R - Széchenyi István Egyetem

Elektrotechnika 

Ballagi Áron

Bemutatkozás 

• Ballagi Áron egyetemi adjunktus 

• Széchenyi István Egyetem, Automatizálási Tanszék 

• C707‐es szoba 

• Tel.: 3255 

• E‐mail: ballagi@sze.hu 

• Web: http://www.sze.hu/~ballagi/elektrotechnika/ 

Elektrotechnika x/2

• Ipari robotok 

• Autonóm mobil robotok 

• Robot kooperáció 

• Fuzzy kommunikáció 

• Szimuláció 

• Távvezérlés 

• Mikro robotok 

Amivel foglalkozom: 

Robotok intelligens irányítása 

Elektrotechnika x/3

• Marilou Robotics Studio 

• ICE ‐ távvezérlés 

Robot szimuláció 

Elektrotechnika x/4

Kísérleti mikro robotok 

Elektrotechnika x/5

Kísérleti mikro robotok 

Elektrotechnika x/6


Elektrotechnika x/7

• Villamosságtan alapjai 

• Hálózatszámítás 

• Egyenáramú hálózatok 

• Váltakozóáramú hálózatok 

• Villamos és mágneses tér 

• Villamos gépek 

• Transzformátorok 

• Aszinkron gépek 

• Szinkron gépek 

• Egyenáramú gépek 

• Különleges gépek 

Tematika 

Elektrotechnika x/8

Irodalom 

• Dr. Hodossy László, Elektrotechnika c. jegyzet, 

Universitas‐Győr Kht. Győr, 2006. 

http://jegyzet.sze.hu/ 

• Selmeczi‐Schnöller: Villamosságtan I‐II. 49203/I‐II. KKVMF 

Elektrotechnika x/9

• Előadás látogatása 

• Vizsga 

Követelmények 

• Félév teljes anyagából, gyakorlat orientált, írásban 

• Kreditátvitel feltételei: 

• Felsőfokú, leckekönyvvel és tematikával igazolt tárgy. Középiskola nem 

elfogadható! 

• Megajánlott jegy: 

• Szakirányú tanulmányok igazolása bizonyítvánnyal és tematikával. 

• Minimum 4 (jó) szintű érdemjegy. 

• Beadás a 2009.09.14‐ei előadáson (után)! 

Elektrotechnika x/10

Villamosságtan alapjai 


• Atommag 

• Proton – pozitív töltés 

• Neutron ‐ semleges 

• Elektronhéj 

• Elektronok –negatív töltés 

• Az elektron héjon keringő 

elektronok száma : 2∙K 2 

Az atom szerkezete 

Elektrotechnika 12

Elektromos töltések 

• A villamos jelenségek alapja az elemi töltések létezése. 

• Proton töltés: 

• Elektron töltése: 

• A töltés 

• jelölése: Q 

Q = 1.6⋅10 −19 

C 

p 

Q =−1.6⋅10 −19 

C 

e 

• mértékegysége a Coulomb, jele: C 

18 

• 1C = 6.25⋅ 10 e= 

6.25 trillió elektron 

• Az elektromos töltések egymásra ható ereje lehet vonzó és taszító – 

egyneműek taszítják, különneműek vonzzák egymást. 

• Megkülönböztetünk, pozitív és negatív töltéseket 


• Vezetők 

Vezető, szigetelő, félvezető anyagok 

• főleg a fémek és a szén 

• külső héjon 1÷3 elektron, könnyű leadás és felvétel 

• Szigetelők 

• külső héjon 4 vagy több elektron, nehéz kiszakítás és helyfoglalás 

• Félvezetők 

• vezetővel „szennyezett” szigetelő, „lyuk” alakulnak ki ahol az elektron 

már át tud lépni. pl. szilícium alumíniummal szennyezve 


• A kémiai folyamat elektron‐ 

hiányt, illetve –fölösleget 

eredményez 

• cink lemez – elektronfölösleg 

(negatív pólus) 

• réz lemez – elektronhiány 

(pozitív pólus) 

Galvánelem 

Elektrotechnika 15

• Ha a galvánelem pólusait egy 

fém vezetővel összekötjük, 

akkor az elektronok „átfolynak” 

cink lemezről a réz lemezre. 

• elektromos feszültség 

• elektromos áram 

Töltés (elektron) áramlás 

Elektrotechnika 16

Elektromos feszültség 

A Q töltés mozgatása közben végzett W munka és a Q 

töltés hányadosával meghatározott fizikai mennyiség a 

feszültség. W 

U = 

Q 

• Az elektromos feszültség valójában egy elektromos áramkör két 

pontja közötti töltés vagy potenciál különbség. 

• Más megfogalmazásban: egy elektromos mezőben létrejövő 

helyzeti energia, ami elektromos áramot hoz létre egy elektromos 

vezetőben. 

• jelölése: U 

• mértékegysége: volt, jele: V 

• A feszültség „esik” 

[ U ] 

[ W ] 

[ Q] 

1 joule (J) 

= = = 1 volt (V) 

1 coulomb (C) 


Jellemző feszültségek 

Normálelem 1.0183 V 

Szárazelem 1.5 V 

Akkumulátorcella 2 V 

Gépjármű‐akkumulátor 6‐12 V 

Kéziszerszám‐motor 24‐42 V 

Érinthető feszültség felső határa 65 V 

Lakások villamos hálózata 230 (220) V 

Közúti villamos 550 V 

Helyiérdekű villamos 1000 V 

Városi kábel hálózatok 3000‐5000 V 

Erőművi generátorok 10000 V 

Nagyvasúti vontatás 25000 V 

Távvezetékek 30000‐60000 V 

Országos távvezetékek 110000 V 

Nemzetközi távvezetékek 220000 V 

Transzkontinentális távvezetékek 750000‐1000000 V 


• 42 V‐ig törpefeszültség 

• 42 – 250 V kisfeszültség 

Szabványos feszültség elnevezések 

• 250 V felett nagyfeszültség 


Elektromos áram 

A vezető keresztmetszetén áthaladó Q töltés és a töltés 

áthaladásához szükséges t idő hányadosával 

meghatározott fizikai mennyiség az áramerősség 

Q 

I = 

t 

• Az elektromos töltések mozgását, áramlását az elektromos árammal 

jellemezzük. 

• jelölése: I 

• mértékegysége: amper, jele: A 

• Az áram „folyik” 

1 coulomb (C) 

1 amper (A) 

1 szekundum (s) = 


Jellemző áramerőségek 

Észlelhető alsó határ 0.01 A 

Halálos áramerősség (szíven áthaladva) 0.1 A 

Mosógép 1‐5 A 

Vasaló 2‐5 A 

Hőkandalló 10‐20 A 

Szerszámgép motor 10‐50 A 

Gépjármű‐indítómotor indításkor 100‐200 A 

Televízióadók 100‐1000 A 

Nagyvasúti mozdony indításkor 1000‐1500 A 

Alumínium elektrolízis 10000‐50000 A 

Villám 50000‐100000 A 


A villamos töltés „új” definíciója 

A coulomb az a villamos töltés, amely 1 amper állandó 

erősségű áramot vivő villamos vezető bármely 

keresztmetszetén 1 másodperc idő alatt áthalad. 

1 C = 1 As 

• Az As helyett a gyakorlatban általában az amper‐órát (Ah) 

használjuk 

1 Ah = 3600 As 


Feladatok 

1. Egy fémvezetőben Q = 2 C töltés áramlik, és közben W = 200 J 

munkát végez. Mekkora a feszültség a vezető két végpontja között? 

W 200 J 

U = = = 100 V 

Q 2 C 

2. Mekkora munkát végez Q = 10 C töltés , ha U = 220 V feszültségű 

pontok között áramlik? 

W = Q⋅ U = 10 C ⋅ 220 V = 2200 J 

3. Mekkora töltés végez W = 3800 J munkát U = 190 V feszültségű 

pontok között? 

W 3800 J 

Q = = = 20 C 

U 190 V 


Feladatok 

4. Mekkora munkát végez egy elektron, ha U = 1 V feszültségű pontok 

között „repül át”? 

A töltés az elektron töltése, vagyis: 

−19 

Q= e= 

1.6⋅10 C 

Az elektron által végzett munka: 

W = e⋅ U = ⋅ ⋅ = ⋅ 

−19 −19 

1.6 10 C 1 V 1.6 10 J 

Az atomfizikában egyetlen elektron 1 V feszültségű pontok közötti 

munkáját külön egységként kezelik, neve: elektronvolt, jele: eV 

−19 

1 eV = 1.6 ⋅10 

J 

5. Mekkora az áramerősség az 1. példában, ha t = 0.1 s? (Q = 2 C) 

Q 2 C 

I = = = 20 A 

t 0.1 s 


Feladatok 

6. Mekkora töltés halmozódik fel egy akkumulátorban, ha I = 50 mA 

áramerősség t = 2 h ideig tölti? 

I = 50 mA = 50⋅ 0.001 = 0.05 A 

t = 2 h = 7200 s 

Q= I⋅ t = 0.05 A ⋅ 7200 s = 360 C 

Q = 0.05 A ⋅ 2 h = 0.1 Ah 

7. Mennyi idő alatt halmozódik fel Q = 60 Ah villamos töltés, ha az 

áramerősség I = 8 A? 

Q 60 Ah 

t = = = 7.5 h 

I 8 A 


Villamos hálózatok, „áramkörök” 

• Az egyszerű „áramkör” az áramforrásból, a fogyasztóból, a kettőt 

összekötő vezetékből (és egy kapcsolóból) áll. 


• Hőhatás 

• Vegyi hatás 

• Mágneses hatás 

Elektromos áram észlelhető hatásai 


Áramerősség mérése (ampermérő) 

• Mágneses hatás alapján 

• állandó mágnesű, lengőtekercses műszer, Deprez‐műszer 

• az áramot átvezetjük a lengőtekercsen, az áramerősség nagyságával 

arányosan mozdul el. 

• Az árammérőt mindig sorba kötjük a mérendő körbe! 


A feszültség mérése (voltmérő) 

• Átalakított (nagy belső ellenállású) állandó mágnesű műszer 

• A feszültség mindig két pont között mérhető, tehát a voltmérőt 

mindig a fogyasztó (vagy a mérendő szakasz) két végpontja közé, 

párhuzamosan kell kapcsolni 


Az elektromos ellenállás 


Elektromos ellenállás ‐ kísérlet 

U (V) I (A) V/A 

10 0.22 45 

20 0.44 45 

50 1.1 45 

70 1.54 45 

100 2.2 45 

150 3.3 45 

220 4.8 45 

U 

I = 

állandó 


• Ohm törvénye 

Elektromos ellenállás –Ohm törvénye 

A feszültség és az áramerősség hányadosával meghatározott 

fizikai mennyiség jellemző az adott vezetőre, ez 

az adott vezető ellenállása 

U 

R = 

I 

• ellenállás jelölése: R 

• mértékegysége: ohm, jele: Ω 

1 volt (V) V 

= 1 ohm ( Ω= 

) 

1 amper (A) A 


Példák 

1. Egy motortekercs ellenállását U = 6 V feszültséggel mérjük. Az 

áramerősség I = 8 A. Mekkora a tekercs ellenállása? 

U 6 V 

R = = = 0.75 Ω 

I 8 A 


Példák 

2. Egy távvezetéknek kezdőpontján (táppontján), az erőműben, I = 

300 A áramerősséget vezetnek be. A távvezeték ellenállása 25 Ω. 

Számítsuk ki, hogy a táppont és a fogyasztói pont között, vagyis a 

távvezetéken mekkora a feszültség esés. 

U = I⋅ R= 

300⋅ 25 = 7500 V = 7.5 kV 

A vezeték mentén mérhető feszültségesés csökkenti a táppont 

feszültségét. 

3. Mekkora egy melegvíz‐tároló fűtőtest ellenállása, ha 220 V‐on 6.36 

A áramot vesz fel? 

U 220 V 

R = = = 34.6 Ω 

I 6.36 A 


Példák 

4. Egy nedves ember testellenállása R = 2200 Ω; véletlen érintés 

következtében U = 220 V feszültséget hidal át. Mekkora az emberi 

testen áthaladó áramerősség? 

100 mA már halálos lehet! 

U 220 V 

I = = = 0.1 A = 100 mA 

R 2200 Ω 

5. Száraz körülmények között az emberi test ellenállása elérheti az R 

= 5000 Ω‐ot; mekkora feszültséget hidalhat át, ha legfeljebb I = 13 

mA áramot engedünk át a szervezeten? 

U = I⋅ R= 

0.013⋅ 5000 = 65 V 

Ez az érintési feszültség. A szabványok a megengedett érintési 

feszültséget 65 V‐ban szabják meg. 


Példák 

6. Egy U = 220 V feszültségre kapcsolt vezeték szigetelésén keresztül 

a föld felé I = 5 mA szivárgó áramerősséget mérünk. Mekkora a 

vezeték szigetelési ellenállása? 

U 220 V 

R = = = 44000 Ω= 44 kΩ 

I 0.005 A 

A szigetelési ellenállások rendszerint megaohm (MΩ) nagyságrendűek 

7. Egy ampermérő belső ellenállása 0.2 Ω; a mutató végkitéréséhez 

250 mV feszültség szükséges. Mekkora áramot mérhetünk, ha a 

mutató végkitéréséig kileng? 

U 250 mV 0.250 V 

I = = = = 1.25 A 

R 0.2 Ω 0.2 Ω 


Vezeték ellenállása ‐ kísérlet 

1. Mérjük meg egy A keresztmetszetű, l hosszúságú fűtőhuzal 

ellenállását! 

2. Növeljük a huzal hosszát kétszeresére, azt tapasztaljuk, hogy az 

ellenállása is kétszeresére nő. 

3. Növeljük a keresztmetszetét kétszeresére! A mérési adatok azt 

mutatják, hogy az ellenállása feleakkora lesz! 

l 

R ∼ 

A 

4. Ismételjük meg a kísérletet más‐más anyagokkal! Az R értéke 

anyagonként eltérő lesz –az ellenállás anyag függő! 


A vezető ellenállása –fajlagos ellenállás 

A vezető ellenállása a hosszával egyenesen, keresztmetszetével 

fordítottan arányos. A ρ arányossági tényező 

az anyagra jellemző fajlagos ellenállás. 

l 

R = ρ 

A 

• Fajlagos ellenállás 

• valamely anyag 1 mm2 keresztmetszetű, 1 m hosszú darabjának az 

2 

ellenállása. Jele: ρ, mértékegysége: mm −6 

Ω = 10 Ωm 

m 


Fajlagos ellenállás 

Anyag Vegyjel ρ 

2 ⎡ mm ⎤ 

⎢Ω m 

⎥ 

⎣ ⎦ 

réz Cu 0.0178 

alumínium Al 0.0286 

ezüst Ag 0.0160 

arany Au 0.0220 


Példák 

1. Egyszerű alumínium vezetékköteg hosszát kell meghatározni. A 

vezeték kiterítésére megfelelő hely nem áll rendelkezésre, ezért 

Ohm törvénye alapján ellenállásmérést végzünk. A fajlagos 

ellenállás ismert ρ = 0.03 Ωmm 2 /m, a keresztmetszet A = 25 mm 2 , 

a mért értékek: U = 6 V, I = 10 A. 

U 6 V 

R = = = 0.6 Ω 

I 10 A 

A 25 

l = R⋅ = 0.6⋅ = 500 m 

ρ 0.03 


Példák 

2. Két, egymástól 10 km‐re fekvő falut 3 mm átmérőjű, vörösrézből 

készített távbeszélő‐vezetékpár köt össze. Mekkora a vezetékpár 

ellenállása? 

A vezeték teljes hossza: 

A vezeték keresztmetszete: 

A vezetékpár ellenállása: 

l = 2⋅ 10 km = 20 km = 20000 m 

2 2 

d ⋅π 3 ⋅π 

A = = = 7.1 mm 

4 4 

l 20000 

R = ρ ⋅ = 0.0175⋅ = 49.3 Ω 

R 

7.1 

Elektrotechnika x/41 

2

Példák 

3. Egy vasaló ellenállása R = 93 Ω, a fűtőszál hossza l = 5.9 m, fajlagos 

ellenállása ρ = 1.1 Ωmm 2 /m (króm‐nikkel). Mekkora a fűtőszál 

keresztmetszete? 

l 5.9 

A = ρ ⋅ = 1.1⋅ = 0.07 mm 

R 93 

2 


Az ellenállás hőmérséklet függése ‐ kísérlet 

1. Mérjük meg egy fűtőszál ellenállását ϑ 0 kiindulási (hideg) 

hőmérsékleten; jelöljük az ellenállást ekkor R 0‐val! 

2. Növeljük a fűtőszál hőmérsékletét ϑ 1 hőmérsékletre, és közben 

ismét mérjük az ellenállást (R 1). A hőmérséklet különbség: 

Δϑ = ϑ 1 ‐ ϑ 0. 

3. A mérési adatokat táblázatba foglaljuk. 

Δϑ = ϑ 1 ‐ ϑ 0 

[°C] 

R 0 

[Ω] 

R 1 

[Ω] 

R − 

R 

R 

1 2 

0 20 ‐ ‐ 

50 20 24 0.2 

100 20 28 0.4 

150 20 32 0.6 

200 20 36 0.8 

0 


Az ellenállás hőmérséklet függése 

A hőmérséklet növekedésével a fémek ellenállása 

arányosan növekszik. Az α arányossági tényező az 

anyagra jellemző hőfoktényező. 

Anyag 

⎡ 1 ⎤ 

α ⎢ 

⎣°C ⎥ 

⎦ 

Alumínium 0.0037 

Réz 0.0039 

R = R (1 + α ⋅Δϑ) 

1 0 

• Fémeknél: 

0 

00 

α ≈ 

4 

K 

• A folyadékok, a szén és a félvezetők 

hőfoktényezője negatív! 

Hőmérséklet emelkedés hatására 

ellenállásuk csökken. 

(NTK –Negatív‐Temperatúra‐Koefficiens) 


Példák 

1. Egyenáramú motor réz tekercsének ellenállása ϑ 0 = 10 °C‐on 

R 0 = 1.45 Ω, felmelegedve pedig R 1 = 1.886 Ω; a hőfoktényező 

α = 0.00392. Számítsuk ki a tekercs üzemi hőmérsékletét! 

R = R (1 + α ⋅Δϑ) 

1 0 

1 0 

Δ ϑ = ϑ1− ϑ0 

= = = ° 

α ⋅R00.00392⋅1.45 1 0 

R −R 1.886 −1.45 

ϑ =Δ ϑ+ ϑ = 77 + 10 = 87 ° C 

77 C 


Egyenáramú hálózatok 


Egyenáramú hálózatok elemei 

• Aktív elemek 

• feszültséggenerátor 

• áramgenerátor 

• Passzív elemek 

• ellenállás 

• (ideális vezeték) 

• (ideális szigetelés) 


• Feszültséggenerátor 

• a kapcsain mindig U g 

feszültség mérhető 

U 

Ug 

Ideális 


valós 

U k 

I 

• Áramgenerátor 

• Az áramgenerátoron mindig I g 

áram folyik 

Ig 

I 

Ideális 

valós 

Elektrotechnika 48 

U

• Vezeték 

• a vezetéken sosem esik 

feszültség 


• Szigetelés, szakadás 

• a szakadáson sosem folyik 

áram 

Elektrotechnika 49

• Ohm törvénye 

Hálózatszámítási alap törvények 

U 

R = 

I 

U 

I = U = I⋅R R 



• Kirchhoff I. vagy csomóponti törvénye: 

• A csomópont áramainak előjelhelyes összege nulla. 

I1+ I2 −I3 −I4 − I5 

= 0 

I1+ I2 = I3 + I4 + I5 

n 

∑ 

j= 

1 

I 

j 

= 0 



• Kirchhoff II. vagy huroktörvénye: 

• A hurokban szereplő feszültségek előjelhelyes összege nulla. 

U1+ U2 − U3 + U4 − U5 

= 0 

m 

∑ 

i= 

1 

U 

i 

= 0 


• Soros kapcsolás 

Egyenáramú hálózatok kapcsolása 

• Sorosan kapcsolt elemeken az 

áram azonos (csomóponti 

törvény) 

I I R 

• Párhuzamos kapcsolás 

= 1 2 

• Párhuzamosan kapcsolt 

elemeken a feszültség azonos 

U = U = U 

Elektrotechnika 53

• Ohm törvénye alapján: 

Ellenállások soros kapcsolása 

• Kirchhoff csomóponti törvénye alapján: 

• Kirchhoff huroktörvénye alapján: 

U U U U 

R R R R 

1 2 

3 

n 

1 = , 2 = , 3 = , … n = 

I1 I2 I3 In 

I = I = I = … = I = I 

1 2 3 n e 

U + U + U + …+ 

U = U 

1 2 3 n e 


Ellenállások soros kapcsolása 

R 

R 

es 

U U + U + U + …+ 

U 

= = 

I I 

e 1 2 3 

n 

e e 

U U U U 

I I I I 

es = 1 + 2 + 3 + …+ 

1 2 3 

R = R + R + R + …+ 

R 

es 1 2 3 

n 

n 

R = ∑ R 

es i 

i= 

1 

Sorosan kapcsolt ellenállások eredője a részellenállások összegével egyenlő 

n 

n 


Ellenállások párhuzamos kapcsolása 

• Ohm törvénye alapján: 

• Kirchhoff csomóponti törvénye alapján: 

• Kirchhoff huroktörvénye alapján: 

U U U U 

R R R R 

1 2 

3 

m 

1 = , 2 = , 3 = , … m = 

I1 I2 I3 Im 

I + I + I + …+ 

I = I 

1 2 3 m e 

U = U = U = … = U = U 

1 2 3 m e 


R 

R 

ep 

ep 


Ue 

1 

= = 

I I 

e 

Ue = 

I + I 

1 

+ I + …+ 

I 

Ue 

1 

= 

I1 I2 

I3 Im 

+ + + …+ 

U U U U 

e 1 2 3 

m 

1 2 3 

m 

1 

1 1 1 1 

+ + + …+ 

R R R R 

1 2 3 

m 

G = ∑G 

e i 

i= 

1 

Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredő vezetése a részvezetések összegével egyenlő 

R 

R 

ep 

= 

= 

ep m 

∑ 

1 

1 

R 

j= 1 j 


m


• Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredője 

R 

R 

e12 

e12 

= 

1 

1 1 

+ 

R R 

1 2 

1 R1⋅R2 = = 

R + R R + R 

R ⋅ R 

2 1 1 2 

1 2 

R ⋅ R 

R = = R × R 

1 2 

e12 

R1+ R2 

2 1 


Ahol: 

R 1 = 1 kΩ 

R 2 = 500 Ω 

R 3 = 300 Ω 

Példák 

R AB=? 

R = ( R + R ) × R 

AB 

RAB 

1 2 3 

(1000 + 500) ⋅300 

= = 250Ω 

1000 + 500 + 300 


Ahol: 

R 1 = 1 kΩ 

R 2 = 500 Ω 

R 3 = 300 Ω 

R 4 = 200 Ω 

Példák 

R AB=? 

R = R × ( R + R + R ) 

AB 

RAB 

1 2 3 4 

1000 ⋅ (500 + 300 + 200) 

= = 500Ω 

1000 + 500 + 300 + 200 


Ahol: 

R 1 = 1 kΩ 

R 2 = 500 Ω 

R 3 = 300 Ω 

R 4 = 200 Ω 

Példák 

R AB=? 

R = R × R 

AB 

RAB 

1 4 

1000⋅ 200 

= = 166.6 

Ω 

1000 + 200 


Ahol: 

R 1 = 1 kΩ 

R 2 = 500 Ω 

R 3 = 300 Ω 

R 4 = 200 Ω 

Példák 

R AB=? 

R = R × R × R × R 

AB 

1 2 3 4 

1 

R AB = = 88.23Ω 

1 1 1 1 

+ + + 

1000 500 300 200 


Ahol: 

R 1 = 1 kΩ 

R 2 = 500 Ω 

R 3 = 300 Ω 

R 4 = 200 Ω 

Példák 

R AB=? 

R = 0Ω 

AB 


Ahol: 

R 1 = 1 kΩ 

R 2 = 500 Ω 

R 3 = 300 Ω 

R 4 = 200 Ω 

Példák 

R AB=? 

R = R × R 

AB 

RAB 

1 2 

1000⋅ 500 

= = 333.3 

Ω 

1000 + 500 


Ahol: 

R 1 = 1 kΩ 

R 2 = 500 Ω 

R 3 = 300 Ω 

R 4 = 200 Ω 

R 5 = 2 kΩ 

R 6 = 750 Ω 

R 7 = 1.2 kΩ 

AB 

Példák 

( ( ( ) ) ) 

R = R + R × R + R × R + R 

5 6 4 3 2 1 

R AB=? 

⎛(2000 + 750) ⋅ 200 ⎞ 

⎜ + 300⎟⋅500 2000 + 750 + 200 

RAB = 

⎝ ⎠ 

+ 1000 = 1.25kΩ 

⎛(2000 + 750) ⋅200 

⎞ 

⎜ + 300⎟+ 500 

⎝ 2000 + 750 + 200 ⎠ 


Feszültségosztó 

U = U + U 

g 

1 2 

U1 = I⋅R1 U2 = I⋅R2 U 

U 

I⋅R = 

I⋅R 1 1 

2 2 

U R 

= 

U R 

1 1 

2 2 

U = I⋅R U 

2 2 

g 

I = 

R1+ R2 

U 

U = ⋅ R 

2 

g 

R1+ R2 

2 

R 

2 

U2= Ug⋅ R1+ R2 

Feszültségosztóban a feszültség az ellenállásokkal egyenes arányban oszlik meg. 


1 

2 

Áramosztó 

I = I + I 

I 

I 

U 

= 

R 

1 2 

1 

U 

= 

R 

2 

U 

I R 

= 

I U 

2 

R 

1 1 

I R 

= 

I R 

2 

1 2 

2 1 

I 

2 

U 

= 

R 

2 

( ) 

1 2 

U = I⋅ Re= I⋅ R1× R2 = I⋅ R1+ R2 

1 R1⋅R2 I2= ⋅I⋅ R R + R 

2 1 2 

R 

1 I2= I⋅ R1+ R2 

Áramosztókban az áram az ellenállásokkal fordított arányban oszlik meg. 

R ⋅ R 


Példák 

U = 10V 

g 

R = R = R = R = 10Ω 

U 

1 2 3 4 

2 

= ? 

R × ( R + R ) 10× 20 

200 

30 

2 3 4 

U2= Ug⋅ = 10⋅ = 10⋅ = 4V 

R 200 

1+ R2× ( R3+ R4) 

10 + 10× 20 

R 

4 

U4 = U2⋅ = 4⋅ 0.5 = 2V 

R3+ R4 

1 

U1 = Ug − U2 = Ug ⋅ = 6V 

R1+ R2× ( R3+ R4) 

R 

10 + 


30

R + R 

Példák 

I = 4A 

g 

R1 = R2 = R3 = R4 

= 10Ω 

I , I = ? 

2 4 

3 4 

I2= Ig⋅ = A= 2.6A 

R2 + ( R3 + R4) 

3 

80 

U2 = I2⋅ R2 = V = 26.6 

V 

3 

R 

2 

I4 = Ig − I2 = Ig ⋅ = A= A 

R2 + R3 + R4 

3 

8 

 

4 

1.3 


Feszültség és áram mérése 

U 

R = m 

I 

Példa: Egy tipikus alapműszer végkitéréséhez tartozó értékek: 

U = 50 mV 

m 

I = 50 μ A 

m 

−3 

50⋅10 V 

Rm= = 1000 Ω= 1 kΩ 

−6 

50⋅10 A 

m 

m 


Feszültség‐méréshatár kiterjesztése 

U 

I 

U 

n = 

U 

e M m 

m m 

m 

R = = = 

= ( n −1) 

⋅ 

e 

e 

U 

−U 

I 

m 

Előtétellenállás: 

n ⋅U 

−U 

I 

m 

M 

m 

( n −1) 

⋅U 

= 

I 

e 

m 

R = ( n −1) 

⋅ R 


m 

R 

m

Feszültség‐méréshatár kiterjesztése 

A feszültségmérő voltonkénti belső ellenállása 

Példa: 

e 

R + R ⎡kΩ ⎤ 

m e = = 

U ⎢ 

M ⎣ V ⎥ 

⎦ 

Rm + Re 1 kΩ + 99 kΩ kΩ 

e = = = 20 

U 5 V V 

M 

az alapműszer adataival is ezt kapjuk: 

Rm 1 kΩkΩ e = = = 20 

U 50 mV 

V 

m 


Áram‐méréshatár kiterjesztése 

I 

n = 

I 

U 

R = s 

I 

M 

m 

s 

s 

= 

I 

U m 

− I 

M 

m 

Söntellenállás: 

U m = 

n ⋅ I − I 

m 

R 

s 

m 

U R 

m 

m 

= = 

( n −1) 

⋅ I ( n −1) 

Rm 

= 

( n −1) 

m 


Ellenállások csillag (Y) ‐delta (háromszög) átalakítása 


23 

13 

12 

13 

23 

12 

13 

23 

12 

2 

1 

) 

( 

) 

( 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

+ 

+ 

+ 

= 

+ 

× 

= 

+ 

23 

13 

12 

12 

13 

23 

12 

13 

23 

3 

2 

) 

( 

) 

( 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

+ 

+ 

+ 

= 

+ 

× 

= 

+ 

23 

13 

12 

23 

12 

13 

23 

12 

13 

3 

1 

) 

( 

) 

( 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

R 

+ 

+ 

+ 

= 

+ 

× 

= 

+ 

I. 

II. 

III.

Ellenállások csillag ‐ delta átalakítása 

Delta‐csillag átalakítás: Csillag‐delta átalakítás: 

R 

R 

R 

R h 

1 

2 

3 

= 

= 

= 

= 

R ⋅ R 12 

R 

R 

R 

R 

12 

12 

13 

+ 

h 

⋅ R 

R 

h 

⋅ R 

R 

h 

R 

13 

23 

23 

13 

+ 

R 

23 

R 

R 

R 

1 

R Y 

12 

13 

23 

R ⋅ R 1 2 = 

RY 

R ⋅ R 1 3 = 

R 

= 

1 

= 

R 


Y 

R ⋅ R 2 

R 

1 

Y 

3 

1 

+ 

R 

2 

1 

+ 

R 

3

Példa 

R AB=? 


1 3 5 

Példák 

R = R + R + R = 1+ 1+ 1= 3 kΩ 

h 

R ⋅ R 11 ⋅ 

= = = 0.3 Ω 

1 5 R6k Rh 

3 

R ⋅ R 11 ⋅ 

= = = 0.3 Ω 

3 5 R7k Rh 

3 

R ⋅ R 11 ⋅ 

= = = 0.3 Ω 

3 1 R8k Rh 

3 

RAB = R8 + (( R6 + R2) × ( R7 + R4)) 

2.3⋅2.3 RAB = 0.3 + = 1.5 kΩ 

2.3+ 2.3 

Elektrotechnika 77

Példák 

Számítsuk ki a kapcsolásban jelölt feszültségeket és áramokat 

R 

1 

R4 

R5 

= R = R = 40Ω 

2 

= 60Ω 

=120Ω 

U 300V 

0 = 

Re = R × R + R + R × R 

1 2 3 4 5 = 40Ω× 

40Ω 

+ 40Ω 

+ 60Ω× 

120Ω 

= 100Ω 

U 300V 

R 

40Ω 

1 

0 I = = = 3A 

I = I ⋅ = 3A⋅ 

= 1, 

5A 

2 3 

3 

R 100Ω 

R + R 40Ω 

+ 40Ω 

1 2 

e 

R 

120Ω 

5 I = I ⋅ = 3A 

⋅ 

= 2A 

4 3 

R + R 60Ω 

+ 120Ω 

4 5 

U = U = I ⋅ R = 1, 

5A⋅ 

40Ω 

= 60V 

1 

2 

2 

U = 

I ⋅ R = 2A 

⋅60Ω 

= 120V 

4 

4 

4 

2 

Elektrotechnika 78 

3

Példák 

Számítsuk ki a kapcsolásban jelölt feszültségeket és áramokat 

R e 

I 

1 

R = R 1 2 = R = 30Ω 

3 

R4 

= R5 

= 60Ω 

U 420V 

= R + R + R × R + R = 30Ω 

+ 30Ω 

+ 60Ω× 

30Ω 

+ 60Ω 

= 140Ω 

= 

I 

5 

1 

U 

= 

R 

e 

2 

0 

3 

420V 

= = 3A 

140Ω 

U = I ⋅ R = 3A⋅ 

30Ω 

= 90V 

1 

1 

1 

U = 

U −U 

= 420V 

− 90V 

= 330V 

15 

0 

R 

60Ω 

4 I = I ⋅ = 3A 

⋅ = 2A 

3 1 

R + R 30Ω 

+ 60Ω 

3 

1 

4 

4 

5 

0 = 

Elektrotechnika 79

Teljesítményszámítás, hatásfok 

Valamely villamos hálózati elem feszültségének és áramának szorzata a 

villamos teljesítmény vagy munkavégző képesség: 

2 

U 2 

P = U ⋅ I = = I ⋅ R 

R 

A villamos munka vagy energia: 

1W = 1V 

⋅1A 

W = E = P ⋅t 

= U ⋅ I ⋅t 

1Ws = 1V 

⋅1A⋅1s 

Ha egy villamos hálózatban megkülönböztethető a hasznos és az 

összes teljesítmény, akkor a hatásfok: 

η 

= 

P 

P 

hasznos 

összes 

Elektrotechnika 80

Teljesítményillesztés 

Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele annak, hogy az aktív kétpólus a 

legnagyobb teljesítményt szolgáltassa, tehát keressük meg a P=f(R t) 

függvény maximumát! 

Az aktív kétpólus hatásfoka: 

η 

= 

P 

hasznos 

P 

+ 

hasznos 

P 

veszteség 

= 

I 

2 

( 

b 


A körben folyó áram: 

I 

= 

R 

U 

b 

g 

+ R 

t 

Aterhelésre jutó teljesítmény: 

2 

2 Rt 

P = I ⋅ R = U ⋅ 

t g 

2 

( R + R ) 

b t 

2 

I ⋅ Rt 

R + R ) 

t 

= 

R 

b 

Rt 

+ 

R 

t 

81/x


Keressük meg a P=f(R t) függvény maximumát. A függvény szélső 

értéke ott van, ahol: 

dP 

dR 

t 

= U 

2 

g 

( R 

⋅ 

b 

2 

+ R ) − 2( 

R + R ) ⋅ R 

t 

b t t = 0 

4 

( R + R ) 

2 

Vagyis ahol: ( R + R ) = 2⋅ 

( R + R ) ⋅ R 

b t 

b t t 

Illetve: R + R = 2⋅ R 

b t 

t Azaz: 

Ez az egyetlen szélsőérték hely a P=f(Rt) folytonos függvény 

0 ≤ Rt < ∞ intervallumában, a szélsőérték maximum. 

2 

A legnagyobb teljesítmény tehát: 

U g 

Pmax 

4R 

= 

És a hatásfok: 

b 


t 

Rb 

η = 

2R 

R = 

R 

b 

t 

b 

= 

b 

0, 

5 

82/x


A terhelésre jutó teljesítmény és hatásfok a terhelő ellenállás 

függvényében: 


83/x

Figyelem! 

A jövő heti (okt. 19.) előadás elmarad! 

Következő előadás október 26. 

MEGHÍVÓ 

A Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kara és a Magyar Fuzzy Társaság 

meghívja Önt a 

Second Győr Symposium on 

Computational Intelligence 

(II. Győri Számítási Intelligencia Szimpózium) 

tudományos előadássorozatára. 

Időpont és helyszín: 2009. október 19, hétfő, a Széchenyi István Egyetem VIP 

termében (9026 Győr, Egyetem tér 1.) 

Elektrotechnika 84/x

Szuperpozíció tétele 

• Több generátoros hálózatok számítására használható módszer 

• A szuperpozíció tétel csak akkor alkalmazható, ha a hálózat lineáris 

• A hálózat valamennyi generátorát egyszer és csakis egyszer 

vesszük figyelembe 

• A generátorok hatástalanítása (dezaktiválása): 

• A hálózatban található generátorokat külön‐külön, egyenként vesszük figyelembe 

és ezáltal részeredményeket kapunk. Valamely keresett feszültség vagy áram 

értékét úgy számítjuk ki, hogy a részeredmények előjelhelyes összegét képezzük. 

• Ez utóbbi lépés a tulajdonképpeni szuperpozíció. 

Elektrotechnika 85/x

Példák 

1. Határozzuk meg a feszültségeket a szuperpozíció tétel 

alkalmazásával! 


Példák 

1. eset: A feszültséggenerátor hatásának vizsgálata. 

Helyettesítsük az áramgenerátort szakadással! 


Példák 

2. eset: Az áramgenerátor hatásának vizsgálata. 

Helyettesítsük a feszültséggenerátort rövidzárral! 


Példák 

2. eset: Az áramgenerátor hatásának vizsgálata. 

Helyettesítsük a feszültséggenerátort rövidzárral! 


Szuperpozíció: 

Példák 


Példák 

2. Határozzuk meg az R ellenállás áramát a szuperpozíció tétel 

alkalmazásával! 

I 

I 

' 

R 

'' 

R 

= 

= 

I 

I 

' 

1 

'' 

2 

R2 

⋅ 

R + R 

2 

R1 

⋅ 

R + R 

1 

I 

I 

' 

1 

'' 

2 

= 

= 

R 

1 

R 

2 

U 

U 

g1 

+ R × R 

g 2 


2 

+ R × R 

1 

' 

I = 

I + 

R R 

I 

'' 

R

• Thèvenin és Norton tétele 

Helyettesítő generátorok tétele 

• A Thévenin‐féle helyettesítő képet akkor alkalmazzuk, ha a terhelő 

ellenállás jóval nagyobb a belső ellenállásnál 

A Thévenin generátor: 


• Thèvenin és Norton tétele 

Helyettesítő generátorok tétele 

• Áramgenerátoros vagy Norton féle helyettesítő képet használunk 

akkor, ha a terhelő ellenállás sokkal kisebb, mint a belső ellenállás. 

A Norton generátor: 


KÖSZÖNÖM A FIGYELMET! 

KÉRDÉSEK? 

Elektrotechnika 94

R - Széchenyi István Egyetem

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?