polynomial_complément

2CAd2Pe2
Gymnase de Nyon la Côte
Fonctions polynomiales :
compléments
Kenneth Nguyen
17 novembre 2022

Complément 1 : Introduction
Définition 1. Un monôme est le produit d’un nombre réel (coefficient)
donné et d’une variable réelle élevée à une certaine puissance (exposant)
entière positive ou nulle
Exemple 1. 3x 4 , −x 2 ,
1
2 y5 , 7x 1 = 7x, −4 = −4x 0
Remarque 1. Dans le cas du monôme 3x 4 ,
- 3 est le coefficient
- x est la variable
- 4 est l’exposant
Définition 2. Un polynôme est la somme de monôme.
Exemple 2. P (x) = −2x 2 + 7x − 5 est un polynôme.
Définition 3. Le degré d’un polynôme P est la plus grande puissance de
la variable qu’il contient. On le note deg(P ).
Exemple 3. Si nous avons P (x) = −2x 2 + 7x − 5, alors deg(P ) = 2.
Exemple 4. Donner le degré des polynômes suivants :
— P 1 (x) = 2x 3 + 3x + 5
— P 2 (x) = x 4 − 5x 2 + 2
— P 3 (x) = −1
1

Complément 2 : Division euclidienne
Entre deux nombres entiers
Théorème 1. (Egalité fondamentale) Soit D et d deux nombres entiers.
Alors nous avons
D = d ∗ Q + r,
où Q est le quotient et r est le reste. De plus r < d.
Exemple 5. Effectuer l’opération 30 : 4.
Le résultat de la division peut s’écrire sous la forme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le Quotient est de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et le reste est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans le cas d’une division numérique, nous effectuons la procédure jusqu’à
ce que le reste soit plus petit que le diviseur. Dans le cas de polynôme, il
n’existe pas d’ordre de grandeur entre polynôme. Dans ce cas, nous allons
utiliser les degrés des polynômes comme point de comparaison.
Théorème 2. (Egalité fondamentale version polynôme) Soit P (x) et D(x)
deux polynômes. Alors nous avons :
P (x) = Q(x)D(x) + R(x),
où Q(x) est le quotient et R(x) est le reste. De plus deg(R) < deg(D).
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Exemple 6. Effectuer l’opération (x 2 + 5x − 7) : (x − 3)
Le résultat de la division peut s’écrire sous la forme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le Quotient est de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et le reste est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple 7. Effectuer l’opération (x 3 + 3x 2 − 5x − 7) : (x + 2)
Le résultat de la division peut s’écrire sous la forme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le Quotient est de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et le reste est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercice 1
Déterminer un polynôme du quatrième degré vérifiant les cinq conditions
suivantes :
— Il admet x = −2 pour zéro.
— Il est divisible par x + 1.
— Il admet le facteur x dans sa factorisation.
— F (2) = 0.
— Il admet −18 pour reste de sa division par x − 1.
Exercice 2
Déterminer un polynôme F (x) du troisième degré vérifiant les quatre
conditions suivantes :
— F (0) = 0
— F (1) = 0
— Il est divisible par x + 2
— Le reste de sa division par x − 3 vaut −6.
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Complément 3 : Factorisation d’un polynôme de
degré >2
Théorème 3. Soit F (x) = c n x n + c n−1 x n−1 + · · · + c 1 x + c 0 un polynôme à
coefficient entier. Si a est un zéro entier de à F(x), alors a est un diviseur
de ±c 0 .
Exemple 8. Sans effectuer de division, factoriser le polynôme :
x 3 + 4x 2 + x − 6
Exercice 3
Sans effectuer de division, factoriser les polynômes suivants :
1. x 3 − 9x 2 + 23x − 15
2. x 3 − 8x 2 + 19x − 12
Exercice 4
Soit p(x) = 2x 3 + x 2 − 7x − 6.
1. Déterminer un zéro entier du polynôme.
2. Résoudre l’équation p(x) = 0.
3. En déduire une factorisation pour p(x).
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Solution
Exercice 1
F (x) = 3x(x + 1)(x + 2)(x − 2)
Exercice 2
F (x) = − 1 x(x − 1)(x + 2)
5
Exercice 3
1. (x − 1)(x − 3)(x − 5)
2. (x − 1)(x − 3)(x − 4)
Exercice 4
1. x = −1 ou x = 2
2. S = { − 3 ; −1; 2}
2
3. p(x) = 2 ( x + 3 2
)
(x + 1)(x − 2)
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