ESTIA 1eAnnée - Mathématiques Cours d'algèbre

2.3. LE THÉORÈME CHINOIS 13
Pour que de tels points existent, il faudrait que 13 soit un multiple du p.g.c.d.
de 55 et 132, qui est égal à 11, ce qui est visiblement faux. Donc cette droite
n’a pas de points à coordonnées entières.
Exemple 2.2.6 Déterminer les points à coordonnées entières de la droite D
d’équation 55x + 132y = 22.
Ici 22 est un multiple de 11, donc l’équation 55x + 132y = 22 a des solutions
entières. Comme 55 × 5 − 2 × 132 = 1 on obtient une solution particulière en
posant x0 = 10, y0 = −4. Soient maintenant (x, y) ∈ Z2 . On a 55x+132y −22 =
55(x − x0) + 132(y − y0). On voit donc que 55x + 132y = 22 si et seulement si
x = 10+u et y = −4+v , avec 55u+132v = 0. Comme 55 132
11 = 5 et 11 = 12 on voit
que les points à coordonnées entières de D sont les points donc les coordonnées
sont de la forme (10 − 12n, −4 + 5n) avec n ∈ Z.
On a la variante suivante du théorème de Gauss, dont la démonstration est
laissée en exercice.
Théorème 2.2.7 Soient a, b1, . . . , bp des entiers non nuls. Si a est premier avec
bk pour 1 ≤ k ≤ p , alors a est premier avec le produit b1 . . . bk.
Corollaire 2.2.8 Soient a1, ..., ak des entiers premiers entre eux deux à deux.
Si x ∈ Z est divisible par aj pour 1 ≤ j ≤ k, alors x est divisible par le produit
a1...ak.
Démonstration : Si k = 1, il n’y a rien à démontrer. Supposons maintenant
que le résultat est vrai pour k − 1, avec k ≥ 2. Soient a1, ..., ak des entiers
premiers entre eux deux à deux et supposons que x ∈ Z est divisible par aj
pour 1 ≤ j ≤ k. Alors x est divisible par le produit a1...ak−1, donc x s’écrit sous
la forme x = a1...ak−1y, avec y ∈ Z. Il résulte du théorème ci-dessus que ak est
premier avec a1...ak−1, et on déduit alors du théorème de Gauss que ak divise
y. Donc x est divisible par a1...ak, et la propriété est vraie pour k. Le résultat
est donc démontré par récurrence. ♣
2.3 Le théorème chinois
Soit p un entier positif. On dira que deux entiers relatifs a et b sont congrus
modulo p , et on écrira a ≡ b (p), quand a − b est divisible par p.On v’erifie
facilement que si a ≡ a ′ (p) et si b ≡ b ′ (p) alors a + b ≡ a ′ + b ′ (p) et
ab ≡ a ′ b ′ (p).
On a le théorème suivant , dû à un mathématicien chinois anonyme.
Théorème 2.3.1 Soient p1, . . . , pk des entiers positifs tels que pi et pj soient
premiers entre eux pour i �= j.Alors pour toute famille (q1, . . . , qk) dans Z k le
système d’équations de congruence