Primitives d'une fonction continue sur un intervalle - CAPES de Maths

LEÇON N˚ 76 :Primitives d’une fonction continue sur unintervalle ; définition et propriétés del’intégrale, inégalité de la moyenne.Applications.Pré-requis :– Si f est une fonction numérique dérivable sur ]a,b[ telle que f ′ = 0 (resp. 0), alors f est constante(resp. croissante) ;– Si f ∈ C 0( [a,b] ) , alors f ( [a,b] ) est un intervalle fermé borné.Approche intuitiveSoit f une fonction continue et positive sur I = [a,b] (avec a < b)et C sa courbe représentative dans un repère othonormal. Pour x 0 ∈[a,b], on note A (x) l’aire qui est délimitée par l’axe des abscisses, Cet les droites d’équations x = a et x = x 0 .Pour tout x 0 ∈ I,h f(x 0 ) A (x 0 + h) − A (x 0 ) h ( g(x 0 ) + ε )f(x 0 ) + hf(x 0 )CA (x 0 + h)−A (x 0 )⇔ f(x 0 ) 1 h(A (x0 + h) − A (x 0 ) ) f(x 0 ) + εh→0(⇒ε→0)⇒ A ′ (x 0 ) = f(x 0 ).O x 0 x0 + hDonc A ′ = f sur l’intervalle I.76.1 Primitives d’une fonction continueDéfinition 1 : Soit f : I ⊂ R −→ R. On dit qu’une fonction F : I −→ R est une primitive de f surI si F est dérivable et F ′ = f.Théorème 1 : Soit f : I −→ R continue. Alors f admet au moins une primitive sur I.Remarque 1 : Ce théorème est admis.

2Primitives d’une fonction, intégrale, inégalité de la moyenneThéorème 2 : Soit f : I −→ R continue admettant pour primitive F . Alors {x ↦→ F(x)+c, c ∈ R}est l’ensemble des primitives de f sur I. De plus, si x 0 ∈ I et y 0 ∈ R, alors il existe une uniqueprimitive G de f sur I telle que G(x 0 ) = y 0 .démonstration : F est dérivable sur I, donc pour tout c ∈ R, x ↦→ F(x) + c l’est aussi sur I. Posonsalors ˜F c (x) = F(x)+c. Alors ˜F c(c)+F ′ ′ (x) = f(x), donc ˜F c est une primitive de f sur I. De plus, si ˜F cet ˜F c ′ sont deux primitives telles que ˜F c (x 0 ) = ˜F c ′(x 0 ) = y 0 , alors en particulier, F(x)+c = F(x)+c ′ ,d’où c = c ′ .Corollaire 1 : Soit f : I −→ R continue admettant pour primitive F . Pour toute primitive G de fsur I contenant a et b, F(a) − F(b) = G(a) − G(b).démonstration : Il existe une contante c ∈ R telle que pour tout réel x ∈ I, on a G(x) + F(x) + c,donc G(a) − G(b) = F(a) + c − ( F(b) + c ) = F(a) − F(b).76.2 Recherche d’une primitive76.2.1 Tableau inverse de dérivéesI(n∈N)⊂ R(n2)⊂ R ⊂ R ∗ + ⊂ R ⊂ R ⊂ R\{ π [π]} 2f(x) x n x −n 1/ √ x cosx sin x 1 + tan 2 x = cos −2 xF(x)x n+1n + 1x 1−n1 − n2 √ x sin x − cos x tan x76.2.2 Propriétés usuellesSoient u et v admettant pour primitives U et V sur I. Alors :⋄ ∀ α,β ∈ R, αu + βv admet pour primitive αU + βV ;⋄ ∀ a ≠ 0, x ↦→ u(ax + b) admet pour primitive 1 U(ax + b) ;a⋄ ∀ n ∈ N, u · U n admet pour primitive Un+1n + 1 .Si v admet pour primitive V sur J ⊂ R tel que U(I) ⊂ J, alors V ◦ U est une primitive de u · (v ◦ U) sur I.

76.3 Définition et propriétés de l’intégralePrimitives d’une fonction, intégrale, inégalité de la moyenneDéfinition 2 : Soient f : I −→ R continue et a, b ∈ I (a b). On appelle intégrale de a à b de f lenombre F(b) − F(a), noté ∫ bf(t) dt ou [ F(t) ] b, où F est une primitive de f sur I.aa3Remarques 2 :– Cette définition ne dépend pas de la primitive choisie (corollaire 1).– On a en particulier ∫ aa f(t)dt = F(a) − F(a) = 0 et ∫ ba f(t)dt = − ∫ ab f(t)dt.Théorème 3 : Soit f : I −→ R continue. La fonction F définie sur I par F(x) = ∫ xf(t) dt (a ∈ I)aest LA primitive de f sur I s’annulant en a.démonstration : f admet une primitive G. Alors ∫ xa f(t)dt = F(x) = G(x) − G(a). Donc F ′ (x) =G ′ (x) = f(x) pour tout x ∈ I, d’où F est bien une primitive de f. Or F(a) = F(a) − G(a) = 0, doncd’après le théorème 2, F est l’unique primitive de f s’annulant en a.Exemple : Soit f : R ∗ + −→ R la fonction définie par f(x) = 1 x . AlorsF(x) =∫ xf(t) dt =∫ x11dtt= ln(x).Proposition 1 : soient f, g : I −→ R continues. Alors :(i) Pour tous a, b, c ∈ I, on a ∫ cf(t) dt = ∫ bf(t) dt + ∫ cf(t) dt (relation de Chasles) ;a a b(ii) Pour tous a, b ∈ I et pour tous α, β ∈ R, on a ∫ bαf(t) + βg(t) dt = α ∫ bf(t) dt +a aβ ∫ bg(t) dt.adémonstration :(i) Puisque f est continue sur I, elle admet une primitve F sur I. Il vient que∫ baf(t)dt +∫ cbf(t)dt = F(b) − F(a) + F(c) − F(b) = F(c) − F(a) =∫ caf(t)dt.(ii) Si F et G désignent des primitives de f et g sur I, alors les propriétés du paragraphe 2.2 nousassurent que αF + βG est une primitive de αf + βg. Donc∫ baαf(t) + βg(t)dt = αF(b) + βG(b) − αF(a) − βG(a)= α ( F(b) − F(a) ) − β ( G(b) − G(a) )= α∫ baf(t)dt + β∫ bag(t)dt,d’où le résultat demandé.

4Primitives d’une fonction, intégrale, inégalité de la moyenneProposition∫2 : Soit f : I −→ R continue et positive. Alors pour tous a, b ∈ I tels que a b, on abf(t) dt 0.adémonstration : Soit F une primitive de f sur I. Alors F ′ = f 0, donc F est croissante. Par suite,F(b) F(a) ⇔ F(b) − F(a) 0 ⇔∫ baf(t)dt 0.Proposition 2’ : Soit f : I −→ R continue et positive telle qu’il existe x 0 ∈ I tel que f(x 0 ) ≠ 0.Alors pour tous a, b ∈ I vérifiant a b, on a ∫ bf(t) dt > 0.adémonstration : f est continue signifie qu’il existe [c, d] ⊂ [a, b](c < d) tel que pour tout x ∈ ,¸d],f(x) > f(x 0 )/2. Alors∫ ba∫ cf(t)dt = f(t)dt +a} {{ } 0∫ dc∫ bf(t)dt+ f(t)dt d} {{ } 0∫ dcf(t)dt > 1 2∫ dcf(x 0 )dt = f(x 0)(d−c) > 0.2Corollaire 2 : Soient f, g : I −→ R continues telles que f g sur I. Alors pour tous a, b ∈ Ivérifiant a b, on a ∫ bf(t) dt a ∈b ag(t) dt.démonstration : On a par hypothèse g − f 0 sur I, doncd’où le résultat.∫ bag(t) − f(t)dt prop =1∫ bag(t)dt −∫ baf(t)dt 0,Corollaire 3 : Soit f : I −→ R continue. Pour tous a, b ∈ I, on a | ∫ bf(t) dt| ∫ b|f(t)| dt.a adémonstration : Rappelons que pour tous x, y ∈ R, ∣ ∣|x| − |y| ∣ |x + y| |x| + |y| (il s’agit del’inégalité triangulaire). Sur I, posons f + = sup(f,0) et f − = sup(−f,0), de sorte que f = f + − f −et |f| = f + + f − . D’après la proposition 2, f + , f − 0 ⇒ ∫ ba f+ , ∫ ba f − 0, donc∫ b∫ b∣ ∣∣∣ ∣ f∣ =∣ f + − f − ∫ b ∣ ∣ ∫ b ∣∣ =∣∣f + ∣∣ ∣∣ − f − ∣∣ ∣∣∣∣a∫ baf∣ a∫ b∣a∫ ba∣ ∣∣∣f + +∣|f|.∫ baf − ∣ ∣∣∣=a∫ baf + +a∫ baf − prop =1∫ baf + + f −

Primitives d’une fonction, intégrale, inégalité de la moyenne5Exercice :– Montrer que pour tous x,y ∈ R, | sin x − sin y| |x − y|.– Soient a,b ∈ I tels que a < b, etn : C 0 ([a,b]) −→f ↦−→R∫ ba|f(t)| dtetϕ : ( C 0 ([a,b]) ) 2−→(f,g) ↦−→Montrer que n est une norme sur C 0 ([a,b]) et que ϕ est un produit scalaire.R∫ baf(t)g(t) dt.Solution :– Soient x, y ∈ R. On peut supposer, quitte à échanger leurs rôles, que x y. Pour tout t ∈ R, on a :∫ y ∫ y ∫ y−1 cos t 1 coro ⇔2 −1dt cos(t) dt 1dt ⇔ [−t] y x [sin(t)] y x [t] y x ⇔ | sin x − sin y| |x − y|.xxx– Rappelons tout d’abord qu’une norme sur un R-espace vectoriel E est une application N à valeurs positives et satisfaisant lescritères de séparation, d’homogénéité et d’inégalité triangulaire. n est déjà une application à valeurs positives. Vérifions alorsles autres points :Séparation : Soit f ∈ C 0 ([a, b]) tel que n(f) = 0. Montrons alors par l’absurde que f = 0. Supposons donc que f ≠ 0.Il existe alors x 0 ∈ [a, b] tel que f(x 0 ) ≠ 0, et la proposition 2’ nous assure alors que ∫ ba f(t)dt > 0. En appliquantensuite le corollaire 3, on obtient l’inégalité suivante :∫ b∫ b∫ b0 < f(t)dt =∣ f(t)dt∣ |f(t)|dt.aaaCeci implique alors que n(f) > 0, ce qui contredit l’hypothèse de départ. On obtient donc bien l’implication n(f) = 0 ⇒f = 0.Homogénéité : Soient λ ∈ R et f ∈ C 0 ([a, b]). Alors∫ b ∫ b∫ bn(λf) = |λf(t)|dt = |λ| · |f(t)|dt = |λ| |f(t)dt = |λ|n(f).aaaInégalité triangulaire : Soient enfin f, g ∈ C 0 ([a, b)]. Alors∫ bn(f + g) = |f(t) + g(t)| dt coro 2 ∫ b∫ b ∫ b |f(t)| + |g(t)|dt = |f(t)| dt + |g(t)| dt = n(f) + n(g).aaaaRappelons ensuite qu’une application est un produit scalaire si elle est bilinéaire, symétrique, positive et séparée. Vérifionsces quatre points pour l’application ϕ :Positivité : Soit f ∈ C 0 ([a, b]). Montrons que ϕ(f, f) 0 : ϕ(f, f) = ∫ ba f(t)2 dt prop 20.Séparation : Soit f ∈ C 0 ([a, b]). Montrons par l’absurde que ϕ(f, f) = 0 ⇒ f = 0. Supposons que f ≠ 0, c’est-à-dire qu’ilexiste x 0 ∈ [a, b] tel que f(x 0 ) ≠ 0. Alors f(x 0 ) 2 ≠ 0, et la proposition 2’ nous assure que ∫ ba f(t)2 dt > 0, ou encoreϕ(f, f) > 0, ce qui contredit l’hypothèse de départ. Par conséquent, il vient que f = 0.Bilinéarité : Cette propriété ne sera vérifiée que pour f, les rôles de f et g étant symétriques dans ϕ. Supposons g constante.Alors pour tous f 1 , f 2 ∈ C 0 ([a, b]) et λ ∈ R, on a∫ b (ϕ(f 1 + f 2 , g) = f1 (t) + f 2 (t) ) ∫ b∫ b∫ bg(t)dt = f 1 (t)g(t) + f 2 (t)g(t)dt = f 1 (t)g(t)dt + f 2 (t)g(t)dtaaaa= ϕ(f 1 , g) + ϕ(f 2 , g),∫ b (et ϕ(λf 1 , g) = λf1 (t) ) ∫ bg(t)dt = λ f 1 (t)g(t)dt = λϕ(f 1 , g).aaSymétrie : La symétrie est assurée par la commutativité du produit dans R : f(t)g(t) = g(t)f(t). ♦Théorème 4 (inégalité de la moyenne) : Soient f : I −→ R continue et a, b ∈ I vérifiant a < b. S’ilexiste deux réels m et M tels que m f M sur I, alors m(b − a) ∫ bf(t) dt M(b − a).adémonstration : Pour tout x ∈ I,f(x) − m 0 prop ⇒2∫ baf(t) − mdt 0 ⇔∫ bamdt On montre de la même manière que ∫ baf(t)dt M(b − a).∫ baf(t)dt ⇔ m(b − a) ∫ baf(t)dt.

6Primitives d’une fonction, intégrale, inégalité de la moyenne76.4 ApplicationsExercice : Calculer l’aire entre une parabole (x ↦→ x 2 ) et une sécante entre les deux points d’intersection.Solution : Soit p : x ↦→ x 2 et d : y = ax + b (a, b ∈ R) une droite qui coupe la parabole p en deux points distincts, d’abscissesX < Y . Alors d’après ce qui a été vu en introduction de cette leçon, l’aire recherchée est égale à la différence entre l’aire sousla parabole et l’aire sous la droite. p et d sont deux applications continues, elles admettent donc des primitives P et D sur I.Puisque « A ′ = f », on a alors « A = F », où F désigne une primitive de f. L’aire recherché est finalement égale à :∫ YX∫ Yp(t)dt − d(t) dt =X[ t 3 ] Y3 X[ at 2 ] Y−2 + bt = Y 3 − X 3− a Y 2 − X 2− b(Y − X).X 3 2Dans la pratique,– Si l’on connaît l’équation de d, un système nous permet de trouver les coordonnées (surtout les abscisses) des points d’intersection.– Si l’on connaît les abscisses des points d’intersection, on connaît aussi grâce à p leurs ordonnées, et un système nous permetde déterminer l’équation de la droite d.Dans les deux cas, l’équation d et les abscisses X et Y nécessaires sont déterminables.♦Définition 3 : Soient (0,⃗ı,⃗j,⃗k) un repère orthonormé des l’espace, a, b ∈ R vérifiant a < b et Sun solide limité par les plans d’équations z = a et z = b. Alors le volume de S est donné par laformuleV (S ) =∫ baS(z) dz,où S représente l’aire de la section de S par le plan de cote z.Exemples : Cette formule permet le calcul de volumes de cônes, de cylindres, de boules, . . .En physique. . .⋄ Le travail d’une force ⃗ F(x) appliquée à un point matériel se déplaçant le long d’un segment [AB], avecA et B d’abscisses respectives a et b estW =∫ boù⃗ı est unitaire, colinéaire à −→ AB et de même sens.a⃗F(t) ·⃗ı dt,⋄ Définition 4 : La valeur efficace sur [a,b] de la fonction continue f est√1µ e =b − a∫ baf 2 (t) dt.⋄ Exercice : Montrer que l’expression de l’intensité efficace d’un courant alternatif sinusoïdal estI e = I√ 22 .