ESTIA 1eAnnée - Mathématiques Cours d'algèbre

Chapitre 1
Groupes, Anneaux, Corps
1.1 Groupes
Nous commencons par rappeler des définitions classiques
Definition 1.1.1 Un groupe est une ensemble non vide G muni d’une loi de
composition interne (x, y) ↦−→ x ◦ y possédant les propriétés suivantes
(1.1) x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z pour tout triplet (x, y, z) d’éléments de G.
(1.2) Il existe un élément e de G tel que x ◦ e = e ◦ x = x pour tout x ∈ G.
(1.3) Pour tout x ∈ G, il existe y ∈ G tel que x ◦ y = y ◦ x = e.
On dira qu’une loi de composition interne sur un ensemble E vérifiant la condition
(1.1) est associative. Si (G, ◦) est un groupe, l’élément e de G vérifiant la
condition (1.2) ci-dessus est appelé élément neutre de G. On vérifie (exercice)
que cet élément neutre est unique. L’élément y de G tel que x ◦ y = y ◦ x = e
est appelé inverse de x. Il est également unique. On vérifie plus généralement
(exercice) que si (E, ◦) est un ensemble muni d’une loi de composition associative
pour laquelle il existe un élément neutre e, et si trois éléments x, y1 et y2
de E vérifient x ◦ y1 = y2 ◦ x = e alors y1 = y2.
Definition 1.1.2 On dit qu’un groupe (G, ◦) est commutatif , ou abélien , si
on a la condition suivante
(1.4) x ◦ y = y ◦ x pour tout couple (x, y) d’éléments de G.
La loi de composition d’un groupe abélien G sera souvent notée +. Dans ce cas
l’élément neutre de G sera noté 0 , et l’inverse d’un élément x de G sera noté
−x et appelé l’opposé de x.
Exemple 1.1.3 Notons Z l’ensemble des entiers relatifs, Q l’ensemble des rationnels,
R l’ensemble des réels et C l’ensemble des nombres complexes. Alors
(Z, +) , (Q, +) , (R, +) et (C, +) sont des groupes abéliens.
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