ESTIA 1eAnnée - Mathématiques Cours d'algèbre

Table des matières
1 Groupes, Anneaux, Corps 1
1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Calculs dans Z/nZ sous MUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Exercices pour le Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Un peu d’arithmétique 9
2.1 La division du CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Applications du théorème de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Le théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Décomposition en produit de nombres premiers . . . . . . . . . . 15
2.5 Arithmétique sous MUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Exercices pour le Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Polynômes 23
3.1 Polynômes sur un corps K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Idéaux de l’anneau des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 La notion de p.g.c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Applications du théorème de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Le théorème chinois pour les polynômes . . . . . . . . . . . . . . 31
3.7 La notion de p.p.c.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.8 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.9 Formule de Taylor pour les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10 Utilisation de MUPAD pour des calculs concernant les polynômes 37
3.11 Interpolation de Lagrange et calcul numérique sous Matlab . . . 46
3.12 Exercices sur le Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Fractions rationnelles 55
4.1 Division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle . . 56
4.3 Applications au calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Décomposition en éléments simples et calcul intégral sous MUPAD 62
iii