Diverses méthodes de calcul approché d ... - CAPES de Maths

4Calcul approché d’intégrales définies78.3 Autres méthodes78.3.1 Méthodes de Newton-CotesPrincipe : Soient n,l ∈ N ∗ et i ∈ {0,...,n − 1}. On approche f sur chaque [a i ,a i+1 ] par le polynôme dedegré au plus l qui coïncide avec f aux (l+1) points équidistants (a i et a i+1 en sont les premier et dernier),notés L 0 ,...,L l : c’est la méthode d’ordre l. On note I i (f) = ∫ a i+1a if(x) dx.l = 1 : Méthode des trapèzes.l = 2 : Méthode de Simpson.l = 4 : Méthode de Boole-Villarceau. Dans ce cas, I i (f) est approchée par h ∑ 4k=0 λ kf(L k ), oùλ 0 = λ 4 = 7 90; λ 1 = λ 3 = 1645et λ 2 = 2 15 .l = 6 : Méthode de Weddle-Hardy. Dans ce cas, I i (f) est approchée par h ∑ 6k=0 λ kf(L k ), oùλ 0 = λ 6 = 41840; λ 1 = λ 5 = 9 35; λ 2 = λ 4 = 9280et λ 3 = 34105 .Remarques 3 :1. Pour l 8, certains coefficients λ i sont négatifs, ce qui les rend plus sensibles aux erreurs d’arrondis ;2. On peut montrer que si l est pair, alors la formule donnée est encore vraie pour les polynômes de degré au plusl + 1 ;3. Il suffit ensuite de faire ∑ n−1i=0 I i(f) pour obtenir une approximation de I(f) ;4. Dans tout ce qui précède, on a appliqué la méthode d’ordre l à chaque subdivision de l’intervalle [a, b], ce quireprésente énormément de calculs. On aurait pu simplement appliquer la méthode d’ordre l à tout l’intervalle[a, b], mais on se rend vite compte qu’il y a des problèmes sur les bords (voir annexe F). Une alternative seraitd’approcher f par son polynôme d’interpolation en des points mieux choisis. . .78.3.2 Méthode de Gaussω étant une fonction donnée, on cherche encore à approcher l’intégrale∫ b ∫ b( ) f(x)I(f) = f(x) dx = ω(x) dxω(x)apar une expression du type ∑ i λ i f(x i ). S’il y a n + 1 points à définir, on choisit les racines (x i ) 0indu(n + 1)-ième polynôme orthogonal associé au poids ω, pour le produit scalaire défini par〈ϕ,ψ〉 =∫ baaϕ(x)ψ(x)ω(x) dx,de sorte que l’intervalle [a,b] soit divisé en n parties non forcément de taille égale.Si ]a,b[ = ] − 1, 1[, alors on choisit souvent :(i) ω(x) = 1, ce qui donne les polynômes de Legendre ;1(ii) ω(x) = √ , ce qui donne les polynômes de Tchebychev.1 − x2

5Calcul approché d’intégrales définies78.3.3 Exemple (n = 10) : annexe FSoientf : ] − 1, 1[ −→ Rx ↦−→cos(x)10x 2 + 1 ,etω : ] − 1, 1[ −→ Rx ↦−→ 1 √1 − x2 .Soient P 1 (resp. P 2 ) le polynôme d’interpolation de f aux points équidistants (resp. de Tchebychev) et P lafonction obtenue en appliquant la méthode des trapèzes à f sur chacun des 10 sous-intervalles. On trouvealors les résultats suivants :∫ 1−1P 1 (x) dx ≈ 0.78611 ;∫ 1−1P 2 (x) dx ≈ 0.65067et∫ 1−1P(x) dx ≈ 0.64733.Enfin, un logiciel de calcul formel tel que Maple nous assure queI(f) =∫ 1−1f(x) dx ≈ 0.64788.Accélération de convergence (Richardson-Romberg) (pour la culture)Plaçons-nous sur I i := [a i ,a i+1 ]. On divise cet intervalle en 2 m parties égales de longueur h/2 m pourm ∈ N. On note pour simplifier I l,m la valeur approchée de ∫ I i f(x) dx par la méthode d’ordre l. Notonsalors que I 1,m = T 2 m. On accélère ainsi la convergence sur chaque intervalle I i en appliquant la formulesuivante :I l+1,m = 22l I l,m+1 − I l,m2 2l − 1∀l ∈ N ∗ .L’erreur commise après application de cette méthode sera de l’ordre de 1/n 2l .Par exemple, pour la méthode de Simpson (d’ordre 2), on détermine par ce biais queI i 2,m = 22 I i 1,m+1 − I i 1,m2 2 − 1= 4T 2 m+1 − T 2 m,3et on retrouve la formule énoncée en remarque (attention : dans la remarque, on parle de T 2n sur I i , ce quiveut simplement dire que tout l’intervalle [a,b] a été divisé en 2n segments égaux, c’est-à-dire que chaqueintervalle I i a été divisé en 2, il suffit alors de prendre m = 0 dans cette formule).

7Calcul approché d’intégrales définiesdémonstration (proposition 2) :– Pour tout n ∈ N ∗ ,n−1∑M n (f) =i=0∫ ai+1n−1∑m(x)dx =a ii=0∫ ai+1L’avant-dernière égalité provient du lemme suivant :n−1∑n−1∑τ i (x)dx = (a i+1 − a i )τ i (m i ) = h f(m i ).a iLemme 1 : Soit g : [α, β] ⊂ R −→ R une fonction affine. Alors on a l’égalité suivante :∫ βαi=0( ) α + βg(x)dx = (β − α)g .2i=00αα+β2βdémonstration (lemme 1) :∫ βα∫ β[ a] βg(x)dx = (ax + b)dx =α2 x + bx = aα 2 (β2 − α 2 ) + b(β − α)(= (β − α) a α + β ) ( ) α + β+ b = (β − α)g ,22d’où le résultat.– Définissons pour tout i ∈ {0, . . .,n − 1} la fonction suivante :[ψ : − h 2 , h ]−→ R2t ↦−→∫ mi +ta if(x)dx.Notons H = [−h/2, h/2] et H˚ =] − h/2, h/2[. Puisque f est de classe C 2 par hypothèse, ψ estde classe C 3 , et pour tout élément x ∈ H, ψ ′ (t) = f(m i + t), ψ ′′ (t) = f ′ (m i + t) et ψ (3) (t) =f ′′ (m i + t). On peut ainsi appliquer la formule de Mac-Laurin (i.e. Taylor-Lagrange en 0. . .), ce quinous donne :∀ t ∈ H˚, ∃ ε ∈ H˚ | ψ(t) = ψ(0) + tψ ′ (0) + t2 2 ψ′′ (0) + t3 6 ψ(3) (ε).On applique alors cette formule respectivement à h/2 et −h/2, ce qui donne :⎧ ( h⎪⎨ ψ2)⎪⎩ψ(− h 2)= ψ(0) + h 2 f(m i) + h28 f ′ (m i ) + h348 f ′′ (m i + ε),= ψ(0) − h 2 f(m i) + h28 f ′ (m i ) − h348 f ′′ (m i + ε).

8Calcul approché d’intégrales définiesPar suite, en faisant la différence, on trouve( ( hψ − ψ −2)h )= hf(m i ) + 2 h3248 f ′′ (m i + ε).( ( hOr ψ − ψ −2)h ) ∫ ai+1∫ ai∫ ai+1= f(x)dx − f(x)dx = f(x)dx, donc2 a ia i a i∫ ban−1∑f(x)dx =i=0∫ ai+1n−1∑f(x)dx =a ii=0( ( hψ − ψ −2)h ) n−1∑=2i=0hf(m i ) + h324 f ′′ (m i + ε).Il s’en suit que|I(f) − M n (f)| =n−1∑∣i=0][hf(m i ) + h324 f ′′ (m i + ε)n−1(b − a)3 ∑24 n 3supi=0 [a i ,a i+1 ]n−1∑− hi=0n−1|f ′′ (b − a)3 ∑| 24 n 3 sup |f ′′ | =i=0 [a,b]f(m i )∣ h3 n−1∑∣∣f ′′ (m i + ε) ∣24i=0(b − a)324 n 2 sup |f ′′ |.[a,b]Le théorème d’encadrement permet alors d’en déduire la convergence M n (f) −−−→n→∞ I(f). démonstration (proposition 3) :– Pour tous n ∈ N ∗ et i ∈ {0, . . .,n −1}, l’aire du trapèze formé entre les points d’abscisses a i et a i+1estf(a i ) + f(a i+1 ) b − a2 n .En faisant une somme de l’aire de tous les trapèzes, on trouve alors :T n (f) =n−1∑i=0(f(a i ) + f(a i+1 ) b − a2 n= b − an−1f(a 0 ) + f(a n ) ∑+n 2i=1)2 f(a i ).2– Pour l’instant, fixons i dans {0, . . .,n − 1}, et considérons l’intervalle I i = [a i , a i+1 ]. Définissionsalors pour tout x ∈ I i et un élément θ ∈ ]a i , a i+1 [ la fonctionde sorte que ϕ(θ) = 0.ϕ(x) = f(x) − t(x) −f(θ) − t(θ)(θ − a i )(θ − a i+1 ) (x − a i)(x − a i+1 ),On constate alors que ϕ est de classe C 2 sur I i (en tant que somme de f qui est C 2 par hypothèse,t affine et donc C ∞ , et une fonction polynôme de degré 2). Par application du théorème de Rolle,puisque ϕ(a i ) = ϕ(a i+1 ) = ϕ(θ), il vient qu’il existe deux constantes d i ∈ ]a i , θ[ et e i ∈ ]θ, a i+1 [telles que ϕ ′ (d i ) = ϕ ′ (e i ) = 0. Mais puisque d i < e i , on peut à nouveau appliquer ce théorème à ϕ ′pour en déduire que∃ c i ∈ ]d i , e i [ ⊂ ]a i , a i+1 [ | ϕ ′′ (c i ) = 0.Par calcul, on peut écrire que tout x ∈ I i vérifie l’égalitéϕ ′′ (x) = f ′′ f(θ) − t(θ)(x) − 2(θ − a i )(θ − a i+1 ) ,

9Calcul approché d’intégrales définieset combinée à ϕ ′′ (c i ) = 0, on en déduit la suite d’implications suivantes :⇒⇒⇒f(θ) − t(θ) = f ′′ (c i )2|f(θ) − t(θ)| 1 2 sup∫ ai+1a i∫ ai+1a i[a i ,a i+1 ](θ − a i )(θ − a i+1 )|f ′′ | |(θ − a i )(θ − a i+1 )||f(θ) − t(θ)| dθ 1 2 sup |f ′′ |[a i ,a i+1 ]∫ ai+1|f(θ) − t(θ)| dθ 1 2 sup |f ′′ | (a i+1 − a i ) 3[a i ,a i+1 ] 6a i(θ − a i )(a i+1 − θ)dθ= h312 sup |f ′′ |.[a i ,a i+1 ]Finalement, il ne reste qu’à sommer chacune des inégalités selon i ∈ {0, . . .,n − 1} :|I(f) − T n (f)| =∣∫ ba∫ ban−1∑i=0f(x)dx −∫ bn−1∑|f(x) − t(x)| dx =a∣∫ ∣∣∣ bt(x)dx∣ = f(x) − t(x)dx∣i=0h 3n−112 sup∑|f ′′ | [a i ,a i+1 ]i=0a∫ ai+1a i(b − a) 312 n 3 sup[a,b]|f(x) − t(x)| dx|f ′′ (b − a)3| =12 n 2 sup[a,b](b − a)3Du fait que sup |f ′′ | soit une constante réelle, le théorème d’encadrement permet de conclure12 [a,b]que T n (f) −−−→ I(f). n→∞|f ′′ |.démonstration (proposition 4) :– Lemme 2 (formule des trois niveaux) : Si ϕ est un polynôme de degré au plus à 2 défini sur unintervalle [α, β], alors∫ βαϕ(x)dx = β − α6(ϕ(α) + 4ϕ( α + β2) )+ ϕ(β) .démonstration (lemme 2) : Posons P(t) = µt 2 + νt + ω. Alors∫ βα[ ] t3 β [ ] t2 βϕ(x)dx = µ + ν + ω[t] β α = µ β3 − α 3+ ν β2 − α 23α2α3 2= β − α (2µ(β 2 + αβ + α 2 ) + 3ν(α + β) + 6ω )6= β − α6= β − α6d’où le résultat recherché.[(µα 2 + να + ω) + 4ν α + β2)+ ω(ϕ(α) + 4ϕ(µ α2 + 2αβ + β 2+4]+ (µβ 2 + νβ + ω)( α + β) )+ ϕ(β) ,2+ ω(β − α)

10Calcul approché d’intégrales définiesL’égalité est donc immédiate : on applique ce lemme sur chaque intervalle [a i , a i+1 ], puis il suffit desommer chaque égalité pour arriver à ce résultat.– Considérons l’application suivante :φ :[0, h ]2−→ Rt ↦−→∫ mi +tm i −toù A est un réel qui annule φ au point h 2 .f(x)dx − ( f(m i − t) + f(m i + t) + 4f(m i ) ) t3 + 25 t 52880 A,Par application du théorème de Rolle (après avoir vérifié que c’est possible) à φ sur l’intervalle [0, h 2 ],on obtient l’existence d’une constante ξ ∈ ]0, h 2 [ telle que φ′ (ξ) = 0. Or pour tout t ∈ [0, h 2 ],φ ′ (t) = f(m i + t) + f(m i − t) − 1 3− t 3(f ′ (m i + t) − f ′ (m i − t) ) + 1 18 t4 A.(f(mi − t) + f(m i + t) + 4f(m i ) )On applique à nouveau ce théorème à φ ′ , puis à φ ′′ , et on en déduit l’existence d’un élément ζ ∈ ]0, h 2 [tel que φ (3) (ζ) = 0, d’où (on calcule comme ci- dessus φ (3) (x) puis on traduit l’égalité φ (3) (ζ) = 0) :A = f(3) (m i + ζ) − f (3) (m i − ζ).2ζAppliquons alors la formule des accroissements finis à f (3) sur l’intervalle [m i −ζ, m i +ζ], elle nousdonne une constante λ dans ce dernier qui vérifie alors A = f (4) (λ). En conclusion,( ∫ h ai+1φ = f(x)dx −2)h (f(ai ) + f(a i+1 ) + 4f(m i ) ) + h5a i62880 f(4) (λ) = 0,et l’on en déduit enfin la majoration suivante :∫ ai+1∣ f(x)dx − ha i6(f(ai ) + f(a i+1 ) + 4f(m i ) )∣ ∣ ∣∣ h52880sup |f (4) |.[a i ,a i+1 ]On peut maintenant conclure quant à la majoration de l’erreur. En effet, on somme les inégalitésappliquées à chaque intervalle de la subdivision de [a, b] :=∫ b n−1∑ hI(f) − S n (f) =f(x)dx − f(ai ) + 4f(m∣i ) + f(a i+1 )a6( )∣ ∣ ∣∣∣i=0n−1∑(∫ ai+1f(x)dx − h f(ai ) + 4f(m∣i ) + f(a i+1 )a i6( ))∣ ∣ ∣∣∣i=0n−1∑i=0h 52880sup |f (4) | [a i ,a i+1 ]n−1∑i=0(b − a) 52880 n 5 sup[a,b]|f (4) | (b − a)52880 n 4 sup |f (4) |.[a,b]La convergence annoncée se déduit alors du théorème d’encadrement.

11Calcul approché d’intégrales définies78.4 Commentaires1. Pour la proposition 1 ′ , il est stipulé que les suites ( R n (f) ) n∈N ∗ et ( R ′ n(f) ) n∈N ∗ encadrent I(f) etconvergent vers cette même valeur I(f). Il est important de souligner que ces suites ne sont pasadjacentes ! ! S’il est facile de montrer que leur différence tend vers 0, il est impossible de montrerque l’une est croissante et l’autre décroissante, sauf si l’on divise notre intervalle [a,b] en 2 à chaqueétape, autrement dit de considérer les suites ( R 2 n(f) ) n∈N ∗ et ( R ′ 2 n(f)) n∈N ∗ .Pour s’en convaincre, considérer la fonctionf : [0, 1] −→ [0, 1]x ↦−→ x + cos(10πx) − 1 .10πOn vérifie sans peine que f est strictement croissante sur [0, 1] (pour être plus précis, sa courbeest de Lorenz, c’est-à-dire que la fonction est définie sur [0, 1], y est strictement croissante, quef(0) = 0 et f(1) = 1, et enfin que tout x ∈ [0, 1] vérifie l’inégalité f(x) x). Si l’on penseque les suites ( R n (f) ) et ( R ′ n(f) ) sont respectivement croissante et décroissante, il suffit de vérifierque R 6 (f) < R 5 (f) et R ′ 5(f) > R ′ 4(f), ce qui suffit à dire que ces suites ne sont pas adjacentes. . .2. La deuxième remarque de 1.1 et la deuxième de 2 sont des cas particuliers de la méthode d’accélérationde Richardson-Romberg. J’ai tenté de la développer dans cette leçon, mais le manque de temps àl’épreuve ne m’avait permis que de citer cette méthode oralement. Elle ferait plutôt l’objet d’un paragraphespécifique dans une leçon d’agrégation, et n’est pas indispensable ici. A noter que la remarquede 1.1 fournit une accélération de convergence qui ne rentre pas dans la méthode de Richardson-Romberg, mais s’en inspire.3. La proposition 4 aurait pu être un théorème, bien qu’elle n’apporte pas plus d’informations que lesautres propositions (elles se ressemblent toutes comme deux gouttes d’eau !). Cela dit, c’est la méthodeimplantée actuellement dans la plupart des machines à calculer, lorsque l’on demande de donnerune valeur approchée d’une intégrale connue, ou lorsqu’un logiciel de calcul formel n’arrive justementpas à déterminer la primitive d’une fonction. Pour cette même proposition, il existe une alternativede démonstration ne supposant pas connue la constante 2880 qui apparaît dans la majoration.Elle ne sera pas développée ici parce qu’elle est longue et certainement moins facile à retenir qu’unesimple constante. . .4. Les méthodes générales de Newton-Côtes sont données plus à titre existentiel qu’instructif. Il n’estpas demandé de retenir toutes les constantes λ i , mais il est toujours bon de savoir qu’une telle méthodegénéralisable existe, et savoir en donner les traits (à savoir que la fonction est approchée parson polynôme d’interpolation de Newton aux l + 1 points équidistants).5. Le point 3.2 aurait une meilleure place dans une leçon d’agrégation, d’autant plus que cette méthodeest rarement étudiée au cours du cycle universitaire. Cela dit, le fait de proposer cette méthode, mêmeoralement, ouvre le débat à la pertinence du choix pour le calcul d’une intégrale définie : faut-il plutôtaugmenter le nombre de divisions de l’intervalle, l’ordre de la méthode ou choisir des points nonforcément équidistants ?6. Les différentes annexes ont été crées grâce à Maple 10. Il est évident que l’on ne disposera pas d’untel matériel le jour de l’oral. Pour ceux que ça intéressent, il y a en seconde annexe à ce document

12Calcul approché d’intégrales définiesune capture d’écran donnant un programme tournant sur TI Voyage 200 (en anglais) 2 calculant uneintégrale par la méthode des trapèzes (la partie traçage peut naturellement être omise. . . ). J’attire l’attentionaussi sur le fait qu’on voit sur les figures de Maple une évaluation de l’erreur commise : ils’agit de l’erreur entre l’intégrale calculée par la méthode correspondant à la figure et celle que Maplecalcule en valeur approchée, et non la valeur de l’intégrale. Maple n’est pas infaillible, et fait aussiquelques erreurs d’arrondi en calcul approché. . .7. J’ai mis toutes les démonstrations, un peu plus détaillées que dans la plupart des livres où l’on peut lestrouver. Puisqu’aucune démonstration n’a été faite pendant la présentation (trop longues), je n’avaispas jugé utile de placer les outils utilisés en pré-requis, à savoir :– Formules de Taylor (prop. 2),– Théorème de Rolle (prop. 3 & 4),– Formule des accroissements finis (prop. 4).c○ 2011 par Martial LENZEN.Aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l’article L. 122-5 du code de lapropriété intellectuelle, ne peut être faite sans l’autorisation expresse de l’auteur.2 : document intitulé « programme TI-89 permettant de calculer une valeur approchée d’intégrale », disponible égalementsur la page « Leçons » de mon site, en tout bas de page.