Valószinüségszámitás fizikusoknak

Valószínűségszámítás és Statisztika: Alapfogalmak, Tézisek, Feladatok
FIZ II. tematika, Fritz József, jofri@math.elte.hu, 1998 március 20
Ez a segédanyag tartalmasabb egy szokványos tematikánál, de önmagában még így is igen
nehezen olvasható. Szóhasználata kissé pongyola, a definíciók, tételek és bizonyításaik
nincsenek formálisan kiemelve, a legtöbb gondolatmenet (számolás) csak vázlatosan szerepel.
Számos fogalom vagy tézis az előadáson még csak említésre sem került, mások csak
felületes tárgyalásban részesültek. Ezeket és a lényeges részeket szimbólumok segítségével
gondoltam kiemelni, a megjegyzéseket és utalásokat szintén. Bár a jegyzet legtöbb mondata
maga is találós kérdés, az egyes részekhez kiemelten megfogalmazott feladatok is csatlakoznak.
A befejezetlen mondatok végén olykor ! áll, a törzsanyaghoz nem tartozó részeket
a tartalomjegyzékben * , súlyosabb esetben ** jelöli. Várom Olvasó kritikus észrevételeit,
például a fenti e-mail címen.
Tartalomjegyzék
O. Középiskolás Fokon
O.1. Diszkrét valószínűségszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
O.2. Nevezetes eloszlások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
O.3. Döntési problémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I. Számosságok Statisztikus Értelmezése
I.1. Bináris sorozatok, exponenciális becslések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.2. Aszimptotikus törvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.3. Bolyongás és a hővezetés egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.4. A Lebesgue mérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.5. Ritka események sorozatai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.6. Curie-Weiss modell* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.7. Alacsony hőmérsékletű Ising modell* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.8. Markov láncok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.9. Ergodikus Markov láncok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.10. A tükrözési elv* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.11. Tönkremenetel egyszerű játékban* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.12. Kedvezőtlen helyzetben merész a jó játékos** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.13.
Óvatos stratégia kedvező helyzetben* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.14. Fogadások több lehetőségre* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.15. A legszebb kiválasztása* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.16. Szimmetrikus bolyongás d dimenzióban* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.17. Végtelen sok valószínűségi változó együttes eloszlása** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
A. Általános Elmélet
A.1. Valószínűségi mező . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
A.2. Valószínűségi változók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
A.3. Valós változó várható értéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
A.4. Együttes eloszlások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1

2
A.5. Korrelálatlan változók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.6. Nagy eltérések* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.7. Eloszlások konvergenciája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.8. Centrális határeloszlástétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A.9. Poisson határeloszlástétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A.10. Feltételes várható érték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A.11. Centrált sorozatok és martingálok** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
F. Sztochasztikus Folyamatok
F.1. Autoregresszív idősorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
F.2. Wiener folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
F.3. Kvadratikus variáció* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
F.4. Wiener folyamat és a hővezetés egyenlete* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
F.5. Feynman-Kac formula* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
F.6. Ito kalkulus** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
F.7. Langevin egyenlet* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
F.8. Ito folyamatok, többváltozós kalkulus** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
F.9. Független sorozatok konstrukciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
F.10. A Wiener folyamat folytonos* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
F.11. A Wiener folyamat nem differenciálható* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
F.12. Poisson folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
F.13. A tőzsde termodinamikája** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
S. Matematikai Statisztika
S.1. Többváltozós normális eloszlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
S.2. Lineáris regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
S.3. A két legfontosabb statisztika eloszlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
S.4. Statisztikai problémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
S.5. Cramer-Rao egyenlőtlenség* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
S.6. Lineáris modellek Gauss–Markov elmélete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
S.7. Konfidenciaintervallumok konstrukciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
S.8. A regressziós egyenes meredekségéről* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
S.9. Hipotézisvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
S.10. Kétmintás t próba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
S.11. Egyszerű osztályozás* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
S.12. Kétszempontos szóráselemzés* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
S.13. Szórások egyezése, F-próba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
S.14. Eloszlások vizsgálata χ 2 próbával . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
S.15. Wilcoxon próba* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
S.16. Empirikus eloszlásfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
S.17. Störmer és Sarkadi teszt* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
S.18. Az első- és másodfajú hiba* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
S.19. Szekvenciális eljárások* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
Ajánlott irodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

O. Középiskolás Fokon
Ebben a szakaszban teljesen elemi szinten vezetjük be az alapvető fogalmakat, vázoljuk a
szavak korrekt használatának lehetőségeit. Tartalmi kérdésekről még nincs szó.
O.1. Diszkrét valószínűségszámítás: Legyen Ω valamilyen véges vagy megszámlálható
halmaz, és tegyük fel hogy adottak a p(ω) ≥ 0 , ω ∈ Ω számok úgy hogy
ω∈Ω p(ω) = 1 .
Az A ⊂ Ω esemény valószínűségét P (A) :=
ω∈A p(ω) definiálja, ami kétféle szóhasználat
szerint is a valószínűség mértéke. Egyrészt a P (∅) = 0 és P (Ω) = 1 közötti skálán jellemzi
hogy A bekövetkezése milyen gyakran figyelhető meg, másrészt P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
ha A ∩ B = ∅ , vagyis P mérték a szó matematikai értelmében. Valamely ξ : Ω ↦→ X
valószínűségi változó eloszlása a
P [ξ = x] =
ω:ξ(ω)=x
p(ω) , x ∈ X (O1.1)
számok összessége; persze
x∈X P [ξ = x] = 1 . Ha most ϕ : X ↦→ R adott függvény, akkor
az η = ϕ(ξ) változó várható értéke az
Eϕ(ξ) :=
ϕ ξ(ω) p(ω) =
ϕ(x)P [ξ = x] (O1.2)
ω∈Ω
összeggel definiált átlag; D(ξ) := E(ξ − Eξ) 2 a ξ szórása.
Ha Ω (illetve X) véges, és minden p(ω) (illetve P [ξ = x]) valószínűség ugyanannyi,
akkor egyenletes eloszlásról beszélünk. Ilyenkor P (A) = Card A/Card Ω , ahol Card B a
B halmaz elemeinek száma. Például, ha fémpénz ismételt feldobásával generálunk fejírás
sorozatokat, akkor kézenfekvő a feltevés hogy az ugyanolyan hosszúságú sorozatok
mind egyforma valószínűségűek. Ha viszont egyszerre több érmével dobunk, akkor az is
eszünkbe juthat hogy a fejek számát jelző valószínűségi változó lesz egyenletes eloszlású.
Nem ez a helyzet mert az egyes érmék egymástól elvileg megkülönböztetendőek, de a kvantumelméletben
a bozonok vagy a fermionok elvi megkülönböztethetetlensége a statisztikai
jellemzésükben is tükröződik.
Egyenletes eloszlás érvényessége gyakran következik a probléma szimmetriájából, máskor
csak bizonyos valószínűségek egyenlőségét lehet ilyen alapon megállapítani. Boltzmann
elve szerint az azonos energiájú állapotok ugyanolyan valószínűségűek: ha H : Ω ↦→ R az
energia, és H(ω) = H(ω ′ ) , akkor p(ω) = p(ω ′ ) is igaz. Sőt, a
pβ,H(ω) = e−βH(ω)
Zβ
x∈X
Zβ :=
e −βH(ω)
ω∈Ω
3
(O1.3)
képlet is gyakran alkalmazható, ahol a β > 0 paraméter a hőmérséklet reciproka.
Legyen B ⊂ Ω adott, P (B) > 0 . A {P (A ∩ B) : A ⊂ Ω} valószínűségek összehasonlíthatósága
érdekében vezessük be a P (A|B) := P (A ∩ B)/P (B) feltételes valószínűségeket.
Ha P (A|B) = P (A) , vagyis P (A ∩ B) = P (A)P (B) , akkor azt mondjuk hogy az A és

4
B események függetlenek. Ha a Bk ⊂ Ω , k = 1, 2, ..., n pozitív valószínűségű események
páronként diszjunktak, és az egyesítésük Ω , akkor a teljes valószínűség tétele szerint
P (A) =
továbbá ha P (A) > 0 , akkor
n
P (ABk) =
k=1
P (Bk|A) =
n
P (A|Bk)P (Bk) (O1.4)
k=1
P (A|Bk)P (Bk)
n
j=1 P (A|Bj)P (Bj)
(O1.5)
ami az ”okok valószínűségéről“ szóló Bayes tétel néven ismert.
Ha most két változónk van, η értékkészlete Y , és ζ = ϕ(η, ξ) valós, akkor Eζ két
lépésben is számolható:
Eϕ(η, ξ) = Eψ ∗ ϕ(ξ) ahol ψ ∗ ϕ(x) = E[ζ|ξ = x] :=
y∈Y
ϕ(η, x)P [η = y|ξ = x] (O1.6)
a ζ változónak a p η|ξ(y|x) := P [η =y|ξ =x] feltételes eloszlás szerinti részleges átlagolással
kapott feltételes várható értéke ha ξ = x adott; E[ζ|ξ = x] := ψ ∗ ϕ(x) . (O1.4) alapján
EE[ζ|ξ] = Eϕ(ζ) , és a Eφ(ξ)ϕ(η, ξ) = Eφ(ξ)ψ ∗ ϕ(ξ) vetítési (ortogonalitási) relációk minden
(korlátos) φ : X ↦→ R esetén teljesülnek. Ez utóbbiak a ψ ∗ ϕ : X ↦→ R függvényt
egyértelműen meghatározzák; felhasználásukkal (O1.6) az Eϕ(η, ξ) = EE[ϕ(η, ξ)|ξ] absztrakt
megfogalmazásban is bizonyítható.
Ezek szerint két valószinűségi változó függetlensége a szinthalmazaik függetlenségeként
definiálandó, vagyis P [ξ = x, η = y] = P [ξ = x]P [η = y] ∀x ∈ X és y ∈ Y . Ez pontosan annyit
jelent hogy η feltételes eloszlása nem függ a feltételtől, és az Eϕ(ξ)ψ(η) = Eϕ(ξ)Eψ(η)
szorzási szabállyal egyenértékű. Ha tehát η és ξ független, akkor az
Eϕ(η, ξ) = Eψ(ξ) , ahol ψ(x) = Eϕ(η, x) (O1.7)
formula alkalmazható. Több változó (teljes) függetlensége az
Eφ(ξ1, ξ2, ..., ξn) =
n
Eϕk(ξk) ha φ(x1, x2, ..., xn) =
k=1
n
ϕk(xk) (O1.8)
egyenletek érvényességét jelenti. A (O1.7) szabály – többlépéses eljárásként – erre az esetre
is kiterjeszthető.
Nem minden feladat fogalmazható meg diszkrét valószínűségi mező segítségével, de a
számítógépek világában éppen erre kell törekedni. Másrészt viszont nagyméretű diszkrét
modellek aszimptotikus viselkedése gyakran írható le az eredetinél egyszerűbb, de már nem
véges, hanem folytonosnak minősíthető modell segítségével; konkrét jelenségek statisztikus
törvényeit többnyire így fogalmazzuk meg. A mérték és integrál absztrakt elméletének
ismeretében jól tudjuk hogy a két típus közötti különbség jóval kisebb, mint azt korábban
gondolhattuk volna.
k=1

Folytonos típusú ξ változó eloszlását gyakran az f sűrűségfüggvény adja meg; f =
f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R , és az integrálja éppen 1 . Szerepét az
∞
b
Eϕ(ξ) = ϕ(x)f(x) dx és P [a < ξ < b] = f(x) dx (O1.9)
−∞
képletek illusztrálják. Folytonos változók konstrukciójához megszámlálhatónál nagyobb
eseményteret kell választani. A statisztikus mechanika olyan valószínűségi változókat is
ismer, amelyek nem is diszkrétek, de sűrűségfüggvényük sincs. Szélsőséges esetben az
F (x) := P [ξ < x] eloszlásfüggvény folytonos, de a deriváltja majdnem mindenütt nulla.
O1.F1: Ha A, B, C ⊂ Ω páronként, illetve teljesen független, akkor Ā, ¯ B, ¯ C is az!
O1.F2: Urnában fekete (F) és piros (P) golyók vannak. Visszatevés nélkül húzunk, az
n-ik érték ξn . Ekkor P [ξ3 = F, ξ5 = P ] = P [ξ6 = P, ξ2 = F ] =?!
O1.F3: A ϕ(n) Euler függvény az n ∈ N-el relatív prímek száma; valószínűségszámítási
konstrukció segítségével határozza meg ϕ értékét! Legyen Ω = {1, 2, ..., n} , p(ω) = 1/n
∀ω , és vizsgálja az Ap := [p|ω] eseményeket, ahol p az n prímosztója; a p|ω relácó azt
jelenti hogy ω a p többszöröse.
O1.F4: Legyen Ω = N míg p(n) = 2 −n az egyes elemi események valószínűsége. Bizonyítandó
hogy a valószínűségi mérték minden lehetséges értéket felvesz!
O1.F5 ∗ : Az előző állítás általában nem igaz, de P értékkészlete mindig perfekt halmaz!
O1.F6 ∗∗ : Lehet-e nyereségesen lottózni?
O.2. Nevezetes eloszlások: Felsoroljuk néhány egydimenziós eloszlás főbb jellemzőit,
ξ mindig az aktuális változó, X az értékkészlete, Ψ = Ψ(z) := Ee ızξ a karakterisztikus
függvénye, és x ∈ X esetén f = f(x) a sűrűségfüggvénye, ha van. Az eloszlástípusok
jelölése nem általánosan elfogadott, még N(m, σ 2 ) helyett is előfordul az N(m, σ) terminus.
Binomiális eloszlás, B(n,p): X = {0, 1, ..., n} , p ∈ (0, 1) ,
P [ξ = k] =
n!
k!(n − k)! pk (1 − p) n−k , Eξ = np , D 2 (ξ) = np(1 − p) ,
Ψ(z) = p + (1 − p)e ız n , B(n, p) ∗ B(m, p) = B(n + m, p)
B(n,p) független bináris (0−1 értékű) változók összegének eloszlásaként származtatható.
Polinomiális eloszlás, Pn,r(p1, p2, ..., pn): Nemnegatív egész értékű νi , i = 1, 2, ..., r
változók együttes eloszlása, pi > 0 és p1 + p2 + · · · + pr = 1 ,
P [ν1 =n1, ν2 =n2, ..., νr =nr] =
n!
n1!n2! · · · nr! pn1 1 pn2 nr · · · pr a
5
ha n1 + n2 + · · · + nr = n ,
egyébként P = 0 ; Eνi = npi , D 2 (νi) = npi(1 − pi) , és a Stirling formulával
1
n log P [ν1 = n1, ν2 = n2, ..., νr = nr] =
n
i=1
ni
n
log npi
ni
+ o(1)

6
ha n = O(ni) ∀i .
Geometriai eloszlás, G(p): X = N , p ∈ (0, 1) ,
P [ξ = n] = p(1 − p) n−1 , Eξ = 1
p , D2 (ξ) =
1 − p
p 2 , Ψ(z) =
e ız
1 − (1 − p)e ız
Független és azonos p valószínűségű események sorozatában a első bekövetkezésének
időpontja.
Poisson eloszlás, P(λ): X = Z+ , λ > 0 ,
P [ξ = n] = λn
n! e−λ , Eξ = λ , D 2 (ξ) = λ , Ψ(z) = exp λ(e ız − 1) .
Poisson eloszlások konvolúciója: P (λ1) ∗ P (λ2) = P (λ1 + λ2) . Ha n → ∞ , akkor
B(n, λ/n) határeloszlása P(λ) .
Normális (Gauss) eloszlás, N(m,σ 2 ): X = R , m ∈ R és σ > 0 ,
f(x) = 1
σ √ 2π exp
(x − m)2
−
2σ2
, Eξ = m , D 2 (ξ) = σ 2 ,
Ψ(z) = exp(ızm − σ 2 z 2 /2) , N(m1, σ 2 1) ∗ N(m2, σ 2 2) = N(m1 + m2, σ 2 1 + σ 2 2) .
Polártranszformációval kapjuk az alapvető
x 2 +y 2 >r 2
exp(−x 2 /2 − y 2 ∞
/2) dxdy = 2π ue
r
−u2 /2 −r
du = 2πe 2 /2
formulát, innen a √ 2π normáló tényező. Jó tudni hogy Eξ 4 = 3σ 4 ha ξ eloszlása
N(0, σ 2 ) , tehát D 2 (ξ 2 ) = 2σ 4 . Az N(0, 1) standard normális eloszlásfüggvényt Φ = Φ(x)
jelöli, tehát P [ξ < x] = Φ(x/σ − m/σ) ha ξ ∼ N(m, σ 2 ) . Ha ξn ∼ B(n, p) akkor
(ξn−np)/ √ n határeloszlása N(0, p−p 2 ) . Mivel a −x −1 e −x2 /2 függvény deriváltja éppen
(1 + x −2 )e −x2 /2 ,
1
√ 2π
αe−α2 /2
∞
1
≤ (1 − Φ(α)) = √ e
1 + α2 2π α
−x2 /2 e
dx ≤ −α2 /2
α √ 2π
ha α > 0 , ami jól használható Φ közelítésére.
Egyenletes eloszlás, E(a,b): Értékkészlete [a, b] , ahol sűrűségfüggvénye
f(x) = 1
a + b
, Eξ = , D
b − a 2
2 (ξ) =
(b − a)2
12
Exponenciális eloszlás, Exp(λ): Pozitív értékű, λ > 0 ;
, Ψ(z) = eızb − e ıza
ızb − ıza .
f(t) = λe −λt , Eξ = 1
λ , D2 (ξ) = 1
λ
, Ψ(z) =
λ2 λ − ız .

Az exponenciális eloszlást az örök ifjúság P [ξ > t + s|ξ > s] = P [ξ > t] tulajdonsága
jellemzi. Ha τn ∼ G(λ/n) akkor τn/n határeloszlása Exp(λ) .
Gamma eloszlás, Γ(n, λ): n darab független Exp(λ) változó összege, sűrűségfüggvénye
az
∞
∞ ∞ ∞
Eϕ(ξ) =: ϕ(t)fn(t) dt = · · ·
0
0
0
0
ϕ(t)λ n e −λt dt1dt2 · · · dtn
formula alapján azonosítható, ahol t = t1+t2+· · ·+tn . Rögzített t > 0 mellett a tk > 0 ,
k = 1, 2, ..., n−1 változók alkotta n−1 dimenzós szimplex térfogata t n−1 /(n−1)! , tehát
fn(t) = λn t n−1 e −λt
(n − 1)!
, Eξ = n
λ , D2 (ξ) = n
, Ψ(z) =
λ2 λn ,
(λ − ız) n
Γ(n, λ) ∗ Γ(m, λ) = Γ(n + m, λ) .
Cauchy eloszlás, C(λ): Két független, 0 várható értékű normális változó hányadosaként
származtatható, X = R , λ > 0 , sűrűségfüggvénye
f(x) = 1
π
λ
λ 2 + x 2 , Ψ(z) = e−λ|z| ,
várható értéke sem létezik, C(λ1) ∗ C(λ2) = C(λ1 + λ2) .
Lognormális eloszlás, Log(m, σ 2 ): ξ = e η , ahol η N(m, σ 2 ) eloszlású, vagyis ξ olyan
pozitív változó, melynek logaritmusa normális. Sűrűségfüggvénye x > 0 esetén
f(x) =
1
xσ √ 2π exp
− log2 (x/M)
2σ 2
, Eξ = Me σ2 /2 , D 2 (ξ) = M 2 e σ 2
(e σ2
− 1)
ahol M = e m . Természetüknél fogva pozitív, pl. élettani mennyiségek eloszlása gyakran
ilyen. A pénzügyi matematikában is jelentős szerepet játszik.
Weibull eloszlás, Wei(λ, α): Pozitív értékű, λ, α > 0 , P [ξ > t] = exp(−λt α ) . Öregedő
alkatrészek élettartama gyakran jó közelítéssel ilyen eloszlású. Jellemzőinek számolása
a gamma függvényre vezethető vissza.
χ 2 eloszlás: χ 2 n := ξ 2 1 + ξ 2 2 + · · · + ξ 2 n , ahol ξ1, ξ2, ..., ξn független N(0, 1) változók;
az n paraméter a szabadsági fokok száma. Sűrűségfüggvénye konvolúcióként vagy polártranszformációval
számolható. Mivel az n-dimenziós r sugarú gömb felszíne éppen
2π n/2 r n−1 /Γ(n/2) , x > 0 esetén
fn(x) = xn/2−1 e −x/2
2 n/2 Γ(n/2)
∞
ahol Γ(z) :=
0
t z−1 e −t dt
a gamma függvény, ami Γ(n) = (n − 1)! , n ∈ N analitikus kiterjesztése; nagy z ∈ R
esetén a Stirling formulával számolható. Eχ 2 n = n , D 2 (χ 2 n) = 2n , χ 2 2 =Exp(1/2) ,
χ 2 2n = Γ(n, 1/2) . Ha ξk ∼ N(m, 1) akkor ξ 2 1 + ξ 2 2 + · · · + ξ 2 n = χ 2 n + 2n( ¯ ξn − m) + nm 2 ,
ami lényegesen nagyobb lehet mint χ 2 n mert √ n( ¯ ξn − m) ∼ N(0, 1) .
χn eloszlás: χ 2 n pozitív négyzetgyöke,
fn(x) = 2xn−1 e −x2 /2
2 n/2 Γ(n/2) Eχn =
√
2Γ(n/2 + 1/2)
≈
Γ(n/2)
√ n .
7

8
√
Student eloszlás: tn := ξ0 n/χn , ahol ξ0 és χn független, ξ0 ∼ N(0, 1) , n a szabadsági
fokok száma. Sűrűségfüggvénye szimmetrikus,
fn(x) =
Γ(n/2 + 1/2)
√ πn Γ(n/2) (1 + x 2 /2) n+1
D 2 (tn) = n
n − 2
ha n ≥ 2 , t1 Cauchy eloszlású, tn ≈ N(0, 1) ha n nagy. Nagyon sok statisztikai
vizsgálatnál játszik főszerepet.
F eloszlás: Fn,n ′ := n′ χ 2 n/nχ 2 n ′ két független χ2 változó normalizált hányadosa. Eloszlása
könnyen azonosítható, főleg hibák (szórásnégyzetek) összehasonlítására használják.
Béta eloszlás, B(α, β): α, β > 0 , ξ ∈ (0, 1) , ahol sűrűsége
fα,β(x) =
Γ(α + β)
Γ(α)Γ(β) xα−1 (1 − x) β−1
A rendezett minták elméletében és a statisztikában jelenik meg, lásd fent.
Lèvy típusú eloszlások, L(α, q): Sűrűségfüggvényük csak Fourier transzformációval ad-
ható meg:
f(x) = 1
∞
e
2π −∞
ıxz−q|z|α
dz
ahol q > 0 , 1 ≤ α ≤ 2 . L(α, q1)∗L(α, q2) =L(α, q1 +q2) , α = 1 a Cauchy, α = 2 a Gauss
eloszlás esete. Ha α < 2 akkor E|ξ| β csak akkor véges ha β < α . Újabban a pénzügyi
matematikában érdekes.
O2.F1: Igaz-e hogy P [ξ > 2] < 0.05 ha ξ ∼ N(0, 1) ? Mit ad a Markov egyenlőtlenség?
O2.F2: Igaz-e hogy P [ξ > 7] < 0.0008 ha ξ ∼ N(1, 2) ?
O2.F3: ξ és η független E(0,1) változók, P [max{ξ, η} < 2 min{ξ, η}] = ?
O2.F3: Ha ξ és η független N(0, 1), akkor ξ/η ∼ C(1), ξ 2 + η 2 ∼ Exp(1/2) !
O2.F4 ∗ : Legyen ρ Exp(λ), ϕ pedig E(0,2π) eloszlású, és függetlenek. Van-e olyan a > 0
szám hogy ρ a cos ϕ és ρ a sin ϕ is független?
O2.F5: Adott a ξ ∼ N(0, 1) változó, definiálandó olyan η hogy ξ és η együttesen is
normális, és η és ξ − η független!
O2.F6: Legyen ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) N(0,I) eloszlású, η := ξ1 + ξ2/3 + αξ3 . Van-e olyan α szám
hogy a ξ1 , η − ξ1 és az η − ξ1 − ξ2 változók függetlenek?
O2.F7: Mennyi Eξ 4 ha ξ ∼ N(m, σ 2 )?
O2.F8 ∗ : Melyik τ > 0 változó tesz eleget a P [τ > t + s|τ > t] = P [τ > s] t, s > 0
egyenletnek, és ez hogyan interpretálható?
O.3. Döntési problémák: Tegyük fel hogy az Ω diszkrét halmazon két valószínűség,
P1 és P2 is adott, és a ξ : Ω ↦→ X változó megfigyelt értéke alapján kell eldöntenünk,
hogy P1 és P2 közül melyik érvényes. Ez úgy lehetséges, hogy kiválasztunk egy D ⊂ X
halmazt, és ξ ∈ D esetén a P1 , míg ha ξ /∈ D , akkor P2 mellett döntünk. Kétféleképpen

tévedhetünk, P1[ξ /∈ D] az elsőfajú hiba, P2[ξ ∈ D] pedig a másodfajú hiba valószínűsége.
A Neyman-Pearson lemma szerint minden
D(α) := x ∈ X : P1[ξ = x] ≥ αP2[ξ = x]
(O3.1)
típusú döntési tartomány, ahol α > 0 , a következő értelemben optimális: Ha
Valóban, a feltétel szerint
vagyis
tehát
P1[ξ /∈ D] ≤ P1[ξ /∈ D(α)] akkor P2[ξ ∈ D] ≥ P2[ξ ∈ D(α)] . (O3.2)
P1[ξ /∈ D] = P1[ξ /∈ D ∪ D(α)] + P1[ξ ∈ D(α) \ D]
≤ P1[ξ /∈ D(α)] = P1[ξ /∈ D ∪ D(α)] + P1[ξ ∈ D \ D(α)] ,
P1[ξ ∈ D(α) \ D] ≤ P1[ξ ∈ D \ D(α)] ≤ αP2[ξ ∈ D \ D(α)] ,
P2[ξ ∈ D(α)] ≤ P2[ξ ∈ D(α) ∩ D] + 1
α P1[ξ ∈ D(α) \ D]
≤ P2[ξ ∈ D(α) ∩ D] + P2[ξ ∈ D \ D(α)] = P2[ξ ∈ D] .
Mindkét hiba egyidejű optimalizálása persze lehetetlen.
Ezzel szemben a Q(D) := q1P1[ξ /∈ D] + q2P2[ξ ∈ D] veszteség minimuma mindig
meghatározható: Tetszőleges D ⊂ X és előírt q1, q2 > 0 súlyok (költségtényezők) esetén
Q(D) ≥
min q1P1[ξ = x] , q2P2[ξ = x] = Q D(q2/q1) . (O3.3)
x∈X
Az így meghatározott, optimális Bayes döntés a következőképpen is értelmezhető. Feltehetjük
hogy q1 + q2 = 1 , és mondhatjuk hogy ezek a számok H1 ∼ P1 illetve H2 ∼ P2
alternatívák a-priori, vagyis a ξ megfigyelését megelőzően elfogadott valószínűségei. A
P1[ξ = x] q1
P2[ξ = x] q2
ˆp1(x) :=
és ˆp2(x) :=
P1[ξ = x] q1 + P2[ξ = x] q2
P1[ξ = x] q1 + P2[ξ = x] q2
számokat a H1 illetve H2 hipotézisek a-posteriori (megfigyelés utáni) valószínűségének
nevezzük; ez a szóhasználat a (O1.5) Bayes formulával teljes összhangban van. Az optimális
döntés úgy történik, hogy a nagyobb a-posteriori valószínűségű hipotézist fogadjuk el. Ez a
szabály több hipotézis esetén is működik, ilyenkor az X halmazt a P1, P2, ..., Pd hipotetikus
eloszlásokhoz rendelt, páronként diszjunkt D1, D2, ..., Dd elfogadási tartományokra osztjuk
fel, vagyis Pk(ξ /∈ Dk) a k-ik hibafajta valószínűsége. Adott qk ≥ 0 költségek esetén az
a-posteriori valószínűségeket
ˆpk(x) :=
Pk[ξ = x] qk
d
j=1 Pj[ξ = x] qj
definiálja, és a Q(D1, D2, ..., Dd) := d
k=1 qkP [ξ /∈ Dk] veszteséget a legnagyobb a-posteriori
valószínűségű lehetőség elfogadásával minimalizálhatjuk. Ha több ilyen van, akkor
közülük akár sorsolással is választhatunk.
O3.F1: Definiálandó olyan Ω eseménytér amin az a posteriori valószínűségek – a Bayes
tétel szellemében – feltételes valószínűségként értelmezhetőek!
O3.F2: Hogyan terjeszthetőek ki a szakasz eredményei sűrűségfüggvénnyel rendelkező
eloszlások megkülönböztetésére?
9

10
I. Számosságok Statisztikus Értelmezése
Lehetőleg egyszerű példák (modellek) kapcsán kívánjuk az alapelveket és módszereket bemutatni.
Fogalmi, tartalmi és technikai szempontból egyaránt ez a legnehezebb anyagrész.
I.1. Bináris sorozatok, exponenciális becslések: Jelölje Ωn az n hosszúságú 0 − 1
sorozatok halmazát, tehát Ωn általános eleme ω = (ω1, ω2, ..., ωn) ahol ωk = 0 vagy 1 ,
és legyen νn(ω) = ω1 + ω2 + · · · + ωn az ω ∈ Ωn sorozatban előforduló egyesek száma.
Összesen 2 n ilyen sorozat van, és azoknak a száma ahol νn(ω) = k , éppen
Card [νn = k] =
n
=
k
n!
k!(n − k)!
= n(n − 1) · · · (n − k + 1)
k!
ahol 0 ≤ k ≤ n . A fenti binomiális együtthatók a legkönnyebben az
(I1.1)
n! = √ 2πn (n/e) n exp(θn/12n) , ahol 0 < θn < 1 (I1.2)
Stirling formula segítségével értékelhetőek ki, első közelítésben
log
n
= k log
k
n
n
+ (n − k) log + O(log n)
k n − k
ha n = O(k) = O(n − k) , ennél pontosabb az (I2.3) képlet. Ha tehát 0 < ρ < 1 és
kn
lim
n→∞ n
1
= ρ akkor lim
n→∞
n log Card [νn = kn] = h(ρ) ,
ahol h(ρ) := ρ log 1
+ (1 − ρ) log
ρ
1
1 − ρ
(I1.3)
a Boltzmann-Shannon féle entrópia. Látható hogy 0 ≤ h(ρ) ≤ log 2 = h(1/2) . Ez persze
még nem jelenti azt hogy νn(ω)/n a vizsgált sorozatok többségénél 1/2 közelében van, ha
n nagy. Másrészt viszont tetszőleges z ≥ 0 esetén
−znρ
Card [νn ≥ nρ] ≤ e
ω∈Ωn
e zνn(ω) = e −znρ (1 + e z ) n = exp(n log(1 + e z ) − nzρ) .
Az érdekes ρ ≥ 1/2 esetben a szabad paraméter optimális értéke z = log ρ
1−ρ
≥ 0 ,vagyis
inf
z≥0 {log(1 + ez ) − zρ} = h(ρ) , tehát Card [νn ≥ nρ] ≤ e nh(ρ) . (I1.4)
Végül (I1.3) és (I1.4) alapján, tetszőleges ε > 0 és 1 > ρ ≥ 1/2 mellett érvényes a
lim
n→∞
1
n log Card [nρ ≤ νn < nρ + nε] = h(ρ) (I1.5)

aszimptotikus formula. Ha ρ ≤ 1/2 akkor Card [nρ−nε < νn ≤ nρ] viselkedése a probléma
szimmetriája miatt ugyanaz, tehát
νn
Card
n
1
− ≥ δ
2
11
≤ 2 exp nh(δ + 1
2 ) ha 0 < δ ≤ 1/2 . (I1.6)
I.2. Aszimptotikus törvények: Azért hogy a különböző hosszúságú sorozatokkal kapcsolatos
állításokat össze tudjuk hasonlítani, már most célszerű bevezetni az A ⊂ Ωn
esemény P (A) := 2 −n Card A valószínűségét; ez a definíció azt fejezi ki hogy az ugyanolyan
hosszúságú sorozatok egyformán valószínűségűek. Ezzel a jelöléssel (I1.6) a nagy számok
egyik (gyenge) törvényét eredményezi:
lim
n→∞ P | νn
n
− 1
2 | ≥ δ = 0 (I2.1)
minden δ > 0 estén igaz, és a konvergencia sebessége exponenciális. Kényelmesebb
jelölésmód érdekében legyen ζn(ω) := 2νn(ω) − n , ekkor (I2.1) szerint a δn ’nagy eltérés‘
valószínűsége, ami P [|ζn| ≥ δn] , exponenciálisan kicsi ha δ > 0 és n → +∞ . A Stirling
formula segítségével a √ n nagyságrendű eltérések valószínűsége is kiszámolható; ha
−∞ ≤ a < b + ∞ akkor
lim
n→∞ 2−nCard [a √ n < ζn < b √ n] = 1
b
√ e
2π a
−x2 /2
dx (I2.2)
Valóban, ha k = n/2 + x √ n/2 és n → +∞ akkor O(1/n) nagyságrendig
− log
n
= log
k
2k(n − k)π/n + k log k
n − k
+ (n − k) log + O(1/n)
n n
= log nπ/2 − n log 2 + (n + 1) log 1 − x2 /n + x
2 √ n log 1 + x/√n 1 − x/ √ n
+ O(1/n) = log nπ/2 − n log 2 + x 2 /2 + O(1/n)
ami a Moivre-Laplace tétel következő alakját adja:
2 −n
n
k
(I2.3)
= exp−(2k − n) 2 /2n
√
1 + O(1/n) ha k = n/2 + O( n) (I2.4)
nπ/2
Innen (I2.2) már egyszerűen következik, de az alábbi eredményből is levezethető.
lim 2−n
n→∞
ω∈Ωn
ϕ ζn(ω)
∞
1
√ = √2π ϕ(x)e
n
−∞
−x2 /2
dx (I2.5)
ahol ϕ : R ↦→ R folytonos és korlátos függvény; egyszerűség kedvéért feltesszük hogy ϕ
négyszer folytonosan differenciálható, és a negyedik deriváltja korlátos.

12
A (I2.2) összefüggés a P [a √ n < ζn < b √ n] valószínűségről szól, és centrális határeloszlás
tétel néven ismert; a jobboldalon álló számot is valószínűségként értelmezzük. A (I2.5)
baloldalán látható átlag a ϕ(ζn/ √ n) (valószínűségi) változó várható értéke,
Eϕ ζn −n √n = 2
ω∈Ωn
ϕ ζn(ω)
√ =
n
n
k=0
ϕ 2k − n
√ P [νn = k] . (I2.6)
n
A jobboldalon (standard) normális eloszlás szerint számolt várható érték áll; ilyen és hasonló
szavakat és jelöléseket a továbbiakban rendszeresen használunk.
I.3. Bolyongás és a hővezetés egyenlete: (I2.5) bizonyítása érdekében tetszőleges
ε > 0, t ≥ 0, n ≥ t/ε 2 és (ω1, ω2, ..., ωn) = ω ∈ Ωn esetén legyen
Wε(t, ω) := ε
k≤t/ε 2
(2ωk − 1) = ε
k≤t/ε 2
σk = εζ [t/ε 2 ]
ahol σk := 2ωk − 1 = ±1 , míg [x] az x ∈ R szám egész része. A W1(·, ω) függvényeket
a (véletlen) bolyongás pályáinak (trajektória, realizáció) nevezzük; W1(n, ω) = ζn(ω) .
Bármely x ∈ R és ε, t > 0 számhármashoz hozzárendelhető az alábbi várható érték, és
−n
uε(t, x) := Eϕ(Wε(t) + x) = 2
ω∈Ωn
ϕ(Wε(t, ω) + x)
nem függ a definíciójában szereplő n ≥ t/ε 2 sorozathossztól. Az összegzést két részre
bontva aszerint hogy ω1 = 1 vagy ω1 = 0 kapjuk hogy
uε(t + ε 2 , x) = uε(t, x + ε) + uε(t, x − ε)
2
vagyis (I3.1)
uε(t + ε2 , x) − uε(t, x)
ε2 = uε(t, x + ε) + uε(t, x − ε) − 2uε(t, x)
2ε2 Érdemes észrevenni hogy (I3.1) olyan rekurzív összefüggés, amely az uε(t, x) függvényt
– az uε(0, x) = ϕ(x) kezdeti értékekből kiindulva – meghatározza. A második változat
szerint viszont (I3.1) nem más mint a ∂tu(t, x) = 1
2∂2 xu(t, x) hővezetési egyenlet numerikus
megoldásának algoritmusa; a kezdeti érték u(0, x) = uε(0, x) = ϕ(x) , tehát
u(t, x) = 1
∞
√ ϕ(y) exp(−(y − x)
2πt −∞
2 /2t) dy , (I3.2)
amiből az is látszik hogy |∂ 4 xu(t, x)| ≤ c ha |∂ 4 xϕ(x)| ≤ c . Mivel ∂ 2 t u = 1
4 ∂4 xu , a |∂ 2 t u(t, x)| ≤
c/4 becslés is igaz.
Indukcióval bizonyítjuk hogy az adott feltételek mellett
u(t, x) − cε 2 t/6 ≤ uε(t, x) ≤ u(t, x) + cε 2 t/6 , (I3.3)

ami a t = 0 időpontban biztosan teljesül. A továbblépés kulcsa a következő két becslés:
|u(t, x + ε) + u(t, x − ε) − 2u(t, x) − ∂ 2 xu(t, x)ε 2 | ≤ cε 4 /12
|u(t + ε 2 , x) − u(t, x) − ∂tu(t, x)| ≤ cε 4 /8
Ha tehát (I3.3) valamely t > 0 időpontban igaz, akkor
uε(t + ε 2 , x) ≤ u(t, x + ε)/2 + u(t, x − ε)/2 + cε 2 t/6
≤ u(t, x) + ∂ 2 xu(t, x)ε 2 /2 + cε 2 t/6 + cε 4 /24
≤ u(t, x) + ∂tu(t, x)ε 2 + cε 2 t/6 + cε 4 /24
≤ u(t + ε 2 , x) + cε 2 (t + ε 2 )/6 + cε 4 /24 + cε 4 /8 − cε 4 /6 ,
ami a felső becslést igazolja. Az alsó becslés levezetése hasonló, tehát uε(t, x) → u(t, x)
amikor ε → 0 . Innen az ε = 1/n és x = 0 speciális esetként (I2.5) is következik.
(I2.2) bizonyítható a Stirling formula segítségével is, de (I2.5) formális következményeként
is megkapható a ϕ = 1a,b választással, ahol 1a,b(x) = 1 ha a ≤ x ≤ b , egyébként
pedig 0 . Ezt ugyan nem tehetjük meg, de minden δ > 0 számhoz választhatunk olyan
folytonos ϕδ és ¯ϕδ függvényeket, hogy 1a+δ,b−δ ≤ ϕδ ≤ 1a,b ≤ ¯ϕ ≤ 1a−δ,b+δ , és így (I2.2)
a δ → 0 határátmenettel következik.
Látható hogy a Wε(s) és a Wε(s + t) − Wε(s) változók függetlenek, és a Wε(s + t) −
Wε(s) növekmény eloszlása nem függ s-től. A nevezetes Wiener folyamat a Wε skálázott
bolyongások határeloszlása.
I.4. A Lebesgue mérték: Ahogy ε csökken, a Wε(t, ω) , 0 ≤ t ≤ 1 változók definiálásához
mindig hosszabb és hosszabb sorozatokra van szükség, ezért érdemes a problémát
eleve a végtelen sorozatok terén megfogalmazni. Ilyenkor egy sorozat valószínűségéről nem
beszélhetünk, de a szóbanforgó események ábrázolhatóak a [0, 1) intervallumon a számok
ω = ∞
n=1 ωn2 −n bináris kifejtésével. Például, az [ω1 = x1, ω2 = x2, ..., ωn = xn] esemény
képe az [x, x + 2 −n ) intervallum, ahol x = x1/2 + x2/4 + · · · + xn/2 n . Bonyolultabb esetekben
is könnyen belátható hogy egy A ⊂ Ωn esemény fentebb bevezetett valószínűsége
éppen a neki megfelelő halmaz hossza (Lebesgue mértéke) lesz. Az ωn bináris jegyek
valószínűségi változóként értelmezhetőek, P [ωn = 1] = 1/2 és az ωn sorozat független.
Eszerint a Lebesgue mérték a fej-írás játék matematikai modellje.
I4.F1: Definiálandó – a Lebesgue mértékre vonatkozóan N(0,1) eloszlású függvény a [0, 1]
intervallumon!
I4.F2: pk > 0 , k ∈ N , Σkpk = 1 . Definiálandó olyan ξn : [0, 1) ↦→ N sorozat amely a P
Lebesgue mérték szerint független és P [ξn = k] = pk .
I4.F3 ∗ : Legyen µp a ξ = ∞
n=1 2−n ηn eloszlása, ahol ηn független B(1,p) sorozat. Ekkor
µ 1/2 éppen a Lebesgue mérték [0, 1]-en, az összes többi pedig szinguláris!
I4.F4 ∗ : Definiálandó független E(0,1) eloszású sorozat [0, 1]-en!
I4.F5 ∗ : A ξ, η : [0, 1] ↦→ [0, 1] folytonos függvények lehetnek-e független E(0,1) eloszlásúak
a Lebesque mértékre vonatkozóan?
13

14
I.5. Ritka események sorozatai: Jelölje Ωr,n az olyan ω = (ω1, ω2, ..., ωn) sorozatok
halmazát, ahol mindegyik ωk koordináta az {1, 2, ..., r} számok valamelyike; összesen r n
ilyen sorozat van. Tulajdonképpen az n = ∞ esetben definiáljuk a τr,ℓ = τr,ℓ(ω) ∈ N
változókat úgy hogy τr,1 < τr,2 < · · · < τr,ℓ < · · · és ha τr,ℓ = k akkor ωk = r . Tehát
τr,ℓ , ℓ ∈ N azoknak a k sorszámoknak (időpontoknak) a sorozata, ahol ωk = r ; τr,ℓ éppen
az ℓ-edik ilyen időpont. Ha ilyen nincs, akkor τr,ℓ = +∞ . Végül tetszőleges t ≥ 0 esetén
legyen Nr(t) = Nr(t, ω) = ℓ ha τr,ℓ(ω) ≤ rt < τr,ℓ+1(ω) .
Az ugyanolyan hosszúságú sorozatokat egyforma valószínűségűnek tekintjük, tehát bármely
Ωr,n halmazzal dolgozunk is, ha n ≥ rt mindig azt kapjuk hogy
[rt] 1
P [Nr(t) = ℓ] =
ℓ rℓ 1
[rt]−ℓ
1 − , (I5.1)
r
ahol [x] az x ∈ R szám egész részét jelöli. Hasonlóan, ha n ≥ k , úgy
ha r és k nagy, általában pedig
P [τr,ℓ = k] =
P [τr,1 = k] = 1
1k−1
1
1 − ≈
r r r e−k/r
k − 1 1
ℓ − 1 rℓ 1k−ℓ
1 (k/r)
1 − ≈
r r
ℓ−1e−k/r (ℓ − 1)!
A binomiális együtthatók számolásával közvetlenül ellenőrizhető hogy
lim
r→∞ P [Nr(t) = ℓ] = tℓ
ℓ! e−t
(I5.2)
(I5.3)
vagyis Nr(t) határeloszlása Poisson. Bonyolultabb a τr,ℓ változók esete, a τr,ℓ/r hányadosnak
van határeloszlása, ami a folytonos. Megmutatjuk hogy ha ϕ : R ↦→ R folytonos és
korlátos, akkor
lim
r→∞ Eϕτr,ℓ
= lim
r r→∞
Azt mindenesetre tudjuk hogy
lim
r→∞ eℓ/r
∞
k=1
ϕ( k
r )P [τr,ℓ
∞
= k] =
0
∞
ϕ( k
r )(k/r)ℓ−1
(ℓ − 1)!
k=1
t
ϕ(t)
ℓ−1
(ℓ − 1)! e−t dt . (I5.4)
1
e−k/r
r =
∞
ϕ(t)
0
tℓ−1e−t (ℓ − 1)! dt
mert a baloldali összeg az integrál közelítése, amiből a ϕ(x) ≡ 1 választással
e
lim
r→∞
ℓ/r
r
∞
k=1
(k/r) ℓ−1
(ℓ − 1)! e−k/r = 1

adódik. Másrészt, 1 − x ≤ e −x miatt
P [τr,ℓ = k] ≤ eℓ/r (k/r) ℓ−1 e −k/r
r(ℓ − 1)!
de a baloldalon álló valószínűségek összege persze 1 , tehát a ϕ korlátossága miatt (I5.4)
most már azonnal következik.
Érdemes észrevenni hogy a τr,1, τr,2 − τr,1, ..., τr,ℓ+1 − τr,ℓ változók függetlenek és ugyanolyan
eloszlásúak. Hasonlóan, az Nr(t1), Nr(t2) − Nr(t1), ..., Nr(tk+1) − Nr(tk) sororat is
független hacsak 0 < t1 < t2 < · · · < tk , továbbá Nr(s+t)−Nr(s) és Nr(t) mindig ugyanolyan
– aszimptotikusan Poisson – eloszlású. Mindezek a Poisson folyamat konstrukciójakor
lényegesek, ami Nr határeloszlása amint r → +∞ .
I.6. Curie-Weiss modell: Jelölje Σn az n hosszúságú ±1 sorozatok halmazát, β > 0 ,
γ ∈ R ,
p (n)
β,γ (σ) := expnγηn(σ) + nβ
2 η2 n(σ)
ahol ηn(σ) :=
Zn(β, γ)
1
n
σk
n
k=1
Zn(β, γ) =
exp
σ∈Σn
nγηn(σ) + nβ
2 η2 n(σ)
(I6.1)
n
n
= exp
k
2γ(2k − n) + β
(2k − n)2
2n
k=0
diszkrét eloszlás a Σn halmazon. A domináló exponenciális nagyságrend (I1.3) segítségével
választható ki, tehát
1
lim log e
n→∞ n nλi = max
i λi (I6.2)
formális alkalmazásával
1
lim
n→∞ n log Zn(β, γ) = G(β, γ) := sup g(x, β, γ) ,
|x|

16
A g függvény stacionárius pontjait az
y = − γ
β
1 1 + y
+ log
2β 1 − y
(I6.5)
egyenlet megoldásával kapjuk. Egyetlen gyök van ha β < 1 vagy βγ elég nagy, de lehet
három is; jelölje y ∗ = y ∗ (β, γ) a legnagyobb abszolút értékűt, ez adja g maximumát. Ebből
is kettő lehet ha γ = 0 , de y ∗ (β, γ) = −y ∗ (β, −γ) . Mivel y = 0 mindig gyök ha γ = 0 , talán
meglepő hogy y + (β) := y ∗ (β, +0) > 0 ha β > 1 , persze y − (β) := y ∗ (β, −0) = −y + (β) .
Ezt a jelenséget nevezhetjük spontán mágnesezettségnek. Azt is könnyű ellenőrizni hogy
y + (β) → 1 ha β → +∞ .
Ha tehát β ≤ 1 vagy γ = 0 akkor P (n)
β,γ [|ηn − y ∗ (β, γ)| < ε] → 1 ∀ε > 0 amint n → +∞ .
Ha γ = 0 és β > 1 akkor csak annyit mondhatunk hogy P [y − (β)−ε < ηn < y + (β)+ε] → 1 .
Nagyon érdekes ηn eloszlásának viselkedése a β = 1 kritikus érték közelében, legyen
γ = 0 míg β = 1 + 2b/ √ n , ahol b ∈ R tetszőleges. Megmutatjuk hogy a korábban
tapasztalttal szemben, nem a √ nηn , hanem a n 1/4 ηn mennyiségnek van határeloszlása, és
az nem Gauss. Ez annak köszönhető, hogy a rendszerben érvényesülő erős kölcsönhatás
miatt a σk spinek sokkal nagyobb valószínűséggel lehetnek azonosak mint az eddig vizsgált
független esetben. Azt hogy miért éppen n −1/n a korrekt normálás, és mi a határeloszlás,
a következő elemi számolás mutatja.
Ha x ∈ R olyan hogy k = n/2 + xn 3/4 /2 egész szám, akkor
tehát (I2.3) alapján
P [n 1/4 ηn = x] =
1 n
exp
Zn(β, 0) k
( √ n/2 + b)x 2
logP [n 1/4 ηn = x] = − log Zn(β, 0) + log
n
+
k
x2
2 (n1/2 + 2b)
= Cn(b) + Ox( 1 x2
) +
n 2 (n1/2 + 2b) − n
2 log(1 − x2n −1/2 )
− xn3/4
2
log(1 + xn −1/4 ) + xn3/4
2
log(1 − xn −1/4 )
(I6.6)
(I6.7)
ahol Cn(b) nem függ x-től, Ox(1/n) pedig 1/n nagyságrendű mindaddig amíg x valamely
korlátos intervallumban változik. A log(1 + y) = y − y 2 /2 + y 3 /3 − · · · sorfejtés felhasználásával
belátható hogy az n-től lényegesen függő tagok kiejtik egymást:
logP [n 1/4 ηn = x] = Cn(b) + Ox(n −1/4 ) + x2
− xn3/4 −1/4 x
xn −
2
2n−1/2 2
= Cn(b) + Ox(n −1/4 ) + bx 2 − x4
12
2 (n1/2 + b) + n
2 −1/2 x
x n +
2
4
2n
+ x3n−3/4 xn
−
3
3/4 −1/4 x
xn +
2
2n−1/2 +
2
x3n−3/4 3
(I6.8)

Mivel valószínűségi eloszlásról van szó, azt várjuk hogy
lim
n→∞ Cn(b)
∞
= − log Z(b) ahol Z(b) = exp(bx 2 − x 4 /12) dx (I6.9)
tehát n 1/4 ηn határeloszlásának sűrűségfüggvénye éppen
−∞
fb(x) = 1
Z(b) exp bx 2 − x 4 /12
−∞
17
(I6.10)
vagyis folytonos és korlátos ϕ : R ↦→ R esetén
lim
n→∞ Eϕ(n1/4 ∞
ηn) = ϕ(x)fb(x) dx . (I6.11)
Ennek pontos bizonyítása további, pusztán technikai lépéseket igényelne, de fontosabb az
az észrevétel hogy fb konvex (egycsúcsú) a kritikus hőmérséklet fölötti b < 0 tartományban,
viszont duplafenekű amikor két fázis van, vagyis b > 0 .
Tulajdonképpen azt igazoltuk hogy ha xn → x úgy hogy k = n/2 + xnn 3/2 /2 egész
szám, továbbá γ = 0 és β = 1+2b/ √ n akkor
lim
n→∞
(I6.4) alapján meg lehet mutatni hogy
P [n 1/4 ηn = xn]
P [n 1/4 ηn = 0] = exp bx 2 − x 4 /12
lim
n→∞
n 3/4
ami P [n 1/4 ηn = 0] = 1/Zn miatt a bizonyítás végét jelentené.
(I6.12)
2 Zn(1 + 2b/ √ n, 0) = Z(b) (I6.13)
I.7. Alacsony hőmérsékletű Ising modell: A hosszútávú rend – alacsony hő mérsékleten
észlelhető jelensége – erősen függő változók rendszerével írható le. A Z2 síkrács
pontjai egységnégyzetek középpontjai, ezek határoló szakaszait nevezzük éleknek. Legyen
Σ +
Λ az olyan σ = (σk) k∈Z2 , σk = ±1 sorozatok halmaza, hogy σk = 1 ha k /∈ Λ , ahol
Λ ⊂ R2 nagyméretű rácsnágyzet, továbbá
H + 1
Λ (σ) :=
4
k∈Z2 j:|j−k|=1
(σj − σk) 2 ha σ ∈ Σ +
. (I7.1)
Ha tehát ∂(σ) az olyan élek halmaza, amelyek két oldalán különböző előjelű σ(k) spinek
ülnek, akkor H +
Λ (σ) = 2Card ∂(σ) . Kontúrnak nevezzük és Γ-val jelöljük élek összefüggő
halmazait.
Valamely σ ∈ Σ +
Λ konfiguráció valószínűségét
p +
Λ,β (σ) := exp−βH +
Λ (σ)
Z +
Λ (β)
, Z +
Λ (β) =
σ∈Σ +
Λ
exp −βH +
Λ (σ)
Λ
(I7.2)

18
definiálja, ahol β > 0 . Események ennek megfelelő valószínűségét P +
Λ,β jelöli. Innen azonnal
következik Peierls egyenlőtlensége: annak valószínűsége hogy egy Γ kontúr a konfiguráció
∂ = ∂(σ) határának része,
P +
Λ,β [Γ ⊂ δ] ≤ exp −2β Card Γ . (I7.3)
Mivel σ(0) = −1 csak úgy lehetséges hogy a σ ∈ Σ +
Λ konfiguráció ∂(σ) határa tartalmaz
olyan Γ kontúrt amelynek a rács 0 kezdőpontja a belsejében van, Peierls egyenlőtlensége
szerint
P +
Λ,β [σ(0) = −1] ≤ P +
Λ,β (AΓ)
∞
≤ C(n)e −2βn , (I7.4)
Γ
ahol AΓ ⊂ Σ +
Λ a fent jellemzett konfigurációk halmaza, C(n) pedig a 0-t körülfogó n
hosszúságú kontúrok száma. A legrövidebb kontúr hossza legalább 4 , és könnyen belátható
hogy C(n) ≤ n3n , tehát az (I7.4) jobboldalán álló sor β > log √ 3 esetén már konvergens,
és
lim
β→∞ sup P +
Λ,β [σ(0) = −1] = 0 . (I7.5)
Λ
Eszerint akármilyen nagy is a Λ négyzet, a határán uralkodó +1 peremfeltétel az
origóban is érvényesül ha β elég nagy. Ez a hosszú távú rend, másnéven elsőrendű
fázisátalakulás, amit a következőképpen is körül lehet írni. A Λ → Z2 termodinamikai
határátmenet elvégzése után olyan P +
β eloszlást kapunk a végtelen konfigurációk terén,
ami az (I7.4) becslésnek szintén eleget tesz: +
Γ P β [AΓ] < +∞ ha β > log √ 3 . Később
megmutatjuk (Borel–Cantelli lemma) hogy ilyenkor az AΓ események közül csak véges sok
következhet be, tehát a 0-t (illetve bármely másik rácspontot is), csak véges sok kontúr
veszi körül. Ezt úgy is elmondhatjuk hogy a +1 spinek összefüggő tengerében véges szigetek
a kontúrokkal határolt tartományok. Ezek határának belső oldalán csak −1 spinek vannak,
de beljebb még lehetnek +1 tavak is, és igy tovább; az a lényeges hogy ez a hierarchia
véges. A feladat a σ(k) → −σ(k) transzformációval szemben invariáns, ezért β > log √ 3
esetén a −1 spinek tengerével jellemezhető P −
β eloszlás is megvalósul. A matematikai fizika
stílusában mondjuk, hogy P +
−
β , illetve Pβ írja le a pozitív, illetve negatív mágnesezettségű
fázisokat. Fázisátmenet gyakran jár együtt valamilyen szimmetria sérülésével. Az előző
szakaszban bizonyított határeloszlástétel átvitele az Ising modell esetére a matematika
egyik legnehezebb, megoldatlan problémája.
I.8. Markov láncok: Az X diszkrét halmazon adott p(x, y) , x, y ∈ X kétváltozós
nemnegatív függvény sztochasztikus mátrix ha Σy∈Xp(x, y) = 1 minden x ∈ X esetén
teljesül. Jelölje ΩX az X halmazból képezhető ω = (ω0, ω1, ..., ωn, ...) végtelen sorozatok
terét, és tekintsük a ξt(ω) := ωt változókat, ahol t ≥ 0 egész. Ha a µ(x) = P [ξ0 =x] kezdeti
eloszlás adott, vagyis µ(x) ≥ 0 és
x∈X µ(x) = 1 , akkor ξ0, ξ1, ..., ξt együttes eloszlását
definiálhatjuk a
P [ξ0 = x0, ξ1 = x1, ξ2 = x2..., ξt−1 = xt−1, ξt = xt] (I8.1)
n=1
= µ(x0)p(x0, x1)p(x2, x3) · · · p(xt−2, xt−1)p(xt−1, xt)

képlettel, mivel a jobboldalon álló számok összege éppen 1 . Figyelemre méltó hogy xt ∈ X
szerint összegezve ugyanazt kapjuk ξ0, ξ1, ..., ξt−1 együttes eloszlására, mint amit közvetlenül
feírtunk volna, vagyis a fenti együttes eloszlások kompatibilisak. Mivel
P [ξt+1 = y|ξt = x, ξt−1 = xt−1, ..., ξ0 = x0] = P [ξt+1 = y|ξt = x] = p(x, y) , (I8.2)
azt mondjuk hogy ξ0, ξ1, ..., ξt, ... a µ kezdeti eloszlással és p átmeneti valószínűséggel adott
(homogén) Markov lánc. Azt is könnyű ellenőrizni, hogy
P [ξ1 = y] =
µ(x)p(x, y) , P [ξt = y|ξ0 = x] = pt(x, y) , továbbá
x∈X
µt(y) : = P [ξt = y] =
µ(x)pt(x, y) , ahol p1 =p,
x∈X
pt+s(x, y) =
ps(x, z)pt(z, y) , s, t ∈ N , (I8.3)
z∈X
vagyis pn a p mátrix n-ik hatványa. A feltételes várható érték P t operátora ϕ : X ↦→ R
függvényeken hat, P = P 1 és
P t ϕ(x) := E[ϕ(ξs+t)|ξs = x] =
pt(x, y)ϕ(y) , (I8.4)
x∈X
y∈X
Eϕ(ξt) =
ϕ(x)µt(x) = µP t ϕ =
µ(x)pt(x, y)ϕ(y) .
x∈X y∈X
A fenti összefüggések Chapman-Kolmogorov egyenletek néven ismertek. Akkor is érvényesek
ha t = 0 , mert p0(x, y) = δ(x, y) := 1 ha x = y , egyébként 0 . Eszerint P 0 az identitás
operátora.
A Markov lánc, illetve a µ eloszlás stacionárius ha µt = µP t nem függ az időtől, vagyis µ
a p mátrix baloldali sajátvektora 1 sajátértékkel. Olyan Markov láncot amelynél valamely
előírt λ = λ(x) eloszlás stacionárius, legkönnyebben a reverzibilitás (mikroszkópikus egyensúly)
λ(x)p(x, y) = p(y, x)λ(y) egyenletének segítségével konstruálhatunk meg. Ez a tulajdonság
annyit jelent hogy a λ reverzibilis mérték stacionárius, és az időben visszafelé haladó
folyamat az eredetivel azonos: P [ξt = x|ξt+1 = y] = p(y, x) . A feladatnak sok megoldása
van, a p mátrix főátló fölötti elemeit jóformán tetszés szerint választhatjuk meg.
Monte Carlo módszerek: Számítógépes kísérletek kivitelezéséhez célszerű olyan mátrixot
választani aminek csak a főátló közelében álló elemei pozitívak, és λ az egyetlen stacionárius
állapota. Card X gyakran csillagászati szám, ilyenkor aligha van más lehetőségünk mint
hogy a bennünket érdekő λ eloszlást egy alkalmasan választott Markov lánc reverzibilis
mértékeként realizáljuk. Ha pt(x, y) → λ(y) ∀x, y ∈ X amint t → +∞ , akkor λ szimulálható
a ξt sorozat generálásával: az így kapott ξn véletlen elem közelítőleg λ eloszlású
lesz.
Például, az (I7.2) Ising modell, vagyis λ(σ) = p +
Λ,β
19
(σ) esetében úgy járhatunk el, hogy
az algoritmus aktuális lépéseként egy (véletlenszerűen) kiválasztott k ∈ Λ rácspontban az
ott ülő σk spint p(σ, Tkσ) vaószínűséggel átfordítjuk, a többit békén hagyjuk. Itt Tk a

20
σk → −σk , σj → σj ha j = k transzformációt jelöli, és a λ(σ)p(σ, Tkσ) = λ(Tkσ)p(Tkσ, σ)
egyenletnek is teljesülni kell. Megjegyezzük hogy
λ(σ)
λ(Tkσ) = exp2βσkhk(σ)
(I8.5)
alakú, ahol hk(σ) nem függ sem a σk , sem a σj , |j − k| > 0 értékéktől, tehát könnyű
kiszámolni. Mivel p(σ, Tkσ) + p(σ, σ) = 1 , csak a p(σ, Tkσ) értékeket kell meghatározni,
sok lehetőség van. A Metroplis–Teller eljárás a
α ha σk = +1 ,
p(σ, Tkσ) =
αe2βσkhk(σ) (I8.6)
ha σk = −1
választáson alapul, ahol α > 0 olyan kicsi hogy p(σ, Tkσ) ne lehessen több mint egy. A
Glauber tipusú algoritmusnál p(σ, Tkσ) + p(Tkσ, σ) = 1 , amiből a jellegzetes
p(σ, Tkσ) = 1
1 − σk tanh
2
βhk(σ)
(I8.7)
képlet adódik. A rács bejárásának módja nem igazán sorsdöntő, fontosak a megvalósíthatóság
szempontjai. A következő szakasz tétele egyszerű, csak véletlen kiválasztásnál
működik. Maga az algoritmus úgy működik, hogy lépésenként sorsoljuk az ηt függetlenés
E(0, 1) változókat, és az esedékes Tk transzformációt ηt < p(σ, Tkσ) esetén hajtjuk végre.
Közel független E(0, 1) sorozat például a következő módszerrel generálható. Egyszerű
számelméleti tény hogy ha α irracionális, akkor a ζn := [αn] számsorozat egyenletes
eloszlású a (0, 1) intervallumban; hogy független is legyen, ki kell ritkítani. Mivel irracionális
szám a gépen nincs, az ηn = [a n q/p] választással élhetünk, ahol a és q egész
számok, és ami a legfontosabb, p igen nagy törzsszám.
I8.F1: Az (I7.1) analógiájára definiált egydimenziós Ising modell Markov lánc!
I8.F2: Adott µ = µ(x) kezdeti eloszlás és p = p(x, y) x, y ∈ N átmeneti valószínűséghez
konstruálandó olyan ξt : [0, 1) ↦→ N sorozat melynek együttes eloszlása – a Lebesgue mérték
szerint – éppen (I8.1).
I.9. Ergodikus Markov láncok: Központi kérdés valamely λ = λ(x) stacionárius
eloszlás stabilitása, a limt→∞ µt(x) = λ(x) ∀x ∈ X probléma. Tegyük fel hogy a lánc
(illetve X) összefüggő és nem periodikus: minden x, y ∈ X párhoz van olyan t = tx,y
időpont hogy pt(x, y) > 0 , továbbá pt(x, x) > 0 ha t ≥ tx ∀x ∈ X . Ilyenkor λ(x) > 0
mindig igaz mert
x∈X λ(x) = 1 > 0 . Hasznos segédeszköz a két eloszlás különbözőségét
jellemző
I[µ|λ] :=
x∈X
µ(x) log µ(x)
λ(x)
= sup ϕ(x)µ(x) − log
ϕ
x∈X
e
x∈X
ϕ(x)
λ(x)
(I9.1)
relatív entrópia (I-divergencia). Mivel log x ≥ 1 − 1/x , I[µ|λ] ≥ 0 , és I[µ|λ] = 0 csak úgy
lehetséges ha µ = λ , amiből (I9.1) második egyenlete a ϕ(x) = log(µ(x)/λ(x)) választással
következik.

Tegyük fel hogy a λ eloszlás stacionárius, és a µ = µ(x) kezdeti eloszlás I[µ|λ] entrópiája
véges, ekkor az I[µt|λ] sorozat nem növekszik mert az alábbi különbség is I-divergencia:
I[µs|λ] − I[µs+t|λ] =
x,y∈X
µs(x)pt(x, y) log µs(x)pt(x, y)
µs+t(y)qt(y, x)
21
≥ 0 , (I9.2)
ahol qt(y, x) := λ(x)pt(x, y)/λ(y) a λ eloszlással indított stacionárius, de időben visz-
szafelé haladó Markov lánc átmeneti valószínűsége, tehát
x,y∈X µs+t(y)qt(y, x) = 1 .
Eszerint I[µs|λ] − I[µs+t|λ] = I[µs · pt|µs+t · qt] , ahol a µ · p := µ(x)p(x, y) rövidítést
használjuk az X × X szorzattéren adott eloszlások jelölésére. Eszerint (I9.1) jobboldala
csak akkor 0 ha teljesül a pt(x, y)µs(x)/λ(x) = pt(x, y)µs+t(y)/λ(y) azonosság, vagyis
µs+t(y)/λ(y) = µs(x)/λ(x) hacsak pt(x, y) > 0 . Ha tehát I[¯µ|λ] < +∞ és ¯µ a lánc
stacionárius állapota, akkor az s = 0 és t = tx,y választással a fenti egyenlőség minden
x, y ∈ X esetén igaz, ami csak úgy lehetséges ha ¯µ(x) = λ(x) ∀x ∈ X .
A diagonális eljárással kiválasztható a µt sorozat valamely ¯µ torlódási pontja: ¯µ(x) =
limn→∞ µsn (x) ∀x ∈ X , ahol az sn → +∞ részsorozat nem függ x-től. Legyen φ : X×X ↦→
R korlátos, ekkor
x,y∈X
x,y∈X
φ(x, y)¯µ(x)pt(x, y) = lim
e φ(x,y) ¯µt(y)qt(y, x) = lim
n→∞
x,y∈X
n→∞
x,y∈X
φ(x, y)µsn (x)pt(x, y) ,
e φ(x,y) µsn+t(y)qt(y, x) ,
(I9.3)
tehát (I9.1) és (I9.2) alapján I[¯µ · pt|¯µt · qt] = 0 ∀t ∈ N . Emiatt azt várjuk hogy ¯µ
stacionárius eloszlás.
Azt hogy
x∈X ¯µ(x) = 1 , onnan tudjuk hogy található olyan ψ > 0 függvény amely
rendelkezik a eψ(x) λ(x) = C < +∞ , továbbá a Card[ψ > α] < ∞ ∀ α > 0 tulajdonságokkal,
tehát (I9.1) szerint
αµt[ψ > α] ≤
ψ(x)µt(x) ≤ I[µt|λ] + log C , (I9.4)
x∈X
vagyis µt[ψ ≤ α] értéke – t-től függetlenül – tetszőlegesen közel marad 1-hez ha α elég
nagy.
Azt kell még igazolni hogy ¯µ stacionárius. Mivel a lánc nem periodikus, ¯µ(x) = ¯µt(x)
hacsak t ≥ tx , de ugyanígy kapjuk hogy t ≥ t(x) esetén ¯µ1(x) = ¯µt+1 = ¯µt(x) = ¯µ(x) .
Azt már tudjuk hogy innen ¯µ = λ is következik, vagyis λ az egyetlen véges entrópiájú
stacionárius eloszlás, és limt→∞ µt(x) = λ(x) ∀ x ∈ X . Ez a Markov lánc ergodikus .
I.10. A tükrözési elv: A már korábban is megismert 1-dimenzós szimmetrikus bolyongás
olyan ζt Markov lánc melynek fázistere X = Z d , és p(x, y) = 1/2 ha |x − y| = 1 , más
átmenet nem lehetséges. Ez a Markov lánc nem ergodikus mert nincs stacionárius eloszlása:
pt(x, y) → 0 ∀x, y ∈ X amikor t → +∞ , de számos érdekes tulajdonsága van. Legyen
r, n ∈ N , és ha van, jelölje τ < n az első olyan t időpontot ahol ζt = r . A pálya τ utáni

22
szakaszát az r szinten haladó egyenesre tükrözve kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést
kapunk az r fölött és az alatta végződő pályák között, tehát
P max
t≤n ζt ≥ r = P [ζn = r] + 2P [ζn > r] (I10.1)
a jobboldalon binomiális valószínűségek vannak. Ez a látványos trükk a statisztikától
a parciális differenciálegyenletek elméletéig, számos helyen számtalan változatban alkalmazható.
I.11. Tönkremenetel egyszerű játékban: Az aszimmetrikus bolyongás is Markov,
fázistere X = Z míg p(x, x + 1) = p = 1/2 , p(x, x − 1) = 1 − p . Legyen a, b, x ∈ Z és jelölje
ua,b(x) annak valószínűségét hogy az x ∈ [a, b] helyről induló bolyongás előbb éri el a b
mint az a szintet. Persze ua,b(a) = 0 , ua,b(b) = 1 , és a teljes valószínűség tétele miatt
ua,b(x) = p ua,b(x + 1) + (1 − p) ua,b(x − 1) ha a < x < b (I11.1)
Az adott peremfeltétellel (I11.1) egyértelműen oldható meg: ua,b(x) = (x − a)/(b − a)
ha p = 1/2 , egyébként pedig ua,b(x) = α(e βx − γ) ahol pe β + (1 − p)e −β = 1 , vagyis
e β = −1 + 1/p , továbbá γ = e βa és α(e βb − e βa ) = 1 , ahonnan
ua,b(x) = eβx − eβa eβb − eβa 1 − p
ahol β = log
p
(I11.2)
A p → 1/2 határátmenet után persze lineáris profilt kapunk, de ennél érdekesebb a
p = 1/2 − ε/2 , a = 0 és b = 1/ε ’gyengén aszimmetrikus‘ határátmenet, amikoris (I11.1)
mint az 1
2∂2 xu − ∂xu = 0 ; u(0) = 0 , u(1) = 1 elliptikus peremérték feladat numerikus
megoldásának algoritmusa jelenik meg. Ennek megoldása tényleg
u(x) = lim
ε→0 u 0,1/ε(x/ε) = lim
ε→0
1 − ε
2ε
amit (I3) módszerével is érdemes levezetni.
1 + ε
x/ε
− 1 =
1 − ε
e2x − 1
e2 − 1
(I11.3)
I.12. Kedvezőtlen helyzetben merész a jó játékos: Szerencsejátékos pénze n játszma
után
n−1
ζn := x + γ(ζt)(2ωt+1 − 1) (I12.1)
t=0
ahol x ∈ N a játékos induló tőkéje, ωt független 0 − 1 sorozat, P [ωt = 1] = p < 1/2 , míg
γ : N ↦→ N a játékos stratégiája: γ(y) az a tét amit y tőke birtokosaként kockáztat. A
cél az előre kitűzött r > x összeg megszerzése, feltehetjük hogy γ, r ∈ N és 0 < γ(y) ≤
˜γr(y) := min{y, r − y} . Legyen ur,γ(x) a cél elérésenek valószínűsége γ stratégia esetén, és
jelölje τ azt a véletlen időpontot amikor a játszma véget ér: ζτ = 0 ha tönkremegy, ζτ = r
ha sikeres. A feladat az u ∗ r(x) := maxγ ur,γ(x) optimum megvalósítása. Mivel
τ−1
Zr,γ(x) := Eζτ = x + (2p − 1)E γ(ζt) = r ur,γ(x) , (I12.2)
t=0

optimális stratégia esetén az átlagos pénzforgalom, (Zr,γ(x) − x)/(1 − 2p) minimális. A
nagy számok törvénye szerint ez egyáltalán nem meglepő, az igazságtalan játékot olyan
gyorsan be kell fejezni, ahogy csak lehet. Ha tehát r páros és x = r/2 , akkor nyilván a
merész játék optimális: u ∗ r(r/2) = ur,˜γ(r/2) = p .
Általában is igaz hogy 1 ≤ x < r esetén
u ∗ r(x) = max
k {pu∗ r(x + k) + (1 − p)u ∗ r(x − k) : 1 ≤ k ≤ ˜γr(x)} (I12.3)
ami az optimális kontroll elméletének Bellman féle alapelve: optimális stratégia minden
lépése (szakasza) is az. Először azt mutatjuk meg hogy az u ∗ r(0) = 0 és u ∗ r(r) = 1
peremfeltétel mellett (I12.3) egyértelműen oldható meg. Tegyük fel hogy ũr is megoldás,
vr(x) := u ∗ r(x)−ũr(x) , ¯vr := maxx vr(x) , és y ∈ N a legkisebb olyan szám hogy ¯vr = vr(y) .
Mivel bk ≥ ak esetén maxk bk − maxk ak ≤ maxk(bk − ak) , ha y > 0 volna akkor lenne
olyan k > 0 hogy ¯vr = pvr(y +k)+(1−p)vr(y −k) , tehát valójában y = 0 , és így u ∗ r = ũr .
Legyen ũr(x) a merész játékos sikerének valószínűsége, ezt az
pũr(2x) ha x ≤ r/2
ũr(x) =
p + (1 − p)ũr(2x − r) ha x ≥ r/2
23
(I12.4)
rekurzió definiálja. Az r = 2 d egyszerűsítő feltevés mellett, indukcióval bizonyítjuk hogy
ũr megoldja a (I12.3) Bellman egyenletet. Ehhez azt kell belátni hogy
ũr(x) ≥ pũr(x + k) + (1 − p)ũr(x − k) ha 1 ≤ k ≤ ˜γr(x) ; (I12.5)
(I12.4) szerint az egyenlőség biztosan teljesül ha k = ˜γr(x) . Tegyük fel hogy (I12.5) igaz,
a ũ2r(2x) = ũr(x) azonosság miatt csak az x páratlan értékeivel van gond. Az indukció
végrehajtásakor négy esetet kell szétválasztani.
Ha x + k ≤ r akkor ũ2r(x) = pũ2r(2x) , míg ũ2r(x + k) = pũ2r(2x + 2k) és ũ2r(x − k) =
pũ2r(2x − 2r) , de az indukciós feltevés és ũ2r(2x) = ũr(x) miatt
ũ2r(x) = pũ2r(2x) = pũr(x) ≥ p 2 ũr(x + k) + p(1 − p)ũr(x − k)
=p 2 ũ2r(2x + 2k) + p(1 − p)ũ2r(2x − 2k)
= pũ2r(x + k) + (1 − p)ũ2r(x − 2) ha 1 ≤ k ≤ ˜γr(x)
(I12.6)
amit bizonyítani kellett.
Ha x − k ≥ r akkor ũ2r számolása (I12.4) második sora alapján történik. Az indukciós
lépés egyébként ugyanaz, mint fent; (I12.5) a 2x − 2r helyen alkalmazandó.
Az r ≤ 2x ≤ 3r sávban az indukció kulcsa az önmagában is tanulságos
2 p + (1 − p)ũ2r(2x − r) ha r ≤ 2x ≤ 2r
ũ2r(x) =
(I12.7)
(1 − p)p + pũ2r(2x − r) ha 2r ≤ 2x ≤ 3r
újabb azonosság, ami az első esetben
ũ2r(x) = pũ2r(2x) = p 2 + p(1 − p)ũ2r(4x − 2r) = p 2 + (1 − p)ũ2r(2x − r)

24
miatt, a második esetben pedig
ũ2r(x) = p + (1 − p)ũ2r(2x − 2r) = p + (1 − p)pũ2r(4x − 4r) és
ũ2r(2x − r) = p + (1 − p)ũ2r(4x − 4r)
miatt igaz. A fennmaradó esetekben x + k ≥ r és x − k ≤ r , tehát r ≤ 2x ≤ 3r .
Ha most r ≤ 2x ≤ 2r akkor (I12.7) és az induktív feltevés szerint
ũ2r(x) = p 2 + (1 − p)ũ2r(2x − r) ≥
p 2 + p(1 − p)ũ2r(2x + 2k − 2r) + (1 − p) 2 ũ2r(2x − 2k)
viszont ũ2r(x + k) = p + (1 − p)ũ2r(2x + 2k − 2r) és ũ2r(x − k) = pũ2r(2x − 2k) , amiből
p < 1 − p miatt állításunk következik.
Ugyanígy ha 2r ≤ 2x ≤ 3r , akkor
ũ2r(x) = (1 − p)p + pũ2r(2x − r)
≥ (1 − p)p + p 2 ũ2r(2x + 2k − 2r) + p(1 − p)ũ2r(2x − 2k)
Megint ũ2r(x+k) = p+(1−p)ũ2r(2x+2k−2r) és ũ2r(x−k) = pũ2r(2x−2k) felhasználásával
hajthatjuk végre az indukció utolsó lépését is. Tehát a merész stratégia igazságtalan
(p < 1/2) helyzetben optimális, legalábbis akkor ha r = 2 d .
I12.F1**: A merész stratégia akkor is optimális ha r = 2 d !
I.13. Óvatos stratégia kedvező helyzetben: Azt a szituációt vizsgáljuk amikor a
játékos tőkéjének c ∈ [0, 1] hányadát kockáztatja minden játszmában, de most a játék
előnyös. Feltehetjük hogy a kezdőtőke ζ0 = 1 , ekkor n játszma után
n−1
ζn = 1 + (2ωt+1 − 1)c
t=0
(I13.1)
a pénze, ahol ωt független 0−1 sorozat, P [ωt = 1] = p > 1/2 . Ekkor Eζn = 1+(2p−1)c n
akkor maximális ha c = 1 , de ez a stratégia igen kockázatos mert P [ζn > 0] = p n . Viszont
1
n E log ζn = p log(1 + c) + (1 − p) log(1 − c) = max! ha c = 2p − 1 (I13.2)
és a tőke növekedésének exponenciális sebessége éppen a log 2 − h(p) ≥ 0 relatív entrópia,
ami csak akkor 0 ha p = 1/2 . Ha p < 1/2 akkor a számolás érvénytelen.
I.14. Fogadások több lehetőségre: Sok ló közül a pályán az i nevű pi > 0 valószínűséggel
nyer, p1 + p2 + · · · + pr = 1 . Fogadó pénzét S1 + S2 + · · · + Sr = S megosztással teszi
fel, és ha i nyer akkor az ő nyeresége Vi = ciSi − S ; a ci ≥ 1 szorzókat az iroda határozza
meg. Aki mindig ugyanannyival játszik, és αi = Si/S is állandó, annak exponenciális
nyeréségrátája átlagosan
J(α|p) =
r
pi log ciαi ≤
i=1
r
pi log cipi =: J ∗ (p) (I14.1)
i=1

ahol egyenlőség csak αi = pi ∀i esetén teljesül. Valóban, log αi ≤ log pi +(αi −pi)/pi miatt
r
pi log αi ≤
i=1
r
i=1
pi log pi ha
r
αi =
i=1
r
i=1
pi
25
(I14.2)
és αi = pi az egyenlőség feltétele. Optimális stratégiához eszerint ismerni kell(ene) a pi
sanszokat. Ha az iroda mohó, akkor elérheti hogy a nyerereség optimális rátája, J ∗ (p) < 0
legyen, ami a fogadókat hosszútávon biztosan elkedvetleníti, tehát a mohóság visszaüt.
Valódi pénzügyi – matematikai feladat a ci szorzók optimális megválasztása. Ha J ∗
túlzottan negatív, akkor a haszonkulcs magas ugyan, de kicsi lesz a forgalom, és így a
nyereség is. Persze nem J ∗ > 0 teszi az irodát veszteségessé, a fogadók többsége nyilván
nem ért a lóhoz.
I.15. A legszebb kiválasztása: Egyesével vonul el előttünk n hölgy, és a legszebbet
úgy kellene megtalálni hogy némi szemlélődés után az éppen előttünk állóról kijelentjük:
Ő az. Azt is mondhatjuk hogy n különböző szám van a kalapban, és nem tudjuk hogy a
legnagyobb mekkora. Visszatevés nélkül húzzuk ki őket, tehát minden sorozat egyformán
1/n! valószínűségű. Legyen ξk a k-ik húzás eredménye, ξ ∗ m := max{ξk : k ≤ m} . Azt
az s időpontot kell meghatározni ameddig szemlélődünk, vagyis ξ ∗ t−1 = ξ ∗ s és ξ ∗ t > ξ ∗ s
beköveztkeztekor ξt mellett döntünk. Feladatunk a siker
p(s) =
n
t=s+1
valószínűségének maximalizálása.
Ha t > s és ξt = ξ ∗ n , akkor n-től visszafelé számolva
tehát
P [ξ ∗ s = ξ ∗ t−1 < ξt = ξ ∗ n] = 1
n!
P [ξ ∗ s = ξ ∗ t−1 < ξt = ξ ∗ n] (I15.1)
n − 1
t − 1
p(s) = s
n
(t − 2)!
(n − t)! s! =
(s − 1)!
n
t=s+1
akkor maximális ha s = s(n) az a szám, melynél
n−1
t=s+1
1
t
≤ 1 ≤
1
t − 1
n−1
t=s
1
t
s
n(t − 1)
(I15.2)
(I15.3)
(I15.4)
Stratégiánk tehát a következő: az így meghatározott s = s(n) időpontig szemlélődünk,
majd a soron következő, aktuális legszebbnél igent mondunk. Látható hogy s(n) ≈ n/e ,
és a siker valószínűsége körülbelül 1/e .
I15.F1: Bizonyítandó hogy P [ξt = ξ ∗ n] = 1/n , P [ξ ∗ t−1 = ξ ∗ s ] = s/(t − 1) ha t > s , végül a
[ξt = ξ ∗ n] és a [ξ ∗ t−1 = ξ ∗ s ] események függetlenek.

26
I15.F1: A ξt = ξ ∗ t ha νk = t feltétellel definiált 1 = ν0 < ν1 < ν2 < · · · időpontok sorozata
Markov lánc, és P [νk+1 = t|νk = s] = s(t 2 − t) −1 ha t > s !
I15.F2: Ha ρt az olyan s < t időpontok száma hogy ξs < ξt , akkor P [ρt = k] = 1/t ha
0 ≤ k ≤ t − 1 , és a ρt sorozat független! (Major Péter gyűjteményéből.)
I.16. Szimmetrikus bolyongás d dimenzióban: Olyan ζt Markov láncról van szó,
melynek fázistere X = Z d , ζ0 = 0 , átmeneti valószínűsége pedig p(x, y) = 1/2d ha |x−y| =
1 , egyébként p(x, y) = 0 . Mivel P [ζt = 0] = 0 ha t ∈ N páratlan, míg
Pd(2n) := P [ζ2n = 0] =
a Stirling formulával, tehát
1
(2d) 2n
∞
P [ζt = 0]) < +∞ ha d > 2 ,
t=0
2n
n
n1+···+nd=n
n!
n1!n2! · · · nd!
2
= O(n −d/2 ) (I16.1)
∞
P [ζt = 0]) = +∞ ha d ≤ 2 . (I16.2)
t=0
A később bizonyítandó Borel-Cantelli lemma szerint ez annyit jelent hogy d > 2 esetén
majdnem biztos hogy ζt = 0 csak véges sokszor fordulhat elő.
A d = 1, 2 estekben legyen Qd(n) annak a valószínűsége hogy n ∈ N az első időpont
amikor ζn
érvényes a
= 0 , persze Qd(n) = 0 ha n páratlan. A teljes valószínűség tétele szerint
n−1
Pd(n) = Qd(n) + Qd(t)Pd(n − t) (I16.3)
t=1
megújulási egyenlet, amit a z n = z t z n−t tényezővel végigszorozva és n ∈ N szerint összegezve,
vagyis a generátorfüggvények módszerével lehet megoldani. Valóban, Gp(z) = Gq(z) +
Gp(z)Gq(z) adódik, ahol
Gp(z) :=
∞
z n Pd(n) és Gq(z) :=
n=1
∞
z n Qd(n) ha |z| ≤ 1 ,
n=1
amiből a visszatérés P ∗ d = Gq(1) valószínűségére éppen
P ∗ d =
∞
n=1
Qd(n) = lim
z→1
∞ n=1 znPd(n) 1 + ∞ n=1 zn , (I16.4)
Pd(n)
adódik. Ezzel igazoltuk Pólya György tételének hiányzó részét: a bolyongás egy valószínűséggel
(majdnem biztosan) visszatér a kezdőpontba ha d < 3 .
I.17. Végtelen sok valószínűségi változó együttes eloszlása: Az eddigi elemi
tárgyalás során is több helyen hiányolhattuk a címben megnevezett objektumot; ezek közül
a legfeltűnőbb az 1 valószínűséggel kimondott állítások pontos értelmezésének hiánya. A
Markov láncokról szóló rész jelöléseivel legyen At a [ξ0 = x0, ξ1 = x1, ..., ξt = xt] alakú

halmazok egyesítéseiből álló halmazrendszer, továbbá A∞ := {At : t ∈ Z+} . Valamely
A ∈ At esemény olyan sorozatokból áll, amelyek t utáni koordinátái már tetszőlegesek: ha
ω ∈ A és k ≤ t esetén ωk = ω ′ k , akkor ω′ ∈ A is igaz. Mondhatjuk hogy At a t időpontig
megfigyelhető események halmaza, At ⊂ At+1 , és mindegyik At , így A∞ is halmazalgebra:
a halmazokkal végezhető műveletek egyikből sem vezetnek ki.
Az együttes eloszlások kompatibilitása miatt – ami a többi esetben is érvényes volt
– bármely A ∈ A∞ halmaz P (A) valószínűsége egyértelműen definiálható, méghozzá úgy
hogy P (A∪B) = P (A)+P (B) ha A∩B = ∅ , továbbá P (ΩX) = 1 , P (∅) = 0 . Megmutatjuk
hogy ez a P halmazfüggvény folytonos: limn→∞ P (An) = 0 ha An ∈ A∞ olyan fogyó
sorozat melynek közös része üres. Ez nem kevesebbet jelent mint hogy P mérték (σadditív
halmazfüggvény) az A∞ halmazalgebrán, tehát egyértelműen terjeszthető ki az
A∞ által generált A σ-algebrára.
Egyszerűség kedvéért legyen X véges halmaz, azt a pusztán logikai állítást igazoljuk
hogy ∩An = ∅ miatt An = ∅ ha n elég nagy. Jelölje Un,0 ⊂ X az ω ∈ An sorozatok
kezdőtagjainak (0 indexű koordináták) halmazát: Un,0 := {ξ0(ω) : ω ∈ An} . Éppúgy mint
An , az Un,0 sorozat is fogyó. Ha tehát Un,0 = ∅ , akkor van olyan n0 küszöbszám hogy
Un,0 = ∅ , vagyis An = ∅ ha n ≥ n0 ; ilyenkor nincs több gond. Az ellenkező esetben
kiválasztható egy x0 ∈ Un,0 elem, és az eljárás a következőképpen folytatható. Legyen
Un,1 az olyan ω ∈ An sorozatok második (1 sorszámú) koordinátáinak halmaza, ahol az
első koordináta éppen x0 . Ha ∩Un,1 nem üres, akkor az első két koordináta rögzítése után
nézhetjük a harmadikat, és így tovább. Ha az eljárás valamikor megakad, akkor csak
véges sok An nem üres, tehát nincs mit bizonyítani. Ha nem, akkor ellentmondáshoz
jutunk mert olyan ω∗ = (x0, x1, ..., xn, ...) sorozatot sikerülne kiválasztani, ami mindegyik
An halmazban benne van. Ez volt Kolmogorov alaptételének a gondolatmenete, amivel a
Lebesgue mérték, és számos más eloszlás létezését is bizonyíthatnánk. A fenti konstrukció
a Lebesgue mérték létezését is bizonyítja, másrészt abból következik. Értéke az hogy akkor
is működik amikor X teljes szeparábilis metrikus tér!
A. Általános Elmélet
A sztochasztikus modellek általános sémáját és a számolás szabályait foglaljuk össze. A
mérték és integrál absztrakt elméletének nyelvét használjuk, de csak néhány alapvető
összefüggés ismeretére van szükség. Sok a nagyvonalúan vázolt gondolat.
A.1. Valószínűségi mező: Véletlen tömegjelenségek absztrakt matematikai modellje
valamely (Ω, A, P ) mértéktér, ahol Ω adott halmaz, az eseménytér, elemei az ω elemi
események (realizációk). Az eseményalgebra, A az Ω részhalmazaiból álló σ-algebra; vagyis
Ω ∈ A és A zárt a halmazalgebrai műveletekre nézve, még akkor is, ha megszámlálható
sokszor ismételjük őket. Ezek az egyesítés (összeadás): A + B ≡ A ∪ B , metszet (szorzat):
AB ≡ A ∩ B , komplementer: Ā ≡ A c = Ω\A , különbség: A − B ≡ A\B = A ¯ B ,
szimmetrikus különbség: A∆B := (A − B) + (B − A) , és az ő kombinációik. A De-
Morgan azonosság, A + B = Ā ¯ B segítségével minden összetett művelet felépíthető az
egyesítés (vagy metszetképzés) és a komplementumképzés segítségével. Az A elemeit
eseményeknek nevezzük, és azt monjuk hogy A ∈ A bekövetkezett, ha A ∋ ω . Végül
27

28
P , a valószínüségi mérték nemnegatív, normált és σ-additív halmazfüggvény A-n, vagyis
P olyan mérték (Ω, A)-n hogy P (Ω) = 1 . Ezek szerint P (A) =
n P (An) ha az A esemény
a páronként diszjunkt An események véges vagy megszámlálható rendszerének egyesítése,
továbbá P (A) + P (B) = P (A ∪ B) + P (A ∩ B) ; 0 ≤ P (B) ≤ P (A) ≤ 1 ha B ⊂ A , és
ilyenkor P (A \ B) = P (A) − P (B) , végül
P (A) ≤
P (An) ha A ⊂
An , P (A) = lim
n→∞ P (An) (A1.1)
n
ha az An események fogyó sorozatának metszete, vagy növő sorozaának egyesítése éppen
A . Események feltételes valószinűsége és függetlensége ugyanúgy definiálható mint az első
szakaszban; a teljes valószínűség (O1.4) képlete persze végtelen sok eseménnyel is igaz lesz.
(A1.1) a mérték folytonosságának (σ-additivitás) következménye, innen kapjuk a Borel-
Cantelli lemma első állítását: Ha An ∈ A , n ∈ N olyan eseménysorozat hogy
+∞
n=1
P (An) < +∞ akkor P ∞
n
n=1 m>n
Am = 0 , (A1.2)
vagyis 1 annak a valószínűsége hogy az An események közül csak véges sok következik be.
Valószínűségi mező prototípusa a [0, 1] intervallum és a Lebesgue mérték, vagyis Ω =
[0, 1] , A a (Lebesgue-) mérhető halmazok σ-algebrája, míg P (A) az A ∈ A halmaz
Lebesgue mértéke (hossza). A Borel-Cantelli lemma szerint a nagy számok (I2.1) gyenge
törvénye a sokkal erősebb P [limn→∞ Sn/n = 1/2] = 1 formában is igaz.
Ha Ω ⊂ Rd véges térfogatú, akkor valamely A ⊂ Ω (mérhető) halmaz P (A) valószínűsége
definiálható az A és Ω térfogatának hányadosaként. Ilyenkor is egyenletes (geometriai)
eloszlásról beszélünk. Általánosabban, ha H : Rd ↦→ R alulról korlátos, β > 0 és
∞ ∞ ∞
ZH,β = · · · exp −βH(x1, x2, ..., xd) dx1dx2 · · · dxd < +∞ (A1.3)
−∞
−∞
−∞
akkor fH,β(x1, x2, ..., xd) := (ZH,β) −1 exp −βH(x1, x2, ..., xd) integrálja 1 , vagyis fH,β
sűrűségfüggvény Rd-n, és így
PH,β(A) :=
valószínűségi mérték az Ω = R d eseménytéren.
A
fH,β(x) dx , ahol x = (x1, x2, ..., xd) (A1.4)
A1.F1: Legyen An ∈ A tetszőleges sorozat; a halmazalgebrai műveleletekkel adja meg
az A0 := [csak véges sok An következik be] ≡ ω ∈ Ω : #{n : ω ∈ An} < ∞ , A∞ :=
[végtelen sok következik be] és az A ∗ ∞ := [véges kivétellel mind bekövetkezik] eseményeket!
Hogyan fogalmazhatók meg ezek az állítások az indikátorváltozók segítségével?
A1.F2: Bizonyítandó hogy |P (A) − P (B)| ≤ P (A∆B) =: d(A, B) távolság A-ban!
A1.F3 ∗ : Ha (Ω, A, P ) teljes, vagyis A tartalmazza a nullahalmazokat, akkor az F3-ben
definiált (A, d) metrikus tér teljes, és benne minden generáló részalgebra sűrű! Ez az
észrevétel a mérték kiterjesztésének új módszerét adja.

A.2. Valószínűségi változók: A számunkra érdekes eseményeket általában egy vagy
több ξ : Ω ↦→ X leképezés ξ−1 (U) ≡ [ξ ∈ U] := {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ U} szinthalmazaiként
jelöljük ki, ahol U ⊂ X az X képtér részhalmazainak valamely kitüntetett X osztályából
való. Feltesszük hogy X is σ-algebra, ugyanúgy, mint A , és azt mondjuk hogy ξ (absztrakt)
valószínűségi változó ha U ∈ X esetén [ξ ∈ U] ∈ A , vagyis ξ mérhető, tehát beszélhetünk a
P [ξ ∈ U] valószínűségekről. Megjegyzésre érdemes hogy a ξ−1 halmazfüggvény megtartja
a halmazalgebrai műveleteket: [ξ ∈ U ∪ V ] = [ξ ∈ U] ∪ [ξ ∈ V ] , [ξ ∈ Ū] = [ξ ∈ U] ,
stb. nyilvánvaló logikai azonosságok. Eszerint azok az U ⊂ X halmazok amelyeknél
[ξ ∈ U] ∈ A , σ-algebrát alkotnak, tehát a mérhetőség [ξ ∈ U] ∈ A feltételét elég egy olyan
X0 ⊂ X halmazrendszer esetén ellenőrizni, amely generálja X -et, vagyis X az összes X0-t
tartalmazó σ-algebra közös része (metszete). Az X = R vagy Rd esetekben X0 szerepét az
intervallumok (kockák, gömbök) játsszák.
A ξ : Ω ↦→ (X, X ) és η : Ω ↦→ (Y, Y) változók együttes eloszlását a P [ξ ∈ U, η ∈ V ] ,
U ∈ X , V ∈ Y valószínűségek határozzák meg, az eredmény az (X, X ) × (Y, Y) szorzattéren
adott valószínűségi mérték. ξ és η akkor független, ha a P [ξ ∈ U, η ∈ V ] =
P [ξ ∈ U]P [η ∈ V ] szorzási szabály minden U ∈ X és V ∈ Y párral teljesül, tehát az
együttes eloszlásuk szorzatmérték. Független változók függvényei is függetlenek. Több
valószínűségi változó függetlenségét analóg módon definiáljuk: az együttes eloszlás az egyes
változók eloszlásainak (peremeloszlások) szorzata. Eszerint (O1.8) általános érvényű, sőt
változók független csoportjainak függvényei is függetlenek.
A függetlenség eldöntésekor nem elég generáló halmazrendszerre szorítkozni, az U, V
stb. halmazokat olyan rendszerből kell választani, amely a mérték meghatározására is
alkalmas. Ilyenek például a mérték kiterjeszthetőségéről szóló Caratheodory tételben szereplő
félgyűrűk vagy halmazalgebrák. A ξ valószínűségi változó eloszlása a µξ = µξ(U) :=
P [ξ ∈ U] , U ∈ X transzformációval definiált valószínűségi mérték.
Nincs probléma a diszkrét esetben, ilyenkor X legfeljebb megszámlálható halmaz, X
pedig az X összes részhalmazából áll. Az első szakaszban bevezetett fogalmak érdemi
változtatás nélkül alkalmazhatóak.
Valós értékű ξ : Ω ↦→ R változók esetében X mindig az intervallumok félgyűrűje által
generált Borel σ-algebra. Tehát ξ akkor mérhető, ha az [a ≤ ξ < b] szinthalmazok mind
az A eseményalgebra elemei. Az Fξ(x) := P [ξ < x] monoton és balról folytonos függvény
a ξ eloszlásfüggvénye, P [a ≤ ξ < b] = Fξ(b) − Fξ(a) , P [ξ ≥ x] = 1 − Fξ(x) .
A.3. Valós változó várható értéke: Az Eξ := ∫Ω ξ dP absztrakt definició a következő
képpen konkretizálható: Ha ξ ≥ 0 akkor Eξ = limn Eξn = supn Eξn , ahol ξn a ξ értékének
n jegyre történő kerekítésével kapott diszkrét változó. Az általános esetben Eξ a ξ pozitív
és negatív része várható értékeinek különbsége, feltéve hogy az nem ∞ − ∞ alakú. A
várható érték monoton, homogén és additív funkcionál, Eξ ≤ Eη ha ξ ≤ η és α, β ∈ R
esetén E(αξ + βη) = αEξ + βEη , továbbá
lim
n→∞ Eξn = E lim ξn illetve E
n
∞
ηn =
n=1
∞
Eηn
n=1
29
(A3.1)
ha a ξn sorozat korlátos, illetve ha ηn ≥ 0 . A diszkrét esetben egyszerűen ellenőrizhető
azonosságok, mint például (O1.7) vagy (O1.8), a fenti konstrukció, illetve (A3.1) segítségével
az általános esetre is kiterjeszthetőek, (O1.6) bonyolultabb ügy.

30
Ha Fξ differenciálható (abszolút folytonos), és fξ(x) := F ′ ξ (x) a sűrűségfüggvénye,
továbbá ϕ : R ↦→ R folytonos (vagy mérhető), akkor
∞
Eϕ(ξ) = ϕ(x)fξ(x) dx (A3.2)
−∞
A valószínűség és a várható érték kapcsolatát P (A) = E1A adja, ahol 1A az A esemény
indikátora: 1A(ω) = 1 ha ω ∈ A , egyébként pedig 1A = 0 . A monotonitás következménye a
Markov egyenlőtlenség: P [ξ ≥ α] ≤ 1
αE|ξ| ha α > 0 . A Borel-Cantelli lemma a ΣP (An) =
EΣ1An azonosságból is levezethető.
Nevezetes várható értékek: D2 (ξ) := E(ξ − Eξ) 2 = Eξ2 − (Eξ) 2 a ξ szórásnégyzete, a
D(ξ) szórás ennek négyzetgyöke. Steiner tétele szerint E(ξ−a) 2 = D2 (ξ)+(a−Eξ) 2 , tehát
D2 (ξ) = min {E(ξ − a) 2 : a ∈ R} , vagyis Eξ a ξ-t legjobban közelítő szám. Ha minden
z ∈ R értéknél véges, akkor az Mξ(z) := Eezξ , z ∈ R momentum generáló függvény és
a Ψξ(z) := Eeızξ karakterisztikus függvény egymás analitikus folytatásai. Előfordul hogy
Mξ csak egy intervallumon definiált, aminek esetleg 0 az egyetlen pontja.
A karakterisztikus függvény mindig létezik és folytonos, |Ψξ(z)| ≤ Ψξ(0) = 1 , továbbá
Ψ ′ ξ (0) = ıEξ , illetve Ψ′′
ξ (0) = −Eξ2 ha ezek a momentumok láteznek. Ha ξ abszolút
folytonos eloszlású, akkor Ψξ az fξ sűrűségfüggvényének Fourier transzformáltja:
∞
Ψξ(z) =
−∞
e ızx fξ(x) dx , és így fξ(z) = 1
2π
∞
−∞
e −ızx ψξ(z) dz (A3.3)
ha Ψξ integrálható, ami arra utal hogy Ψξ a ξ eloszlását egyértelműen meghatározza.(O1.8)
szerint független változók összegének karakterisztikus függvénye a karakterisztikus függvények
szorzata.
A3.F1: Lehetséges-e hogy Ee ıξ = 1 ?
A.4. Együttes eloszlások: Több változó együttes eloszlását a P [ξ1 ∈U1, ξ2 ∈U2, ..., ξn ∈
Un] valószínűségek határozzák meg. Ha
Eϕ(ξ1, ξ2, ..., ξn) = ϕ(x1, x2, ..., xn) f(x1, x2, ..., xn) dx1dx2 · · · dxn (A4.1)
R n
például minden folytonos és korlátos ϕ : Rn ↦→ R függvénnyel teljesül, akkor azt mondjuk
hogy f a ξ1, ξ2, ..., ξn változók együttes sűrűségfüggvénye. Persze f ≥ 0 és az integrálja
1 . Ha n = 2 és ϕ csak a az egyik változótól függ, akkor a másikat kiintegrálva kapjuk a
peremeloszlások
∞
∞
fξ(x) = f(x, y) dy és fη(y) = f(x, y) dx (A4.2)
−∞
sűrűségfüggvényeit. Több független változó együttes sűrűségfüggvénye az egyes változók
sűrűségeinek szorzata. Ha tehát ξ és η független, akkor
∞ ∞
∞
Eϕ(ξ + η) = ϕ(x + y)fξ(x)fη(y) dxdy = ϕ(u)fξ+η(u) du ,
−∞
−∞
−∞
−∞

ahol fξ+η = fξ ∗ fη az fξ és fη konvolúciója,
∞
fξ+η(u) = fξ(u − y)fη(y) dy . (A4.3)
Konvolúció Fourier transzformáltja a Fourier transzformáltak szorzata.
A4.F1∗: Abból hogy Ψξ+η = ΨξΨη , nem következik hogy ξ és η független!
−∞
A4.F2: ξn ∼ Exp(λ) , n ∈ N , az α > 0 milyen értékeinél lesz a ξn/(log n) α sorozat 1
valószínűséggel korlátos, illetve konvergens? Mi a helyzet akkor, ha ξn ∼ N(0, 1)?
A.5. Korrelálatlan változók: A ξ és η változók korrelálatlanok ha Eξη = EξEη , vagyis
Cov(ξ, η) := E(ξ − Eξ)(η − Eη) = 0 . Mivel
E(η − zξ) 2 = Eη 2 − 2zEηξ + z 2 Eξ 2 ≡ c − 2bz + az 2 ≥ 0
ha z ∈ R , b2 ≤ ac , tehát igaz az |Eξη| ≤ (Eξ2 ) 1/2 (Eη2 ) 1/2 Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség,
és az egyenlőség csak akkor teljesül ha η/ξ állandó. Eszerint Cov(ξ, η) ≤ D(ξ)D(η) és
az
Cov(ξ, η)
R(ξ, η) :=
D(ξ)D(η) ≡ E (ξ − Eξ)(η − Eη)
(A5.1)
E(ξ − Eξ) 2 E(η − Eη) 2
regressziós együttható értéke mindig −1 és +1 közé esik; |R(ξ, η)| = 1 esetén η − Eη =
R(ξ, η)(ξ − Eξ) .
Ha ξ1, ξ2, ..., ξn páronként korrelálatlan sorozat, akkor
D 2 (ζn) = D 2 (ξ1) + D 2 (ξ2) + · · · + D 2 (ξn) (A5.2)
ahol ζn := ξ1+ξ2+· · ·+ξn . Innen a Markov egyenlőtlenség segítségével azonnal következik a
nagy számok gyenge (Bernoulli-Csebisev) törvénye. Pontosabban, ha Eξk = m és D2 (ξk) ≤
K minden k ∈ N-re, akkor a páronkénti korrelálatlanság miatt D2 (ζn) ≤ Kn , vagyis
P [|ζn/n − m| > ε] = P [(ζn − nm) 2 > n2ε2 ] ≤ K/nε2 , tehát tetszőleges ε > 0 esetén
P |ζn/n − m| > ε → 0 ha n → ∞ . Ilyenkor azt mondjuk hogy ζn/n sztochasztikusan
konvergál az m várható értékéhez.
A várható érték és a szórás becslésére általában
¯ξn := 1
n
n
k=1
ξk illetve ¯σ 2 n(ξ) := 1
n − 1
n
(ξk − ¯ ξn) 2
k=1
31
(A5.3)
használatos, ahol ξ1, ξ2, ..., ξn függetlenek, és ugyanolyan eloszlásúak, mint ξ . Persze E ¯ ξn =
Eξ mindig igaz, míg E¯σ 2 n(ξ) = D 2 (ξ) a korrelálatlanságból következik. A nagy számok
törvénye szerint ezek a becslásek sztochasztikusan konvergálnak a keresett paraméterhez.
A.6. Nagy eltérések: Legyen ξ1, ξ2, ..., ξn, ... független és ugyanolyan eloszlású, közös
sűrű ségük (a diszkrét esetben eloszlásuk) f = f(x) , Eξk = m , továbbá ρ > m és z ≥ 0 .
Ekkor (O1.8) és a Markov egyenlőtlenség alapján ζn = ξ1 + ξ2 + · · · + ξn eloszlására
P [ζn ≥ nρ] ≤ e −nzρ e nJ(z)
adódik, ahol J(z) := log Ee zξk
∞
= log e zx f(x) dx ,
−∞

32
feltéve hogy z ≥ 0 . Tegyük fel hogy J(z) minden z ∈ R esetén véges, ekkor J analitikus
egész függvény, és
J ′ ∞
(z) = xfz(x) dx , J ′′ ∞
(z) = (x − J ′ (z)) 2 fz(x) dx > 0 , (A6.1)
−∞
ahol fz(x) := e zx−J(z) f(x) a Cramer féle gerjesztés, szintén sűrűségfüggvény. Ezek szerint
J(0) = 0 , J ′ (0) = m és J ′ szigorúan monoton nő.
Mivel mindig van olyan θ közbülső érték hogy zρ − J(z) = z(ρ − J ′ (θ)) , ρ > m és z < 0
esetén zρ − J(z) < 0 mert J ′ (θ) < ρ , tehát igaz az úgynevezett Csernov korlát:
−∞
P [ζn ≥ nρ] ≤ e −nS(ρ) , ahol S(ρ) := sup{zρ
− J(z)} .
z
(A6.2)
Látható hogy S(ρ) > S(m) = 0 ha ρ = m , továbbá S konvex, de értéke +∞ is lehet.
Ha ρ < m akkor ugyanígy igazolható hogy a P [ζn ≤ nρ] valószínűség csökken exponenciálisan,
tehát a Borel-Cantelli lemma segítségével a nagy számok erős törvénye innen
már következik: P [ζn/n → m] = 1 . Ennél érdekesebb az hogy a fenti becslés pontos, mert
a következő alsó korlát is igaz.
Tegyük fel hogy ρ > m és van olyan z > 0 hogy ρ = J ′ (z) , vagyis a gerjesztett fz
sűrűségű ˜ ξk változók várható értéke éppen ρ . Legyen ˜ ζn = ˜ ξ1 + ˜ ξ2 + · · · + ˜ ξn , ahol a ˜ ξk
sorozat független. Ekkor f(x)/fz(x) = exp J(z) − zx miatt
P [ζn ≥ nρ] ≥ e nJ(z) E 1 [ ˜ ζn≥nρ] e−z ˜ ζn ≥ e nJ(z)−zρ−zε P [nρ ≤ ˜ ζn ≤ nρ + nε] . (A6.3)
A rövidesen sorrakerülő centrális határeloszlás tétel szerint a jobboldali valószínűség n →
∞ esetén 1/2-hez konvergál hacsak ε > 0 . Mivel ρ = J ′ (z) miatt zρ − J(z) = S(ρ) , (A6.2)
figyelembevételével
1
lim
n→∞ n log P [ζn ≥ nρ] = −S(ρ) . (A6.4)
Az S exponens (entrópia) meghatározását gyakran megkönnyíti hogy J ′ és S ′ egymás
inverz függvényei. Ha ρ ≈ m akkor S(ρ) ≈ (ρ − m) 2 /2σ 2 , ahol σ = D(ξ) . Normális
eloszlás esetén ez a közelítés pontos.
A6.F1: Meghatározandó az S(ρ) exponens a B(1, p) , B(r, p) , N(m, σ 2 ) , P(λ) és Exp(λ)
esetén!
A6.F2: Legyen a := infz J ′ (z) , b := sup z J ′ (z) , ekkor P [a ≤ ξk ≤ b] = 1 > P [ã ≤ ξk ≤ ˜ b]
ha a ≤ ã ≤ ˜ b ≤ b de | ˜ b − ã| < |b − a| !
A6.F3: Ha ξn független P(λn) sorozat, akkor
n ξn pontosan akkor konvergens 1 valószínűséggel
amikor
n λn < +∞ !
A6.F4 ∗ : Ha ξn független N(0,σ 2 n) sorozat, akkor
n ξ2 n és
n σ2 n egyszerre konvergens!
A.7. Eloszlások konvergenciája: Azt mondjuk hogy a ξn sorozat gyengén (eloszlásban)
konvergál a ξ változóhoz ha limn Eϕ(ξn) = Eϕ(ξ) minden folytonos és korlátos ϕ : R ↦→ R

esetén. A gyenge konvergencia messze nem jelenti azt hogy maguk a változók valamilyen
értelemben konvergálnak, csak az eloszlásaik konvergenciájáról van szó. A sűrűségfüggvények
pontonkénti konvergenciájából a gyenge konvergencia persze következik,
de ez az elégséges feltétel általában nem teljesül; diszkrét változók is konvergálhatnak
folytonoshoz ebben az értelemben. A gyenge konvergencia mindig együtt jár a karakterisztikus
függvények pontonkénti konvergenciájával, és a két állítás egyenértékű. Ennek
igazolásához először tételezzük fel hogy ϕ integrálható, és legyen ϕσ := ϕ ∗ fσ , ahol
fσ az N(0, σ 2 ) sűrűségfüggvény. Vegyük észre hogy ha η N(0, 1) eloszlású, akkor (A3.1)
értelmében
ϕσ(x) = Eϕ(x + ση) −→ ϕ(x) amikor σ → 0 . (A7.1)
Mivel fσ Fourier transzformáltja éppen σ −1√ 2πf 1/σ , írhatjuk hogy
ϕσ(x) := 1
σ √ ∞
ϕ(y) exp
2π −∞
−(x − y) 2 /2σ 2 ) dy (A7.2)
= 1
∞ ∞
ϕ(y) exp
2π −∞ −∞
ızx − ızy − z 2 σ 2 /2 dydx
∞
= e ızx gσ(z) dz ahol gσ(z) := e−z2 σ 2 /2 ∞
ϕ(y)e
2π
−ızy dy ,
−∞
tehát ϕσ várható értéke konvergál amikor n → ∞ ,
∞
Eϕσ(ξn) = Ψξn (z)gσ(z)
∞
dz −→ Ψξ(z)gσ(z) dz = Eϕσ(ξ) .
−∞
Mivel ϕσ → ϕ amikor σ → 0 , és a konvergencia egyenletes ha ϕ egyenletesen folytonos,
állításunk ebben az esetben bizonyítást nyert.
Legyen most χℓ : R ↦→ [0, 1] olyan sima függvény hogy |χ ′ | ≤ 1 és a [−ℓ, ℓ] intervallumon
χℓ = 1 , míg χℓ(x) = 0 ha |x| > ℓ + 1 ; ekkor limℓ→∞ sup n Eχℓ(ξn) = 1 . Mivel χℓ(x)ϕ(x)
már egyenletesen is folytonos és integrálható ha ϕ folytonos, Eχℓ(ξn)ϕ(ξn) → Eχℓ(ξ)ϕ(ξ) ,
amiből az állítás végleges formája egyszerűen következik.
(I2.2) levezetéséhez hasonlóan kapjuk hogy ha ξn gyengén konvergál ξ-hez, akkor az
eloszlásfüggvények is konvergálnak: Fξn (x) → Fξ(x) minden olyan x helyen ahol Fξ
folytonos. Ez is ekvivalens a gyenge konvergencia definíciójával, de az Eϕ(ξn) → Eϕ(ξ)
változat általánosítható akár olyan változókra is, melyek értékei függvények, vagy még
sokfélébb objektumok.
A7.F1: Legyen ηn := min{ξ1, ξ2, ..., ξn} ahol ξ1, ξ2, ..., ξn független E(0, 1) változók. Bizonyítandó
hogy P [limn ηn = 0] = 1 és limn P [nηn > x] = e −x !
A.8. Centrális határeloszlástétel: Legyen η1, η2, ..., ηn ugyanolyan eloszlású független
sorozat, Eηk = m , D(ηk) = σ > 0 , ζn := η1 + η2 + · · · + ηn és ˜ ζn := (ζn − nm)/σ √ n ;
ekkor minden z ∈ R-re, az ˜ηk := (ηk − m)/σ jelöléssel,
lim
n→∞ Eeız ˜ ζn = lim
n
−∞
−∞
z −z
Ψ˜ηk √n = e
n→∞
k=1
2 /2
= ΨN(0,1) (A8.1)
33

34
mivel Ψ˜ηk (u) = 1 − u2 /2 + o(u 2 ) , ahonnan a fenti gondolatmenettel következik hogy az ˜ ζn
standardizált összeg aszimptotikusan normális eloszlású.
Egy kicsit pontosabb számolással Lindeberg tétele is bizonyítható. Legyen ˜ ζn := ηn,1 +
ηn,2 + · · · + ηn,n ahol ηn,k , k = 1, 2, ..., n független, nulla várható értékű változók, és
n
n
lim Eη
n→∞
k=1
2 n,k = 1 , lim E|ηn,k|
n→∞
k=1
2 δ = 0 (A8.2)
minden δ > 0 esetén; |x|δ := |x| ha |x| > δ , egyébként pedig nulla. Ekkor ˜ ζn határeloszlása
standard normális. A második, Lindeberg feltétel lényegében annyit jelent hogy az ηn,k
összeadandók mind kicsik.
A.9. Poisson határeloszlástétel: Ha ζn = ηn,1 +ηn,2 +· · ·+ηn,n független, nemnegatív
egész értékű változók összege, akkor a határeloszlása tipikusan Poisson:
ahol λ ≈ Eζn . A tétel feltételei:
n
lim
n→∞ P [ζn = m] = λm
m! e−λ , (A9.1)
lim P [ηn,k = 1] = λ , lim
n→∞
n→∞
k=1
max
1≤k≤n P [ηn,k = 1] = 0 , lim
n→∞
k=1
A bizonyítás a karakterisztikus függvénynél egyszerűbben használható
Gη(r) := Er η =
n
P [ηn,k > 1] = 0 .
∞
r m P [η = m] ha |r| ≤ 1 (A9.2)
m=0
generátorfüggvény segítségével is elvégezhető; Gη(r) ≡ Mη(log r) . A Poisson eloszlás
generátorfüggvénye G(r) = e λr−λ , míg Gηn,k (r) = 1−λn,k+λn,kr+εn,k ≈ exp(λn,kr−λn,k)
ha λn,k := P [ηn,k = 1] , tehát a feltételek alapján Gζn (r) → eλr−λ = G(r) ha n → ∞ .
Weierstrass tétele szerint a generátorfüggvények konvergenciájából az eloszlások konvergenciája
következik.
A.10. Feltételes várható érték: Ha η valós, véges szórású változó, ξ tetszőleges, akkor
az E(η − ψ(ξ)) 2 =min! regressziós feladat ψ ∗ = ψ ∗ (ξ) megoldása az E(η|ξ) := ψ ∗ (ξ)
feltételes várható érték; az E(η|ξ = x) := ψ ∗ (x) jelölés is használatos. Mivel
E(η − ψ ∗ (ξ)) 2 ≤ E(η − ψ ∗ (ξ) + αφ(ξ)) 2
= E(η − ψ ∗ (ξ)) 2 + 2αE (η − ψ ∗ (ξ))φ(ξ) + α 2 Eφ 2 (ξ)
minden α ∈ R számmal és ψ (korlátos) függvénnyel teljesül, Eηφ(ξ) = Eψ ∗ (ξ)φ(ξ) is
mindig igaz. A φ ≡ 1 választással kapjuk a teljes feltételes várható érték tételét: EE[η|ξ] =
Eη . A fenti ortogonalitási relációk a ψ ∗ függvényt akkor is egyértelműen meghatározzák

ha csak E|η| < +∞ a feltételünk. Például ha ξ és η diszkrét, η értékkészlete Y ⊂ R , akkor
a megoldás
E[η|ξ = x] =
y P [η = y|ξ = x] , (A10.1)
y∈Y
vagyis az η feltételes eloszlása szerint képezett átlag, lásd (O1.6). Ha η és ξ együttes
sűrűsége f(y, x) , akkor az f(y|x) feltételes sűrűség szerint integrálunk:
∞
E[ϕ(η)|ξ = x] = ϕ(y)f(y|x) dy , f(y|x) := f(y, x)/fξ(x) . (A10.2)
−∞
Mivel minden ϕ = ϕ(y, x) kétváltozós függvény közelíthető ψk(y)φk(x) alakú függvényekkel,
(O1.6) is általános igazság:
Steiner tétele is általánosítható:
Eϕ(η, ξ) = Eψ ∗ ϕ(ξ) ahol ψ ∗ ϕ(x) = E[ϕ(η, x)|ξ = x] . (A10.3)
E[(η − Eη) 2 |ξ] = E[(η − E[η|ξ]) 2 |ξ] + (E[η|ξ] − Eη) 2
35
(A10.4)
Valamely A esemény feltételes valószínűségét P [A|ξ = x] := E[1A|ξ = x] definiálja.
Például, P [A|C] = P [A|1C = 1] = P (AC)/P (C) ha P (C) > 0 .
A feltételes várható érték létezése legegyszerűbben a Hilbert tér elméletéből következik.
A véges szórású változók terében az Eξη = (ξ, η) bilineáris alak játssza a skaláris szorzat
szerepét, ezért beszéltünk ortogonalitásról E[η|ξ] definiálásakor. Tegyük fel hogy a ψn
sorozat olyan hogy
Mivel
lim
n→∞ E(η − ψn(ξ)) 2 = D 2 := inf E(η − ψ(ξ))
ψ 2 .
2E(η − ψn) 2 + 2E(η − ψm) 2 = E(ψn − ψm) 2 + E(2η − ψn − ψm) 2
≥ 4D 2 + E(ψn − ψm) 2 ,
látjuk hogy E(ψn(ξ) − ψm(ξ)) 2 → 0 ha n, m → 0 , ami a közelítő sorozat konvergenciájára
utal: ψ ∗ (ξ) = limn→∞ ψn(ξ) négyzetátlagban igaz.
A feltételes várható érték fogalmát gyakran a következő formában tálalják. Ha F ⊂ A
σ-algebra, akkor a vonatkozó feltételes várható érték az az E[η|F] := η ∗ F-érhető válto´zo,
amely eleget tesz az Minden
A
η dP =
η
A
∗ dP , vagyis E1Aη = E1Aη ∗ ha A ∈ F (A10.5)
azonosságnak. Minden F ⊂ A σ-algebra előállítható az F = Aξ := {[ξ ∈ U : U ∈ X }
alakban, ahol ξ : Ω ↦→ (X, X ) valamilyen absztrakt valószínűségi változó; például (X, X ) =

36
(Ω, F) , ξ(ω) = ω ∀ω ∈ Ω . Ez a definíció nem különbözik az előzőtől, E[η|Aξ] ≡ E[η|ξ] .
Érdemes észrevenni hogy ha F1 ⊂ F2 és η ∗ := E[η|F2] akkor érvényes az E[η ∗ |F1] =
E[η|F1] vetítési azonosság.
A10.F1: Bizonyítandó hogy Aξ σ-algebra!
A10.F2 ∗ : Ha η valós és Aη ⊂ Aξ akkor van olyan g : X ↦→ R mérhetőfüggvény hogy
η = g(ξ) !
A10.F3 ∗ : A Fx(y) := P [η < y|ξ = x] feltételes valószínűségek definiálhatóak úgy, hogy
Fx majdnem minden x esetén eloszlásfüggvény lesz!
A.11. Centrált sorozatok és martingálok: Valós változók η1, η2, ..., ηt, ... sorozata
centrált a σ-algebrák F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Ft ⊂ · · · ⊂ A bővülő rendszerére (filtráció) nézve
ha adaptált, vagyis ηt Ft-mérhető, és E[ηt+1|Ft] = 0 minden t ≥ 0 egész esetén. Legyen
ζ0 := 0 , ζt := η1 + η2 + · · · + ηt és tegyük fel hogy Eη2 k < +∞ ∀k , ekkor érvényes az
Eζ 2 t = Eη 2 1 + Eη 2 2 + · · · + Eη 2 t
(A11.1)
ortogonalitási tulajdonság (Pitagorasz tétel).
Centrált sorozat ζn részletösszegei martingált alkotnak: ζt is Ft-mérhető és minden
t ∈ Z+ esetén E[ζt+1|Ft] = ζt . Fordítva, ha (ξt, Ft) , t ∈ Z+ martingál, akkor ξt = ξ0 +η1 +
η2 + · · · ηt , ahol az ηk := ξk − ξk−1 sorozat centrált. Az Ft filtrációhoz adaptált ξt sorozat
szubmartingál ha E[ξt+1|Ft] ≥ ξt ∀t . Például, E[ζ 2 t+1|Ft] ≥ ζ2 t a ϕ(x) = x2 függvény
konvexitása miatt. Általában is igaz hogy martingál konvex függvénye szubmartingál ha
a várható értéke véges; szubmartingálnak csak monoton növő konvex függvénye lesz ismét
szubmartingál. Martingál tipikus példája a ξt := E[φ|Ft] feltételes várható érték.
Ha ξ0, ξ1, ..., ξt, ... Markov lánc, Ft = σ{ξ0, ξ1, ...ξt} és ϕ = Pϕ korlátos harmonikus
függvény, akkor (ϕ(ξt), Ft) martingál. Általánosabban, (ζt, Ft) is martingált alkot, ahol
ϕ : X ↦→ R tetszőleges korlátos és mérhető függvény, míg
ζt =
t
ϕ(ξk) − Pϕ(ξk−1) .
k=1
A τ nemnegativ egész értékű változó megállási szabály, ha a [τ ≤ t] nívóhalmazai mindig
Ft elemei. Jó tudni hogy τ ≡ T megállási idő, és két megállási idő τ ∨ σ maximuma,
valamint τ ∧ σ minimuma is az.
Doob opciós lemmája szerint az Ft-adaptált ξt sorozat akkor és csak akkor szubmartingál
ha Eξτ ≥ Eξσ bármely két korlátos τ ≥ σ megállási időre teljesül. Valóban, mivel
ξτ = ξ0 +
∞
1 [τ>t]ηt+1 , ξσ = ξ0 +
t=0
ahol, mint korábban, ηt+1 = ξt+1 − ξt , tehát
Eξτ = Eξ0 +
∞
E 1 [τ>t]E[ηt+1|Ft] ≥ Eξ0 +
t=0
∞
1 [σ>t]ηt+1 ,
t=0
∞
E 1 [σ>t]E[ηt+1|Ft] = Eξσ
t=0

mivel E[ηt+1|Ft] ≥ 0 és 1 [τ>t] ≥ 1 [σ>t] . Fordítva, ha t > s , A ∈ Fs és τ := t ha 1A = 1 ,
τ := s egyébként, akkor τ ≥ s megállási idő, tehát E1Aξt + E1A cξs = Eξτ ≥ Eξs mivel
σ ≡ s persze szintén megállási idő. Tehát E(1Aξt) ≥ E(1Aξs) , vagyis E[ξt|Fs] ≥ ξs .
Eszerint a megállított ξ τ t := ξτ∧t sorozat (szub)martingál ha ξt az.
Minden (ξt, Ft) szubmartingál eleget tesz a
P max
t≤n ξt ≥ α ≤ E|ξn|+
, (A11.2)
α
maximális (Kolmogorov) egyenlőtlenségnek, ahol α > 0 , |x|+ pedig az x szám pozitív része.
Valóban, legyen ξ ∗ n := maxt≤n ξt , míg τ := min{t ≤ n : ξt ≥ α} ha van ilyen index, τ := n
egyébként. Ekkor az opciós lemma és a Markov egyenlőtlenség miatt
Eξn ≥ Eξτ ≥ αP [ξτ ≥ α] + E ∗
1 [ξτ

38
vagyis a ζt sorozat egy valószínűséggel konvergens. Az általános eset a folyamat megállításával
bizonyítható, sőt ha sup t |ηt| négyzetesen integrálható, akkor a fenti konvergenciatartomány
pontos. A három-sor tétel következménye a nagy számok Kolmogorov törvénye:
ha ζn := ξ1 + ξ2 + · · · ξn független és ugyanolyan eloszlású sorozat részletösszege, és a
közös m = Eξk várható értékük létezik, akkor ζn/n → m egy valószínűséggel igaz amikor
n → ∞ . Ez az eredmény az un. ergodikus sorozatokra is kiterjeszthető, de a várható érték
végességének feltétele nem hagyható el. Például, független és ugyanolyan Cauchy változók
számtani közepei +∞ és −∞ között ingadoznak a BC II. lemma miatt.
Minden szubmartingál felbontható egy martingál és egy monoton nem csökkenő sorozat
összegére:
n−1
n−1
ξn = ξ0 + ηt+1 = ξ0 +
t=0
ηt+1 − E[ηt+1|Ft] n−1
+ E[ηt+1|Ft] (A11.6)
t=0
ahol ηt = ξt − ξt−1 . Látható hogy az utolsó összeggel adott monoton komponens jósolható,
vagyis Fn−1-mérhető.
Doobnak az átmetszések számáról szóló lemmája a (szub)martigálok konvergenciájának
tisztázásához szükséges, de a folytonos paraméterű folyamatok vizsgálatánál is alapvető
szerepet játszik. Adott α < β esetén legyen σ1 az első olyan (véletlen) időpont amikor
ξσ1 ≤ α ; τ1 ≥ σ1 ezután az első index ahol ξτ1 ≥ β , és így tovább. Ha valamelyik
megállási idő nem realizálódik, akkor értéke +∞ . Tehát σt < τt < σt+1 hacsak τt < +∞ .
Ezek szerint Un(α, β) := max{t : τt ≤ n} éppen az [α, β] intervallumon alulról felfelé
történő átmetszések száma a t = n időpontig; megmutatjuk hogy
(β − α)EUn(α, β) ≤ E|ξn − α|+
Legyen ξ ′ t := |ξt∧n − α|+ , ami szintén szubmartingál. Mivel σn ≥ n ,
|ξn − α|+ = ξ ′ σ1 +
n−1
t=1
ξ ′ τt − ξ′ σt
n−1
+
t=1
t=0
ξ ′ σt+1 − ξ′ τt
(A11.7)
(A11.8)
könnyen ellenőrizhető azonosság. Az első összeg (β − α)Un felső korlátja, a többi tag
várható értéke pedig nem lehet negatív, tehát mindkét oldal várható értékét véve kapjuk
hogy
(β − α)EUn(α, β) ≤ E|ξn − α|+ − E|ξ0 − α|+ , (A11.9)
ami több mint a bizonyítandó állítás.
Innen egyszerűen következik Doob alaptétele a szubmartingálok konvergenciájáról: Ha
sup t E|ξt|+ < +∞ akkor majdnem biztosan létezik a ξ∞ = limt→∞ ξt határérték, és
E|ξ∞| < +∞ . Ha most ξt egyenletesen integrálható, vagyis
lim
a→∞ sup
|ξt| dP = 0 (A11.10)
t |ξt|≥a
akkor limt→∞ E|ξt − ξ∞| = 0 is igaz, sőt E[ξ∞|Ft] ≥ ξt , és martingálok esetén E[ξ∞|Ft] =
ξt . Megfordítva, ha ξ martingál vagy nemnegatív szubmartingál, és E[ξ∞|Ft] ≥ ξt , akkor

ξt egyenletesen integrálható. Ehhez főleg azt kell megmutatni, hogy (A11.10) az alábbi
feltétellel ekvivalens:
lim
a→∞ sup E |ξt| − a = 0 . + (A11.11)
t
Valóban, |ξt| − a + is szubmartingál, tehát E |ξt| − a| ≤ E |ξ∞| − a . Végül, (A11.11) az
(A11.10) nyilvánvaló következménye, a másik irány pedig az elemi E1 [η≥2a]η ≤ 2E|η − a|+
egyenlőtlenség folyománya.
F. Sztochasztikus Folyamatok
Időfüggő jelenségek modelljeit ismertetjük, sok a csupán jelzés értékű észrevétel.
F.1. Autoregresszív idősorok: Legyen η1, η2, ...ηt, ... ugyanolyan eloszlású független
sorozat, Eηk = 0 , D(ηk) = σ . Definiáljuk a ξ0 = x ∈ R értékből kiindulva a ξt+1 =
θξt + ηt+1 idősort, ahol θ valós paraméter. Innen is, de még inkább a
ξn = θ n x +
n
t=1
θ n−t ηt
39
(F1.1)
megoldó képletből látható hogy (F1.1) az Ornstein-Uhlenbeck folyamat diszkretizált változata.
Ha |θ| < 1 akkor az idősor aszimptotikusan stacionárius.
ξ0, ξ1, ..., ξn megfigyelt értéke alapján a θ paraméter legkisebb négyzetes becslése (LNB)
ˆθn =
n−1
t=0 ξtξt+1
n−1
t=0 ξ2 t
tehát ˆ θn = θ +
n−1
t=0 ξtηt+1
n−1
t=0 ξ2 t
(F1.2)
Tegyük fel hogy |θ| < 1 . A (közös) nevező várható értéke aszimptotikusan nσ 2 /(1 − θ 2 ) ,
míg ˆ θn − θ számlálójának várható értéke 0 , szórásnégyzete nσ 4 (1 − θ 2 ) nagyságrendű,
tehát azt várjuk hogy √ n( ˆ θn − θ) ∼ N(0, ρ 2 ) ahol ρ 2 = 1/(1 − θ 2 ) . (F1.1) segítségével ez
igazolható, de a centrális határeloszlás tétel közvetlenül még a számláló kiértékelésére sem
alkalmas.
F.2. Wiener folyamat: Az (I3) szakasz alapján így nevezzük valószínűségi változók
W (t) , t ≥ 0 rendszerét ha W (0) = 0 , a folyamat W (tk)−W (tk−1) növekményei függetlenek
és eloszlásuk rendre N(0, tk+1 − tk) hacsak 0 = t0 < t1 < · · · < tn . Tehát a Wiener folyamat
független növekményű Gauss folyamat. Látható hogy Cov(W (t), W (s)) = min{t, s} ,
továbbá a Wa(t) := √ aW (t/a) és a W s(t) := W (s + t) − W (s) folyamat is Wiener. Sőt,
a W s(t) folyamat független a W (t) folyamat [0, s] szakaszától, amit W [0, s] jelöl. Konstruálható
olyan (Ω, A, P ) valószinűségi mező, ami akár a Lebesgue mértékkel felszerelt
[0, 1] intervallum is lehet, hogy a rajta definiált W (t) = W (t, ω) véletlen trajektóriák
1 valószínűséggel folytonosak, de sehol sem differenciálhatóak. Az önmagához való hasonlóság
W (t) ∼ √ aW (t/a) skálatörvénye is az utóbbi mellett szól.
F2.F1: Meghatározandó a K(s, t) =Cov(η(t), η(s)) kovarianciafüggvény, ahol W (t) a
Wiener folyamat, és (i) η(t) = √ aW (t/a) , (ii) η(t) = tW (1/t) , (iii) η(t) = e −λt W (e 2t ) ,
(iv) η(t) = W (t) − tW (1) , 0 ≤ t ≤ 1 !

40
F2.F2 ∗ : Meghatározandó E[W (t)W (s)|W (1)=0] értéke, ahol 0 < t, s < 10 , W a Wiener
folyamat!
F.3. Kvadratikus variáció: Mivel W (s + t) − W (s) = O( √ t) , a Wiener folyamat
trajektóriái nem korátos változásúak. Legyen 0 = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = t a γ-val
jelölt felosztás,
σ 2 n−1
γ(t) := W (tk+1) − W (tk) 2 , (F3.1)
k=0
továbbá Wk = W (tk) , ∆Wk := W (tk+1) − W (tk) , és ∆tk := tk+1 − tk . Mivel E(∆Wk) 2 =
∆tk , E (∆Wk) 2 2 − ∆tk = 2(∆tk) 2 , de ∆Wk és ∆Wj független ha j = k , vagyis ilyenkor
E((∆Wk) 2 − ∆tk)((∆Wj) 2 − ∆tj) = 0 , tehát σ2 γ(t) − t = ((∆Wk) 2 − ∆tk) miatt
E σ 2 γ(t) − t n−1
2
= 2
k=0
(tk+1 − tk) 2
(F3.2)
nullához konvergál amikor a γ felosztás minden határon túl finomodik, tehát σ 2 γ(t) → t a
fenti értelemben (négyzetátlagban). Eszerint
W 2 n−1
(t) = 2
W (tk) W (tk+1) − W (tk) n−1
+ W (tk+1) − W (tk) 2 k=0
k=0
(F3.3)
jobboldalán az első összeg is konvergál a felosztás finomodásakor, amit a W 2 (t) = t +
2 ∫ t 0 W (s) dW (s) speciális Ito formulaként értelmezünk. Az ∫ t 0 W dW sztochasztikus integrál
annak ellenére is definiálható, hogy (Lebesgue-) Stieltjes integrálként nics értelme.
F.4. Wiener folyamat és a hővezetés egyenlete: Legyen u(t, x) := Eϕ(x + W (t)) ,
ahol ϕ : R ↦→ R kétszer folytonosan differenciálható, és a második deriváltja is korlátos.
Megmutatjuk hogy
Eϕ(x + W (t)) = ϕ(x) + 1
t
Eϕ
2 0
′′ (x + W (s)) ds , (F4.1)
vagyis u a ∂tu(t, x) = 1
2 ∂2 xu(t, x) hővezetési egyenlet u(0, x) = ϕ(x) kezdőértékhez tartozó
megoldása. Ezt ugyan közvetlenül is ellenőrizhetnénk, mivel W (t) ∼ N(0, t) miatt (I3.2)
érv ´ ’enyes, viszont a következő számolási technikának messzemenő következményei lesznek.
Egyszerűség kedvéért tegyük fel hogy ϕ négyszer folytonosan differenciálható, és ϕ iv is
korlátos. A fenti jelölésekkel
n−1
ϕ(x + W (t)) = ϕ(x) + ϕ(x + Wk+1) − ϕ(x + Wk) , (F4.2)
k=0
ϕ(x + Wk+1) − ϕ(x + Wk) = ϕ ′ (x + Wk)∆Wk + (1/2)ϕ ′′ (x + Wk)(∆Wk) 2
+ (1/6)ϕ ′′′ (x + Wk)(∆Wk) 3 + (1/24)ϕ iv (θk)(∆Wk) 4 ,

ahol θk alkalmas közbülső érték. Tekintve hogy Wk és ∆Wk független, a sorfejtés páratlan
tagjainak várható értéke 0 . Hasonlóan, Eϕ ′′ (x + Wk)(∆Wk) 2 = ∆tkEϕ ′′ (x + Wk) , míg a
negyedrendű tagok (∆tk) 2 nagyságrendűek, amiből (F4.1) a felosztás finomításával adódik.
F.5. Feynman-Kac formula: Legyen ϕ mint fent, V : R ↦→ R felülről korlátos és
folytonos, ekkor
t
v(t, x) := E ϕ(x + W (t)) exp V (x + W (τ)) dτ
0
41
(F5.1)
a ∂tv(t, x) = 1
2∂2 xv(t, x) + V (x)v(t, x) egyenlet v(0, x) = ϕ(x) kezdeti értékhez tartozó
megoldása. A t = 0 helyen az idő szerinti differenciálást (F4.1) alapján végezhetjük el, az
eredmény valóban a kívánt ∂tv(0, x) = 1
2ϕ′′ (x) + V (x)ϕ(x) = 1
2∂tv(0, x) + V (x)v(0, x) .
Minthogy v(t + s, x) = E ϕ(x + W (s) + W s(t))ξη ahol
t
s
ξ := exp V (x + W (s) + W s(τ)) dτ , η := exp V (x + W (τ)) dτ ,
0
0
(O1.7) bátor alkalmazásával, vagyis a várható értéket két lépésben, először W (s) és η
rögzített értéke mellett számolva kapjuk hogy
s
v(t + s, x) = E v(t, x + W (s)) exp V (x + W (τ)) dτ . (F5.2)
0
Tehát v(t + s, x) értékét ugyanazzal az eljárással kapjuk a v(t, ·) függvényből, mint v(t, x)et
v(0, ·) = ϕ-ből. Ilyenformán a t > 0 időpontban – az s → 0 határátmenettel – az
idő szerinti differenciálást ugyanúgy lehet végrehajtani, mint a t = 0 helyen a t → 0
határátmenet végrehajtásával, ami éppen a kívánt eredményt adja.
F.6. Ito kalkulus: A Wiener folyamat szerinti sztochasztikus integrál a következőképpen
definiálható. Semmi kétség ha η = η(s) trajektóriái lépcsős függvények, vagyis van olyan
0 = τ0 < τ1 < · · · < τn < · · · felosztás hogy η(t) = η(τk) ha τk ≤ t < τk+1 , ilyenkor
t
η(s) W (ds) :=
0
=
n(t)−1
k=0
η(τk) W (τk+1) − W (τk) + η(τ n(t)) W (t) − W (τ n(t))
∞
η(τk) W (τk+1 ∧ t) − W (τk ∧ t)
k=0
(F6.1)
ahol n(t) = n az utolsó olyan index hogy τn < t . Ha most azt is tudjuk hogy η(τk) és
W (τk+1) − W (τk) független, akkor érvényes az
E
t
2 t
η(s) W (ds) = Eη
0
0
2 (s) ds (F6.2)

42
azonosság, ami lehetővé teszi az
t
0
t
t
η(s) W (ds) := lim ηn(s) W (ds) ha lim E
n→∞
0
n→∞
0
η(s) − ηn(s) 2 ds = 0 (F6.3)
konstrukciót. A közelítő sztochasztikus integrálok négyzetátlagban konvergálnak.
Ez a konstrukció csak akkor működik ha az η folyamat nem függ a jövőtől, vagyis η(s) és
W (s + t) − W (s) mindig független hacsak s, t ≥ 0 . Nem könnyű, de a (A11.?) Kolmogorov
egyenlőtlenség segítségével bizonyítható hogy nemcsak W , de az integrálással kapott
t
ξ(t) = ξ(0) + η(s) W (ds) , röviden dξ = η dW (F6.4)
0
folyamat trajektóriái is majdnem biztosan folytonosak. Az F.3 – F.4 számolások szintéziseként
kapjuk Ito lemmáját:
t
ϕ(ξ(t)) = ϕ(ξ(0)) +
0
ϕ ′ (ξ(s)) W (ds) + 1
t
ϕ
2 0
′′ (ξ(s)) ds (F6.5)
ha dξ = η dW , ami a sztochasztikus analízis Newton-Leibnitz stílusú alaptétele.
F.7. Langevin egyenlet: A ˙ ξ = b(ξ)+ζ jobboldalán álló ζ = ζ(t) fehér zaj korrelálatlan,
stacionárius Gauss folyamat. Mivel a Wiener folyamat növekményei függetlenek, kézenfekvő
azt mondani hogy a ζ fehér zaj a Wiener folyamat (nem létező) derivátja: ζ(t) = ˙ W (t) .
Az értelmezés fogalmi és technikai nehézségeit úgy kerülhetjük meg hogy a ξ sztochasztikus
folyamatot a
t
ξ(t) = ξ(0) + b ξ(s) ds + W (t) (F7.1)
0
integrálegyenlet megoldásaként definiáljuk; ezt röviden dξ = b(ξ) dt + dW jelöli.
Mivel a Wiener trajektóriák folytonosak, F7.1 megoldásainak létezése és egyértelműsége
ugyanúgy tárgyalható, mint a determinisztikus esetben. Ha b Lipschitz folytonos akkor
szukcesszív approximációval, vagy más közelítő módszerrel lehet megoldásokat konstruálni.
Eszerint a megoldás a Wiener folyamat [0, t] szakaszának ξ(t) = Ψ(t, x, W [0, t]) funkcionáljaként
állítható elő, ahol x = ξ(0) és W [0, t] := {W (s) : s ≤ t} . Az is látható hogy
ξ(s + t) = Ψ(t, ξ(s), W s[0, t]) , továbbá ξ[0, s] és W s egymástól független, tehát ξ Markov
folyamat. Néhány speciális esetben megoldóképlet is van. Például, a dξ = −γξ dt + dW
lineáris egyenlet megoldása a
ξ(t) = ξ(0)e −γt + e −γt
t
e γs W (ds) (F7.2)
Ornstein-Uhlenbeck folyamat.
Lényeges újdonság viszont az hogy a (F4.1) egyenlethez hasonlóan
t
Eϕ(ξ(t)) = ϕ(ξ(0)) +
0
0
Eϕ ′ (ξ(s))b ′ (ξ(s)) ds + 1
t
Eϕ
2 0
′′ (ξ(s)) ds . (F7.3)

Sőt, az Ito formula szerint dϕ(ξ) = ϕ ′ (ξ) dξ + 1
2 ϕ′′ (ξ) dt , pontosabban
t
ϕ(ξ(t)) = ϕ(ξ(0)) +
0
ϕ ′ (ξ(s)) b ′ (ξ(s)) ds + W (ds) + 1
t
ϕ
2 0
′′ (ξ(s)) ds . (F7.4)
Szintén nem szokványos tény hogy ha az η = η(s) folyamat nem függ a jövőtől, akkor
dξ = ηξ dW megoldását a
ξ(t) = ξ(0) exp
t
η(s) W (ds) −
0
1
t
η
2 0
2
(s) ds
Maruyama-Girsanov formula adja, aminek korrekt volta az Ito lemmával ellenőrizhető.
43
(F7.5)
F.8. Ito folyamatok, többváltozós kalkulus: Tegyük fel hogy a Wi = Wi(t) i =
1, 2, ..., n függetlenWiener folyamatok mindegyike adaptált az Ft , t ≥ 0 filtrációhoz, és
a bi = bi(t) , σi,j = σi,j(t) folyamatok is ilyenek. Ha az alábbi sztochasztikus integrálok
definiálhatóak,
t
n
t
ξi(t) = ξi(0) + bi(s) ds + σi,j(s) dWj(s) (F8.1)
vagyis dξi = bi dt + n
j=1 σi,j dWj , akkor Ito többváltozós formulája:
dϕ(t, ξ(t)) = ϕ ′ 0(t, ξ) dt +
ahol ϕ : R n+1 ↦→ R , a ϕ ′ i
, és ϕ′′
i,j
0
n
i=1
j=1
ϕ ′ i(t, ξ) dξi + 1
2
0
n
n
i=1 j=1
ϕ ′′
i,j(t, ξ) dξidξj
parciális deriváltak folytonosak, végül
dξidξj :=
(F8.2)
n
σi,ℓ(t)σj,ℓ(t) dt (F8.3)
ℓ=1
a két folyamat keresztvariációja.
Ha a filtrációt maguk a Wiener folyamatok generálják, akkor – Ito nevezetes tétele
szerint – minden négyzetesen integrálható η martingál egyértelműen állítható elő mint
η(t) = η(0) +
n
t
ψi(s) dWi(s) , (F8.4)
i=1
ahol a ψi folyamatok mind adaptáltak és négyzetesen integrálhatók.
Bizonyítható hogy Wiener folyamatok által generált F W t filtráció jobbról folytonos:
F W s = F W s+ :=
t>0 Fs+t . A trajektóriák folytonossága miatt F W s− = F W s mindig igaz.
Ezek a tulajdonságok az alábbi konstrukcióban lényegesek. A τ ≥ 0 változó megállási
szabály (stopping time) ha [τ ≤ t] ∈ Ft ∀t > 0 . Sztochasztikus integrál felső határa
megállási szabály is lehet.
F8.F1: Ha τ és σ megállási szabály akkor min{τ, σ} és max{τ, σ} is az!
0

44
F8.F2: Fτ := {A ∈ A : A ∩ [τ ≤ t] ∈ Ft ∀t > 0} σ-algebra ha τ megállási szabály!
F.9. Független sorozatok konstrukciója: Eddig nem szóltunk arról hogy milyen
valószínűségi mezőn hogyan definiálhatóak a kívánt tulajdonságú változók. Legyen például
(Ω, A, P ) a Lebesgue mértékkel felszerelt [0, 1] intervallum. Ekkor ξ = ξ(ω) := ω nyilván
egyenletes eloszlású: P [ξ < x] = x , míg η : − log ξ esetén
1
1
∞
Eϕ(η) = ϕ(η(ω)) dω = ϕ(− log ω) dω = ϕ(y)e −y dy ,
0
0
vagyis η ∼ Exp(1) , amit P [η > y] = P [ξ < e−y ] = e−y is bizonyít. Általánosabban,
ha P [η < y] = F (y) szigorúan monoton és folytonos, akkor F (η) = ξ ∼ E(0, 1) mert
P [ξ < x] = P [η < F −1 (F (x))] = x . Fordítva, ha ξ ∼ E(0, 1) adott, akkor η = F −1 (ξ)
eloszlásfüggvénye éppen F lesz. A véletlen számok generátorai általában független E(0, 1)
változókat gyártanak, ezekből a fenti transzformációval kapjuk a kívánt eloszlásúakat.
Az ω ∈ Ω = [0, 1] szám ω = ∞ n=1 ωn2−n bináris kifejtésének ωn jegyei független
valószínűségi változók, és P [ωn = 1] = P [ωn = 0] = 1/2 ∀n , tehát ξ(ω) := ω ∼ E(0, 1)
független tagokból álló sor összege. A
ξp = ξp(ω) :=
∞
n=1
ωp n2−n
változók, ahol p > 1 egész szám, ugyanúgy egyenletes eloszlású mint maga ξ , mert az
ω1, ω2, ..., ωn, ... és az ωp, ωp2, ..., ωpn, ... sorozatok a valószínűségszámítás szempontjából
azonosak. Ha tehát p a prímszámok sorozatából való, akkor a különböző {pn } indexhalmazok
páronként diszjunktak, vagyis a ξp változók is függetlenek.
F.10. A Wiener folyamat folytonos: Független N(0, 1) változók ηn,k , n ∈ Z+ ,
k ∈ N rendszeréből kiindulva megkonstruáljuk a Wiener folyamat W (t) = W (t, ω) , t ≥ 0
trajektóriáit; az előzőszakasz értelmében akár az ω ∈ [0, 1] lehetőséggel is élhetünk. Az
elsőlépés egyértelmű, W (0) = 0 míg W (n) := η0,1 + η0,2 + · · · η0,n ha n ∈ N . Ezután W (τ)
értékét a τ = k2 −n diadikusan racionális pontokban, indukcióval definiáljuk. Ha t, s > 0 ,
W (s) és W (s + t) már megvan, akkor W (τ) , τ = s + t/2 értékét ugy kell megadni, hogy
W (τ) − W (s) és W (s + t) − W (τ) független (korrelálatlan) legyen. Ennek feltétele
W (τ) =
W (s) + W (s + t)
2
+ η√ t
2
ahol η ∼ N(0, 1) a W (s) és W (s + t) változóktól is független. Tehát a rekurzió
W (k2 −n + 2 −n−1 ) := 1
−n −n −n −1−n/2
W (k2 ) + W (k2 + 2 ) + 2 ηn,k+1
2
szerint halad.
Jelölje Wn(t) a W (k2 −n ) pontok között lineáris interpolácóval kapott trajektóriát.
Wn+1(t) − Wn(t) = 1
4
0
(F10.1)
(F10.2)
∞
ηn,k+1hn,k(t) (F10.3)
k=0

ahol hn,k a [k2 −n , (k + 1)2 −n ] intervallumra épített, 2 −1−n/2 magasságú háztetőfüggvény.
Ezek diszjunkt tartójúak, tehát
max
t≤T |Wn+1(t) − Wn(t)| ≤ 2 −1−n/2 Mn(T ) , Mn(T ) := max
k≤T 2 n |ηn,k+1| . (F10.4)
A Schwarz egyenlőtlenség kétszeri alkalmazásával
EMn(T ) ≤
EM 4 1/4
n(T ) ≤
k≤T 2 n
η 4 n+1,k
1/4
≤ (3 · 2 n T ) 1/4
45
(F10.5)
tehát E ∞
n=0 2−1−n/2 Mn(T ) < +∞ , ami csak úgy lehetséges ha a folytonos függvények
n−1
Wn(t) = W0(t) + Wk+1(t) − Wk(t)
k=1
sorozata – 1 valószínűséggel – egyenletesen konvergens. Ilyenkor a W (t) határérték is
folytonos, könnyű ellenőrizni hogy ő a Wiener folyamat.
Wiener eredeti konstrukciója a fehér zaj trigonometrikus sorfejtéséből indult ki, ahol az
ηk ∼ N(0, 1) együtthatók függetlenek. A
ζ(t) = η0
2
√π +
π
∞
2 n −1
n=1 k=2n−1 ηk cos kt (F10.6)
sor persze mindenütt divergens, de a tagonkénti integrálásával kapott sor – legalábbis a
(F10.6) szerinti blokkosított változatban – már egyenletesen konvergens. Az itt követett
eljárás tulajdonképpen a fehér zaj Haár féle sorfejtésére épül.
F.11. A Wiener folyamat nem differenciálható: Ha valamelyik trajektória a [0, 1]
intervallumban valahol differenciálható, akkor az
A(n, ℓ, k) :=
2
j=0
|W (k + j + 1)n −1 − W (k + j)n −1 | ≤ ℓ/n
(F11.1)
események valamilyen ℓ ∈ N és k < n − 2 választással már biztosan teljesülnek ha n elég
nagy, tehát
A :=
A(n, ℓ, k) (F11.2)
ℓ∈N
m∈N
n>m
k

46
hogy tetszőleges 0 = t0 < t1 < · · · < tn esén az N(tk+1) − N(tk) növekmények független
P(λtk+1 − λtk) változók. Mindez a momentum generáló függvény, M(ϕ) alábbi képletéből
is levezethető,
M(ϕ) := E exp
∞
k=1
∞
ϕ(τk) = exp λ(e
0
ϕ(t) − 1) dt (F12.1)
ha ϕ egy véges intervallumon kívül eltűnik. Valóban, e ϕ1+ϕ2 − 1 = e ϕ1 − 1 + e ϕ2 − 1 ha
ϕ1 és ϕ2 diszjunkt tartójú. (F12.1) bizonyításához jeölje C a jobboldalát, ekkor
M(ϕ) = lim E exp
n→∞
n
k=1
∞
1
= lim
n→∞ (n − 1)!
ϕ(τk) = lim
n→∞
0
· · ·
0 0 időpontban. Mivel az árfolyamok közvetlenül nem befolyásolhatóak, a
ΨT = V (T ) cél elérését a µ és ν mennyiségek alkalmas megválasztásával kell biztosítani.
Teljesen elfogadott hogy a történelmet valamilyen jobbról folytonos Ft , t ≥ 0 filtráció
írja le, B(t) és S(t) adaptált, míg µ(t) és ν(t) jósolható, vagyis az {Fs : s < t} σ-algebrák
egyesítése által generált Ft− szerint is mérhetőek. A Ψ = ΨT követelés természetesen
ismert, és FT szerint mérhető. A probléma modellje az A := FT σ-algebrán adott P
valószínűségi mérték, a B és S folyamatok eloszlása.

Önfinanszírozó stratégiák: A kitűzött feladatot külső forrás bevonása nélkül, vagyis úgy
kell megoldani hogy közben teljesüljön az önfinanszírozás dV = µ dB + 〈ν, dS〉 feltétele.
Ez utóbbi azt fejezi ki, hogy a csomag értékének változása kizárólag az árfolyamok változásának
köszönhető; diszkrét idejű alakja a tőke megmaradásának µ(t + h)B(t + h) +
〈ν(t + h), S(t + h)〉 = µ(t)B(t + h) + 〈ν(t), S(t + h)〉 elve. Ha van önfinanszírozó stratégia,
akkor a ΨT követelés reális ára éppen az őt megvalásító V (t) portfólió folyamat x = V (0)
kezdeti értéke lesz; különben kockázat nélkül biztos nyereséget lehetne szerezni.
Ez a feladat olykor megoldható az Ito kalkulus segítségével. Időfüggő problémák tárgyalásakor
igen hasznosak a megmaradási elvek (első integrálok). Sztochasztikus rendszereknél
ezek többnyire hiányoznak, a megmaradó mennyiségek szerepét a martingálok
veszik át; nekik legalább a (feltételes) várható értékük ismert a múltból. Legyen ζi(t) :=
Si(t)/B(t) az i részvény diszkontált árfolyama, η(t) := V (t)/B(t) = µ(t)+〈ν(t), ζ(t)〉 pedig
a csomag diszkontált értéke, végül ψT := ΨT /B(T ) . Feltehetjük hogy d 2 B = dBdζ = 0 ,
ilyenkor dS = ζ dB + B dζ , tehát az önfinanszírozás követelménye miatt
dV = η dB + B dη = µ dB + 〈ν, dS〉 = µ dB + B〈ν, dζ〉 + 〈ν, ζ〉 dB , (F13.2)
vagyis dη = 〈ν, dζ〉 . Ha η martingál volna, akkor ψT ismeretében a folyamatot η(t) =
E[ψT |Ft] alakban állíthatnánk elő, amiből – megfelelő reprezentációs tétel segítségével –
a νi és a µ = η − 〈ν, ζ〉 együtthatókat, és ezzel a keresett önfinanszírozó stratégiát meg is
határozhatnánk. A differenciálegyenletek egyik megoldási technikája megmaradási elvek
(első integrálok) keresése a multiplikátorok (integráló tényezők) módszerével; a termodinamikai
entrópia fogalma is így vezethető be. A jelen helyzetben ez olyan Θ = Θ(t) folyamat
meghatározását jelenti, hogy ha maga η nem is martingál, de Θ(t)η(t) igen. Valóban,
ha ez így van, akkor a fenti gondolatmenet a Θ(t)η(t) = E[Θ(T )ψT |Ft] azonosságból kiindulva
valósítható meg. Látni fogjuk hogy Θ(T ) > 0 martingál, továbbá EΘ(T ) = 1 ,
tehát d P = ΘdP olyan P segédeloszlást definiál, amely szerint η martingál, vagyis η(t) =
E[ψT |Ft] , ahol E a P szerinti várható érték. Mivel Θ(t) E[ψT |Ft] = E[Θ(T )ψT |Ft] ,
mindkét eljárás ugyanarra az eredményre vezet.
Közvetlenül látható hogy a martingáló P ≫ P mérték létezése a keresett stratégia
létezése mellett annak egyértelműségét is garantálja, mert ha ˜ν is eléri a ψT célt, és a
hozzá rendelt diszkontált érték ˜η , akkor
t
∆T := ˜η(0) − η(0) + 〈˜ν(s) − ν(s), ζ(ds)〉 = 0
Másrészt viszont
0
E∆ 2 T = E ˜η(0) − η(0) 2 + Q(˜ν − ν) = 0 ,
ahol Q pozitiv definit kvadratikus alak, csak ugy lehetséges ha η(0) = ˜η(0) és ν(t) = ˜ν(t)
∀t , tehát η(t) = ˜η(t) miatt µ(t) = ˜µ(t) is teljesül.
A kitűzött feladatnak elég általános feltételek mellett van megoldása, amit konkrét
modellek esetén meg is lehet határozni. Black és Scholes nyomán feltesszük hogy loglineáris
modell érvényes:
dB = r(t)B dt , dSi = λi(t)Si dt + Si
47
d
σi,j(t)) Wj(dt) , (F13.3)
j=1

48
ahol Wi , i = 1, 2, ..., d független Wiener folyamatok rendszere, ezek együttes eloszlása P ,
Ft = F W t := σ{W (s) : s ≤ t} . Az r , λi és σi,j együtthatók ismert adaptált folyamatok;
a σ mátrix nem szinguláris, sőt az inverze is korlátos. 1 Feltehetjük hogy B(0) = 1 , ekkor
B(t) = exp t
0 r(s) ds .
A fentiek értelmében a diszkontált folyamatokra koncentrálunk, Ito szerint dη = 〈ν, dζ〉 ,
továbbá
dζi = λi(t) − r(t) ζi dt + ζi
d
σi,j(t) Wi(dt) = ζi
j=1
d
σi,j(t) θj(t) dt + Wj(dt) (F13.4)
j=1
vagyis d log ζ = σ d W − a dt/2 , ahol θ = (θ1, θ2, ..., θd) a
r
σi,j(t)θj(t) = λi(t) − r(t) (F13.5)
j=1
egyenletrendszer megoldása, ai := d
j=1 σ2 i,j , a = (a1, ..., ad) , végül
t
Wi(t) := Wi(t) + θi(s) ds (F13.6)
A keresett Θ integráló tényező a dΘη = ηdΘ + Θdη + dΘdη = 〈 ˜ϕ, dW 〉 egyenletből
határozható meg. Mivel dη = 〈 ˜ φ, d W 〉 alakú, nem kötelező, de emberileg lehetséges kitalálni
hogy dΘ = −Θ〈θ, dW 〉 univerzális megoldást ad; nem függ az ismeretlen ν kontrollváltozóktól.
Innen
Θ(t) := exp −
d
t
i=1
0
0
θi(s) Wi(ds) − 1
2
d
t
i=1
0
θ 2
i (s) ds
(F13.7)
martingál, és a d P = Θ dP formula olyan P valószínűségi mértéket (modellt) definiál az
Ft filtrácó mentén, ami szerint Wi i = 1, 2, ..., r független és standard Wiener folyamatok
rendszereként viselkedik. Ezt kerestük, többé nem kell aggódnunk a kívánt stratégia
létezését illetően. A tőzsdei műveletek νi(t) paramétereit a következőképpen határozhatjuk
meg.
Mivel ˜ηT (t) := E[ψT |Ft] = M(t)/Θ(t) , ahol M(t) := E[Θ(T )ψT |Ft] , Ito reprezentációs
tétele alapján létezik olyan egyértelműen meghatározott, adaptált φ = (φ1, φ2, ..., φd) folyamat
hogy
M(t) = t
EψT + 〈φ(s), W (ds)〉 (F13.8)
1 Ezek az együtthatók elvileg valamennyi árfolyamtól, sőt még a kontrollparaméterektől is függhetnek,
de ilyenkor mindent megoldó képletekre nem számíthatunk; explicit formulák helyett olyan egyenleteket
kapunk amelyek numerikus megoldása sem könnyű. Az efféle általános modellek mégis érdekesek, mivel
a tőzsde szokatlan viselkedésének megértése csak nemlineáris modellek alapján várható. Igazán kritikus
viselkedést (ciklikus, vagyis periodikus vagy majdnem periodikus jelenségek) csak végtelen rendszerek
mutatnak. A járulékos technikai nehézségek jelentősek, de a végtelen dimenziós Girsanov elmélet is rendelkezésre
áll!
0

Mivel dMΘ −1 = Θ −1 dM −MΘ −2 dΘ+MΘ −3 d 2 Θ−Θ −2 dMdΘ , továbbá dM = 〈ϕ, dW 〉 ,
dΘ = −Θ〈θ, dW 〉 , d 2 Θ = Θ 2 θ 2 dt , dMdΘ = −Θ〈ϕ, θ〉 dt ,
˜ηT (t) =
t
t
φ(s) + M(s)θ(s) , θ(s) ds + W (ds)
EψT +
= ˜ηT (0) + 〈
Θ(s)
˜ φ, d W 〉 (F13.9)
0
ahol ˜ φ = (φ + Mθ)/Θ . 2 Másrészt viszont dη = 〈ϕ, d W 〉 , vagyis
t
η(t) = V (0) + 〈ϕ(s), W (ds)〉 ahol ϕj(s) :=
0
0
49
d
νi(s)ζi(s)σi,j(s) , (F13.10)
tehát η(t) ≡ ˜ηT (t) megvalósítható a V (0) = EψT és a ϕ(t)Θ(t) = ˜ φ(t) egyenletek megoldásával.
Ezután a µ(t) := η(t) − 〈ν, ζ〉 választással kapjuk a keresett önfinanszírozó
stratégiát.
A feladat tényleges megoldásához a ΨT célváltozót a Wi (vagy a Wi) folyamatok funkcionáljaként
kell előállítani, innen számolandóak a stratégia meghatározó νi tényezői. Elvileg
ez már nem gond, de kevés az explicit formában megoldható modell. Ez a helyzet amikor
az r , λi , σi,j paraméterek ismert számok, és a követelés ΨT = f S1(T ) = |S1(T ) − p|+
típusú opció, ami annyit jelent hogy T idő múlva p összegért kapunk 1 darab 1 nevű
részvényt, de ha az aktuális árfolyam ennél alacsonyabb akkor nem kell megvenni. Mivel
d log ζ = σ d W − a dt/2 ,
d ζi(t) = ζi(0) exp
j=1
i=1
σi,j Wj(t) − t
2
d
j=1
σ 2 i,j
(F13.11)
ismert lognormális eloszlású homogén Markov folyamat: ζ1(T ) = ζ1(t)e bY −b2 /2 ahol, P
szerint Y standard normális vátozó, b 2 = a1(T − t) , tehát
˜ηT (t) = e −rT
E rT
f e ζ1(T )
|Ft =: vT t, ζ1(t) , (F13.12)
vT (t, z) := e−rT
√ 2π
∞
f
−∞
ze rT +by−b2 /2 e −y2 /2
dy
Az f(u) = |u − p|+ esetben Black és Scholes Nobel díjas képletét kapjuk:
vT (t, z) = zΦ(α − b) − pe −rT Φ(α) ahol α = b 1 p rT
+ log −
2 b z b
(F13.13)
míg Φ a standard normális eloszlásfüggvény. Tehát az opció méltányos ára éppen x =
vT 0, ζ1(0) , továbbá Ito lemmájával dtvT (t, ζ1) = ∂zvT dζ1 = 〈ν, dζ〉 mivel η = ˜ηT martingál
P szerint. Innen ν1(t) = ∂xvT (t, x) , νi(t) = 0 ha i > 1 . Az hogy dη további, korlátos
2Ha tudjuk hogy ψT mérhető F W T szerint, akkor a második egyenlet közvetlenül is felírható; ehhez csak
P ≪ P kell, vagy az hogy ΨT a W folyamat funkcionáljaként is megadható.

50
változású tagjai kiejtik egymást, vagyis ∂vT + 1
2 a1z 2 ∂ 2 zvT = 0 , az alábbi összefüggésekből
is következik.
A fentinél valamivel általánosabb
ΨT = f S(T ) T
+ g S(t) dt (F13.14)
esetben is alkalmazható a pályaintegrálok technikája, legalábbis elvi vagy numerikus szinten.
Ha ξ(t) eléggé reguláris homogén Markov folyamat, Ex pedig a ξ(0) = x feltétellel
vett várható érték, akkor
u(t, x) = Ex
f ξ(t) exp t t
∫ h(ξ(s)) ds + Ex
0
0
0
g ξ(s) exp s
∫ 0
h(ξ(τ)) dτ ds (F13.15)
a ∂tu = Lu+h(x)u+g(x) egyenlet u(0, x) = f(x) kezdeti értékhez tartozó megoldása, ahol
az L operátor a h ≡ g ≡ 0 választással azonosítható; ő a folyamat generátora. Ha ξ nem
homogén, mint fentebb, akkor a ¯ ξ(t) := (ξ(t), t) az lesz, tehát f, g, h is függhet az időtől.
(F13.15) érvényessége a Feynman–Kac formulához hasonlóan, a Markov félcsoportok elméletének
segítségével bizonyítható.
Megengedett stratégiák: Látható hogy önfinanszírozó stratégia esetén V (t) ≥ 0 hacsak
ΨT ≥ 0 . Bonyolultabb a helyzet amikor a csomag terhére c(t) ≥ 0 sebességgel kifizetés
történik. Ilyenkor sérül a tőke megmaradásának elve: dV = µ dB + 〈ν, dS〉 − c(t) dt
lesz a csomag értékének (infinitezimális) változása, és azt mondjuk hogy a ν stratégia
megengedett ha V (t) ≥ 0 ∀t ≤ T . Jelölje γ(t) := c(t)/B(t) a diszkontált felhasználást,
most dη = 〈ν, dζ〉 − γ dt , tehát
t
η(t) = V (0) − Γ(t) + 〈φ(s), t
W (ds)〉 ahol Γ(t) := γ(s) ds . (F13.16)
0
Megmutatjuk hogy az innen adódó EΓ(T ) ≤ x egyenlőtlenség egyben elegendő is olyan
megengedett stratégia megkonstruálásához amelynél V (0) = x ; ecélból legyen ¯ηT (t) :=
x + E[Γ(T )|Ft] − EΓ(T ) . Az η(t) ≡ ¯ηT (t) − Γ(t) azonosítással, ugyanúgy mint fentebb,
meghatározható a kívánt ν stratégia, ami ¯ηT (t) ≥ 0 miatt megengedett.
Optimális felhasználás: Adott c felhasználás és ΨT ≥ 0 végső igény mellett fedezeti
stratégiáról beszélünk akkor, ha az megengedett, és kielégíti a ΨT = V (T ) követelést.
Legyen ΣT = Γ(T ) + ψT a teljes diszkontált követelés, x = V (0) = EΣT , η∗ T (t) :=
(t) − Γ(t) azonosítása után olyan ν stratégiát kapunk, ami
E[ΣT |Ft] ; ekkor η(t) és η∗ T
η∗ T (t) ≥ Γ(t) miatt tényleg fedezeti (megengedett) stratégia.
Adott U : R+ ↦→ R+ hasznossági kritérium, q : [0, T ] ↦→ (0, 1] diszkontálás, és x =
V (0) ≥ 0 kezdőtőke ismeretében törekedhetünk a
T
Qc(x) := E q(t)U c(t) dt (F13.17)
0
0

átlagos nyereség maximalizálására a ΨT végcélnak megfelelő fedezeti stratégiák mentén.
Feltesszük hogy U monoton és szigorúan konkáv, továbbá U(0) = 0 míg U ′ (c) → 0 amikor
c → +∞ . Az eddigi jelölésekkel legyen
Q ∗ (x) := sup{Qc(x)
:
c
EΣT ≤ x} (F13.18)
Mivel U monoton nő, feltehetjük hogy EΣT = x az optimális esetben. Ha tehát Σ∗ T
felhasználáshoz rendelt teljes diszkontált követelés, x = EΣ∗ T , akkor
Qc∗(x) − Qc(x)
T
≥ E
0
51
a c∗
q(t)U ′ c ∗ (t) c ∗ (t)−c(t) dt = Z(x) EΣ ∗
T −
EΣT ≥ 0 (F13.19)
hacsak q(t) U ′ c ∗ (t) B(t)=Z(x)Θ(t) , ahol a Z(x) normáló tényezőt úgy kell megválasztani
hogy az EΣT = x mellékfeltétel teljesüljön. Jelölje Y az U ′ függvény inverzét, ekkor
c ∗ (t) = Y
Z(x)Θ(t)
T
, E Θ(t)c
q(t)B(t)
0
∗ (t) dt = x − EΘ(T )ΨT ; (F13.20)
a második egyenlet U ′ (+∞) = 0 miatt teljesíthető, és Z(x) értékét egyértelműen meghatározza.
Ezek az egyenletek definiálják a c ∗ optimális felhasználást, feltéve hogy EψT ≤ x .
Ezután a ν és µ kontrollváltozókat a korábbi eljárással számoljuk.
Bellman egyenlete: Az utóbbi feladat az optimális kontroll elméletéhez tartozik, beilleszthető
a következő általános keretbe. Tegyük fel hogy a c = c(t) , t ≥ 0 kontrollstratégia
minden megengedett c ∈ C trajektóriájához hozzárendelhető a ξc = ξc(t) Markov folyamat
és a
Qc(s, x) := Es,xK T, ξc(T ) T
+ Es,x U t, ξc(t), c(t) dt (F13.21)
átlagos nyereség, ahol Es,xφ := E[φ|ξc(s) = x] , míg T > 0 lehet adott végpont, de lehet
valamely előírt célhalmaz első elérésének (véletlen) időpontja is. A c stratégia maga is
(adaptált) sztochasztikus folyamat, gyakori a c(t) = ϕ(t, ξc(t)) Markov stratégia. Feladatunk
a Q ∗ (s, x) = sup c∈C Qc(s, x) optimum és a hozzá vezető stratégia meghatározása,
például az s = 0 kezdőponthoz. Bellman elve szerint optimális stratégia minden szakasza is
az, ha tehát c ∗ ilyen, és minden c ∈ C stratégi folytatható optimális módon, akkor minden
τ > s értéknél
Q ∗ (s, x) =Eτ,xQ ∗ τ, ξc ∗(τ) + Es,x
≥Eτ,xQ ∗ τ, ξc(τ) + Es,x
s∧T
τ∧T
s∧T
τ∧T
s∧T
U ξc∗(t), c∗
(t) dt
Általában ismerünk olyan Lc operátort hogy ha φ elég sima akkor
U
ξc(t), c(t) dt (F13.22)
∂τ Es,xφ(τ, ξc(τ)) τ=s = (∂s + Lc(s))φ(s, x) ; (F13.23)

52
diffúziós folyamatoknál ezt Ito lemmája szolgáltatja. Ha tehát Q = Q ∗ sima akkor τ szerint
a τ = s helyen differenciálva kapjuk Bellman egyenletét:
0 = (∂s + Lc∗)Q(s, x) + U(s, x, c∗
) = ∂sQ(s, x) + max LcQ(s, x) + U(s, x, c)
c
(F13.24)
Az optimális kontroll c ∗ (s) = ϕ(s, x) értékét (Q ismeretében) a szélsőérték feladat megoldásaként
kapjuk, ezután Q a baloldali egyenletből a Q(T, x) = K(T, x) peremfeltétel
figyelembevételével számolható.
Nem mindig tudjuk hogy van optimális stratégia, de ha c ∗ (s) és Q(s, x) az (F13.24)
Bellman egyenlet megoldása, akkor formális számolással
E0,xQ T, ξc∗(T ) T
= Q(0, x) − E0,x U s, ξc∗(t), c∗ (t) dt
0
T
≥ Q(0, x) − E0,x U s, ξc(t), c(t) dt (F13.25)
hacsak c is megengedett stratégia. Innen a peremfeltétel felhasználásával Qc(0, x) ≤
Q(0, x) = Qc∗(0, x) adódik, vagyis optimális stratégiát találtunk. A fenti gondolatmenet
korrekt voltát konkrét esetekben ellenőrizni kell, különösen olyankor amikor T a vétlentől is
függhet. Bellman elve és egyenlete, aminek egy nevezetes speciális esetét Hamilton és Jacobi
fedezték fel, természetesen inhomogén, és különféle mellékfeltételekkel súlyosbított
problémákra is kiterjeszthető. A mellékfeltételek korlátozhatják a végrehajtás átlagos
költségét, de azt is megkövetelhetik hogy a (ξc, c) folyamat valamilyen előírt halmazban
haladjon.
Az optimális felhasználásról szóló feladat azért olyan egyszerű mert ott a célfüggvény
csak a stratégiától függ, bár bonyolítja hogy a megengedett stratégiák inplicit v módon
korlátozottak. Egyszerűség kedvéért legyen csak egy részvény, ΨT = 0 , B = q = 1 ,
dS = σS(θ dt + dW ) , ahol σ és θ állandó, vagyis dV = σ(V − µ)(θ dt + dW ) − c dt ; tehát
a V folyamathoz rendelt operátor nem függ ν-től:
0
Lµ,cφ(v) = (σv − σµ − c)φ ′ (v) + σ2
2 (v − µ)2 φ ′′ (v) (F13.26)
A megengedett stratégiák halmaza persze függ ν-től is. Mivel K = 0 és U = U(c) , Bellman
egyenlete
∂sQ + max Lµ,cQ + U(c)
µ,c
= 0 (F13.27)
alakú, ahol L a Q = Q(t, v) függvény második változójára hat; a peremfeltétel Q(T, v) =
0 . Az előző gondolatmenet szerint a fenti Bellman egyenlet minden megoldása Q ∗ felső
korlátja: Q ∗ (x) ≤ Q(0, x) . Sajnos (F13.27) megoldása nem könnyű. Mivel U konkáv,
U ′ (c) = ∂vQ(s, v) az optimális helyzetben, míg az ésszerű ∂ 2 vQ < 0 feltevés mellett a
µ = v + θ∂vQ(s, v)/σ∂ 2 vQ(s, v) összefüggéshez jutunk, tehát
∂sQ(s, v) − θ2 U ′2 (c)
2∂ 2 vQ(s, v) + U(c) − cU ′ (c) = 0 , U ′ (c) = ∂vQ(s, v) (F13.28)

a megoldandó egyenlet, ami elég reménytelen. Mivel időben homogén folyamatokról van
szó, az s > 0 és V (s) = v kezdeti feltétellel az optimumfeladat korábban megismert
megoldása
Q ∗ (s, v) : = E
E
T −s
0
T −s
0
U Y (ZΘ(t)) dt ahol
Θ(t)Y ZΘ(t) dt = v
53
(F13.29)
tehát Z = Z(s, v) . Megmutatjuk hogy Q ∗ kielégíti Bellman (F13.27–28) egyenletét. A
második egyenletből
∂vZ(s, v)E
T −s
0
Θ 2 (t)Y ′ ZΘ(t) dt = 1 ,
EΘ(T − s)Y ZΘ(T − s) = ∂sZE
T −s
0
Θ 2 (t)Y ′ (ZΘ(t)) dt = ∂sZ(s, v)
∂vZ(s, v)
(F13.30)
tehát Q ∗ definiciója szerint ∂vQ ∗ (s, v) = Z(s, v) = U ′ (c) . Az idő szerinti deriválás valamivel
bonyolultabb, az (U(Y (ax)) ′′ = a(xY (ax)) ′′ − aY ′ (ax) azonosság felhasználásával
∂sQ ∗ (s, v) = Z∂sZ
∂vZ − EUY (ZΘ(T − s)) = ZEΘ(T − s)Y ZΘ(T − s)
−U(c) − θ2 Z 2
2 E
T −s
0
= ZEΘ(T − s)Y ZΘ(T − s) − U(c)
Y ′ ZΘ(t) + ZΘ(t)Y ′′ ZΘ(t)
Θ 2 (t) dt
+ ZY (Z) − ZEΘ(T − s)Y ZΘ(T − s) + θ2 Z 2
2∂vZ
ami éppen a bizonyítandó állítás mivel ZY (Z) = cU ′ (c) . Mivel tudjuk hogy Q ∗ (s, v) ≤
Q(s, v) hacsak Q az (F13.27) Bellman egyenlet megoldása, azt kaptuk hogy Q ∗ a minimális
megoldás, lásd (F13.F4)
F13.F1: Ha ξ ≥ 0 szupermartingál, és τ az első olyan időpont ahol ξ(τ) = 0 akkor ξ a τ
után már végig nulla.
F13.F2: Csak egy fedezeti stratégia van!
F13.F3: Ha az EΣT ≤ x mellékfeltételt EΓ(T ) ≤ x helyettesíti, akkor az optimális
startégia eredménye V (T ) = 0 !
F13.F4 Bizonyítandó hogy Q ∗ (s, v) a v monoton és konkáv függvénye, tehát tényleg
kielégíti Bellman egyenletét.

54
S. Matematikai Statisztika
Arról van szó hogy elképzeléseink tapasztalati tényekkel hogyan szembesíthetőek. Sajnos
a legtöbb használható módszer a normális eloszláshoz kötődik.
S.1. Többváltozós normális eloszlás, N(m, Σ): Várható értéke az m vektor, kovariancia
mátrixa Σ , ami négyzetalakú és nemnegatív definit. Az n-dimenziós standard normális
eloszlás n darab független ξk ∼ N(0, 1) változó együttes eloszlása. Ennek várható értéke a
0 vektor, kovarianciája az egységmátrix, sűrűsége az x = (x1, x2, ..., xn) helyen éppen
fξ(x) = fξ(x1, x2, ..., xn) = (2π) −n/2 exp − 1
2
n
k=1
x 2 k
−n/2 1
= (2π) exp − 〈x, x〉
2
(S1.1)
ahol 〈x, y〉 a szokásos skaláris szorzat, az x, y ∈ R n vektorok koordinátáinak szorzatösszege.
Az x ∈ R n vektor hossza (normája) x := 〈x, x〉 .
Általában normálisnak nevezzük az η = m+Aξ lineáris transzformációval származtatott
η = (η1, η2, ..., ηd) változók együttes eloszlását; részletesen kiírva
ηk = mk +
n
A(k, j)ξj , k = 1, 2, ..., d (S1.2)
j=1
Látható hogy itt m az mk = Eηk várható értékek vektora, míg a kovarianciák Σ mátrixa
Σ(k, j) := Cov(ηk, ηj) =
n
A(k, ℓ)A(j, ℓ) (S1.3)
vagyis Σ = AA T , ahol T a transzponálás jele. Látható hogy a Σ mátrix szimmetrikus és
pozitív definit: 〈y, Σy〉 ≥ 0 ∀y ∈ R d , és ha invertálható akkor pozitív alsó korátja is van,
vagyis található olyan α > 0 szám (például a legkisebb sajátérték) hogy 〈y, Σy〉 ≥ αy 2 .
Ilyenkor η sűrűségfüggvénye az y = (y1, y2, ..., yd) helyen
ZB =
j=1 k=1
ℓ=1
fm,Σ(y1, y2, ..., yd) = fm,Σ(y) = 1
exp
ZB
− 1
2 〈y − m, By − Bm〉 ,
d d
〈y − m, By − Bm〉 = B(k, j)(yk − mk)(yj − mj) (S1.4)
exp − 1
2 〈y − m,By − Bm〉 dy = (2π)n/2
√ Det B = (2π) n/2√ Det Σ
ahol B a Σ kovarianciamátrix inverze, B = Σ−1 , tehát ő is pozitív definit, vagyis a ZB
normáló tényező véges.
Két változó együttes sűrűsége öt paramétert tartalmaz, mi
r = R(η1, η2) . A 2 × 2 méretű kovariancia mátrix és inverze
= Eηi , σi = D(ηi) és
2 σ1 rσ1σ2
Σ =
rσ1σ2
σ 2 2
Σ −1 = 1
1 − r 2
2 1/σ1 r/σ1σ2
r/σ1σ2
1/σ 2 2
(S1.5)

tehát a sűrűségfüggvény
f(y1, y2) =
1
√
2πσ1σ2 1−r2 exp
− (y1 − m1) 2
2(1−r2 )σ2 +
1
r(y1−m1)(y2−m2)
(1 − r2 )σ1σ2
− (y2 − m2) 2
2(1−r2 )σ2
2
55
(S1.6)
(A9.2) segítségével kiszámolható hogy E[η1|η2 = y2] = m1 + rσ1(y2 − m2)σ −1
2 , de ezt
olcsóbban is megkaphatjuk.
Az m és Σ paraméterek értelmezése (S1.4) alapján a következő. Mivel ∇f integrálja
nulla, ∇fm,Σ = fm,Σ(y)(Bm − By) , látható hogy mk = Eηk . A második parciális deriváltak
integrálásával adódik a Σ(k, j) = E(ηk − mk)(ηj − mj) = Cov(ηk, ηj) értelmezés.
Valóban, ha xy T az x és y vektorok diadikus szorzatát jelenti, akkor a
∇ 2 fm,Σ(y) = fm,Σ(y) (By − Bm)(By − Bm) T − B
mátrix mindegyik ∂ 2 f/∂xk∂xj komponensének is nulla az integrálja, vagyis BΣB T = B ,
tehát B = Σ −1 .
A fölösleges változók kiintegrálásakor az
∞
exp(−a
−∞
2 u 2 + 2bu) du =
π
a2 exp b2 a2
(S1.7)
azonosság alapján látható hogy együttesen normális eloszlású változók részrendszerei is
együttesen normálisak. A tér invertálható lineáris transzformációi a normális sűrűség
alakját megtartják, tehát együttesen normális változókból lineáris transzformációval ismét
együtt is normális változókat kapunk. Diagonális mátrix inverze is az, tehát páronként
korrelálatlan és együttesen normális változók függetlenek; az ”együttesen normális“ feltétel
nem hagyható el. Tegyük fel hogy Cov(ηk, ηj) = 0 ha 1 ≤ k ≤ d ′ míg d ′ < j ≤ d , vagyis
Σ diagonális blokkokra bomlik szét:
Σ1 0
Σ =
0 Σ2
és így Σ −1 =
Σ −1
1
0
0 Σ −1
2
(S1.8)
tehát fm,Σ(y1, y2) = fm1,Σ1 (y1)fm2,Σ2 (y2) , ahol y = (y1, y2) és m = (m1, m2) az y
és m vektorok fentiek szerinti particionálása. Eszerint normális változók csoportjainak
páronkénti korrelálatlanságából teljes függetlenség következik. A fenti összefüggések a
karakterisztikus függvény
Ψη(z) := Ee ı〈z,η〉 = e ı〈z,m〉 exp − 1
〈z, Σz〉
2
formulájából is kiolvashatóak, ahol szokás szerint z = (z1, z2, ..., zm) .
S1.F1: Ha a ξ ∼ N(m, Σ) akkor Ee ı〈z,ξ〉 = e ı〈z,m〉 exp(−(1/2)〈z, Σz〉) !
(S1.9)
S1.F2 ∗ : Bizonyítandó hogy ha ξ és η együttesen normális, és Eξ = Eη = 0 , akkor
E(ξ 2 η 2 ) = Eξ 2 Eη 2 + 2E 2 (ξη) !

56
S1.F3: ξ és η együttes sűrűségfüggvénye f(x, y) = c exp(−a 2 x 2 + 2bxy − y 2 ) . Melyek
az a, b, c paraméterek megengedett értékei? Határozza meg Eη , D 2 (η) , E[η|ξ] és D 2 [η|ξ]
képleteit!
S1.F4: ξ és η együttesen normális, egyenként N(0, 1) eloszlású. A b paraméter milyen
értékeinél lehet η és η + bξ független, és ilyenkor E[η|ξ] = ?
S.2. Lineáris regresszió: Tegyük fel hogy ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) vektorváltozó, η valós,
〈c, ξ〉 = c1ξ1 + c1ξ1 + · · · + cnξn ; ˜c = (˜c1, ˜c1, ..., ˜cn) pedig az E(η − 〈c, ξ〉) 2 =min! feladat
megoldása. A legkisebb négyzetek módszerével ˜c meghatározására az
E(ηξk) =
n
cjE(ξjξk) , k = 1, 2, ..., n (S2.1)
j=1
lineáris egyenletrendszert kapjuk, ami nem más mint az E[η|ξ] = ψ∗ (ξ) váltózót meghatározó
Eηφ = Eψ∗φ feltételrendszer egy része: φ csak a ξ valamelyik komponense lehet.
Legyen tehát ˜c az (S2.1) rendszer megoldása; ˜η := 〈c, ξ〉 . Általában ξ1 ≡ 1 ; a ξk ≡ ξ k−1
2
polinomiális regresszió is gyakori, de más függvényeket is választhatunk. Az η ∼ ξ1ecξ2 feladatot a log η ∼ log ξ1 + cξ2 alakba szokás átírni, igy keletkeznek a loglineáris modellek.
Az n = 2 , ξ1 ≡ 1 esetben egyszerű számolással adódik az
˜η − Eη
D(η)
Cov(η, ξ2) ξ2 − Eξ2
=
D(η)D(ξ2) D(ξ2) ≡ R(η, ξ2) ξ2 − Eξ2
D(ξ2)
(S2.2)
formula. Valóban, azt eleve tudjuk hogy ha E(η − a − bξ2) 2 =min, akkor a = Eη − bEξ2 ,
vagyis
E η − Eη − b(ξ2 − Eξ2) 2 = D 2 (η) + b 2 D 2 (ξ2) − 2bCov(η, ξ2)
minimumát kell meghatározni, ami éppen b = Cov(η, ξ2)/D 2 (ξ2) esetén valósul meg; ez az
(elméleti) regressziós egyenes meredeksége.
Tegyük fel hogy η, ξ1, ξ2, ..., ξn együttesen normális, és ˜η = 〈˜c, ξ〉 a fenti lineáris regressziós
feladat megoldása. Ekkor a konstrukció szerint η − ˜η és a ξ vektor komponensei
korrelálatlanok, tehát függetlenek is. Emiatt Eηφ(ξ) = E ˜ηφ(ξ) általában is igaz,
vagyis E[η|ξ] = ˜η = 〈˜c, ξ〉 a lineáris regressziós feladat megoldása. Az is látható hogy a
D 2 [η|ξ] := E[(η − ˜η) 2 |ξ] feltételes szórásnégyzet nem függ a ξ feltételtől mert maga η − ˜η
is független tőle. Ezért D 2 (η|ξ) = D 2 (η) − D 2 (˜η) = Eη 2 − E ˜η 2 .
S.3. A két legfontosabb statisztika eloszlása: Legyen ξ1, ξ2, ..., ξn független és ugyanolyan
N(m, σ 2 ) eloszlású sorozat, ¯ ξn nyilván N(m, σ 2 /n) eloszlású. Könnyű ellenőrizni
hogy ¯ ξn és ξk − ¯ ξn korrelálatlan: E( ¯ ξn − m)(ξk − ¯ ξn) = 0 ∀k , tehát ¯ ξn és ¯σn független
egymástól.
Legyen e (1) , e (2) , ..., e (n) az R n tér páronként merőleges egységvektorainak olyan rendszere,
ahol az e (1) mindegyik koordinátája 1/ √ n , a többi tetszőleges. A
n
k=1
x 2 k =
n
〈e (k) , x〉 2
k=1
(S3.1)

azonosságból, ahol x = (x1, x2, ..., xn) , e (k) = (ek,1, ek,2, ..., ek,n) , a
n
(ξk − ¯ ξn) 2 =
k=1
n
(ξk − m) 2 − n( ¯ ξn − m) 2 =
k=1
n
k=2
η 2 k
57
(S3.2)
felbontást kapjuk. A kovarianciák (S1.3) alapján számolhatóak; mivel az (ek,j) mátrix
ortogonális, azt kapjuk hogy az
n
ηk := ek,j(ξj − m) , k = 1, 2, ..., n , (S3.3)
j=1
változók függetlenek, és N(0, σ2 ) eloszlásúak. Eszerint (n − 1)σ−2 ¯σ 2 n(ξ) eloszlása χ2 n−1 , és
azt is beláttuk hogy
n(n − 1)( ξn
¯ − m)
Tn,m :=
n
k=1 (ξk − ¯ ξn) 2
≡ √ n ¯ ξn − m
(S3.4)
¯σn(ξ)
Student eloszlású, éspedig (n − 1) szabadsági fokkal. Mindez onnan is látszik hogy az
(S3.2) kvadratikus alak mátrixa A = I − E/n ahol E az a mátrix aminek mindegyik eleme
1 . Tehát Ae (1) = 0 és Ay = y ha 〈e (1) , y〉 = 0 , vagyis (ξk − ¯ ξn)/σ együttes eloszlása –
főtengely transzformáció után – n − 1 dimenziós standard normális lesz.
S.4. Statisztikai problémák: Általában egy (vagy több) valószínűségi változó eloszlásáról
szeretnénk információt nyerni a konkrétan megfigyelt (mért) értékei(k) alapján.
Feltételezzük hogy az egyes mérések egymást nem befolyásolják, és reprodukálhatóak,
ezért az észlelt x = (x1, x2, ..., xn) sorozatot olyan ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) vektorváltozó – a
statisztikai minta – aktuális értékeként értelmezzük, ahol a ξk komponensek függetlenek
és ugyanolyan eloszlásúak. A továbbiakban mξ illetve σξ a ξk változók közös várható
értékét, illetve szórását jelölik; F = Fξ a közös eloszlásfüggvényük. Gyakran még egy η =
(η1, η2, ..., ηn ′) minta is adott, ilyenkor a (ξk, ηk) párok függetlenek, és együttes eloszlásuk
azonos; mη := Eηk , ση := D(ηk) . Ha több változóról van szó akkor a ξk koordináta
maga is vektornak tekinthető; a kényelmesen használható statisztikai programcsomagok
(MATLAB, STATGRAF, MINITAB, SPSS, SAS) az adatokat mátrix formátumban (is)
tárolják, ezért fontos a mátrix aritmetika jelölésmódjának ismerete.
Az a legjobb, ha az eloszlás típusa ismert, tehát csak a benne szereplő paramétereket
kell megbecsülni. Ha egy paraméter (vagy valamilyen függvénye) várható értékként értelmezhető,
akkor – a nagy számok törvényére hivatkozva – használhatjuk a megfelelő
számtani közepet. Például, az exponenciális eloszlás paraméterének reciprokát lehet így
becsülni. A szintén nagyon általános maximum likelihood (ML) elv szerint a paraméternek
azt az értékét választjuk, amelyiknél az aktuális megfigyelés a leginkább valószínű, feltéve
hogy ilyen van, és egyértelműen meghatározható. Például, ha ξ folytonos eloszlású, és
sűrűségfüggvénye f = f(x, θ) , ahol a θ vektor is lehet, akkor adott x = (x1, x2, ..., xn)
esetén azt a θ = ˆ θn(x) értéket keressük, amelyik az
n
fn(x, θ) ≡ fn(x1, x2, ..., xn, θ) := f(xk, θ) (S4.1)
k=1

58
együttes sűrűség maximumát adja, ami differenciálással gyakran meghatározható; többnyire
a hn = log fn függvénnyel számolunk. Ha a minta diszkrét eloszlású akkor a megfelelő
valószínűségekkel tesszük ugyanezt.
Normális eloszlásnál a θ = (m, σ 2 ) párra az
m = ¯xn := 1
n
n
k=1
xk , σ 2 = ˆσ 2 n(x) := 1
n
n
(xk − ¯xn) 2 ≡
értékeket kapjuk. Ez egyáltalán nem meglepő, mert a Steiner típusú
k=1
n
(xk − m) 2 = nˆσ 2 n(x) + n(¯xn − m) 2
k=1
n − 1
n ¯σ2 n(x) (S4.2)
azonosság miatt a ξ minta együttes sűrűsége fn(x, m, σ 2 ) = h(¯xn, ¯σ 2 n(x), m, σ 2 , n) alakú;
ez a tényleges magyarázata annak a szokásnak hogy normális eloszlású adatok elemzésekor
mindig csak az ¯xn és a ¯σ 2 n mennyiségeket használjuk. P(λ) eloszlású mintánál
log P [ξ1 = x1, ξ2 = x2, ..., ξn = xn] = −λn +
n
k=1
xk log λ − log xk!
tehát λ ML becslése megint csak az ¯xn számtani közép lesz. Az exponenciális eloszlás esete
még egyszerűbb, ott fn a ¯ ξn függvénye, tehát ő az egyetlen kitüntetett statisztika. Viszont
Weibull eloszlásnál ilyen redukált tárgyalásra nincs lehetőség.
A Tn = Tn(ξ) statisztika elégséges ha adott értéke mellett a minta feltételes eloszlása
nem függ a paraméterektől. Exponenciális és Poisson eloszlásnál ilyen a ¯ ξn mintaközép,
normális eloszlásnál pedig a ( ¯ ξn, ¯σ 2 n(ξ)) pár. E(a, b) esetén a (ξ ∗ 1 + ξ ∗ n, ξ ∗ n − ξ ∗ 1) pár alkot
elégséges statisztikát, ahol ξ ∗ 1 a minta legkisebb, ξ ∗ n a legnagyobb eleme. Elégséges statisztika
nem mindig van, de ha igen, akkor eljárásunkat – az elmélet szerint is – mindig őreá
kell építeni.
A szórásnégyzetn ˆσ 2 n becslése nem torzítatlan; xk helyére ξk-t írva azt kapjuk hogy
ˆσ 2 n(ξ) várható értéke nem σ 2 hanem (n − 1)σ 2 /n . Normális eloszlásnál ennek a becslésnek
a négyzetes hibája E ˆσ 2 n(ξ) − σ 2 2 = (2n − 1)σ 4 /n 2 , ami kicsit kisebb mint D 2 (¯σn(ξ)) =
2σ 4 /(n − 1) .
Valamely ¯ θn = ¯ θn(ξ) becslés E( ¯ θn − θ) 2 négyzetes hibája tájékoztat a becslés pontosságáról,
de gyakran ennél sokkal részletesebb információ is rendelkezésre áll. Például, ha
a minta N(m, σ 2 ) eloszlású, akkor minden 0 < ε < 1 szinthez megadható az uε küszöbérték
úgy hogy
P [−uε < √ n( ¯ ξn − m)/σ < uε] = 2Φ(uε) − 1 = 1 − ε (S4.3)
teljesüljön. Ehhez csak a Φ(uε) = 1 − ε/2 egyenlet megoldását kell a Φ táblázatából
kikeresni. Ha tehát σ ismert, akkor olyan konfidencia intervallumot tudunk konstruálni,
amely az m elméleti várható értéket 1 − ε valószínűségel tartalmazza. Konkrétabban:
P [ ¯ ξn − σuε/ √ n < m < ¯ ξn + σuε/ √ n] = 1 − ε . (S4.4)

A végeredmény közlésekor ¯ ξn helyére persze ¯xn értékét írjuk, az ε szint (0.05, 0.01, stb)
feltüntetésével. Konfidencia intervallum készítésére több módszer is elképzelhető, és amelyik
mindig a legkeskenyebb intervallumot adja, az a legjobb. Ilyen kétségkívül optimális
eljárás általában nem létezik.
Ha a szórás nem ismert, akkor ilyen egyszerűen nem boldogulunk, de a paraméterek
értékére vonatkozó hipotézis tesztelésére mindig van lehetőség. Ha például azt gondoljuk
hogy ξ eloszlása N(0, 1), akkor √ n ¯ ξn értéke 1 − ε valószínűséggel a [−uε, uε] intervallumba
esik, ahol Φ(uε) = 1 − ε/2 . Ha nem ez történt, akkor alapos okunk van arra, hogy – ε
szinten – az eloszlásra vonatkozó hipotézisünket elvessük.
Egy tesztelési eljárás hatékonysága csak akkor minősíthető, ha alkalmasan választott
alternatívával állítjuk szembe, vagyis mérlegeljük az első- és a másodfajú hiba viszonyát.
Ha a két hipotézist pontosan meg tudjuk fogalmazni, és az egyik hiba szintjét előírjuk,
akkor az optimális döntést a (O3.1) Neyman-Pearson stratégia adja. Több hipotézis közül
csak akkor tudunk optimális módon választani, ha ismert az egyes tévedési lehetőségek
költsége. Ilyenkor a maximum a-posteriori valószínűség Bayes elvét alkalmazzuk.
S.5. Cramer-Rao egyenlőtlenség: A becslések pontosságának elvi alsó korlátja van.
Tegyük fel hogy a szóbanforgó f = f(x, θ) sűrűségfüggvény a θ paraméter folytonosan
differenciálható függvénye, és ˆ θn = ˆ θn(ξ1, ξ2, ..., ξn) ≡ ˆ θn(ξ) a θ paraméter torzítatlan
becslése. Ekkor
θ = E ˆ
θn(ξ) = ˆθn(x)fn(x, θ) dx (S5.1)
R n
differenciálásával E∂θ log fn(ξ, θ) = 1 adódik. Másrészt fn integrálja mindig 1 , vagyis
∂θfn integrálja 0 , tehát E∂θ log fn(ξ, θ) = 0 , amiből a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség
alkalmazásával
1 = E ( ˆ θn(ξ) − θ)∂θ log fn(ξ, θ) ≤ D( ˆ
θn) E ∂θ log fn(ξ, θ) 2 . (S5.2)
A négyzetgyök alatti kifejezés kiértékelésével kapjuk a Cramer-Rao egyenlőtlenséget:
D 2 ( ˆ θn) ≥ 1
nI(θ)
∞
ahol I(θ) := ∂θ log f(x, θ) 2 f(x, θ) dx (S5.3)
a Fisher féle információ.
Elégséges statisztika függvényeként konstruált torzítatlan becslés mindíg optimális (minimális
szórású). Elég általános típusú, de nem mindig teljesülő regularitási feltételek
mellett a maximum likelihood becslés aszimptotikusan optimális, vagyis eléri a fenti elvi
korlátot: limn nD 2 ( ˆ θn) = 1/I(θ) . Ráadásul ilyenkor ˆ θn aszimptotikusan normális, vagyis
a paraméter értékére vonatkozó hipotézis tesztelésére is lehetőség van.
Különösen érdekes az egyenletes eloszlás esete, itt a maximum likelihood elv semmit sem
mond. Ha ξ eloszlása E(0, a) , akkor 2 ¯ ξn az a torzítatlan becslése, melynek szórása a/ √ 3n .
Ugyanakkor a ξ ∗ n = max{ξ1, ξ2, ..., ξn} becslés nem torzítatlan, Eξ ∗ n = an/(n + 1) mivel
P [ξ ∗ n < x] = (x/a) n ha 0 < x < a , továbbá Eξ ∗2
n = na 2 /(n + 2) . Tehát a ∗ n = ξ ∗ n(n + 1)/n
az a torzítatlan becslése, és E(a ∗ n − a) 2 = a 2 /(n 2 + 2n) . Nincs ellentmondás: az egyenletes
−∞
59

60
sűrűségfüggvény az intervallum végpontjaiban nem differenciálható, ezért (S5.2) első fele
sem igaz.
S.6. Lineáris modellek Gauss–Markov elmélete: A feladat a β = (β1, β2, ..., βr)
paraméter vektor becslése az
ηk =
r
xk,ℓβℓ + εk , k = 1, 2, ..., n (S6.1)
ℓ=1
modell alapján, amit tömören az η = Xβ + ε alakban is felírhatunk. Az X mátrix elemei
általunk választott mérési pontok, tehát ismert számok, η = y + ε pedig az y = Xβ
mennyiség ε hibával megfigyelt értéke. Feltesszük hogy az S := XT X mátrix invertálható,
Eεk = 0 , D(εk) = σ , és Eεkεj = 0 ha k = j . A legkisebb négyzetek módszere szerint β
becslésére a
n
2 2
≡ η − Xβ = min! (S6.2)
k=1
ηk − Σ r ℓ=1xk,ℓβℓ
feladat ¯ βn = (X T X) −1 X T η ≡ Aη megoldását használjuk. Valóban, η−Xβ pontosan akkor
merőleges az X oszlopvektorai által kifeszített, r-dimenziós Hr altérre ha X T Xβ = X T η .
Ez a becslés torzítatlan: ¯ βn = β + Aε miatt E ¯ βn = β . A becslés hibája E ¯ βn − β 2 =
σ 2 TrAA T = σ 2 TrS −1 .
A P = X(X T X) −1 X T n × n méretű mátrix szimmetrikus, és a négyzete önmaga; ez
a P nem más mint az X oszlopai által kifeszített Hr altérre való merőleges vetítés, tehát
Eη = EP η és így ε 2 = η − Eη 2 = η −P η 2 +P η − EP η 2 . Mivel EP η − EP η 2 =
EP ε 2 = σ 2 TrP P T = rσ 2 ,
ˆσ 2 n = 1
n − r 〈η, η − X(XT X) −1 X T η〉 ≡
η − P η2
n − r
(S6.3)
a σ 2 torzítatlan becslése: Eˆσ 2 n = σ 2 . Normális eloszású hibák esetén ˆσ 2 n/σ 2 eloszlása χ 2 n−r ,
ilyenkor konfidencia intervallum készítésére és hipotézisvizsgálatra is lehetőség van.
Tegyük fel hogy B olyan r × n méretű mátrix hogy ˜ βn = Bη a β vektor torzítatlan
becslése, vagyis E ˜ βn = β = BXβ miatt BX = I . Ekkor BA T = AA T miatt ˜ βn − ¯ βn
koordinátái a ¯ βn egyik koordinátájával sem korrelálnak, vagyis igaz az
E ˜ βn − β 2 = E ¯ βn − β 2 + E ˜ βn − ¯ βn 2
(S6.4)
Steiner típusú felbontás. Ez azt jelenti hogy a legkisebb négyzetek módszerével kapott ¯ βn
a legkisebb szórású torzítatlan becslés, tehát ilyen értelemben optimális.
Ha a D(εk) = σk szórások nem egyenlőek, de ismert számok, akkor (S6.1) k-ik egyenletét
σk-val végigosztva a feladatot az egyenlő szórások már tisztázott esetére vezettük vissza,
tehát az optimális becslés a
n
1
σ
k=1
2 k
ηk −
r
ℓ=1
2 xk,ℓβℓ = min! (S6.5)

feladat megoldásával nyerhető. Még általánosabban, ha az ε hibavektor változatlanul
0 várható értékű, és a Σ kovariancia mátrixa ismert, akkor az egyenletek Σ −1/2 η =
Σ −1/2 Xβ + Σ −1/2 ε alakjában az új ε ′ = Σ −1/2 ε hibavektor már korrelálatlan, tehát β
optimális becslése ilyenkor ¯ βΣ,n = (X T Σ −1 X) −1 X T Σ −1 η .
S.7. Konfidenciaintervallumok konstrukciója: Csak akkor lehetséges ha ismerünk
olyan Tn = Tn(ξ1, ξ2, ..., ξn, θ) függvényt, amelynek eloszlása a becsülni kívánt θ paramétertől
nem függ, vagyis a P [vε,n < Tn < uε,n] = 1 − ε egyenlet, például a P [Tn ≤ vε,n] =
ε/2 = P [Tn ≥ uε,n] módon, megoldható. Elvileg lehetséges hogy a vε,n < Tn < uε,n
egyenlőtlenség megoldásával θ-ra nem intervallumot kapunk. Mindig többdimenziós konfidencia
tartomány keletkezik ha θ maga is több komponensből áll. Ilyenkor lehetőleg annyi
Tn függvényre van szükség, amennyi a paraméterek száma. Ha megtaláltuk őket, akkor az
egyes paraméterek becslésének megbízhatóságait egymástól függetlenül is szabályozhatjuk.
Exponenciális eloszlás: Ha λ a paraméter, akkor Tn = nλ ¯ ξn eloszlása Γ(n, 1) ismert, tehát
a v és u szinteket alkalmas táblázatból kikeresve a vε,n/n¯xn < λ < uε,n/n¯xn konfidencia
intervallum keletkezik.
Normális eloszlás: Az m és σ paraméterek konfidencia intervallumai ¯ ξn , illetve ¯σn eloszlására
épülnek. Az S3 szakasz szerint
Tn,σ := 1
σ 2
n
(ξk − ¯ ξn) 2 ≡ (n − 1) ¯σ2 n(ξ)
σ2 k=1
61
(S7.1)
eloszlása χ 2 n−1 típusú, amiből kiindulva konfidencia intervallum készíthető σ részére. Azt is
tudjuk, lásd (S3.4), hogy Tn,m tn−1 (Student) eloszlású, ami az m várható érték konfidencia
intervallumának meghatározását is lehetővé teszi.
A két konfidencia intervallum egyidejűleg is érvényes 1 − ε valószínűséggel, ha olyan ε1
és ε2 szinthez választottuk őket, hogy ε1 + ε2 = ε . Ez a becslés a Tn,σ és Tn,m együttes
eloszlásának ismeretében javítható.
S.8. A regressziós egyenes meredekségéről: Legyen η = (η1, η2, ..., ηn) és ξ =
(ξ1, ξ2, ..., ξn) valamely normális eloszlású pár megfigyelt értékeit leíró minta, vagyis az
(ηk, ξk) , k = 1, 2, ..., n párok függetlenek és ugyanolyan kétváltozós normális eloszlásúak.
Közös paramétereiket értelemszerűen mη, mξ, ση, σξ és rη,ξ jelölik. Az elméleti regressziós
egyenes az alábbi módon is felírható:
ηk − mη = b(ξk − mξ) + ζk , ahol b = rη,ξ ση/σξ (S8.1)
miatt ξk és ζk korrelálatlan, tehát független is. A ζ = (ζ1, ζ2, ..., ζn) hibavektor várható
értéke 0 , míg D 2 (ζk) =: σ 2 ζ = D2 (ηk)−b 2 D 2 (ξk) . A konkrét adatokból számolt ¯ bn becslést
szintén valószínűségi változónak tekintjük:
¯ bn = ¯ bn(η, ξ) :=
n
k=1 (ηk − ¯ηn)(ξk − ¯ ξn)
n
k=1 (ξk − ¯ ξn) 2
≡ 〈η − ¯ηn1, ξ − ¯ ξn1〉
ξ − ¯ ξn1 2
A tömören felírt második képletben a1 az a vektor melynek mindegyik koordinátája a .
(S8.2)

62
Az (S8.1) egyenletek összeadásával ¯ηn − mη = b( ¯ ξ − mξ) + ¯ ζn adódik, tehát
és így n
k=1 (ξk − ¯ ξn) = 0 miatt (S8.2) a
ηk − ¯ηn = b(ξk − ¯ ξn) + ζk − ¯ ζn , k = 1, 2, ..., n (S8.3)
¯ bn(η, ξ) − b =
n k=1 ζk(ξk − ¯ ξn)
n k=1 (ξk − ¯ ξn) 2 ≡ 〈eξ, ζ〉
ξ − ¯ ξn1
(S8.4)
alakba írható át, ahol az eξ egységvektor komponensei a (ξk − ¯ ξn)/ξ − ¯ ξn1 véletlen
számok. Mivel az 〈eξ, ζ〉 változó N(0, σ2 ζ eloszlású, σ2 ζ = σ2 η − b2σ2 ξ , bevezetjük a
Tn,b :=
n
√
n
n − 2 ( ¯bn − b) k=1 (ξk − ¯ ξn) 2
k=1 (ηk − ¯ηn) 2 − ¯ b 2 n
n
k=1 (ξk − ¯ ξn) 2
statisztikát, és megmutatjuk hogy az tn−2 eloszlású. (S8.3) miatt
n
(ηk − ¯ηn) 2 = ζ − ¯ ζn1 2 + b 2 ξ − ¯ ξn1 2 + 2b〈ξ − ¯ ξn1, ζ〉 ,
k=1
ahol 〈ξ − ¯ ξn1, ζ〉 = ξ − ¯ ξn1〈eξ, ζ〉 , míg (S8.4) szerint
¯ b 2 nξ − ¯ ξn1 2 = bξ − ¯ ξn1 + 〈eξ, ζ〉 2 = b 2 ξ − ¯ ξn1 2 + 2bξ − ¯ ξn1〈eξ, ζ〉 + 〈eξ, ζ〉 2 ,
vagyis Tn,b nevezőjében a négyzetgyök alatt
η − ¯ηn1 2 − ¯ b 2 nξ − ¯ ξn1 2 = ζ 2 − 〈e (1) , ζ〉 2 − 〈eξ, ζ〉 2
áll, ahol e (1) = n −1/2 1 . Legyen e (2) = eξ , ekkor
Tn,b =
√
n − 2 〈eξ, ζ〉
=
ζ2 − 〈e (1) , ζ〉 2 − 〈eξ, ζ〉 2
√
n − 2 〈eξ, ζ〉
n
k=3 〈e(k) , ζ〉 2
(S8.5)
(S8.6)
Mivel e (1) és eξ mindig merőleges egymásra, az S3 gondolatmenet értelmében állíthatjuk
hogy Tn,b a ξ vektor minden rögzített értéke mellett ugyanolyan, éspedig tn−2 eloszlású,
de akkor a feltétel nélküli eloszlása is tn−2 .
Tehát a |Tn,b| < un,ε egyenlőtlenséget b-re megoldva kapjuk a b konfidencia intervallumát;
un,ε értékét a tn−2 táblázatából kell kikeresni.
S.9. Hipotézisvizsgálat: Akkor is működhet amikor konfidencia intervallum konstrukciójára
nincs lehetőség. Sőt, minden olyan, a ξ változó eloszlására vonatkozó hipotézis
tesztelhető a ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) minta megfigyelt értéke, x = (x1, x2, ..., xn) alapján,
amikor a hipotézis elegendő valamely Tn = Tn(ξ) statisztika eloszlásának meghatározására.

Ilyenkor minden 0 < ε < 1 szinthez meg lehet határozni olyan Uε ∈ R tartományt, hogy
P [Tn(ξ) ∈ Uε] ≥ 1 − ε . Ha most Tn(x) /∈ Uε akkor a hipotézist – az előre megadott ε szinten
– elutasítjuk; ellenkező esetben nem, de ez sohase jelentse azt, hogy a hipotézis máris
bizonyítást nyert. Extrém példa a Tn ≡ 0 statisztika, ezzel semmit sem lehet elutasítani,
de megerősíteni sem. Ha több paraméter van, akkor a hipotézis lehet olyan, hogy egyes
paraméterek értéke ismert, másoké nem.
Nem indokolt olyankor tesztelni amikor konfidencia intervallum készítésére is képesek
vagyunk. Nem ez a helyzet a regressziós együtthatóval, ennek
¯Rn(ξ, η) :=
n
k=1 (ξk − ¯ ξn)(ηk − ¯ηn)
n
k=1 (ξk − ¯ ξn) 2 n
k=1 (ηk − ¯ηn) 2
63
(S9.1)
becslése együttesen normális eloszlású (ξk, ηk) , k = 1, 2, ..., n minta esetén ismert ugyan,
de a sűrűségfüggvénye függ az r = R(ξ, η) paramétertől. Képlete bonyolult, de az S3 és
S8 szakaszok módszereivel könnyű megmutatni hogy r = 0 esetén a
Tn,0 := ¯ Rn(ξ, η) √ n − 2
1 − R¯ 2
n(ξ, η)
statisztika tn−2 eloszlású, tehát az r = 0 hipotézis tesztelhető.
Megjegyzésre érdemes hogy E ¯ Rn = r + O(n −1 ) ,
míg a Fisher féle Z statisztika,
aszimptotikusan normális, és
EZn = 1 1 + r
log
2 1 − r +
(S9.2)
D 2 ( ¯ Rn) = (1 − r2 ) 2 11r
1 +
n
2 −3
+ O(n ) (S9.3)
2n
Zn = 1
2 log 1 + ¯ Rn(ξ, η)
1 − ¯ Rn(ξ, η)
(S9.4)
r
2n − 2 + O(n−2 ) , D(Zn) = 1 4 − r2
+
n − 1 2(n − 1) 2 + O(n−3 ) (S9.5)
ami nemcsak az r értékére vonatkozó hipotézis tesztelését, de konfidencia intervallum konstrukcicióját
is lehetővé teszi. Az n kis értékeihez van táblázat.
Az alábbi tesztelési eljárások mind a Neyman-Pearson lemmára épülnek, és alternatív
hipotézisek egész osztályaival összevetve is optimálisak. Ezért csak az elsőfajú hiba szintjét
állítjuk be, és bízunk abban hogy a konkrét feladathoz tartozó másodfajú hiba kicsi lesz.
S.10. Kétmintás t próba: Ha két egymástól is független, normális eloszlású mintánk
van, és tudjuk hogy σξ = ση , akkor a
Tn,n ′ :=
¯ξn − ¯ηn
(n − 1)¯σ 2
n(ξ) + (n ′ − 1)¯σ 2 n ′(η)
nn ′ (n + n ′ − 2)
n + n ′
(S10.1)

64
statisztika mξ = mη esetén tn+n ′ −2 eloszlású, tehát alkalmas az mξ = mη hipotézis tesztelésére.
Ha hipotézisünk mξ ≤ mη , akkor a döntés uε küszöbét P [tn+n ′ −2 > uε] = 1 − ε
megoldásaként határozzuk meg, és ha Tn,n ′ > uε , akkor a hipotézist elutasítjuk. Ha nem
tudjuk hogy σξ = ση , akkor egzakt teszt nincs. Welch javasolt közelítő eljárást, amit
nevével, vagy a ”pooled“ utasítással jeleznek a statisztikai programcsomagok.
S.11. Egyszerű osztályozás: Tegyük fel hogy r > 2 egymástól is független mintánk van,
ξ i = (ξ i 1, ξ i 2, ..., ξ i ni ) , melyek eloszlása ξi k ∼ N(mi, σ 2 ) , n = n1 + n2 + · · · + nr . Gyakori az
a helyzet hogy nincs elég adat ahhoz hogy mindegyik mi csoportátlag részére egyidejűleg
érvényes konfidencia intervallumot készítsünk. Vegyük észre hogy ha
Q : =
Q0 =
r ni
i=1 k=1
r
n
i=1 k=1
(ξ i k − ¯ ξn) 2 , ¯ ξn := 1
(ξ i k − ¯ ξ i ni )2 , Q1 =
r
ni
n
i=1
¯ ξni
r
ni( ¯ ξ i ni − ¯ ξn) 2 ,
i=1
akkor Steiner típusú felbontás van: Q = Q0 + Q1 , és így
r ni
(ξ i k) 2 = Q + n( ¯ ξn) 2 = Q0 + Q1 + n( ¯ ξn) 2
i=1 k=1
(S11.1)
(S11.2)
Az 〈x, Ax〉 kvadratikus alak szabadsági foka az A mátrix rangja, ami A képterének dimenziója.
Fisher és Cochran tétele szerint ha független és azonos szórású normális változók
négyzetösszegét úgy sikerült kvadratikus alakok összegére felbontani hogy a szabadsági
fokainak összege éppen az összeadandók száma, akkor ezek a kvadratikus alakok – mint
valószínűségi változók – függetlenek. Ehhez csak azt kell megmutatni hogy ha
x 2 = 〈x, A0x〉 + 〈x, A1x〉 + · · · + 〈x, Adx〉 ∀x ∈ R n , (S11.3)
és az Aℓ szimmetrikus mátrixok rangjainak összege n , akkor ezek a mátrixok egymásra
is merőleges vetítések. Ha d = 1 akkor ez majdnem nyilvánvaló mert ha A0x = 0 akkor
A1x = x , és viszont, tehát A0 és A1 egymásra merőleges vetítések. Az általános eset innen
indukcióval triviális. Esetünkben d = 2 és a szabadsági fokok rendre n − r , r − 1 és 1 .
Q0 ∼ σ 2 χ 2 n−r mindig igaz, és ha m1 = m2 = · · · = mr akkor Q1 ∼ σ 2 χ 2 r−1 is teljesül,
vagyis (n − 1)Q1/(r − 1)Q0 ∼ Fr−1,n−r , tehát lehetőségünk van a várható értékek
egyenlőségétkimondó hipotézis tesztelésére. Ha F túl nagy akkor a hipotézist elutasítjuk,
de az is gyanus ha F túl kicsi, arról hogy melyik átlag tér el a többitől, nem kapunk
tájékoztatást. Erre a kétmintás t próba alkalmas, de egy rókáról sok bőrt lehúzni nem
lehet: ugyanannak a mintának többszöri felhasználásakor a hibaszintek összeadódnak.
S.12. Kétszempontos szóráselemzés: Tegyük fel hogy pq darab N(mi,j, σ 2 ) , mintánk
van, ξi,j = (ξ i,j
1 , ξi,j 2
¯ξnpq , de a ¯ ξi,j n cellaátlagokon kívül itt p + q csoportátlag is van, ¯ ξi· nq illetve ¯ ξ ·j
nj
, ..., ξi,j
n ) , i = 1, 2, ..., p , j = 1, 2, ..., q . Az összesített minta középértéke
, típusúak,

és a teljes Q hibanégyzet négy négyzetösszegre bomlik fel: Q = Q0 + Q1 + Q2 + Q1,2 , ahol
Q : =
Q0 : =
p
q
i=1 j=1 k=1
p
Q2 : = np
q
i=1 j=1 k=1
n
(ξ i,j
n
(ξ i,j
k − ¯ ξnpq) 2 , ¯ ξ i·
nq := 1
q
k − ¯ ξ i,j
n ) 2 , Q1 := nq
q
( ¯ ξ ·j
np − ¯ ξnpq) 2 , Q1,2 := n
j=1
p
q
j=1
p
i=1
i=1 j=1
¯ξ i,j
n , ¯ ξ ·j
np := 1
p
( ¯ ξ i·
nq − ¯ ξnpq) 2
q
( ¯ ξ i,j
p
i=1
¯ξ i,j
n ,
n − ¯ ξ i·
nq − ¯ ξ ·j
np + ¯ ξnpq) 2
65
(S12.1)
A négyzetöszegek mátrixainak rangja rendre f = npq − 1 , f0 = npq − pq , f1 = p − 1 ,
f2 = q −1 , míg f1,2 = pq −p−q +1 , vagyis f = f0 +f1 +f2 +f1,2 , tehát a Q0 , Q1 , Q2 , és
Q1,2 változók függetlenek. Q0 ∼ σ2χ2 most is mindig igaz, a többiről ilyesmit egyenlőre
f0
nem mondhatunk.
Modellünk a ξ i,j
k = m + ai + bj + ci,j + ε i,j
k
módon is felírható, ahol εi,j
k ∼ N(0, σ2 )
független változók, és mi,j = m + ai + bj + ci,j , tehát m = E ¯ ξnpq , ai := E ¯ ξ i·
nq − m ,
bi = E ¯ ξ ·j
np − m , ci,j := mi,j − ai − bj + m . Három alaphipotézis tesztelésére van lehetős ´ ’eg:
H1 ≡ {ai = 0 ∀i} , H2 ≡ {bi = 0 ∀j} míg H1,2 ≡ {ci,j = 0 ∀i, j} . Valóban, ha valamelyik
hipotézis igaz, akkor a hozzárendelt négyzetösszeg χ 2 eloszlású, tehát az F-póba alkalmazható.
Például ha H1,2 igaz, akkor Q1,2 ∼ χ 2 f1,2 , tehát Q1,2 és Q0 összehasonlításával
rákérdezhetünk. Ha elfogadjuk akkor Q0 és Q1,2 összevonható. H1,2 elutasításakor azt
mondjuk hogy a modellben kölcsönhatás van, egyébként csak az osztályozás két szempontjának
elkülönített hatását vizsgáljuk. Kombinált hipotézisek is tesztelhetőek, esetleg
több lépésben, de figyelni kell a hibák halmozódására. Különösen érdekes az a helyzet
amikor H1 és H2 igaznak bizonyul, de H1,2 nem.
Nem feltétlenül szükséges hogy minden cellában ugyanannyi adat legyen, de ezek az
ni,j számok nem lehetnek tetszőlegesek, a kisérletet előre meg kell tervezni. Üres cellák is
előfordulhatnak, és az osztályozásnak persze kettőnél több szempontja is lehet. Az ε i,j
k ∼
N(0, σ 2 ) feltétel fontos, D(ε i,j = σ ∀i, j nélkülözhetetlen. Ezek az eljárások általában
ANOVA (analysis of variance) névre hallgatnak.
Olyan lineáris modellek is elképzelhetőek ahol az osztályozás szempontjaihoz valós értékű
x i,j kisérő változók is járulnak, vagyis
ξ i,j
k = m + ai + bj + ci,j + βζ i,j
k + εi,j
k , 1 ≤ i ≤ p , 1 ≤ j ≤ q , 1 ≤ n (S12.3)
lineáris modellel van dolgunk, ahol ε i,j
k ∼ N(0, σ2 ) , az x i,j
k számok ismertek. Ilyenkor a
feladatot a
n
p
k=1 i=1 j=1
q i,j
ξ
k − m − ai − bj − cj,k − βx i,j
k
p
ai =
i=1
q
bj =
j=1
p
i=1 j=1
2 = min! (S12.4)
q
ci,j = 0 (S12.5)

66
mellékfeltétellel kell megoldani. Az eljárás neve ANCOVA (analysis of covariance).
S.13. Szórások egyezése, F-próba: A sima kétmintás t-próba csak akkor használható
ha σξ = ση , ami számos más esetben is lényeges. Ha tényleg ez a helyzet akkor
˜Tn,n ′ :=
n k=1 (ξk − ¯ ξn) 2
n ′
k=1 (ηk − ¯ηn ′)2
n ′ − 1
n − 1 ≡ ¯σ2 n(ξ)
¯σ 2 n ′(η)
(S13.1)
eloszlása Fn−1,n ′ −1 , tehát ez a hipotézis is egzakt módszerrel tesztelhető. Ha mindig a
nagyobb négyzetösszeget írjuk a számlálóba, akkor figyelembe kell venni hogy ζ > 0 és
z > 1 esetén P [max{ζ, 1/ζ} > z] = P [ζ > z] + P [ζ < 1/z] , vagyis az elutasítás szintjét
másképp kell meghatározni.
Több minta szórásának egyenlősége, ami a szóráselemzés előfeltétele, az úgynevezett
Bartlett teszttel ellenőrizhető. Ha r darab N(mi, σ 2 ) független mintánk van egyenként ni ,
i = 1, 2, ..., r elemszámmal, akkor – konstans szorzótól eltekintve – az
If :=
r
i=1
(ni − 1) log ¯σ2 n(ξ)
¯σ 2 ni (ξi)
(S13.2)
statisztika közelítőleg χ 2 f eloszlású, ahol f = n1 + n2 + · · · + nr − r , ξ pedig a ξi minták
egyesítése.
S.14. Eloszlások vizsgálata χ 2 próbával: Legyen U = {U1, U2, ..., Ur} változónk értékkészletének
(diszjunkt) felosztása, νi,n a ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) mintában a [ξk ∈ Ui] esemény
bekövetkezéseinek száma. Hosszadalmas és nem túl szellemes számolással megmutatható
hogy ha a pi := P [ξk ∈ Ui] , i = 1, 2, ..., r hipotézis teljesül, és n elég nagy, akkor a
γn(U) :=
r
i=1
(νi,n − npi) 2
npi
(S14.1)
statisztika eloszlása közelítőleg χ 2 r−1 . Azt a centrális határeloszlás tételéből is tudjuk hogy
ηi := (νi,n−npi)/ √ npi aszimptotikusan N(0, 1−pi) eloszlású; a korrekció a r
i=1 νi,n = n
kényszerfeltételnek köszönhető. Pontosabban,
P [ν1 = n1, ν2 = n2, ..., νr = nr] =
n!
n1!n2! · · · nr! pn1 1 pn2 2 · · · pnr r
tehát az ηi változók kovariancia mátrixa Σ(i, j) = √ pipj ha i = j míg Σ(i, i) = 1 − pi . A
Stirling formulával ηi = O(1) esetén azt kapjuk hogy
P [η1 = y1, η2 = y2, ..., ηr = yr] ≈ exp −(1/2)(y 2 1 + y 2 2 + · · · y 2 r)
(2nπ) r−1 p1p2 · · · pn
és ez az eloszlás az e (p) := ( √ p1, √ p2, ..., √ pr) vektorra merőleges altérre van koncentrálva.
Mivel Σe (p) = 0 és Σy = y ha 〈e (p) , y〉 = 0 , az állítás lényege most már főtengely transzformácóval
következik.

Mivel χ 2 eloszlása erősen aszimmetrikus, az előírt ε szinthez úgy szokás az uε kritikus
értéket meghatározni hogy ε = P [χ 2 r−1 > uε] teljesüljön. Ha most γn(U) > uε akkor a
P [ξ ∈ Ui] = pi , i = 1, 2, ..., r hipotézist elutasítjuk. Persze az is gyanús ha γn(U) túl kicsi,
ez az adatok manipulációjára utal. Az eljárás neve: illeszkedésvizsgálat.
Homogenitásvizsgálat: Azt a hipotézist hogy két változó eloszlása azonos, úgy tesztelhetjük
hogy a ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) mintától független η = (η1, η2, ..., ηn ′) mintából is kiszámoljuk
az [ηk ∈ Ui] események µi,n ′ gyakoriságait, és a
γn,n ′(U) := nn′
r (νi,n/n − µi,n ′/n′ ) 2
i=1
νi,n + µi,n ′
67
(S14.2)
statisztikát. Ha a hipotésis igaz akkor ennek határeloszlása χ 2 r−2 , mert itt két lineáris
összefüggés van, tehát tesztelhetünk vele. Ez a kétmintás próba illeszkedés vizsgálatára
is használható úgy, hogy az egyik mintát mesterségesen állítjuk elő, véletlen számok
táblázatából, vagy számítógépen.
Függetlenség vizsgálata: A független párok (ξ1, η1), (ξ2, η2), ..., (ξn, ηn) sorozatából elkészítjük
a
r s (νi,j,n − νi,nµj,n/n)
γn(U, V) := n
2
(S14.3)
i=1 j=1
νi,nµj,n
statisztikát, ahol U a ξk-k, V = {V1, V2, ..., Vs} pedig az ηk-k értékkészletének valamilyen
felosztása. Látható hogy a [ξk ∈ Ui] és [ηk ∈ Vj] események együttes bekövetkezésének
νi,j,n gyakoriságait hasonlítjuk össze az egyenkénti gyakoriságok szorzataival. Mivel a
νi,j,n , νi,n , µj,n változók között r + s − 1 lineáris összefüggés van, γn(U, V) határeloszlása
olyan χ2 f lesz, ahol f = rs − r − s + 1 = (r − 1)(s − 1) a szabadsági fokok száma.
S.15. Wilcoxon próba: Ez is homogenitássvizsgálat, két egymástól is független mintánk
van, ξ és η . Jelölje Rk a ξ1, ξ2, ..., ξn, η1, η2, ..., ηn ′ sorozatban a ξk ξk értéknél kisebbek
számát,
Un,n ′ :=
n
Rk + 1 − k . (S15.1)
k=1
Ha Fξ és Fη folytonos, továbbá P [ξk < ηk] = 1/2 , akkor Un,n ′ eloszlása nem függ az Fξ és
Fη függvényektől, tehát a hipotézis – táblázat segítségével – tesztelhető. Egyébként Un,n ′
aszimptotikusan normális, EUn,n ′ = nn′ /2 míg D 2 (Un,n ′) = nn′ (n + n ′ + 1)/12 .
S.16. Empirikus eloszlásfüggvények: Tegyük fel hogy változónk F eloszlásfüggvénye
folytonos, és jelölje ξ ∗ 1 < ξ ∗ 2 < · · · < ξ ∗ n a ξ1, ξ2, ..., ξn mintaelemek nagyság szerint
elrendezett sorozatát; ez a rendezett minta. Az empirikus (tapasztalati) eloszlásfüggvény
Fξ,n(x) := k/n ha ξ ∗ k ≤ x < ξ∗ k+1 , míg Fξ,n(x) = 0 ha x < ξ ∗ 1 , Fξ,n(x) = 1 ha ξ ≥ ξ ∗ n .
Kolmogorov és Szmirnov vezették be a
∆n := sup
x
|Fξ,n(x) − F (x)| és ∆ + n := sup Fξ,n(x) − F (x) (S16.1)
x

68
statisztikákat. Mivel F (ξk) eloszlása E(0, 1) és ∆n = max1≤k≤n |k/n − F (ξ∗ k )| , míg ∆+ n =
max1≤k≤n{k/n−F (ξ∗ k )|} , egyik statisztika eloszlása sem függ F -től, mert ugyanaz mint az
egyenletes eloszlás esetében. Aránylag kis mintanagyságnál a küszöbértékek táblázatokban
találhatóak, a statisztikai programcsomagok is ismerik őket. Határeloszlásuk is aránylag
könnyen meghatározható. Kolmogorov szerint
lim
n→∞ P [√n∆n < y] =
(−1) n e −2n2y 2
n∈Z
ha y > 0 , (S16.2)
ami az Fξ(x) ≡ F (x) hipotézis tesztelését teszi lehetővé. A Szmirnov féle próbafüggvénynél
lim
n→∞ P [√ n∆ + n < y] = 1 − e −2y2
ami az Fξ(x) < F (x) , x ∈ R hipotézis ellenőrzésére alkalmas.
ha y > 0 , (S16.3)
Kétmintás próbák: Jelölje Fn és Gn a ξ illetve η mintából számolt empirikus eloszlásfüggvényeket;
∆ ∗ n := sup x{Fn(x) − Gn(x) . Tekintsük a ξ és η minták összevonása után kapott
ζ ∗ 1 < ζ ∗ 2 < · · · < ζ ∗ 2n rendezett mintát; ϑk := 1 ha ζ ∗ k a ξ mintából való, egyébként ϑk := −1 ,
végül Θk := ϑ1 + ϑ2 + · · · + ϑk . Közvetlenül látható hogy n∆ ∗ n = Θ ∗ n := maxk y] = e −2y2
ha y > 0 . (S16.5)
A max |Fn − Gn| eloszlása, sőt az (S15.2) és (S15.3) állítások bizonyítása is hasonlóan,
bolyongások segítségével történik.
Grafikus módszerek: n méretű minta esetén jelölje x∗ k,n , k = 1, 2, ..., n a tesztelendő eloszlás
kvantilisait, vagyis az F (x∗ k,n ) = k/(n+1) egyenletek megoldásait. Mivel az F (ξk) ∼ E(0, 1)
sorozat független, EF (ξ∗ k ) = k/(n + 1) , tehát azt várjuk hogy a (ξ∗ k , x∗ k,n ) , k = 1, 2, ..., n
pontok az y = x egyenes mentén helyezkednek el. Ha most η = m + σξ és σ > 0 , akkor az
(η∗ k , x∗ k,n ) pontok az y = m + σx egyenes mentén várhatóak, ami mξ és σξ leolvasását is
lehetővé teszi. Például, ha az x∗ k,n kavantiliseket a standard normális eloszlásfüggvényből
számoljuk, akkor az egyenes meredeksége a szórás, tengelymetszete a várható érték. Ennek
az eljárásnak is van kétmintás változata: az x∗ k,n vonatkoztatási pontokat kell a másik,
szintén n nagyságú rendezett minta elemeivel helyettesíteni. Nagyon kényelmes trükk az
etalomként használt minta generálása; így elkerülhetjük a kvantilisek számolását.
A módszer másik változata szerint csak r ≤ n kvantilist használunk, és νi,n a [ξk < x∗ i,r ]
események gyakorisága. A nagy számok törvénye szerint az (yi,r, x∗ i,r pontok az y = x

egyenes mentén várhatóak. Ez az eljárás is alkalmas mξ és σξ leolvasására, és kétmintás
próbaként is alkalmazható.
S.17. Störmer és Sarkadi teszt: Exp(λ) minta esetén az
η ∗ k :=
n−1
k=1 (n − k)(ξ∗ k+1
n k=1 ξ∗ k
− ξk)
69
(S17.1)
változók együttesen is olyan eloszlásúak mintha E(0, 1) minta rendezésével kaptuk volna
őket. Tehát a Kolmogorov vagy a Kolmogorov-Szmirnov próba segítségével az exponencialitás
ténye a paraméter ismerete nélkül is tesztelhető.
A normlitás tényének ellenőrzésére Sarkadi a következő eljárást javasolta. Legyen
¯ξ ′ n :=
√ 2 ¯ ξn + √ n(ξn − 1 + ξn)
√ 2n + 2 √ n
és S 2 := 2n2 ˆσ 2 n(ξ) − n(ξn−1 − ξn) 2 − 2 ¯ ξn
n(n − 2)
(S17.2)
ekkor az ηk := (ξk − ¯ ξn)ψ(|ξn−1 − ξn|/S)/S változók E(0, 1) minta elemei, feltéve hogy
ψ = ψ(t) a P [χn−2 > ψ] = P [|tn−2| < t] egyenlet megoldása. Ezután Kolmogorov vagy
Kolmogorov-Szmirnov próba alkalmazandó.
S.18. Az első- és másodfajú hiba: Kényes kérdés a tesztelési eljárások hatékonyságának
minősítése. A legegyszerűbb az az eset amikor hipotézisként csak két eloszlás jöhet
szóba, tehát ξ sűrűsége (a diszkrét esetben eloszlása) vagy f1 vagy f2 , és nekünk csak azt
kell eldönteni, hogy melyik a valódi. Legyen
hn(x) := log f1,n(x)
f2,n(x) =
n
k=1
log f1(xk)
f2(xk)
ahol fi,n(x) :=
n
fi(xk) (S18.1)
és jelölje Pi illetve Ei , i = 1, 2 a megfelelő valószínűségeket illetve várható értékeket. A
Neyman-Pearson lemma szerint optimális döntést hozunk ha hn(x) ≥ un esetén a P1 ,
egyébként a P2 hipotézist fogadjuk el. f1 és f2 ismeretében a döntési szabály meghatározható,
és kellemes esetekben csak az un küszöb függ a hipotézisek konkrét megfogalmazásától.
Például, ha azonos szórású normális eloszlások várható értékeire vonatkozó
hipotézist tesztelünk, akkor mindig az ¯xn mintaközép a döntés kritériuma.
Az elsőfajú hiba valószínűsége pn(e1) := P1[hn(ξ) < un] , a másodfajú hibáé pn(e2) :=
P2[hn(ξ) ≥ un] . Ezek közül az egyik értéke az un küszöb alkalmas megválasztásával előírt
szintre állítható be, ilyenkor n növelésekor a másik exponenciálisan csökken. Valóban,
legyen α > 0 és vegyük észre hogy
∞
E1hn(ξ) = nI(f1|f2) , I(f1|f2) :=
E2hn(ξ) = −nI(f2|f1) , továbbá D 2 1(hn) = nΣ 2 1 , ahol
Σ 2 1 =
−∞
−∞
k=1
f1(x) log f1(x)
dx , (S18.2)
f2(x)
∞
log f1(x)
2 f1(x) dx − I
f2(x)
2 (f1|f2) , (S18.3)

70
√
tehát a centrális határeloszlás tétel értelmében, un = nI(f1|f2)−αΣ1 n esetén az elsőfajú
hiba aszimptotikus szintje limn→∞ pn(e1) = 1 − Φ(α) lesz, ami α változtatásával szabályozható.
A másodfajú hiba kiértékelése tipikus nagy eltérés probléma, ahol ρ = I(f1|f2)
nagyobb mint a P2 szerinti −I(f2|f1) várható érték, vagyis z > 0 , míg
∞
J(z) := log
−∞
f z 1 (x) f 1−z
2 (x) dx (S18.4)
Rényi típusú entrópia. Mivel J(1) = 0 , J ′ (1) = I(f1|f2) ; zρ − J(z) maximumát a z = 1
helyen veszi fel, vagyis S(ρ) = I(f1|f2) , tehát
log pn(e2)
lim
n→∞ n
= −I(f1|f2) . (S18.5)
A J(z) és I információelméleti mennyiségeknek a statisztikában is számos további alkalmazása
van.
S.19. Szekvenciális eljárások: Az előírt hibaszintek eléréséhez szükséges n mintanagyság
átlagosan csökkenthető a döntés elodázásával, ha arra lehetőség van. Ilyenkor a
h1(x), h2(x),... sorozatot figyeljük, és csak akkor döntünk amikor az kilép valamely (v, u)
intervallumból. Jelölje ν = ν(x) az első ilyen (véletlen) időpontot; ha hν(x) ≥ u akkor P1 ,
ha hν(x) ≤ v akkor P2 mellett döntünk. Mivel
1 − p(e1) = P1[hν(ξ) ≥ u] ≥ e u P2[hν(ξ) ≥ u] = e u p(e2) és
1 − p(e2) = P2[hν(ξ) ≤ v] ≥ e −v P1[hν(ξ) ≤ v] = e −v p(e1) , (S19.1)
u ≤ log((1 − p(e1))/p(e2)) és v ≥ log(p(e1)/(1 − p(e2))) , ami a döntési küszöbértékek egész
jó közelítése.
Az átlagosan várható lépésszámot is könnyű megbecsülni az
E1hν(ξ) = I(f1|f2)E1ν(ξ) és E2hν(ξ) = −I(f2|f1)E2ν(ξ) (S19.2)
Wald azonosságok alapján, melyek levezetésében a G1 = I(f1|f2) , G2 = −I(f2|f1) és
νn = min{ν, n} jelöléseket használjuk.
nGi = Eihn(ξ) = Eihνn (ξ) + Ei(hn(ξ) − hνn (ξ)) = Eihνn (ξ) (S19.3)
n
+ Ei[hn(ξ) − hk(ξ)|νn = k]P [νn = k] = Eihνn (ξ) + Gi(n − Eνn) ,
k=1
vagyis GiEiνn = Eihνn (ξ) , amiből Wald egyenletei az n → ∞ határátmenettel következnek.
Mivel E1hν(ξ) ≥ u , míg E2hν(ξ) ≤ v , az E1ν ≥ u/I(f1|f2) és E2ν ≥ −v/I(f2|f1) ,
szintén jól használható becsléseket kapjuk. Összefoglalva:
u ≈ log
v ≈ log
1 − p(e1)
p(e2)
, E1ν ≈ log(1 − p(e1)) − log p(e2)
I(f1|f2)
p(e1)
1 − p(e2) , E2ν ≈ log(1 − p(e2)) − log p(e1)
I(f2|f1)
(S19.4)

Ajánlott irodalom:
Takács Lajos – Ziermann Margit: Valószínűségszámítás és Matematikai Statisztika, Műszaki
Könyvkiadó, 1977
Fazekas István: Bevezetés a Valószínűségszámításba, Eger, 1993
W. Feller: Bevezetés a Valószínűségszámításba és Alkalmazásaiba, Műszaki Könyvkiadó,
1978
Ya. G. Sinai: Probability Theory, An Introductory Course, Springer 1992
Pál Lénárd: A Valószínűségszámítás és a Statisztika Alapjai 1.–2., Akadémiai Kiadó, 1995
Jánossy Lajos: A Valószínűségelmélet Alapjai és Néhány Alkalmazása, Tankönyvkiadó,
1967
Prékopa András: Valószínűségelmélet Műszaki Alkalmazásokkal, Műszaki Könyvkiadó,
1972
Dévényi Dezső – Gulyás Ottó: Matematikai Statisztikai Módszerek a Meteorológiában,
Tankönyvkiadó, 1988
Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, 1966
L. Arnold: Sztochasztikus Differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1972
Vincze István: Matematikai Statisztika Műszaki Alkalmazásokkal, Műszaki Könyvkiadó,
1969
L. Breiman: Probability, Addison-Wesley, Reading MA 1968
D. Pollard: Convergence of Stochastic Processes, Springer Verlag, New York 1984
A.D. Wentzell: A Course in the Theory of Stochastic Processes, McGraw–Hill, 1981
H. McKean: Stochastic Integrals, Academic Press, New York 1969
M. Baxter – A. Rennie: Financial Calculus, Cambridge Uni. Press, 1996
E. L. Lehmann: Testing Statistical Hypotheses, Wiley, New York 1959
M. G. Kendall – A. Stuart: The Advanced Theory of Statistics I.–II.–III., Griffin, London
1958, 1961, 1966
71