Geodézia I. - NymE GEO portál

Geodézia I. 

Gyenes Róbert 

1

Bemutatkozás 

Tanulmányok 

• 1988-1993: Varga Márton Kertészeti és Földmérési 

Szakközépiskola 

• 1993-1996: Erdészeti és Faipari Egyetem Földmérési és 

Földrendezői Főiskolai Kar 

• 2003-2005: University of Applied Sciences- Hochschule für 

Technik, Karlsruhe, Németország 

Munkahelyek 

• 1996-1997: Kishold Bt. (Cegléd) 

• 1997- : SE FFFK ill. NYME GEO, Geodézia Tanszék 

2

Oktatás, kutatás, gyakorlat 

• Geodéziai alapismeretek, Kiegyenlítő 

számítások, Vetülettan, Mérnökgeodézia, 

Statistics and Adjustment (2004/2005, Karlsruhe) 

• Geodéziai adatfeldolgozás, Matematikai 

geodézia, Sztochasztikus folyamatok modellezése 

felszínmozgások esetén, Robusztus 

kiegyenlítések, Magassági referencia felület 

számítása, Szoftverfejlesztés 

• Sajátos célú geodéziai munkák 

(Telekalakítások), Mérnökgeodézia, Szabatos 

szintezés, GPS mérések 

3

Gyakorlatvezetők 

Farkas Róbert 

Földmérő mérnök 

311 

Tarsoly Péter 

Földmérő mérnök 

309 

4

Az előadások főbb témakörei 

• A helymeghatározás alapjai, a Föld 

elméleti alakja. Történeti áttekintés. 

• Vízszintes mérések alapműveletei 

– Irány-, szög-, hossz és távmérések 

• A részletmérés alapjai 

• Teodolit szerkezeti elemei 

• Geodéziai számítások 

5

Kötelező irodalom 

• Csepregi Szabolcs : Földméréstan I. 

ASZI, 2000. 

• Krauter András : Geodézia. Műegyetemi 

Kiadó, 2002. 

• Tánczos László : Általános Geodézia. 

• Fialovszky Lajos (szerk): Geodéziai 

műszerek. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 

1979. 

6

A helymeghatározás alapjai 

• Geodézia: a helymeghatározás tudománya ( 

positioning ) 

• Hely? 

• Tájékozódás 

–Hol? 

– Hová? 

– Hogyan? ⇒ Navigáció (közlekedés, hadászat, 

kriminológia) 

7

A helymeghatározás alapjai 

• Minek a helyét kell meghatározni? 

– Objektumok 

– Entitás 

• Helymeghatározás értelmezési 

tartománya 

• Vonatkoztatási rendszer 

• Helymeghatározó adatok definiálása 

• Helymeghatározás végrehajtása 

• Helymeghatározás pontossága 

Busics Gy. (1999) : Földméréstan III. ASZI. 

8

Objektumok – Entitás s fogalma 

• Mesterséges létesítmények 

• Természetes alakzatok 

9

Helymeghatározás értelmezési 

tartománya 

• Globális 

• Kontinentális 

• Országos 

• Regionális 

•Helyi 

10

Vonatkoztatási rendszer 

• Vonatkoztatási rendszer definiálása 

– Fizikai 

– Geometriai 

• Vonatkoztatási rendszer gyakorlati 

megvalósítása ⇒ Geodéziai 

alapponthálózatok / alappontok 

11

Vonatkoztatási rendszer 

• Példa: Geocentrikus koordináta rendszer 

– Értelmezési tartomány: Föld 

– Fizikai definíció 

• Föld tömege ⇒Modell: tömegközéppont 

• Föld forgása ⇒Modell: forgástengely 

• Időbeli változások : tömegátrendeződés (okok), forgási 

szögsebesség változása 

– Geometriai definíció 

• Térbeli derékszögű koordinátarendszer 

• Föld alakjának matematikai közelítése ⇒forgási 

ellipszoid 

12

A pólusmozgás és a pólus vándorlás 

Z 

Greenwich 

P 

Z P 

Y 

X P 

X 

Y P 

13

Inerciális vonatkoztatási rendszer 

Z 

Y 

X 

ϒ 

•ICRS 

•ICRF (http://www.journals.uchicago.edu/AJ/journal/issues/v116n1/970504/970504.web.pdf) 

•Koordináták 608 objektum (http://hpiers.obspm.fr/webiers/results/icrf/icrfrsc.html) 

14

Országos GPS Hálózat 

www.sgo.fomi.hu 

15

Helymeghatározó adatok 

definiálása 

• Térbeli (háromdimenziós - spatial), 3D 

• Kétdimenziós 2D – felületi koordináták 

• Egydimenziós 1D – „vonalmenti” 

•Időfüggő definíciók – referencia időpont 

• Gyakorlati megvalósítás : 2D + 1D 

16

Helymeghatározó adatok definiálása 

Térbeli (háromdimenziós), 3D 

Z 

Z 

X 

P 

P(r,ψ,λ) 

r 

Z P 

Z 

Y 

ψ P 

X P 

λ X P 

Y P 

X 

Y P 

Y 

17


Kétdimenziós 2D – felületi koordináták 

y 

Matematikai 

u 

Pv 

x 

P(x,y) 

y 

x 

Matematikai polár 

y 

Geodéziai 

+ x 

P(r, ψ) 

y 

P(y,x) 

r 

ψ 

x 

x 

δ 

t 

+ y 

18


Egydimenziós 1D 

19


2 + 1 dimenzió 

• A 2D és 1D helymeghatározó adatok 

vonatkoztatási (referencia) felülete különböző 

H 

P(u,v,H) 

P o 

1D 

P o 

u 

v 

2D 

20

Helymeghatározás végrehajtása 

Földi módszerek 

21


Távérzékelés - Űrfelvételek 

22


Távérzékelés – Légi fotogrammetria 

1. 2. 

3. 4. 

23


Távérzékelés – Légi fotogrammetria 

Eredmény: digitális ortofotó 

Eredmény:digitális domborzat modell 

24

Helymeghatározás végrehajtása - Távérzékelés 

Radar és lézer szkenner rendszerek 

Side-Looking Airborne Radar (SLAR) 

Földi lézer szkenner 

25

Helymeghatározás végrehajtása - Távérzékelés 

Radar és lézer rendszerek 

Légi lézer szkenner : Light Detection And Ranging - LIDAR 

http://soundwaves.usgs.gov 

http://www.nosa.noaa.gov 

http://oumits.olemiss.edu 

26


Műholdas helymeghatározás 

27

Helymeghatározás pontossága 

• „Milyen pontos ?” – Pontatlan? 

Megbízható? Bizonytalan? 

⇒ Értelmezés? 

• Pontosság 

• Megbízhatóság 

• Bizonytalanság 

(részletek későbbi tanulmányok során) 

28

Geodézia 

• Jelentése : Földosztás 

(Arisztotelész ie. 384-322) 

• Geodézia ⇒ geodéta 

• Földmérés ⇒ földmérő 

DE 

Geometria = földmérés ! 

29

Geodézia feladata: klasszikus és modern 

definiciók 

• Friedrich Robert Helmert (1843-1917) 

– A geodézia a Föld felszín mérésének és térképezésének a 

tudománya (1880) 

• Heiskanen(1894-1971) és Vening 

Meinesz(1887-1966) 

– A geodézia elméleti és gyakorlati részre osztható 

(1958): 

• Elméleti geodézia: a Föld méretének és alakjának a 

meghatározása 

• Gyakorlati geodézia:helymeghatározás a Föld felszínén 

Schwarz, K.P. Fundamentals of Geodesy. University of Calgary,1996. 

30

Geodézia feladata: klasszikus és modern 

definíciók 

Magyarországon elfogadott : 

• Elméleti geodézia (Felsőgeodézia) 

– a Föld alakjának és méretének a meghatározása 

• Gyakorlati geodézia (Általános geodézia) 

– a Föld felszínén vagy a felszín alatt található 

természetes alakzatok és mesterséges létesítmények 

alakjelző pontjainak a felmérése és térképezése 

31

A Geodézia helye a tudományokban 

Busics Gy. (1999) : Földméréstan III. ASZI. 

32

Geomatika fogalma, feladata 

• Geodesy + Geoinformatics = Geomatics 

• Helyhez kötött kvantitatív és kvalitatív 

adatok gyűjtése, feldolgozása, elemzése, 

megjelenítése, fenntartása. 

• The mathematics of the earth; the science of the collection, analysis, and 

interpretation of data, especially instrumental data, relating to the earth's surface. 

(Oxford English Dictionary) 

• Geomatics Engineering is a modern discipline, which integrates acquisition, 

modelling, analysis, and management of spatially referenced data.(University of 

Calgary) 

• Nincsen egységes definíció, összefoglaló 

fogalom 

33

Geomatika fogalma, feladata 

• Magában foglalja: 

– Geodézia 

– Navigáció 

– Távérzékelés és Digitális képfeldolgozás 

– Térképészet 

– Térinformatika – Földrajzi Információs 

Rendszerek 

– Földügy – Földügyi Információs Rendszerek 

34

Geomatika 

35

A Föld elméleti alakja 

• Történeti áttekintés 

• Alapelv 

• Mérési módszerek 

• A Föld nehézségi erőtere 

1

A Föld elméleti alakja – Történeti áttekintés 

• Erastothenes 

(ie. 275-194) 

• Út: 50 nap 

•R≅7423 km 

• Mai: ≈6371 km 

2


• Fokmérések, XVIII sz. 

• Francia Tudományos Akadémia 

• Expedíciók 

– Lappföld (1730-1736) 

– Peru (1735-1745) 

• Geometriai lapultság kérdése 

• Fizikai közelítés : 

– Newton 

– Clairaut (1743):Theorie de la figure de la Terre 

• Tömegvonzás hatása 

– Bouguer - Andok 

– XIX sz. Everest - India 

3

Bouguer 

ellipszoidi normális 

helyi függőleges 

4


• Carl Friedrich Gauss (1828) 

• George Gabriel Stokes (1849) 

– Föld elméleti alakja meghatározható tisztán 

fizikai mérések alapján ⇒ Stokes elmélete 

– Alapfelület, amelyre a fizikai méréseket 

vonatkoztatjuk 

• Listing ⇒ Geoid fogalma (1873) 

• F.R. Helmert (1880): Első teljes 

felsőgeodézia könyv 

5

A Föld elméleti alakja - Irodalom 

• Gauss, C.F., 1828: Bestimmung des 

Breitenunterscchiedes zwischen den Sternwarten von 

Gottingen und Altona, Gottingen. 

• Stokes, G.G. (1849): On the variation of gravity at the 

surface of the Earth, Transactions of the Cambridge 

Philosophical Society, V. 8, p. 672. 

• Listing, J.B. (1873): Über unsere jetzige Kenntnis der 

Gestalt und Grosse der Erde, Nachr. d. Kgl., Gesellsch. 

d. Wiss. und der Georg-August-Univ., 33-98, Gottingen. 

• Helmert, F.R. (1880): Die mathematischen und 

physicalischen Theorien der hoheren Geodasie, 

Teubner, Leipzip, Frankfurt. 

• Heiskanen, W.A. and H. Moritz (1967): Physical 

Geodesy, W.H. Freeman, San Francisco. 

• Torge, W., 2001: Geodesy, Walter de Gruyter, Berlin. 

6

A Föld elméleti alakja – Stokes elmélete 

Graviméter 

Terepfelszín 

Fneh 

Geoid 

7

A Föld elméleti alakja – Stokes elmélete 

• Problémák 

– A nehézségi erőt nem ismerjük mint folytonos 

függvényt 

– A pontos sűrűségeloszlás ismeretlen 

8

A Föld elméleti alakja – Modern 

módszerek 

Altiméteres magasságmérés- 

Satellite Altimetry 

Műholdról műholdra követés – 

Satellite to Satellite 

Tracking 

9

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér 

• A nehézségi (erő) vektor és komponensei 

– Gravitációs erő (Föld - tömegpont) 

– Centrifugális erő 

– Egyéb égitestek ( Hold, Nap, stb. ) 

• Potenciál- és potenciálkülönbség fogalma 

• Szintfelület fogalma 

•Függővonal fogalma 

• Geoid fogalma 

10


Tömegvonzás hatása 

F i 

P(X P 

,Y P 

,Z P 

) 

dM i 

dV i 

X i 

,Y i 

,Z i 

l i 

F t 

F 

i 

M 

= −G 

dM 

l 

i 

2 

i 

⋅ m 

l 

l 

= 

−G 

dM 

l 

i 

2 

i 

⋅ m 

1 

l 

i 

⎡X 

⎢ 

⎢ 

Y 

⎢ 

⎣Z 

i 

i 

i 

− 

− 

− 

X 

Y 

Z 

P 

P 

P 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

11


Föld tengely körüli forgásának hatása 

p 

P 

F C 

R 

F 

C 

= 

p 

⋅ 

ω 

2 

⋅ 

1 

p 

⋅ p 

12


Egyéb égitestek tömegvonzása 

P 

F N 

F H 

F 

Nap 

= 

M 

−G 

l 

Nap 

2 

Nap 

l 

1 

Nap 

⎡X 

⎢ 

⎢ Y 

⎢ 

⎣ 

Z 

Nap 

Nap 

Nap 

− 

− 

− 

X 

Y 

Z 

P 

P 

P 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

F 

Hold 

= 

M 

−G 

l 

Hold 

2 

Hold 

l 

1 

Hold 

⎡X 

⎢ 

⎢ 

Y 

⎢ 

⎣Z 

Hold 

Hold 

Hold 

− 

− 

− 

X 

Y 

Z 

P 

P 

P 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

13


Nehézségi erő 

P 

F N 

F H 

F C 

F t 

g 

M 

g = F + F + 

t 

C 

F 

t 

( égitestek) 

14


• Nehézségi vektor 

– 3 komponens 

• Egyetlen skalár 

– potenciál 

P 0 

α 

ds 

P i 

W i 

g 

W 0 

∆W 

= 

−g 

⋅ 

ds 

= 

− g 

⋅ 

ds 

⋅ 

cos α 

15


Szintfelületek származtatása 

P 0 ds 

W i 

W 0 

g 

90˚ 

16


Terep 

Közepes óceán / tengerszint 

P 

W P 

W 0 ≅geoid 

17

A Föld elméleti alakja – Helyettesítő felületek 

• Szferoid ( szintszferoidok) 

• Háromtengelyű ellipszoid (-) 

• Forgási ellipszoid 

Pl. WGS 84 

– a = 6 378 137 m 

– f = 1/298.257223563 ⇒(b = 6 356 752.314 m) 

– GM = 3986005 x 10 -8 m 3 /sec 2 

– ω = 7292115 x 10 -11 rad/sec 

18

A Föld elméleti alakja – Normál nehézségi erőtér 

• Normál ellipszoid 

– Tömeg = Föld tömege 

– Forgási szögsebesség = Föld forgási 

szögsebesség 

– Ekvipotenciális felület 

– Inercianyomatékok különbsége azonos 

• Normál nehézségi gyorsulás 

– γ P = 9.83 218 636 85 m/s 2 

– γ E = 9.78 032 677 15 m/s 2 

19

A Föld elméleti alakja – A nehézségi erőtér anomáliái 

• Potenciálzavar : T = W 0 -U 0 

• Geoid magasság (geoid unduláció) : N 

• Függővonal-elhajlás : θ 

• Nehézségi anomália : ∆g = |g | - |γ | 

Függővonal 

Ellipszoidi normális 

N 

W 0 

θ 

Geoid 

U 0 

γ 

g 

Normál ellipszoid 

20


Terep 

P 

Közepes óceán / tengerszint 

h 

H 

Forgási ellipszoid 

N 

W P 

N = h -H 

W 0 ≅geoid 

21

A Föld elméleti alakja – A geoid 

http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/ICGEM.html 

22


Geodéziai alapponthálózatok 

Vízszintes alappontok ideiglenes és 

végleges megjelölése 


1

Geodéziai alapponthálózatok 

• Vonatkozási rendszer gyakorlati 

megvalósítása 

– Egységes keret biztosítása további mérések 

céljából 

• Alapponthálózatok típusai 

• Alappontok típusai 

– Terepfelszínen megjelölt pontok 

– Magaspontok 

2

Alappontok megjelölése – felszíni pontjelek 

Betonkő 

• Központi jel 

– Furatos rézcsap 

– Keresztvésés 

• Méret 

– 25 x 25 x 90 cm 

– 20 x 20 x 70 cm 

– 15 x 15 x 60 cm 

• Alkalmazás 

–Elsősorban külterületen 

– Ritkábban belterületen 

3


Csap 

• Anyag: öntöttvas 


– Furat 

• Méret 

• Felirat 

– SP 

– Korábban: pontszám 


–Elsősorban belterület 

• Vésett lyuk 

4


Betonszeg 

• Rozsdaálló galvanizált 

acél 


– Furat 

• Méret 

• Felirat 


–Elsősorban belterület 

• Fúrt lyuk betonnal v. 

speciális fagyálló 

kötőanyaggal kitöltve 

5


Vasrúd műanyag fejjel 

• Fej: kemény műanyag 


– Lyuk / Betonszeg 

belehelyezés 


– talaj 

• Horgonyzat 

• Leverő szerkezet 

6


• Földalatti megjelölés 


–Lyuk 


–Belterület 

• További földalatti jel 

• Napjainkban nem 

alkalmazott eljárás 

7

Alappontok megjelölése – magaspontok 

Templomtorony 

8

Kémény 

Alappontok megjelölése – magaspontok 

• Központ : 

szimmetriatengely 

• Magasság: kémény 

felső pereme 

9

Alappontok megjelölése – Mérőtorony 

• Csak földmérési célra 

• Vasbeton 

• Magasság : 6…30 m 

• Központ: 

– kő furatos csappal 

– Vetítés észlelő pillérre 

• Észlelőpillér 

• Gúla 

10

Alappontok megjelölése – Állandósítás 

1. 2. 

11


3. 

12


13

Alappontok megjelölése – Őrpontok 

14

Alappontok megjelölése – Helyszínrajzok 

készítése – Felszíni állandósítás 

15


készítése - Templomtorony 

16


készítése - Kémény 

17


készítése - Mérőtorony 

18


készítése – Bemérés őrpontok alapján 

19

Alappontok megjelölése – Ideiglenes pontjelölések 

Kitűzőrúd 

Tripód 

20

Alappontok megjelölése – Ideiglenes pontjelölések 

Állványos gúla 

- Észlelő állvány és műszerállvány 

független 

- Központ : kő, vetítés a műszerállványra 

-„Tetőjel” : gúla 

21

Irodalom 

• Krauter A. : 4-5…4-7 

• Tánczos L.: 21-35. 

22


A vízszintes mérések 

alapműveletei 

A távolság meghatározása 


1

Vízszintes mérések - alapelv 

• Cél: kétdimenziós relatív helymeghatározás 

– Két adat : felületi koordináták 

• Szükséges: két független mérés 

– Két irány 

– Két szög 

– Két távolság 

– Irány / szög és távolság kombinációja 

2


Vízszintes helymeghatározás 

két szög és két ismert koordinátájú 

pont alapján 

3



két távolság és két ismert koordinátájú 

pont alapján 

4



egy szög, egy távolság és egy 

ismert pont (két ismert koordináta) 

alapján 

5

Vízszintes mérések – távolság meghatározása 

• Közvetlen távolságmeghatározás – 

hosszmérés 

• Közvetett távolságmeghatározás – 

távmérés 

• Távolság nem egyértelmű fogalom 

6

Vízszintes mérések – távolság meghatározása 

Ferde távolság 

Helyi 

vízszintes (A) 

Szintfelület (A) 

Alapfelület 

Alapfelületi távolság 

A 

B 

Terepfelszín 

7

Vízszintes mérések – Hosszmérés 

8


Beintés 

Beállás 

Csepregi Sz. (2000): Földméréstan I. 

9


1. 

2. 

3. 


10


4. 


11

Vízszintes mérések – Hosszmérés redukciói 

• Komparálási javítás (ld később) 

• Hőmérsékleti redukció (ld később) 

• Vízszintesre történő redukálás 

• Alapfelületi redukció 

– közelítések 

A 

Ferde távolság 

Terepfelszín 

B 

Helyi 

vízszintes (A) 

Szintfelület (A) 

Alapfelületi távolság 

Alapfelület 

12

Ellenőrző kérdések 

• Mit értünk hely alatt? 

• Ismertesse a tájékozódás folyamatát! 

• Mit értünk entitás alatt? 

• Mit értünk a helymeghatározás értelmezési tartománya alatt? 

• Soroljon fel példákat természetes és mesterséges objektumok alakjelző pontjainak a 

modellezésére! 

• Soroljon fel példákat a helymeghatározás értelmezési tartományára vonatkozóan! 

• Milyen alapon történik a vonatkoztatási rendszer definiálása? 

• Ismertesse a Földhöz kötött vonatkoztatási rendszer fizikai definícióját! 

• Milyen okai lehetnek a Föld forgástengelyének időbeli változásának? 

• Ismertesse a Földhöz kötött vonatkoztatási rendszer geometriai definícióját! 

• Ismertesse a háromdimenziós helymeghatározó adatokat. Készítsen ábrát! 

• Ismertesse a kétdimenziós Gauss-féle felületi koordináták alapelvét! Készítsen ábrát! 

• Mi a jellegzetessége a 2D +1D helymeghatározásnak? 

• Mi az alapelve a távérzékelésen alapuló helymeghatározásnak? 

• Mi az alapelve a légi fotogrammetrián alapuló helymeghatározásnak? 

13


• Ismertesse a Geodézia különböző értelmezésű definícióit! 

• Hogyan értelmezzük Magyarországon a geodézia fogalmát? 

• Mit értünk Geomatika alatt? 

• Ismertesse Erastothenes kísérletét a Föld alakjának a meghatározására vonatkozóan! 

• Milyen céllal indultak meg a XVIII. Században az ún. fokmérések? 

• Ismertesse röviden Stokes elméletét! 

• Ismertesse a gravimetriai mérésen alapuló elméleti földalak meghatározásának elvét és lépéseit! 

• Milyen hátrányai emelhetők ki a Stokes elven alapuló elméleti földalak meghatározásnak? 

• Mi az altiméteres magasságmeghatározás elve? 

• Ismertesse a nehézségi vektor komponenseit! Készítsen ábrát! 

• Mit értünk potenciál / potenciálkülönbség alatt? 

• Miért alkalmazzuk a potenciált / potenciálkülönbséget a Föld elméleti alakjának modellezésére a 

nehézségi vektor helyett? 

• Hogyan származtatjuk a szintfelületet egy tetszőleges pont differenciálisan kis környezetében? 

• Igazolja, hogy a nehézségi vektor merőleges a helyi szintfelület érintősíkjára! 

• Mit nevezünk alapszintfelületnek? 

• Mit értünk geoid alatt? 

• Hogyan definiáljuk a normál nehézségi erőteret? 

• Mit értünk a nehézségi erőtér anomáliáin? 

14


• Mit értünk geoid magasság (geoid unduláció) alatt? 

• Mit értünk függővonal-elhajlás alatt? 

• Mit értünk nehézségi anomália alatt? 

• Milyen összefüggés áll fenn a tengerszint feletti (geoid feletti), az ellipszoid feletti és a geoid 

magasság között? Készítsen ábrát! 

• Mit értünk geodéziai alapponthálózatok alatt? 

• Mit nevezünk állandósításnak? 

• Ismertesse a kővel történő állandósítás jellemzőit! 

• Ismertesse a csappal történő állandósítás jellemzőit! 

• Ismertesse a magaspontok felhasználásán alapuló geodéziai pontjeleket! 

• Ismertesse a mérőtorony főbb szerkezeti részeit! 

• Ismertesse a kővel történő állandósítás menetét! 

• Milyen célt szolgálnak az őrpontok? Hogyan végezzük el őrpontok felhasználásával a központi 

jellel történő összemérést? 

• Ismertesse az alappontok helyszínrajzi leírásának tartalmát! 

• Ismertesse a terepfelszínen állandósított pontok helyszínrajzi jellemzőit! 

• Ismertesse a templomtoronyként felhasznált geodéziai alappontok helyszínrajzi jellemzőit! 

• Ismertesse a kéményként felhasznált geodéziai alappontok helyszínrajzi jellemzőit! 

15


• Milyen ideiglenes pontjelöléseket ismer? 

• Ismertesse a vízszintes helymeghatározás szög- és távolságmeghatározáson alapuló elvét! 

• Hogyan csoportosítjuk a távolságmeghatározás módszereit? 

• Ismertesse és készítsen ábrát a különböző távolságok fogalmáról! 

• Mi a különbség a mérési vonal beintéssel és beállással történő kitűzése között? 

• Ismertesse a hosszmérés végrehajtását! 

• Ismertesse a hosszméréssel kapcsolatos redukciókat! 

• Vezesse le az alapfelületi redukció számításának közelítő összefüggését! 

• Mekkora távolságon tekinthető a tengerszinten értelmezett vízszintes síkban fekvő távolság mm 

élességgel azonosnak az alapfelületi távolsággal? A számításhoz közepes görbületi sugárnak 

R=6371 km-t válasszon! 

16


Egyszerű alapműveletek 

Egyenesek kitűzésének a módszerei. 

A részletmérés alapjai. 

Derékszögű koordinátamérés. 


1

Egyenesek kitűzése fokozatos közelítéssel 

2

Egyenesek metszéspontjának a kitűzése 

3

A részletmérés alapjai 

• Feladat 

– Természetes és mesterséges objektumok felmérése 

és megjelenítése 

• Felmérési módszer : numerikus 

– Koordináta számítása 

– Koordináták adatbázisban történő tárolása 

– Megjelenítés digitális térkép formájában 

• Mérési módszerek 

– Poláris felmérés 

– Ortogonális felmérés (Derékszögű koordinátamérés) 

4

• Adott: K(y K ,x K ), V(y V ,x V ) 

• Mért 

– a:abszcissza 

–b:ordináta 

• Végméret - (s) 

Ortogonális részletmérés elve 

b 

(s) 

V 

a - 

K 

5

Ortogonális részletmérés menete 

• Elhatárolás 

– részletpontok azonosítása 

– részletpontok ideiglenes megjelölése 

– ⇒ elhatárolási vázlat 

• Mérési vonal kitűzése 

• Részletpontok mérése növekvő abszcissza szerint, 

mérési jegyzet vezetése 

• „Végméret” 

• Ellenőrző mérések 

– más mérési vonalról 

– „összemérések” 

– Mérési vonal kezdő- és végpontjával – „kikötés” 

• Kiegészítő mérések 

– épületek körbemérése 

6

Ortogonális részletmérés 

• Mérési jegyzet – manuálé 

• Mérési vázlat 

• Tömbrajz 

7

Ortogonális részletmérés – néhány 

gyakorlati szabály 

• Épületek bemérése, körbemérése 

• Ívek bemérése 

• Mérési vonal és objektumok 

metszéspontja – vonalpontok felvétele 

• Ordináta hossza 

• Mérési vonalhálózat kialakítása 

• Szabad mérési vonal 

8

Ortogonális részletmérés – mérési vázlat és tömbrajz készítése 

9

Derékszögű koordináta-mérés 

-folytatás- 

Mérési eredmények feltüntetésének szabályai 

• Mérési vonal kezdőpontjának jelölése 

• Talppont jelölése 

• Mérési vonal és ordináta vonal jelölése 

• Abszcissza és ordináta megírások 

• Végméret feltüntetése 

• Mérési vonal kihosszabbításának és méretezésének a 

feltüntetése 

• Vonalpontok méretezése 

• Abszcisszák egymás „fölé és alá” írásának az esetei 

• Összemérések feltüntetése 

• Egyenes mentén fekvő pontok méretezése - töréspontok 

jelölése 

10

Szögprizmák 


11

Szögprizmák használata 


12


Egyenesbe állás Talppontkeresés / kitűzés 


13



14

Irodalom 

• Krauter A. : 10-1…10-6 

• Tánczos L.: 35-38. 49-61. 

15


• Ismertesse az egyenes kitűzésének fokozatos közelítéssel történő végrehajtását! 

• Ismertesse két egyenes metszéspontja kitűzésének menetét! 

• Mit értünk részletmérés alatt? 

• Ismertesse a numerikus felmérés jellemzőit! 

• Ismertesse az ortogonális részletmérés elvét! 

• Mit értünk egy tetszőleges pont mérési vonalra vonatkozó talppontján? 

• Mit értünk elhatárolás alatt? 

• Ismertesse a derékszögű koordináta-mérés végrehajtásának a menetét! 

• Mit értünk mérési jegyzet alatt? 

• Mit értünk mérési vázlat és tömbrajz alatt? 

• Ismertesse példákon keresztül az ortogonális részletmérés során végrehajtandó ellenőrző és 

kiegészítő méréseket! 

• Készítsen ábrát a háromszög alapú szögprizma sugármenetéről! 

• Igazolja, hogy két síktükörből álló tükörrendszer esetén a rendszerbe beérkező és onnan kilépő 

fősugár egymással kétszer akkora szöget zár be, mint a síktükrök egymással bezárt lapszöge! 

• Ismertesse a szögprizmával történő egyenesbe állás menetét! 

• Ismertesse a talppontkeresés szögprizmával történő menetét! 

16




Szögmérés 


1

Irodalom 

• Krauter A. : 5-1…5-17., 5-23…5-46. 

• Tánczos L.: 119-191. 

2

Szögmérés 

• Vízszintes szögmérés / iránymérés 

• Magassági szögmérés 

• Definíciók 

V 

V 

Zenitszög 

Magassági szög 

3

Szögmérés – A teodolit 

4

Zeiss THEO 010 A Wild T2 (1950) 

5

Szögmérés - követelmények 

• Állótengely függőleges - libella 

• Fekvőtengely vízszintes 

• Állótengely merőleges a vízszintes körre 

• Fekvőtengely merőleges a magassági körre 

• Fekvőtengely merőleges az állótengelyre 

• Állótengely meghosszabbítása menjen át a szög 

csúcsán – vetítő berendezések 

• Irányzás végrehajtása – távcső, geodéziai 

távcső 

• Szögleolvasás végrehajtása - 

leolvasóberendezések 

6

7 

Műszertalp 

Alhidádé

Műszertalpak - szabvány 

Sokkia - Japán 

Leica - Svájc 

Topcon - Japán 

9

Libellák 

10

Libellák 


11

Libellák 


12

Műveletek libellákkal - Libella elforgatása 1 


13

Műveletek libellákkal - Libella elforgatása 2 


14

Műveletek libellákkal 

• Libella átfektetése 

• Libella billentése 

15

Állótengely függőlegessé tétele 

I. főirány II. főirány 

16




Szögmérés 


1

A teodolit szerkezeti elemei 

Irányzó dioptra 

Geodéziai távcső 

Okulár 

Parallaxis csavar 

Magassági kör 

Megvilágító berendezés 

Alhidádé oszlop 

Csöves libella 

Szelencés libella 

Limbuszkör elforgató 

csavarja (THEO 010) 

Leolvasó mikroszkóp 

Koincidencia csavar 

(THEO 010) 

Vízszintes / magassági 

kötőcsavar 

Vízszintes / magassági 

paránycsavar 

Talpcsavar 

Talplemez 

Tánczos L.: Általános geodézia. p 119. - 127. 

Összekötőcsavar 

anyája 

2

A teodolit szerkezeti elemei 

Objektív 

Optikai vetítő 

3

A műszerállvány 

Műszerállvány-fejezet 

Összekötőcsavar 

Lemezke 

Szorító csavar 

Taposó saru 

Tánczos L.: Általános geodézia. p 121. - 123. 

4

A teodolit szerkezeti elemei – geodéziai távcső 

diafragma gyűrű 

5 

Csepregi Sz. (2000): Földméréstan I.

A teodolit szerkezeti elemei – geodéziai távcső 

• Parallaxis fogalma 

észlelő szálsík képsík 

észlelő 

képsík 

szálsík 

Tánczos L.: Általános geodézia. p 90.-91. 

6

A teodolit szerkezeti elemei – állótengely 

Félkinematikus állótengely 

Zeiss, Leica 

Hengeres állótengely 

csapággyal alátámasztva 


Fialovszky L. (1979): Geodéziai műszerek 

7

A teodolit szerkezeti elemei – állótengely 

• Szorzó rendszerű 

•Ismétlő rendszerű 

8

A teodolit szerkezeti elemei – leolvasóberendezések 

• Alapelv 

• Irányérték fogalma 

0 

főleolvasás 

csonkaleolvasás 

„index” 


Főleolvasás + csonkaleolvasás 

9


• Becslő 

• Beosztásos 

• Optikai mikrométeres 

• Koincidenciás 


10


• Becslő 

41 42 

41˚ 36’ 


11


• Beosztásos 

2 41 

0 1 2 3 4 5 6 

41˚ 56’ 06” 


12


• Optikai mikrométeres / koincidenciás 

• Alapelv 

• Követelmény 


13

A teodolit szerkezeti elemei – optikai mikrométer 


14

A teodolit szerkezeti elemei – koincidenciás 

leolvasómikroszkóp elve 

≈ 52˚26’ 

51 52 53 

≈ 232˚26’ 

232 233 234 

232 233 234 

50 0 10 2 

5 6 6 


52˚ 26’ 04” 

15


• Leolvasás előtt vizsgálandó: 

–Főbeosztás legkisebb osztásköze 

– Segédbeosztás / mikrométerosztások osztásköze 

• Feltétel: leolvasás parallaxis-mentes látómező 

mellett 


16

A teodolit szerkezeti elemei – optikai vetítő 

• Alhidádéba épített 

• Műszertalpba épített 


17

A teodolit szerkezeti elemei – 

kötő- és paránycsavarok (irányítócsavarok) 

• Tengelyes kötés 

• Kerületi kötés 

Tánczos L.: Általános geodézia. p 133. 

18




Szögmérés 


1

Mérési módszerek 

• Iránymérés 

– Iránysorozat-mérés 

• Szögmérés 

– Egyszerű szögmérés 

– Szögmérés minden kombinációban 

• Alapfogalmak 

– Távcsőállás, forduló 

2

Iránysorozat-mérés végrehajtása 

• Mérendő irányok kiválasztása, iránysorozat 

összeállítása 

• Kezdőirány kiválasztása 

• Irányok mérése az óramutató járásával egyező 

értelemben, kezdés a kezdőiránnyal 

• Horizontzárás 

• Második távcsőállás 

• Irányok mérése az óramutató járásával 

ellentétes értelemben, kezdés a kezdőiránnyal 

• Horizontzárás 

3

Iránysorozat-mérés végrehajtása 

I. távcsőállás 

II. távcsőállás 

4

Iránysorozatmérés feldolgozása 

• I. és II. távcsőállás számítása 

(koincidenciás) 

• Két távcsőállás különbségének számítása 

– (kollimáció hiba, ld. később) 

• Irányérték számítása 

• Horizontzárás ellenőrzése - hibahatár 

• Nullára forgatás számítása (általában csak 

több forduló esetén) 

5

Több fordulóban végzett iránysorozatmérés 

végrehajtása 

• Szükségesség 

• Limbuszkör elforgatása 

– 180 / fordulók száma 

• Mikrométer dob elforgatása 

– ≈ mérési tartomány / fordulók száma 

6

Egyszerű szögmérés végrehajtása 

1 

2 

7

Minden kombinációban végzett szögmérés 

végrehajtása 

1 

2 

•1-2 

•1-3 

•1-4 

•2-3 

•2-4 

•3-4 

4 

Szögek száma : 

3 

n 

n 

− 1 

2 

8

Külpontos mérések központosítása 

• Iránymérések központosítása 

• Távmérések központosítása 

9

Külpontos mérések központosítása - iránymérés 

Adott : K (y K ;x K ), T(y T ;x T ) 

T 

Mért : l K , l T , r 

Számítandó: l KT 

Számított: t, ε 

t 

η 

η 

l KT 

l T 

K 

ε 

0 

r 

0 

l T 

l K 

E 

10

Külpontos mérések központosítása - távmérés 

Adott : K (y K ;x K ) 

T 

Mért : l K , l T , r, t’ 

Számított: ε 

Számítandó : t 

t 

t ’ 

0 

K 

r 

l T 

l K 

ε 

E 

Számítás menete általános esetben 

1. Távmérés központosítása 

2. Iránymérés központosítása 

11

Külpontos mérések központosítása - iránymérés 

• Külpontos iránymérés végrehajtása 

– Külpont-központ távolság mérése 

– I. távcsőállás mérése a központ kivételével, 

horizontzárás 

– Központ mérése I. távcsőállásban 

– Központ mérése II. távcsőállásban 

– II. távcsőállás mérése a központ kivételével, 

horizontzárás 

12


Magassági szögmérés 


1

Irodalom 

• Krauter A. : 5-33…5-36, 5-41. (Csak kompenzátoros 

műszer) 

• Tánczos L.: 193-203. (Csak kompenzátoros műszer) 

2

Alapelv 

• Magasság meghatározása 

–1D 

–3D 

• Definíció 

3

Magassági kör szerkezete 

• Számozás 

• Konstrukciós megoldás 

• Index beállítása 

– Kompenzátor 

4

Magassági kör szerkezete-kompenzátor 

Tánczos L.(2002): Általános geodézia. 193-197. 

5 

Fialovszky L. (1979): Geodéziai műszerek. 272-276.

Magassági kör szerkezete – Zeiss THEO kompenzátor 

Okulár 

Rugós 

felfüggesztés 

Indexlemez 

Objektív 

Ingatest 

Lengéscsillapító 

6 

Fialovszky L. (1979): Geodéziai műszerek. 275. alapján

Magassági kör szerkezete-szerkezeti hibák 

• Indexhiba 

– Kompenzátor igazítási hibája 

– Ékelési hiba 

7

Magassági szögmérés végrehajtása 

• Klasszikusan 

– Irányméréstől függetlenül 

– Eltérés az irányméréstől 

• I.távcsőállás 

• II. távcsőállás 

– Mai mérési technika: mérőállomásokkal 

egyidejű irány és magassági szögmérés 

8

0 

0 

Magassági szögmérés végrehajtása 

I. távcsőállás II. távcsőállás 

index 

index 

270 90 

90 270 

180 

180 

z I + z II = 360˚ 

9

Magassági szögmérés végrehajtása-indexhiba 

I. távcsőállás II. távcsőállás 

∆ i 

90 270 

Index (képe) 

z I ’ 

∆ i 

270 90 

Index (képe) 

z II ’ 

∆ é 

∆ é 

0 

0 

180 

180 

z I = z I ’+ ∆ i + ∆ é 

z II = z II ’+ ∆ i - ∆ é 

10

Zenitszög számítása 

z 

I 

+ z 

II 

= z 

' 

I 

+ 

∆ 

i 

+ 

∆ 

é 

+ z 

' 

II 

+ 

∆ 

i 

- 

∆ 

é 

= 

' 

= zI 

+ zII 

+ 2∆i 

' 

= 360° 

∆ i 

= 

360° 

- 

( 

' ' 

) 

2 

z 

I 

+ z 

II 

z 

' 

I = zI 

+ 

∆ 

i 

11


• Ismertesse a mérési eredmények feltüntetésének eseteit ábrán is szemléltetve azokat! 

• Mit értünk vízszintes szög alatt? 

• Mit nevezünk zenitszögnek? 

• Mit nevezünk magassági szögnek? 

• Ismertesse a teodolit főbb szerkezeti elemeit és azok funkcióját! 

• Ismertesse a műszerállvány szerkezeti elemeit és azok funkcióját! 

• Mi a csöves libella és a szelencés libella közötti különbség származtatásuk szempontjából? 

• Mit értünk a libella állandóján? 

• Mit nevezünk a libella érzékenységének? 

• Ismertesse a libella nevezetes pontjait! 

• Mikor beszélünk a libella igazítási hibájáról? 

• Ismertesse a libella elforgatásával végezhető műveleteket! 

• Ismertesse az állótengely függőlegessé tételét! 

• Ismertesse a belső képállítású geodéziai távcső főbb részeit? 

• Milyen célt szolgál a diafragma gyűrű? 

• Mit értünk parallaxis alatt? 

• Hogyan vizsgáljuk meg a parallaxis létét irányzáskor? 

• Ismertesse a félkinematikus állótengely kialakításának elvét! 

12


• Mi a különbség a szorzó és az ismétlő tengelyrendszer között? 

• Mit nevezünk főleolvasásnak? 

• Mit nevezünk csonkaleolvasásnak? 

• Mit nevezünk irányértéknek? 

• Ismertesse az optikai mikrométer elvén alapuló leolvasó berendezéseket! 

• Ismertesse a koincidenciás leolvasó berendezések elvét! 

• Milyen feltételnek kell teljesülni optikai mikrométeres vagy koincidenciás leolvasó berendezés 

esetén? 

• Ismertesse az optikai vetítők típusait! 

• Ismertesse a pontraállás optikai vetítővel történő végrehajtását! 

• Mit értünk iránysorozatmérés alatt? 

• Mit értünk egyszerű szögmérés alatt? 

• Mit értünk minden kombinációban történő szögmérés alatt? 

• Mit nevezünk távcsőállásnak? 

• Mit nevezünk fordulónak? 

• Mit értünk horizontzárás alatt? 

• Ismertesse az iránysorozatmérés végrahajtásának menetét! 

• Ismertesse az egy fordulóban végzett iránymérés feldolgozásának lépéseit! 

• Mit értünk nullára forgatás / nullára forgatott irányérték alatt? 

13


• Ismertesse a több fordulóban végzett iránysorozatmérés végrehajtásának a menetét! 

• Ismertesse a külpontosan mért távolságok központosításának elvét és a számítás menetét! 

• Ismertesse a külpontosan mért irányok központosításának elvét és a számítás menetét! 

• Ismertesse a magassági kör szerkezeti megoldásának főbb sajátosságait! 

• Ismertesse a magassági kör kompenzátorának működési elvét! 

• Mit nevezünk kompenzálási hibának? 

• Mit nevezünk ékelési hibának? 

• Ismertesse a magassági szögmérés végrehajtásának a menetét! 

• Hogyan számoljuk a zenitszöget két távcsőállásban végzett mérések alapján? Válaszát indokolja! 

14


Vízszintes és magassági 

szögmérés szabályos hibái 


1

Mérési hibákról általában 

• Mérési eredményeket mindig hibák 

terhelik 

• Hibák forrása különböző, így más és más 

módon hatnak a mérési eredményekre 

• Hibák csoportosítása 

– Eredet szerint 

– Jelleg szerint 

2

Mérési hibák csoportosítása 

• Eredetük szerint 

–Műszerhibák 

–Külső körülményekből adódó hibák 

– Személyi hibák 

3

Mérési hibák csoportosítása 

• Jellegük szerint 

– Durva hibák 

• Pl. téves irányzás 

• Téves leolvasás 

– Szabályos hibák 

• Értékük (trendjük) valamilyen szabályosságot mutat 

• Pl. kollimáció hiba, indexhiba 

– Véletlen (szabálytalan) hibák 

• Előfordulások a véletlen következménye, leírásuk 

valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapon 

történik 

4

Szabályos hibák figyelembevétele 

• Mérési módszer 

• Számítás 

•Műszer igazítása 

5

Vízszintes szögmérés szabályos 

hibaforrásai 

•Műszerhibák 

– Szálferdeség 

– Kollimáció hiba 

–Fekvőtengely ferdeségi hibája 

– Távcső külpontossága 

– Limbuszkör külpontossági hibája 

– Limbuszkör ferdeségi hibája 

– Limbuszkör osztáshibája 

– Leolvasóberendezés nagyítási hibája 

6

Vízszintes szögmérés szabályos 

hibaforrásai 

•Külső körülményekből eredő hibák 

– Állványelcsavarodás 

– Refrakció ⇒ oldalrefrakció 

•Műszer felállításából eredő hibák 

– Állótengely ferdeségi hibája 

– Pontraállás hibája 

7


Geodéziai számítások 

Álláspont tájékozása 


1

Vízszintes helymeghatározás - alapelv 


két szög és két ismert koordinátájú 

pont alapján 

2



két távolság és két ismert 

koordinátájú pont alapján 

3



egy szög, egy távolság és egy ismert 

pont koordinátái alapján 

4

Geodéziai koordinátarendszer – 2D 

• Koordinátarendszer kezdőpontja (ϕ 0 , λ 0 ) 

• Koordinátarendszer kezdőiránya (α) 

α 

+ X 

+ 

0 

+ Y 

5

Geodéziai számítások – 2D 

• Síkbeli koordinátarendszer ≡ vetületi 

koordinátarendszer 

Mérési eredmények az alapfelületen (szög, távolság) 

Vetítés (ld. Vetülettan, 2. félév) 

- Redukált mérési eredmények a vetületi síkon 

- Síkbeli számítások a vetületi síkra vonatkozó 

redukált mérési eredményekkel történik 

6

Irányszög- és távolság számítása 

- + 

δ 

α 

δ 

+ X 

α 

α α δ 

+ + 

+ 

+ Y 

α = tan 

-1 

Yi 

- Y 

X - X 

AP 

I. δ = α 

II. δ = 180 - l α l 

III. δ = 180 + α 

IV.δ = 360 - l α l 

i 

AP 

- - 

+ - 

7


• A mért irányok koordinátarendszerben elfoglalt helyzete 

nem ismert 

• Szükséges olyan pontokon/pontokra mérni amelyek 

koordinátái (⇒irányszög) ismertek 

• Az ismert irányszögek és a mért irányértékek alapján 

levezethető a limbuszkör nulla osztásához tartozó irány 

koordinátarendszerbeli helyzete, az ún. tájékozási 

szög, amelynek ismeretében az ismeretlen koordinátájú 

pontokra menő irányok tájékozott irányértékei 

számíthatók 

8


T 

z 

0 

δ T 

l T 

δ’ P 

• Adott 

–A(Y A ,X A ), T(Y T ,X T ) 

• Mért 

A 

l P 

–l T , l P 

• Számítandó 

– δ’ P 

P 

9

Számítás menete 

T 

z 

δ T 

0 

l T 

δ’ P 

A 

l P 

P 

10

Tájékozás több tájékozó irány esetén 

T 1 

z T1 

z K 

z T2 

z T3 

A 

T 3 

0 

P 

T 2 

11

Tájékozás több tájékozó irány esetén - 

számítás menete 

• Irányszög és távolság számítása a tájékozó irányokra 

vonatkozóan 

• Tájékozási szögek számítása 

• Iránysúlyok számítása 

• Középtájékozási szög számítása 

• Irányeltérések számítása 

• Számítási ellenőrzés 

• Lineáris eltérések számítása 

12

Poláris pontszámítás 

Y 

X 

P 

P 

= Y 

= X 

A 

A 

+ tsinδ 

' 

P 

+ t cos δ 

' 

P 

z 

0 

δ’ P 

l P 

X A 

Y A 

t 

A 

X P 

P 

Y P 

13

Tájékozás vektoros megoldási módszere 

R x 

p T1 

Z 

z T2 

p T2 

z T3 

p T3 

z T4 

p T4 

R 

K 

z T1 

R 

R 

Y 

X 

= 

= 

tan z 

∑ 

∑ 

K 

p 

p 

T 

i 

T 

i 

R 

= 

R 

sin z 

T 

cos z 

Y 

X 

i 

T 

i 

R Y 

14



Koordináta transzformációk 


1

Koordináta transzformációk 

• Koordináták különböző koordináta 

rendszerekben adottak 

• Osztályozás 

– Helymeghatározás dimenziója alapján: 2D, 

3D 

– Kapcsolat típusa: alkalmazott funkcionális 

modell 

• Hasonlósági 

• Affin 

•Stb. 

2

Síkbeli koordináta transzformációk 

-hasonlósági transzformáció- 

i 

Eltolás 

i 

Forgatás 

Nagyítás l i l= lj l 

j 

4 paraméter 

j 

3


-affin transzformáció- 

i 

Eltolás 

Forgatás 

i 

Nagyítás l i l ≠ l j l 

Merőlegességi eltérés 

j 

6 paraméter 

j 

4

• Eltolás (X,Y,Z) 

• Forgatás(X,Y,Z) 

• Méretarány 

Térbeli transzformációk 

-térbeli hasonlósági transzformáció- 

7 paraméter 

5

• oszlop(A)=sor(B) 

• C = A ⋅ B 

(n,r) 

(n,m) (m,r) 

Mátrixok szorzása 

A 

m 

m 

B 

r 

= 

C 

r 

n 

n 

c 

ik 

= 

n 

r 

m 

∑∑∑ 

i= 1 k= 1 j= 

1 

a 

ij 

b 

jk 

6

Mátrixok szorzása-példa 

A= 

3 2 

1 2 

0 2 

1 3 

Pl. 

Pascal 

B= for i:=1 to n do 

-1 2 

Begin 

for k:=1 to r do 

1 13 

Begin 

C[i,k]:=0; 

-1 7 

for j:=1 to m do 

Begin 

-2 4 

C[i,k]:=C[i,k]+A[i,j]*B[j,k]; 

end; 

end; 

end; 

7

Mátrix inverze 

1 0 0 0 0 0 

A 

-1 

A 

= 

E 

= 

0 1 0 0 0 0 

0 0 1 0 0 0 

0 0 0 1 0 0 

0 0 0 0 1 0 

0 0 0 0 0 1 

Ortogonális mátrix: 

A 

A -1 

= 1 

= A 

T 

8


-hasonlósági transzformáció- 

X ’ 

X 

r ' = Y ' ⋅ j ' + 

Y = r ⋅ j = r ' ⋅ 

X = r ⋅ i = r ' ⋅i 

= 

X ' ⋅i 

' 

j = 

r 

( Y ' ⋅ j ' + X ' ⋅ i ') 

⋅ j = Y ' ⋅ j ' ⋅ j + X ⋅' 

i ' 

( Y ' ⋅ j ' + X ' ⋅ i ') ⋅i 

= Y ' ⋅ j ' ⋅ i + X ' ⋅ i ' ⋅ i 

⋅ 

j 

r ’ 

Y ’ 

+α 

i 

i ’ 

j ’ 

+α 

Y 

j 

9

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció- 

Viszont : 

j' 

⋅ j = cosα 

i' 

⋅ j = cos 

j' 

⋅i 

= cos - 

i ' ⋅i 

= cosα 

( 90 + α) 

= -sinα 

[ ( 90 - α) 

] = cos( 90 - α) 

= 

sinα 

Azaz: 

Y = Y ' ⋅cosα 

- X ' ⋅ sinα 

X = Y ' ⋅ sinα + X ' ⋅ cosα 

⇒ Egybevágósági transzformáció 

10


Méretarány figyelembevétele 

s = 

j 

j ' 

≡ 

i 

i 

' 

Így: 

Y = r 

X = r 

⋅ j = r ' ⋅ 

j = 

⋅ i = r ' ⋅ i = 

( Y ' ⋅ j ' + X ' ⋅ i ') 

⋅ j = Y ' ⋅ s ⋅ j ' ⋅ j + X ' ⋅ s ⋅ i ' ⋅ j 

( Y ' ⋅ j ' + X ' ⋅i 

') ⋅i 

= Y ' ⋅ s ⋅ j ' ⋅i 

+ X ' ⋅ s ⋅ i ' ⋅ i 

Azaz: 

Y = s ⋅ Y ' ⋅ cosα 

- s ⋅ X ' ⋅ sinα 

X = s ⋅ Y ' ⋅ sinα + s ⋅ X ' ⋅ cosα 

11


⎡Y⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣X⎦ 

= 

⎡cosα 

s ⋅ ⎢ 

⎣ sinα 

− sinα 

cosα 

⎤ 

⎥ ⋅ 

⎦ 

⎡Y' 

⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣X' 

⎦ 

⇒ 

Y 

= 

s ⋅R 

⋅ Y' 

Forgató mátrix tulajdonságai: 

1. 

R 

= 

cosα 

− sinα 

2 

= cosα ⋅cosα − 

sinα 

cosα 

2 

( − sinα) ⋅ sinα = cos α + sin α = 1 

− −1 

T ⎡ cosα 

sinα 

⎤ 

⇒ R = R = ⎢ 

⎥ 

⎣− 

sinα 

cosα 

⎦ 

R = R 

1 T 

2. 

12

Síkbeli koordináta transzformációk - hasonlósági transzformáció 

A méretaránytényező értelmezési és 

megadási módjai 

s = 1.000 045 ⇒ ha az egységnyi távolság = 1km 

s ⋅ 1000 [m]= 1000,045 m ≡ + 45 mm/km 

s = 0.999 942 ⇒ ha az egységnyi távolság = 1km 

s ⋅ 1000 [m]= 999,942 m ≡ - 58 mm/km 

• Megadási mód 

– méretarányszám 

– egységnyi távolságra vonatkozóan pl. mm/km, 

cm/km, stb. 

13

X 


Eltolás figyelembevétele 

X ’ 

r ’ 

r 

Y ’ 

+α 

T X 

i 

t 

j 

i ’ 

T Y 

j ’ 

+α 

⎡Y⎤ 

⎢ ⎥ = 

⎣X⎦ 

⎡T 

⎢ 

⎣T 

Y 

X 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

+ 

⎡cosα 

s ⋅ ⎢ 

⎣ sinα 

− sinα 

cosα 

⎤ 

⎥ ⋅ 

⎦ 

⎡Y' 

⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣X' 

⎦ 

(1) 

14 

Y


Inverz transzformáció 

Y 

= R ⋅ Y' ⇒ Y' 

= R 

−1 ⋅ Y 

⎡Y' 

⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣X' 

⎦ 

= 

⎡ cosα 

⎢ 

⎣− 

sinα 

sinα 

⎤ ⎡ ⎤ 

⎥ ⋅ Y 

cosα 

⎢ ⎥ 

⎦ ⎣X⎦ 

= 

⎡ Y ⋅ cosα + X ⋅ sinα 

⎤ 

⎢ 

⎥ 

⎣− 

Y ⋅ sinα + X ⋅ cosα⎦ 

15



– Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak 

számítása 

–Derékszögű kitűzési méretek számítása 

16

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak 

számítása 

X 

Adott: K (Y k ;X k ), V(Y v ;X v ) 

b 

+α 

δ 

a - 

P 

b 

Mért: a, b,….., t mért 

( ) 

(t mért ) 

V 

a 

Y K 

K 

X K 

δ = f 

Y 

K 

α = 90 - δ 

,X 

K 

,Y 

V 

Y 

, X 

17 

V

Ortogonálisan bemért pontok koordinátáinak számítása 

Méretaránytényező értelmezése 

t szám ≠ 

t mért 

• Mérési hibák 

• Kerethibák 

t szám 

V 

(t mért ) 

K 

Méretaránytényező: 

s = 

t 

t 

szám 

mért 

18


Forgató mátrix elemei : 

R 

= 

⎡cosα 

⎢ 

⎣ sinα 

Alkalmazva (1)-et: 

− sinα⎤ 

cosα 

⎥ 

⎦ 

= 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

cos 

( 90 − δ) − sin( 90 − δ) 

⎤ ⎡ sinδ 

− cosδ⎤ 

= 

( − δ) cos( 90 − δ) ⎥ ⎢ 

cosδ 

sinδ 

⎥ ⎦ 

sin 90 

⎦ 

⎣ 

⎡YP 

⎢ 

⎣ X 

P 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

= 

⎡Y 

⎢ 

⎣X 

K 

K 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

+ 

⎡ sinδ 

s ⋅ ⎢ 

⎣cosδ 

− cosδ 

sinδ 

⎤ 

⎥ ⋅ 

⎦ 

⎡a⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣b⎦ 

Kifejtve: 

Y 

= 

P 

Y 

= Y 

K 

+ 

K 

Y 

+ s ⋅ sinδ ⋅a 

− s ⋅ cosδ ⋅b 

= 

V 

− Y 

t 

m 

K 

⋅a 

− 

X 

V 

t 

− 

m 

X 

K 

⋅b 

= 

Y 

Y 

K 

K 

+ 

t 

t 

m 

Y 

V 

− Y 

t 

+ r ⋅ a − m ⋅b 

K 

⋅a 

− 

t 

t 

m 

X 

V 

− 

t 

X 

K 

⋅b 

= 

19

20 


Összefoglalva: 

( ) ( ) δ 

δ + 

⋅ 

= 

δ 

⋅ 

+ 

δ 

⋅ 

= 

+ 

= 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

cos 

sin 

s 

cos 

s 

sin 

s 

m 

r 

s 

Méretaránytényező számítása a paraméterekből 

b 

r 

a 

m 

X 

b 

t 

Y 

Y 

a 

t 

X 

X 

X 

b 

t 

Y 

Y 

t 

t 

a 

t 

X 

X 

t 

t 

X 

b 

sin 

s 

a 

cos 

s 

X 

X 

K 

m 

K 

V 

m 

K 

V 

K 

K 

V 

m 

K 

V 

m 

K 

K 

P 

⋅ 

+ 

⋅ 

+ 

= 

⋅ 

− 

+ 

⋅ 

− 

+ 

= 

= 

⋅ 

− 

+ 

⋅ 

− 

+ 

= 

δ ⋅ 

⋅ 

+ 

δ ⋅ 

⋅ 

+ 

= 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎥ ⋅ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

− 

+ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

= 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

b 

a 

r 

m 

m 

r 

X 

Y 

X 

Y 

K 

K 

P 

P


Számítás lépései 

• Transzformációs paraméterek (r,m), valamint a 

méretaránytényező számítása 

• Koordinátákból számított és a mért mérési vonal 

hosszának összehasonlítása 

• Részletpontok koordinátáinak a számítása 

21


Abszcissza és ordináta 

előjelek értelmezése 

+b 

+a 

-b -a 

-a 

-b 

+a 

+b 

22

= m = s = 


Gyakorlati számítás 

Pontszám 

a 

b 

Y 

X 

K 

Y K 

X K 

1 

a 1 

b 1 

Y 1 

X 1 

2 

a 2 

b 2 

Y 2 

X 2 

… 

… 

… 

V 

t mért 

Y V 

X V 

t mért -t 

t 

Y V -Y K 

X V -X K 

23


Szabad mérési vonal 

X 

b 

K 

b K 


Mért: a K , b K ,a V ,b V , a, b…. 

P 

a K - a - 

a V - 

b 

V 

b V 

a 

T X 

Y 

T Y 

24



(4)-(2): 

(5)-(3): 

Y 

X 

Y 

X 

Y 

X 

K 

K 

V 

V 

V 

V 

= (2) 

= 

T 

T 

Y 

= T 

= T 

− 

− 

Y 

K 

X 

K 

X 

Y 

X 

+ r ⋅ a 

K 

+ m ⋅ a 

+ r ⋅ a 

V 

+ m ⋅ a 

= r ⋅ 

= 

m 

− m ⋅b 

K 

− m ⋅b 

V 

K 

+ r ⋅b 

K 

V 

+ r ⋅b 

V 

(3) 

(4) 

(5) 

( aV 

− aK 

) − m ⋅ ( bV 

− bK 

) 

⋅ ( a − a ) + r ⋅ ( b − b ) 

V 

K 

V 

K 

⇒ 

∆Y 

∆X 

= 

= 

r ⋅ ∆a 

− m ⋅ ∆b 

m ⋅ ∆a 

+ r ⋅ ∆b 

(6) 

(7) 

(6) ⇒ 

m 

r ⋅ ∆a 

− ∆Y 

= 

(8) 

∆b 

25

(8)-at (7)-be helyettesítve: 



∆X 

= 

r ⋅ ∆a 

− ∆Y 

∆b 

⋅ ∆a 

+ r ⋅ ∆b 

= 

r ⋅ ∆a 

2 

− ∆Y 

⋅ ∆a 

+ r ⋅ ∆b 

∆b 

2 

∆X 

⋅ ∆b 

= 

r 

⋅ ∆a 

2 

− ∆Y 

⋅ ∆a 

+ r 

⋅ ∆b 

2 

= 

r 

⋅ 

( 

2 2 

∆a 

+ ∆b 

) − ∆Y 

⋅ ∆a 

r 

∆Y 

⋅ ∆a 

+ ∆X 

⋅ ∆b 

= (9) 

∆a 

2 

+ ∆b 

2 

26



(9)-et (8)-ba helyettesítve: 

∆Y 

⋅ ∆a 

+ ∆X 

⋅ ∆b 

⋅ ∆a 

− ∆Y 

2 2 

m = ∆a 

+ ∆b 

= 

∆b 

= 

= 

∆Y 

⋅ ∆a 

2 

( 

2 2 

∆a 

+ ∆b 

) 

∆Y 

⋅ ∆a 

2 

+ ∆X 

⋅ ∆b 

⋅ ∆a 

∆Y 

− = 

⋅ ∆b 

∆b 

+ ∆X 

⋅ ∆b 

⋅ ∆a 

− ∆Y 

⋅ ∆a 

∆Y 

⋅ ∆a 

2 

( 

2 2 

∆a 

+ ∆b 

) 

( 

2 2 

) 

2 2 

∆a 

+ ∆b 

⋅ ∆b 

∆a 

+ ∆b 

2 

2 

∆Y 

⋅ ∆a 

+ ∆X 

⋅ ∆b 

⋅ ∆a 

− ∆Y 

2 2 

∆a 

+ ∆b 

= 

∆b 

− ∆Y 

⋅ ∆b 

+ ∆X 

⋅ ∆b 

⋅ ∆a 

− ∆Y 

⋅ 

2 

= 

⋅ ∆b 

∆X 

⋅ ∆a 

− ∆Y 

⋅ ∆b 

( 

2 2 

∆a 

+ ∆b 

) 

= 

27



T X 

X 

b 

K 


P 

(a P -a k )- 

a K - a - 

a V - 

b K 

b P -b K 

b 

V 

b V 

Számítandó minden egyes pont 

„kezdőpontra” vonatkozó abszcissza és 

ordináta különbsége 

Y 

X 

P 

P 

= 

Y 

K 

= X 

K 

+ r ⋅ 

+ m 

( aP 

− aK 

) − m⋅ 

( bP 

− bK 

) 

⋅ ( a − a ) + r ⋅ ( b − b ) 

P 

K 

P 

K 

Y 

a 

T Y 

28


Szabad mérési vonal - számítás lépései 

• Transzformációs paraméterek (r,m), valamint a 

méretaránytényező számítása 

• Koordinátákból számított és a mért mérési vonal 

hosszának összehasonlítása 

2 

( t ) = ( a − a ) + ( b − b ) 

t 

mért 

= 

∆ = 

2 

( YV 

− YK 

) + ( X 

V 

− XK 

) 

( t ) − t 

mért 

V 

K 

• Részletpontok koordinátáinak a számítása 

V 

2 

K 

2 

29

= m = s = 


Gyakorlati számítás - szabad mérési vonal 

Pontszám 

a 

b 

a i 

-a K 

b i 

-b K 

Y 

X 

K 

a K 

b K 

Y K 

X K 

1 

a 11 

b 2 

a 1 

-a K 

b 1 

-b K 

Y 1 

X 1 

2 

a 12 

b 2 

a 2 

-a K 

b i 

-b K 

Y 2 

X 2 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

V 

a V 

b V 

a V 

-a K 

b V 

-b K 

Y V 

X V 

( t mért 

) 

t 

Y V 

-Y K 

X V 

-X K 

30

X 

Derékszögű kitűzési méretek számítása 


P (Y P ;X P ) 

b 

+α 

δ 

a - 

P 

b 

(t ) 

V 

a 

K 

Y K 

X K 

Y 

31


⎡YP 

⎢ 

⎣ X 

P 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎡Y 

= ⎢ 

⎣X 

s=1, így ⇒ 

K 

K 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎡ sinδ 

+ s ⋅ ⎢ 

⎣cosδ 

− cosδ 

sinδ 

⎤ 

⎥ ⋅ 

⎦ 

⎡a⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣b⎦ 

⎡ Y 

⎢ 

⎣X 

P 

P 

− 

− 

Y 

X 

K 

K 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

= 

⎡ sinδ 

⎢ 

⎣cosδ 

− cosδ 

sinδ 

⎤ 

⎥ ⋅ 

⎦ 

⎡a⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣b⎦ 

Alkalmazva a 15. fólia összefüggéseit: 

⎡a⎤ 

⎡ sinδ 

⎢ ⎥ = ⎢ 

⎣b⎦ 

⎣− 

cosδ 

a 

b 

= 

= − 

cosδ 

sinδ 

⎤ 

⎥ ⋅ 

⎦ 

⎡ Y 

⎢ 

⎣X 

P 

P 

− Y 

− X 

( YP 

− YK 

) ⋅ sinδ + ( XP 

− XK 

) ⋅cos 

( Y − Y ) ⋅cos+ 

( X − X ) ⋅ sinδ 

P 

K 

P 

K 

K 

K 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

δ 

32



sin δ = cosδ = 

Pontszám 

Y 

X 

a 

b 

K 

1 

Y 1 

X 1 

a 1 

b 1 

2 

Y 2 

X 2 

a 2 

b 2 

… 

… 

… 

V 

Y V 

X V 

t 

Y V -Y K 

X V -X K 

33


Kitűzési vázlat készítése 

34


-Affin transzformáció 

X ’ 

X 

r ' = Y ' ⋅ j ' + 

Y = r ⋅ j = r ' ⋅ 

X = r ⋅ i = r ' ⋅i 

= 

X ' ⋅i 

' 

j = 

r 

( Y ' ⋅ j ' + X ' ⋅ i ') 

⋅ j = Y ' ⋅ j ' ⋅ j + X ⋅' 

i ' 

( Y ' ⋅ j ' + X ' ⋅ i ') ⋅i 

= Y ' ⋅ j ' ⋅ i + X ' ⋅ i ' ⋅ i 

⋅ 

j 

r ’ 

Y ’ 

+ϕ 

+α 

i 

i ’ 

j ’ 

+(α+ϕ) 

Y 

j 

35

Síkbeli koordináta transzformációk - affin transzformáció 

Viszont : 

j' 

⋅ j = cos 

i' 

⋅ j = cos 

j' 

⋅i 

= cos - 

i ' ⋅i 

= cosα 

( α + ϕ) 

( 90 + α) 

= -sinα 

[ ( 90 - ( α + ϕ) 

)] = cos( 90 - ( α + ϕ) 

) = sin( α + ϕ) 

Azaz: 

Y = Y ' ⋅ cos 

X = Y ' ⋅ sin 

( α + ϕ) 

- X ' ⋅ sinα 

( α + ϕ) + X ' ⋅ cos α 

36


Méretarány figyelembevétele 

s Y 

= 

j 

j ' 

s X 

= 

i 

i ' 

Így: 

Y = r 

X = r 

⋅ j = r ' ⋅ 

j = 

⋅ i = r ' ⋅ i = 

( Y ' ⋅ j ' + X ' ⋅ i ') 

⋅ j = Y ' ⋅ s 

Y 

⋅ j ' ⋅ j + X ' ⋅ s 

X 

⋅ i ' ⋅ j 

( Y ' ⋅ j ' + X ' ⋅i 

') ⋅i 

= Y ' ⋅ s ⋅ j ' ⋅i 

+ X ' ⋅ s ⋅ i ' ⋅ i 

Y 

X 

Azaz: 

Y = Y ' ⋅ s 

X = Y ' ⋅ s 

Y 

Y 

⋅ cos 

⋅ sin 

( α + ϕ) 

- X ' ⋅s 

X 

⋅ sinα 

( α + ϕ) + X ' ⋅s 

⋅ cosα 

X 

37



Y = T 

X = T 

Y 

X 

+ 

+ 

Y ' ⋅ s 

Y ' ⋅ s 

Y 

Y 

⋅ cos 

⋅ sin 

( α + ϕ) 

- X ' ⋅s 

⋅ sinα 

( α + ϕ) + X ' ⋅s 

⋅ cosα 

X 

X 

38


Szakirodalomban található jelölések 

Y = T 

X = T 

Y 

X 

+ a ⋅ Y ' + b ⋅ 

+ c ⋅ Y ' + d⋅ 

X ' 

X ' 

Ahol: 

a = s 

b 

c 

= −s 

= s 

d = s 

Y 

Y 

X 

⋅cos 

X 

⋅ sinα 

⋅ sin 

⋅ cosα 

( α + ϕ) 

( α + ϕ) 

Ha a paraméterek adottak 

⎛ b ⎞ 

α = arctan⎜ 

− ⎟ 

⎝ d ⎠ 

c 

ϕ = arctan − α 

a 

s 

s 

Y 

X 

= 

= 

a 

b 

2 

2 

+ c 

+ 

d 

2 

2 

39

• Eltolás (X,Y,Z) 

• Forgatás(X,Y,Z) 

• Méretarány 

Térbeli transzformációk 

-térbeli hasonlósági transzformáció- 

Z 1 

Y 1 

X 2 

Z 2 

7 paraméter 

Y 2 

T Z X 1 

T Y 

T X 

40

Forgatás X körül 

Forgatás Y körül 

Z 

1 

Z 

α 

Z 

β 

Z 

α 

+α 

P 

− β 

k 

k 

O X 

α 

1 

r 

j 

j α 

+α 

Y 

β 

Y 

1 

Y 

Y 

γ 

α 

X 

β 

X 

α 

− β 

O Y α Yβ 

+ γ 

Forgatás Z körül 

X 

β 

O Z β Zγ 

+ γ 

X 

γ 

41

42 

α 

α 

α 

α 

α 

α = 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

α 

α 

α 

− 

α 

= 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

= X 

R 

X 

Z 

Y 

X 

cos 

sin 

0 

sin 

cos 

0 

0 

0 

1 

Z 

Y 

X 

Z 

Y 

+α 

α 

+α 

Y 

Z 

α 

k 

k 

j 

j α 

α 

O X 

P 

r 

Forgatás X körül 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

1

Forgatás Y körül 

Z 

β 

− β 

Z 

α 

X 

α 

X 

β 

− β 

O Y α Yβ 

X 

⎡X 

⎤ 

⎡cos 

( − β) 0 − sin( − β) 

⎤⎡X 

sinβ 

⎤⎡X 

β 

α 

α 

⎢ ⎥ 

β 

Y 

⎢ 

⎥⎢ 

⎥ 

β 

= 

⎢ 

0 1 0 

⎥⎢ 

Y 

⎥ 

α 

= 0 1 0 Yα 

= 

= ⎢ ⎥ ⎢ 

⎥⎢ 

⎥ ⎢ 

⎥⎢ 

⎥ 

RβX 

⎢ ⎥ 

⎣Zβ 

⎦ 

⎢⎣ 

sin( − β) 0 cos( − β) 

⎥⎦ 

⎢⎣ 

Z ⎥ ⎢ 

⎥⎢ 

⎥ 

α ⎦ ⎣− 

sinβ 

0 cosβ⎦⎣Zα 

⎦ 

⎤ 

⎡ 

cosβ 

0 

⎤ 

43 

α

Forgatás Z körül 

Y 

β 

Y 

γ 

+ γ 

X 

β 

O Z β Zγ 

+ γ 

X 

γ 

X 

⎡X 

⎤ 

⎡cos 

γ 

− sin γ 

0⎤⎡X 

γ 

β 

⎢ ⎥ ⎢ 

⎥⎢ 

⎥ 

γ Yγ 

= sin γ cos γ 0 Yβ 

= 

= ⎢ ⎥ ⎢ 

⎥⎢ 

⎥ R γ X 

⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

γ 

⎢ 

⎣ 

⎥ 

⎣ 

Z 

⎦ 

0 0 1⎦⎣ 

Zβ 

⎦ 

⎤ 

β 

44

45 

Eredő forgatás 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

= 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

α 

β ⋅ 

α 

β ⋅ 

β 

− 

α 

⋅ 

γ 

α − 

β ⋅ 

⋅ 

γ 

α 

⋅ 

γ 

α + 

β ⋅ 

⋅ 

γ 

β 

⋅ 

γ 

α 

⋅ 

γ 

α + 

β ⋅ 

⋅ 

γ 

α 

⋅ 

γ 

α − 

β ⋅ 

⋅ 

γ 

β 

⋅ 

γ 

= 

33 

32 

31 

23 

22 

21 

13 

12 

11 

r 

r 

r 

r 

r 

r 

r 

r 

r 

cos 

cos 

sin 

cos 

sin 

sin 

cos 

cos 

sin 

sin 

cos 

cos 

sin 

sin 

sin 

cos 

sin 

sin 

sin 

cos 

sin 

cos 

cos 

sin 

sin 

sin 

cos 

cos 

cos 

R 

ahol 

Kifejtve: 

1 

33 

1 

32 

1 

31 

2 

1 

23 

1 

22 

1 

21 

2 

1 

13 

1 

12 

1 

11 

2 

Z 

r 

Y 

r 

X 

r 

Z 

Z 

r 

Y 

r 

X 

r 

Y 

Z 

r 

Y 

r 

X 

r 

X 

⋅ 

+ 

⋅ 

+ 

⋅ 

= 

⋅ 

+ 

⋅ 

+ 

⋅ 

= 

⋅ 

+ 

⋅ 

+ 

⋅ 

= 

X 1 

R 

X 

R 

R 

R 

X 

R 

R 

X 

R 

X 

X 

⋅ 

= 

⋅ 

⋅ 

⋅ 

= 

⋅ 

⋅ 

= 

⋅ 

= 

= α 

β 

γ 

α 

β 

γ 

β 

γ 

γ 1 

2

46 

Méretaránytényező figyelembevétele 

X 1 

R 

X 

⋅ 

= s ⋅ 

2 

( ) 

( ) 

( ) 

1 

33 

1 

32 

1 

31 

2 

1 

23 

1 

22 

1 

21 

2 

1 

13 

1 

12 

1 

11 

2 

Z 

r 

Y 

r 

X 

r 

s 

Z 

Z 

r 

Y 

r 

X 

r 

s 

Y 

Z 

r 

Y 

r 

X 

r 

s 

X 

⋅ 

+ 

⋅ 

+ 

⋅ 

⋅ 

= 

⋅ 

+ 

⋅ 

+ 

⋅ 

⋅ 

= 

⋅ 

+ 

⋅ 

+ 

⋅ 

⋅ 

= 

Kifejtve:


X 

2 

= T + s 

⋅R 

⋅ 

X 1 

Kifejtve: 

X 

Y 

Z 

2 

2 

2 

= T 

= T 

= T 

X 

Y 

Z 

+ s ⋅ 

+ s ⋅ 

+ s ⋅ 

( r ⋅ X + r ⋅ Y + r ⋅ Z ) 

11 

( r ⋅ X + r ⋅ Y + r ⋅ Z ) 

21 

( r ⋅ X + r ⋅ Y + r ⋅ Z ) 

31 

1 

1 

1 

12 

22 

32 

1 

1 

1 

13 

23 

33 

1 

1 

1 

Térbeli hasonlósági transzformáció transzformációs egyenletei 

47



Pontkapcsolások 


1

Pontkapcsolások 

• Általános fogalom (1D, 2D, 3D, 1+2D) 

– Egy vagy több ismeretlen pont helymeghatározó 

adatainak a meghatározása az ismert pontok 

helymeghatározó adatai, valamint az ismert és a 

meghatározandó pontokon vagy pontokra végzett 

mérési eredmények felhasználásával 

• Kétdimenziós helymeghatározásban 

– Egy vagy több ismeretlen pont koordinátáinak a 

meghatározása az ismert pontok koordinátái, 

valamint az ismert és a meghatározandó pontokon 

végzett irány- és távolságmérések felhasználásával 

• Fölös mérések kérdése 

2

Pontkapcsolások osztályozása 

kétdimenziós helymeghatározás során 

• Meghatározandó pontok száma szerint 

– Egyetlen pont koordinátáinak a számítása 

– Két pont koordinátáinak együttes (hierarchia 

nélküli) számítása (páros pontkapcsolás⇒ma már nem 

alkalmazzuk. Irodalom: ld. Pl. Hansen-féle páros pontkapcsolás, 

Marek-féle feladat) 

– Több pont koordinátáinak együttes számítása 

– Több pont koordinátáinak a számítása 

hierarchia alapján 

3

Egyetlen pont koordinátáinak a számítása 

Előmetszés 

Ívmetszés 

Új pont koordinátáinak a számítása két ismert koordinátájú 

pont, valamint az ismert pontokról az új pontra menő irányok 

tájékozott irányértékeinek a felhasználásával 

Új pont koordinátáinak a számítása két ismert koordinátájú 

pont, valamint az ismert pontok és az új pont közötti 

4 

vízszintes/vetületi távolság felhasználásával


Ív-oldalmetszés vagy külpont számítása 

Ld. Geodézia II. 

5


Hátrametszés 


6



Két pont koordinátáinak a számítása – páros pontkapcsolás 

Hansen-féle feladat 

Ld. Szakirodalom 

7

Több pont koordinátáinak együttes számítása - sokszögelés 


8



• Felhasznált mérések típusa szerint 

– Csak iránymérésen alapuló 

helymeghatározás (előmetszés, 

hátrametszés, Hansen-féle feladat) 

– Csak távmérésen alapuló helymeghatározás 

(ívmetszés) 

– Irány- és távmérésen alapuló 

helymeghatározás (poláris pontszámítás, ívoldalmetszés, 

sokszögelés) 

9

Adott: A, B 

Mért/számított: δ’ AP 

, δ’ BP 

Számítandó: P (y P 

, x p 

) 

A 

B 

Előmetszés 


' 

2. yP 

= y 

A 

+ ( t 

AP 

) ⋅ sinδ 

xP 

= x 

A 

+ t 

AP 

⋅cosδ 

δ’ AP 

δ AB 

(t AP 

) P δ’ AP 

-δ’ BP 

Számítás B pontból 

δ AB 

-δ’ ' 

AP δ’ AP 

-δ’ BP 

sin δ 

AB 

− δ 

AP 

( tBP 

) = t 

AB ' ' 

δ’ BP 

-δ BA 

sin δ 

AP 

− δBP 

t AB 

(t 

δ’ BP 

) 

' 

BP 

y = y + ( t ) ⋅ sinδ 

δ BA 

1. 

x 

P 

P 

( t ) 

= 

AP 

x 

B 

B 

= 

+ 

t 

AB 

BP 

( ) 

' 

' 

( t ) ⋅cosδ 

BP 

sin 

sin 

' 

( δBP 

− δBA 

) 

' ' 

( δ − δ ) 

AP 

BP 

BP 

AP 

( ) 

( ) 

BP 

AP 

(1) 

(2) 

10

Előmetszés 

De (1) ⇒ 

sin 

' 

' 

' 

( δBP 

− δBA 

) = sinδBP 

⋅cosδBA 

− cosδBP 

⋅ sinδBA 

(3) 

és 

sinδ 

BA 

= 

y 

A 

t 

− y 

AB 

B 

− x 

A B 

(4) cosδBA 

= (5) 

t 

AB 

x 

Behelyettesítve (3)-at, (4)-et és (5)-öt (1)-be 

( t ) 

AP 

t 

sin 

' 

' 

' 

( δBP 

− δBA 

) sinδBP 

⋅ cosδBA 

− cosδ 

= t ⋅ 

' ' AB 

' 

( δ − δ ) sin( δ − δ ) 

= BP 

AB 

sin 

' 

AP BP 

AP BP 

⋅ sinδ 

BA 

= 

t 

AB 

⋅ 

sinδ 

' 

BP 

⋅ 

x 

A 

t 

− x 

AB 

sin 

B 

− cosδ 

' ' 

( δ − δ ) 

AP 

BP 

' 

BP 

⋅ 

y 

A 

t 

− y 

AB 

B 

= 

' 

( x − x ) ⋅ sinδ 

− ( y − y ) 

' 

= 

A B 

B 

BP 

(6) 

sin 

BP A 

' ' 

( δ − δ ) 

AP 

BP 

⋅cosδ 

11

y 

x 

P 

P 

= 

= 

y 

x 

A 

A 

+ 

+ 

' 

( x − x ) ⋅ sinδ 

− ( y − y ) 

A 

BP A 

' ' 

( δ − δ ) 

' 

( x − x ) ⋅ sinδ 

− ( y − y ) 

A 

B 

B 

sin 

sin 

AP 

BP A 

' ' 

( δ − δ ) 

AP 

BP 

BP 

B 

B 

Előmetszés 

Végeredményképpen (6)-ot (2)-be helyettesítve: 

⋅cosδ 

⋅ cosδ 

' 

BP 

' 

BP 

⋅ sinδ 

⋅ cosδ 

Algoritmus : A és B pontok cseréje az indexekben 

További algoritmusok, amelyek levezethetők: 

-„iránytangenses” megoldás két egyenes metszéspontjaként 

-hátránya: tan(90)=? tan(270)=? 

-Lehetséges megoldás numerikusan: tan(90+0.00000001), stb. 

-De hátrány, hogy: tan(90+0.00000001)= - 572957951.308… 

' 

AP 

' 

AP 

Következtetés 

A geodéziai számításokban lehetőleg ne használjuk a 

tangens és cotangens szögfüggvényeket: 

1. Numerikus problémák miatt 

2. Számítási ellenőrzések miatt : -1 ≤ sin(), cos() ≤ +1 

3. Hibaterjedés miatt 

12

Ívmetszés 

Adott: A, B 

Mért/redukált: t AP 

, t BP 

Számítandó: P (y P 

, x p 

) 

Levezetett irányszög 

(δ AP 

) 

δ AB 

A α 

t AB 

B 

t BP 


1. 

2. 

3. 

t 

α = arccos 

2 

AP 

+ t 

2 ⋅ t 

( δ ) = δ + α 

y 

x 

AP 

P 

P 

= 

= 

y 

x 

A 

A 

AB 

+ t 

+ t 

AP 

AP 

2 

AB 

AP 

⋅ sin 

⋅cos 

⋅ t 

− t 

AB 

2 

BP 

( δ 

AP 

) 

( δ ) 

AP 

t AP 

Számítás B pontból hasonlóan 

13

Az ívmetszés egyértelműsége 

+ 

B 

A 

14

Külpont koordinátáinak a számítása 

' 

2. 

δ’ δ 

KE 

KE 

= zK 

+ lEK 

± 180° 

K 

3. Külpont számítása polárisan a 

l EK 

z K 

központból 

0 

0 

r 

l EK 

T 1 

T 2 

T 3 

1. Tájékozás számítása tájékozó irányok 

központosítása alapján ⇒ z K 

E 

T 4 

A módszer előnye: 

1. Nem szükséges az új pontokra 

vonatkozó méréseket központosítani 

2. A távolság ismerete nem feltétel a 

tájékozott irányérték számításához 

15

Előmetszés 

Pontkapcsolások – fölös mérések biztosítása és a 

legkedvezőbb alakzat kérdése 

X 

Ívmetszés 

! 

16

Koordinátageometriai feladatok megoldása 

pontkapcsolások alkalmazásával 

Két egyenes metszéspontja – előmetszés alkalmazása 

A 


1. Irányszögek számítása koordinátákból 

B 

pl. δ AC 

, δ BD 

2. Előmetszés összefüggéseinek 

alkalmazása 

P 

D 

C 

17



Két kör metszéspontja – ívmetszés alkalmazása 

(analitikus geometria: másodfokú egyenlet megoldása) 

O 1 

O 2 

18



Ívmetszés alkalmazása – részletmérés: kiegészítő mérések 

26.11 

? 

51.48 

19

Kitűzési és számítási vázlatok értelmezése 

54-4162 

1002 

54-4160 

54-4001 

54-4162 

54-4165 

1001 

54-4166 

54-4164 

A számítás jellemzői 

-Hierarchikusan történik 

-1001? 1002? 

-Fölös mérések figyelembevétele 

-Először: 1001, majd 1002 

-Végleges tájékozás 

Iránymérések száma = 16 Távmérések száma =4 

További információk: Alappontmeghatározás, Kiegyenlítő számítások III. félév 

20

Geodézia I. - NymE GEO portál

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?