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Figure 8 : Expérience de la corde de Melde réalisée au lycée. On observe 2 ventres et 3 nœuds, c’est -à-dire une longueur d’onde. B. Modes de vibration particulières. Les modes de vibration sont des formes spatiales que l’on obtient pour des fréquences d’excitation bien 1. LA CORDE DE MELDE Le premier mode est obtenu lorsque l’on a 2 nœuds sur la corde et un seul ventre donc un seul fuseau. On a alors L = λ 2 . Il correspond à une fréquence bien particulière (fréquence fondamentale) f 1 = c λ 1 = c 2L . ici : ‣ L est la longueur de la corde en m ‣ c = √ T est la célérité de l’onde avec T la tension en N et μ la masse linéique de la corde en kg.m-1 μ Les autres modes (deux, trois … fuseaux) sont obtenus lorsque λ n = 2L , n étant le nombre de fuseaux. Ils correspondent aux fréquences d’excitation f n = nf 1 , donc multiples de la fréquence fondamentale. On peut alors exprimer la distance théorique entre deux nœuds d n (distance pour le mode n), en utilisant les relations λ = c et c = f √T : μ n d n = λ n 2 = 1 2 √T μ ∗ 1 f n (équation 1) La corde de Melde permet donc de visualiser les ondes stationnaires à une dimension. Nous allons à présent nous intéresser aux modes de vibrations plus complexes en étudiant des ondes stationnaires pour des plaques et des membranes. 2. LES MO<strong>DES</strong> DANS <strong>DES</strong> PLAQUES ET MEMBRANES Lorsque le milieu dans lequel se propage l’onde est bidimensionnel, les ondes stationnaires qui se forment sont aussi bidimensionnelles. Au lieu de nœuds nous obtenons alors des lignes nodales (Figure n°9). Les différents modes de vibration correspondent toujours à des fréquences propres f n bien définies, mais qui ne sont plus des multiples de la fréquence fondamentale. 7
Figure 9 : Modélisation 3D des lignes nodales (droite) d’un motif (gauche) que nous avons réalisé sur une plaque de Chladni en acier galvanisé, avec distance D n Lorsqu’on verse du sable sur la plaque ou la membrane, le sable va s’accumuler sur les endroits qui ne vibrent pas : les lignes nodales. La distance typique entre deux lignes nodales d n donne une bonne estimation de λn . Notons que la 2 finesse du sable influe sur la précision du motif obtenu. Les fréquences fondamentales des plaques ou membranes dépendent des caractéristiques du matériau, ainsi que des conditions appliquées à ce dernier. Par exemple, les fréquences d’apparition de modes seront très différentes pour une plaque fixée en son centre en laissant les bords libres, ou lorsque l’on fixe les bords de celle-ci. Il en est de même pour une membrane, sur laquelle la masse surfacique ou la tension pourront varier facilement, changeant la valeur de la fréquence fondamentale et celles des modes en découlant. Nous avons représenté sur GeoGebra (Figure n°10) les ondes stationnaires correspondant à une membrane carrée, fixée aux quatre côtés, dont l’équation théorique s’écrit : Notons que kx et ky peuvent varier séparément. z(x, y, t) = 2A sin(k x x) sin(k y y) sin(ωt) (équation 2) Figure 10 : Rendu de la simulation des ondes stationnaires en 3D réalisée sur GeoGebra 8
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