Chapitre 10 Rotation d'un corps rigide

Chapitre 10Rotation d’un corps rigideQuestions :#1) FAUX, Le moment d’inertie dépend justement de la distribution de la masse autourde l’axe de rotation. Deux objets avec la même masse n’ont pas nécessairement lemême moment d’inertie. Ainsi, un même objet possède une infinité de momentd’inertie celui-ci dépend de la position de l’axe de rotation. Finalement, si l’axe derotation passe par le centre de masse et qu’on a ramené toute la masse en ce point,on obtient un moment d’inertie nul.#2) a) Les faire tourner comme des toupies :• L’œuf dur tournera plus facilement car beaucoup de masse resteraconcentrée près de l’axe de rotation. Il restera « debout » (conservation dumoment cinétique; section 12.3), comme une toupie• L’œuf cru a de la masse liquide à l’intérieur. Le mouvement du liquiderendra la rotation très instable et l’œuf ne restera pas « debout ».b) L’œuf cru verra son liquide intérieur continuer à tourner. En le relâchant l’œufrecommencera à tourner (conservation du moment cinétique; section 12.3)#4) a) C : beaucoup de masse éloignée de l’axe de rotation.b) B : beaucoup de masse près de l’axe de rotation.#5) Le jus liquide, en tournant, s’éloignera du centre de la canette augmentant ainsi lemoment d’inertie I. La canette sera plus difficile à accélérer angulairement, doncarrivera après le jus congelé.1

#11) En supposant que l’axe doit toucher au corps et que l’individu garde la mêmeposition dans les deux cas :a)axeb)2

#12) Vecteurs :α •ω ⊗NordEsta) Vers l’Est.b) En train de ralentir.Exercices :#1) Disque durD = 0,03m → R = 0,015mω = 003333⋅2πω = ⎡rad ⎤60 ⎣ s ⎦t = 0,02sa) ω = ω00+ α t ⇒ α = ×41,75 10 rads2b) On doit séparer le problème en 2 étapes :i) durant l’accélérationii) à vitesse angulaire constante• Durant l’accélération :θ = 00θ = ?ω = 00ω = 349θ = θ 00+1202ω 0t + α t = 3,49 radrad sradsα = 1,75 × 10t = 0,02s423

• À vitesse angulaire constante :θ′ = 3, 49 rad0θ′ = ?ω′ 0= ω = ω′= 349 rad sα′ = 0t′ = 0,03s1θ′ = θ′ 0+ ω′ 0t′ + α′2⇒ 2,22 tours0t2′ =14,0 radc) Après l’accélération :θ′ = 3, 49 rad00θ′ = 400πradω′ 0= ω = ω′= 349 rad sα′ = 0t′ = 0,02st′ = ?1θ θ′ θ ′0ω′ 0t′ α′2⇒ t′= 3,61s02∆ = − = ∆ + ∆ t′= ( 400π− 3, 49)radd) Durant l’accélération à t = 0,01s:θ = 00θ = ?ω = 00ω = ?α = 1,75 × 10t = 0,01sω = ω 004rads+ α t = 175 rad sCalcul des accélérations : a = ac+ atat= α R = 263m2s 2ac= ω R = 459 m2s24

e) Après l’accélération ω = const :Calcul des accélérations : a = ac+ atat= α R = 0 2 3ac= ω R = 1,83 × 10 m2s#3) Révolution de la Terre autour du Soleil :a) Vitesse angulaire de la Terre tournant sur elle-même :∆ θ = 2πrad∆ t = T = 24hres∆θω1= = 7, 27×10∆t−5−7rad sb) Vitesse angulaire de la Terre tournant autour du Soleil :∆ θ = 2πrad∆ t = T = 365,25 jrs∆θω2= = 1,99 × 10∆tc) Vitesses linéaires :rad sv Aω1v B1UA= 1,5 × 1011mω25

vvAB= ω R1Terre= ω 1UA− ω R2+ ω 1UA30,2 km2=s1Terre= 29,3 kms#4) Vitesses :axerRTerre41 °RTerreRTerre6= 6,37×10 m2πω = rad = 7, 27×10T s−5radsa)b)v = ω r = ω R mTerre= 463sv = ω r = ω RmTerrecos 41°= 349s#5) Cinématique de rotation :r = 0,06mθ =2( 10 − 5t+ 4t)dθω = =dtdωα = = 8 raddt s( − 5 + 8t)2radradsa)θθω( t=1s)( t=3s)moyenne= 9 rad= 31rad∆θ= =∆t22 rad2s= 11,0 radsb)ωv( t=2s)= 11rads= ω r = 0,660 m( t=2s) s6

c) À t = 2s:a 0,480 mt= α r =2s 2a r 7,26mc= ω =s2#6) Démonstration :a ta = ac+ ata ca ( ) 2( 2a = α r + ω r )2 4a = r +αω2#7) Roue :θ = 00θ = ?50⋅2πω rad0=60 sω = 2ωα = 0,5 radst = ?02Le problème doit être divisé en 2 étapes :• Moteur est accéléré :ω = ω + α t2ω= ω + α t000⇒ t = 10,5s1 2θ = θ0+ ω0t+ α t2⇒ θ = 82,4 rad7

• Moteur tourne à vitesse constante :θ′ = 82,4 rad00θ′ = ?2⋅50⋅2πω′ rad0= ω = ω′=60 sα′ = 0t′ = 10,5st′ = 20s1 2θ ′ = θ ′0+ ω′0∆t′+ α ′∆t′2⇒ θ ′ = 182rad⇒29,0tours#10) Trotteuse d’une horloge :R = 0,08mT = 60s2π3a) rad−ω = = 105×10Tsradsb)v = ω R = 8, 38mms#12) Calcul différentiel :2 4θ = 2t− 5t+ 2trad( )dθ3= ( 2 −10t+ 8t)ω =dtdωα = =dtrads2( −10+ 24t) rad2sa) α ( 1 ) 14, 0 radt = s=2sb) l’accélération angulaire moyenne :ω = 0ωα( t=1s)( t=2s)moyenne= 46 rads46 rad∆ω= =s∆t1s= 46,0 rads28

c) La vitesse angulaire moyenne :θ = −1radd)e)θω( t=1s)( t=2s)moyenne#13) Roue :r = 0,2mθ = 00= 16 radθ = 90⋅2πrad∆θ17 rad= =∆t1s120⋅2πω rad0= = 4πrad60 s sω = ?α = ?t = 60s12= 17,0 rads2a) θ = θ + ω t + α t ⇒ α = −0,20 0105radsb) Du début jusqu’à la fin :2 2ω = ω + 2α∆θ20 = ω + 2α∆θ⇒00∆θ= 752radNombre de tours supplémentaires à 90 :752rad − 90⋅ 2πrad = 186 rad ⇒ 29,7tours( )Distance supplémentaire :d = 29,7tours ⋅ 2πr = 37,3m9

#16) Pneu d’automobileR = 0,25mx0= 0x = ?v0= 0 v = 30misa = ?θ = 00θ = ?ω = 00ω = ?aα =Rt = 10s v = v0 x = x0+ a t1+2a = 3ms( v + v) t ⇒ x = 150mi0⇒2i ′ m :s aat= α R = R = a = 3R v′vt= ω R = R = v′= 2R2 vta 16 mc= = 2R sa) À v = 2 i a = a + aca = a + aa2 2t c= 16,3 mst2msms2b) Au sommet de la roue :aat= 2αR = 2 R = 2a= 6Rv′vt= 2ωR = 2 R = 2v′= 4R2 vta 32 mc= =22Rsmsms210

a = aa =ac+ aa2t+ a2c= 32,6 mst2#22) Configuration de charges ponctuelles :Massem 1kgPosition3 m,1m= 1 ( )= 2 ( − 2m,2m)= 3 ( 1m,− 1m)= 4 ( 2m,−1m)m 2kgm 4kgm 4kg− Masses ponctuelles2,52m 21,5m 11y[m]0,50-3 -2 -1 0 1 2 3 4-0,5m 3-1m 4-1,5x[m]4222222a) Ix= ∑ miri= m1y1+ m2y2+ m3y3+ m4y4= 16,0kg mi=14222222b) I m r = m x + m x + m x + m x 36,0kg m= ∑y i i 1 1 2 2 3 3 4 4=i=12c) I = I + I 52,0kg mz x y=11

#24) Tous les éléments de masse à une même distance R de l’axe de rotation :MaxeRI =∫dm r2Ici r = R = const pour tous les dm2 22I = ∫ dm r = R ∫ dm = M Rdm#25) Deux masses ponctuelles :m = 2kgm12= 5kgL = 2mm1Lm2a) Axe perpendiculaire en L/2 :2I = ∑ mi=1222 ⎛ L ⎞ ⎛ L ⎞iri= m1⎜ ⎟ + m2⎜ ⎟ =⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠7,00 kg mb) Le centre de masse (chapitre 10 du manuel) :m2r(1) m1r1= m2r2⇒ r1=m(2)r + r(1) dans (2) :(2)Donc,I1m2rm122= L+ r2=72r2= 2m2222CM= ∑ miri= m1r1+ m2r2=i=1⇒5,71kgm21r2224= m710r1= m712

#27) Moments d’inertie :a) Voir #24:Maxeaλ =ML=M2πa⇒M= 2πa λdmI =∫dm r2Ici r = a = const pour tous les dm2 22I = ∫ dm r = a ∫ dm = M a = 2πλ ab) On découpe en 4 tiges :3axe2aM M dmλ = = = ⇒ dm = λ dxL 4 x dx( 2 a)Ici, il s’agit de calculer le moment d’inertie d’un seul côté du rectangle et demultiplier par 4 pour obtenir le moment total :axearxdxdm2a13

I =I =∫a∫−adm rλ dxa∫0022I = 2λdxa∫I = 2λx2 2( x + a )2 2( x + a )dx3x a2 aI = 2λ|0+ 2λa x |033a3 8 3I = 2λ+ 2λa = λ a3 3Pour l'ensemble du carrée :32I ′ = 4I= λ a3+ 2λa3a∫02avec :et :dxr2= x2+ a2dm = λ dxc) Pour un triangle, nous calculerons le moment d’inertie pour un côté qu’onmultipliera par 3 :2aaxeUn côté :c30ºaaxebxrdxdmbtan 30°=ab = a tan 30°2a14

I =I =∫a∫−adm rλ dxa∫00I ′ = 3I= 4,00λa22I = 2λdxa∫I = 2λx2 22( x + a ( tan 30°) )2 22( x + a ( tan 30°) )dx+ 2λa302avec :( tan 30°)3x a22 aI = 2λ|0+ 2λa ( tan 30°) x |033a32 4I = 2λ+ 2λa ( tan 30°) = λ a33Pour l'ensemble du triangle :a∫232et : dm = λ dxdxr= x2+ b2= x2+ a2( tan 30°)2#29) Figure 11.48• Une sphère pleine tournant autour de son centre de masse :2 2I CM= m R5• Si la sphère tourne autour d’un autre axe :2I = I + m havec : h = R +I = ICMCM+ m h2325R = R22 2= m R525+ m R42133= m R20• Une tige tournant autour de son centre de masse12 3 2I CM= m( 3R) = m R12 4• Moment d’inertie total133 3 281Itotal = Isphères + Itige= 2⋅ m R + m R = m R = 14,1m R20 4 2022 2 2 215

#31) Cylindre creux = 2 disques plein + 1 tube creux• Disque plein :σdmσ M M dm dm= = = = ⇒ dm = π σ r drS π R dS 2πrdr22axedrrRI =I =∫R∫0dm rI ′ = 2I= π σ R04r RI = 2π σ |044RI = 2π σ4Pour les 2 disques :22π σ rR∫I = 2π σ r33drdr4• Tube creux :yσRσ M M dm dm= = = = ⇒ dm = π σ R dyS 2πR h dS 2πR dy2dmdy16

I =∫r = const pour tous les dm = RI = RI = Rdm r2∫h2∫02dmI = 2π σ RI = 2π σ R2πσR dy33y |hh0• Moment d’inertie total :43I = I + I = πσ R + 2πσh R = πσ R( R + h)3total disques tube2#33) Tige (1D) avec M et L. L’axe est perpendiculaire à la tige, passant au quart decelle-ci:axexdmdxM dmλ = = ⇒ dm = λ dxL dxxa) Avec l’intégrale :I =I =∫3L4∫−L4I = λdm rλ x3L42∫x−L422=dxdxdm x3x 3L4I = λ |−L3 433λ ⎪⎧⎛ 3L⎞ ⎛ − L ⎞ ⎪⎫I = ⎨⎜⎟ − ⎜ ⎟ ⎬3 ⎪⎩ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎪⎭λ 28 3 7 M 3I = L = L =3 64 48 L∫2748M L217

) Avec l’équation faisant le lien avec le centre de masse :2I = I + M hLavec : h =41et : ICM= M L12I = ICMCM+ M h2=2112M L2+ M⎛⎜⎝L ⎞⎟4 ⎠2=748M L2#40) Terre :1K = I ω2avec : I = 0,33M R = 8,03×10 kg met :2π−5ω = = 7, 27×10 radTs⇒29K = 2,12×10 J2 2 37 2#41) Sphère et disque pleins avec les mêmes M et R:• Sphère :• Disque :2I sphère= M R51I disque= M R222a) Les mêmes énergies cinétiques:• Sphère :E = EKKK010101011+ U01g+ 0 = 0 + U= Mg h• Disque :E = EKKK02020202+ U202g= K1+ 0 = 0 + U= Mg h21= K1g2+ U2g(1)(2)1g+ U2g18

(1)(2)=KK0102=Mg hMg h12= 1siK01= K02⇒hh12= 1( même hauteur)b) Les mêmes vitesses linéaires, donc angulaires aussi:• Sphère :K = Mg h1201Mv2+12• Disque :K = Mg h1202Mv2+1212I ω122I ω2(1)= Mg h(1)1= Mg h2• Les 2 ont les mêmes v et Sphère :1Mv21212710v2 Disque :1Mv221 2+ I1ω2= g h1ω =vR= Mg h12(1)2 1 ⎛ 2 2 ⎞⎛v ⎞Mv + ⎜ M R ⎟⎜⎟ = Mg h12 ⎝ 5 ⎠⎝R ⎠2⎛ 2 ⎞Mv ⎜1+ ⎟ = Mg h1⎝ 5 ⎠21 2+ I2ω= Mg h222(3)(2)1 2 1 ⎛ 1 2 ⎞⎛v ⎞Mv + ⎜ M R ⎟⎜⎟ = Mg h22 2 ⎝ 2 ⎠⎝R ⎠1 2 ⎛ 1 ⎞Mv ⎜1+ ⎟ = Mg h22 ⎝ 2 ⎠3 2v = g h2(4)419

• Rapport des équations :7 2v(3) g h1= =10(4) g h 32 2v4⇒hh12=1415#44) Pendule d’une horlogetige :m = 1,2kgL = 0,6mdisque :M = 0,4kgR = 0,05mLaxeθ max= 30°RMa) Tige + disque :• Tige avec l’axe à son extrémité :1 2I tige= M L3• Disque plein avec l’axe à R + L du centre de masse :2I = I + M havec :h = R + LICMI = ICM=CM12M R2+ M h2=12M R2+ M1222 22( L + R) = M R + M L + 2MLR+ M R• Moment d’inertie total :1 1Itotal = Idisque + Itige= M R + M L + 2MLR + M R + M L = 0,314 kg m2 32 2 2 2 220

) Chaque point des objets ne monte à la même hauteur. En considérantuniquement la hauteur à laquelle montent les centres de masse des objets, laconservation de l’énergie s’applique facilement :( à θmax)0 + Mg hMg hdisquedisqueK0+ mg h+ mg h+ UtigeE00gtige=12= E= K + U=I12totalItotal2ωg2ω + 0( à θ = 0°)(1)Trouvons les hauteurs des centres de masse de la tige et du disque :axeh tigeLCM tigeθ maxL h = ( L + R) − ( L + R) cos 30°= ( L + R)( 1−cos 30°)hdisquetigeL=2( 1−cos 30°)H disqueRCM disqueRDans l’équation (1) :Mg hMggdisque1 2+ mg htige= Itotalω2L2( L + R)( 1−cos30°) + mg ( 1−cos30°)⎧L ⎫2 ⎭12⎛ v ⎞⎝ L + 2R⎠car le point( 1−cos30°) + ⎨M( L + R) + m ⎬ = Iv mtotal ⎜ ⎟ ⇒ = 1,59s⎩(1)=12Itotal22⎛ v ⎞⎜ ⎟⎝ L + 2R⎠lepluséloignéestL + 2R21

#46) Moments de force : Lτ1 = r1 × F1 = + r1 F1 sinθ1= ⋅10N ⋅ sin 60° = 34,6 N m2 Lτ2= r2 × F2 = − r2 F2 sinθ2= − ⋅15N ⋅ sin 45° = −21, 2 N m4 Lτ3= r3 × F3 = + r3 F3 sinθ3= ⋅8N ⋅ sin 90° = 32,0 N m2#48) Pédale :F = 120NR = 0,2m a) τ = r × F = + R F sin 90°= 24, 0 N mb) τ = r × F = + R F sin ( 90° + 30°) = 20, 8 N mc) τ = r × F = + R F sin ( 90° + 45°) = 17, 0 N md) τ = r × F = + R F sin ( 90° + 60°) = 12, 0 N m#49) Roue :I = 0,03kgmθ = 00θ = ?ω = 002ω = 20 radsα = ?t = 5sLe problème doit être divisé en 2 étapes :• Roue est accélérée :ω = ω + α t0⇒ α = 4 rad2s⇒ τ ( ) = + Iα= 0, 12 N mF + f22

• Roue ralentit:θ ′ = ?0θ ′ = ?ω′20 rad0= ω =sω′= 0α ′ = ?t′= 60sa) Moment de force du frottement :ω′= ω′+ α ′ t′01⇒ α ′ = − rad23 s⇒ τ = + Iα′ = − 0, 0100 N mf 130Fb) τ τ ( ) −τ = 0 ,12 N m + 0,01N m = 0, N m=F + ff#50) Roue :2I = 10 kg m a) τ = I α ⇒ α = 4,00 rad2τ = 40 N msb) Nombre de tours :i. Roue accélérée :θ = 00θ = ?ω = 00ω = ?α = 4 radst = 5s21θ = θ0+ ω0t + α t2etω = ω t 20 rad0+ α =s2= 50 radii. Roue à vitesse angulaire constante :θ ′ = θ = 50 rad0θ ′ = ?ω′20 rad0= ω′= ω =sα ′ = 0t′= 5s1 2θ ′ = θ ′0+ ω′0t′+ α ′ t′2⇒ 23,9 tours= 150rad23

#51) Meule :I = 0,2 kg mr = 0,1mF = 50Nµ = 0,6cθ = 00θ = ?200⋅2πωrad0=60 sω = ?α = ?t = ?2r+P f cN F ∑ 0a) τ = τ P 0+ τ F+ τ = − r fc sin 90° = − r µcN = − r µcF = −3N mf céquation 11.27 (ce n’est pas de la matière à l’examen) :P = τ ω 0= 62, 8Wradsb) τ = −3N m = Iα⇒ α = −152ω = ω + αt000= ω + αt⇒t = 1,40 s#54) Poulie sans frottement :masse :m = 2kgv = 00poulie :M = 4kgR = 0,15m1I = M R2ω = 002= 0,045kg m2RM+P T MT mP my24

a) L’accélération linéaire du bloc :• Translation : ∑ F m= ( T − mg)j = −maj(1) T = m g − a( )• Rotation : τm= τ + τ ∑= 0 + RT sin 90°= IαP T(2) RT = Iαa• L’équation (1) dans (2), avec α = :R(2) RT = IαaR m( g − a)= IR⎛ I ⎞R m g = a⎜+ R m⎟⎝ R ⎠⇒a = −4,90ms2jb) T = ± m( g − a) j = ± 9,80Njc)2 2 v = v0 + 2a ∆y ⇒ v = −1,98 m ijs#59) Cylindre plein :cylindre : M , R etω0 =0plan à θhf sN a +P yθx25

a) Accélération du centre de masse :• Translation: (1) ∑ Fx= ( Mg sinθ− fs) i = Ma(2) F = N − Mg cosθj =∑∑y( ) 0• Rotation : 0 0 τ = τ P+ τ N+ τ = R fssin 90° = Iα(3)R fs= Iαa• L’équation (1) dans (3), avec α = :R(3) R f = IαR f(4)s= Rsfs( Mg sinθ− Ma)⎛a ⎜⎝IR+ R M⎞⎟ =⎠= IaRR Mg sinθ• Moment d’inertie d’un cylindre plein :yRdmdydm est un disque plein (3D) avec une épaisseur dy.Un disque infiniment mince produit un moment d’inertie dI :1 2 ⎛1 2 ⎞dIdisque= dm R ⎜carIdisque= M R ⎟2 ⎝2 ⎠1 2 1 2Icylindre= ∫ dIdisque= R dm = M R2∫226

• Dans l’équation (4) :⎛ 1 ⎞(4) a ⎜ R M + R M ⎟ = R Mg sinθ⎝ 2 ⎠3 2 a = g sinθ⇒ a = g sinθi23b) De l’équation (3) :aR fs= Iα= I ⇒Retfs= µ N = µ Mg cosθs(5) = (6) :1Mg sinθ= µsMg cosθ3sfsI a= =2R(6)⇒12MRR222 1g sinθ= Mg sinθ3 31µs= tanθ3(5)#60) Une tige :M = 0,04kgL = 1mI = ICMθ = 20°+ M11222( 0,15m) = M L + M ( 0,15m)2= 0,00423kg m2+CMaxe 20 °r P = Mg∑ τ = τ = r × P = r Mg sin=P( 90° − 20°) = Iα⇒ α 13,1 rad2s27

Problèmes :#1) Disque troué :disque trouée :MRRint erneexterne= A= BσdmAdrσ M M dm dm= = = =2S π R dS 2πrdr⇒ dm = 2 π σ r drrBIIB2= ∫ dm r = 2πσ∫A=12r34rdr = 2πσ4πσ=24 4( B − A )M( ) ( 2 2)( 2 2) 1( 2 2B − A B + A = M B + A )2 2B − A2|BA1= π2 πM( ) ( 4 4B − A )2 2B − A#8) Calcul différentiel :2α( t) = ( 12t− 3t) rad2s2 3ω( t) = ( t) dt ( t t K ) rad∫α= 6 − +sω( t = 1s) = ( 6 −1+K ) rad = 10rads s⇒ω2 3( t) = ( 6t− t + 5 ) rads⇒K= 5rads28

ωθω2 3( t) = ( 6t− t + 5 )( t) = ω( t)⇒∫rads4⎛3 t ⎞dt =⎜2t− + 5t+ K⎟ rad⎝ 4 ⎠rad = 5rads⎛4t ⎞⎜⎝ 4 ⎟⎠( t = 2s) = ( 16 − 4 + 10 + K )θ3( t) = ⎜2t− + 5t−17⎟ rad⇒K= −17radb)#11) Moment d’inertie du corps tournant autour d’un axe perpendiculaire au sol etpassant par le centre de masse.2 22• Tête = sphère pleine : I tête= M R = 0,0128 kg m570cm• Bras = tige avec l’axe à : h = +a = 0, 5mdu centre de masse2 22 1 222I = ICM+ Mh = ML + M ( 0,5m)= 1,31 kg m12pour les 2 brasIbras= 2I= 2,62 kg m22R6• Jambe = cylindre plein à : h = +cm = 0, 09mdu centre de masse2 22 1 222I = ICM+ Mh = MR + M ( 0,09m)= 0,119 kg m12pour les 2 jambesIjambes= 2I= 0,238kg m21I torse= M a + b = 0,3kg m122 22• Torse = plaque rectangulaire : ( )• I total= 3,17kg m229

#16) Pédalier :L = 16cmR1= 10cmR = 4cmR23= 35cma) Nombre de tours :ω R = ω R112πRT122n 2π= RTb) τ = + L F sin 90°16, 0 N m1=2⇒n = 2,50 toursc) τ = + R T sin 90°= 16,0 N m ⇒ T 160N1 1=d) τ = + R T sin 90°6, 40 N m2 2=e) P = τ ω 201W1 1 1=f) Vitesse de la bicyclette :ω R = ω R1 1 2 22 ⋅ 2πR1 = ω2R2 ⇒ ω2= 3,14 rad1ss⇒ v = ω2 R3= 11,0 msg)30