; u = 02• Après : mv1=mv2=2(1− m2)( + m )12m1( m + m )1122u1u15

a) Si − u1v1=3 m1− mv1=m + m−3−( ) 2− uu1i =(1 2) 31 ( m1− m2)=( m1+ m2)( m + m ) = 3( m − m )2m⇒21= 4mm22m11= 2121ib) Si u1v1=2 mv1=m(1− m ) 2uu1i =(1+ m2)1 ( m1− m2)=2 ( m1+ m2)( m + m ) = 2( m − m )13m⇒222= mm1m1=113212i#38) Collision élastique cas particulier #2 :• Avant :m = 2kgm12= ?;;u1u= u i21= 0• Après : mv1=mv2=(1− m2)( + m )12m1( m + m )1122u1u16

17a) Si212uv =( )( )( )kgmmmmmmmmmiuiummmv6,003422122212121211112112=⇒==++==+=b) Rapport de l’énergie cinétique :( )( )( )( )( )kgoukgmmmmmmmmmmmmmmmmummmummKKdansummmvumvmumvmKK19,80,2020204244424212314314(1):(1)(2)2(2)312121(1)2222222222221221221212112212121201212112211222211222012=⇒=+−=++=+=+=+=+=+====#39) Impulsion :mstismvukgm0,561,100,046=∆===( )kN iFtFuvmpImoymoy= 5,62⇒∆=−== ∆

#40) Impulsion :m = 1kgu = −20msv 15m= js∆t= 0,1sj I = ∆p= m( v − u)= F ⇒ F = 350Njmoymoy∆t#43) Impulsion :m = 0,5kg I = ∆p= m( v − u)u = −4msv = 0∆t= 10−3sj⇒⇒FFmoymoy = F= 2000Nj= −2000Njmoy∆t( sur le marteau)( sur le clou)#47) Impulsion :mballe= 0,015kgu = 0v 450 m= is∆ M = 10balles⋅ mballe= 0,15kg∆tssFmoy⇒⇒ I ∆pM ( v − u)= = =∆t∆t∆t Fmoy= 67,5N i ( sur les balles)F = −67,5N i ( sur la mitrailleuse)moy#48) Impulsion :m = 0,4kgu = 20mà 37°sv = 16mà − 53°s18

a) Impulsion : v − u = v − u =I{( 16cos53° − 20cos37°) i + ( −16sin 53° − 20sin 37°) j} ( − 6,34 i − 24,8 j ) m = 25,6 m à −104° = ∆p= m v − us= 10,2kgmssmsb) La résistance de l’air et la force gravitationnelle.c) NON. On ne connaît pas l’intervalle de temps et on ne peut utiliser leséquations de la cinématique avec la résistance de l’air.#51) Impulsion :m = 0,06kgu = 25mà − 40°sv = 20 m à 30°sa) Impulsion v − u = ( 20cos30° − 25cos 40° ) i + ( 20sin 30° + 25sin 40°) j v − u = ( − 1,83 i + 26,1 j ) ms I = ∆ p = m( v − u ) = ( − 0,110i + 1,56 jkg m)s{ }msb) Force moyenne I ∆p∆pFmoy= = =∆t∆t5ms ⇒ F = ( − 22,0 i + 312 j )Nmoy#52) a) Aire sous la courbe de la figure 9.26t1 1I = F dt ( 100N i 2ms) ( 100N i 2ms) ( 100N i 1ms ) 0,350kg m∫ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =i2 2st0I∆tI5msb) = = = 70,0NiF moy19