Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál
Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál
Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
MAGYARORSZÁGI VETÜLETEK<br />
<strong>Bácsatyai</strong> <strong>László</strong><br />
Sopron, 2005
2<br />
Lektor: Dr. Csepregi Szabolcs<br />
fıiskolai tanár<br />
Dr. Varga József<br />
egyetemi adjunktus
3<br />
Tartalomjegyzék<br />
BEVEZETÉS---------------------------------------------------------------------------------------------- 7<br />
1. TÉRKÉPI VETÜLETEK ---------------------------------------------------------------------------- 9<br />
1.1. A térkép -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9<br />
1.2. A földfelszíntıl a térkép síkjáig-------------------------------------------------------------------------------------- 10<br />
1.2.1. A vetítés ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11<br />
1.2.1.1. Alapfelületek. A geoid. ----------------------------------------------------------------------------------------- 12<br />
1.2.1.2. A földi ellipszoid------------------------------------------------------------------------------------------------- 17<br />
1.2.1.3. A földgömb ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21<br />
1.2.1.4. A síkvetület. Vetületi koordinátarendszerek.---------------------------------------------------------------- 23<br />
A geodézia fıfeladatai a vetületi koordinátarendszerben-------------------------------------------------------- 24<br />
1.2.2. Vetületi torzulások és redukciók ------------------------------------------------------------------------------------ 25<br />
1.2.2.1. Vetületi torzulások----------------------------------------------------------------------------------------------- 27<br />
A lineármodulus általános egyenlete-------------------------------------------------------------------------------- 28<br />
1.2.2.2. Azimut eltérése a képfelületen--------------------------------------------------------------------------------- 30<br />
1.2.2.3. A fokhálózati vonalak merılegességének feltétele--------------------------------------------------------- 34<br />
1.2.2.4. A lineármodulus vizsgálata a szélsıértékekre. Vetületi fıirányok. ------------------------------------- 35<br />
1.2.2.5. Torzulási ellipszis (Tissot-féle indikatrix) ------------------------------------------------------------------- 36<br />
1.2.2.6. Összefüggések lineármodulusok között---------------------------------------------------------------------- 39<br />
Apollonius tételei------------------------------------------------------------------------------------------------------- 39<br />
1.2.2.7. Területi modulus ------------------------------------------------------------------------------------------------- 41<br />
1.2.2.8. Maximális szögeltérés------------------------------------------------------------------------------------------- 42<br />
1.2.2.9. Az alapfelület szögtartó, területtartó és általános torzulású ábrázolása a vetületen ------------------ 44<br />
Az alapfelület szögtartó ábrázolása --------------------------------------------------------------------------------- 44<br />
Az alapfelület területtartó ábrázolása ------------------------------------------------------------------------------- 45<br />
Az alapfelület általános torzulású ábrázolása---------------------------------------------------------------------- 46<br />
1.2.2.10. Torzulási ellipszisek különbözı torzulású <strong>vetületek</strong>re--------------------------------------------------- 46<br />
1.2.2.11. Vetületek csoportosítása -------------------------------------------------------------------------------------- 48<br />
Valódi és képzetes <strong>vetületek</strong> ----------------------------------------------------------------------------------------- 48<br />
Csoportosítás a képfelület alakja szerint --------------------------------------------------------------------------- 48<br />
Csoportosítás a képfelület Földhöz viszonyított elhelyezése szerint ------------------------------------------ 49<br />
Érintı és süllyesztett vetület------------------------------------------------------------------------------------------ 49<br />
Közvetlen és közvetett vetítéső vetület ----------------------------------------------------------------------------- 50<br />
1.2.2.12. Vetületi redukciók---------------------------------------------------------------------------------------------- 50<br />
Elsı irány- és szögredukció. Az iránymodulus.------------------------------------------------------------------- 51<br />
Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------------- 52<br />
Területtorzulási tényezı és területi redukció ---------------------------------------------------------------------- 54<br />
Második irány- és szögredukció ------------------------------------------------------------------------------------- 54<br />
Gömbi szögfölösleg---------------------------------------------------------------------------------------------------- 55<br />
Vetületi meridiánkonvergencia -------------------------------------------------------------------------------------- 58<br />
2. MAGYARORSZÁG SAJÁT VETÜLETEI---------------------------------------------------- 59<br />
2.1. A sztereografikus vetület --------------------------------------------------------------------------------------------- 60<br />
2.1.1. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 61<br />
2.1.2. Inverz vetületi egyenletek -------------------------------------------------------------------------------------------- 66<br />
2.1.3. A sztereografikus vetület redukciói--------------------------------------------------------------------------------- 69<br />
2.1.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------- 69<br />
2.1.3.2. Második irányredukció ----------------------------------------------------------------------------------------- 73<br />
2.1.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia -------------------------------------------------------------------------------- 75<br />
2.1.4. A sztereografikus vetület szelvényhálózatai----------------------------------------------------------------------- 77<br />
2.1.4.1. A magyarországi analóg erdıtervi (erdészeti üzemi) térképek szelvényezési rendszere ------------ 78
4<br />
2.2. A ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> ------------------------------------------------------------------------------------ 80<br />
2.2.1. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 81<br />
2.2.2. Inverz vetületi egyenletek -------------------------------------------------------------------------------------------- 86<br />
2.2.3. A ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> redukciói ----------------------------------------------------------------------- 87<br />
2.2.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------- 87<br />
2.2.3.2. Második irányredukció ----------------------------------------------------------------------------------------- 90<br />
2.2.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia -------------------------------------------------------------------------------- 94<br />
2.2.4. A ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> szelvényhálózatai ------------------------------------------------------------- 97<br />
2.3. Egységes Országos Vetület ------------------------------------------------------------------------------------------- 98<br />
2.3.1. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------100<br />
2.3.2. A metszı gömbi körök és a Gellérthegy pont elhelyezése-----------------------------------------------------102<br />
2.3.3. Inverz vetületi egyenletek -------------------------------------------------------------------------------------------103<br />
2.3.4. A Egységes Országos Vetület redukciói --------------------------------------------------------------------------104<br />
2.3.4.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------104<br />
2.3.4.2. Második irányredukció és vetületi meridiánkonvergencia-----------------------------------------------105<br />
2.3.5. Az Egységes Országos Vetület szelvényhálózata ---------------------------------------------------------------107<br />
3. GAUSS-FÉLE SZÖGTARTÓ GÖMBI VETÜLET ----------------------------------------109<br />
3.1. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 109<br />
3.1.1. A Gauss-féle szögtartó gömbi vetület állandói ------------------------------------------------------------------112<br />
2<br />
dl Λ d l Λ<br />
2<br />
3.1.1.1. A dΦ<br />
és a dΦ<br />
differenciálhányadosok meghatározása -----------------------------------------------113<br />
3.1.1.2. Az n, k állandók és a Gauss-gömb R sugarának meghatározása ----------------------------------------117<br />
3.2. Inverz vetületi egyenletek-------------------------------------------------------------------------------------------- 120<br />
3.3. A magyarországi gömbi <strong>vetületek</strong> jellemzı adatai-------------------------------------------------------------- 120<br />
3.3.1. Számpéldák a Gauss-féle gömbi vetület alkalmazására --------------------------------------------------------121<br />
4. NEMZETKÖZI VETÜLETEK MAGYARORSZÁGON -----------------------------------125<br />
4.1. A Gauss-Krüger vetület---------------------------------------------------------------------------------------------- 125<br />
4.1.1. A szögtartóság alapegyenletei --------------------------------------------------------------------------------------127<br />
4.1.2. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------128<br />
4.1.3. Az ellipszoidi meridiánív hossza-----------------------------------------------------------------------------------132<br />
4.1.4. Inverz vetületi egyenletek -------------------------------------------------------------------------------------------134<br />
4.1.5. A Gauss-Krüger vetület redukciói ---------------------------------------------------------------------------------138<br />
4.1.5.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------138<br />
A lineármodulus meghatározása ellipszoidi földrajzi koordinátákból ---------------------------------------138<br />
A lineármodulus meghatározása vetületi koordinátákból ------------------------------------------------------140<br />
4.1.5.2. Második irányredukció ----------------------------------------------------------------------------------------143<br />
4.1.5.3. Vetületi meridiánkonvergencia -------------------------------------------------------------------------------147<br />
A meridiánkonvergencia meghatározása ellipszoidi földrajzi koordinátákból------------------------------147<br />
A meridiánkonvergencia meghatározása vetületi koordinátákból --------------------------------------------149<br />
4.1.5.4. Számpéldák a Gauss-Krüger vetület alkalmazására-------------------------------------------------------150<br />
4.1.6. A Gauss-Krüger vetület szelvényhálózata ------------------------------------------------------------------------153<br />
4.2. UTM vetület ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 157<br />
4.2.1. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------157<br />
4.2.2. Inverz vetületi egyenletek -------------------------------------------------------------------------------------------158<br />
4.2.3. Az UTM-vetület redukciói ------------------------------------------------------------------------------------------159<br />
4.2.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------159<br />
4.2.3.2. Második irányredukció ----------------------------------------------------------------------------------------161<br />
4.2.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia -------------------------------------------------------------------------------161<br />
4.2.4. A normál-ellipszisek földrajzi hosszúsága------------------------------------------------------------------------162<br />
4.2.5. Az UTM-vetület sáv- és rétegbeosztása---------------------------------------------------------------------------163
5<br />
4.2.5.1. Az UTM-vetület koordináta azonosítási rendszere--------------------------------------------------------163<br />
5. ÁTSZÁMÍTÁSOK VETÜLETI RENDSZEREK KÖZÖTT-------------------------------167<br />
5.1. Összefüggések az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi földrajzi koordináták között----------------------- 168<br />
5.1.1. Ellipszoidi térbeli koordináták számítása ellipszoidi földrajzi koordinátákból-----------------------------169<br />
5.1.2. Ellipszoidi földrajzi koordináták számítása ellipszoidi térbeli koordinátákból-----------------------------172<br />
5.2. A térbeli hasonlósági transzformáció------------------------------------------------------------------------------ 174<br />
5.2.1. A transzformációs összefüggés levezetése -----------------------------------------------------------------------174<br />
5.2.2. A transzformációs paraméterek meghatározása -----------------------------------------------------------------178<br />
5.3. A térbeli polinomos transzformáció ------------------------------------------------------------------------------- 183<br />
5.4. A síkbeli hasonlósági transzformáció------------------------------------------------------------------------------ 187<br />
5.5. A síkbeli polinomos transzformáció ------------------------------------------------------------------------------- 189<br />
5.6. A koordináta-módszer------------------------------------------------------------------------------------------------ 191<br />
5.6.1. Átszámítás a budapesti sztereografikus és a magyarországi ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> között ----192<br />
5.6.2. Átszámítás a különbözı közép-meridiánú Gauss-Krüger és UTM vetületi sávok között ----------------195<br />
Irodalom---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 197<br />
FÜGGELÉK--------------------------------------------------------------------------------------------199<br />
2.1.3.1.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------199<br />
2.1.3.1.-2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------199<br />
2.2.1.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------200<br />
2.2.2.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------200<br />
2.2.3.2.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------201<br />
2.2.3.3.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------201<br />
2.3.4.2.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------202<br />
3.2.-1. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------203<br />
3.3.1.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------203<br />
3.3.1.-2.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------204<br />
4.1.4.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------204<br />
4.1.5.4.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------204<br />
4.1.5.4.-2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------206<br />
4.1.5.4.-3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------206<br />
4.1.5.4.-4. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------206<br />
4.2.3.3.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------207<br />
5.1.1.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------207<br />
5.1.2.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------208<br />
5.2.2.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------208<br />
5.2.2.-2.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------209<br />
5.2.2.-3.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------209<br />
5.3.-1. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------211<br />
5.3.-2. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------212<br />
5.3.-3. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------212<br />
5.3.-4. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------213<br />
5.3.-5. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------213<br />
5.5.-1. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------213<br />
5.5.-2. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------214<br />
5.5.-3. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------214
7<br />
Bevezetés<br />
Geodéziai <strong>vetületek</strong>et tárgyaló könyv Magyarországon elıször 1954-ben jelent meg,<br />
Hazay István tollából. A kiadást késıbb több is követte. A BME Földmérı és<br />
Geoinformatikus szakos hallgatói számára Varga József írt egyetemi jegyzeteket, míg a<br />
NyME Geoinformatika szakos hallgatói Németh Gyula fıiskolai jegyzetébıl tanulnak.<br />
Jelen könyv a „<strong>Magyarországi</strong> <strong>vetületek</strong>” c., a Mezıgazdasági és Szaktudás Kiadónál<br />
1993-ban megjelent tankönyv jelentısen módosított és korszerősített változata. Elıdjéhez hasonlóan<br />
a Magyarországon alkalmazott vetületi rendszerekkel foglalkozik, felépítése lényegében<br />
megegyezik a korábbiéval: az elsı részben a <strong>vetületek</strong> torzulásaival, a második részben a<br />
kizárólag Magyarországon kidolgozott, a mindenkori magyarországi területi sajátosságokat<br />
magukon hordozó, a magyarországi térképezés céljára kiválasztott geodéziai <strong>vetületek</strong>kel foglalkozik.<br />
A harmadik rész a Gauss-féle szögtartó gömbi vetületet, a negyedik rész a Magyarországon<br />
is használt nemzetközi <strong>vetületek</strong>et, a Gauss-Krüger és az UTM vetületet ismerteti. A<br />
könyv utolsó, ötödik fejezetének tárgya a vetületi rendszerek közötti átszámítások.<br />
Úgy éreztem, hogy a könyvem megjelenése óta több mint 10 év elteltével - az utóbbi<br />
idıben nagyon fontossá vált a mőholdas helymeghatározás elterjedésére is tekintettel - nem<br />
fölösleges a magyar geodéziai szakirodalomnak ezt a részét újra átgondolni, s a <strong>vetületek</strong> általános<br />
törvényszerőségein túl a csak Magyarországon használatos <strong>vetületek</strong>rıl matematikai<br />
szempontból megalapozott és egyben új szemléletmódú áttekintést nyújtani. E tankönyv nem<br />
pótolhatja és nem is helyettesítheti Dr. Hazay Istvánnak a geodéziai <strong>vetületek</strong> terén Magyarországon<br />
mindmáig alapmőnek tekinthetı munkásságát és nem versenytársa, hanem kiegészítıje<br />
kíván lenni az e témában eddig megjelent irodalmaknak. Törekedtem arra, hogy a számítástechnika<br />
mai színvonalának megfelelı anyagot állítsak össze. Ezért többek között – a Gauss-Krüger<br />
és az UTM <strong>vetületek</strong> kivételével – mind a vetületi egyenleteknél, mind a vetületi<br />
redukcióknál elhagytam a vetületi sorokat és a legtöbb esetben számítógépen különösebb nehézségek<br />
nélkül programozható zárt képleteket fogalmaztam meg. Az egyes anyagrészeket<br />
számítási példákkal egészítettem ki, a számításokat végzı VisualBasic forrásnyelvő programrészeket<br />
a legtöbb esetben a könyv Függelékében mellékeltem.<br />
Az 1993-as kiadáshoz képest jelentısen módosítottam a vetületi torzulások és<br />
redukciók általános elméletének leírását. A GIS és a GPS technika mai fejlettségi szintjének<br />
következtében módosítanom kellett a vetületi rendszerek közötti átszámítások felfogásmódját<br />
is, bemutatva, hogy az átszámításokat a térben kell elvégezni: a GPS mérésekbıl a térben 3<br />
koordinátát kapunk egy, középpontjával a Föld tömegközéppontjába helyezett vonatkoztatási<br />
ellipszoid térbeli, ill. ellipszoidi földrajzi koordinátarendszerében. A különbözı országok vetületi<br />
(és magassági) rendszereinek összekapcsolása ezen keresztül lehetséges. Mindezeken<br />
túlmenıen számos szóhasználati módosításra is sor került. Kijavítottam az elızı kiadásban
8<br />
észre nem vett szövegezés- és képlethibákat. Csak remélhetem, hogy ezzel egyidejőleg nem<br />
keletkeztek újabb hibák.<br />
Jelentısen megváltoztak az ábrák is. A régi kiadás számos ábráját kicseréltem. E térben<br />
megszerkesztett ábrák síkban, sajnos, nem mindig azt mutatják, amit térben látni lehetett,<br />
a síkban, a könyv ábrájaként sajnos szegényebbé válnak, remélem azonban, hogy jobbak,<br />
mint az elsı kiadásban és megfelelı figyelemmel jól követhetık.<br />
Néhány azóta megjelent publikáció kivételével lényegében változatlanul maradt az elsı<br />
kiadás irodalomjegyzéke. Ez – reményeim szerint – segíti a korábbi irodalomban való eligazodást,<br />
lehetıvé teszi a korábbi anyagokban való tájékozódást.<br />
A könyv megírásakor komoly támogatást és segítséget kaptam Dr. Ádám József egyetemi<br />
tanár, akadémikustól, aki tanácsaival végig segítette munkámat. Hálámat fejezem ki<br />
könyvem lektorainak, Dr. Varga József egyetemi adjunktusnak és Dr. Csepregi Szabolcs fıiskolai<br />
tanárnak, akik részletekbe menı, helyenként szigorú ítéletükkel remélhetıleg megakadályozták,<br />
hogy könyvemben tisztázatlan fogalmak, definíciók, matematikai levezetések maradjanak.<br />
Remélem, hogy a könyv újszerő tárgyalásmódjával, néhány, a téma magyarországi és<br />
nemzetközi szakirodalmában újnak tekinthetı összefüggésével, valamint számpéldáival hasznos<br />
kiegészítıje lesz nemcsak a magyarországi földmérı mérnök-képzésnek, hanem az e területen<br />
dolgozó szakemberek továbbképzésének, látásmódjuk további bıvülésének is. A könyvet<br />
haszonnal forgathatják az agrár területen tevékenykedı szakemberek, a vetülettan után érdeklıdı<br />
kutatók, mélyebb elmélyülést kívánó doktorandusok, egyetemi és fıiskolai hallgatók,<br />
de a térinformatikával foglalkozó szakemberek is, akik valamilyen más szakmai területrıl érkezve,<br />
a digitális térképekkel kapcsolatba kerülnek. Ezek száma nem kevés, remélhetı, hogy<br />
a könnyebb, kisebb elmélyülést igénylı és látványosabb irányok mellett e könyv tanulmányozásával<br />
is hasznosan töltik majd idejüket.<br />
Sopron, 2005. március 3.<br />
<strong>Bácsatyai</strong> <strong>László</strong>
9<br />
1. Térképi <strong>vetületek</strong><br />
1.1. A térkép<br />
A térkép a földfelszín megismerésének legfontosabb segédeszköze és minden tervezés<br />
alapja, olyan adathordozó, amely egy hosszú, elméleti és gyakorlati tevékenységeket egyaránt<br />
magában foglaló folyamat végterméke. A folyamat elméleti része elsısorban a Föld alakjának<br />
és méreteinek meghatározására irányul, ebbe kell majd beillesztenünk szőkebb környezetünket.<br />
A Föld alakján itt nem a fizikai földfelszínt, a szárazföldeket, tengereket értjük, hanem<br />
egy idealizált földfelületet, amely nem tartalmazza a Föld rendkívül változatos kiemelkedéseit,<br />
bemélyedéseit, ill. ezek változásait.<br />
Szó szerinti értelemben a térkép a térnek a képe, olyan síkbeli alkotás, amely az idealizált<br />
földfelszín matematikai törvényszerőségeknek eleget tevı vetítésével jön létre és a körülöttünk<br />
lévı háromdimenziós világot, illetve annak kisebb-nagyobb részeit különbözı mértékő<br />
kicsinyítésben ábrázolja. A kicsinyítés mértékét térképi méretaránynak nevezzük és a késıbbiekben<br />
„M”-mel fogjuk jelölni. A méretarányt törtszámmal fejezzük ki, ahol a tört számlálójában<br />
1, a nevezıben pedig a kicsinyítés mértékét kifejezı – a továbbiakban „a”-val jelölt<br />
- méretarányszám áll. Jelölése pld. 1:25000, vagy 1/25000, általánosságban 1:a, vagy 1/a. A<br />
méretarány és a méretarányszám egymással fordított arányban vannak, nagyobb méretarányhoz<br />
kisebb méretarányszám tartozik és fordítva. Az 1:25000 méretarány tehát kisebb, mint az<br />
1:10000. A térképi méretarány elsı közelítésben a térkép síkjában tetszıleges két pont közötti<br />
távolság és a két pont eredeti távolságának hányadosa. A méretarány szempontjából azonban<br />
egy síkbeli és egy térbeli távolság csak akkor hasonlítható össze, ha párhuzamosak. Ez még az<br />
idealizált földfelszínen lévı távolság esetén sincs így, ezért a méretarány fogalmát a földfelszín<br />
vetítésének matematikai megfogalmazása után pontosítani fogjuk (1.2.-1. képlet).<br />
A kész térkép lehet analóg vagy digitális. Az analóg térképek papírra, vagy mérettartó<br />
anyagra (asztralon lapra, fóliára) készülnek, a digitális térképeket a számítógépek háttértárolóin<br />
kódolt formában tárolják. A digitális térkép olyan számítógépes adatállomány, amelynek a<br />
felhasználásával megfelelı eszközökkel (rajzgép, plotter) elıállítható az analóg térkép. Az<br />
analóg térképpel ellentétben a digitális térkép méretarány-független abban az értelemben,<br />
hogy a térképi adatok ábrázolható sőrőségének nem rajzi korlátok, hanem a számítógépes rajzi<br />
megjelenítés szempontjából kialakított észszerőség szab határt. Utóbbit a térkép olvashatósága,<br />
a jelkulcs és a térképi összevonások (generalizálás) mértéke befolyásolja. A digitális<br />
térkép megbízhatósága elméletileg tetszılegesen nagy lehet. Ez alatt azt értjük, hogy a digitális<br />
térképet kizárólag a geodéziai mérések és számítások hibái terhelik, az éppen aktuális grafikus<br />
megjelenítés méretaránya nem. Mindez csak az új terepi felmérés eredményeibıl készült<br />
digitális térképre igaz, a digitalizálás útján készült digitális térképre nem, mert a térképdigitalizálás<br />
során az eredeti analóg termék hibáira még a digitalizálás során elkövetett hibák<br />
is rárakódnak.<br />
Mind a méretarány-függetlenség (a tetszıleges térképi adatsőrőség), mind az elméletileg<br />
korlátlan ábrázolási megbízhatóság kihasználása egy számítógépes térképi adatbázisban<br />
optimális, amely a térkép rajzi és minimális szöveges információin túl a térképi elemekhez<br />
rendelt tetszıleges mennyiségő numerikus és szöveges információt (ún. attribútumokat) is tartalmaz.<br />
A digitális térképi és a hozzárendelt szöveges adatbázis teremtette meg az alapját a<br />
számítástechnika ma már Magyarországon is széleskörően elterjedt lehetıségének, a Földrajzi<br />
Információs Rendszerek (angolul: Geographical Informations System – GIS) kialakításának.<br />
A technika eszközeinek optimális kihasználását a térképkészítés szigorú matematikai<br />
alapjai teszik lehetıvé, amelyekre támaszkodva a térkép – legalább elméletileg - biztosítja a<br />
földfelszín lehetı legkisebb torzulásokkal terhelt ábrázolását. Ezen alapok tárgyalása jelen<br />
könyvünk tárgya.
10<br />
1.2. A földfelszíntıl a térkép síkjáig<br />
A térképi ábrázolás megkönnyítése végett a földfelszíni pontok térben elfoglalt helyét<br />
két részre bontjuk: gyerekkorunk óta kialakult szemléletmódunknak megfelelıen az ábrázolandó<br />
pontokat<br />
vízszintes,<br />
függıleges (magassági) helyzetükkel adjuk meg (1.2.-1. ábra).<br />
A hagyományos geodéziában a fizikai földfelszín pontjait egy fizikai értelemben meghatározott<br />
felülethez, a vízszintes felülethez képest értelmezzük. A pont vízszintes helyzetét<br />
két adattal, a függıleges helyzetét egy adattal adjuk meg. A földfelszín síkrajzát a vízszintes<br />
felületen lévı P’ pontok, domborzatrajzát a P’P’’ görbe vonalú szakaszok (m 1 , m 2 , m 3 ) öszszessége<br />
adja.<br />
1.2.-1. ábra: A földi pontok helyzetének megadása<br />
A vízszintes felület a nehézségi erıtérben értelmezett idealizált felület, más néven tengerszint<br />
vagy geoid. A geoid matematikailag zárt formában nem írható le, ezért a kezelhetıség<br />
érdekében a tengerszinten lévı pontokat egy ellipszoidra, az ún. vonatkoztatási ellipszoidra,<br />
végül egy síkra, a vetület síkjára vetítjük. A vetület méretarány szerinti kicsinyítésével jön<br />
létre a térkép síkja. Eszerint a térkép méretaránya az alábbi:<br />
térképi hossz<br />
M = térképi méretarány =<br />
. (1.2.-1)<br />
vetületi hossz
11<br />
A hagyományos geodéziai mérések, mérımőszerek természete olyan, hogy a vízszintesben<br />
lévı pontok helyzetének és a tengerszint feletti magasságok meghatározása két részre<br />
választható szét és mindkét rész külön kezelhetı. A ma már üzemszerően használt GPS vevık<br />
mérési eredményeibıl viszont a Föld tömegközéppontjában rögzített ellipszoidi koordinátákat<br />
kapunk, ezért a könyv címében vállalt feladat – a vízszintes helyzet értelmezése - mellett a<br />
magassági értelmezéssel is foglalkoznunk kell.<br />
1.2.1. A vetítés<br />
Ha egy idomot az egyik felületrıl a másikra vetítünk, akkor az ott létrejött idom képe<br />
az elıbbinek. Azt a felületet, amelyrıl vetítünk, alapfelületnek, amelyre vetítünk, képfelületnek<br />
nevezzük. Az ellipszoidról a síkra történı áttérésnél az ellipszoid az alap-, a sík pedig a<br />
képfelület. Utóbbi esetben a képfelület ún. síkvetület, vagy egyszerően vetület. Elıfordul,<br />
hogy az ellipszoid és a sík közé gömböt iktatnak, ekkor az ellipszoidról a gömbre való áttérésnél<br />
a képfelület a gömb.<br />
A vetítés matematikai összefüggésekkel történhet<br />
1. geometriailag megszerkeszthetı és szemléltethetı,<br />
2. geometriailag nem szemléltethetı módon.<br />
Az elsı esetben a vetítést valamilyen vetítési középpontból végezzük és vetítısugarakkal<br />
közvetítjük. Ha a vetítési középpont a végtelenben van és a vetítısugarak a képfelületre<br />
merılegesek, ortogonális, vagy derékszögő vetítésrıl (1.2.1.-1/a. ábra), ha a vetítısugarak<br />
párhuzamosak, de a képfelületre nem merılegesek, klinogonális, vagy ferdeszögő vetítésrıl<br />
(1.2.1.-1/b. ábra) beszélünk. Ha vetítési középpont a végesben van, a vetítés centrális (1.2.1.-<br />
1/c. ábra).<br />
C<br />
e<br />
P<br />
1<br />
e<br />
P<br />
2<br />
e<br />
P<br />
1<br />
e<br />
P<br />
2<br />
e<br />
P<br />
1<br />
e<br />
P<br />
2<br />
P 1 P 2 P 1 P 2<br />
P 1 P 2<br />
a) b)<br />
c)<br />
1.2.1.-1. ábra: Vetítés vetítısugarakkal<br />
a) ortogonális vetítés, b) klinogonális vetítés, c) centrális vetítés<br />
A második esetben a vetítési középpont és a vetítısugarak helyzete geometriailag nem<br />
szemléltethetı, a vetített pontok geometriailag nem szerkeszthetık.
12<br />
1.2.1.1. Alapfelületek. A geoid.<br />
Az 1.2.-1. ábrán szemléltetett vízszintes felület mentes a fizikai földfelszín rendkívüli<br />
változatosságától, a kisebb-nagyobb kiemelkedésektıl vagy bemélyedésektıl és a Föld egészére<br />
érvényes tulajdonságokkal bír. Nyugalomban lévı nagy vízfelületek, tavak, tengerek<br />
szemlélésekor ez az elképzelésünk valósággá válik. Tekintettel arra, hogy az óceánok és a<br />
tengerek felszíne a Földfelszín közel 4/5-e, természetes, hogy ez a felület a nyugalomban lévı<br />
tengerszint felülete, amelyet gondolatban meghosszabbítunk a fizikai földfelszín, a szárazföldek<br />
alatt úgy, hogy az a Föld egészére kiterjedı, folyamatos felületet alkosson. Ezt a felületet<br />
(1.2.1.1.-1. ábra) Listing német fizikus 1873-ban geoidnak nevezte el.<br />
Fizikai földfelszín<br />
óceán<br />
geoid<br />
1.2.1.1.-1. ábra: A földfelszín és a geoid<br />
A nyugalomban lévı tengerek felszínét a nehézségi erı alakítja. A nehézségi erı az az<br />
erı, amely minden testet a Földhöz vonz. A nehézségi erı a szabadon esı testre ható nehézségi<br />
gyorsulással mérhetı.<br />
A nehézségi gyorsulás egysége a gal:<br />
m<br />
s<br />
-2<br />
1 gal = 10 .<br />
2<br />
Az egységnyi tömegre ható nehézségi erı számértékben megegyezik a nehézségi<br />
gyorsulással, ezért e két fogalom között általában nem tesznek különbséget. Az SI rendszerben<br />
a nehézségi erı egysége az erıegység, N (Newton), átlagos értéke pedig :<br />
⎛ kg ⋅ m ⎞<br />
2<br />
g = 9,81 N ⎜ = 9,81⋅10<br />
⋅ gal ⋅ kg<br />
2<br />
⎟<br />
.<br />
⎝ s ⎠<br />
É<br />
f<br />
g<br />
P<br />
k<br />
C<br />
1.2.1.1.-2. ábra: A nehézségi erı
13<br />
Feltételezve, hogy Földünk felszíne közelében a kozmikus sugárzásból, illetve a Nap,<br />
a Hold, a bolygók tömegvonzásából adódó erıhatások elhanyagolhatók, a nyugalomban lévı<br />
testre ható nehézségi erıt két erı eredıjeként határozhatjuk meg (1.2.1.1.-2. ábra):<br />
- A Föld Newton-féle tömegvonzása (f),<br />
- A Föld tengely körüli forgásából származó centrifugális erı (k), amelynek iránya minden<br />
pontban merıleges a Föld forgástengelyére<br />
g = f + k . (1.2.1.1.-1)<br />
A centrifugális erı nagysága az egyenlítıtıl a sarkok felé csökken, ami – a tömegvonzási<br />
erıvel ellentétes irányú hatás és a Föld lapultsága következtében - azt jelenti, hogy a nehézségi<br />
erı értéke az egyenlítıtıl a sarkok felé nı.<br />
Mint minden erı, a nehézségi erı is vektormennyiség. A nehézségi erıtér, tetszıleges<br />
más erıtérhez hasonlóan megadható erıvonalaival, azaz az erıtér minden pontjában ismerni<br />
kell a nehézségi erıvektor irányát és nagyságát. A nehézségi erıtér kezelése egyszerőbbé válik,<br />
ha bevezetjük a potenciál, mint skaláris mennyiség fogalmát.<br />
A g nehézségi erı potenciálján olyan W skalár mennyiséget értünk, amelynek egy r<br />
elmozdulás vektor szerinti elsı deriváltja a nehézségi erı vektora:<br />
Az (1.2.1.1.-2) alapján az elemi potenciál:<br />
dW<br />
g = . (1.2.1.1.-2)<br />
dr<br />
dW = g ⋅ dr . (1.2.1.1.-3)<br />
Az (1.2.1.1.-3) kifejezés két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat ismert meghatározása<br />
szerint:<br />
dW<br />
( g,dr) = g ⋅ dr<br />
⋅ cos( g,d<br />
) = g dr<br />
= g ⋅ dr<br />
⋅ cos<br />
r , (1.2.1.1.-4)<br />
r<br />
⋅<br />
ahol<br />
g = g a nehézségi erı vektor, d r = dr<br />
az elmozdulás vektor abszolút értéke,<br />
g = g ⋅ cos( g,<br />
dr)<br />
a g erıvektor elmozdulás irányú komponense, ( g dr)<br />
r<br />
, - rel pedig a két vektor<br />
által közbezárt szöget jelöljük.<br />
A ( g, dr)<br />
szög értékére válasszunk két szélsı esetet:<br />
o<br />
o<br />
1. ( g dr) 90 és 2. ( dr) 0<br />
, =<br />
g , = .<br />
o<br />
Az 1. ( g , dr) = 90 esetben cos ( g ,dr) = 0 , s így d W = g ⋅ dr<br />
= 0 . Feltételezve, hogy g<br />
értéke állandó, a potenciált az alábbi összefüggés szolgáltatja:<br />
W = ∫ d W = g ⋅∫<br />
dr<br />
= g ⋅ r = const. (1.2.1.1.-5)<br />
Az (1.2.1.1.-5) összefüggés az azonos potenciálú pontok mértani helyét fejezi ki, azaz<br />
egy olyan felületet, amelynek minden pontjában a dr elmozdulás vektor iránya merıleges a<br />
nehézségi erı vektorának irányára.
14<br />
-g<br />
dr<br />
W=const.<br />
1.2.1.1.-3. ábra: A nehézségierı-vektor iránya merıleges a szintfelületre<br />
A nehézségi erı iránya az adott pontban mindig merıleges erre a felületre (1.2.1.1.-3.<br />
ábra). E felület neve szintfelület, vagy egyenlı potenciálú, ekvipotenciális felület. Ugyancsak<br />
ezen összefüggés szerint a W potenciál, mint erınek és útnak a szorzata, munka jellegő menynyiség.<br />
Eszerint, ha a W = const. potenciálú felületen egy tömeget mozgatunk, nem végzünk<br />
munkát a nehézségi erı ellenében.<br />
g r esetben a dr elmozdulás-vektor iránya azonos a g vektor irányával,<br />
o<br />
A 2. ( , d ) = 0<br />
vagyis cos ( g ,dr) = 1<br />
g<br />
, ahonnan a (1.2.1.1.-4) képletbıl következik, hogy<br />
dW<br />
= g ⋅ dr<br />
. (1.2.1.1.-6)<br />
Képezzük most az (1.2.1.1.-6) határozott integrálját a W 0 potenciál értékő geoid és egy<br />
tetszıleges W P potenciálú szintfelület között (1.2.1.1.-4. ábra).<br />
P<br />
∫<br />
0<br />
d W<br />
=<br />
P<br />
∫<br />
0<br />
g ⋅ dr<br />
= g ⋅<br />
P<br />
∫<br />
0<br />
dr<br />
, és<br />
W<br />
p<br />
W0<br />
= g ⋅ rP<br />
− r0<br />
)<br />
− ( = −g<br />
⋅ m . (1.2.1.1.-7)<br />
P<br />
Az<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
r − r = m érték a P szintfelületén bárhol lévı P pontnak a geoid, vagy a tengerszint<br />
feletti abszolút magassága. Az (1.2.1.1.-7) összefüggésben a negatív elıjel arra utal,<br />
hogy míg a nehézségi erı a Föld belseje felé mutat, addig a magasságot fordítva, a középtengerszinttıl<br />
„felfelé” értelmezzük pozitívnak.<br />
P<br />
P<br />
g<br />
függıvonal<br />
0<br />
0<br />
g<br />
geoid<br />
1.2.1.1.-4. ábra: A tengerszint feletti magasság a függıvonal mentén értelmezett távolság
15<br />
Az (1.2.1.1.-7) összefüggés levezetésekor feltételeztük, hogy a két szintfelület között<br />
a nehézségi erı sem nagyságát, sem irányát nem változtatja. Mivel ez valójában nincs így, a<br />
magasságot szigorú értelemben véve nem egyenes, hanem egy ún. kettıs csavarodású térbeli<br />
görbe vonal, a függıvonal mentén kell értelmeznünk. Könnyen belátható, hogy a függıvonal<br />
tetszıleges pontjában húzott érintı megadja nehézségi erı irányát.<br />
Tekintsünk a továbbiakban két szomszédos szintfelületet! Mivel mindkét szintfelület<br />
minden pontjához ugyanazon potenciál tartozik, nyilvánvaló, hogy a két szintfelület közötti<br />
∆W potenciálkülönbség állandó, azaz a P-vel és Q-val jelzett tetszıleges szintfelületre az<br />
(1.2.1.1.-7) összefüggés szerint fennáll:<br />
Q<br />
P<br />
( W −W<br />
) − ( W −W<br />
)<br />
∆ W = W −W<br />
=<br />
. (1.2.1.1.-8)<br />
Q<br />
0<br />
P<br />
0<br />
A szintfelületek közti távolságot jelöljük<br />
∆ m = m Q<br />
− m -vel, ekkor (1.2.1.1.-5. ábra):<br />
P<br />
∆ W = −g<br />
⋅ ∆m<br />
. (1.2.1.1.-9)<br />
Q szintfelülete<br />
W Q<br />
∆m<br />
m Q<br />
P szintfelülete<br />
W P<br />
W 0<br />
m P<br />
geoid<br />
A<br />
1.2.1.1.-5. ábra: A magasságkülönbség értelmezése<br />
P<br />
∆ m = m Q<br />
− m érték két tetszıleges szintfelületnek vagy a P, vagy a Q ponton átmenı<br />
függıleges mentén vett távolsága. Közeli P és Q pontok esetén a két érték eltérése elhanyagolható.<br />
A ∆m érték ekkor a különbözı szintfelületeken lévı P és Q pontok magasságkülönbsége<br />
(relatív magassága). Hagyományosan mindig két pont közötti magasságkülönbséget<br />
mérünk.<br />
Ha ismerjük az egyik szintfelületen (pld. P) lévı pont abszolút magasságát, akkor a<br />
másik (pld. Q) szintfelületen lévı pont abszolút magassága<br />
m Q<br />
= m P<br />
+ ∆m<br />
. (1.2.1.1.-10)<br />
Mivel a nehézségi erı értéke az egyenlítıtıl a sarkok felé nı, azaz<br />
g > g , viszont<br />
∆W állandó, ez csak úgy képzelhetı el, hogy a két szintfelület közötti ∆m távolságokra<br />
∆ m > ∆ áll fenn, azaz a szintfelületek nem párhuzamosak egymással, hanem a sarkok<br />
ekv.<br />
m pol.<br />
felé összehajlanak (1.2.1.1.-6. ábra), ugyanis<br />
∆ W = g ⋅ ∆mekv = g ⋅ ∆m<br />
.<br />
ekv.<br />
.<br />
pol.<br />
pol.<br />
pol.<br />
ekv.
16<br />
g pol. .<br />
∆m pol. W Q<br />
W P<br />
Egyenlítı ∆m ekv. g ekv.<br />
1.2.1.1.-6. ábra: A szintfelületek a sarkok felé összehajlanak<br />
m<br />
m<br />
A geoidon g<br />
ekv.<br />
≅ 9,78<br />
, g<br />
2 pol.<br />
≅ 9,83 . Ha a ∆m nagysága az Egyenlítın pld. 100<br />
2<br />
s<br />
s<br />
m, úgy<br />
9,78 ⋅100 m<br />
∆m<br />
pol.<br />
=<br />
≅ 99,5 m ,<br />
9,83<br />
azaz mintegy 0,5 m-rel kisebb. Alsó-geodéziai méréseinkben a szintfelületek nem párhuzamos<br />
voltától – éppúgy, mint a függıvonal görbeségétıl – általában eltekinthetünk.<br />
Írjuk fel végül az (1.2.1.1.-6) összefüggést<br />
dW<br />
d r = (1.2.1.1.-10)<br />
g<br />
alakban. A g értéke véges mennyiség, dW értéke pedig nem zérus, tehát dr semmilyen körülmények<br />
között nem lehet zérus. Ez azt jelenti, hogy a szintfelületek nem metszhetik egymást.<br />
Tetszıleges P földfelszíni pont helyzetét egy, a Földhöz kapcsolt koordinátarendszerben<br />
az m abszolút magasságával, aΦ ′ szintfelületi földrajzi szélességével és a Λ′ szintfelületi<br />
földrajzi hosszúságával adják meg (1.2.1.1.-7. ábra).<br />
A Föld forgástengelye<br />
függıvonal<br />
szintfelületi normális<br />
P ( Φ ′,Λ<br />
′,m<br />
)<br />
m<br />
geoid<br />
P pont szintfelülete<br />
Λ′<br />
Φ ′<br />
Egyenlítı síkja<br />
1.2.1.1.-7. ábra: Földfelszíni pont szintfelületi koordinátái
17<br />
1.2.1.2. A földi ellipszoid<br />
A földi ellipszoid a Föld valódi alakját helyettesítı forgási ellipszoid (1.2.1.2.-1. ábra).<br />
forgástengely<br />
b<br />
q<br />
a<br />
meridián-ellipszis<br />
a<br />
Egyenlítı<br />
1.2.1.2.-1. ábra: A földi ellipszoid a nagy féltengelye és b kis féltengelye<br />
A földi ellipszoid alakját nem befolyásolják a Föld tömegelrendezıdésének rendellenességei,<br />
a rá értelmezett ún. normál nehézségi erıtér jól illeszkedik a Föld nehézségi erıteréhez<br />
és egyszerően számítható. Így a földi ellipszoidot geometriai méretei mellett a Föld<br />
együttes tömege és szögsebessége is jellemzi. A földi ellipszoid ún. szintellipszoid, ami azt jelenti,<br />
hogy az ellipszoid felülete önmaga nehézségi erıterének szintfelülete. Mindebbıl következik,<br />
hogy a geoidhoz az elméletileg legjobban simuló ellipszoid is attól kisebb-nagyobb<br />
mértékben eltér. Szárazföldeknél általában a geoid alatt, a tengereknél pedig a geoid felett halad<br />
(1.2.1.2.-2. ábra).<br />
kontinens<br />
geoid<br />
földi ellipszoid<br />
1.2.1.2.-2. ábra: A földi ellipszoid elhelyezkedése<br />
Ha az ellipszoidot a forgástengelyén áthaladó síkkal elmetsszük, az ún. meridiánellipszishez<br />
jutunk. A földi ellipszoid méretét és alakját az ellipszoid fél nagytengelyével, a-<br />
val és fél kistengelyével, b-vel adják meg (1.2.1.2.-1. ábra). Az a és b értékekbıl levezethetık<br />
a földi ellipszoidra vonatkozó alábbi paraméterek:<br />
q - meridiánkvadráns<br />
a − b<br />
α = - az ellipszoid lapultsága (1.2.1.2.-1)<br />
a<br />
2 2<br />
a − b<br />
e = - elsı, a fél nagytengelyre vonatkozó numerikus excentricitás<br />
2<br />
a<br />
(1.2.1.2.-2)
18<br />
2 2<br />
a - b<br />
e′ = - második, a fél kistengelyre vonatkozó numerikus excentricitás<br />
2<br />
b<br />
Összefüggések a két numerikus excentricitás között:<br />
(1.2.1.2.-3)<br />
2<br />
2<br />
2 e 2 e′<br />
e′ = ; e = . (1.2.1.2.-4)<br />
2<br />
2<br />
1−<br />
e 1+<br />
e′<br />
Meghatározásuk idejétıl, helyétıl és módjától függıen az egyes földi ellipszoidok méretei<br />
különböznek egymástól. Az 1.2.1.2.-1. táblázatban összefoglaljuk a Magyarországon is<br />
használatos ellipszoidok legfontosabb paramétereit.<br />
1.2.1.2.-1. táblázat: Magyarországon is használatos ellipszoidok paraméterei<br />
Az ellipszoid Közlésének a (m) b (m) α<br />
neve éve<br />
Bessel 1842 6377397,155 6356078,963 1:299,153<br />
Kraszovszkij 1940 6378245 6356863,019 1:298,3<br />
IUGG/1967 1967 6378160 6356774,516 1:298,247<br />
WGS84 1984 6378137 6356752,3142 1:298,257<br />
Tetszıleges P földfelszíni pont helyzetét az ellipszoidhoz kapcsolt koordinátarendszerekben<br />
adják meg: ellipszoidi X, Y, Z térbeli koordinátáival, vagy h ellipszoid feletti magasságával,<br />
Φ ellipszoidi földrajzi szélességével és Λ ellipszoidi földrajzi hosszúságával<br />
(1.2.1.2.-2. ábra). A két rendszer között az átszámítás zárt képletekkel történik (5.1. fejezet).<br />
Z<br />
θ<br />
ellipszoidi normális<br />
P(Φ, Λ, h)<br />
szintfelületi normális<br />
Greenwichi<br />
ellipszoidi meridián<br />
P’<br />
h<br />
α<br />
Λ<br />
Φ<br />
Q’<br />
A P pont<br />
ellipszoidi meridiánja<br />
Y<br />
X<br />
(Greenwich)<br />
Ellipszoidi egyenlítı síkja<br />
1.2.1.2.-2. ábra: Helymeghatározó adatok a földi ellipszoidon<br />
Az ellipszoid felületébıl az ellipszoid forgástengelyén átfektetett síkok a meridiánokat,<br />
az Egyenlítı síkjával párhuzamos síkok a szélességi köröket metszik ki. Valamely ellipszoidi<br />
P pont földrajzi szélességén a P pont normálisának (amely – a pólusokban és az Egyenlítı<br />
pontjain emelt normálisok kivételével - nem megy át az ellipszoid középpontján) az ellip-
19<br />
szoidi egyenlítı síkjával bezárt szögét, Λ földrajzi hosszúságán a P ponton átmenı meridiánnak<br />
egy – a vetület szempontjából tetszılegesen választott – ún. kezdı-meridiánnal bezárt<br />
szögét értjük. A <strong>vetületek</strong>nél, így pld. a Magyarországon is használatban lévı Gauss-Krüger<br />
vetületnél a kezdı-meridián gyakran az ismert greenwichi meridiánnal esik egybe, de pld. az<br />
Ausztriában érvényes Gauss-Krüger vetület ún. ferroi kezdı-meridiánja mintegy 17 o 40′ -cel<br />
esik nyugat felé a greenwichi meridiántól.<br />
Definíciószerően soroljunk fel néhány további fontos fogalmat:<br />
Valamely P’Q’ ellipszoidi ív (1.2.1.2.-2. ábra) földrajzi azimutja a P’ pontban az ívnek<br />
a P’ ponton átmenı meridián északi ágával bezárt α szöge, a meridián és az ív P’ pontbeli<br />
érintıi között, az óramutató járásával megegyezı irányban értelmezve.<br />
2<br />
a<br />
2 a<br />
c = = a ⋅ 1+<br />
e′<br />
= - pólusgörbületi sugár (1.2.1.2.-5)<br />
2<br />
1−<br />
e<br />
b<br />
(Ellipszoidi földrajzi szélességtıl függı) segédmennyiségek:<br />
2 2<br />
2 2<br />
V = 1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ;<br />
W = 1−<br />
e ⋅ sin Φ ;<br />
M=<br />
N =<br />
2<br />
a ⋅ ( 1−<br />
e )<br />
2 2<br />
( 1−<br />
e ⋅sin<br />
Φ)<br />
1−<br />
e<br />
2<br />
a<br />
⋅sin<br />
2<br />
Φ<br />
3<br />
2<br />
=<br />
=<br />
1<br />
2<br />
a ⋅ ( 1+<br />
e′<br />
) 2<br />
3<br />
2 2<br />
( 1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ) 2<br />
1<br />
2<br />
a ⋅ ( 1+<br />
e′<br />
) 2<br />
1<br />
2 2<br />
( 1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ) 2<br />
Kapcsolatok a segédmennyiségek között:<br />
- az ellipszoid meridián irányú görbületi sugara<br />
(1.2.1.2.-6)<br />
- az ellipszoid harántgörbületi sugara<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
(1.2.1.2.-7)<br />
c a ⋅<br />
N = =<br />
3<br />
3<br />
V W<br />
; (1.2.1.2.-8)<br />
c a<br />
N = = .<br />
V W<br />
(1.2.1.2.-9)<br />
a<br />
Φ = 0 esetén, vagyis az egyenlítın M = 2<br />
1+<br />
e′<br />
, N = a ;<br />
o<br />
Φ = 90 esetén, vagyis a póluson<br />
M = N = a ⋅ 1 + e′<br />
= c . Innen származik c – re a pólusgörbületi sugár elnevezés.<br />
2<br />
A P’ és Q’ pontok távolsága az ellipszoidon a pontokat összekötı legrövidebb ellipszoidi<br />
ív, a geodéziai vonal. Az ellipszoid P’ pontbeli normálisán és a Q’ ponton átfektetett<br />
sík, valamint a Q’ pontbeli normálisán és a P’ ponton átfektetett sík által az ellipszoid felületébıl<br />
kimetszett normálmetszetek nem azonosak (1.2.1.2.-3. ábra), mivel az ellipszoid lapultsága<br />
miatt a normálisok nem esnek egy síkba, hanem kitérı egyenesek (kivéve, ha a P’ és Q’<br />
pontok egy meridiánon, vagy egy szélességi körön helyezkednek el). A geodéziai vonal 1/3 és<br />
2/3 arányban osztja a két normálmetszetet és folyamatosan követi a kitérı egyenesek változását,<br />
minden egyes pontjában a görbületi sugár iránya egybeesik a felületi normálissal. Mivel<br />
∆ értéke csekély (100 km-es távolságon is csak mintegy 0,04"), e tulajdonságnak csak az ellipszoidon,<br />
mint alapfelületen végzett számítások egyértelmősége szempontjából, a földrajzi<br />
koordináták és a földrajzi azimutok számításánál van jelentısége.
20<br />
P’<br />
P’Q’ normálmetszet<br />
Q’P’ normálmetszet<br />
1.2.1.2.-3. ábra: Normálmetszetek és a geodéziai vonal<br />
Tekintsük az 1.2.1.1.-7. és a 1.2.1.2.-2. ábrát!<br />
Az ábrák alapján a geoid és a földi ellipszoid eltéréseit az alábbi fogalmakkal rögzítjük:<br />
Függıvonal-elhajlás (a szintfelületi és az ellipszoidi normális által bezárt szög):<br />
∆<br />
2<br />
2<br />
( Φ′<br />
− Φ) + ( Λ′<br />
− Λ) ⋅ cosΦ<br />
2<br />
θ =<br />
(1.2.1.2.-10)<br />
Geoidunduláció (az ellipszoidi és a tengerszint feletti magasság különbsége):<br />
Q’<br />
N<br />
= h − m<br />
(1.2.1.2.-11)<br />
E két mennyiség ismerete lehetıvé teszi a geoidról az ellipszoidra történı áttérést. A<br />
függıvonal-elhajlás a gyakorlati esetek többségében elhanyagolható, a függıvonalak ekkor az<br />
ellipszoid normálisai.<br />
A hazai és nemzetközi szakirodalom a harántgörbületi sugarat és a geoidundulációt<br />
egyaránt N-nel jelöli. A jelöléseket mi is megtartottuk. A két jelölés ugyanazon összefüggésekben<br />
sohasem keveredik, s mindig világos lesz, mikor melyikrıl van szó.<br />
Azt az ellipszoidot, amelyre az egyes országok térképezési rendszerüket vonatkoztatják,<br />
vonatkoztatási ellipszoidnak, vagy vonatkoztatási rendszernek nevezzük (1.2.-1. ábra). A<br />
vonatkoztatási ellipszoid olyan földi ellipszoid, amelynek földfelszíni kezdıpontja és tájékozása<br />
van, valamint ismert a geoidunduláció a kezdıpontban.<br />
A vonatkoztatási ellipszoid méreteit a kezdeti idıszakban a fokmérések segítségével<br />
határozták meg. A fokmérés során az ellipszoidi meridiánív egy szakaszát, valamint az ív két<br />
végpontjának földrajzi szélességét (Φ 1 , Φ 2 ) mérték. A meridiánszakasz hosszából és a két szélesség<br />
fokértékben adott különbségébıl vezették le a meridiánív hosszát és az ellipszoid<br />
egyéb paramétereit. Mivel – mint láttuk – az M meridián irányú és az N harántgörbületi sugár<br />
az ellipszoidon pontról pontra változik, az ellipszoidok mérete attól függ, hogy a fenti adatokat<br />
a Föld mely részén határozták meg. Az így meghatározott ellipszoid a meghatározás helyén<br />
simul legjobban a geoidhoz, így egy adott ország számára annak az ellipszoidnak a használata<br />
célszerő, amelyet a hozzá minél közelebb esı helyen határoztak meg. A mőholdak segítségével<br />
végzett ellipszoid-meghatározások és a GPS elterjedése az egész világon ugyanazon<br />
vonatkoztatási ellipszoid használatát követeli meg, az arra vonatkozó eredményeket<br />
minden országnak át kell számítania a saját vonatkoztatási rendszerére (5. fejezet).<br />
Magyarországon a polgári célú geodéziai munkáknál és térképeknél sokáig a Besselféle<br />
vonatkoztatási ellipszoidot használták, 1975-tıl, az Egységes Országos Térképrendszerre<br />
történı áttéréskor a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió által 1967-ben elfogadott<br />
IUGG/1967 ellipszoidot vezették be. A GPS mérések eredményei a WGS84 ellipszoidra vonatkoznak.<br />
A rendszerváltás elıtt a Varsói Szerzıdés keretén belül katonai térképeit Magyarország<br />
is a Kraszovszkij-féle ellipszoidra vonatkoztatta.
21<br />
A vonatkoztatási ellipszoidok országonként különbözıek, de még ugyanazon országon<br />
– így Magyarországon - belül is a különbözı idıszakokban változtak. A vonatkoztatási rendszer<br />
elnevezés helyett gyakran használják a geodéziai dátum elnevezést is. Ebben az értelemben<br />
használatos Magyarországon az IUGG/1967 vonatkozási ellipszoid helyett a HD-72<br />
(Hungarian Datum 1972) elnevezés.<br />
1.2.1.3. A földgömb<br />
A Föld méreteit Newtonig visszamenıen egyetlen paraméterrel, a sugárral jellemezték.<br />
A Krisztus elıtt 3. században élt Eratosthenes volt az elsı, aki a földgömb sugarát megállapította<br />
(1.2.1.3.-1. ábra).<br />
forgástengely<br />
o<br />
≈ 7,2<br />
Nap<br />
R<br />
Alexandria<br />
R<br />
Syene (Asszuán)<br />
Gömbi egyenlítı<br />
1.2.1.3.-1. ábra: A földgömb sugarának meghatározása<br />
Eratosthenes megfigyelte, hogy a nyári napforduló idején, délben Syenében (a mai<br />
Asszuán) a napsugarak egy kút fenekét megvilágították, vagyis merılegesen érkeztek a Föld<br />
felületére, míg egy teljesen hasonló idıpontban Alexandriában a teljes kör mintegy 1/50-ed<br />
o<br />
részével eltértek ( ≈ 7,2 ). Az Alexandria és Syene közötti gömbi meridiánív hosszára a két<br />
hely között áthaladó karaván haladási idejébıl és sebességébıl következtetett (mai hosszmértékben<br />
ez a távolság mintegy 672 km.). Ez nyilvánvalóan pontatlan, hiszen Alexandria és<br />
Syene nincsenek ugyanazon a meridiánon és a napsugarak nem pontosan függılegesek.<br />
Az R sugarú körben az ív és a sugár hányadosa egyenlı a középponti szög radiánban<br />
kifejezett értékével, ahonnan:<br />
o<br />
672 180<br />
R = ⋅ = 5350 km .<br />
π<br />
o<br />
7,2<br />
Ez az érték mintegy 16%-kal kisebb a ma ismert R = 6370 km körüli értéknél.<br />
A földgömbön egy P’ pont helyét a ϕ gömbi földrajzi szélesség és a λ gömbi földrajzi<br />
hosszúság határozzák meg (1.2.1.3.-2. ábra).<br />
A földrajzi szélesség és hosszúság, valamint a földrajzi azimut meghatározása megegyezik<br />
a földi ellipszoidnál megfogalmazott meghatározásokkal, az „ellipszoidi” kifejezést a<br />
gömbi” kifejezéssel helyettesítjük.
22<br />
A gömb forgástengelye<br />
P(ϕ, λ)<br />
gömbi normális<br />
Gömbi kezdımeridián<br />
P’<br />
Q’<br />
α g<br />
λ<br />
ϕ<br />
A P pont<br />
gömbi meridiánja<br />
Gömbi egyenlítı<br />
síkja<br />
1.2.1.3.-2. ábra: Helymeghatározó adatok a földgömbön<br />
A P’ és Q’ gömbi pontok közötti legrövidebb vonal a legnagyobb gömbi kör e két pont<br />
közé esı íve, a gömbi geodéziai vonal. Az 1.2.1.3.-3. ábrán két további gömbi vonalat ábrázolunk:<br />
az ortodrómát és a loxodrómát.<br />
ortodróma<br />
α<br />
α<br />
α<br />
azimut<br />
loxodróma<br />
1.2.1.3.-3. ábra: Ortodróma és loxodróma<br />
Az ortodróma görög szó, szó szerinti fordításban „egyenes futást” jelent. Az a hajó,<br />
amely e vonal mentén törekszik céljának elérésére, a legrövidebb utat, vagyis a legnagyobb<br />
gömbi körívet követi. Az ortodróma és a gömbi geodéziai vonal ekvivalens kifejezések. Látjuk,<br />
hogy a meridiánokat mindig más-más szög alatt metszik, az e szerinti tájékozódás nem<br />
egyszerő. A loxodróma „ferde futást” jelent és azimutja állandó, a meridiánok és az egyenlítı<br />
mentén a legnagyobb gömbi kör, a szélességi körök mentén gömbi kör. Más irányban egy<br />
olyan csavarvonal, amely aszimptotikusan közeledik, csavarodik a pólushoz. A régi hajósok<br />
csak arra ügyeltek, hogy iránytőjük segítségével ezt a szöget tartsák. A navigálás így egyszerő,<br />
de idıveszteséges volt, a loxodróma ugyanis hosszabb, mint az ortodróma.<br />
Kisebb kiterjedéső országokban, mint amilyen Magyarország is, az ellipszoid felületének<br />
egy darabját egy ún. simulógömbbel helyettesíthetik. Ez a gömb az ellipszoidot az ábrázolandó<br />
terület közepe táján megválasztott pont környezetében érinti. Az ellipszoid és a simulógömb<br />
felületei olyan közel esnek egymáshoz, hogy a mérési eredményeket közvetlenül gömbi
23<br />
adatoknak tekinthetjük. Ezt az ellipszoid felületéhez legjobban simuló gömböt Gaussgömbnek<br />
nevezik. A Gauss-gömb sugara egy megfelelıen kiválasztott pontban az ellipszoid<br />
meridián irányú és harántgörbületi sugarának mértani közepe (3.1.1.2. pont):<br />
c<br />
R = M ⋅ N = . (1.2.1.3.-1)<br />
2<br />
V<br />
A gömb és a sík közötti összefüggések sokkal egyszerőbbek, mint az ellipszoid és a<br />
sík közöttiek, ami a számítástechnika régi fejlettségi szintjén különösen fontos volt. Magyarországon<br />
a Gauss-gömböt 1857 óta az ún. „kettıs vetítés” esetén alkalmazzák. A vetítés elsı<br />
lépése az ellipszoidról a Gauss-gömbre, a második a Gauss-gömbrıl a síkra történı vetítés.<br />
Az ellipszoidról a Gauss-gömbre vetítés eredménye a Gauss-féle gömbi vetület, amelynek<br />
számítási összefüggéseire és tulajdonságainak ismertetésére a 3. fejezetben térünk vissza.<br />
1.2.1.4. A síkvetület. Vetületi koordinátarendszerek.<br />
A síkban, vagy a síkba teríthetı képfelületen (továbbiakban: vetület, 1.2.-1. ábra) egy<br />
P pont helyét egy y, x sík derékszögő koordinátarendszerben, a vetületi koordinátarendszerben<br />
értelmezzük. Egy ország vetületi koordinátarendszerének kezdıpontját célszerően az ország<br />
közepe táján választják meg. Az alkalmazandó vetület megválasztását alapvetıen az ország<br />
alakja, a Földön való elhelyezkedése, területi és hosszanti irányú kiterjedésének mértéke<br />
befolyásolja. Más vetületet választanak pld. a meridián irányában hosszan elnyúló ország, pld.<br />
Chile, vagy a különbözı irányokban nagyjából azonos kiterjedéső Franciaország esetében.<br />
Nagy kiterjedéső országok esetén általában több - hasonló típusú és tulajdonságú – vetületi<br />
koordinátarendszert használnak, mindegyiket külön kezdıponttal.<br />
A vetületi koordinátarendszer x tengelye a kezdıponton áthaladó meridiánnak, a kezdı-meridiánnak,<br />
y tengelye a kezdıirányra az alapfelületen is merıleges alapfelületi vonalnak<br />
a vetületben egyenesként jelentkezı képe. A továbbiakban a koordinátákat y, x sorrendben<br />
használjuk. A matematikában megszokott sík derékszögő koordinátarendszerrel ellentétben a<br />
vetületi koordinátarendszerben az y tengely pozitív ágát az x tengely pozitív ágától jobbra, az<br />
óramutató járásának megfelelı irányban kapjuk. E koordinátarendszer használatának oka feltehetıen<br />
az a hagyományos szemlélet, amellyel összhangban a geodéziában használatos<br />
szögmérımőszereken a vízszintes szöget az óramutató járásával megegyezı irányban növekvı<br />
fokbeosztáson olvassuk le, mert – mint a jobboldali közlekedést – ezt érezzük természetesnek.<br />
Ebben a rendszerben minden, a matematikában megszokott koordináta-geometriai összefüggés<br />
érvényben marad.<br />
+x<br />
+y<br />
y Q<br />
d<br />
P<br />
y P<br />
δ PQ<br />
∆x PQ<br />
K<br />
x P<br />
x Q<br />
∆x PQ<br />
δ PQ<br />
∆y PQ<br />
d<br />
Q<br />
δ QP<br />
δ QP<br />
Q<br />
∆y PQ<br />
x Q<br />
x P<br />
K<br />
P<br />
y P<br />
y Q<br />
+y<br />
a) +x<br />
b)<br />
1.2.1.4.-1. ábra: Vetületi koordinátarendszerek<br />
a) délnyugati tájékozás b) északkeleti tájékozás
24<br />
A vetületi koordinátarendszerek x tengelyének pozitív ága (a +x tengely) dél, vagy<br />
észak elé mutat. Dél felé mutató +x tengelynél délnyugati, észak felé mutató +x tengelynél<br />
északkeleti tájékozású vetületi koordinátarendszerrıl beszélünk (1.2.1.4.-1. ábra).<br />
A vetületi koordinátarendszerben a pont helyét y és x derékszögő koordinátáival adjuk<br />
meg.<br />
o o<br />
A δ irányszög alatt azt a 0 és 360 közé esı szöget értjük, amelyet egy vetületi síkon<br />
lévı P pontból egy másik, ugyanazon síkon lévı Q pont felé menı irány a +x tengely irányával<br />
az óramutató járásával megegyezı irányban bezár. Az 1.2.1.4.-1. a) és b) ábrákból láthatóan<br />
a Q pontból a P pontba menı ellentétes irány irányszöge ettıl 180 -kal<br />
o<br />
különbözik:<br />
o<br />
δ<br />
PQ<br />
= δQP<br />
± 180 . (1.2.1.4.-1)<br />
Az alap- és a képfelület között a kapcsolatot a vetületi egyenletek teremtik meg. Utóbbiak<br />
az y és x vetületi koordinátákat fejezik ki az ellipszoidi földrajzi Φ szélesség és a Λ ellipszoidi<br />
földrajzi hosszúság függvényében. Szimbolikus jelöléssel:<br />
y =<br />
x =<br />
f<br />
y<br />
x<br />
( Φ,<br />
Λ),<br />
f ( Φ,<br />
Λ).<br />
(1.2.1.4.-2)<br />
A vetületi egyenletekkel szemben az alábbi feltételeket kívánják meg:<br />
− az alapfelület minden pontjának csak egy és csakis egy pont feleljen meg a képfelületen,<br />
− a vetületi egyenletek folytonosak és differenciálhatók, deriváltjaik szintén folytonosak<br />
legyenek,<br />
− kielégítsék a torzulásokra (1.2.2. pont) megadott követelményeket.<br />
Fordítva, kifejezhetjük a Φ és Λ ellipszoidi földrajzi koordinátákat a vetületi koordináták<br />
függvényében:<br />
Φ =<br />
Λ =<br />
f<br />
f<br />
Φ<br />
Λ<br />
( y,<br />
x),<br />
( y,<br />
x).<br />
(1.2.1.4.-3)<br />
Utóbbiak az ún. inverz vetületi egyenletek.<br />
A vetületi egyenleteket nem minden térképezendı pontra használják. Az ellipszoidon<br />
korlátozott számú pont földrajzi koordinátái és a szomszédos pontok közötti földrajzi<br />
azimutok meghatározása után azokat a vetületi egyenletek segítségével számítják át vetületi<br />
koordinátákká és irányszögekké. Az ily módon definiált vetületben további, immár tetszıleges<br />
számú pontot már a sík derékszögő koordinátarendszerben érvényes összefüggések felhasználásával<br />
határoznak meg, a vetületi egyenletek alkalmazása nélkül.<br />
A geodézia fıfeladatai a vetületi koordinátarendszerben<br />
Elsı geodéziai fıfeladat: Egy vetületi koordinátarendszerben adott pont derékszögő<br />
koordinátáiból és egy másik pont felé menı egyenes szakasz δ irányszögébıl és d hosszából<br />
meghatározzuk a másik pont vetületi koordinátáit.<br />
Adottak: y P , x P – a P pont vetületi koordinátái,<br />
δ PQ – a P pontról a Q pontra mutató irány irányszöge,<br />
d – a P és Q pontok távolsága a vetületi koordinátarendszerben.<br />
Keressük: A Q pont y Q , x Q vetületi koordinátáit.
25<br />
A 1.2.1.4.-1. ábrából mind az északkeleti, mind a délnyugati tájékozású koordinátarendszerre:<br />
y<br />
x<br />
Q<br />
Q<br />
= y<br />
= y<br />
P<br />
P<br />
+ ∆y<br />
+ ∆x<br />
PQ<br />
PQ<br />
= y<br />
= x<br />
P<br />
P<br />
+ d ⋅ sinδ<br />
+ d ⋅ cosδ<br />
PQ<br />
PQ<br />
. (1.2.1.4.-4)<br />
Második geodéziai fıfeladat: Valamely vetületi koordinátarendszerben adott két pont<br />
derékszögő koordinátáiból meghatározzuk a két pont közötti egyenes szakasz d hosszát (a két<br />
pont távolságát) és az egyenes szakasz δ irányszögét.<br />
Adottak: y P , x P , y Q , x Q – a P és Q pontok vetületi koordinátái,<br />
Keressük: δ PQ – a P pontról a Q pontra mutató irány irányszögét,<br />
d – a P és Q pontok távolságát a vetületi koordinátarendszerben.<br />
Ugyancsak a 1.2.1.4.-1. ábrából<br />
tan δ<br />
∆ y<br />
PQ<br />
PQ<br />
= =<br />
∆<br />
x<br />
PQ<br />
y<br />
x<br />
Q<br />
Q<br />
− y<br />
− x<br />
P<br />
P<br />
, (1.2.1.4.-5)<br />
Mivel<br />
o<br />
360 ( − ∆y)<br />
2<br />
2<br />
PQ PQ<br />
=<br />
2<br />
( y − y ) + ( x − ) 2<br />
d = ∆ y + ∆ x<br />
x . (1.2.1.4.-6)<br />
0 < 360<br />
IV. I.<br />
y = −<br />
x = +<br />
P<br />
y = −<br />
x = −<br />
Q III<br />
Q IV<br />
1.2.1.4.-2. ábra: Az irányszög elıjelei<br />
o<br />
o<br />
< δ<br />
PQ<br />
, ezért<br />
PQ<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
cosδ és sinδ<br />
PQ<br />
, s így az (1.2.1.4.-5) kifejezésbıl<br />
számítható δ<br />
PQ<br />
elıjeles mennyiség, attól függıen, hogy az irányszög melyik (I., II., III., IV.)<br />
szög negyedbe esik. A szögnegyedek értelmezését és a koordinátakülönbségek ( ∆ y , ∆x<br />
)<br />
elıjeleit az 1.2.1.4.-2. ábrán szemléltetjük.<br />
III. II.<br />
1.2.2. Vetületi torzulások és redukciók<br />
∆<br />
∆<br />
∆<br />
∆<br />
( )<br />
+ ∆x<br />
∆y<br />
= +<br />
∆x<br />
= +<br />
A geoid a magasságok szempontjából nem, de a síkrajz térképezésének mindennapos<br />
gyakorlata szempontjából elfogadható mértékben helyettesíthetı az ellipszoiddal. Az ellipszoidi<br />
görbe vonalak és felületek síkba vetítésekor azonban nem elhanyagolható torzulások lépnek<br />
fel. A térképalkotás során arra kell törekednünk, hogy a síkrajzot és a síkban ábrázolt<br />
domborzatot alkotó természetes és mesterséges tereptárgyakat lehetıleg valódi alakjukban<br />
0<br />
o<br />
o<br />
180 ( − ∆x)<br />
δ<br />
PQ<br />
Q II<br />
Q I<br />
∆y<br />
= +<br />
∆x<br />
= −<br />
o<br />
90 ( + ∆y)<br />
PQ<br />
PQ
26<br />
vagy ahhoz minél közelebb mutassuk be. Ebbıl a szempontból a torzulások annál nagyobbak,<br />
szembetőnıbbek és zavaróbbak, minél nagyobb a földfelszínnek az a része, amelyet a térképen<br />
ábrázolni akarunk. Szélsı esetben, ha például az egész Földet egy térképen kívánjuk ábrázolni,<br />
az 1.2.2.-1. ábrán vázolt helyzet állhat elı, amikor az egyes földrészek térképi területe<br />
jelentıs mértékben ellentmond a valóságos területi adatoknak.<br />
1.2.2.-1. ábra: A földfelszíni alakzatok torzulnak a síkban<br />
Fordítva, minél kisebb a térképen ábrázolni kívánt földfelület, annál kisebbek a torzulások,<br />
míg végül eljutunk egy akkora területhez, amelynek térképi ábrázolásakor a térképezési<br />
gyakorlat szempontjából a torzulások mértéke már elhanyagolható. E terület nagysága a térkép<br />
méretarányától és a térképi ábrázolás elıírt megbízhatóságától függ, s emiatt relatív. Határozzuk<br />
meg azt a - a méretaránytól függı - legnagyobb területet, amelyen belül a torzulások<br />
figyelmen kívül hagyhatók. A területi korlátok betartása esetén vetítésre nincs szükség.<br />
Induljunk ki abból, hogy a grafikus térképen az egymáshoz 0,1 mm-nél közelebb esı<br />
pontokat már nem tudjuk egymástól megkülönböztetni. Ez pld. 1:10000 méretarány esetén a<br />
terepen (pontosabban a vetületen) 0 ,1mm ⋅10000<br />
= 1000 mm = 1m<br />
-nek felel meg. Az<br />
1.2.2. - 2. ábrán a vízszintes felületet az egyszerőség kedvéért gömbbel helyettesítjük.<br />
1.2.2.-2. ábra: A torzulás mértéke a felület nagyságától függ<br />
A földgömb R sugara mintegy 6380 km. A γ az s gömbi hosszhoz tartozó középponti<br />
szög. Az s hossznak az érintési síkra, más szóval, a K pont vízszintes síkjára vetített értéke d.
27<br />
A kettı különbsége az s hossz torzulásának a terepen megengedhetı mértéke, esetünkben<br />
1 m = 0,001km . Az ábrából<br />
∆s<br />
= d − s = R ⋅ tan γ − s,<br />
s<br />
∆ s = R ⋅ tan − s,<br />
(1.2.2.-1)<br />
R<br />
s<br />
∆ s = 6380 ⋅ tg − s.<br />
6380<br />
Az (1.2.2.-1) egyenletet az s = 50 km érték elégíti ki, azaz a torzulást a K pont környezetében<br />
mintegy 50 km-es sugarú körben hagyhatjuk figyelmen kívül. Kisebb méretaránynál s<br />
értéke nagyobb, nagyobb méretaránynál kisebb. Pld. nagyobb, 1:1000 méretaránynál<br />
s = 23 km .<br />
A vetítés során a területek és hosszak torzulásával általánosságban a szögek is torzulnak.<br />
A vetületi egyenletek azonban megválaszthatók úgy, hogy valamelyik mennyiség a másik<br />
rovására a vetítéssel ne változzon.<br />
A képfelületen jelentkezı torzulások miatt a térképi ábrázoláskor a mért távolságokat,<br />
szögeket és területeket korrigálnunk kell. A korrekcióra szolgáló mennyiségeket vetületi redukcióknak<br />
nevezzük.<br />
1.2.2.1. Vetületi torzulások<br />
A hosszak el nem kerülhetı változása a vetületen azt jelenti, hogy a vetítéskor az alapfelületi<br />
méretek pontról pontra a helytıl függıen különbözı méretekben képzıdnek le a képfelületen.<br />
E különbségek rögzítésére az ún. vetületi méretarány kifejezés szolgál. Ezt a változást<br />
a hosszak torzulását jellemzı lineármodulussal értelmezzük:<br />
dd<br />
l = . (1.2.2.1.-1)<br />
ds<br />
A lineármodulus azt fejezi ki, hogy egy alapfelületi s hossz végtelen kis ds változásának<br />
a vetületi d hossz (1.2.2.1.-1. ábra) mekkora végtelen kis dd változása felel meg. Általános<br />
esetben dd<br />
≠ ds<br />
.<br />
A szögek torzulását a<br />
∆ γ = γ ′ − γ<br />
(1.2.2.1.-2)<br />
szögeltéréssel, s annak υ = ∆γ<br />
max<br />
maximális értékével jellemezzük (1.2.2.8. pont).<br />
Az (1.2.2.1.-2) összefüggésben γ ′ két tetszıleges irány közbezárt szöge a képfelületen, γ a<br />
megfelelı irányok által bezárt szög az alapfelületen.<br />
A vetületen lévı végtelen kis dT terület és a megfelelı alapfelületi dF felület<br />
dT<br />
τ =<br />
(1.2.2.1.-3)<br />
dF<br />
hányadosát területi modulusnak nevezzük. A területtorzulás függvénye a hosszak és szögek<br />
torzulásának.<br />
A hosszak, szögek és területek fenti torzulásainak mértékszámai minısítik a <strong>vetületek</strong><br />
használhatóságát, alkalmazásuk feltételeit. A továbbiakban, amikor alapfelületrıl beszélünk,<br />
ellipszoidot vagy gömböt, ha képfelületrıl, síkvetületet (vetületet) értünk alatta.
28<br />
A lineármodulus általános egyenlete<br />
Φ + dΦ<br />
M ⋅ dΦ<br />
r ⋅ dΛ<br />
y0 + dy,<br />
x0<br />
+ dx<br />
Φ + dΦ,<br />
Λ + dΛ<br />
dy<br />
x0 + dx<br />
ds<br />
dd<br />
dx<br />
α<br />
β<br />
a)<br />
Φ, Λ<br />
y , x b)<br />
0 0<br />
1.2.2.1.-1. ábra: Végtelen kis felületek az alapfelületen és a képfelületen<br />
Általános esetben az ellipszoidra, mint alapfelületre vonatkozóan a lineármodulus<br />
egyenletét egy tetszıleges Φ, Λ földrajzi koordinátájú pontban az alábbi levezetésbıl kaphatjuk<br />
meg (1.2.2.1.-1. ábra) :<br />
Az ábra szerint a vetületre<br />
az ellipszoidra<br />
dd +<br />
2 2<br />
= dx<br />
dy<br />
,<br />
igaz, ahol<br />
ds<br />
=<br />
( M ⋅ dΦ) 2<br />
+ ( r ⋅ dΛ) 2<br />
r = N<br />
⋅ cos<br />
Φ<br />
1 és (1.2.2.1.-4)<br />
M – a meridián irányú görbületi sugár (1.2.1.2.-6. képlet),<br />
N – a harántgörbületi sugár (1.2.1.2.-7. képlet).<br />
Helyettesítsük dd és ds kifejezéseit az (1.2.2.1.-1) képletbe, majd emeljük négyzetre! Kapjuk:<br />
Az<br />
l<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
( dd<br />
) dx<br />
+ dy<br />
=<br />
2<br />
( ds) ( M ⋅ dΦ) 2 + ( r ⋅ dΛ) 2<br />
= . (1.2.2.1.-5)<br />
y = f<br />
x = f<br />
y<br />
x<br />
( Φ , Λ)<br />
,<br />
( Φ , Λ)<br />
(1.2.1.4.-2)<br />
vetületi egyenletek teljes deriváltjai:<br />
∂x<br />
∂x<br />
dx<br />
= ⋅ dΦ<br />
+ ⋅ dΛ,<br />
∂Φ<br />
∂Λ<br />
.<br />
∂y<br />
∂y<br />
dy<br />
= ⋅ dΦ<br />
+ ⋅ dΛ<br />
∂Φ<br />
∂Λ<br />
1 Az (1.2.2.1.-4) összefüggés bizonyítása az „5.1.1. Ellipszoidi térbeli koordináták számítása ellipszoidi földrajzi<br />
koordinátákból” c. pontban található.
29<br />
2 2<br />
x + dy<br />
ösz-<br />
Az (1.2.2.1.-5) képlet jobboldala számlálójában kijelölt négyzetre emelés és a<br />
szegbıl kiemelés után<br />
d<br />
írható, ahol<br />
dx<br />
2<br />
+ dy<br />
2<br />
= E ⋅ dΦ<br />
2<br />
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ<br />
⋅ dΛ<br />
+ G ⋅ dΛ<br />
2<br />
F<br />
2<br />
⎛ ∂x<br />
⎞ ⎛ ∂y<br />
⎞<br />
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ,<br />
⎝ ∂Φ<br />
⎠ ⎝ ∂Φ<br />
⎠<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂y<br />
= ⋅ + ⋅ és<br />
∂Φ<br />
∂Λ<br />
∂Φ<br />
∂Λ<br />
⎛ ∂x<br />
⎞<br />
G = ⎜ ⎟<br />
⎝ ∂Λ<br />
⎠<br />
2<br />
⎛ ∂y<br />
⎞<br />
+ ⎜ ⎟<br />
⎝ ∂Λ<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
az ún. Gauss-féle állandók.<br />
Helyettesítsünk vissza az<br />
2<br />
l -re felírt (1.2.2.1.-5) összefüggésbe! Kapjuk:<br />
l<br />
2<br />
2<br />
2<br />
E ⋅ dΦ<br />
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ<br />
⋅ dΛ<br />
+ G ⋅ dΛ<br />
= .<br />
2 2 2 2<br />
M ⋅ dΦ<br />
+ r ⋅ dΛ<br />
Osszuk el a számlálót és a nevezıt is<br />
Írhatjuk:<br />
Az 1.2.2.1.-1. ábrából<br />
adódik, ahonnan<br />
2<br />
dΛ -tel, majd vezessük be az<br />
l<br />
2<br />
2 E ⋅u<br />
+ 2<br />
dΦ<br />
u = segédfüggvényt!<br />
dΛ<br />
⋅ F ⋅ u + G<br />
= . (1.2.2.1.-6)<br />
2 2 2<br />
M ⋅u<br />
+ r<br />
r ⋅ dΛ<br />
r<br />
tanα = =<br />
M ⋅ dΦ<br />
M ⋅ u<br />
r<br />
u = ⋅ cotα . M<br />
Az u – t az<br />
2<br />
l -re felírt (1.2.2.1.-6) kifejezésbe helyettesítve, írhatjuk:<br />
2<br />
⎛ r ⎞ r<br />
⎛ r ⎞ r<br />
E ⋅⎜<br />
⋅ cotα<br />
⎟ + 2 ⋅ F ⋅ ⋅ cotα<br />
+ G E ⋅⎜<br />
⋅ cotα<br />
⎟ + 2 ⋅ F ⋅ ⋅ cotα<br />
+ G<br />
2 ⎝ M ⎠ M<br />
=<br />
⎝ M<br />
=<br />
⎠ M<br />
l ,<br />
2<br />
2 2<br />
2 r 2 2<br />
r ⋅ ( cot α + 1)<br />
M ⋅ ⋅ cot α + r<br />
2<br />
M<br />
2<br />
de<br />
ezért<br />
1<br />
sinα =<br />
és<br />
2<br />
cot α + 1<br />
cotα<br />
cosα =<br />
,<br />
2<br />
cot α + 1
30<br />
2 E 2 F<br />
G 2<br />
l = ⋅ cos α + 2 ⋅ ⋅ sinα<br />
⋅ cosα<br />
+ ⋅ sin α .<br />
2<br />
2<br />
M<br />
M ⋅ r<br />
r<br />
E F<br />
G<br />
Vezessük be a P = , a Q = és a T = jelöléseket! Ekkor sin 2α<br />
= 2 ⋅ sinα<br />
⋅ cosα<br />
2<br />
2<br />
M M ⋅ r r<br />
helyettesítéssel a lineármodulus négyzetére kapjuk:<br />
Példa:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α<br />
+ T ⋅ sin α . (1.2.2.1.-7)<br />
A földgömbre vonatkozó vetületi egyenletek legyenek az alábbiak:<br />
1. Határozzuk meg a lineármodulust!<br />
Képezzük az alábbi parciális deriváltakat:<br />
y = R ⋅ λ<br />
.<br />
x = R ⋅ϕ<br />
Továbbá<br />
∂y<br />
∂y<br />
∂x<br />
∂x<br />
= R; = 0; = R;<br />
= 0 .<br />
∂λ<br />
∂ϕ<br />
∂ϕ<br />
∂λ<br />
M = R , N = R és az (1.2.2.1.-4) képlet szerint r = R ⋅ cosϕ<br />
, R a föld-<br />
mert a földgömbre<br />
gömb sugara.<br />
E =<br />
2<br />
2<br />
= R ; F = 0; G R ,<br />
1<br />
P = 1 ; Q = 0; T = ,<br />
2<br />
cos ϕ<br />
Az (1.2.2.1.-7) összefüggésbe helyettesítve, a lineármodulusra írhatjuk:<br />
2 2 1<br />
2<br />
l = cos α + ⋅sin<br />
α .<br />
2<br />
cos ϕ<br />
2. Számítsuk ki az l lineármodulusnak a gömbi meridián és a gömbi szélességi kör irányába<br />
esı m, ill. n értékeit!<br />
g<br />
A gömbi azimut a meridián irányában α = 0<br />
2<br />
értékeit az l képletébe helyettesítve, kapjuk:<br />
o<br />
, a szélességi kör irányában<br />
1<br />
l 0<br />
( ) = m = 1,<br />
l 0<br />
α 0 ( α 90 ) = n = .<br />
= =<br />
cosϕ<br />
g<br />
α<br />
o<br />
= 90<br />
A gömbi meridián hossza a vetületben nem szenved torzulást, a szélességi kör hossza az<br />
egyenlítıtıl való távolság függvényében 1-tıl ∞ -ig változik.<br />
1.2.2.2. Azimut eltérése a képfelületen<br />
Az 1.2.2.1.-1. ábra szerint az α földrajzi azimutnak a vetületen a β szög felel meg.<br />
Határozzuk meg β-t és eltérését az α földrajzi azimuttól (azimutredukció: ∆<br />
α<br />
= β −α<br />
,<br />
1.2.2.12. pont, (1.2.2.12.-1) képlet).<br />
! Az<br />
g<br />
α
31<br />
Két tetszıleges alapfelületi görbe képének közbezárt szöge a vetület síkjában legyen<br />
χ (1.2.2.2.-1. ábra).<br />
P 1<br />
χ<br />
P<br />
1.2.2.2.-1. ábra: Az alapfelületi görbék képe a vetületen is görbe<br />
A differenciálgeometriából két tetszıleges görbe közbezárt szögére ismert képlet (pld.<br />
Bronstejn-Szemengyajev, 1963, 320. old.) alapján a<br />
cos<br />
E ⋅ dΦ<br />
⋅ dΦ<br />
+ F ⋅<br />
( dΦ<br />
⋅ dΛ<br />
+ dΦ<br />
⋅ dΛ)<br />
1<br />
1 1<br />
1<br />
χ =<br />
(1.2.2.2.-1)<br />
dd<br />
⋅ dd<br />
1<br />
+ G ⋅ dΛ<br />
⋅ dΛ<br />
összefüggés írható fel, ahol E, F és G a Gauss-féle állandók, d Φ és dΛ<br />
a P pont Φ és Λ ,<br />
dΦ 1<br />
és dΛ1<br />
a P 1 pont Φ<br />
1<br />
és Λ1<br />
földrajzi koordinátáinak végtelen kis változásai, az elızı<br />
pont hasonló képlete szerint pedig<br />
dd<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
= dx<br />
+ dy<br />
= E ⋅ dΦ<br />
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ<br />
⋅ dΛ<br />
+ G ⋅ dΛ<br />
és<br />
dd<br />
2 2<br />
2<br />
1<br />
dx1<br />
+ dy1<br />
= E ⋅ dΦ1<br />
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ1<br />
⋅ dΛ1<br />
+ G ⋅ d<br />
= Λ .<br />
Ha a P 1 pont a meridiánon van, Λ<br />
1<br />
= konstans (a meridián mentén nincs változás,<br />
1.2.2.1.-1. a) ábra), ezért dΛ 1<br />
= 0 és χ = β . Az (1.2.2.2.-1) képlet ekkor a<br />
2<br />
1<br />
cos β =<br />
E ⋅ dΦ<br />
=<br />
dΦ<br />
⋅<br />
1<br />
2<br />
E ⋅ dΦ<br />
⋅ dΦ<br />
1<br />
+ F ⋅ dΦ<br />
⋅ dΛ<br />
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ<br />
⋅ dΛ<br />
+ G ⋅ dΛ<br />
E ⋅<br />
dΦ<br />
⋅<br />
1<br />
E ⋅ dΦ<br />
( E ⋅ dΦ<br />
+ F ⋅ dΛ)<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⋅<br />
E ⋅ dΦ<br />
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ<br />
⋅ dΛ<br />
+ G ⋅ dΛ<br />
alakot ölti. A dΦ<br />
1<br />
-el egyszerősítve és az elızı fejezetbıl ismert<br />
dΦ<br />
u = segédfüggvényt he-<br />
dΛ<br />
lyettesítve, írhatjuk:<br />
Fejezzük ki a<br />
sin β -t is! Kapjuk:<br />
1<br />
2<br />
=<br />
E ⋅ u + F<br />
cos β =<br />
. (1.2.2.2.-2)<br />
2<br />
E ⋅ E ⋅ u + 2 ⋅ F ⋅ u + G
32<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
( E ⋅u<br />
+ 2 ⋅ F ⋅u<br />
+ G) − ( E ⋅u<br />
+ 2 ⋅ E ⋅ F ⋅u<br />
+ F )<br />
E ⋅ ( E ⋅u<br />
+ 2 ⋅ F ⋅ u + G)<br />
2<br />
2 E ⋅<br />
sin β = 1−<br />
cos β =<br />
.<br />
2<br />
Továbbá<br />
2<br />
E ⋅ G − F<br />
H<br />
sin β =<br />
=<br />
, (1.2.2.2.-3)<br />
2<br />
2<br />
E ⋅ E ⋅ u + 2 ⋅ F ⋅ u + G E ⋅ E ⋅ u + 2 ⋅ F ⋅u<br />
+ G<br />
ahol<br />
H<br />
=<br />
E ⋅ G −<br />
2<br />
F<br />
az ún. 4. Gauss-féle állandó.<br />
Osszuk el az (1.2.2.2.-3) egyenletet az (1.2.2.2.-2)-vel! Kapjuk:<br />
valamint<br />
ahonnan<br />
H<br />
tan β = ,<br />
E ⋅u<br />
+ F<br />
E ⋅ u + F = H ⋅ cot β ,<br />
H F<br />
u = ⋅ cot β − .<br />
E E<br />
A lineármodulus általános egyenletének elızı pontbeli levezetésénél viszont<br />
r<br />
u = ⋅ cotα . (1.2.2.2.-4)<br />
M<br />
A két utolsó egyenlet<br />
r<br />
M<br />
⋅ cot α =<br />
H<br />
E<br />
⋅ cot β −<br />
F<br />
E<br />
összevetésébıl a β-ra írhatjuk:<br />
r ⋅ E F<br />
cot β = ⋅ cotα<br />
+ .<br />
M ⋅ H H<br />
Végül, a földrajzi azimut vetületére az alábbi összefüggés írható fel:<br />
vagy<br />
M ⋅ H<br />
tan β =<br />
r ⋅ E ⋅ cotα<br />
+ M ⋅ F<br />
(1.2.2.2.-5)<br />
M ⋅ H ⋅ tanα<br />
tan β =<br />
.<br />
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα<br />
(1.2.2.2.-6)<br />
A szögek különbségére felírható ismert
33<br />
tan<br />
( β − α )<br />
tan β − tanα<br />
=<br />
1+<br />
tan β ⋅ tanα<br />
trigonometriai összefüggésbe az (1.2.2.2.-6) kifejezést helyettesítve, írhatjuk:<br />
M ⋅ H ⋅ tanα<br />
− tanα<br />
tan( β −α<br />
) =<br />
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα<br />
.<br />
2<br />
M ⋅ H ⋅ tan α<br />
1+<br />
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα<br />
Végül, a földrajzi azimut a vetületben az alábbi összefüggés szerint tér el:<br />
A<br />
tan<br />
( − α )<br />
tan β és tan α szögek hányadosa:<br />
Példa:<br />
( M ⋅ H − r ⋅ E)<br />
2<br />
⋅ tanα<br />
− M ⋅ F ⋅ tan α<br />
. (1.2.2.2.-7)<br />
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα<br />
+ M ⋅ H ⋅ tan α<br />
β =<br />
2<br />
tan β M ⋅ H<br />
=<br />
. (1.2.2.2.-8)<br />
tanα<br />
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα<br />
1. Számítsuk ki az elızı pontbeli gömbi vetületre a földrajzi azimut eltérését!<br />
továbbá<br />
y = R ⋅ λ<br />
,<br />
x = R ⋅ϕ<br />
R a földgömb sugara.<br />
E =<br />
2<br />
2<br />
= R ; F = 0; G R ,<br />
H =<br />
Az (1.2.2.2.-7) összefüggésbe helyettesítve, írhatjuk:<br />
tan<br />
( −α<br />
)<br />
2. Számítsuk ki ( β − α )<br />
2 2<br />
= E ⋅ G − F R , r = R ⋅ cosϕ<br />
,<br />
2<br />
3 3<br />
( M ⋅ H − r ⋅ E) ⋅ tanα<br />
− M ⋅ F ⋅ tan α ( R − R ⋅ cosϕ)<br />
⋅ cosϕ<br />
+ R<br />
⋅ tanα<br />
.<br />
⋅ tan α<br />
β =<br />
2<br />
3<br />
3 2<br />
=<br />
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα<br />
+ M ⋅ H ⋅ tan α R<br />
tan<br />
, valamint<br />
( α )<br />
( 1−<br />
cosϕ)<br />
⋅ tanα<br />
− =<br />
.<br />
cosϕ<br />
+ tan α<br />
β<br />
2<br />
tan β<br />
tanα<br />
A tan ( β −α ) képletébe helyettesítve, kapjuk:<br />
tan<br />
g<br />
értékétα<br />
1−<br />
cosϕ<br />
o<br />
= 45<br />
tan β<br />
mellett!<br />
( β −α<br />
) (<br />
0<br />
α 45 ) = ,<br />
=<br />
1+<br />
cosϕ<br />
tanα<br />
0<br />
( α = 45 ) 1+<br />
cosϕ<br />
=<br />
.<br />
1
34<br />
o<br />
o tan β 1<br />
ϕ = 0 - nál ( β −α<br />
) (<br />
0<br />
α = 45 ) = 0 ,<br />
= ,<br />
tanα<br />
0<br />
( α = 45 ) 2<br />
o<br />
tan β<br />
ϕ = 90 - nál<br />
= 1.<br />
o<br />
( β −α<br />
) (<br />
0<br />
α = 45 ) = 45 ,<br />
tanα<br />
0<br />
( α = 45 )<br />
1.2.2.3. A fokhálózati vonalak merılegességének feltétele<br />
A meridiánok és a szélességi körök az alapfelületen egymásra merılegesek. A meridiánoknak<br />
és a szélességi köröknek a vetületben megfelelı vonalak a fokhálózati vonalak képei.<br />
Vizsgáljuk meg, hogy utóbbiak mikor merılegesek egymásra.<br />
χ<br />
1.2.2.3.-1. A fokhálózati vonalak képeinek közbezárt szöge<br />
A fokhálózati vonalak képeinek közbezárt szögét jelöljük χ -val.<br />
0<br />
H<br />
Ekkor α = 90 -nál a tan β = képletbe helyettesítve<br />
E ⋅u<br />
+ F<br />
H<br />
tan χ = , (1.2.2.3.-1)<br />
F<br />
dΦ<br />
mert u( α<br />
o<br />
) = = 0 . Az χ helyett gyakran használatos ε szög a hálózat ún. merılegességi<br />
= 90<br />
dΛ<br />
mutatója:<br />
o<br />
χ = 90 ± ε ,<br />
ahonnan<br />
o<br />
( 90 ± )<br />
H<br />
tan χ = tan ε = ,<br />
F<br />
F<br />
tan ε = m . (1.2.2.3.-2)<br />
H<br />
A fokhálózati vonalak képei akkor merılegesek, ha ε = 0 , vagy tan ε = 0 . De tan ε = 0 ,<br />
ha F = 0 . Következésképpen a merılegesség feltétele:<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂y<br />
F = ⋅ + ⋅ = 0 . (1.2.2.3.-3)<br />
∂Φ<br />
∂Λ<br />
∂Φ<br />
∂Λ
35<br />
1.2.2.4. A lineármodulus vizsgálata a szélsıértékekre. Vetületi fıirányok.<br />
Az<br />
2<br />
2<br />
2<br />
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α<br />
+ T ⋅sin<br />
α (1.2.2.1.-7)<br />
függvénynek ott van szélsıértéke, ahol az elsı deriváltja 0:<br />
( − 2 ⋅ P ⋅ cosα<br />
⋅ sinα<br />
+ 2 ⋅Q<br />
⋅ cos 2α<br />
+ 2 ⋅T<br />
⋅ sinα<br />
cosα<br />
) dα<br />
2 ⋅ l ⋅ dl<br />
=<br />
⋅ ,<br />
dl<br />
= −P<br />
⋅sin 2α<br />
+ 2 ⋅Q<br />
⋅ cos 2α<br />
+ T ⋅sin 2α<br />
= 2 ⋅Q<br />
⋅ cos 2α<br />
−<br />
α<br />
dα<br />
( P − T ) ⋅sin 2 = 0<br />
,<br />
ahonnan<br />
Q<br />
tan 2α = 2 ⋅ . (1.2.2.4.-1)<br />
P − T<br />
o<br />
A tan 2α<br />
függvény az α és az α + 90 szögekre egyezı elıjelő és nagyságú értékeket<br />
vesz fel. Ebbıl következik, hogy az alapfelületen létezik két egymásra merıleges irány,<br />
amelyekre az lineármodulusnak szélsıértéke van.<br />
Képezzük a lineármodulus második deriváltját:<br />
2<br />
d l<br />
2<br />
dα<br />
( T − P) ⋅ cos 2α<br />
− 4 ⋅Q<br />
⋅ sin 2α<br />
= 2 ⋅ cos 2α<br />
⋅ ( T − P − 2 ⋅ ⋅ tan 2α<br />
)<br />
= 2 ⋅<br />
Q<br />
.<br />
A lineármodulusnak az egyik irányban maximuma, a másik irányban minimuma van, mert<br />
α − ra és α + 90<br />
o − ra a cos2α ellenkezı elıjelő, a zárójeles kifejezésnek pedig az elıjelre<br />
nincs hatása.<br />
o<br />
Az alapfelületi azimutok legyenek α és α + 90 ,<br />
a megfelelı vetületi azimutok pedig β és β1.<br />
o<br />
Igazoljuk, hogy a két irány a vetületen is merıleges egymásra, vagyis β<br />
1<br />
= β + 90 .<br />
o<br />
A β1 = β + 90 feltétel mellett<br />
tan β ⋅ tan β1 = −1, (1.2.2.4.-2)<br />
o<br />
mert tan( β + 90 ) = − cot β .<br />
De<br />
M ⋅ H<br />
tan β =<br />
és (1.2.2.2.-5)<br />
r ⋅ E ⋅ cotα<br />
+ M ⋅ F<br />
M ⋅ H<br />
tan β 1<br />
=<br />
,<br />
− r ⋅ E ⋅ tanα<br />
+ M ⋅ F<br />
α + α A fenti képleteket a (1.2.2.4.-2)-be helyettesítve, kapjuk:<br />
o<br />
mert cot( 90 ) = − tan .<br />
2 2<br />
M ⋅ H<br />
tan β ⋅ tan β1<br />
=<br />
,<br />
2 2<br />
2 2<br />
− r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ r ⋅ E ⋅ cotα<br />
− M ⋅ F ⋅ r ⋅ E ⋅ tanα<br />
+ M ⋅ F
36<br />
illetve<br />
2 2<br />
M ⋅ H<br />
tan β ⋅ tan β1<br />
=<br />
. (1.2.2.4.-3)<br />
2 2<br />
− r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ r ⋅ E ⋅<br />
2 2<br />
( cotα<br />
− tanα<br />
) + M ⋅ F<br />
De<br />
1+<br />
cos 2α<br />
1−<br />
cos 2α<br />
cotα − tanα<br />
= − = 2 ⋅ cot 2α<br />
,<br />
sin 2α<br />
sin 2α<br />
az (1.2.2.4.-1)-bıl viszont<br />
E G<br />
−<br />
2<br />
2<br />
2 ⋅ ( P − T ) 2 2<br />
M r E ⋅ r − G ⋅ M<br />
2 ⋅ cot 2α = = =<br />
.<br />
2 ⋅Q<br />
F M ⋅ F ⋅ r<br />
M ⋅ r<br />
Behelyettesítve az (1.2.2.4.-3) összefüggésbe, kapjuk:<br />
2 2<br />
M ⋅ H<br />
tan β ⋅ tan β1<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
E ⋅ r − G ⋅ M<br />
− r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ r ⋅ E ⋅<br />
+ M<br />
M ⋅ F ⋅ r<br />
2 2<br />
2<br />
M ⋅ H<br />
H<br />
=<br />
2 2 2 2<br />
2 2 2<br />
− r ⋅ E + r ⋅ E − E ⋅ G ⋅ M + M ⋅ F − E ⋅ G + F<br />
2<br />
2<br />
⋅ F<br />
2<br />
=<br />
De<br />
H<br />
2<br />
= E ⋅ G − F , s ezért végül<br />
2<br />
H<br />
tan β ⋅ tan β =<br />
2<br />
− H<br />
1<br />
= −<br />
1. Qu.e.d.<br />
o<br />
Vagyis, valóban β<br />
1<br />
= β + 90 .<br />
Következésképpen, az alapfelület minden egyes pontjánál van két egymásra merıleges<br />
vonal, amelyek vetületei is merılegesek. Ezek az irányok a vetületi fıirányok. A vetületi fıirányokba<br />
esı lineármodulusok mindig extremálisak, azaz lmax.<br />
maximális, vagy l<br />
min.<br />
minimális<br />
értéket vesznek fel.<br />
Azokban a <strong>vetületek</strong>ben, amelyekben a fokhálózati vonalak képei egymásra merılegesek,<br />
a vetületi fıirányok egybeesnek a meridiánokkal és szélességi körökkel. Ezeket a <strong>vetületek</strong>et<br />
ortogonális <strong>vetületek</strong>nek nevezzük.<br />
1.2.2.5. Torzulási ellipszis (Tissot-féle indikatrix)<br />
Vegyünk fel az alapfelület tetszıleges pontjában egy végtelen kicsi, egységnyi sugarú<br />
kört! Vizsgáljuk meg, hogyan képzıdik le ez a kör a vetületben!
37<br />
1.2.2.5.-1. táblázat: A lineármodulus változása<br />
Azimut<br />
Alapfelület Vetület<br />
α<br />
0<br />
β<br />
0<br />
Lineármodulus<br />
m<br />
α<br />
1<br />
β<br />
1<br />
l<br />
1<br />
α<br />
2<br />
β<br />
2<br />
l<br />
2<br />
Nézzük meg elıször, hogyan változik a lineármodulus a β függvényében! Az egymásnak<br />
megfelelı kiinduló adatokat az 1.2.2.5.-1. táblázatban foglaljuk össze. Az m a<br />
lineármodulus a meridián mentén.<br />
u (x iránya)<br />
Φ<br />
m<br />
x<br />
β<br />
0<br />
β<br />
1<br />
v<br />
1<br />
β<br />
2<br />
l<br />
1<br />
l<br />
2<br />
1<br />
u<br />
1<br />
2<br />
v (y iránya)<br />
1.2.2.5.-1. ábra: A lineármodulus változása<br />
Az<br />
Tekintsük az 1.2.2.5.-1. ábrát!<br />
összefüggést írjuk át az<br />
l<br />
2<br />
2 E ⋅u<br />
+ 2<br />
⋅ F ⋅ u + G<br />
= (1.2.2.1.-6)<br />
2 2 2<br />
M ⋅u<br />
+ r<br />
alakba. Fejezzük ki (1.2.2.5.-1) nevezıjét a<br />
összefüggés figyelembevételével! Kapjuk:<br />
2 2 2<br />
1 M ⋅u<br />
+ r<br />
=<br />
(1.2.2.5.-1)<br />
2 2<br />
l E ⋅ u + 2 ⋅ F ⋅ u + G<br />
sin β -ra kapott<br />
H<br />
sin β =<br />
(1.2.2.2.-3)<br />
2<br />
E ⋅ E ⋅ u + 2 ⋅ F ⋅u<br />
+ G<br />
E ⋅ u<br />
2<br />
+ 2 ⋅ F ⋅ u + G =<br />
2<br />
H<br />
E ⋅sin<br />
2<br />
β<br />
Ez utóbbit, valamint az azimut eltérésének levezetésekor (1.2.2.2. pont) kapott
38<br />
H<br />
u = ⋅ cot β −<br />
E<br />
kifejezést az (1.2.2.5.-1) képletbe helyettesítve, írhatjuk:<br />
F<br />
E<br />
=<br />
M<br />
E<br />
2<br />
⋅ cos<br />
2<br />
1 E ⋅sin<br />
β ⎡<br />
= ⋅<br />
2<br />
2<br />
⎢M<br />
l H ⎢⎣<br />
2<br />
⋅ cot β −<br />
2<br />
M ⋅ F<br />
M<br />
β − 2 ⋅ ⋅sin<br />
β ⋅ cos β +<br />
E ⋅ H<br />
2<br />
⎛<br />
⋅⎜<br />
⎝<br />
H<br />
E<br />
2<br />
F<br />
E<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ r<br />
2<br />
⋅ F + r<br />
2<br />
E ⋅ H<br />
2<br />
2<br />
⎤<br />
⎥ =<br />
⎥⎦<br />
⋅ E<br />
2<br />
⋅ sin<br />
2<br />
β .<br />
Vezessük be a következı jelöléseket:<br />
1<br />
Visszahelyettesítve<br />
2<br />
l<br />
2<br />
2<br />
M<br />
P = 1<br />
E<br />
, M ⋅ F<br />
Q = −<br />
E ⋅ H<br />
2 2 2 2<br />
M ⋅ F + r ⋅ E<br />
= .<br />
E ⋅ H<br />
1<br />
és<br />
1<br />
2<br />
T<br />
utolsó kifejezésébe, végül:<br />
1 2<br />
= P cos 2 sin cos sin<br />
2<br />
2 1<br />
⋅ β + ⋅Q1<br />
⋅ β ⋅ β + T1<br />
⋅ β<br />
l<br />
. (1.2.2.5.-2)<br />
Az 1.2.2.5.-1. táblázatot egészítsük ki az 1.2.2.5.-1. ábra alapján (1.2.2.5.-2. táblázat)!<br />
1.2.2.5.-2. táblázat: A lineármodulus változása a derékszögő koordináták függvényében<br />
Általában<br />
Alapfelület<br />
Azimut<br />
Vetület<br />
Lineármodulus<br />
Derékszögő<br />
koordináták<br />
v u<br />
α<br />
0<br />
β m<br />
0<br />
m ⋅sin β<br />
0<br />
m ⋅ cos β<br />
0<br />
α<br />
1<br />
β<br />
1<br />
l<br />
1<br />
l<br />
1<br />
⋅ sin β1<br />
l<br />
1<br />
⋅ cos β1<br />
α<br />
2<br />
β<br />
2<br />
l<br />
2<br />
l<br />
2<br />
⋅sin β<br />
2<br />
l<br />
2<br />
⋅ cos β<br />
2<br />
v = l ⋅ sin β és u = l ⋅ cos β , ahonnan<br />
v<br />
sin β = és<br />
l<br />
u<br />
cos β = .<br />
l<br />
A sin β -t és cos β -t behelyettesítve az (1.2.2.5.-2) összefüggésbe és<br />
kapjuk:<br />
2<br />
l –tel egyszerősítve,<br />
2<br />
2<br />
P ⋅u<br />
+ 2 ⋅Q<br />
⋅ u ⋅ v + T ⋅ v 1 . (1.2.2.5.-3)<br />
1 1<br />
1<br />
=<br />
Az (1.2.2.5.-3) függvény diszkriminánsa<br />
P − . A függvény<br />
2<br />
1T1<br />
Q1<br />
2<br />
P T − Q 0 esetén parabola,<br />
1 1 1<br />
=
39<br />
2<br />
P T − Q 0 esetén hiperbola,<br />
1 1 1<br />
<<br />
2<br />
P T − Q 0 esetén ellipszis.<br />
1 1 1<br />
><br />
P<br />
1, Q<br />
1<br />
és T<br />
1<br />
fenti értékeit behelyettesítve:<br />
M<br />
E<br />
2<br />
M<br />
⋅<br />
2<br />
2<br />
⋅ F + r<br />
2<br />
E ⋅ H<br />
2<br />
⋅ E<br />
2<br />
M<br />
−<br />
E<br />
2<br />
4<br />
⋅ F<br />
⋅ H<br />
2<br />
2<br />
=<br />
M<br />
E<br />
2<br />
4<br />
⋅ F<br />
⋅ H<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
M ⋅ r ⋅ E<br />
+<br />
2 2<br />
E ⋅ H<br />
2<br />
M<br />
−<br />
E<br />
2<br />
4<br />
⋅ F<br />
⋅ H<br />
2<br />
2<br />
=<br />
2<br />
M ⋅ r<br />
2<br />
H<br />
2<br />
> 0 ,<br />
vagyis az (1.2.2.5.-3) függvény ellipszis egyenlete.<br />
Φ<br />
x<br />
Φ<br />
1 Vetület<br />
m a<br />
1<br />
Λ<br />
b<br />
n<br />
Λ<br />
x 0<br />
y<br />
a) b)<br />
y 0<br />
1.2.2.5.-2. ábra: Az alapfelületen végtelen kis sugarú kör képe a vetületen a torzulási ellipszis<br />
(Tissot-féle indikatrix)<br />
Az alapfelület (ellipszoid vagy gömb) tetszıleges pontjába helyezett végtelen kis kör<br />
képe a vetület megfelelı pontjában ellipszis, az ún. torzulási ellipszis, vagy a Tissot-féle<br />
indikatrix. Mivel, mint láttuk az 1.2.2.4. pontban, a vetületi fıirányokba esı lineármodulusok<br />
mindig extremálisak, a torzulási ellipszis a és b féltengelyei a vetületi fıirányokkal esnek<br />
egybe.<br />
Az 1.2.2.5.-2. ábrán y , x 0 0<br />
az alapfelület Φ, Λ földrajzi koordinátájú pontjának vetületi<br />
koordinátái, m a meridián és n a meridiánra merıleges irányú lineármodulusok.<br />
1.2.2.6. Összefüggések lineármodulusok között<br />
Apollonius tételei<br />
Φ<br />
a<br />
m<br />
χ<br />
n<br />
b<br />
1.2.2.6.-1. ábra: Az ellipszis konjugált félátmérıi
40<br />
1. tétel: Az ellipszis konjugált félátmérıinek négyzetösszege állandó és egyenlı a féltengelyek<br />
négyzetösszegével (1.2.2.6.-1. ábra):<br />
m +<br />
2 2 2 2<br />
+ n = a b . (1.2.2.6.-1)<br />
2. tétel: Az ellipszis konjugált félátmérıire szerkesztett paralelogramma területe állandó és<br />
egyenlı a féltengelyeire szerkesztett téglalap területével (1.2.2.6.-1. ábra):<br />
m ⋅ n ⋅sin χ = a ⋅b<br />
. (1.2.2.6.-2)<br />
Képezzük az (1.2.2.6.-1) és az (1.2.2.6.-2) összefüggések összegét és különbségét. Kapjuk:<br />
ahonnan<br />
m<br />
m<br />
2<br />
2<br />
+ n<br />
+ n<br />
2<br />
2<br />
A =<br />
B =<br />
+ 2 ⋅ m ⋅ n ⋅ sin χ =<br />
− 2 ⋅ m ⋅ n ⋅sin<br />
χ =<br />
m<br />
m<br />
2<br />
2<br />
+ n<br />
+ n<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( a + b)<br />
2<br />
= A<br />
2<br />
( a − b) 2<br />
= B<br />
+ 2 ⋅ m ⋅ n ⋅ sin χ<br />
− 2 ⋅ m ⋅ n ⋅sin<br />
χ<br />
,<br />
(1.2.2.6.-3)<br />
és<br />
A + B A − B<br />
a = ; b = . (1.2.2.6.-4)<br />
2 2<br />
Határozzuk meg χ -t! Az 1.2.2.5.-1. és az 1.2.2.6.-1. ábrákból χ = β − β<br />
0<br />
.<br />
Tekintsük most azt az y, x vetületi koordinátarendszert, amelynek x tengelye a Φ, Λ<br />
földrajzi koordinátájú pont meridiánjának érintıje. E rendszerben β<br />
0<br />
= 0; χ = β (1.2.2.6.-2.<br />
ábra).<br />
Φ (x iránya)<br />
m χ = β<br />
y iránya<br />
1.2.2.6.-2. ábra: A vetületi koordinátarendszer x tengelye a meridián érintıje<br />
Az (1.2.2.2.-3) összefüggésbıl<br />
H<br />
sin χ = sin β =<br />
.<br />
2<br />
E ⋅ E ⋅u<br />
+ 2 ⋅ F ⋅u<br />
+ G
41<br />
De, mint láttuk,<br />
1.2.2.7. Területi modulus<br />
dΦ<br />
o<br />
u = . A szélességi körön α = 90 , u = 0, következésképpen<br />
dΛ<br />
H<br />
sin χ = . (1.2.2.6.-5)<br />
EG<br />
A területi modulust az 1.2.2.1. pontban az alábbi összefüggéssel határoztuk meg:<br />
dT<br />
τ = . (1.2.2.1.-3)<br />
dF<br />
ds<br />
m<br />
ds<br />
p<br />
Vetület<br />
dd<br />
m<br />
χ<br />
dd<br />
p<br />
1.2.2.7.-1. ábra: Az alapfelületi végtelen kis felületnek végtelen kis vetületi terület felel<br />
meg<br />
dT<br />
dd<br />
m<br />
⋅ dd<br />
dF<br />
= ds<br />
m<br />
p<br />
⋅sin<br />
⋅ ds<br />
p<br />
dT<br />
τ =<br />
dF<br />
dd<br />
=<br />
= χ<br />
,<br />
χ<br />
⋅ dd<br />
p<br />
⋅sin<br />
χ dd<br />
=<br />
ds<br />
⋅ ds<br />
ds<br />
m<br />
m<br />
p<br />
m<br />
m<br />
dd<br />
⋅<br />
ds<br />
p<br />
p<br />
⋅sin<br />
.<br />
A képletekben<br />
lületen,<br />
m<br />
d s , ds<br />
meridián- és szélességi (parallel) körök végtelen kis oldalai az alapfe-<br />
p<br />
m<br />
p<br />
d d , dd<br />
az alapfelületi meridián- és szélességi (parallel) köröknek megfelelı oldalak<br />
a vetületben.<br />
dd<br />
m<br />
De m = és<br />
ds<br />
m<br />
dd<br />
p<br />
n = a meridián-, ill. a szélességi kör menti lineármodulusok, ezért<br />
ds<br />
p<br />
De (1.2.2.6.-2) miatt<br />
τ = m ⋅ n ⋅sin χ . (1.2.2.7.-1)<br />
τ = a ⋅ b<br />
(1.2.2.7.-2)<br />
o<br />
A szélességi körön, α = 90 -nál, az (1.2.2.1.-7) és az (1.2.2.6.-5) figyelembe vételével írhatjuk:<br />
E G H H<br />
τ = m ⋅ n ⋅sin χ = ⋅ ⋅ = . (1.2.2.7.-3)<br />
M r E ⋅ G M ⋅ r
42<br />
1.2.2.8. Maximális szögeltérés<br />
γ<br />
γ’<br />
1.2.2.8.-1: Tetszıleges alapfelületi γ szög képe γ'<br />
Az egymásnak megfelelı γ ′, ill. γ vetületi és alapfelületi szögek<br />
∆ γ = γ ′ − γ különbségét szögeltérésnek nevezzük. Az υ = ∆γ max .<br />
maximális szögeltérés a<br />
földrajzi szélesség, hosszúság és azimut υ = f ( Φ,Λ,α)<br />
függvénye.<br />
Tekintsük az α alapfelületi és a megfelelı β vetületi azimutokkal közbezárt γ , ill. γ ′,<br />
szögeket (1.2.2.8.-2. ábra)!<br />
α<br />
γ<br />
β<br />
γ’<br />
α<br />
β<br />
1.2.2.8.-2: Azimutok és szögek<br />
Az ábrából<br />
o<br />
o<br />
γ = 180 − 2 ⋅α;<br />
γ ′ = 180 − 2 ⋅ β .<br />
a szögeltérés és<br />
∆γ<br />
= γ ′ − γ = 2 ⋅<br />
∆γ<br />
= α − β .<br />
2<br />
( α − β )<br />
az alapfelületi és vetületi azimut különbsége. Láttuk, hogy<br />
tan β =<br />
M ⋅ H ⋅ tanα<br />
. (1.2.2.2.-6)<br />
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα<br />
Feltételezve, hogy a fokhálózati vonalak képei merılegesek (1.2.2.3. pont), írhatjuk:<br />
F<br />
2<br />
= 0 ; H = E ⋅ G − F = E ⋅ G .<br />
Az (1.2.2.2.-5) képletet F = 0 mellett írjuk fel a
43<br />
M ⋅ E ⋅G<br />
⋅ tanα<br />
M<br />
tan β =<br />
= ⋅<br />
r ⋅ E E<br />
alakban. Továbbá, az (1.2.2.7.-3) összefüggés jelöléseivel:<br />
G<br />
r<br />
⋅ tanα<br />
tan β =<br />
n<br />
m<br />
⋅ tanα<br />
=<br />
A fenti összefüggés bal- és jobboldalát vonjuk ki<br />
A trigonometriából ismeretesen<br />
b<br />
a<br />
⋅ tanα<br />
. (1.2.2.8.-1)<br />
tanα<br />
-ból, majd adjuk össze vele! Kapjuk:<br />
b a − b<br />
tanα<br />
− tan β = tanα<br />
− ⋅ tanα<br />
= ⋅ tanα,<br />
a a<br />
. (1.2.2.8.-2)<br />
b a + b<br />
tanα<br />
+ tan β = tanα<br />
+ ⋅ tanα<br />
= ⋅ tanα<br />
a a<br />
( α ± β )<br />
sin<br />
tanα<br />
± tan β =<br />
.<br />
cosα<br />
⋅ cos β<br />
A képletbe rendre (1.2.2.8.-2) elsı és második összefüggését helyettesítve és az elsı egyenletet<br />
a másodikkal osztva, írhatjuk:<br />
A maximális szögeltérés:<br />
sin<br />
sin<br />
sin<br />
( α − β ) a − b<br />
=<br />
( α + β ) a + b<br />
a − b<br />
a + b<br />
( α − β ) = ⋅sin( α + β )<br />
∆γ<br />
a − b<br />
sin = ⋅ sin<br />
2 a + b<br />
mert sin ( α + β ) maximális értéke 1. De sin ( α + β ) = 1<br />
Továbbá<br />
De<br />
s így<br />
υ<br />
cos =<br />
2<br />
,<br />
( α + β )<br />
, vagy (1.2.2.8.-3)<br />
. (1.2.2.8.-4)<br />
a − b<br />
sin υ = , (1.2.2.8.-5)<br />
2 a + b<br />
1−<br />
sin<br />
o<br />
, ha α + β = 90 .<br />
2 ⋅ a ⋅b<br />
= ,<br />
2 a + b<br />
2 υ<br />
a − b<br />
tan υ = . (1.2.2.8.-6)<br />
2 2 ⋅ a ⋅ b<br />
τ = a ⋅ b , (1.2.2.7.-2)
44<br />
Fejezzük ki a továbbiakban a<br />
υ a − b<br />
tan = . 2 2 ⋅ τ<br />
tan υ -et. Ismert trigonometriai összefüggések alapján<br />
4<br />
végül<br />
υ<br />
tan =<br />
4<br />
υ<br />
1−<br />
cos<br />
2<br />
=<br />
υ<br />
1+<br />
cos<br />
2<br />
A területtartó <strong>vetületek</strong>re<br />
következésképpen<br />
a + b − 2 ⋅<br />
a + b + 2 ⋅<br />
⎛<br />
tan⎜45<br />
⎝<br />
o<br />
a ⋅ b<br />
=<br />
a ⋅ b<br />
υ<br />
1+<br />
tan<br />
υ ⎞<br />
+ ⎟ =<br />
4<br />
=<br />
4 ⎠ υ<br />
1−<br />
tan<br />
4<br />
1<br />
τ = a ⋅ b = 1 ; b = ,<br />
a<br />
2<br />
( a − b ) a − b<br />
=<br />
2<br />
( a + b ) a + b<br />
a<br />
b<br />
.<br />
,<br />
⎛<br />
tan⎜45<br />
⎝<br />
o<br />
υ ⎞<br />
+ ⎟ =<br />
4 ⎠<br />
a<br />
b<br />
=<br />
a<br />
2<br />
= a .<br />
1.2.2.9. Az alapfelület szögtartó, területtartó és általános torzulású ábrázolása a<br />
vetületen<br />
Az alapfelület szögtartó ábrázolása<br />
Az alapfelület szögtartó (konform) ábrázolása során egy végtelen kis alapfelületi idom<br />
alakja a vetületben hasonló marad és a υ maximális szögeltérés zérus.<br />
A lineármodulus elsı deriváltjára az<br />
függvénybıl az 1.2.2.4. pontban a<br />
2<br />
2<br />
2<br />
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α<br />
+ T ⋅sin<br />
α<br />
(1.2.2.1.-7)<br />
dl<br />
= 2 ⋅ Q ⋅ cos 2α<br />
+<br />
α<br />
dα<br />
( T − P) ⋅sin 2 = 0<br />
(1.2.2.9.-1)<br />
összefüggést kaptuk. Ebben az összefüggésben az egyenlıség akkor áll fenn, ha<br />
Q = 0 és T − P = 0.<br />
F G<br />
Q = és T = jelöléseket. A fok-<br />
2<br />
M ⋅ r r<br />
E<br />
Az 1.2.2.1. pontban bevezettük a P = ,<br />
2<br />
M<br />
hálózati vonalak képeire vonatkozó
45<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂y<br />
F = ⋅ + ⋅ = 0<br />
(1.2.2.3.-3)<br />
∂Φ<br />
∂Λ<br />
∂Φ<br />
∂Λ<br />
F<br />
feltétel teljesülése esetén Q = = 0 , ekkor a T − P = 0 kifejezésbıl<br />
M ⋅ r<br />
(1.2.2.7.-3) alapján<br />
E G<br />
2 =<br />
2 és (1.2.2.9.-2)<br />
M r<br />
2 2<br />
m = n .<br />
Ebbıl következik a szögtartó ábrázolás alábbi szükséges és elégséges feltétele:<br />
azaz a lineármodulus minden irányban egyenlı.<br />
A szögtartó ábrázolás feltételei:<br />
m = n , (1.2.2.9.-3)<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
a = b = m = n = l<br />
τ = a<br />
2<br />
υ = 0.<br />
(1.2.2.9.-4)<br />
Az alapfelület területtartó ábrázolása<br />
Az alapfelület ekvivalens ábrázolásakor egy végtelen kis vetületi terület és a megfelelı<br />
alapfelületi felület aránya megmarad:<br />
Területtartó <strong>vetületek</strong>nél κ = 1, vagyis τ = 1.<br />
dT<br />
τ = = κ . (1.2.2.9.-5)<br />
d F<br />
Írjuk fel még egyszer a területi modulusra vonatkozó alábbi összefüggéseket:<br />
τ = a ⋅b<br />
= 1<br />
τ = m ⋅ n ⋅ sin χ = 1<br />
H<br />
τ = = 1 .<br />
M ⋅ r<br />
A területtartóság feltétele az utolsó összefüggésbıl:<br />
H<br />
= M ⋅ r . (1.2.2.9.-6)<br />
A területtartó ábrázolás feltételei:
46<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
1 1<br />
a = ; b =<br />
b a<br />
τ = 1<br />
(1.2.2.9.-7)<br />
⎛<br />
tan⎜45<br />
⎝<br />
o<br />
υ ⎞<br />
+ ⎟ = a;<br />
4 ⎠<br />
υ a − b<br />
tan = .<br />
2 2<br />
Az alapfelület általános torzulású ábrázolása<br />
Az általános torzulású <strong>vetületek</strong>nél a szögek és a területek is torzulnak. Ilyen vetület<br />
pld. a meridián mentén hossztartó vetület, amelynél a meridián-menti lineármodulus egységnyi:<br />
a ≠ b; b = 1; υ ≠ 0; τ ≠ 1.<br />
1.2.2.10. Torzulási ellipszisek különbözı torzulású <strong>vetületek</strong>re<br />
A különbözı torzulású <strong>vetületek</strong>nél az alapfelület tetszıleges pontjaiban felvett azonos<br />
mérető végtelen kis kör képe általában más-más alakú, mérető és elhelyezkedéső ellipszis<br />
lesz.<br />
A különbözı torzulású <strong>vetületek</strong> torzulási ellipsziseit a földrajzi szélesség függvényében<br />
az 1.2.2.10.-2. ábrán mutatjuk be. A vetületi fıirányok egybeesnek a meridiánokkal és<br />
szélességi körökkel, vagyis a torzulási ellipszis b fél kistengelye a meridián, az a fél nagytengelye<br />
a szélességi körök irányába esik. A <strong>vetületek</strong> kezdıpontja az Egyenlítı és egy tetszıleges<br />
meridián metszéspontja. A meridiánra merıleges irányú lineármodulus legyen mind a három<br />
típusú vetületnél a = .<br />
1<br />
cosϕ<br />
A szögtartó <strong>vetületek</strong>nél a torzulási ellipszis a = b miatt a vetületen is kör lesz, alakja<br />
és elhelyezése állandó, mérete pedig a vetület tulajdonságainak megfelelıen változik. Olyan<br />
vetület, amely minden távolságot a vetület minden pontjában helyesen tudna rögzíteni, vagyis<br />
hossztartó (ekvidisztáns) vetület nincs. Létezhet azonban olyan vetület, amely bizonyos pontokban,<br />
ill. vonalak mentén hossztartó, sıt, akár egyidejőleg és ugyanott szögtartó is lehet<br />
(Pld. a Marinus-féle két szélességi kör (Φ 1 , Φ 2 ) mentén hossz- és szögtartó vetület, 1.2.2.10.-<br />
3. ábra).<br />
A vetület torzulás szerinti megválasztása a térkép céljától, ill. ezzel összefüggésben, a<br />
térkép méretarányától függ. Az 1:1000 – 1:100000 méretarányú térképeket az ún. geodéziai<br />
<strong>vetületek</strong>ben, az ennél kisebb méretarányú térképeket a földrajzi <strong>vetületek</strong>ben ábrázolják. A<br />
geodéziai <strong>vetületek</strong> egy adott országon belül érvényesek, az ország kis területrészeit ábrázolják,<br />
a földrajzi <strong>vetületek</strong> nagy területegységekre (országokra, kontinensekre, az egész Földre)<br />
vonatkoznak. A geodéziai <strong>vetületek</strong>ben készült térképeken a mérhetıség, a mérnöki tervezés<br />
igénye az elsıdleges, ez a szögek alap- és képfelületi azonosságát, vagyis a szögtartóságot<br />
követeli meg. A földrajz viszont arra törekszik, hogy a Földet, vagy annak nagy területegységeit<br />
lehetıség szerint területhően mutassa be. Jelen könyv a geodéziai <strong>vetületek</strong>nek, valamint<br />
azok magyarországi alkalmazásának bemutatását tekinti feladatának.
47<br />
o<br />
60<br />
o<br />
30<br />
a = 2<br />
b = 2<br />
a = 1,15<br />
b = 1,15<br />
o<br />
90<br />
o<br />
60<br />
a = ∞<br />
b = 0<br />
a = 2<br />
a = 1,15<br />
o<br />
90<br />
b = 0,5<br />
o<br />
60<br />
o<br />
30<br />
o<br />
b = 0,86<br />
30<br />
a = ∞<br />
b = 1<br />
a = 2<br />
b = 1<br />
a = 1,15<br />
b = 1<br />
o<br />
0<br />
a = 1<br />
b = 1<br />
o<br />
0<br />
a = 1<br />
b = 1<br />
o<br />
0<br />
a = 1<br />
b = 1<br />
-30<br />
o<br />
a = 1,15<br />
b = 1,15<br />
o<br />
-30 a = 1,15 -30<br />
b = 0,86<br />
o<br />
- 60 a = 2 - 60<br />
b = 0,5<br />
o<br />
o<br />
a = 1,15<br />
b = 1<br />
a = 2<br />
b = 1<br />
- 60<br />
o<br />
a = 2<br />
b = 2<br />
-90<br />
o<br />
a = ∞<br />
b = 0<br />
-90<br />
o<br />
a = ∞<br />
b = 1<br />
a = b,<br />
υ = 0<br />
τ = a<br />
Szögtartó vetület<br />
2<br />
a ≠ b,<br />
υ ≠ 0<br />
τ = 1<br />
Területtartó vetület<br />
a ≠ b,<br />
b = 1<br />
υ ≠ 0, τ ≠ 1<br />
Meridián mentén<br />
hossztartó vetület<br />
1.2.2.10.-2. ábra: Torzulási ellipszisek<br />
Az 1.2.2.10.-3. és az 1.2.2.10.-4. ábrákon két különleges földrajzi vetületet szemléltetünk.
48<br />
Φ 1<br />
Φ 2<br />
1.2.2.10.-3. ábra: Marinus-féle két szélességi<br />
kör (Φ 1 , Φ 2 ) mentén hossz- és szögtartó vetület<br />
1.2.2.11. Vetületek csoportosítása<br />
1.2.2.10.-4. ábra: Mollweide-féle területtartó vetület<br />
A torzulás szerinti megkülönböztetésen túl a <strong>vetületek</strong>et más szempontok szerint is<br />
csoportosítják.<br />
Valódi és képzetes <strong>vetületek</strong><br />
A valódi és a képzetes <strong>vetületek</strong>et a fokhálózat képének alakulása különbözteti meg<br />
egymástól. Valódi vetületrıl beszélünk, ha a fokhálózati vonalak képei merılegesek (1.2.2.3.<br />
pont), ellenkezı esetben a vetület képzetes. Utóbbiak között nincs szögtartó vetület. Mindkét<br />
típusú vetületnél lehetnek az 1.2.1. pont szerinti geometriailag megszerkeszthetı és szemléltethetı,<br />
ill. geometriailag nem szemléltethetı <strong>vetületek</strong>.<br />
Csoportosítás a képfelület alakja szerint<br />
A képfelület alakja szerint megkülönböztetünk<br />
– henger<br />
– kúp és<br />
– azimutális <strong>vetületek</strong>et (1.2.2.11.-1. ábra).
49<br />
A henger-, kúp- és azimutális <strong>vetületek</strong>et együttesen sík<strong>vetületek</strong>nek nevezzük.<br />
Hengervetület<br />
Kúpvetület<br />
Azimutális(sík)<br />
vetület<br />
1.2.2.11.-1. ábra: Vetületek alakjuk szerint<br />
Csoportosítás a képfelület Földhöz viszonyított elhelyezése szerint<br />
A Föld pólusokat összekötı átmérıjéhez képest a képfelület tengelyét háromféleképpen<br />
helyezhetjük el. Sík esetében most tengely alatt egy síkra merıleges egyenest értünk.<br />
Eszerint megkülönböztetünk<br />
– normális (poláris)<br />
– transzverzális (ekvatoriális) és<br />
– ferde tengelyő <strong>vetületek</strong>et.<br />
Normális elhelyezéső vetületnél a képfelület tengelye a Föld forgástengelye, transzverzális<br />
vetületnél a képfelület tengelye az egyenlítı síkjában van. Ferde tengelyő vetületnél a<br />
a képfelület tengelye átmegy az alapfelület (ellipszoid, gömb) középpontján (1.2.2.11.-2. ábra).<br />
Normális Transzverzális Ferde tengelyő<br />
1.2.2.11.-2. ábra: Vetületek a Földhöz viszonyított elhelyezésük szerint<br />
Érintı és süllyesztett vetület<br />
Érintı vetületnél az alapfelület érinti, süllyesztett (metszı) vetületnél metszi a képfelületet<br />
(1.2.2.11.-3. ábra). Érintı henger- és kúp<strong>vetületek</strong>nél az alapfelület a képfelülettel egy<br />
képfelületi vonal mentén, azimutális vetületnél egy képfelületi pontban találkozik, süllyesztett<br />
vetületnél a találkozás mindig az alapfelület és a képfelület metszésvonala.
50<br />
Érintı<br />
Süllyesztett<br />
Közvetlen és közvetett vetítéső vetület<br />
1.2.2.11.-3. ábra: Érintı és süllyesztett vetület<br />
Egy vetületet közvetlen vetítésőnek mondunk, ha az ellipszoidról a vetítés közvetlenül<br />
a síkra, vagy síkba fejthetı felületre (henger, kúp) történik. Közvetett vetítéső a vetület akkor,<br />
ha a vetítés kettıs, vagyis ha a vetítést elsı lépésben az ellipszoidról gömbre (Gauss-gömb),<br />
második lépésben a Gauss-gömbrıl a síkra végezzük el.<br />
A <strong>vetületek</strong> a felsorolt különbözı szempontok szerint kombinálhatók.<br />
1.2.2.12. Vetületi redukciók<br />
A Föld felszínén végzett mérések nyers eredményeit elıször a geoidra (a tengerszintre),<br />
majd a geoidról az ellipszoidra, végül a vetület síkjára át kell számítanunk. A geoidról az<br />
ellipszoidra történı áttéréshez – ha szükséges – a függıvonal-elhajlást és a geoidundulációt<br />
kell figyelembe vennünk. A geoidra és az ellipszoidra való átszámítással nem foglalkozunk.<br />
P meridiánjának képe<br />
É f<br />
É t<br />
Q meridiánjának<br />
képe<br />
É f<br />
É t<br />
+x<br />
µ P<br />
β PQ<br />
geod. vonal µ Q<br />
δ PQ<br />
képe<br />
s PQ<br />
P<br />
∆ d<br />
PQ<br />
PQ<br />
∆ QP<br />
Q<br />
δ QP<br />
β QP<br />
+y<br />
1.2.2.12.-1. Helymeghatározó adatok a vetületben<br />
Az 1.2.2.12.-1. ábrán az ellipszoidi helymeghatározó adatok képeit és a vetületi helymeghatározó<br />
adatokat foglaljuk össze. Az ábrán a P és Q az ellipszoidi pontok megfelelıi,<br />
β PQ és β QP az α PQ és α QP a földrajzi azimutok képei, amelyek szögtartó vetületben megegyeznek<br />
a földrajzi azimutokkal:<br />
β = α .<br />
É f –el az ellipszoidi meridiánok képeihez a vetületi P és Q pontokban szerkesztett érintıket jelöljük.<br />
Az alapfelületi meridiánoknak a vetületi koordinátarendszer +x tengelyével párhuza-
51<br />
mos egyenesek (szokásos nevük: térképi észak, jelölésük É t ), az alapfelületi legrövidebb vonalnak,<br />
a geodéziai vonalnak a vetületi koordinátarendszerben a síkbeli legrövidebb vonal, a<br />
d PQ egyenes szakasz, az α PQ földrajzi azimutnak a δ PQ irányszög, az α QP földrajzi azimutnak<br />
a δ QP irányszög felel meg.<br />
Az ellipszoidi adatokat a vetületre való áttérésnél az alábbi vetületi redukciókkal kell<br />
módosítanunk.<br />
− elsı irány- és szögredukció,<br />
− hossztorzulási tényezı és hosszredukció,<br />
− területtorzulási tényezı és területi redukció,<br />
− második irány- és szögredukció,<br />
− gömbi szögfölösleg,<br />
− vetületi meridiánkonvergencia.<br />
Elsı irány- és szögredukció. Az iránymodulus.<br />
Azimutredukció: A β vetületi azimut és a megfelelı α alapfelületi földrajzi azimut különbsége<br />
(eltérése, 1.2.2.2. pont):<br />
Αz azimutredukciót számíthatjuk a tan( β −α )<br />
∆ = β −α<br />
. (1.2.2.12.-1)<br />
α<br />
-ra levezetett (1.2.2.2.-7) összefüggésbıl.<br />
Egy tetszıleges alapfelületi irány vetületbeli azimutját megkapjuk, ha az α alapfelületi<br />
azimuthoz az azimutredukció értékét hozzáadjuk:<br />
β = α + ∆ . (1.2.2.12.-2)<br />
α<br />
ΙΙ.<br />
ΙΙ.<br />
1<br />
α<br />
ω<br />
1<br />
P<br />
P’<br />
Vetület<br />
b β<br />
ω′<br />
Ι. a Ι.<br />
1.2.2.12.-2. ábra: Az I. és II. vetületi fıirány<br />
A 1.2.2.12.-2. ábrán a torzulási ellipszis szélességi kör irányába esı a féltengelyének<br />
iránya legyen az I., a meridián irányába esı b féltengelyének iránya a II. vetületi fıirány . Jelöljük<br />
ω = 90 −α<br />
- val és ω′ = 90 − β -val egy tetszıleges alapfelületi iránynak, ill. a meg-<br />
o<br />
o<br />
felelı vetületi iránynak a I. vetületi fıiránnyal bezárt szögeit.<br />
Elsı irányredukció alatt definíciószerően a<br />
∆ = ω′<br />
−ω<br />
(1.2.2.12.-3)<br />
különbséget értjük. A továbbiakban
52<br />
∆ = −∆ α ,<br />
β = α − ∆ . (1.2.2.12.-4)<br />
Az elsı szögredukció két irányra vonatkozó elsı irányredukciók különbsége:<br />
∆ sz = ∆ 2 − ∆1 . (1.2.2.12.-5)<br />
vagy, az 1.2.2.8. pont 1.2.2.8.-2. ábrája szerinti értelmezésben:<br />
Az<br />
∆γ<br />
2<br />
∆γ<br />
2<br />
1<br />
2<br />
( ∆γ<br />
− ∆γ<br />
)<br />
2 1<br />
∆ sz = − = ⋅<br />
2 1<br />
. (1.2.2.12.-6)<br />
hányados az ún. iránymodulus.<br />
A továbbiakban<br />
tan ω′<br />
i =<br />
(1.2.2.12.-7)<br />
tanω<br />
1<br />
1<br />
tan ω′<br />
= ; tanω<br />
=<br />
tan β tanα<br />
miatt és az (1.2.2.2.-8) képletet figyelembe véve<br />
i =<br />
tanω′<br />
=<br />
tanω<br />
tanα<br />
=<br />
tan β<br />
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα<br />
.<br />
M ⋅ H<br />
A könyvünkben tárgyalt geodéziai <strong>vetületek</strong> mind szögtartóak, így mind az elsı irányredukció,<br />
mind az elsı szögredukció értéke zérus, a = b , i = 1.<br />
Hossztorzulási tényezı és hosszredukció<br />
Az alapfelület két pontjának képét a vetület síkjában összekötı vonal a d egyenes szakasz<br />
(1.2.1.12.-1. ábra). A d hossz és az alapfelületi pontok közötti geodéziai vonal s hosszának<br />
hányadosát hossztorzulási tényezınek, különbségüket hosszredukciónak nevezzük:<br />
Hossztorzulási tényezı:<br />
Hosszredukció:<br />
d vetületi hossz<br />
m = =<br />
. (1.2.2.12.-8)<br />
s alapfelületi hossz<br />
∆ s = d − s = képfelületi hossz − alapfelületi hossz . (1.2.2.12.-9)<br />
Írjuk fel az (1.2.2.12.-8) összefüggést az<br />
d<br />
m = = m0 + U<br />
(1.2.2.12.-10)<br />
s
53<br />
alakban. Az (1.2.2.12.-10) képletben m<br />
0<br />
egy elıre megválasztott konstans érték, az ún. redukálás<br />
mértéke, az U érték a hossztorzulás. A hossztorzulás értékét Magyarországon szokás<br />
1<br />
-ben megszabni, de ezt követelményt csak a ferdetengelyő érintı henger<strong>vetületek</strong>nél<br />
10000<br />
sikerült betartani (2.2. fejezet).<br />
Ha m<br />
0<br />
= 1 , érintı vetületrıl beszélünk. Az alapfelület és a képfelület találkozásánál<br />
nyilvánvalóan a hossztorzulás 0, bárhol máshol pozitív (1.2.2.12.-3/a. ábra).<br />
A hossztorzulás értékét csökkenteni, s ezzel a vetület használhatósági tartományát növelni<br />
lehet úgy, ha m 0 < 1. Ez azt jelenti, hogy a vetületi egyenletekkel meghatározott valamennyi<br />
koordinátát az 1-nél valamivel kisebb számmal megszorzunk, azaz az<br />
vetületi egyenletek az<br />
y =<br />
x =<br />
f<br />
y<br />
x<br />
y = m<br />
x = m<br />
( Φ,<br />
Λ),<br />
f ( Φ,<br />
Λ).<br />
⋅ f<br />
⋅ f<br />
x<br />
( Φ,Λ)<br />
( Φ,Λ)<br />
0 y<br />
,<br />
0<br />
(1.2.1.4.-2)<br />
(1.2.1.4.-2/a)<br />
alakot öltik.<br />
Ez esetben a vetület süllyesztett, az ábrázolás méretaránya változik úgy, hogy a vetületi<br />
számításokból kapott távolságok az (1.2.1.4.-2/a) képlet szerint rövidülnek. Süllyesztett vetületnél<br />
a hossztorzulás értelemszerően pozitív és negatív is lehet. A 1.2.2.12.-3/b. ábrán a<br />
képfelület metszi az alapfelületet, az alapfelületen belül a hossztorzulás negatív, a képfelületi<br />
hosszak rövidülnek, azon kívül pozitív, a képfelületi hosszak csak kisebb mértékben nagyobbodnak.<br />
A torzulásmentes helyek az alap- és képfelület metszésvonalai (ábránkon körív és<br />
egyenes metszéspontjai).<br />
A m 0 szám megválasztásánál ügyelni kell arra, hogy a hossztorzulás most ellenkezı<br />
(rövidülı) értelemben ne lépje túl a megengedett értéket. Süllyesztett <strong>vetületek</strong> pld. az Egységes<br />
Országos Vetület és az UTM vetület (2.3. pont, 4.2. pont).<br />
+<br />
vetület<br />
alapfelület<br />
+ s +<br />
1.2.2.12.-3. ábra: Pozitív és negatív elıjelő hossztorzulás<br />
A süllyesztés következtében az alapfelületi távolságok egy redukált alapfelületen értelmezhetık<br />
(1.2.2.12.-3/b. ábra), az (1.2.2.12.-10) képlet az<br />
m ⋅<br />
0<br />
a) b)<br />
-<br />
s<br />
d U<br />
m = = 1 + = 1 + U ′<br />
m ⋅ s m<br />
0<br />
0<br />
(1.2.2.12.-11)<br />
alakban írható fel. Az (1.2.2.12.-11) – ben m0 ⋅ s a redukált távolság, U ′a redukált alapfelületen<br />
értelmezett hossztorzulás. Az (1.2.2.12.-11) – bıl a süllyesztett vetület hossztorzulása
54<br />
U = m 0<br />
⋅U<br />
′ . (1.2.2.12.-12)<br />
A továbbiakban a (1.2.2.12.-10) összefüggésbıl<br />
( m U )<br />
d = s ⋅<br />
0<br />
+ . (1.2.2.12.-13)<br />
Az (1.2.2.12.-9) összefüggés figyelembe vételével m 0 = 1 esetén<br />
m 0 < 1, azaz süllyesztett vetület esetén<br />
( + U ) − s = s + s ⋅U<br />
− s = U ⋅ s<br />
∆s<br />
= d − s = s ⋅ 1 , (1.2.2.12.-14)<br />
( m + U ) − s = m −1+<br />
U ⋅ s<br />
∆ s = d − s = s ⋅<br />
0<br />
(<br />
0<br />
) . (1.2.2.12.-15)<br />
A hosszredukcióval redukált távolság m 0 = 1 esetén:<br />
d<br />
= s + ∆s<br />
= s + U ⋅ s . (1.2.2.12.-16)<br />
Végül, a hosszredukcióval redukált távolság az m 0 < 1 esetén:<br />
d = s + ∆s<br />
= s + s( m0 −1+<br />
U ) . (1.2.2.12.-17)<br />
Az U hossztorzulás az alapfelület méreteinek és a vetületi koordináták függvénye.<br />
Minden vetületben van legalább egy pont, vagy vonal, ahol a hossztorzulási tényezı értéke 1,<br />
a hosszredukcióé zérus. Ezek a pontok, vagy vonalak: az alapfelület és a vetület érintkezési<br />
pontja, vagy vonala, ill. metszésvonala. A hossztorzulás értéke ezektıl távolodva nı.<br />
Területtorzulási tényezı és területi redukció<br />
A hossztorzulási tényezı és hosszredukció mintájára a területtorzulási tényezıt és a<br />
területredukciót az alábbiak szerint definiálják:<br />
Területtorzulási tényezı:<br />
Területredukció:<br />
T vetületi terület<br />
f = =<br />
. (1.2.2.12.-18)<br />
F alapfelületi terület<br />
∆ T = T − F = vetületi terület − alapfelületi terület . (1.2.2.12.-19)<br />
A területtorzulási tényezı és a területi redukció a hossztorzulási tényezıtıl és a hosszredukciótól<br />
függ, e könyvben nem tárgyaljuk.<br />
Második irány- és szögredukció<br />
Második irányredukció: Az 1.2.2.12.-1. ábrán a ∆<br />
PQ<br />
szög a vetületi síkbeli PQ iránynak<br />
a geodéziai vonal pontonként vetített vetületbeli képéhez húzott érintıjével bezárt szöge.<br />
A Q pontban fellépı ∆ második irányredukció értéke ettıl általában mind nagyságban,<br />
QP<br />
mind elıjelben különbözik.
55<br />
R<br />
s PR<br />
d PR<br />
P<br />
ψ ′<br />
P<br />
ψ<br />
P<br />
d PQ<br />
s PQ<br />
Q<br />
1.2.2.12.-4. ábra: Második szögredukció<br />
Második szögredukció: Szögtartó vetületben két, ugyanazon pontból kiinduló geodéziai<br />
vonal vetületbeli képéhez húzott érintık közbezárt ψ’ szögének és a képfelületen a megfelelı<br />
egyenes szakaszok közbezárt ψ szögének különbsége (1.2.2.12.-4. ábra):<br />
∆ sz<br />
= ψ ′ −ψ . (1.2.2.12.-20)<br />
A második irány- és szögredukció értéke az alapfelület méreteitıl, a vetületi koordinátáktól<br />
és a földrajzi szélességtıl függ, nagyságuk vetületenként változó, szögmásodperc nagyságrendő.<br />
Gömbi szögfölösleg<br />
Az 1.2.2.12.-5. ábrán a PQR háromszög oldalai az<br />
vonalak és a<br />
d , d és d egyenes szakaszok.<br />
PQ<br />
PR<br />
QR<br />
s , s és s képfelületi görbe<br />
PQ<br />
PR<br />
QR<br />
s PR<br />
d PR<br />
R<br />
ψ ′<br />
ψ<br />
R<br />
R<br />
d QR<br />
s QR<br />
P<br />
ψ ′<br />
P<br />
∆ PQ<br />
ψ<br />
P<br />
d PQ<br />
s PQ<br />
ψ<br />
Q<br />
∆ QP<br />
ψ ′<br />
Q<br />
Q<br />
1.2.2.12.-5. ábra: Második szögredukciók és a gömbi szögfölösleg<br />
A görbékkel határolt háromszög szögeinek összege<br />
∑ ψ ′ = ψ ′<br />
P<br />
+ ψ ′<br />
Q<br />
+ ψ ′<br />
R<br />
.<br />
Az egyenes szakaszokkal határolt háromszög szögeinek összege<br />
∑<br />
=<br />
P<br />
+ + = 180<br />
o<br />
ψ ψ ψ<br />
Q<br />
ψ<br />
R<br />
.
56<br />
Az alapfelületet gömbnek, a képfelületi görbe vonalak alkotta háromszöget megengedhetı<br />
közelítéssel gömbháromszögnek tekintjük. Ismeretes, hogy a gömbháromszög szögeinek<br />
összege mindig nagyobb 180 -nál. Ekkor<br />
o<br />
az<br />
ε = ∑ψ<br />
′ − ∑ψ > 0<br />
(1.2.2.12.-21)<br />
különbség az ún. gömbi szögfölösleg.<br />
De<br />
P<br />
ε = ∑ψ<br />
′ − ∑ψ = ∆<br />
Q<br />
+ ∆<br />
R<br />
+ ∆ ,<br />
vagyis a gömbi szögfölösleg a háromszög csúcspontjaira vonatkozó második szögredukciók<br />
összege. A gömbi szögfölöslegnek a <strong>vetületek</strong> második irányredukcióinak számításánál megkülönböztetett<br />
jelentısége van.<br />
β<br />
R<br />
A<br />
α<br />
sz<br />
C<br />
γ<br />
β<br />
sz<br />
F<br />
sz<br />
B<br />
B’<br />
C’<br />
γ<br />
α<br />
A’<br />
Fα<br />
-val, a BCB’AB lap-<br />
F -val. Az R sugarú gömb felülete<br />
szög felületét<br />
1.2.2.12.-6. ábra: Gömbi szögfölösleg<br />
Jelöljük az 1.2.2.12.-6. ábrán az ABA’CA lapszög felületét<br />
Fgömb 4 R<br />
alábbiak:<br />
Fβ<br />
-val és a CBC’AC lapszög felületét<br />
2<br />
= ⋅π ⋅ . Az egyes lapszögek felületei, ha az α β,<br />
γ<br />
A felületek összege:<br />
F<br />
F<br />
F<br />
α<br />
β<br />
α<br />
2<br />
= ⋅ ( 4 ⋅π<br />
⋅ R ),<br />
o<br />
360<br />
β<br />
2<br />
= ⋅ ( 4 ⋅π<br />
⋅ R ),<br />
o<br />
360<br />
2<br />
( 4 ⋅ ⋅ R )<br />
γ<br />
= ⋅ π<br />
o<br />
360<br />
γ<br />
.<br />
γ<br />
, szögeket fokban adjuk meg, az<br />
α + β + γ<br />
2<br />
Fα + Fβ<br />
+ Fγ<br />
= ⋅ 4 ⋅π<br />
⋅ R<br />
(1.2.2.12.-22)<br />
o<br />
360
57<br />
Az ábrán sraffozással jelölt ABC gömbi háromszög F felületének bevezetésével az<br />
F F , F felületeket két-két részre bontjuk:<br />
α<br />
,<br />
β γ<br />
F<br />
F α<br />
F β<br />
F γ<br />
= F + A′BC ,<br />
= F + B′AC ,<br />
= F + C′AB , továbbá<br />
+ F + F = 3 ⋅ F + A′<br />
BC + B′<br />
AC + C′<br />
AB<br />
α β γ<br />
.<br />
Az ábrán a hátul lévı C’AB felület egyenlı a gömb felénk esı CA’B’ felületével. A<br />
3 ⋅ F = 2 ⋅ F + F helyettesítéssel ekkor írhatjuk:<br />
F<br />
+ F + F = 2 ⋅ F + F + A′<br />
BC + B′<br />
AC + CA′<br />
B′<br />
α β γ<br />
.<br />
Ezen összefüggés utolsó 4 tagjának összege a gömb felénk esı<br />
2<br />
⋅π fél felülete, vagyis<br />
2 ⋅ R<br />
F<br />
+ F + F = 2 ⋅ F + 2 ⋅π<br />
⋅ R<br />
2<br />
α β γ<br />
. (1.2.2.12.-23)<br />
A (1.2.2.12.-22) és a (1.2.2.12.-23) kifejezések bal oldalai megegyeznek, ezért a jobb oldalak<br />
is egyenlık:<br />
2 α + β + γ<br />
2<br />
2 ⋅ F + 2 ⋅π ⋅ R = ⋅ 4 ⋅π<br />
⋅ R ,<br />
o<br />
360<br />
α + β + γ 2 2<br />
F = ⋅π<br />
⋅ R - π ⋅ R , végül<br />
o<br />
180<br />
F =<br />
o π 2<br />
( + β + γ −180 ) ⋅ ⋅ R<br />
α .<br />
o<br />
180<br />
De az ABC gömbháromszögre a gömbi szögfölösleg<br />
s ezért<br />
0<br />
ε = α + β + γ −180 ,<br />
o<br />
ε = F 180 F<br />
⋅ = ⋅ ρ ′′ , (1.2.2.12.-24)<br />
2<br />
R π R<br />
2<br />
ahol ρ ′′ az 1 radián – az ε kicsinységét figyelembe véve – szögmásodpercekben kifejezett<br />
értéke: ρ ′′ = 206264 , 8′<br />
. Újabb megengedhetı közelítéssel a gömbi háromszög F felületét a<br />
megfelelı vetületi háromszög T területével helyettesítjük:<br />
T<br />
ε = ⋅ ρ′<br />
2<br />
R<br />
. (1.2.2.12.-25)<br />
Az ellipszoidi szögfölösleget a gömbi szögfölösleggel értelmezzük. A gömb sugara ez<br />
esetben az<br />
c<br />
R = M ⋅ N =<br />
(1.2.1.3.-1)<br />
2<br />
V<br />
összefüggéssel számítható.
58<br />
2<br />
A gömbi szögfölösleg értéke 1 km - es háromszögfelület esetén mindössze<br />
2<br />
2<br />
ε ≈ 0 ,005′<br />
, 100 km esetén ε ≈ 0 , 5′<br />
és csak 200 km -nél éri el az ε ≈ 1′′ -et. Ezzel a közelítések<br />
is elfogadhatóvá válnak.<br />
Vetületi meridiánkonvergencia<br />
Vetületi meridiánkonvergencia: Az alapfelületi meridián képéhez a vetület P pontjában<br />
húzott érintınek az +x tengellyel e pontban párhuzamos iránnyal bezárt szöge, jelölése µ<br />
P<br />
(1.2.1.12.-1. ábra). Az érintı irányát földrajzi északnak nevezzük, és É f – fel fogjuk jelölni.<br />
Az +x tengellyel párhuzamos irány a térképi észak, jelölése É t . Értéke a földrajzi, vagy a vetületi<br />
koordinátáktól és a Föld sugarától függ, a <strong>vetületek</strong> szélein eléri a szögfokos nagyságrendet.<br />
Tekintsük az 1.2.2.12.-7. ábrát!<br />
_<br />
+x<br />
É t<br />
+<br />
É f<br />
µ<br />
É t = É f<br />
1.2.2.12.-7. ábra: A vetületi meridiánkonvergencia változása<br />
Az x tengelyen lévı pontokban a µ értéke zérus, mivel a térképi és a földrajzi északi<br />
irány egybeesik, az x tengely a kezdı-meridián képe. Minél jobban eltávolodunk mindkét<br />
irányban az x tengelytıl, annál nagyobb a meridiánkonvergencia értéke, vagy fordítva, minél<br />
inkább közeledünk az x tengelyhez, annál jobban tart (konvergál) a meridián képe az x tengelyhez.<br />
A vetületi meridiánkonvergencia elıjelét a fenti ábra szerint értelmezzük, azaz pozitívnak<br />
tekintjük akkor, ha a térképi északi irány a µ szög jobb oldali szára.<br />
A vetületi koordináta-rendszerbeli δ<br />
PQ<br />
irányszög a második irányredukció és a vetületi<br />
meridiánkonvergencia figyelembe vételével szögtartó <strong>vetületek</strong>re (α = β) az alábbi összefüggésbıl<br />
számítható (1.2.2.12.-1. ábra):<br />
+y<br />
δ<br />
PQ<br />
α<br />
PQ<br />
+ ∆PQ<br />
− µ<br />
P<br />
= . (1.2.2.12.-26)
59<br />
2. Magyarország saját vetületei<br />
Magyarország saját vetületei alatt a kizárólag Magyarországon kidolgozott, a mindenkori<br />
magyarországi területi sajátosságokat magukon hordozó, a magyarországi térképezés céljára<br />
kiválasztott geodéziai <strong>vetületek</strong>et értjük. A <strong>vetületek</strong> szögtartóak és vagy érintik, vagy<br />
metszik az alapfelületet. A fejezetben keletkezésük sorrendjében az alábbi <strong>vetületek</strong>et tekintjük<br />
át:<br />
- Sztereografikus vetület,<br />
- Ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong>,<br />
- Egységes Országos Vetület (EOV).<br />
A sztereografikus és a ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> a történelmi Magyarország vetületei,<br />
kialakításuknál az ország akkori területébıl indultak ki. Mindkettı vonatkoztatási ellipszoidja<br />
a Bessel-ellipszoid (1841). A <strong>vetületek</strong> az 1.2.2.11. pontbeli csoportosítás szerint közvetett<br />
vetítésőek, vagyis a vetítést két lépésben hajtják végre: az ellipszoidról elıször egy, az<br />
ellipszoidot helyettesítı gömbre, a Gauss-gömbre (sugara R = 6378512,966 m ) vetítenek, s<br />
csak utána a síkra, ill. hengerre, mint síkba fejthetı felületre. A <strong>vetületek</strong> ortogonálisak, azaz<br />
fokhálózati vonalaik képei egymásra merılegesek. Az EOV képfelülete süllyesztett henger, a<br />
vetület szintén közvetett és ortogonális, vonatkoztatási ellipszoidja az IUGG/1967 elnevezéső<br />
ellipszoid, Gauss-gömbjének sugara R = 6379743,001 m .<br />
A geodéziai <strong>vetületek</strong> 1:1000 – 1:100000 méretaránya mellett az országot a térképlapok<br />
kezelhetetlen nagysága miatt egy térképen nem lehet ábrázolni. Emiatt a geodéziai felmérés<br />
eredményeit több, egymáshoz csatlakozó térképlapon, más néven szelvényen, vagy szelvénylapon<br />
ábrázoljuk. Abból a célból, hogy a választott vetületi rendszerben a szelvények<br />
összefüggését biztosítsuk, azokat a szelvényhálózatban helyezzük el úgy, hogy a csatlakozó<br />
hálózati vonalak mentén a térképi ábrázolás az egyes szelvénylapokon átfedés és hézagmentes<br />
legyen. A térképi tartalom hely szerinti azonosítása, az egyes szelvények egymástól való elkülönítése<br />
céljából az egyes szelvénylapokat számozzák, rajtuk feltüntetik a vetületi koordinátatengelyekkel<br />
párhuzamos egyeneseket, esetleg a fokhálózati vonalak képeit.<br />
A sztereografikus és a ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> szelvényhálózata ún. öl-, ill. méterrendszerő.<br />
A méterrendszer bevezetése elıtt a hazánkban alkalmazott mértékegység a bécsi<br />
ölrendszeren alapuló öl (a széttárt karok ujjvégei közötti távolság) volt. A bécsi öl továbbosztása<br />
a 6-os rendszerben történt:<br />
1 öl = 6 láb,<br />
1 láb = 12 hüvelyk,<br />
1 hüvelyk = 12 vonal.<br />
A területmértékek közötti összefüggések pedig az alábbiak:<br />
1 négyszögöl = 1 öl 2 ,<br />
1 kataszteri hold = 1600 öl 2 ,<br />
1 négyzetmérföld = 4000 öl ⋅ 4000 öl = 10000 kataszteri hold.<br />
A mértékegység a méretarányt befolyásolja: az ölrendszer az alapja a térképek régi, ún. kataszteri<br />
méretarányának, amelyet úgy választottak meg, hogy a térképen ábrázolt 1 hüvelyk 2<br />
– nek 1 kataszteri hold feleljen meg. Mivel 1 hüvelyk = 1/72 öl és<br />
1hold<br />
2<br />
2<br />
= 1600 öl = 40 öl , s a kettı aránya adja a méretarányt, kapjuk:<br />
1<br />
öl : 40 öl = 1 : (72 ⋅ 40) = 1 : 2880.<br />
72
60<br />
2.1. A sztereografikus vetület<br />
A magyarországi sztereografikus vetület az elsı matematikai értelemben szigorúan kidolgozott<br />
vetület, keletkezésének idıpontja 1863. A vetület az 1.2.2.11. pontban tárgyalt<br />
csoportosítási szempontok szerint valódi, érintı, azimutális, ferde tengelyő (1.2.2.11.-2. jobboldali<br />
ábra). E pontban vetítés második lépcsıjét, a Gauss-gömbrıl egy vízszintes érintı síkra<br />
történı vetítést mutatjuk be. Az ellipszoidról a Gauss-gömbre történı vetítésrıl a 3. fejezetben<br />
lesz szó.<br />
A sztereografikus vetület képfelülete egy Gauss-gömbi meridiánon a vetület K kezdıpontjának<br />
választott ponthoz tartozó érintısík (2.1.-1. ábra). Az x tengely a kezdıponton áthaladó<br />
gömbi meridián vetületben egyenesként jelentkezı képe, pozitív ága dél felé mutat, az y<br />
tengely a kezdıpontban a meridiánra merıleges gömbi fıkör vetületben szintén egyenesként<br />
jelentkezı képe. A vetítés a meridián K kezdıpontjával ellentétes, az érintı gömbi körön lévı<br />
C pontjából centrálisan történik, a vetületi koordinátarendszer tehát délnyugati tájékozású<br />
(1.2.1.4.-1/a. ábra).<br />
É<br />
S<br />
+ y<br />
K<br />
O<br />
+ x<br />
Gömbi egyenlítı<br />
C<br />
Kezdıpont gömbi meridiánja<br />
D<br />
2.1.-1. ábra: A magyarországi sztereografikus vetület<br />
Az U hossztorzulás a K kezdıponttól 127 km-es sugárral húzott körön éri el a megengedett<br />
U = értéket, geodéziai vetületnek elvileg e körön belül használható. A törté-<br />
1<br />
10000<br />
nelmi Magyarország területe ennél jóval nagyobb volt, ezért az ország területét három sztereografikus<br />
vetülettel fedték le (2.1.-2. ábra):<br />
1. A budapesti rendszer. Kezdıpontja a Gellérthegy nevő felsırendő alappont gömbi<br />
megfelelıje.<br />
2. A marosvásárhelyi rendszer. Kezdıpontja a Kesztejhegy nevő felsırendő alappont<br />
gömbi megfelelıje. E rendszerben ábrázolták az erdélyi és a kelet-magyarországi<br />
területeket.<br />
3. Az ivanici rendszer. A rendszert a délnyugati, tengerparti területek felmérésére hozták<br />
létre. Kezdıpontja a Zágrábtól mintegy 30 km-re keletre fekvı Ivaničgradon lévı<br />
Ivanič nevő (Zárdatorony) felsırendő háromszögelési pont gömbi megfelelıje.
61<br />
2.1.-2. ábra: A történelmi Magyarország három sztereografikus vetülete 2<br />
A sztereografikus vetületi koordináták ma a budapesti rendszerben értelmezettek. A<br />
Gellérthegy Gauss-gömbi földrajzi koordinátái:<br />
2.1.1. Vetületi egyenletek<br />
A kezdıpont földrajzi szélessége: ϕ 47 o K<br />
= 26′<br />
21,1372 1′′<br />
A kezdıpont földrajzi hosszúsága: λ 0 o K<br />
= 0′<br />
00,00000<br />
′′ .<br />
Tekintsünk egy O gömbközéppontú x ′, y′<br />
, z′<br />
térbeli derékszögő segédkoordinátarendszert,<br />
amelynek z′ tengelye a Gauss-gömb forgástengelye, iránya az É északi<br />
pólus felé mutat, x′ tengelye a K meridiánsíkjának és a gömbi egyenlítı síkjának metszésvonala,<br />
kelet felé mutat, y′ tengelye pedig x′ -re és a K pont M meridiánsíkjára merıleges. Az<br />
* * *<br />
x , y , z segéd-koordinátarendszer tengelyei ezzel párhuzamosak, origója a vetület K kezdıpontjában<br />
van (2.1.1.-1. ábra).<br />
Tekintsünk továbbá egy K középpontú x , y,<br />
z térbeli derékszögő koordinátarendszert,<br />
amelynek + z tengelye a K pont gömbi normálisának irányába mutat a meridián síkjában, + x<br />
tengelye az S vetületi síkba (2.1.1.-1. ábra) esik és déli irányba mutat. A rendszer + y tengelye<br />
szintén a vetület síkjában van, merıleges az M meridiánsíkra és párhuzamos az y′ tengellyel.<br />
Egy síkba, a meridián síkjába esnek az x ′, z′<br />
és az x, z tengelyek által kifeszített síkok.<br />
2 http://zeus.szif.hu/ottofi/drottofi/keret1.htm
62<br />
+ y’<br />
+z’<br />
A gömb forgástengelye +z * +z A K pont normálisa<br />
M<br />
S<br />
k’<br />
k y = y *<br />
P<br />
K φ K r P(x * , z * )<br />
+ y<br />
i ρ<br />
+ y * i’<br />
R<br />
O + x<br />
+x<br />
φ *<br />
K<br />
R ⋅ cosϕ K<br />
R ⋅ sinϕ K<br />
C<br />
2.1.1.-1. ábra: Vetületi és segédkoordináták<br />
Fejezzük ki elıször egy tetszıleges térbeli P pont<br />
D<br />
x , y,<br />
z rendszerbeli koordinátáit az<br />
x ′, y′<br />
, z′<br />
rendszer koordinátáinak függvényében! Mivel y = y<br />
* = y′<br />
, az x, z és az x ′, z′<br />
rendszerek<br />
síkbeli koordináta transzformációval kapcsolhatók össze (2.1.1.-2. ábra). A síkbeli<br />
analitikus geometria ismert összefüggései alapján:<br />
x = r ⋅i; z = r ⋅k<br />
, de<br />
+ x’<br />
* *<br />
r = x ⋅i′<br />
+ z ⋅k′<br />
, ezért<br />
* *<br />
*<br />
*<br />
= ( x ⋅i′<br />
+ z ⋅k′<br />
) ⋅i<br />
= x ⋅i′⋅i<br />
+ z ⋅k′<br />
⋅i<br />
* *<br />
*<br />
*<br />
( x ⋅ i′<br />
+ z ⋅ k′<br />
) ⋅ k = x ⋅ i′<br />
⋅ k + z ⋅ k′<br />
⋅ k<br />
x ,<br />
z =<br />
.<br />
+z ∗<br />
+z<br />
x *<br />
x<br />
P(x * ,z * )<br />
+z ∗<br />
ϕ<br />
K<br />
ϕ K<br />
*<br />
z ⋅ cosϕ<br />
K<br />
+z<br />
*<br />
x ⋅ sinϕ<br />
x *<br />
K<br />
P(x, z)<br />
k’<br />
k<br />
i’<br />
ϕ<br />
i<br />
K<br />
r<br />
0<br />
90 − ϕK<br />
z<br />
z *<br />
+x<br />
+x ∗<br />
ϕ<br />
K<br />
*<br />
z ⋅ sinϕ<br />
K<br />
ϕ<br />
K<br />
ϕ K<br />
*<br />
x ⋅ cosϕ<br />
K<br />
z *<br />
+x<br />
+x ∗<br />
2.1.1.-2. ábra: Koordináta-transzformáció
63<br />
Az<br />
i, i′<br />
, k,<br />
k′<br />
egységvektorok, abszolút értékük 1, közbezárt szögeikre pedig igaz, hogy<br />
vagyis<br />
i ′ ⋅i<br />
= i′<br />
⋅ i ⋅cos<br />
k ′ ⋅i<br />
= k′<br />
⋅ i ⋅cos<br />
o<br />
( 90 −ϕ<br />
K<br />
) = sinϕK<br />
o<br />
( 180 −ϕK<br />
) = −cosϕK<br />
i ′ ⋅k<br />
= i′<br />
⋅ k ⋅cosϕ = cosϕ<br />
K<br />
K<br />
o<br />
( 90 −ϕ<br />
K<br />
) = sinϕK<br />
k ′ ⋅k<br />
= k′<br />
⋅k<br />
⋅cos<br />
,<br />
x = x<br />
z = x<br />
*<br />
*<br />
⋅ sin ϕ − z<br />
K<br />
⋅ cos ϕ + z<br />
K<br />
*<br />
*<br />
⋅ cosϕ<br />
,<br />
⋅ sin ϕ<br />
K<br />
K<br />
(2.1.1.-1)<br />
és ϕK<br />
a K kezdıpont gömbi földrajzi szélessége. Figyelembe véve továbbá, hogy<br />
r = ρ − R, (2.1.1.-1. ábra)<br />
írhatjuk:<br />
x<br />
z<br />
*<br />
*<br />
= x′<br />
− x<br />
= z′<br />
− z<br />
K<br />
K<br />
= x′<br />
− R ⋅ cosϕ<br />
,<br />
= z′<br />
− R ⋅ sin ϕ<br />
K<br />
K<br />
,<br />
ahol R a földgömb sugara. Végül kapjuk:<br />
x =<br />
z =<br />
( x′<br />
− R ⋅cosϕ<br />
) ⋅sinϕ<br />
− ( z′<br />
− R ⋅sinϕ<br />
)<br />
y = y′<br />
⋅cosϕ<br />
= x′⋅sinϕ<br />
− z′⋅cosϕ<br />
( x′<br />
− R ⋅cosϕ<br />
) ⋅cosϕ<br />
+ ( z′<br />
− R ⋅sinϕ<br />
) ⋅sinϕ<br />
= x′⋅cosϕ<br />
+ z′⋅sinϕ<br />
− R<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
(2.1.1.-2)<br />
Könnyebben memorizálható és az inverz transzformációt is áttekinthetıbbé, könnyebben<br />
követhetıvé teszi a 2.1.1.-1. táblázat:<br />
2.1.1.-1. táblázat: Segédtáblázat a sík koordináta-transzformációhoz<br />
x’ y’ z’<br />
x sinϕ 0<br />
K<br />
− cosϕK<br />
y 1<br />
z + R cosϕ 0<br />
K<br />
sinϕ<br />
K<br />
Az x ′, y′<br />
, z′<br />
→ x,<br />
y,<br />
z transzformációt a sorok, az x , y,<br />
z → x′<br />
, y′<br />
, z′<br />
transzformációt az<br />
oszlopok szerinti kifejtésbıl, szorzási mőveletekkel kapjuk.<br />
A vetítési centrum a K vetületi kezdıponthoz tartozó gömbi átmérı átellenes vége, a C<br />
pont. A 2.1.1.-3. ábrán a CP vetítési sugár a gömbbıl a P’ pontot metszi ki. A P’ pont gömbi<br />
földrajzi koordinátái ϕ , λ .<br />
A C pont koordinátái az<br />
x , y,<br />
z rendszerben:<br />
x<br />
= ; y = 0; z = −2<br />
⋅ R<br />
C<br />
0<br />
C C<br />
,<br />
.
64<br />
+z’<br />
+z<br />
S<br />
+ y’<br />
R<br />
+ y<br />
O<br />
K<br />
R<br />
φ<br />
λ<br />
x<br />
+ x<br />
y<br />
R ⋅cosϕ<br />
P(x, y)<br />
P’( ϕ, λ )<br />
R ⋅sinϕ<br />
P<br />
Vetítési centrum: C<br />
R ⋅ cosϕ ⋅ cosλ<br />
− y ′ = R ⋅ cosϕ ⋅ sin λ<br />
P<br />
+ x’<br />
D<br />
2.1.1.-3. ábra: Gömbi földrajzi és sztereografikus vetületi koordináták<br />
A P’ pont koordinátái az<br />
x ′, y′<br />
, z′<br />
rendszerben, a földrajzi koordináták függvényében:<br />
x′<br />
P′<br />
= R ⋅ cosϕ<br />
⋅ cosλ,<br />
y′<br />
= −R<br />
⋅ cosϕ<br />
⋅sin<br />
λ,<br />
P′<br />
z′<br />
P′<br />
= R ⋅sinϕ<br />
.<br />
A P’ pont koordinátáit az x , y,<br />
z rendszerben, a földrajzi koordináták függvényében a 2.1.1.-1.<br />
táblázat felhasználásával, a (2.1.1.-2) egyenletekbe visszahelyettesítve kapjuk:<br />
z<br />
x<br />
P′<br />
P′<br />
= R ⋅ cosϕ<br />
⋅ cosλ<br />
⋅sinϕ<br />
− R ⋅sinϕ<br />
⋅ cosϕ<br />
,<br />
y<br />
P′<br />
= −R<br />
⋅ cosϕ<br />
⋅sin<br />
λ,<br />
= R ⋅ cosϕ<br />
⋅ cosλ<br />
⋅ cosϕ<br />
+ R ⋅sinϕ<br />
⋅ sinϕ<br />
− R .<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
(2.1.1.-3)<br />
Az S sík egyenlete az<br />
x , y,<br />
z rendszerben<br />
z = 0 .<br />
Írjuk fel a C és a P’ pontokon átmenı térbeli egyenes egyenleteit az<br />
x , y,<br />
z rendszerben:<br />
x − x<br />
x<br />
P′<br />
C<br />
− x<br />
C<br />
=<br />
y − y<br />
y<br />
P′<br />
C<br />
− y<br />
C<br />
=<br />
z − z<br />
z<br />
P′<br />
C<br />
− z<br />
C<br />
(2.1.1.-4)<br />
A vetületi P(x, y) pont a CP’ egyenes és az S sík döféspontja (2.1.1.-3. ábra). Határozzuk meg<br />
ezt a pontot. Írjuk fel az alábbi három egyenletet (az egyenes két tetszıleges egyenlete és a sík<br />
egyenlete):
65<br />
x<br />
x<br />
P′<br />
=<br />
y<br />
y<br />
z − z<br />
z<br />
P′<br />
P′<br />
C<br />
− z<br />
C<br />
P′<br />
z = 0 .<br />
z + 2 ⋅ R<br />
= ,<br />
z + 2 ⋅ R<br />
P′<br />
z + 2 ⋅ R<br />
= ,<br />
z + 2 ⋅ R<br />
A z = 0 -t az elsı és a második egyenletbe helyettesítve, kapjuk:<br />
x<br />
x<br />
P′<br />
y<br />
y<br />
P′<br />
=<br />
z<br />
=<br />
z<br />
P′<br />
P′<br />
2 ⋅ R<br />
,<br />
+ 2 ⋅ R<br />
2 ⋅ R<br />
.<br />
+ 2 ⋅ R<br />
Fejezzük ki elıször a második egyenletbıl y-t:<br />
y =<br />
y<br />
P′<br />
⋅<br />
z<br />
P′<br />
2 ⋅ R<br />
R ⋅ cosϕ<br />
⋅ sin λ<br />
= −2<br />
⋅ R ⋅<br />
+ 2 ⋅ R R ⋅ cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅ cosϕ<br />
+ R ⋅ sinϕ<br />
⋅sinϕ<br />
K<br />
K<br />
.<br />
− R + 2 ⋅ R<br />
Egyszerősítve R-rel, végül:<br />
A továbbiakban<br />
x = x<br />
és végül<br />
P′<br />
⋅<br />
z<br />
P′<br />
cosϕ<br />
⋅sin<br />
λ<br />
y = −2<br />
⋅ R ⋅<br />
. (2.1.1.-5)<br />
1+<br />
cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅ cosϕ<br />
+ sinϕ<br />
⋅sinϕ<br />
2 ⋅ R<br />
R ⋅ cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅sinϕ<br />
K<br />
− R ⋅sinϕ<br />
⋅ cosϕ<br />
K<br />
= 2 ⋅ R ⋅<br />
+ 2 ⋅ R R ⋅ cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅ cosϕ<br />
+ R ⋅sinϕ<br />
⋅ sinϕ<br />
− R + 2 ⋅ R<br />
cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅sinϕ<br />
− sinϕ<br />
⋅ cosϕ<br />
1+<br />
cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅ cosϕ<br />
+ sinϕ<br />
⋅ sinϕ<br />
K<br />
K<br />
x = 2 ⋅ R ⋅<br />
. (2.1.1.-6)<br />
A (2.1.1.-5) és a (2.1.1.-6) összefüggések a magyarországi sztereografikus vetület vetületi<br />
egyenletei. A λ -t a kezdı-meridiántól keletre tekintjük pozitívnak, vagyis a gömbi földrajzi<br />
hosszúság növekedési iránya ellentétes az y koordináta növekedési irányával.<br />
Példa:<br />
Számítsuk ki a ϕ = 46 o 35′<br />
54,0500′<br />
gömbi földrajzi szélességő és a λ = 1 o 20′<br />
09,3800′<br />
gömbi földrajzi hosszúságú pont y, x budapesti sztereografikus vetületi koordinátáit!<br />
A kezdıpont földrajzi szélessége: ϕ 47 o K<br />
= 26′<br />
21,1372 1′′<br />
A Gauss-gömb sugara:<br />
Az eredmények:<br />
R = 6378512,966 m .<br />
y = -102192,770 m; x = 92739,376 m .<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K
66<br />
2.1.2. Inverz vetületi egyenletek<br />
Az inverz vetületi egyenletekre (1.2.1.4.-3. képlet) a vetületi redukciók számításánál és<br />
a vetületi rendszerek közötti átszámításoknál (5. fejezet) lesz szükség. Levezetésükhöz fejtsük<br />
ki a 2.1.1.-1. táblázatot oszlopai szerint! Írhatjuk:<br />
x′<br />
= x ⋅sinϕ<br />
+<br />
K<br />
y′<br />
= y<br />
z′<br />
= −x<br />
⋅ cosϕ<br />
+<br />
Helyettesítsük a (2.1.2.-1) összefüggésbe az<br />
K<br />
( z + R)<br />
R ⋅ cosϕ<br />
⋅ cos λ = x ⋅ sinϕ<br />
+<br />
⋅ cosϕ<br />
K<br />
( z + R) ⋅ sinϕ<br />
K<br />
′<br />
P ′, y′<br />
P′<br />
, z′<br />
P′<br />
. (2.1.2.-1)<br />
x fenti értékeit:<br />
( z + R)<br />
- R ⋅ cosϕ<br />
⋅ sin λ = y,<br />
R ⋅ sinϕ<br />
= −x<br />
⋅ cosϕ<br />
+<br />
K<br />
K<br />
⋅ cosϕ<br />
,<br />
( z + R) ⋅ sinϕ<br />
.<br />
Helyettesítsük a P’ pont x , y,<br />
z rendszerbeli x<br />
P ′ , yP′<br />
, zP′<br />
koordinátáit a fenti egyenletekbe<br />
és fejezzük ki a földrajzi koordinátákat e koordináták függvényében:<br />
x<br />
cot λ = −<br />
− x<br />
sinϕ<br />
=<br />
P′<br />
P′<br />
⋅sinϕ<br />
+<br />
K<br />
⋅ cosϕ<br />
+<br />
K<br />
( z + R)<br />
y<br />
P′<br />
P′<br />
( z + R)<br />
R<br />
P′<br />
K<br />
⋅ cosϕ<br />
⋅sinϕ<br />
K<br />
K<br />
K<br />
,<br />
.<br />
(2.1.2.-2)<br />
Határozzuk meg az x<br />
P ′ , yP′<br />
, zP′<br />
koordinátákat a vetületi koordináták függvényében! Tekintsük<br />
a 2.1.2.-3. ábrát!<br />
+z<br />
S<br />
+ y<br />
O(0,0,-R)<br />
k<br />
K<br />
j i<br />
R<br />
R<br />
γ<br />
y<br />
d x<br />
P(x, y)<br />
P’( x<br />
P ′, yP′<br />
, zP′<br />
C(0,0,-2R)<br />
R γ<br />
+ x<br />
2.1.2.-3. ábra: Vektorábra a gömbi földrajzi koordináták meghatározásához<br />
sztereografikus vetületi koordinátákból
67<br />
A gömbi P’ pont rajta van a CP egyenesen, ezért a megoldások közül célszerő a P’ pont koordinátáit<br />
a CP szakaszt adott arányban osztó pont koordinátáiként meghatározni. A CP vektor<br />
hosszát a következıképpen kapjuk:<br />
KP = x ⋅ i + y ⋅ j;<br />
CO = −<br />
A CP vektor hossza a CP távolság:<br />
KO = −R<br />
⋅k;<br />
( KC − KO) = −( − 2 ⋅ R + R)<br />
KC = −2<br />
⋅ R ⋅k;<br />
⋅k<br />
= R ⋅k<br />
CP = KP − KC = x ⋅ i + y ⋅ j + 2 ⋅ R ⋅ k .<br />
és<br />
CP<br />
2 2 2<br />
= x + y + 4 ⋅ R . (2.1.2.-3)<br />
A CO és CP vektorok közbezárt szögének cosinusa:<br />
( x ⋅ i + y ⋅ j + 2 ⋅ R ⋅k)<br />
CO ⋅CP<br />
R ⋅ k ⋅<br />
cosγ = =<br />
.<br />
2 2 2<br />
CO ⋅ CP R ⋅ x + y + 4 ⋅ R<br />
Egyszerősítve, a számlálóban kijelölt mőveleteket elvégezve, s figyelembe véve, hogy<br />
k ⋅ i = k ⋅ j = 0 , mert merıleges egységvektorok és k ⋅k = 1, kapjuk:<br />
2 ⋅ R<br />
cosγ =<br />
. (2.1.2.-4)<br />
2 2 2<br />
x + y + 4 ⋅ R<br />
A CKP’ háromszög CK oldala átmegy a CKP’ gömbi kör O középpontján, ezért az ugyanezen<br />
körön lévı P’-nél lévı szög a Thales-tétel alapján derékszögő. Emiatt<br />
CP′ = 2 ⋅ R ⋅ cosγ .<br />
A<br />
C P′ és P′<br />
P távolságok aránya:<br />
CP′<br />
P′<br />
P<br />
=<br />
CP′<br />
CP − CP′<br />
=<br />
x<br />
2<br />
+ y<br />
2<br />
2 ⋅ R ⋅ cosγ<br />
=<br />
2<br />
+ 4 ⋅ R − 2 ⋅ R ⋅ cosγ<br />
m<br />
n<br />
. (2.1.2.-5)<br />
A CP távolságot a (2.1.2.-5) összefüggés szerinti arányban osztó P’ gömbi pont koordinátái<br />
az<br />
x , y,<br />
z rendszerben a következık:<br />
x<br />
y<br />
z<br />
P′<br />
P′<br />
P′<br />
n ⋅ xC<br />
+ m ⋅ x<br />
=<br />
,<br />
n + m<br />
n ⋅ yC<br />
+ m ⋅ y<br />
=<br />
,<br />
n + m<br />
n ⋅ zC<br />
+ m ⋅ z<br />
=<br />
.<br />
n + m<br />
(2.1.2.-6)<br />
A (2.1.2.-6) összefüggésben x, y a P pont koordinátái a vetület síkjában, ugyanitt z = 0 . Tudjuk,<br />
hogy<br />
xC = 0;<br />
yC<br />
= 0; zC<br />
= −2<br />
⋅ R ,<br />
n<br />
2 2 2<br />
+ m = CP = x + y + 4 ⋅ R és γ<br />
(2.1.2.-4) összefüggésben kifejezett értékét helyettesítve, írhatjuk:<br />
cos helyébe a
68<br />
Vezessük be a<br />
jelölést. Ekkor<br />
x<br />
y<br />
z<br />
P′<br />
P′<br />
P′<br />
=<br />
=<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4 ⋅ R<br />
2<br />
+ y + 4 ⋅ R<br />
2<br />
4 ⋅ R<br />
2<br />
+ y + 4 ⋅ R<br />
2<br />
2<br />
⋅ x,<br />
⋅ y,<br />
3<br />
8⋅<br />
R<br />
=<br />
− 2 ⋅ R.<br />
2 2 2<br />
x + y + 4 ⋅ R<br />
2<br />
4 ⋅ R<br />
c =<br />
2 2 2<br />
x + y + 4 ⋅ R<br />
x<br />
y<br />
z<br />
P′<br />
P′<br />
P′<br />
= c ⋅ x,<br />
= c ⋅ y,<br />
= c ⋅ 2⋅<br />
R − 2⋅<br />
R .<br />
(2.1.2.-7)<br />
A fenti értékeket helyettesítsük a (2.1.2.-2) elsı összefüggésébe:<br />
x<br />
cot λ = −<br />
P′<br />
⋅sinϕ<br />
K<br />
+<br />
y<br />
c ⋅ x ⋅ sinϕ<br />
K<br />
= −<br />
( z + R) ⋅ cosϕ<br />
c ⋅ x ⋅sinϕ<br />
+ ( c ⋅ 2 ⋅ R − 2 ⋅ R + R)<br />
P′<br />
P′<br />
+ c ⋅ 2 ⋅ R ⋅ cosϕ<br />
K<br />
− 2 ⋅ R ⋅ cosϕ<br />
K<br />
c ⋅ y<br />
1 ⎛<br />
= − ⎜ x ⋅sinϕ<br />
K<br />
y ⎝<br />
K<br />
= −<br />
+ R ⋅ cosϕ<br />
R ⋅ cosϕ<br />
K ⎞<br />
+ 2 ⋅ R ⋅ cosϕ<br />
K<br />
− ⎟ .<br />
c ⎠<br />
K<br />
c ⋅ y<br />
K<br />
=<br />
⋅ cosϕ<br />
K<br />
=<br />
Alakítsuk át a zárójelben lévı kifejezés utolsó két tagját:<br />
R ⋅ cosϕ<br />
K<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⋅ R ⋅ cosϕ K<br />
− = R ⋅ cosϕ<br />
⋅ ⎜2<br />
− ⎟ ;<br />
c<br />
⎝ c ⎠<br />
2<br />
K<br />
2<br />
2 2 2<br />
8⋅<br />
R x + y + 4 ⋅ R<br />
−<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2 2 2<br />
2<br />
1 2 ⋅ c −1<br />
x + y + 4 ⋅ R x + y + 4 ⋅ R 4 ⋅ R − ( x + y ) d<br />
2 − = =<br />
=<br />
= 1−<br />
,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
c c<br />
4 ⋅ R<br />
4 ⋅ R<br />
4 ⋅ R<br />
2 2 2<br />
x + y + 4 ⋅ R<br />
ahol<br />
d +<br />
2 2 2<br />
= x y . A<br />
P<br />
cot λ fenti kifejezésébe helyettesítve, végül:<br />
cot λ<br />
1 ⎡<br />
− ⋅ ⎢x<br />
⋅sinϕ<br />
K<br />
y ⎣<br />
2<br />
⎛ d ⎞ ⎤<br />
+<br />
⎜ R −<br />
⎟ ⋅ cosϕ<br />
⎥ . (2.1.2.-8)<br />
⎝ 4 ⋅ R ⎠ ⎦<br />
=<br />
K<br />
A ϕ -t a (2.1.2.-2) második összefüggésébıl kapjuk:
69<br />
( c ⋅ 2 ⋅ R − 2 ⋅ R + R)<br />
− c ⋅ x ⋅ cosϕ<br />
K<br />
+<br />
⋅ sinϕ<br />
K<br />
sinϕ<br />
=<br />
R<br />
c ⎛<br />
R ⋅ sinϕ<br />
K ⎞<br />
= ⋅ ⎜−<br />
x ⋅ cosϕ<br />
K<br />
+ 2 ⋅ R ⋅sinϕ<br />
K<br />
− ⎟ .<br />
R ⎝<br />
c ⎠<br />
=<br />
A c értékét behelyettesítve, végül<br />
2<br />
1 ⎡<br />
⎛ d ⎞ ⎤<br />
sinϕ<br />
= ⋅ cos<br />
K<br />
sin<br />
2 ⎢−<br />
x ⋅ ϕ +<br />
⎜ R −<br />
K ⎥<br />
⎣<br />
4<br />
⎟ ⋅ ϕ<br />
d<br />
⎝ ⋅ R<br />
R +<br />
⎠ ⎦<br />
4 ⋅ R<br />
. (2.1.2.-9)<br />
A (2.1.2.-8) és a (2.1.2.-9) összefüggések a sztereografikus vetület inverz vetületi egyenletei.<br />
Példa:<br />
A (2.1.2.-8) és a (2.1.2.-9) összefüggésekkel ellenırizzük az elızı példa számításának helyességét!<br />
y = -102192,770 m; x = 92739,376 m .<br />
A kezdıpont földrajzi szélessége: ϕ 47 o K<br />
= 26′<br />
21,1372 1′′<br />
A Gauss-gömb sugara: R = 6378512,966 m .<br />
2 2<br />
d = x + y = 137999,8337 m .<br />
A ϕ és a λ értékei 0,0001” élességgel megegyeznek az elızı példa bemenı adataival:<br />
o<br />
ϕ = 46 35′<br />
54,0500′′<br />
.<br />
o<br />
λ = 1 20′<br />
09 ′,3800<br />
2.1.3. A sztereografikus vetület redukciói<br />
A redukciók számításánál fogadjuk el az alábbiakat:<br />
− a szögtartóság miatt a vetületen lévı szögek megegyeznek a megfelelı alapfelületi<br />
(gömbi) szögekkel,<br />
− a kezdı-meridián képe egyenes,<br />
− a vetületi kezdıponton át nem menı gömbi körök képei körök 3 , amelyek mindig a<br />
homorú oldalukat mutatják a K vetületi kezdıpont felé,<br />
− a vetületi kezdıponton átmenı gömbi körök képei a vetületen egyenes szakaszok.<br />
2.1.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció<br />
Határozzuk meg elıször a ferdetengelyő sztereografikus vetület lineármodulusát.<br />
A 2.1.3.1.-1/a. ábrán a CKP derékszögő háromszögbıl:<br />
A 2.1.3.1.-1/a. ábra alapján felírható még:<br />
A CPA háromszögbıl :<br />
KC 2 ⋅ R<br />
CP = = .<br />
cosγ cosγ<br />
3 Pld. Hazay: Földi <strong>vetületek</strong>, 1954, 36.§
70<br />
PA<br />
=<br />
2 ⋅ R<br />
CP ⋅ dγ<br />
= ⋅ dγ<br />
.<br />
cosγ<br />
S<br />
+ y<br />
δ<br />
-δ<br />
+ y<br />
R<br />
γ<br />
O<br />
K<br />
R<br />
2γ R<br />
2dγ<br />
y<br />
dd<br />
d x<br />
P<br />
P’ Q<br />
ds A<br />
Q’<br />
γ<br />
b)<br />
+ x<br />
K<br />
P -dy<br />
-δ<br />
dd dx<br />
Q<br />
C<br />
dγ<br />
+ x<br />
a)<br />
O<br />
R<br />
2γ<br />
R<br />
2dγ<br />
P’<br />
ds<br />
Q’<br />
2.1.3.1.-1. ábra: Hossztorzulási tényezı és hosszredukció meghatározása<br />
Az OP’Q’ háromszögbıl (ennek egyik oldala a ds ív ):<br />
ds = P'Q' = 2⋅<br />
R ⋅dγ<br />
.<br />
Az APQ háromszögbıl (merıleges szárú szögek miatt a P pontnál lévı szög is γ):<br />
PA 2 ⋅ R<br />
dd = PQ = = ⋅ dγ<br />
.<br />
2<br />
cosγ<br />
cos γ<br />
A lineármodulus<br />
dd<br />
l = (1.2.2.1.-1)<br />
ds<br />
képletébıl kapjuk a sztereografikus vetület alábbi lineármodulusát:<br />
dd<br />
PQ 1<br />
l = = = . (2.1.3.1.-1)<br />
2<br />
d s P'Q' cos γ<br />
Alakítsuk át a (2.1.3.1.-1) képletet:<br />
2<br />
2<br />
1 cos γ + sin γ<br />
2<br />
l = =<br />
= 1+<br />
tan γ .<br />
2 2<br />
cos γ cos γ<br />
De szintén a CKP derékszögő háromszögbıl
71<br />
Továbbá<br />
ezért<br />
2<br />
d<br />
d<br />
tanγ = és l = 1+<br />
.<br />
2<br />
2 ⋅ R<br />
4 ⋅ R<br />
d +<br />
2 2 2<br />
= x y ,<br />
2 2<br />
x + y<br />
l = 1+<br />
. (2.1.3.1.-2)<br />
2<br />
4 ⋅ R<br />
Írjuk fel a lineármodulus reciprokát a (2.1.3.1.-2) binomiális sorának 2. tagjáig (pld.<br />
Bronstejn-Szemengyajev, 1963, 405. old.):<br />
A (2.1.3.1.-3)-ból<br />
A 2.1.3.1.-1/b. ábra szerint<br />
1 ds<br />
=<br />
l dd<br />
2<br />
x<br />
= 1−<br />
4<br />
+<br />
⋅<br />
y<br />
2<br />
R<br />
2<br />
+ ....<br />
(2.1.3.1.-3)<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
⎛ x + y ⎞ x y<br />
s = dd<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
= dd<br />
− ⋅ dd<br />
− ⋅ dd<br />
2<br />
2<br />
4 R<br />
⎟<br />
. (2.1.3.1.-4)<br />
⎝ ⋅ ⎠ 4 ⋅ R 4 ⋅ R<br />
d 2<br />
dx<br />
dy<br />
cosδ = cos( − δ ) = és - sinδ<br />
= sin( − δ ) = − ,<br />
dd<br />
dd<br />
illetve<br />
dx<br />
dy<br />
dd = = .<br />
cosδ sinδ<br />
A (2.1.3.1.-4)-be helyettesítve, írhatjuk:<br />
2<br />
2<br />
x dx<br />
y dy<br />
s = dd<br />
− ⋅ − ⋅ . (2.1.3.1.-5)<br />
2<br />
4 ⋅ R cosδ 4 ⋅ R sinδ<br />
d<br />
2<br />
+ y<br />
x 2<br />
K<br />
d 12<br />
P 1<br />
x 1<br />
-y 1<br />
δ 12<br />
x 2 - x 1<br />
-y 2<br />
P 2<br />
y 2 - y 1<br />
+ x<br />
2.1.3.1.-2. ábra: Koordinátakülönbségek<br />
Képezzük a (2.1.3.1.-5) határozott integrálját pld. a P ( , x ) és a P ( y x )<br />
(2.1.3.1.-2. ábra):<br />
y pontok között<br />
1 1 1<br />
2 2<br />
,<br />
2
72<br />
s<br />
12<br />
= d<br />
12<br />
3<br />
⎡ x ⎤<br />
− ⎢ 2 ⎥<br />
⎣12<br />
⋅ R ⋅ cosδ<br />
⎦<br />
x2<br />
x1<br />
3<br />
⎡ y ⎤<br />
− ⎢ 2 ⎥<br />
⎣12<br />
⋅ R ⋅ sinδ<br />
⎦<br />
y2<br />
y1<br />
,<br />
3 3<br />
3 3<br />
x2<br />
− x1<br />
y2<br />
− y1<br />
s<br />
12<br />
= d12<br />
−<br />
−<br />
,<br />
2<br />
2<br />
12 ⋅ R ⋅ cosδ<br />
12 ⋅ R ⋅sinδ<br />
12<br />
12<br />
vagy, figyelembe véve, hogy<br />
cos<br />
=<br />
x − x<br />
2 1<br />
δ<br />
12<br />
és<br />
d12<br />
sinδ<br />
12<br />
=<br />
y2<br />
− y<br />
d<br />
12<br />
1<br />
, írhatjuk:<br />
3 3 3 3<br />
d ⎛<br />
12<br />
x2<br />
− x1<br />
y2<br />
− y1<br />
12 12<br />
.<br />
2<br />
12 ⎟ ⎞<br />
s = d − ⋅<br />
⎜ +<br />
⋅ R ⎝ x2<br />
− x1<br />
y2<br />
− y1<br />
⎠<br />
Végezzük el a zárójelben kijelölt mőveleteket! Az s = s12<br />
, d = d12<br />
jelölésbeli egyszerősítéssel<br />
végül:<br />
2<br />
2 2<br />
2 ⎤<br />
( x + x ⋅ x + x + y + y ⋅ y + ) ⎥⎦<br />
⎡ 1<br />
s = d ⋅<br />
⎢<br />
1−<br />
⋅<br />
2 1 1 2 2 1 1 2<br />
y2<br />
. (2.1.3.1.-6)<br />
⎣ 12 ⋅ R<br />
Vezessük be az<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
( x + x ⋅ x + x + y + y ⋅ y y )<br />
1<br />
U = ⋅<br />
2 1 1 2 2 1 1 2<br />
+<br />
2<br />
(2.1.3.1.-7)<br />
12 ⋅ R<br />
jelölést. A (2.1.3.1.-6) képlet átrendezésével és a binomiális sor felhasználásával az<br />
d 1<br />
m = = ≈ 1+<br />
U<br />
s 1−U<br />
(2.1.3.1.-8)<br />
hossztorzulási tényezıt kapjuk, ahol U a hossztorzulás. Összevetve ezt a hossztorzulási tényezıre<br />
adott 1.2.2.12. fejezetbeli<br />
d<br />
m = = m0 + U<br />
(1.2.2.12.-10)<br />
s<br />
összefüggéssel, látjuk, hogy m = 0<br />
1, ami természetes, hiszen érintı vetületrıl van szó.<br />
Végül, a hosszredukció a (1.2.2.12.-14) képlet szerint számítható:<br />
A hosszredukcióval korrigált távolság:<br />
∆ s = d − s = U ⋅ s . (2.1.3.1. -9)<br />
s = d + ∆s<br />
. (2.1.3.1.-10)<br />
A (2.1.3.1.-8) összefüggésbıl látszik, hogy, mivel U pozitív, a hosszredukció is pozitív,<br />
azaz, amint az egyébként is könnyen belátható, a sztereografikus vetületi távolságok nagyobbak<br />
a gömbi távolságoknál. A K kezdıpontban a hossztorzulás 0, attól távolodva, a<br />
(2.1.3.1.-7) összefüggés szimmetrikussága miatt, a hossztorzulás a K pont körüli koncentrikus<br />
körök mentén nı.
73<br />
A mért távolság környezetében célszerő átlagos x , y 0 0<br />
koordinátákkal számolni, hiszen<br />
a távolságméréskor a végpontok koordinátáit többnyire még nem ismerjük. A (2.1.3.1.-<br />
x1<br />
+ x2<br />
y<br />
7) képletben ezért helyettesítsünk x0<br />
= -et és 1<br />
+ y<br />
y = 2<br />
-ıt. Ekkor<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2 d<br />
( x ) 0<br />
0<br />
+ y0<br />
=<br />
2<br />
1<br />
U = ⋅<br />
. (2.1.3.1. -11)<br />
2<br />
4 ⋅ R<br />
4 ⋅ R<br />
A hossztorzulás számításakor a koordinátákat és a Gauss-gömb R sugarát elegendı kerekítve,<br />
0,1 km-es élességgel behelyettesíteni.<br />
1<br />
A hossztorzulás megengedett értéke Magyarországon U = (1.2.2.12. pont).<br />
10000<br />
Vizsgáljuk meg, hogy a K kezdıpontból kiindulva U hol éri el ezt az értéket? A (2.1.3.1. -10)<br />
képletben a Gauss-gömb sugara R ≈ 6380 km . Az U hossztorzulás x = 90 0<br />
km és<br />
2 2<br />
y<br />
0<br />
= 90 km , azaz 127,3<br />
1<br />
d0 = x + y = km mellett éri el az -et. Ez azt jelenti, hogy a<br />
10000<br />
K vetületi kezdıpont körül 127,3 km sugarú körön kívül az U értéke már meghaladja azt.<br />
Példa:<br />
Számítsuk ki az s = 2825,346 m nagyságú gömbi távolság K kezdıponttól vett d0<br />
távolságát,<br />
U hossztorzulását, a ∆s<br />
hosszredukciót és a hosszredukcióval korrigált d távolságot<br />
az y = -102192,770<br />
0<br />
m és x 92739,376 m<br />
0<br />
=<br />
koordinátájú pont környezetében!<br />
A koordináták és a Gauss-gömb sugara km élességgel:<br />
y = -102,2 km , x = 92,7 m , R = 6378,5 km .<br />
0<br />
0<br />
k<br />
A számításhoz és a megjelenítéshez használt VisualBasic nyelvő programrészt a Függelék<br />
2.1.3.1.-1. pontjában találjuk.<br />
Az eredmények:<br />
d = 137,979 km , U = 0,000116984,<br />
∆s = 0,331 m , d = 2825,677 m.<br />
0<br />
A hosszredukció a vetületi kezdıponttól távolabb dm-es nagyságrendő, jóval meghaladja<br />
a távolságmérı mőszerek pontosságát, ezért nem hanyagolhatjuk el.<br />
2.1.3.2. Második irányredukció<br />
A második irányredukció számításánál a szögtartóság mellett felhasználjuk, hogy a K<br />
kezdıponton átmenı gömbi körök képei egyenesek, így az ε gömbi szögfölösleg (1.2.2.12.-5.<br />
ábra) két, egyenlı nagyságú szög, a ∆ és ∆ második irányredukciók összege (2.1.3.2.-1.<br />
PQ<br />
KP<br />
∆<br />
KQ<br />
= ∆<br />
PK<br />
= ∆<br />
QK<br />
=<br />
ábra), hiszen ∆ = 0 és a szögredukciók ∆ sz<br />
= ∆ .<br />
QP
74<br />
+ y<br />
K<br />
r Q<br />
x Q<br />
r P<br />
x P<br />
- y Q<br />
Q<br />
-y P<br />
∆ QP<br />
∆ PQ<br />
P<br />
+ x<br />
2.1.3.2.-1. Második irányredukció a sztereografikus vetületben<br />
Ismeretes, hogy két vektor vektoriális szorzatának abszolút értéke megegyezik az általuk<br />
kifeszített paralelogramma területével.<br />
Mivel a PQ vetületi körív K felé a homorú oldalát mutatja, a redukció elıjele értelemszerően<br />
adódik a vetületi koordináták ismeretében. Pld. a ∆<br />
PQ<br />
elıjele pozitív, a ∆<br />
QP<br />
ezzel<br />
nagyságra azonos, de elıjelre különbözı. Ezért esetünkben a PKQ vetületi háromszög területe<br />
i j k<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
T = ⋅ rP<br />
∗ rQ<br />
= ⋅ xP<br />
- yP<br />
0 = ⋅ ( xQ<br />
⋅ yP<br />
− xP<br />
⋅ yQ<br />
) ⋅k<br />
= ⋅ ( xP<br />
⋅ yQ<br />
− xQ<br />
⋅ yP<br />
) ⋅ k ,<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
x - y 0<br />
Vegyük észre, hogy fentiek miatt<br />
ezért:<br />
Példa:<br />
Q<br />
Q<br />
xP<br />
⋅ yQ<br />
− xQ<br />
⋅ yP<br />
T = . (2.1.3.2.-1)<br />
2<br />
ε<br />
+ ∆<br />
PQ<br />
= - ∆<br />
QP<br />
= . De tudjuk, hogy szögmásodpercben<br />
2<br />
T<br />
ε = 2<br />
⋅ ρ′<br />
, (1.2.2.12.-25)<br />
R<br />
ε T xP<br />
⋅ yQ<br />
− x<br />
= = ⋅ ρ′′<br />
=<br />
2<br />
2 2 ⋅ R<br />
4 ⋅ R<br />
Q<br />
∆<br />
PQ<br />
2<br />
⋅ y<br />
P<br />
⋅ ρ ′′ . (2.1.3.2.-2)<br />
Számítsuk ki a PKQ háromszög területét és a PQ irányra vonatkozó ∆ PQ<br />
irányredukciót!<br />
A koordináták:<br />
y<br />
P<br />
= -102192,770 m , x<br />
P<br />
= 92739,376 m<br />
y - 91009,203 m , x = 90023,435 m<br />
Q =<br />
P<br />
második
75<br />
A Gauss-gömb sugara:<br />
R = 6378512,966 m .<br />
A számításhoz és a megjelenítéshez a Függelék, 2.1.3.2.-1. pontban használt VisualBasic<br />
nyelvő programrész tartozik.<br />
Az eredmények:<br />
T = 379803745,5438 m 2 , ∆ = + 0,963<br />
.<br />
A két pont távolsága 11508,63 m.<br />
PQ<br />
′′<br />
A második irányredukció pozitív elıjele a 2.1.3.2.-1. ábráról szemléletesen látszik.<br />
Megjegyezzük, hogy - az (1.2.2.12.-25) képletben elfogadott F = T közelítés miatt, nevezetesen,<br />
hogy a gömbháromszög területe egyenlı a megfelelı vetületi háromszög területével - a<br />
(2.1.3.2.-2) képlet nem szabatos. Az alsó-geodéziában elıforduló távolságoknál azonban elfogadható,<br />
sıt, mivel nagyságrendje mindössze 1” körül van, az esetek többségében el is hanyagolható.<br />
A második irányredukcióra az alábbi szabatos képlet levezetését találjuk (Csepregi-<br />
Soha, 1983, 247-248. old.) c. cikkében:<br />
2.1.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia<br />
xP<br />
⋅ yQ<br />
− xQ<br />
⋅ yP<br />
tan ∆ =<br />
⋅ ρ′<br />
PQ<br />
. (2.1.3.2.-2/a)<br />
2<br />
4 ⋅ R + x ⋅ x − y ⋅ y<br />
A feladat megoldásához tekintsük a 2.1.3.3.-1. ábrát! Az ábrán É a földgömbi északi<br />
pólus, a PÉ vetületi ív a P’ pont gömbi meridiánjának képe, λ a gömbi földrajzi hosszúság, a<br />
o<br />
− δ = 360 − δ , ahol δ az ÉP irány irányszöge, a ∆ a második irányredukció, µ a<br />
meridiánkonvergencia.<br />
Az É pont sztereografikus vetületi koordinátái:<br />
Az x koordinátát a (2.1.1.-6) képletbe helyettesítéssel kapjuk,<br />
É<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
y = 0 . (2.1.3.3.-1)<br />
É<br />
cosϕ<br />
ϕ 47 o K<br />
= 26′<br />
21,13721 ′′ , s így x = −4968729,<br />
283 m .<br />
A µ -t az alábbi összefüggésbıl kapjuk:<br />
É<br />
o<br />
0<br />
= 90 és λ = 0<br />
É É<br />
ϕ mellett<br />
K<br />
x = −2<br />
⋅ R ⋅ . (2.1.3.3.-2)<br />
É<br />
1+<br />
sinϕ<br />
K<br />
( λ + δ )<br />
µ = −δ<br />
− λ − δ = − 2 ⋅ . (2.1.3.3.-4)<br />
A λ földrajzi hosszúság a<br />
cot λ<br />
összefüggésbıl számítható,<br />
1 ⎡<br />
− ⋅ ⎢x<br />
⋅sinϕ<br />
K<br />
y ⎣<br />
2<br />
⎛ d ⎞ ⎤<br />
+<br />
⎜ R −<br />
⎟ ⋅ cosϕ<br />
⎥<br />
⎝ 4 ⋅ R ⎠ ⎦<br />
=<br />
K<br />
d +<br />
2 2 2<br />
= x y .<br />
(2.1.2.-8)
76<br />
É<br />
S<br />
δ<br />
É<br />
S<br />
- δ<br />
λ<br />
∆<br />
É t<br />
µ<br />
∆<br />
- δ<br />
-δ<br />
λ<br />
∆<br />
É t<br />
x É<br />
x É<br />
∆<br />
µ<br />
+ y<br />
O<br />
K<br />
x<br />
B<br />
- y<br />
P’<br />
P<br />
+ y<br />
K<br />
x<br />
B<br />
- y<br />
δ<br />
P<br />
-δ<br />
λ<br />
+ x<br />
+ x<br />
C<br />
a)<br />
b)<br />
2.1.3.3.-1. Vetületi meridiánkonvergencia a sztereografikus vetületben<br />
Példa:<br />
A P pont koordinátái: y<br />
P<br />
= −102192,<br />
770 m, xP<br />
= 92739,<br />
376 m . Számítsuk ki a P pontbeli<br />
vetületi meridiánkonvergenciát!<br />
tanδ<br />
=<br />
y<br />
x − x<br />
y = ; x = -4968729,<br />
283 m .<br />
É<br />
0<br />
É<br />
−102192,770<br />
=<br />
, ahonnan<br />
92739,<br />
376 + 4968729 283<br />
É<br />
,<br />
δ = −1 o 09′<br />
23,991′′<br />
,<br />
o<br />
Továbbá 2 ⋅δ = −2<br />
18′<br />
47,982′<br />
és a „2.1.2. Inverz vetületi egyenletek” példájából<br />
λ = 1 o 20′<br />
09′<br />
,380 .<br />
A vetületi meridiánkonvergencia:<br />
o<br />
o<br />
( λ + 2 ⋅ ) = −( 1 20′<br />
09′<br />
,380 − 2 18′<br />
47,982′′<br />
) = 0 58′<br />
38,602<br />
o<br />
µ = − δ<br />
′′ .
77<br />
A sztereografikus vetületi meridiánkonvergenciát a vetületi koordinátákból számíthatjuk<br />
Szádeczky-Kardoss (1953) alábbi zárt képletével is:<br />
sin<br />
= y ⋅<br />
K<br />
K<br />
µ .<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
( 4 ⋅ R ⋅ cosϕ<br />
− d ⋅ cosϕ<br />
+ 4 ⋅ R ⋅ x ⋅ sinϕ<br />
) + 16 ⋅ R ⋅ y<br />
K<br />
4 ⋅ R ⋅ sinϕ<br />
− 2 ⋅ x ⋅ cosϕ<br />
2.1.4. A sztereografikus vetület szelvényhálózatai<br />
K<br />
K<br />
(2.1.3.3.-5)<br />
A budapesti sztereografikus rendszer szelvényhálózata öl, illetve méter rendszerő. Nevezik<br />
régi és új sztereografikus szelvényhálózatnak is. A délnyugati tájékozású koordinátarendszerben<br />
az x tengellyel párhuzamosan helyezkednek el az oszlopok, az y tengellyel párhuzamosan<br />
a rétegek (2.1.4.-1. ábra). Az öl-rendszerő szelvényhálózat beosztásának alapja a<br />
négyzetmérföld. Egy négyzetmérföld 20 szelvényre oszlik, az egyes szelvények y tengellyel<br />
párhuzamos oldala 1000 öl, x tengellyel párhuzamos oldala 800 öl. Egy, a 2.1.4.-1. ábrán sötétítéssel<br />
jelölt 1000 öl ⋅ 800 öl mérető szelvény méretaránya 1:2880.<br />
A 2.1.4.-1./b. ábrán látható 1:2880 méretarányú 1000 öl * 800 öl nagyságú területet ábrázoló<br />
kataszteri térkép méteres rendszerben kifejezett méretei:<br />
- az y tengellyel párhuzamosan: ( 1000 öl : 2880) 1,89648 ≈ 66 cm<br />
- az x tengellyel párhuzamosan: ( 800 öl : 2880) ⋅ 1,89648 ≈ 53 cm ,<br />
⋅ ,<br />
amely még viszonylag könnyen kiteríthetı, illetve használható papírlap méret.<br />
31.<br />
II. I. I. II.<br />
N.o.<br />
(nyugati<br />
oszlop)<br />
K.o.<br />
(keleti<br />
oszlop)<br />
32.<br />
1000 öl<br />
~66 cm<br />
+ y<br />
33.<br />
34.<br />
e<br />
f<br />
g<br />
h<br />
i<br />
K<br />
d c b a<br />
4000 öl<br />
4000 öl<br />
800 öl<br />
~53 cm<br />
N.o.I.34.b.h.<br />
M = 1:2880<br />
+ x<br />
2.1.4.-1. ábra: A sztereografikus vetület öl rendszerő szelvényhálózata<br />
Az egyes kataszteri szelvények számozását a 2.1.4.-1. ábrán követhetjük végig. A budapesti<br />
rendszerben a számozás minden síknegyedben keletrıl nyugat felé az a, b, c, d betőkkel<br />
és minden síknegyedben északról délre az e, f, g, h, i betőkkel történik. A sötétítéssel jelölt<br />
szelvény száma: N.o.I.34.b.h., vagyis a szelvény a nyugati I. oszlop és 34. réteg találkozásánál<br />
lévı 4000 öl ⋅ 4000 öl = 1 négyzetmérföld mérető szelvény b. oszlopában és h. sorában található.<br />
Megjegyezzük, hogy a rétegek számozását a történelmi Magyarország északi szélétıl kell<br />
érteni (2.1.-2. ábra).
78<br />
A méteres rendszerben a szelvénybeosztás az ún. szelvénycsoportokon alapszik<br />
(2.1.4.-2. ábra). Egy-egy, az oszlopok és rétegek határvonalaival kimetszett szelvénycsoport<br />
7 2<br />
mérete 8000 m ⋅ 6000 m , területe 4,8 ⋅ 10 m = 4800 ha (hektár) .<br />
+y<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
II. I. I. II.<br />
e d c b a<br />
e d c b a<br />
k<br />
i<br />
h<br />
g<br />
f<br />
f<br />
g<br />
h<br />
i<br />
k<br />
ÉNY<br />
K<br />
DNY<br />
ÉK<br />
DK<br />
a b c d e<br />
8000 m<br />
6000 m<br />
a b c d e<br />
k<br />
i<br />
h<br />
g<br />
f<br />
f<br />
g<br />
h<br />
i<br />
k<br />
1600 m<br />
80 cm<br />
DK.II.2.d.h.<br />
M = 1:2000<br />
1200 m<br />
60 cm<br />
+x<br />
2.1.4.-2. ábra: A sztereografikus vetület méter-rendszerő szelvényhálózata<br />
Az egyes szelvénycsoportok helyét az oszlopokban nyugatra és keletre is római, a rétegekben<br />
arab számokkal jelöljük. A számozás mindkét esetben a budapesti rendszer koordináta-tengelyeitıl<br />
kiindulva növekszik. Egy-egy szelvénycsoport 25 db 1600m*1200m területő,<br />
1:2000 méretarányú szelvénybıl áll. Az egyes térképlapok cm-ben kifejezett méretei:<br />
- az y tengellyel párhuzamosan: 1600 m : 2000 = 0,8 m = 80 cm,<br />
- az x tengellyel párhuzamosan: 1200 m : 2000 = 0,6 m = 60 cm.<br />
A térképlap mérete már a használhatóság határán van. A 2.1.4.-2. ábrán sötétítéssel jelölt<br />
szelvény száma: DK.II.2.d.h. A DK a délkeleti sík-negyedet, a II. a második oszlopot, a 2.<br />
a második réteget jelenti. A kisbetős jelölések sík-negyedenként (ÉNY, ÉK, DNY, DK), a koordináta-tengelyektıl<br />
távolodva, az ábécé sorrendjében követik egymást.<br />
1966-tól 1975-ig (az Egységes Országos Vetület – EOV megjelenéséig) polgári használatra<br />
az M = 1:10000 méretarányú, valójában Gauss-Krüger vetülető és szelvényezéső topográfiai<br />
térképekre a budapesti katonai sztereografikus rendszer kilométer-hálózati vonalait<br />
nyomtatták, a szelvényeket kétszer három számjegybıl álló számozással látták el, pld. 504-<br />
332.<br />
2.1.4.1. A magyarországi analóg erdıtervi (erdészeti üzemi) térképek szelvényezési<br />
rendszere<br />
1962-ben a mai Földmérési és Térképészeti Hivatal akkori elıdje, az Állami Földmérési<br />
és Térképészeti Hivatal (ÁFTH) egységesíteni akarta a polgári célú vetületi és szelvényezési<br />
rendszereket 4 . Az ÁFTH 227/1962 szám alatt Utasítást adott ki, amelynek értelmében erre<br />
a rendszerre át kell térni. Az utasításnak csak az erdészeti ágazat tett eleget: jelenleg még ez<br />
az analóg erdıtérképek szelvényezési rendszere.<br />
4 Ez végül is csak az Egységes Országos Vetületi (EOV) és Térképrendszer (EOTR) bevezetésekor sikerült,<br />
1975-ben.
79<br />
Az analóg erdıtérképek szelvényezése a budapesti sztereografikus vetületi koordinátarendszer<br />
módosított, öl rendszerő szelvényhálózati rendszerében történik. Az áttéréskor az<br />
egységesség érdekében az elfogadott vetület nélküli és hengervetületi szelvényeket is sztereografikus<br />
vetületre dolgozták át. A módosítás lényegét a 2.1.4.1.-1. ábrán követhetjük nyomon.<br />
2<br />
2 1 3 4<br />
ÉK-2-2<br />
(31)<br />
1<br />
ÉN<br />
K<br />
ÉK<br />
(32)<br />
1<br />
DN<br />
DK<br />
(33)<br />
2<br />
DN-2-1<br />
(34)<br />
(I)<br />
(II) (I) (II)<br />
2.1.4.1.-1. ábra: Erdészeti üzemi térképek szelvényezési rendszere<br />
Az erdészeti üzemi térkép M = 1:10000 méretarányú szelvénye 4⋅ 4 = 16 db, egyenként<br />
1:2880 méretarányú, 1000 öl ⋅ 800 öl ( ≈ 1896,48 m ⋅ ≈ 1517,18m)<br />
nagyságú kataszteri<br />
szelvénybıl áll. Ilyen pld. a 2.1.4.1.-1. ábrán sötétítéssel jelölt szelvény. Az egyes rétegek az<br />
eredeti öl rendszerő szelvényezéstıl eltérıen tehát az x tengellyel párhuzamosan nem<br />
5 ⋅ 800 öl = 4000 öl , hanem csak 4 ⋅ 800 öl = 3200 öl kiterjedésőek.<br />
Az 1:10000 méretarányú üzemi térkép lapmérete az y tengellyel párhuzamosan<br />
( 1896,48<br />
⋅ 4) m :10000 ≈ 75,86 cm , az x tengellyel párhuzamosan pedig<br />
( 1517,18<br />
⋅ 4) m:10000 ≈ 60,69 cm.<br />
A szelvényezés kezdıpontja szintén a Gellérthegy nevő alappont, de számozása részben<br />
követi a sztereografikus vetület méteres szelvényezési rendszerét: pld. a 2.1.4.1.-1. ábrán<br />
megjelölt 4000 öl ⋅ 3200 öl területő, 1:10000 méretarányú szelvény száma: ÉK-2-2, vagyis az<br />
északkeleti sík-negyed északi irányban 2. rétegének, nyugati irányban pedig 2. oszlopának<br />
metszésében lévı szelvény. A könnyebb eligazodás végett a 2.1.4.1.-1. ábrán zárójelben az<br />
eredeti öl rendszerő szelvényszámozást is feltüntetjük.<br />
Az Állami Erdészeti Szolgálat 521/2000 számú fıigazgatói utasítása 5 a digitális térképi<br />
alapadatok létesítéséhez és a digitális üzemi térkép analóg megjelenítéséhez engedélyezi az<br />
EOV vetületi rendszert és az EOTR szelvényezést. Az EOV rendszerre való áttérés ennek<br />
megfelelıen folyik. A sztereografikus (vagy más) vetületrıl az EOV-re vagy az EOV koordinátáikkal<br />
is adott ún. illesztıpontok (a mindkét vetületben ismert, közös, vagy azonos pontok)<br />
segítségével térnek át (5. fejezet), vagy a sztereografikus (vagy más) vetületi rendszerben elıállított<br />
digitális adatállományt transzformálják az Egységes Országos Vetületbe.<br />
5 Útmutató a digitális üzemi térkép készítéséhez és mintaállományaihoz. Állami Erdészeti Szolgálat, Budapest<br />
2000.
80<br />
2.2. A ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong><br />
A magyarországi henger<strong>vetületek</strong> az Osztrák-Magyar Monarchián belüli alaphálózati<br />
és térképezési önállósodási törekvések eredményeképpen 1908-1909-ben kerültek bevezetésre.<br />
A vetület az 1.2.2.11. pontban tárgyalt csoportosítási szempontok szerint valódi, érintı,<br />
ferde tengelyő hengervetület (1.2.2.11.-2. ábra). A vetület szintén szögtartó, a – sztereografikus<br />
vetülethez hasonlóan - a vetítés kettıs, elıször a Bessel-ellipszoidról a Gauss-gömbre,<br />
majd a Gauss-gömbrıl a gömböt egy legnagyobb gömbi kör mentén érintı hengerre történik a<br />
vetítés.<br />
Mindhárom hengervetület x tengelye a gellérthegyi meridián, y tengelye a legnagyobb<br />
gömbi kör egyenesként jelentkezı képe. Az x tengely pozitív ága délnek, az y tengely pozitív<br />
ága pedig nyugatnak mutat, tehát a vetületi koordinátarendszer délnyugati tájékozású. Egy<br />
hengervetület kezdıpontja sem egyezik meg a budapesti sztereografikus rendszer kezdıpontjával,<br />
a HÉR kezdıpontja a Gellérthegytıl északra mintegy 137 km-re, a HKR kezdıpontja a<br />
Gellérthegytıl délre mintegy 38 km-re helyezkedik el. A henger<strong>vetületek</strong> U hossztorzulása az<br />
1<br />
y tengely mentén zérus (az y tengely az érintı gömbi kör képe), a megengedett értéket<br />
10000<br />
az y tengelytıl számítva az x tengellyel párhuzamosan x = ± 90 km-nél éri el. A történelmi<br />
Magyarország területét három hengervetületi sávban ábrázolták (2.2.-1. ábra):<br />
HÉR - Hengervetület Északi Rendszere<br />
HKR - Hengervetület Középsı Rendszere<br />
HDR - Hengervetület Déli Rendszere<br />
Mindhárom hengervetület kezdıpontjának földrajzi hosszúsága: λ 0 o K<br />
= 0′<br />
00,00000<br />
′′ .<br />
HÉR<br />
HKR<br />
HDR<br />
É<br />
2.2.-1. ábra: A három ferdetengelyő hengervetület<br />
– A hengervetület északi rendszere (HÉR) ábrázolja az ország ϕ 47 o K<br />
= 55′<br />
00′<br />
Gaussgömbi<br />
földrajzi szélességtıl északra esı, a mai Szlovákia egész területét, kezdıpontjának<br />
földrajzi szélessége:<br />
ϕ 48 o K<br />
= 40′<br />
02′<br />
,
81<br />
2.2.-2. ábra: A henger<strong>vetületek</strong> elhelyezkedése a történelmi Magyarország területén 6<br />
– A hengervetület középsı rendszere (HKR) ábrázolja az ország ϕ = 47 o 55′<br />
00′<br />
és a<br />
K<br />
′<br />
ϕ 46 o K<br />
= 22′<br />
00′<br />
Gauss-gömbi földrajzi szélességek közötti területét. A kezdıpont földrajzi<br />
szélessége:<br />
ϕ 47 o K<br />
= 06′<br />
00 ′′ .<br />
– A hengervetület déli rendszere (HDR) ábrázolja az ország ϕ 46 o K<br />
= 22′<br />
00′<br />
Gauss-gömbi<br />
földrajzi szélességtıl délre esı területét. A kezdıpont földrajzi szélessége:<br />
ϕ 45 o K<br />
= 31′<br />
59′<br />
.<br />
A budapesti sztereografikus rendszer kezdıpontjával egy hengervetület kezdıpontja<br />
sem esik egybe, hiszen a Gellérthegy Gauss-gömbi földrajzi szélessége más (2.1. pont).<br />
2.2.1. Vetületi egyenletek<br />
A 2.2.1.-1. ábrán a +z’ forgástengelyő henger a gömböt a KAC legnagyobb gömbi<br />
körben érinti. Válasszunk egy segédrendszert, ekkor ez a kör lesz a segédrendszer segédegyenlítıje,<br />
a segédegyenlítıre merıleges gömbi körök a segédmeridiánok. ϕ′ -vel a segédföldrajzi<br />
szélességet, λ′ -vel a segédföldrajzi hosszúságot fogjuk jelölni. A K pont kezdımeridiánja<br />
egyben a KDCÉ segéd kezdı-meridián is. Az ábrán az eredeti gömb forgástengelyét<br />
z g -vel, az Egyenlítı síkja és a kezdı-meridián síkja metszésvonalát x g -vel jelöljük. A<br />
KDCÉ kezdı-meridián S síkjára a gömb középpontjában merıleges a rendszer y g tengelye,<br />
amely egyben a ϕ földrajzi szélességgel elforgatott x’, y’, z’ segédrendszer y’ tengelye is.<br />
K<br />
Az x’, y’, z’ segédrendszerben a kezdıpont földrajzi szélessége ϕ ′ 0 o K<br />
= 00′<br />
00,00′<br />
. A kezdıpont<br />
λ és λ′<br />
földrajzi hosszúságai mindkét rendszerben λ ′ = λ = 0 o 00′<br />
00,00′<br />
.<br />
′<br />
K K<br />
6 http://zeus.szif.hu/ottofi/drottofi/keret1.htm
82<br />
+z’<br />
z’<br />
+ z g<br />
P(x’,z’ )<br />
+ z g + x’<br />
É’<br />
É<br />
µ<br />
P’( ϕ, λ )<br />
y g ,y’<br />
A<br />
ϕ<br />
K<br />
φ<br />
ϕ<br />
ϕ′<br />
K<br />
− λ′<br />
−λ<br />
+x g<br />
k′<br />
g<br />
k<br />
r<br />
o<br />
90 − ϕK<br />
i′ ϕ<br />
K<br />
g<br />
i<br />
b)<br />
+ x’<br />
+x g<br />
C<br />
Segédegyenlítı<br />
D<br />
D’<br />
Kezdı-meridián<br />
a)<br />
2.2.1.-1. ábra: Ferde tengelyő hengervetület<br />
a) segédrendszer, b) koordináta-transzformáció<br />
Az x g , y g , z g és az x’, y’, z’ rendszerek közötti transzformációs összefüggések levezetése<br />
hasonló ahhoz, amit a sztereografikus vetületnél bemutattunk. A 2.2.1.-1. ábra szerint<br />
felírhatók az alábbi összefüggések:<br />
x ′ = r ⋅ i′<br />
; z′<br />
= r ⋅k′<br />
, de<br />
de<br />
ezért végül:<br />
r<br />
g g g<br />
= x ⋅ i + z<br />
⋅ k<br />
g<br />
, ezért<br />
g g g g<br />
g g g<br />
( x ⋅ i + z ⋅ k ) ⋅ i′<br />
= x ⋅ i ⋅ i′<br />
+ z ⋅ k ⋅ i′<br />
g g g g<br />
g g<br />
g<br />
( x ⋅ + z ⋅k<br />
) ⋅ k′<br />
= x ⋅ i ⋅ k′<br />
+ z ⋅ k ⋅k<br />
′<br />
g<br />
x =<br />
,<br />
g<br />
z ′ = i ′ ,<br />
g<br />
i = cosϕ<br />
K<br />
,<br />
⋅ i′<br />
o<br />
( 90 −ϕ<br />
K<br />
) = sinϕ<br />
K<br />
g<br />
k = cos<br />
,<br />
⋅ i′<br />
o<br />
( 90 + ϕ<br />
K<br />
) = −sinϕ<br />
K<br />
g<br />
i = cos<br />
,<br />
⋅ k′<br />
g<br />
k = cosϕ<br />
K<br />
,<br />
⋅k′
83<br />
′ z<br />
g<br />
g<br />
x = x ⋅ cosϕ<br />
K<br />
+ ⋅ sinϕ<br />
K<br />
,<br />
g<br />
′ y ,<br />
y =<br />
′ z<br />
g<br />
g<br />
z = −x<br />
⋅sinϕ<br />
K<br />
+ ⋅ cosϕ<br />
K<br />
.<br />
Az egyenes és az inverz transzformációt is megkönnyíti a 2.2.1.-1. táblázat.<br />
2.2.1.-1. táblázat: Segédtáblázat a sík koordináta-transzformációhoz<br />
x g y g z g<br />
x’ cosϕ 0<br />
K<br />
sinϕ<br />
K<br />
y’ 1<br />
z’ − sinϕ 0<br />
K<br />
cosϕ<br />
K<br />
A 2.1.1.-3. ábrához hasonlóan írhatók fel a P pont koordinátái mind az x g , y g , z g ,<br />
mind az x ′, y′<br />
, z′<br />
rendszerben, a földrajzi koordináták függvényében:<br />
x<br />
y<br />
z<br />
g<br />
g<br />
g<br />
= R ⋅ cosϕ<br />
⋅ cos λ,<br />
x′<br />
= R ⋅ cosϕ′<br />
⋅ cos λ′<br />
,<br />
= −R<br />
⋅ cosϕ<br />
⋅sin<br />
λ,<br />
y′<br />
= −R<br />
⋅ cosϕ′<br />
⋅sin<br />
λ′<br />
,<br />
= R ⋅ sinϕ<br />
,<br />
z′<br />
= R ⋅sinϕ′<br />
.<br />
Helyettesítsük a fenti koordinátákat a transzformációs képletekbe:<br />
R ⋅ cosϕ′⋅<br />
cos λ′<br />
= R ⋅ cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅ cosϕ<br />
+ R ⋅ sinϕ<br />
⋅ sinϕ<br />
,<br />
R ⋅ cosϕ′⋅<br />
sin λ′<br />
= R ⋅ cosϕ<br />
⋅sin<br />
λ<br />
g<br />
( y = y′<br />
),<br />
R ⋅ sinϕ′<br />
= −R<br />
⋅ cosϕ<br />
⋅ sin λ ⋅ sinϕ<br />
+ R ⋅ sinϕ<br />
⋅ cosϕ<br />
.<br />
R-rel egyszerősítve, a segédföldrajzi koordináták az alábbi összefüggésekbıl számíthatók:<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
sinϕ′<br />
= sinϕ<br />
⋅ cosϕ<br />
- cosϕ<br />
⋅ sin λ ⋅ sinϕ<br />
,<br />
K<br />
cosϕ<br />
⋅ sin λ<br />
sin λ′<br />
=<br />
.<br />
cosϕ′<br />
K<br />
(2.2.1.-1)<br />
A 2.2.1.-2. ábrán a segédrendszert könnyebben szemléltethetı, elforgatott helyzetben ábrázoljuk.<br />
Az ábrából belátható, hogy a gömbi pontoknak az O pontból a henger palástjára történı<br />
centrális vetítése esetén<br />
x = R ⋅ tanϕ′<br />
, (2.2.1.-2)<br />
y = −R<br />
⋅ λ′<br />
ahol ϕ ′ és λ′<br />
a (2.2.1.-1)-bıl számítható segédföldrajzi koordináták. Vizsgáljuk meg, hogy a<br />
fenti – geometriailag szemléltethetı - vetületi egyenletek szögtartó ábrázoláshoz vezetnek-e.<br />
A lineármodulus általános egyenlete (1.2.2.1. pont):<br />
2<br />
2<br />
2<br />
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α<br />
+ T ⋅ sin α , (1.2.2.1.-7)
84<br />
+z’<br />
Kezdı-meridián<br />
Segéd szélességi kör<br />
+y’<br />
A<br />
C<br />
+y<br />
R<br />
O<br />
φ'<br />
λ'<br />
λ'<br />
Segédegyenlítı<br />
R<br />
K<br />
+x<br />
P’ P<br />
-x<br />
R ⋅ tanϕ ′<br />
P<br />
− R ⋅ λ′<br />
+x’<br />
2.2.1.-2. ábra: Segédföldrajzi és vetületi koordináták<br />
ahol<br />
E<br />
P = ,<br />
2<br />
M<br />
F G<br />
Q = , T = ,<br />
2<br />
M ⋅ r r<br />
2<br />
2<br />
⎛ ∂x<br />
⎞ ⎛ ∂y<br />
⎞ ∂x<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂y<br />
⎛ ∂x<br />
⎞ ⎛ ∂y<br />
⎞<br />
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ , F = ⋅ + ⋅ , G = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ .<br />
⎝ ∂Φ<br />
⎠ ⎝ ∂Φ<br />
⎠ ∂Φ<br />
∂Λ<br />
∂Φ<br />
∂Λ<br />
⎝ ∂Λ<br />
⎠ ⎝ ∂Λ<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
A gömbi segédkoordináta-rendszerben<br />
(2.2.1.-2) összefüggésekre<br />
Φ = ϕ ′, Λ = λ′<br />
, M = R , N = R , r = R ⋅ cosϕ′<br />
. A<br />
∂x<br />
R<br />
= ,<br />
∂ϕ′<br />
cos 2 ϕ′<br />
∂x<br />
= 0,<br />
∂λ′<br />
∂y<br />
= 0,<br />
∂ϕ′<br />
∂y<br />
= −R,<br />
∂λ′<br />
2<br />
R<br />
E = , F = 0 , G = R<br />
4<br />
cos ϕ′<br />
2<br />
.<br />
A lineármodulus a vetületi fıirányokban (1.2.2.12.-2. ábra):<br />
I. vetületi fıirány (a segéd szélességi kör iránya):<br />
l<br />
II. vetületi fıirány (a segéd meridián iránya):<br />
R<br />
2 1<br />
l o o<br />
( α ω ) = a = T =<br />
=<br />
= 90 , 0<br />
R<br />
2 ⋅ cos 2 ϕ′<br />
cosϕ′<br />
e<br />
= ,<br />
=
85<br />
l<br />
2<br />
R<br />
4<br />
cos ϕ′<br />
1<br />
l o o<br />
( α ω ) = b = P = =<br />
= 0 , 90<br />
2<br />
2<br />
R cos ϕ′<br />
m<br />
= .<br />
=<br />
A vetületi fıirányokban a lineármodulus különbözik, a szögtartó ábrázolás (1.2.2.9.-4) képlet<br />
szerinti a = b = m = n = l feltétele nem teljesül.<br />
A szögtartó ábrázolás érdekében a segéd meridián menti lineármodulust tegyük egyenlıvé a<br />
segéd szélességi kör menti lineármodulussal:<br />
1<br />
l<br />
m<br />
= l e<br />
= .<br />
cosϕ′<br />
Ekkor a vetület geometriailag már nem értelmezhetı: a henger csak szimbólum. Bár így a<br />
gömb és a sík között kizárólag matematikai kapcsolat jön létre, a <strong>vetületek</strong> e csoportját is valódi<br />
henger<strong>vetületek</strong>nek nevezzük. Tehát legyen<br />
l<br />
m<br />
E 1<br />
l o o<br />
( α ω ) = b = P = = , ahonnan<br />
= 0 , 90<br />
R cosϕ′<br />
=<br />
=<br />
Az<br />
2<br />
⎛ ∂x<br />
⎞ ⎛ ∂y<br />
⎞ R<br />
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = .<br />
⎝ ∂ϕ ′ ⎠ ⎝ ∂ϕ′<br />
⎠ cosϕ′<br />
2<br />
y = −R<br />
⋅ λ′<br />
(2.2.1.-3)<br />
∂y<br />
vetületi egyenlet nem változik, vagyis = 0 . Ezért<br />
∂ϕ′<br />
ahonnan<br />
∂x<br />
R<br />
E = = ,<br />
∂ϕ ′ cosϕ′<br />
R<br />
∂x = ⋅ ∂ϕ′<br />
.<br />
cosϕ′<br />
A ferdetengelyő hengervetületi rendszer x koordinátáját az utolsó kifejezés alábbi integráljaként<br />
kapjuk:<br />
∂ϕ′<br />
⎛ ϕ′<br />
π ⎞<br />
x = ∫ ∂x<br />
= R ⋅∫<br />
= R ⋅ ln tan⎜<br />
+ ⎟ + c . (2.2.1.-4)<br />
cosϕ′<br />
⎝ 2 4 ⎠<br />
Mivel ϕ ′ = 0 esetén x = 0, a c integrálási állandó 0. Az x tengely növekedési iránya ellentétes<br />
a ϕ′ növekedési irányával, ezért a (2.2.1.-4) kifejezés jobb oldala negatív lesz:<br />
Trigonometriai átalakítás után<br />
⎛ϕ′<br />
π ⎞<br />
x = −R<br />
⋅ ln tan⎜<br />
+ ⎟ . (2.2.1.-5)<br />
⎝ 2 4 ⎠
86<br />
R 1+<br />
sinϕ′<br />
x = − ⋅ ln . (2.2.1.-6)<br />
2 1−<br />
sinϕ′<br />
A (2.2.1-3) és a (2.2.1.-5), ill. (2.2.1.-6) kifejezések mindhárom magyarországi ferdetengelyő<br />
hengervetület vetületi egyenletei. A (2.2.1-3) egyenletbe a λ′ - t radiánban kell behelyettesíteni.<br />
Ha λ′ pld. fokban adott, úgy<br />
λ′<br />
y = −R<br />
⋅ , (2.2.1.-7)<br />
o<br />
ρ<br />
o<br />
ahol ρ az 1 radián szögfokban kifejezett értéke:<br />
o<br />
o 180<br />
ρ = ,<br />
π<br />
ahol π a Ludolf-féle szám. Ne felejtsük el, hogy a (2.2.1-3) és a (2.2.1.-7), valamint a (2.2.1.-<br />
5) és a (2.2.1.-6) vetületi egyenletek a 2.2.1.-2. ábra segédrendszerében érvényesek. Alkalmazásukhoz<br />
az eredeti ϕ és λ földrajzi koordinátákat a (2.2.1.-1) összefüggésekkel transzformálni<br />
kell.<br />
Példa:<br />
Számítsuk ki a hengervetület középsı rendszerében a ϕ = 47 o 38′<br />
25,3000<br />
′′ földrajzi szélességő<br />
és a λ = + 1 o 55′<br />
32,8000<br />
′′ földrajzi hosszúságú pont hengervetületi koordinátáit. A kezdıpont<br />
földrajzi szélessége ϕ 47 o K<br />
= 06′<br />
00<br />
′′ , a Gauss-gömb sugara R = 6378512,966 m .<br />
A számításhoz használt VisualBasic nyelvő programrészek a Függelék, 2.2.1.-1. pont alatt találhatók.<br />
Az eredmények:<br />
2.2.2. Inverz vetületi egyenletek<br />
o<br />
ϕ ′ = 0<br />
o 33′<br />
22,8034 ′′ , λ′<br />
= 1 17′<br />
50,936′<br />
y = −144443,573 m, x = −61935,473 m .<br />
A ϕ és λ gömbi földrajzi koordináták számítása az y, x hengervetületi koordinátákból<br />
két lépésben történik. Az elsı lépésben a (2.2.1.-4)-bıl kifejezzük ϕ′ -t, a (2.2.1.-3)-ból, vagy<br />
a (2.2.1.-7)-ból pedig λ′ -t. A második lépésben a 2.2.1.-1. táblázat felhasználásával visszatérünk<br />
az x g , y g , z g rendszerbe.<br />
1. lépés:<br />
⎛<br />
ϕ′<br />
= −⎜<br />
2 ⋅ arctan<br />
⎝<br />
y<br />
λ′<br />
= − .<br />
R<br />
e R x<br />
π ⎞<br />
− ⎟,<br />
2<br />
⎠<br />
(2.2.2.-1)<br />
Aϕ′ elıjele negatív, mert növekedési iránya ellentétes az x növekedési irányával.
87<br />
2. lépés:<br />
′<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
g<br />
x = x ⋅ cos<br />
K<br />
− z ⋅ sin<br />
K<br />
,<br />
g<br />
y = y′<br />
,<br />
′<br />
ahonnan<br />
Példa:<br />
Továbbá:<br />
′<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
g<br />
z = x ⋅sin<br />
K<br />
+ z ⋅ cos<br />
K<br />
.<br />
R ⋅ cosϕ<br />
⋅ cos λ = R ⋅ cosϕ′<br />
⋅ cos λ′<br />
⋅ cosϕ<br />
− R ⋅sinϕ′<br />
⋅sinϕ<br />
,<br />
R ⋅ cosϕ<br />
⋅ sin λ = R ⋅ cosϕ′⋅<br />
sin λ′<br />
y = −144443,573 m, x = −61935,473<br />
m vetületi ko-<br />
Ellenırizzük az elızı példában számított<br />
ordinátákat!<br />
′<br />
g<br />
( y′<br />
= y ),<br />
R ⋅ sinϕ<br />
= R ⋅ cosϕ′<br />
⋅ cos λ′<br />
⋅sinϕ<br />
+ R ⋅ sinϕ′⋅<br />
cosϕ<br />
,<br />
sinϕ<br />
= sinϕ′<br />
⋅ cosϕ<br />
+ cosϕ′⋅<br />
cos λ′⋅<br />
sinϕ<br />
,<br />
K<br />
cosϕ′⋅<br />
sin λ′<br />
sin λ =<br />
cosϕ<br />
K<br />
.<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
(2.2.2.-2)<br />
(2.2.2.-3)<br />
Helyettesítsük be elıször az x = −61935,473 m értéket a (2.2.2.-1) elsı, majd az<br />
y = −144443,573 m értéket a (2.2.2.-1) második kifejezésébe, majd a kapott ϕ ′ és λ′<br />
értékeket<br />
a (2.2.2.-3) képletekbe.<br />
A számításhoz használt programrészek a Függelék 2.2.2.-1. pontjában vannak.<br />
Eredmények:<br />
o<br />
ϕ = 47<br />
o 38′<br />
25,3000 ′′ , λ = + 1 55′<br />
32,8000′<br />
.<br />
2.2.3. A ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> redukciói<br />
2.2.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció<br />
A hossztorzulási tényezı és hosszredukció számításánál itt is a lineármodulusra van<br />
szükségünk. A 2.2.1. pontban láttuk, hogy az y tengely (a segédegyenlítı képe) mentén<br />
a = b = 1, vagyis nincs hossztorzulás. A lineármodulus az ott elmondottak alapján az<br />
képlettel fejezhetı ki, ahol ϕ′ a segédföldrajzi szélesség.<br />
dd<br />
1<br />
l = =<br />
(2.2.3.1.-1)<br />
ds<br />
cosϕ′<br />
A 2.2.3.1.-1/a. ábrán a P’ pont a gömbön elemi kis mértékben a Q’, a 2.2.3.1.-1/b. ábrán a P<br />
pont a vetületen elemi kis mértékben a Q pontba vándorol. Az ábrákból könnyen beláthatók<br />
az alábbi összefüggések:<br />
ϕ ′ =<br />
ξ<br />
,<br />
R
88<br />
1 1 dx<br />
l = = = , ahonnan<br />
cosϕ′<br />
ξ dξ<br />
cos<br />
R<br />
1<br />
dx = l ⋅ dξ<br />
= ⋅ dξ<br />
.<br />
ξ<br />
cos<br />
R<br />
+y<br />
R<br />
O<br />
φ'<br />
Q’ ds<br />
dξ<br />
2.2.3.1.-1. ábra: Lineármodulus<br />
a) gömb, b) vetület<br />
ξ<br />
A cos hatványsora, a 2. rendő tagokig bezárólag (pld. Bronstejn-Szemengyajev: Matematikai<br />
zsebkönyv, 406.<br />
R<br />
old.):<br />
2<br />
1<br />
ξ ξ<br />
= cosϕ ′ = cos = 1−<br />
+ ... (2.2.3.1.-2)<br />
2<br />
l<br />
R 2 ⋅ R<br />
A (2.2.3.1.-2)-bıl, a binomiális sor (uo., 405. old.) szerint<br />
R<br />
K<br />
dy<br />
P’<br />
y<br />
ξ<br />
+y<br />
a) b)<br />
+x<br />
+x<br />
K<br />
Q<br />
dx<br />
dd<br />
τ δ<br />
dy<br />
y<br />
x<br />
P<br />
1 1<br />
=<br />
ξ ξ<br />
cos 1−<br />
R 2 ⋅ R<br />
2<br />
ξ<br />
= 1+<br />
2 ⋅ R<br />
+<br />
2 2<br />
2<br />
...<br />
(2.2.3.1.-3)<br />
A (2.2.3.1.-3) képlet integrálja:<br />
∫<br />
dξ<br />
ξ<br />
cos<br />
R<br />
∫<br />
2<br />
⎛ ξ<br />
⎜1+<br />
⎝ 2 ⋅ R<br />
3<br />
⎞<br />
⋅ ξ<br />
⎟ dξ<br />
= ξ +<br />
⎠ 6 ⋅ R<br />
= 2<br />
2<br />
. (2.2.3.1.-4)<br />
3<br />
ξ<br />
Az x koordináta tehát a tagban különbözik a megfelelı gömbi ξ ívtıl. Ennek a nagysága<br />
az y tengelytıl pld. 100 km-es távolság esetén mintegy 4,1 m. A ϕ′ -nek a (2.2.3.1.-2)<br />
2<br />
6 ⋅ R<br />
képlet alapján számítható értékében mindössze ≈ 0 ,0005′′<br />
eltérést okoz, ha ugyanebben az<br />
összefüggésben a ξ-t x – szel helyettesítjük. Vagyis írhatjuk:
89<br />
2<br />
1<br />
x<br />
= cosϕ ′ = 1−<br />
. (2.2.3.1.-5)<br />
2<br />
l<br />
2 ⋅ R<br />
Az<br />
dd<br />
l = -t helyettesítve, kapjuk:<br />
ds<br />
2<br />
2<br />
⎛ x ⎞<br />
x<br />
s = ⎜1−<br />
dd<br />
= dd<br />
− ⋅ dd<br />
2<br />
2 R<br />
⎟ ⋅<br />
. (2.2.3.1.-6)<br />
⎝ ⋅ ⎠ 2 ⋅ R<br />
d 2<br />
A (2.2.3.1.-6) második tagjában helyettesítsünk a 2.2.3.1.-1. ábra szerint<br />
dx<br />
dx<br />
dd = = -t.<br />
sinτ cosδ<br />
Integrálás után:<br />
2<br />
3<br />
1 x<br />
1 x<br />
s = d −<br />
⋅ x = d −<br />
⋅ + c<br />
⋅ R<br />
∫ d<br />
. (2.2.3.1.-7)<br />
2<br />
2<br />
2 cosδ<br />
2 ⋅ R ⋅ cosδ<br />
3<br />
Számítsuk ki az integrál értékét az x<br />
1<br />
és az x2<br />
határok között:<br />
s<br />
1<br />
3 3<br />
( x − x )<br />
3 3<br />
2 1 2 1<br />
= d −<br />
⋅<br />
2 1<br />
= d − ⋅ ⋅ ,<br />
2<br />
2<br />
6 ⋅ R ⋅ cosδ12<br />
6 ⋅ R x2<br />
− x1<br />
cosδ12<br />
1<br />
x<br />
− x<br />
x<br />
− x<br />
Az (1.2.1.4.-1) ábra és az elsı fıfeladat (1.2.1.3.-4) második képlete szerint<br />
ezért<br />
ill., a d-t kiemelve:<br />
A hossztorzulásra az<br />
1<br />
s = d −<br />
6 ⋅ R<br />
2<br />
x<br />
⋅<br />
x<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3<br />
− x1<br />
− x<br />
1<br />
⋅ d ,<br />
3 3<br />
⎛ 1 x ⎞<br />
2<br />
− x1<br />
s = d<br />
⎜1−<br />
⋅<br />
⎟ .<br />
2<br />
⎝ 6 ⋅ R x2<br />
− x1<br />
⎠<br />
d<br />
x<br />
− x<br />
2 1<br />
= ,<br />
cosδ<br />
12<br />
2<br />
2<br />
( x + x ⋅ x x )<br />
1<br />
U = ⋅<br />
2 1 1 2<br />
+<br />
2<br />
(2.2.3.1.-8)<br />
6 ⋅ R<br />
jelölést bevezetve, a sztereografikus vetülethez hasonlóan a hossztorzulási tényezı az<br />
d 1<br />
m = = ≈ 1+<br />
U , (2.1.3.1.-8)<br />
s 1−U<br />
a hosszredukció a<br />
∆ s = d − s = U ⋅ s , (2.1.3.1. -9)
90<br />
a hosszredukcióval korrigált távolság a<br />
s = d + ∆s<br />
(2.1.3.1.-10)<br />
összefüggésekbıl adódnak (az utolsó három képlet számozása a 2.1.3.1. pont számozásával<br />
azonos).<br />
A (2.2.3.1.-8)-ból látszik, hogy a hossztorzulás csak az x koordinátától függ. Mivel U<br />
pozitív, a hosszredukció is pozitív, azaz a ferdetengelyő hengervetületi távolságok is nagyobbak<br />
a gömbi távolságoknál. Az y tengely mentén a hossztorzulás 0 - itt az alap- és a képfelület<br />
egybeesik - attól távolodva a hossztorzulás az x tengely mentén nı.<br />
A hossztorzulás mértéke az<br />
x ≈ 90 km mellett éri el az<br />
U<br />
=<br />
1<br />
10000<br />
A mért távolság környezetében a számításokat közelítı, vagy átlagos x<br />
0<br />
koordináta<br />
bevezetésével itt is egyszerősíthetjük. A (2.2.3.1.-8) képlet ekkor az<br />
-t.<br />
U<br />
2 2<br />
2 2 2 3⋅<br />
x0<br />
x<br />
( x ) 0<br />
0<br />
+ x0<br />
+ x0<br />
= =<br />
2<br />
2<br />
1<br />
= ⋅<br />
(2.2.3.1.-9)<br />
2<br />
6 ⋅ R<br />
6 ⋅ R 2 ⋅ R<br />
alakot ölti. A hossztorzulás számításakor az x<br />
0<br />
koordinátát és a Gauss-gömb R sugarát elegendı<br />
kerekítve, 0,1 km élességgel behelyettesíteni.<br />
Példa:<br />
Számítsuk ki az<br />
s = 4282,506 m nagyságú gömbi távolság U hossztorzulását, a<br />
∆s<br />
hosszredukciót és a hosszredukcióval korrigált d távolságot az<br />
az x = 82514,32<br />
0<br />
m koordinátájú pont környezetében!<br />
y = -182623,15<br />
0<br />
m és<br />
A hossztorzulás nem függ az y-tól. Az x<br />
0<br />
koordináta és a Gauss-gömb sugara 0,1 km élességgel:<br />
Az eredmények:<br />
x = 82,5 km , R = 6378,5 km .<br />
0<br />
U = 0,000083645,<br />
∆s<br />
= 0,358 m, d = s + ∆s<br />
= 4282,864 m .<br />
A hosszredukció itt is dm-es nagyságrendő, jóval meghaladja a távolságmérı mőszerek<br />
pontosságát, ezért nem hanyagolhatjuk el.<br />
2.2.3.2. Második irányredukció<br />
A második irányredukció számításánál felhasználjuk, hogy a segédmeridiánok valódi<br />
(pontonként vetített) képei a henger palástjának alkotói, tehát a vetületi koordinátarendszerben<br />
az x tengellyel párhuzamos egyenesek. Ezekben az irányokban a vetületi síkon a második<br />
irányredukció értéke 0. Az y tengellyel párhuzamosan a két irányredukció nagyságra egyenlı,<br />
az összes többi irányban viszont ∆ ≠ ∆ . Fogadjuk el, hogy a gömbi pontokat összekötı<br />
PQ<br />
QP<br />
gömbi ívek valódi képei homorú oldalukkal az y tengely felé néznek. Ez azt is jelenti, hogy a<br />
segédegyenlítıt metszı gömbi körívek valódi képének az y tengelyben inflexiós pontjuk van.
91<br />
Ez utóbbi esetben viszont elıfordulhat, hogy a két irányredukció egyenlı elıjelő (2.2.3.2.-1.<br />
ábra).<br />
Fogadjuk el a továbbiakban a sztereografikus vetületnél alkalmazott<br />
T<br />
ε = 2<br />
⋅ ρ′<br />
R<br />
(1.2.2.12.-25)<br />
közelítést, azaz a gömbi szögfölösleg képletében a gömbi háromszög F felületét helyettesítsük<br />
a megfelelı vetületi háromszög T területével.<br />
+y<br />
K<br />
+x<br />
A 2.2.3.2.-2. ábrán a<br />
felel meg. A gömbi<br />
2.2.3.2.-1. ábra: Második irányredukció<br />
Q<br />
′ P′<br />
T′<br />
T gömbi idomnak a vetület síkjában a T<br />
P Q<br />
P Q<br />
Q ′<br />
QPT trapéz<br />
Q P′<br />
T′<br />
T′<br />
o<br />
′<br />
P<br />
idom szögeinek összege 360 + ε , ahol ε az idomra vonatkozó<br />
gömbi szögfölösleg 7 . A 2.2.3.2.-2/b. ábrán a<br />
o<br />
360 ∆<br />
PQ<br />
+ ∆<br />
QP<br />
+ .<br />
QPT T P Q<br />
(a QP görbe vonal) síkidom területe<br />
A szögtartóság eredményeként a két idom szögeinek összege egyenlı, vagyis<br />
vagy<br />
o<br />
o<br />
360 = 360 + ∆<br />
PQ<br />
+ ∆<br />
QP<br />
+ ε ,<br />
ε = ∆ + . (2.2.3.2.-1)<br />
PQ<br />
∆ QP<br />
7 A legnagyobb gömbi körökkel határolt bármely idom gömbi háromszögekre bontható, s ezért az ε -ra a vonatkozó<br />
képlet bármely idomra alkalmazható. Így pld. a Q ′ P′<br />
T′<br />
Q<br />
és a P ′ T′<br />
T′<br />
P Q<br />
gömbi háromszögekre<br />
FQ<br />
ε = 2<br />
⋅ ρ′<br />
és F<br />
P<br />
Q<br />
ε = ⋅ ρ′<br />
érvényes, ahonnan<br />
P 2<br />
R<br />
R<br />
FQ<br />
+ FP<br />
FQ′<br />
P′<br />
TP′<br />
T′<br />
ε = ε + ε = ⋅ ρ ′′ = ⋅ ρ ′<br />
, illetve közelítéssel<br />
Q P<br />
2<br />
2<br />
R<br />
R<br />
TQ′<br />
P′<br />
TP′<br />
T′<br />
ε = ⋅ ρ ′<br />
írható.<br />
2<br />
R
92<br />
T′<br />
Q<br />
T′<br />
P<br />
+ y<br />
T Q<br />
T P<br />
K<br />
x Q<br />
x P<br />
Q’<br />
P’ Q<br />
∆ QP<br />
a) b)<br />
y Q<br />
∆ PQ<br />
δ PQ<br />
P<br />
y P<br />
2.2.3.2.-2. ábra: Egymásnak megfelelı alakzatok<br />
a) a gömbön, b) a vetületen<br />
+ x<br />
Figyelembe véve, hogy a<br />
QPT trapéz területe könnyen beláthatóan<br />
T P Q<br />
valamint durva közelítéssel elfogadva, hogy<br />
, a (1.2.2.12.-25) összefüggés alapján<br />
írhatjuk:<br />
Bevezetve az<br />
jelölést, végül kapjuk:<br />
( x + x ) ⋅ ( y − y )<br />
Q<br />
P<br />
T = ,<br />
2<br />
∆<br />
PQ<br />
Q<br />
=<br />
∆<br />
P<br />
QP<br />
( xQ<br />
+ xP<br />
) ⋅ ( yQ<br />
− yP<br />
) ρ<br />
T ε = ⋅ ρ ′′ =<br />
2<br />
2 ⋅ ′′ és<br />
R<br />
2 ⋅ R<br />
( xQ<br />
+ xP<br />
) ⋅ ( yQ<br />
− yP<br />
) ρ ′′<br />
ε<br />
∆<br />
PQ<br />
= ∆<br />
QP<br />
= =<br />
2<br />
2 4 ⋅ R<br />
x<br />
k<br />
=<br />
x<br />
Q<br />
( y − y )<br />
+ x<br />
2<br />
P<br />
xk<br />
⋅<br />
Q P<br />
∆<br />
PQ<br />
= ∆<br />
QP<br />
=<br />
⋅ ρ ′′ = a ⋅ xk<br />
⋅ ( yQ<br />
− yP<br />
), (2.2.3.2.-2)<br />
2<br />
2 ⋅ R<br />
ahol<br />
′′<br />
a = ρ .<br />
2<br />
2 ⋅ R<br />
1. példa:<br />
A P és Q pontok ferdetengelyő hengervetületi koordinátái:<br />
y<br />
P<br />
= -182623,15 m , x<br />
P<br />
= 82514,32 m ; y = -193544,04<br />
Q<br />
m , x = 90442,82 m .<br />
Q<br />
Számítsuk ki a második irányredukciókat!<br />
⋅<br />
.
93<br />
A számításhoz és a megjelenítéshez használt programrész a Függelék 2.2.3.2.-1. pontjában található.<br />
Eredmények:<br />
x<br />
K<br />
= 86478,570 m, ∆<br />
PQ<br />
= ∆<br />
QP<br />
= 2,3940 ′′ .<br />
A második irányredukció elıjele a két pontnak a vetületi koordináta-rendszerbeli elhelyezkedésébıl<br />
adódik (2.2.3.2.-1. ábra). A (2.2.3.2.-2) képlet a P pontbeli irányredukció értékét<br />
adja meg elıjelhelyesen, a Q pontbeli irányredukció értéke ezzel ellentétes, ha az elıjel<br />
megállapításánál az 1.2.2.12.-1. ábrából és az (1.2.2.12.-26) összefüggésbıl indulunk ki. Példánkban<br />
y − y = −10920,<br />
89, s ezért<br />
Q<br />
P<br />
∆<br />
PQ<br />
= −2,3940′′<br />
és ∆<br />
QP<br />
= + 2,3940 ′′ .<br />
A (2.2.3.2.-2) képlet az y tengelytıl viszonylag távol és mintegy ~10 km-es távolság<br />
alatt ad pontossági szempontból elfogadható eredményt, nagyobb távolságoknál és az y tengelyhez<br />
közel (2.2.3.2.-1. ábra) az ellentétes irányredukciók eltérése már szögmásodperc<br />
nagyságrendő.. A 2.2.3.2.-1. ábrából szemléletesen is belátható, hogy az y tengelyt ferdén<br />
metszı vonaldaraboknál, szélsı esetben, ha az egyik végpont az y tengelyre esik, az ottani<br />
irányredukció zérus, a másik végpontban pedig magával az ε szögfölösleggel egyenlı.<br />
A gyakorlatban elıforduló esetekben kielégítı eredményt 8 adnak a<br />
∆<br />
∆<br />
PQ<br />
QP<br />
= + a ⋅ x<br />
= −a<br />
⋅ x<br />
k<br />
k<br />
⋅<br />
⋅<br />
( yQ<br />
− yP<br />
) − b ⋅ ( xQ<br />
− xP<br />
) ⋅ ( yQ<br />
− yP<br />
)<br />
( y − y ) − b ⋅ ( x − x ) ⋅ ( y − y )<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
és<br />
a<br />
(2.2.3.2.-3)<br />
összefüggések (Hazay: Földi <strong>vetületek</strong>, 354. old.). A (2.2.3.2.-3) képletben – az eddigi jelöléseken<br />
túl<br />
ρ′′<br />
b =<br />
12 ⋅ R<br />
A (2.2.3.2.-3) képletek szerkezetébıl látszik, hogy<br />
képletek jobb oldalának második tagjában a két koordináta megegyezik:<br />
2. példa:<br />
2<br />
.<br />
∆ = ∆ csak akkor igaz, ha a<br />
PQ<br />
QP<br />
x = x .<br />
Az 1. példa adataival számítsuk ki a (2.2.3.2.-3) képlet szerinti második irányredukciókat:<br />
Q<br />
P<br />
∆<br />
∆<br />
PQ<br />
QP<br />
= −2,3940<br />
′′ − 0,0366′′<br />
= −2,4306<br />
′′<br />
.<br />
= + 2,3940 ′′ − 0,0366′′<br />
= + 2,3574<br />
3. példa:<br />
A P és Q pontok ferdetengelyő hengervetületi koordinátái:<br />
y<br />
P<br />
= -182623,15 m , x<br />
P<br />
= −12023,42 m ; y = -193544,04<br />
Q<br />
m , x +17425,08 m<br />
Q<br />
=<br />
.<br />
8 Hasonló esetre részletes levezetést találunk a Gauss-Krüger vetület második irányredukciójára a 4.1.5.2. pontban.
94<br />
Számítsuk ki a második irányredukciókat!<br />
∆<br />
∆<br />
PQ<br />
QP<br />
= −0,0748<br />
′′ + 0,1359 ′′ = + 0,0611′′<br />
.<br />
= + 0,0748′′<br />
+ 0,1359′′<br />
= + 0,2107′′<br />
Látjuk, hogy egy szélsı esethez közeli helyzetben az ellentétes irányredukciók abszolút értékre<br />
különböznek, elıjelre viszont megegyeznek (2.2.3.2.-1. ábra).<br />
2.2.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia<br />
A vetületi meridiánkonvergencia a 2.2.1.-1. ábrán a P’ pontnál a P’ pont eredeti, valamint<br />
segédmeridiánja által bezárt µ-vel jelölt kis szögérték. Csak ferdetengelyő hengervetületnél<br />
jelentkezik, hiszen az eredeti és a segédmeridiánok normális elhelyezéső (a gömböt az<br />
egyenlítı mentén érintı) hengervetületnél egybeesnek (1.2.2.11.-2. ábra).<br />
+z’<br />
λ′ (α)<br />
É’<br />
180 o − λ ( β )<br />
ϕ<br />
K<br />
( c)<br />
90 o − ϕ ( a)<br />
90 o − ϕ′ ( b)<br />
ϕ<br />
K<br />
( c)<br />
+ z g λ( β )<br />
É<br />
90 o − ϕ ( a)<br />
µ(γ) + x’<br />
x g<br />
P’<br />
ϕ<br />
K<br />
z g<br />
y g<br />
ϕ′<br />
φ<br />
K<br />
− λ′<br />
− λ<br />
+x g<br />
y g ,y’<br />
2.2.3.3.-1. ábra: A vetületi meridiánkonvergencia<br />
A meridiánkonvergenciát vezessük le a gömbön, a szögtartóság miatt ez meg fog<br />
egyezni a P’ pont vetületi P megfelelıjében lévı síkbeli meridiánkonvergenciával.<br />
A számításhoz induljunk ki a (2.2.2.-2) összefüggések elsı két képletébıl. Egyszerősítve<br />
R-rel:<br />
cosϕ<br />
⋅ cos λ = cosϕ′<br />
⋅ cos λ′<br />
⋅ cosϕ<br />
− sinϕ′<br />
⋅sinϕ<br />
,<br />
cosϕ<br />
⋅ sin λ = cosϕ′<br />
⋅ sin λ′<br />
.<br />
K<br />
K<br />
(2.2.3.3.-1)
95<br />
Írjuk át ezeket az összefüggéseket a 2.2.3.3.-1. ábrán az É’ÉP’ gömbi háromszöghöz rendelt<br />
(zárójelbe tett) jelölésekkel 9 :<br />
sin a ⋅ cos β = −sin<br />
b ⋅ cosα<br />
⋅ cos c + cosb<br />
⋅sin<br />
c,<br />
sina<br />
⋅ sin β = sin b ⋅ sinα<br />
.<br />
(2.2.3.3.-2)<br />
A (2.2.3.3.-2)-ben figyelembe vettük a tetszıleges szögek trigonometrikus függvényeire érvényes<br />
összefüggéseket.<br />
A gömbi trigonometria ismert ciklikus cseréjével 10 írhatjuk (mindkét összefüggésben a latin,<br />
ill. a görög „ABC” szerint eggyel elıbbre lépünk):<br />
sin b ⋅ cosγ<br />
= −sin<br />
c ⋅ cos β ⋅ cos a + cos c ⋅sin<br />
a,<br />
sin b ⋅sin<br />
γ = sin c ⋅sin<br />
β .<br />
(2.2.3.3.-3)<br />
Osszuk el a (2.2.3.3.-3) második összefüggését az elsıvel:<br />
sin c ⋅sin<br />
β<br />
tanγ<br />
=<br />
. (2.2.3.3.-4)<br />
cos c ⋅sin<br />
a − sin c ⋅ cos a ⋅ cos β<br />
Az a, b, c és az α , β,<br />
γ helyére írjuk vissza az eredeti jelöléseinket! Ekkor a vetületi meridiánkonvergenciát<br />
a földrajzi koordináták, ill. a vetületi kezdıpont földrajzi szélességének függvényében<br />
az alábbi összefüggéssel fejezzük ki:<br />
sinϕ<br />
K<br />
⋅sin<br />
λ<br />
tan µ = . (2.2.3.3.-5)<br />
cosϕ<br />
⋅ cosϕ<br />
+ sinϕ<br />
⋅sinϕ<br />
⋅ cos λ<br />
K<br />
K<br />
Fejezzük ki most a vetületi meridiánkonvergenciát az y, x vetületi koordináták függvényében.<br />
A (2.2.1.-1) összefüggések elıtti képletsorból, R-rel való egyszerősítés után:<br />
cosϕ′<br />
⋅ cos λ′<br />
= cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅ cosϕ<br />
+ sinϕ<br />
⋅ sinϕ<br />
,<br />
cosϕ′<br />
⋅ sin λ′<br />
= cosϕ<br />
⋅sin<br />
λ .<br />
K<br />
K<br />
(2.2.3.3.-6)<br />
A (2.2.3.3.-2) összefüggéshez hasonlóan írjuk át a (2.2.3.3.-5) képleteteket a 2.2.3.3.-1. ábra<br />
zárójelben lévı jelöléseivel:<br />
sin b ⋅ cosα<br />
= −sin<br />
a ⋅ cos β ⋅ cos c + cos a ⋅sin<br />
c,<br />
sinb<br />
⋅sinα<br />
= sin a ⋅ sin β .<br />
(2.2.3.3.-7)<br />
A fentihez hasonló ciklikus cserével (most eggyel hátra lépünk):<br />
sin a ⋅ cosγ<br />
= −sin<br />
c ⋅ cosα<br />
⋅ cosb<br />
+ cos c ⋅ sin b,<br />
sin a ⋅ sin γ = sin c ⋅sinα<br />
,<br />
(2.2.3.3.-8)<br />
9 Az É’ÉP’gömbi háromszögben a λ és λ<br />
′ földrajzi hosszúságokat pozitív elıjelőeknek tekintjük. Ez egyenértékő<br />
azzal, hogy a P’ pont – az ábrától eltérıen - a kezdı-meridiántól nem nyugatra, hanem keletre helyezkedik<br />
el.<br />
10 Ez olyan, mint a síkbeli háromszögek cosinus, ill. sinus tételeiben szereplı mennyiségek ciklikus cseréje.
96<br />
ahonnan<br />
sin c ⋅ sinα<br />
tanγ =<br />
. (2.2.3.3.-9)<br />
cos c ⋅sin<br />
b − sin c ⋅ cosα<br />
⋅ cosb<br />
Helyettesítsük vissza az eredeti jelöléseket:<br />
sinϕ<br />
λ′<br />
K<br />
⋅ sin<br />
tan µ =<br />
. (2.2.3.3.-10)<br />
cosϕ<br />
⋅ cosϕ′<br />
− sinϕ<br />
⋅ cos λ′<br />
⋅sinϕ′<br />
K<br />
Osszuk el a (2.2.3.3.-10) jobb oldalának számlálóját és nevezıjét sinϕ<br />
K<br />
-val:<br />
K<br />
sin λ′<br />
tan µ =<br />
. (2.2.3.3.-11)<br />
cotϕ<br />
⋅ cosϕ′<br />
− cos λ′<br />
⋅ cosϕ′<br />
Osszuk el a számlálót és nevezıt cosϕ′<br />
-vel:<br />
De a (2.2.2.-1) inverz vetületi egyenletek<br />
K<br />
1<br />
⋅ sin λ′<br />
cosϕ′<br />
tan µ =<br />
. (2.2.3.3.-12)<br />
cotϕ<br />
− cos λ′<br />
⋅ tanϕ′<br />
K<br />
második egyenletébıl<br />
Továbbá, az<br />
λ ′ = −<br />
y<br />
R<br />
⎛ y ⎞<br />
sin λ ′ = sin⎜<br />
− ⎟ = -sin<br />
⎝ R ⎠<br />
⎛ y ⎞<br />
cos λ ′ = cos⎜<br />
− ⎟ = cos<br />
⎝ R ⎠<br />
y<br />
R<br />
y<br />
R<br />
. (2.2.3.3.-13)<br />
R 1+<br />
sinϕ′<br />
x = − ⋅ ln<br />
(2.2.1.-6)<br />
2 1−<br />
sinϕ′<br />
képletbıl az „area” függvények figyelembevételével (pld. Bronstejn-Szemengyajev, 1963,<br />
244. old.):<br />
De, egyrészt<br />
−<br />
x<br />
R<br />
=<br />
1 1+<br />
sinϕ′<br />
⋅ ln = Ar th sinϕ′<br />
.<br />
2 1−<br />
sinϕ′<br />
sinϕ′<br />
Ar th sinϕ′ = Ar sh<br />
= Ar sh tanϕ′<br />
= −<br />
2<br />
1−<br />
sin ϕ′<br />
x<br />
R<br />
,<br />
ahonnan
97<br />
másrészt<br />
ahonnan<br />
Ar th sinϕ′<br />
= Ar ch<br />
⎛ x ⎞ x<br />
tan ϕ ′ = sh⎜<br />
− ⎟ = −sh<br />
, (2.2.3.3.-14)<br />
⎝ R ⎠ R<br />
1<br />
1−<br />
sin<br />
1 ⎛ = ch⎜<br />
−<br />
cosϕ′<br />
⎝<br />
2<br />
x<br />
R<br />
= Ar ch<br />
ϕ′<br />
⎞<br />
⎟ = ch<br />
⎠<br />
x<br />
R<br />
1<br />
cos<br />
ϕ′<br />
x<br />
= −<br />
R<br />
. (2.2.3.3.-15)<br />
,<br />
Végül, visszahelyettesítve a (2.2.3.3.-12)-be és tekintettel a (2.2.3.3.-13) és a (2.2.3.3.-14) elıjeleire:<br />
A (2.2.3.3.-15) képletben<br />
x y<br />
ch ⋅ sin<br />
tan µ = −<br />
R R<br />
. (2.2.3.3.-15)<br />
x y<br />
cotϕ<br />
K<br />
+ sh ⋅ cos<br />
R R<br />
Példa:<br />
sh<br />
x<br />
R<br />
x<br />
R<br />
x<br />
−<br />
x<br />
−<br />
R<br />
R<br />
e − e x e + e<br />
= , ch = .<br />
2 R 2<br />
x<br />
R<br />
A ferdetengelyő hengervetület középsı rendszerében (HKR) a P pont koordinátái:<br />
y = −144443,574 m, x = −61935,475 m .<br />
Számítsuk ki a vetületi meridiánkonvergenciát! A kezdıpont földrajzi szélessége<br />
ϕ 47 o K<br />
= 06′<br />
00 ′′ , a Gauss-gömb sugara R = 6378512,966 m .<br />
A számításhoz és kijelzéshez használt programrészt a Függelék 2.2.3.3.-1. pontjában találjuk.<br />
Eredmény:<br />
= + 1 o 24′<br />
38,3697 ′′<br />
µ .<br />
Az elıjel pozitív, hiszen pontunk a kezdı-meridiántól keletre helyezkedik el.<br />
2.2.4. A ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> szelvényhálózatai<br />
Hasonlóan a sztereografikus vetület szelvényhálózataihoz, a henger<strong>vetületek</strong>nél is öl<br />
és méter rendszerő szelvénybeosztást különböztetünk meg. A méter rendszerő szelvénybeosztás<br />
teljes mértékben megegyezik a sztereografikus vetület méteres szelvénybeosztásával<br />
(2.1.4.-2. ábra). Az öl rendszerő beosztás hasonlít a sztereografikus vetület öl rendszerő szelvényhálózatához,<br />
azzal a különbséggel, hogy a négyzetmérföldek számozása olyan, mint a<br />
méter rendszerő beosztásé (2.2.4.-1. ábra).<br />
A 2.2.4.-1. ábrán jelzett kataszteri szelvény száma e szerint a számozás szerint<br />
D.N.I.2.b.h. A kisbetős jelölések minden síknegyedben az ábécé sorrendjében a délnyugati<br />
síknegyedhez hasonlóan követik egymást.
98<br />
2.<br />
II. I. I. II.<br />
N.o.<br />
(nyugati<br />
oszlop)<br />
K.o.<br />
(keleti<br />
oszlop)<br />
+ y<br />
1.<br />
1.<br />
2.<br />
e<br />
f<br />
g<br />
h<br />
i<br />
É.N.<br />
D.N.<br />
K<br />
d c b a<br />
É.K.<br />
D.K.<br />
+ x<br />
2.2.4.-1. ábra: A ferde tengelyő henger<strong>vetületek</strong> öl rendszerő szelvényhálózata<br />
2.3. Egységes Országos Vetület<br />
Részben a többfajta vetületi rendszer (eddig még nem szóltunk a Gauss-Krüger vetületi<br />
rendszerő katonai topográfiai térképekrıl) polgári célú egységesítése, részben pedig a miatt,<br />
hogy a hossztorzulás értéke az ország egész területén minél kisebb mértékben térjen el az<br />
1<br />
-tıl, 1975-ben polgári célokra új vetületi rendszert vezettek be, az Egységes Országos<br />
10000<br />
Vetületet, rövidítve, az EOV-t. Vonatkoztatási ellipszoidja az IUGG/1967 ellipszoid.<br />
Az EOV az eddig tárgyalt <strong>vetületek</strong>tıl – egyebek mellett – abban is különbözik, hogy<br />
a szelvényezés rendszere (Egységes Országos Térképrendszer – EOTR) a kis méretarányoktól<br />
kezdve a legnagyobb méretarányig számozásban is egységesen átfogja az eddig tárgyalt térképfajtákat.<br />
Az egységesítési törekvés egészen természetes, ha meggondoljuk, hogy 1975-ig és<br />
még jóval utána is, az ország különbözı területeirıl különbözı vetülető és szelvényezési<br />
rendszerő térképek álltak rendelkezésre. Ez folyamatosan megkövetelte az egyes vetületi<br />
rendszerek közötti – a számítástechnika akkori szintje mellett – kényelmetlen átszámításokat.<br />
Természetes törekvés volt az is, hogy a polgári térképészet igyekezett elszakadni a katonaitól,<br />
nem utolsó sorban utóbbi akkori szigorú titkossága miatt. Az egységesítés célja volt továbbá,<br />
hogy mind a földmérési, mind a topográfiai alaptérképek vetületi rendszere és szelvényhálózata<br />
azonos legyen, eltérıen attól a helyzettıl, hogy a sztereografikus és hengervetületi rendszerek<br />
elsısorban a földmérési, míg a Gauss-Krüger vetületi rendszer (4.1. pont) a topográfiai<br />
térképek vetülete volt (beleértve az 1:10000 méretarányú budapesti sztereografikus rendszer<br />
koordináta vonalaival ellátott Gauss-Krüger vetülető topográfiai térképeket).<br />
Fentiek mellett komoly szakmai érv volt a hossztorzulás értékének csökkentése az ország<br />
egész területén. A hossztorzulásra megkívánt -es határ komoly kötöttséget jelent a<br />
10000<br />
1<br />
<strong>vetületek</strong> alkalmazhatóságát illetıen, hiszen ezt a sztereografikus vetületnél a kezdıpont körüli<br />
127 km-es sugarú kör, a ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong>nél pedig az y tengelytıl két irányban<br />
90-90 km-es sáv maximálta. E mellett a szögtartó sztereografikus és henger<strong>vetületek</strong>nél a
99<br />
torzulásmentes helytıl eltekintve a képfelületi hosszak mindig nagyobbak, mint az alapfelületiek.<br />
~37,77 km<br />
Gellérthegy<br />
~75,48 km<br />
47 o 06’<br />
2.3.-1. ábra: EOV - ferde tengelyő, redukált hengervetület<br />
A bemutatott módszerrel az EOV-ben egész Magyarország területe egy (ferde tengelyő)<br />
hengervetületi sávon ábrázolható anélkül, hogy a hossztorzulás értéke az x tengely mentén<br />
az értéket meghaladná. Ezt azzal érték el, hogy a képfelület metszı, vagy süllyesz-<br />
10000<br />
1<br />
tett henger (1.2.2.11.-3. ábra), amely 2 párhuzamos gömbi körben metszi a Gauss-gömböt. A<br />
két gömbi kör között a hossztorzulás negatív, a gömbi körökön kívül pozitív irányú, a körökön<br />
pedig zérus (1.2.2.12. pont, 1.2.2.12.-3. ábra). Fentiek miatt az EOV-t redukált hengervetületnek<br />
is nevezik. A henger elhelyezkedése megegyezik a HKR rendszer elhelyezkedésével.<br />
A kezdı-meridián áthalad a Gellérthegy nevő felsırendő alapponton, de utóbbi – a hengervetület<br />
középsı rendszeréhez hasonlóan – nem azonos a vetület kezdıpontjával.<br />
A vetület az 1.2.2.11. pontban tárgyalt csoportosítási szempontok szerint valódi, sülylyesztett,<br />
ferdetengelyő hengervetület. A vetület szögtartó, a – sztereografikus és ferdetengelyő<br />
henger<strong>vetületek</strong>hez hasonlóan - a vetítés kettıs, elıször az ellipszoidról a Gauss-gömbre,<br />
majd a Gauss-gömbrıl a gömböt két gömbi kör mentén metszı hengerre történik a vetítés. A<br />
Gauss-gömb sugara a ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong>tıl eltér:<br />
R = 6379743,001m .<br />
A vetületi kezdıpont ellipszoidi földrajzi koordinátái:<br />
Gauss-gömbi koordinátái:<br />
o<br />
o<br />
Φ<br />
K<br />
= 47 08′<br />
39,8174 ′′ és ΛK<br />
= 19 02′<br />
54,8584 ′′ ,<br />
o<br />
o<br />
ϕ<br />
K<br />
= 47 06′<br />
00,0000 ′′ és λK<br />
= 0 00′<br />
00,0000′<br />
.<br />
A Gauss-gömb a ϕ = 47 o 07′<br />
20,0578<br />
′′ gömbi földrajzi szélességő pontjában (ellipszoidi<br />
földrajzi szélessége Φ = 47 o 10′<br />
00,0000′<br />
) simul az ellipszoidhoz, ami nem egyezik meg a vetületi<br />
kezdıpont földrajzi szélességével.
100<br />
2.3.1. Vetületi egyenletek<br />
ϕ ′, λ′<br />
segédföldrajzi koordináták számítására a (2.2.1.-1) összefüggések érvényesek.<br />
A<br />
A süllyesztés az EOV vetületi egyenleteit az<br />
x = m<br />
⋅ f<br />
( ϕ,<br />
λ)<br />
( ϕ,<br />
λ)<br />
y = m0 ⋅ f ,<br />
0<br />
y<br />
x<br />
(1.2.1.4.-2a)<br />
képletek szerint módosítja (1.2.1.4. pont), ahol m0<br />
a redukálás mértéke. Az EOV esetében<br />
m = 0,99993 . A λ<br />
0<br />
ϕ , gömbi földrajzi koordináták.<br />
Az Egységes Országos Vetület vetületi egyenleteit a ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong><br />
(2.2.1.-3), (2.2.1.-5) – (2.2.1.-7) vetületi egyenleteibıl származtatjuk. Mivel az EOV – a ferdetengelyő<br />
henger<strong>vetületek</strong>tıl eltérıen - északkeleti tájékozású, a vetületi egyenletek jobboldalai<br />
pozitív elıjelőek:<br />
y = m0 ⋅ R ⋅ λ′<br />
(2.3.1.-1)<br />
vagy, ha λ′ szögfokban adott:<br />
valamint<br />
vagy<br />
λ′<br />
y = m0<br />
⋅ R ⋅ ,<br />
o<br />
ρ<br />
(2.3.1.-2)<br />
⎛ ϕ′<br />
π ⎞<br />
x = m0<br />
⋅ R ⋅ ln tan⎜<br />
+ ⎟ ,<br />
⎝ 2 4 ⎠<br />
(2.3.1.-3)<br />
R 1+<br />
sinϕ′<br />
x = m0<br />
⋅ ⋅ ln .<br />
2 1−<br />
sinϕ′<br />
(2.3.1.-4)<br />
A fenti képletekben a ϕ′ a segédföldrajzi szélesség, a λ′ a segédföldrajzi hosszúság. A segédegyenlítı<br />
segédföldrajzi szélessége ϕ ′ = 0 . A henger a Gauss-gömbbıl az<br />
r<br />
m<br />
m<br />
( −ϕ<br />
)<br />
= R ⋅cos<br />
ϕ ′ = R ⋅cos<br />
′<br />
sugarú, a 2.3.2. pontban számított ϕ és ϕ<br />
É D<br />
gömbi földrajzi szélességő gömbi köröket metszi<br />
ki (2.3.1.-1. ábra).<br />
m
101<br />
+x<br />
r m<br />
+y<br />
r m<br />
ϕ = 47 o 46′<br />
41′<br />
É<br />
ϕ′<br />
m<br />
R<br />
ϕ 47 o K<br />
= 06′<br />
K<br />
φ K<br />
γ<br />
s′<br />
e<br />
s e<br />
ϕ 46 o D<br />
= 25′<br />
19′<br />
Segédegyenlítı<br />
2.3.1.-1. ábra: A redukált hengervetület az r m sugarú gömböt érinti<br />
A süllyesztés következtében a Gauss-gömb egy r<br />
m<br />
sugarú gömbbé „redukálódik”, innen<br />
a „redukált hengervetület” elnevezés. A segédegyenlítı egy tetszıleges se<br />
íve az r m<br />
sugarú<br />
gömbön rövidül. A 2.3.1.-1. ábrából beláthatóan<br />
s e<br />
= R ⋅γ , (2.3.1.-5)<br />
s′ = r ⋅γ = R ⋅ cos ϕ′<br />
⋅γ<br />
= s ⋅ cosϕ′<br />
.<br />
e<br />
m<br />
m<br />
A cosϕ ′<br />
m<br />
értéke a ϕ ′m<br />
= 0 eset kivételével mindig kisebb 1-nél, tehát valóban rövidülés következik<br />
be.<br />
A gyakorlati számítások egyszerősítése érdekében a koordináta-tengelyeket a vetület<br />
síkjában önmagukkal párhuzamosan eltolták úgy, hogy az ország egész területén minden koordináta<br />
pozitív legyen. Az eltolás mértékét úgy választották meg, hogy a koordinátákat ne<br />
lehessen felcserélni, az X koordináta mindig kisebb, az Y koordináta mindig nagyobb, mint<br />
400000 m.<br />
A vetületi koordináták és a koordinátatengelyek eltolásával nyert koordináták közötti<br />
összefüggések az alábbiak:<br />
Y = y + 650000 m,<br />
(2.3.1.-6)<br />
X = x + 200000 m,<br />
vagyis az x tengely nyugatra 650 km-rel, az y tengely pedig dél felé 200 km-rel van eltolva.<br />
e<br />
m
102<br />
Példa:<br />
Számítsuk ki a ϕ = 47 o 17′<br />
27,49242′<br />
Gauss-gömbi földrajzi szélességő és a<br />
λ = −2 o 11′<br />
33,13712 ′′ földrajzi hosszúságú P’ pont EOV koordinátáit! A kezdıpont földrajzi<br />
szélessége ϕ 47 o K<br />
= 06′<br />
00<br />
′′ , a Gauss-gömb sugara R = 6379743,001 m .<br />
A segédföldrajzi koordináták a (2.2.1.-1) képletekbıl az alábbiak:<br />
o<br />
ϕ ′ = 0<br />
o 12′<br />
42,52209 ′′ , λ′<br />
= -1 29′<br />
13,05233′<br />
.<br />
Az eredeti EOV koordináták számíthatók a (2.3.1.-2) és a (2.3.1.-3) képletekbıl:<br />
y = - 165557,61m, x = 23583,110 m .<br />
Az eltolt EOV koordináták:<br />
Y = 484442,394 m, X = 223583,110 m .<br />
2.3.2. A metszı gömbi körök és a Gellérthegy pont elhelyezése<br />
Legyen a továbbiakban<br />
m cosϕ ′ 0,99993 .<br />
0<br />
=<br />
m<br />
=<br />
Innen a metszı gömbi körök földrajzi szélességei:<br />
ϕ<br />
′<br />
m m<br />
= −ϕ′<br />
= 0 o 40′<br />
40,57234 ′′ .<br />
A kezdıpont gömbi földrajzi szélessége ϕ = 47 o 06<br />
, ezért a kezdıponttól északra lévı gömbi<br />
kör (2.3.1.-1. ábra) földrajzi szélessége:<br />
K<br />
′<br />
o o<br />
o<br />
ϕ = 47 06′<br />
+ 0 40′<br />
40,57234′′<br />
= 47 46′<br />
40,5723′<br />
,<br />
É<br />
′<br />
a délre lévıé pedig:<br />
o o<br />
o<br />
ϕ<br />
D<br />
= 47 06′<br />
− 0 40′<br />
40,57234 ′′ = 46 25′<br />
19,4277 ′′ .<br />
A metszı gömbi körök vetületi kezdıponttól számított távolsága a gömbön<br />
o<br />
ϕ′<br />
0 40′<br />
40,57234 ′′<br />
s =<br />
D<br />
= ⋅ = 6379743,001⋅<br />
= 75486,578 m<br />
É s R m<br />
o<br />
o<br />
,<br />
ρ<br />
57,29578<br />
ahol<br />
180 = = 57,29578<br />
π<br />
o<br />
o<br />
o<br />
ρ és<br />
x<br />
o<br />
⎛ 0 40′<br />
40,57234 ′′<br />
,99993⋅<br />
6379743,001⋅<br />
ln tan<br />
⎜<br />
⎝ 2 ⋅ ρ<br />
π ⎞<br />
+<br />
4<br />
⎟<br />
⎠<br />
= xD<br />
= 0 =<br />
É o<br />
75483,054 m
103<br />
a vetületen, vagyis a gömbi ívnél rövidebb, amint az a 2.3.1.-1. ábráról szemléletesen is belátható.<br />
A Gellérthegy nevő alappont gömbi földrajzi szélessége az EOV Gauss-gömbjén<br />
ϕ 47 o G<br />
= 26′<br />
32,05074′<br />
11 . Innen a vetületi kezdıpont távolsága a Gellérthegytıl délre a<br />
(2.3.1.-5) képlet szerint<br />
s<br />
a gömbön és<br />
x<br />
o<br />
ϕ −ϕ<br />
0 20′<br />
32,05074′′<br />
= 6379743,001⋅<br />
o<br />
ρ<br />
57,29578<br />
G K<br />
G<br />
= R ⋅<br />
=<br />
o<br />
o<br />
⎛ 0 20′<br />
32,05074 ′′<br />
,99993⋅<br />
6379743,001⋅<br />
ln tan<br />
⎜<br />
⎝ 2 ⋅ ρ<br />
π ⎞<br />
+<br />
4<br />
⎟<br />
⎠<br />
G<br />
= 0 =<br />
o<br />
38107,165 m<br />
a (2.3.1.-3) szerint a vetületen. A fenti méreteket a 2.3.-1. ábrán láthatjuk.<br />
2.3.3. Inverz vetületi egyenletek<br />
38104,725 m<br />
Az inverz vetületi egyenletekbe helyettesítés elıtt elıbb az eltolt koordinátarendszerrıl<br />
vissza kell térnünk az eredeti vetületi koordinátákra:<br />
y = Y − 650000 m,<br />
x = X − 200000 m.<br />
(2.3.3.-1)<br />
A (2.3.1.-1)-bıl a λ′ -t, a (2.3.1.-3)-ból a ϕ ′-t kifejezve, az inverz vetületi egyenletek<br />
az alábbiak:<br />
és<br />
y<br />
λ ′ =<br />
(2.3.3.-2)<br />
m ⋅ R<br />
0<br />
x<br />
m<br />
0⋅R<br />
π<br />
ϕ′<br />
= 2 ⋅ arctan e − . (2.3.3.-3)<br />
2<br />
A Gauss-gömbi ϕ földrajzi szélesség és λ földrajzi hosszúság itt is a (2.2.2.-3) összefüggések<br />
szerint a segédföldrajzi koordinátákból számíthatók.<br />
Példa:<br />
Számítsuk ki az Y = 484442,394 m, X = 223583,110 m EOV koordinátájú P pont Gaussgömbi<br />
földrajzi koordinátáit!<br />
Az eredeti EOV koordináták a (2.3.3.-1) képlet szerint:<br />
y = - 165557,61m, x = 23583,110 m .<br />
A segédföldrajzi koordináták a (2.3.3.-2) és a (2.3.3.-3) szerint:<br />
11 A<br />
G<br />
ϕ az EOV Gauss-gömbjén a = 47 o 29′<br />
13,7535′<br />
számítható.<br />
Φ IUGG/1967 ellipszoidi földrajzi szélességbıl<br />
G
104<br />
o<br />
ϕ ′ = 0<br />
o 12′<br />
42,52209 ′′ , λ′<br />
= -1 29′<br />
13,05233′<br />
.<br />
A Gauss-gömbi földrajzi koordináták a (2.2.2.-3) összefüggések szerint:<br />
o<br />
ϕ = 47<br />
o 17′<br />
27,49242 ′′ , λ = −2<br />
11′<br />
33,13712 ′<br />
.<br />
Visszakaptuk az elızı példa kiinduló adatait.<br />
2.3.4. A Egységes Országos Vetület redukciói<br />
2.3.4.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció<br />
Az m0<br />
-nak megfelelıen módosul az<br />
lineármodulus és annak<br />
reciproka az alábbiak szerint:<br />
dd<br />
1<br />
l = =<br />
(2.2.3.1.-1)<br />
ds<br />
cosϕ′<br />
2<br />
1<br />
x<br />
= cosϕ ′ = 1−<br />
(2.2.3.1.-5)<br />
2<br />
l<br />
2 ⋅ R<br />
m0<br />
l = , (2.3.4.1.-1)<br />
cos ϕ ′<br />
1<br />
l<br />
cosϕ′<br />
1<br />
=<br />
m m<br />
2<br />
⎛ x<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
⎝ 2 ⋅ r<br />
⎞ 1<br />
⎟ =<br />
⎠ m<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
⎝<br />
x<br />
2<br />
⋅ m<br />
=<br />
2<br />
2<br />
0 0<br />
m 0 2<br />
0<br />
⋅ R<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ . (2.3.4.1.-2)<br />
⎠<br />
A ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong>re érvényes (2.2.3.1.-8) képletbıl kiindulva, a hossztorzulás<br />
a redukált gömbön<br />
2<br />
m<br />
2<br />
2 1<br />
2<br />
2<br />
( x + x ⋅ x + x ) = ⋅ ( x + x ⋅ x + x )<br />
1<br />
U ′ = ⋅<br />
1 1 2 2<br />
2 1 1 2 2<br />
,<br />
6 ⋅ r<br />
6 ⋅ m ⋅ R<br />
2<br />
0<br />
mert<br />
r ϕ′<br />
m<br />
= R ⋅ cos<br />
m<br />
és = cos<br />
m<br />
m ϕ ′<br />
0<br />
. Az<br />
U = m 0<br />
⋅U<br />
′<br />
(1.2.2.12.-12)<br />
összefüggést figyelembe véve:<br />
azaz az EOV hossztorzulása<br />
A hossztorzulási tényezı<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
( x + x ⋅ x x )<br />
1<br />
U = m0<br />
⋅ ⋅<br />
2 1 1 2<br />
+<br />
2<br />
,<br />
6 ⋅ m ⋅ R<br />
0<br />
2<br />
2<br />
( x + x ⋅ x x )<br />
U = 1<br />
⋅<br />
2 1 1 2 2<br />
6 ⋅ m ⋅ R<br />
+ . (2.3.4.1.-3)
105<br />
d<br />
m = = m0 + U , (1.2.2.12.-10)<br />
s<br />
a hosszredukció pedig az 1.2.2.12. pont (1.2.2.12.-17) képlete szerint<br />
∆ s = d − s = ( m0 −1+<br />
U ) ⋅ s . (2.3.4.1.-4)<br />
Az y tengelyen a hossztorzulási tényezı értéke m<br />
0<br />
= 0,<br />
99993 , 1-nél kisebb, a hosszredukció<br />
negatív. Egy, az y tengely mentén 1 km-es távolság a fenti összefüggés szerint a<br />
∆s<br />
= ( m0 −1)<br />
⋅ s = −0,00007<br />
⋅100000 cm = − 7 cm<br />
értékkel rövidül (az y tengely mentén U = 0).<br />
A hossztorzulás, ill. a hosszredukció csak az x-tıl függ, az y tengelytıl észak és dél<br />
felé távolodva a hossztorzulási tényezı értéke közeledik 1-hez, ill. a hosszredukció értéke a<br />
zérushoz, majd a metszı gömbi körökben, ahol az alap- és a képfelület egybeesnek, 1-gyel,<br />
ill. zérussal egyenlık. Tovább távolodva észak, ill. dél felé, a hossztorzulási tényezı értéke 1-<br />
nél nagyobbá, a hosszredukció pedig pozitívvé válik. A hossztorzulás még így is nagy területen<br />
jelentısen meghaladja az értéket, leginkább Baranya megye déli és Borsod-Abaúj-<br />
1<br />
10000<br />
Zemplén megye északi részén.<br />
2.3.4.2. Második irányredukció és vetületi meridiánkonvergencia<br />
A második irányredukciót és a vetületi meridiánkonvergenciát a ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong>nél<br />
megismert módon számítjuk (2.2.3.2 és 2.2.3.3. pontok).<br />
A második irányredukciók számíthatók a ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong>nél megismert<br />
∆<br />
∆<br />
PQ<br />
QP<br />
= + a ⋅ x<br />
= −a<br />
⋅ x<br />
k<br />
k<br />
⋅<br />
⋅<br />
( yQ<br />
− yP<br />
) − b ⋅ ( xQ<br />
− xP<br />
) ⋅ ( yQ<br />
− yP<br />
)<br />
( y − y ) − b ⋅ ( x − x ) ⋅ ( y − y )<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
és<br />
a<br />
(2.2.3.2.-3)<br />
összefüggésekbıl, azzal a különbséggel, hogy az a és b együtthatókban az m<br />
0<br />
tényezıt figyelembe<br />
kell venni az alábbiak szerint:<br />
a =<br />
ρ ′′<br />
2<br />
2 ⋅ m ⋅ R<br />
0<br />
2<br />
= 2,5342506 ⋅10<br />
-9<br />
"<br />
,<br />
m<br />
ρ ′′<br />
b =<br />
2<br />
12 ⋅ m ⋅ R<br />
0<br />
2<br />
= 4,2237510 ⋅10<br />
-10<br />
"<br />
.<br />
m<br />
Az a és b együtthatókban szereplı állandók:<br />
ρ ′′ = 206264,8<br />
′′ ; R = 6379743,001m; m = 0<br />
0,99993 .<br />
A vetületi meridián-konvergencia földrajzi koordinátákból való számítását csak a henger<br />
elhelyezkedése befolyásolja, mérete nem, a vetületi koordinátákból történı számításkor<br />
viszont figyelembe kell venni a redukálás m<br />
0<br />
mértékét. Ezért a (2.2.3.3.-15) összefüggésnek<br />
megfelelı, az EOV-re használható alábbi képletben az R helyett = m 0<br />
⋅ R helyettesítendı:<br />
r m
106<br />
x y<br />
ch ⋅ sin<br />
m0<br />
⋅ R m0<br />
⋅ R<br />
tan µ =<br />
. (2.3.4.2.-1)<br />
x y<br />
cotϕ<br />
K<br />
− sh ⋅ cos<br />
m ⋅ R m ⋅ R<br />
0<br />
Az összefüggés levezetése megegyezik a (2.2.3.3.-15) levezetésével. A számlálóban és<br />
a nevezıben jelentkezı elıjelváltás oka, hogy – a ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong>kel ellentétben<br />
– az EOV, mint láttuk, északkeleti tájékozású.<br />
1. példa:<br />
o o<br />
Számítsuk ki a ϕ = 47 17′<br />
27,49242′′<br />
, λ = −2<br />
11′<br />
33,1371 2 ′′ Gauss-gömbi földrajzi koordinátájú<br />
pontban a vetületi meridiánkonvergenciát!<br />
sinϕ<br />
K<br />
⋅sin<br />
λ<br />
tan µ = . (2.2.3.3.-5)<br />
cosϕ<br />
⋅ cosϕ<br />
+ sinϕ<br />
⋅sinϕ<br />
⋅ cos λ<br />
K<br />
Behelyettesítve a (2.2.3.3.-5)-be, ϕ 47 o K<br />
= 06′<br />
00,00000<br />
′′ mellett kapjuk:<br />
2. példa:<br />
µ = -1 o 36′<br />
21,44697′<br />
.<br />
Számítsuk ki a P pontból a Q pont felé menı irányra mindkét végpontban a második irányredukciót<br />
és a hossztorzulási tényezıt!<br />
A P pont eltolt EOV koordinátái:<br />
A Q pont eltolt EOV koordinátái:<br />
Y<br />
P<br />
= 484442,394 m, X<br />
P<br />
= 223583,110 m .<br />
Y = 02904,530 m, X 248071,890 m .<br />
Q<br />
5<br />
Q<br />
=<br />
Az eredeti EOV koordináták a (2.3.3.-1) képlet szerint:<br />
A második irányredukciók:<br />
A hossztorzulás:<br />
A hossztorzulási tényezı:<br />
y = 165557,606 m, x 23583,110 m ,<br />
P<br />
-<br />
P<br />
=<br />
y = 147095,470 m, x 48071,890 m .<br />
Q<br />
-<br />
Q<br />
=<br />
∆<br />
PQ<br />
= + 1,48532<br />
′′ , ∆<br />
PQ<br />
= -1,86725′<br />
.<br />
K<br />
U = 0,0000163838 .<br />
0
107<br />
m = 0,9999463838 .<br />
A számítást a Függelék 2.3.4.2.-1. pontja alatti VisualBasic programrészekkel végeztük.<br />
2.3.5. Az Egységes Országos Vetület szelvényhálózata<br />
Az Egységes Országos Térképrendszer (EOTR) szelvényezésének alapját az y irányban<br />
48000 m, az x irányban pedig 32000 m nagyságú 1:100000 méretarányú szelvények képezik.<br />
A 2.3.5.-1. ábrán látható, hogy az 1:100000 méretarányú szelvények száma a szelvénysorok,<br />
illetve a szelvényoszlopok 0-tól induló sorszámaiból tevıdik össze. Az ábra sarokpontjainak<br />
koordinátái a koordinátarendszer eltolása miatt:<br />
X<br />
Y<br />
alsó<br />
bal<br />
= 32000 m,<br />
= 384000 m, Y<br />
X<br />
jobb<br />
felsı<br />
= 384000 m,<br />
= 960000 m.<br />
384000 m<br />
107<br />
108 109<br />
96<br />
97 98 99<br />
910<br />
82<br />
85<br />
86<br />
87<br />
88<br />
89<br />
810<br />
811<br />
71<br />
72 73 74<br />
75<br />
76<br />
77<br />
78<br />
79<br />
710<br />
711<br />
x<br />
61 62 63 64 65<br />
66<br />
67 68<br />
69<br />
610<br />
51 52 53 54 55<br />
56<br />
57<br />
57<br />
57<br />
40 41<br />
42<br />
43<br />
44<br />
45<br />
46<br />
47 48 49<br />
31<br />
32<br />
33<br />
34<br />
35<br />
36<br />
37 38<br />
39<br />
21 22<br />
23<br />
24<br />
25<br />
26<br />
27<br />
28<br />
29<br />
12<br />
13<br />
14<br />
15<br />
16<br />
17<br />
18<br />
32000 m<br />
03 04 05<br />
384000 m y<br />
960000 m<br />
2.3.5.-1. ábra: Az EOTR szelvényhálózata. Az 1:100000 méretarányú szelvények<br />
Az 1:100000 méretarányú szelvényekbıl az 1:50000, 1:25000 és 1:10000 méretaránysor térképlapjait<br />
mindig a sor 1-gyel lejjebb lévı méretarányú szelvényébıl, annak negyedelésével<br />
kapjuk (2.3.5.-2/a. ábra). A szelvények számozása az ábrából követhetı nyomon. Az 1:10000<br />
méretarányú szelvények számozására példát 2.3.5.-2/b. ábrán látunk. Az 1:10000 méretarányú<br />
szelvények további negyedelésével jutunk el az 1:4000 és 1:2000 méretarányú szelvényeken<br />
át az 1:1000 méretarányú szelvényhez. Ennek méretét és számozását a 2.3.5.-2/c. ábrán láthatjuk.<br />
Az 1:100000, az 1:50000 és az 1:25000 méretarányú szelvények lapmérete megegyezik,<br />
48 cm ⋅ 32 cm , hiszen a méretek felezıdnek, a méretarány pedig kétszerezıdik. Az<br />
1:25000 méretarányról az 1:10000 méretarányra való áttérésnél a méretek felezıdnek, de a<br />
méretarány két és félszeresére nı, s így az 1:10000 méretarányú térkép lapmérete:<br />
[ 48 ( 2,5 : 2)<br />
= 60 cm] ⋅[ 32 ⋅ ( 2,5 : 2)<br />
= 40 cm]<br />
⋅ .
108<br />
Hasonló a helyzet az 1:10000 méretarányról az 1:4000 méretarányra való áttérésnél:<br />
60 ⋅ ( 2,5 : 2) = 75 cm és 40 ⋅ ( 2,5 : 2) = 50 cm . Az 1:2000 és 1:1000 méretarányú lapok lapmérete<br />
ugyanez. Magyarországon EOTR szelvényezésben 1:100000, 1:25000 és 1:10000 méretarányú<br />
topográfiai térképek készülnek, 1:50000 méretarányú térkép EOTR szelvényezésben<br />
nem készül. A nagyobb méretarányú földmérési alaptérképeket ma már kizárólag EOTR szelvényezésben<br />
készítik.<br />
63<br />
63-234<br />
M=1:100000<br />
M=1:10000<br />
32000 m<br />
1<br />
3<br />
48000 m<br />
1 2<br />
2<br />
3 4<br />
4<br />
4000 m<br />
1<br />
1 2<br />
3 4<br />
3 4<br />
500 m<br />
6000 m 750 m<br />
63-234-442<br />
M=1:1000<br />
a) b)<br />
750 m<br />
75 cm<br />
500 m 50 cm<br />
c)<br />
2.3.5.-2. ábra: Az EOTR különbözı méretarányú szelvényei<br />
a) 1:10000, b) 1:10000, c) 1:1000
109<br />
3. Gauss-féle szögtartó gömbi vetület<br />
E fejezetben a Gauss-féle gömbi vetület számítási összefüggéseit és tulajdonságait ismertetjük.<br />
Az ellipszoidról a gömbre vetítés történhet szögtartó vagy területtartó módon, vagy<br />
úgy, hogy vagy a meridiánok, vagy a szélességi körök hossztartóak legyenek.<br />
A magyarországi sztereografikus, ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong>nél, valamint az Egységes<br />
Országos Vetületnél a kettıs vetítés elsı lépéseként az ellipszoidról a gömbre történı<br />
vetítés szögtartó, vagyis a lineármodulus értéke a vetületi fıirányokban megegyezik. Ha a két<br />
egymásra merıleges vetületi fıirány egybeesik a szélességi körök és meridiánok irányával,<br />
úgy ezt az<br />
l<br />
( )<br />
= lΛ<br />
l ϕ<br />
l λ<br />
(3.-1)<br />
Φ<br />
=<br />
feltétel fejezi ki. Jelöléseink továbbra is – mint az eddigiekben – az alábbiak:<br />
Φ - ellipszoidi földrajzi szélesség,<br />
Λ - ellipszoidi földrajzi hosszúság,<br />
ϕ - gömbi földrajzi szélesség,<br />
λ - gömbi földrajzi hosszúság.<br />
3.1. Vetületi egyenletek<br />
Az ellipszoidról a gömbre történı vetítés vetületi egyenletei általános esetben:<br />
Feltételek a vetületi egyenletekre:<br />
ϕ = f ϕ<br />
λ =<br />
f<br />
λ<br />
( Φ,Λ)<br />
,<br />
( Φ,Λ).<br />
(3.1-1)<br />
− a Φ és Λ változási határai között minden valós Φ és Λ értéknek valós ϕ és λ értékek feleljenek<br />
meg,<br />
− az ellipszoidi meridiánokat gömbi meridiánokkal, az ellipszoidi szélességi köröket gömbi<br />
szélességi körökkel ábrázoljuk.<br />
Ellipszoid<br />
dΛ<br />
P<br />
Gömb<br />
d λ<br />
P g<br />
C<br />
B<br />
B g<br />
A A g<br />
3.1.-1. ábra: A gömbi vetület<br />
C g
110<br />
Az utóbbi feltétel a (3.1.-1) egyenleteket a következıkben módosítja:<br />
ϕ = h ϕ<br />
λ = h<br />
λ<br />
( )<br />
Φ ,<br />
( Λ),<br />
(3.1.-2.)<br />
vagyis a gömbi szélesség csak az ellipszoidi szélesség, a gömbi hosszúság csak az ellipszoidi<br />
hosszúság függvénye.<br />
Határozzuk meg a (3.1.-2) függvényeket!<br />
Vegyünk fel az ellipszoid felületén egy A, valamint egy hozzá végtelen közel fekvı B pontot<br />
(3.1.-1. ábra). Az ellipszoidi pontok gömbi megfelelıi legyenek A g és B g . Legyenek az A<br />
pont ellipszoidi földrajzi koordinátái Φ és Λ , a B ponté Φ + dΦ és Λ + dΛ , az A g pont gömbi<br />
földrajzi koordinátái ϕ és λ , a B g ponté ϕ + d ϕ és λ + dλ<br />
. BC a B pont végtelen kis szélességi<br />
körének végtelen kis íve az ellipszoidon, B g C g ugyanaz a gömbön. A lineármodulus a<br />
meridián mentén az<br />
l Λ<br />
A<br />
g C<br />
=<br />
AC<br />
a földrajzi szélességi kör irányában az<br />
g<br />
R ⋅ dϕ = , (3.1.-3)<br />
M ⋅ dΦ<br />
l Φ<br />
=<br />
B<br />
g C<br />
BC<br />
g<br />
=<br />
R ⋅ cosϕ<br />
⋅ dλ<br />
N ⋅ cosΦ<br />
⋅ dΛ<br />
(3.1.-4)<br />
összefüggésekkel fejezhetı ki, ahol R a földgömb (a Gauss-gömb) sugara, M az ellipszoid meridián<br />
irányú görbületi sugara, N a harántgörbületi sugár és az (1.2.2.1.-4) képletbıl<br />
N ⋅ cos Φ = r a B pont szélességi körének sugara az ellipszoidon, R ⋅ cosϕ<br />
a gömbön. A vetítés<br />
szögtartó, ha<br />
l<br />
Φ<br />
= l<br />
Λ<br />
=<br />
R ⋅ dϕ<br />
=<br />
M ⋅ dΦ<br />
R ⋅ cosϕ<br />
⋅ dλ<br />
,<br />
N ⋅ cosΦ<br />
⋅ dΛ<br />
(3.1.-5)<br />
ahonnan<br />
dϕ<br />
=<br />
cosϕ<br />
M<br />
N<br />
dΦ<br />
dλ<br />
⋅ ⋅ . (3.1.-6)<br />
cosΦ<br />
dΛ<br />
A (3.1.-2.) összefüggés szerint viszont φ csak Φ-tıl, λ csak Λ-tól függ, következésképpen a<br />
dλ<br />
elsı derivált konstans. Vezessük be az<br />
dΛ<br />
jelölést, ekkor integrálás után kapjuk:<br />
dλ<br />
n =<br />
dΛ<br />
λ = n ⋅ Λ + c , (3.1.-7)<br />
ahol c az integrálási állandó.
111<br />
Ha az ellipszoidi és a gömbi földrajzi hosszúságokra vonatkozó kezdı-meridiánok megegyeznek,<br />
úgy a kezdı-meridiánra λ = Λ = 0 , ezért c = 0 és (3.1.-7) egyenlet<br />
λ = n ⋅ Λ<br />
(3.1.-8)<br />
alakú lesz, ellenkezı esetben a c integrálási állandó a kezdı-meridián földrajzi hosszúságára<br />
jellemzı érték. Legyen a továbbiakban<br />
ahol<br />
a<br />
c = −n<br />
⋅ ,<br />
Λ K<br />
Λ<br />
K<br />
a vetület kezdı-meridiánjának földrajzi hosszúsága. A fenti helyettesítéssel a (3.1.-7)<br />
alakot ölti.<br />
( )<br />
λ = n ⋅ Λ − Λ K<br />
(3.1.-7a)<br />
Alakítsuk át a (3.1.-6) kifejezést. Figyelembe véve, hogy a (3.1.-8) szerint<br />
dϕ<br />
= n ⋅<br />
cosϕ<br />
M<br />
N<br />
dΦ<br />
⋅ . (3.1.-9)<br />
cosΦ<br />
A (2.2.1.-4) kifejezéshez hasonlóan a (3.1.-9) bal oldalának integrálja alapintegrál:<br />
dϕ ⎛ϕ<br />
π ⎞<br />
∫ = ln tan⎜<br />
+ ⎟ . (3.1.-10)<br />
cosϕ<br />
⎝ 2 4 ⎠<br />
dλ = n , írhatjuk:<br />
dΛ<br />
c c<br />
2 2<br />
Az M = , N = és a V = 1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ képletek (1.2.1.2. pont) felhasználásával a<br />
3<br />
V V<br />
(3.1.-9) jobb oldalának integrálja az n elhagyásával az alábbi:<br />
∫<br />
M<br />
N<br />
dΦ<br />
⋅ =<br />
cosΦ<br />
∫<br />
c<br />
3<br />
V<br />
c<br />
V<br />
dΦ<br />
⋅ =<br />
cosΦ<br />
2<br />
2 e<br />
De az 1.2.1.2. pontból e′ = , ezért<br />
2<br />
1−<br />
e<br />
∫<br />
V<br />
2<br />
dΦ<br />
=<br />
⋅ cosΦ<br />
dΦ<br />
∫ 2 2<br />
( 1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ)<br />
.<br />
⋅ cosΦ<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
dΦ<br />
1−<br />
e<br />
1−<br />
e ⋅ ( sin Φ + cos Φ)<br />
∫<br />
=<br />
( ) ∫<br />
⋅ dΦ<br />
=<br />
2 2<br />
2 2<br />
( ) ∫ 2 2<br />
1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ ⋅ cosΦ<br />
1−<br />
e ⋅ sin Φ ⋅ cosΦ<br />
( 1−<br />
e ⋅ sin Φ)<br />
⋅ cosΦ<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
( 1−<br />
e ⋅sin<br />
Φ)<br />
− e ⋅ cos Φ dΦ<br />
e ⋅ cos Φ<br />
∫<br />
⋅ dΦ<br />
=<br />
( ) ∫ − ∫<br />
⋅ dΦ<br />
=<br />
2 2<br />
2 2<br />
1−<br />
e ⋅ sin Φ ⋅ cosΦ<br />
cosΦ<br />
( 1−<br />
e ⋅sin<br />
Φ)<br />
⋅ cosΦ<br />
=<br />
dΦ<br />
De a (3.1.-10) alapján<br />
e<br />
2<br />
⋅ cosΦ<br />
dΦ<br />
e ⋅ d<br />
∫ − ∫ ⋅ dΦ<br />
= ∫ −<br />
2 2<br />
Φ − e ⋅ Φ Φ<br />
∫ 2<br />
cos 1 sin cos 1−<br />
e ⋅<br />
( e ⋅ sinΦ)<br />
sin<br />
2<br />
.<br />
Φ<br />
⋅ dΦ =
112<br />
( e ⋅sinΦ)<br />
dΦ ⎛ Φ π ⎞<br />
∫ = ln tan⎜<br />
+ ⎟ . (3.1-11)<br />
cosΦ<br />
⎝ 2 4 ⎠<br />
e ⋅ d<br />
A ∫<br />
tag a z = e ⋅sinΦ<br />
helyettesítéssel alapintegrálhoz vezet (pld. Bronstejn-<br />
2 2<br />
1−<br />
e ⋅ sin Φ<br />
Szemengyajev, 1963, 432. és 241. old.):<br />
( e ⋅sinΦ)<br />
e ⋅ d<br />
dz<br />
e 1+<br />
z<br />
∫ = e ⋅ = e ⋅ z = ⋅<br />
− e ⋅ Φ<br />
∫ Ar th ln , de<br />
2 2<br />
2<br />
1 sin 1−<br />
z<br />
2 1−<br />
z<br />
e 1+<br />
z e 1−<br />
z e 1−<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎛1−<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎞<br />
− ⋅ ln = ⋅ ln = ⋅ ln = ln⎜<br />
⎟ .<br />
2 1−<br />
z 2 1+<br />
z 2 1+<br />
e ⋅ sinΦ<br />
⎝1+<br />
e ⋅ sinΦ<br />
⎠<br />
A (3.1-11)-re is tekintettel továbbá<br />
∫<br />
M<br />
N<br />
Φ ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−<br />
e ⋅ sinΦ<br />
⎞<br />
⋅ = ln tan⎜<br />
+ ⎟ + ln⎜<br />
⎟<br />
cosΦ<br />
⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+<br />
e ⋅ sinΦ<br />
⎠<br />
⎡<br />
1 sin<br />
ln⎢<br />
⎛ Φ π ⎞ ⎛ − e ⋅ Φ ⎞<br />
= tan⎜<br />
+ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟<br />
⎢ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎠<br />
⎣<br />
e<br />
e<br />
d 2<br />
2<br />
A (3.1.-9) alapján visszaszorozva n-nel és az integrálási állandót is figyelembe véve, írhatjuk:<br />
M Φ<br />
Φ π e Φ<br />
n<br />
d e<br />
⎧ ⎡<br />
⎤⎫<br />
⎪<br />
1 sin<br />
n ln tan<br />
2 ⎪<br />
⎨<br />
⎢ ⎛ ⎞ ⎛ − ⋅ ⎞ ⎥<br />
⋅∫ ⋅ = ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎬ + ln k . (3.1.-12)<br />
N cosΦ<br />
⎪<br />
⎢ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+<br />
e ⋅ sinΦ<br />
⎠ ⎥<br />
⎪<br />
⎩ ⎣<br />
⎦⎭<br />
Végül, a (3.1.-9) alapján, a (3.1.-10) és a (3.1.-12) kifejezések egyenlıségébıl a<br />
e<br />
2<br />
⎤<br />
⎥ .<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎛ϕ<br />
π ⎞<br />
n ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎞<br />
tan⎜<br />
+ ⎟ = k ⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎠<br />
e<br />
n⋅<br />
2<br />
(3.1.-13)<br />
kifejezéshez jutunk, ahol e az elsı numerikus excentricitás.<br />
A (3.1.-7a) és a (3.1.-13) kifejezések a Gauss-féle szögtartó gömbi vetület vetületi<br />
egyenletei.<br />
3.1.1. A Gauss-féle szögtartó gömbi vetület állandói<br />
A (3.1.-13) vetületi egyenlet gyakorlati alkalmazásához meg kell határoznunk az n és k<br />
állandók értékeit, valamint a Gauss-gömb R sugarát.<br />
Induljunk ki abból, hogy az ellipszoidi pontok gömbre vetítése a lehetı legegyszerőbb,<br />
valamint minimális hossztorzulású legyen azon a területen, ahol a vetítést kívánjuk végezni. E<br />
célból két feltételt szabunk:<br />
1.egy kiválasztott szélességi körön, az ún. normál szélességi körön a lineármodulus legyen<br />
egységnyi,<br />
2.a lineármodulus a normál szélességi körtıl északra és délre a lehetı leglassabban változzék.<br />
E feltételek teljesülése azt jelenti, hogy egy bizonyos területen belül a lineármodulus gyakorlatilag<br />
állandó és egységnyi, egyidejőleg a számítások is viszonylag egyszerően végezhetık.
113<br />
Jelöljük a normál szélességi kör gömbi földrajzi szélességét ϕ0<br />
-val, ellipszoidi földrajzi szélességét<br />
Φ0<br />
-val. Az 1. feltétel matematikailag a (3.1.-5) képlet alapján az<br />
R ⋅ cosϕ<br />
0<br />
Φ0 = l<br />
Λ0<br />
= n ⋅ =<br />
N<br />
0<br />
⋅ cosΦ0<br />
l<br />
1<br />
(3.1.1.-1)<br />
összefüggéssel fogalmazható meg. N<br />
0<br />
a harántgörbületi sugár a Φ<br />
0<br />
földrajzi szélességő normál<br />
szélességi körön.<br />
A 2. feltétel matematikai formába öntéséhez írjuk fel az iránymenti l Λ<br />
lineármodulust az<br />
2 3<br />
( Φ − Φ ) ⎛ d l ⎞ ( Φ − Φ )<br />
2<br />
3<br />
⎛ dl<br />
Λ ⎞<br />
⎛ d l ⎞<br />
Λ<br />
0<br />
Λ<br />
0<br />
l<br />
Λ<br />
= l<br />
Λ<br />
+ ⎜ ⎟ ⋅ ( Φ − Φ ) + ⋅ + ⋅ + ...<br />
Φ<br />
⎜<br />
Φ<br />
⎟<br />
⎜<br />
Φ<br />
⎟<br />
0<br />
0<br />
2<br />
3<br />
⎝ d ⎠0<br />
⎝ d ⎠ 2 ⎝ d ⎠ 6<br />
0<br />
0<br />
(3.1.1.-2)<br />
sorba fejtett alakban (pld. Bronstejn-Szemengyajev, 1963, 402. old.), ahol Φ a normál szélességi<br />
körtıl Φ − Φ0<br />
távolságra lévı pont ellipszoidi földrajzi szélessége.<br />
A (3.1.1.-1) alapján a (3.1.1.-2)-ben helyettesítsünk l = Λ0<br />
1-et, a lineármodulus lehetı leglassabb<br />
változásának kritériumai pedig legyenek:<br />
⎛ dl<br />
Λ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dΦ<br />
⎠<br />
0<br />
= 0<br />
és<br />
2<br />
⎛ d l<br />
⎜<br />
⎝ dΦ<br />
Λ<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0<br />
= 0 . (3.1.1.-3)<br />
Ezekkel a feltételekkel a lehetı leglassabb változás tehát azt jelenti, hogy a (3.1.1.-2)-ben<br />
csak a harmad és magasabb rendő tagok okozhatnak az egységtıl nagyobb eltérést.<br />
A (3.1.1.-1), valamint a (3.1.1.-3) két egyenlete alapján felírható az a 3 ismeretlenes egyenletrendszer,<br />
amelybıl meghatározhatók az n, k és R mennyiségek. Ehhez meg kell határoznunk a<br />
(3.1.1.-3) differenciálhányadosokat.<br />
3.1.1.1. A<br />
d<br />
l Λ<br />
dΦ<br />
2<br />
d l<br />
és a Λ<br />
2<br />
dΦ<br />
differenciálhányadosok meghatározása<br />
dl Határozzuk meg elıször a Λ<br />
elsı differenciálhányadost. A (3.1.1.-1) és a (3.1.-5)<br />
dΦ<br />
összefüggések alapján általánosságban a meridián irányú lineármodulus értéke<br />
illetve, mivel<br />
N =<br />
c<br />
V<br />
l Λ<br />
R ⋅ cosϕ = n ⋅ ,<br />
N ⋅ cosΦ<br />
, ahol c a pólusgörbületi sugár, V ellipszoidi segédmennyiség,<br />
l Λ<br />
R ⋅ cosϕ<br />
= n ⋅ ⋅V<br />
c ⋅ cosΦ<br />
n ⋅ R ⎛<br />
= ⋅ ⎜cosϕ<br />
⋅<br />
c ⎝ cos<br />
V<br />
Φ<br />
⎞<br />
⎟ . (3.1.1.1.-1)<br />
⎠
114<br />
Az<br />
n ⋅ R<br />
c<br />
konstans, V<br />
A továbbiakban<br />
2 2<br />
= 1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ , e′ a második numerikus excentricitás.<br />
⎛ V ⎞<br />
d⎜cosϕ<br />
⋅ ⎟<br />
dl Λ n ⋅ R cosΦ<br />
= ⋅<br />
⎝<br />
⎠<br />
. (3.1.1.1.-2)<br />
dΦ<br />
c dΦ<br />
Határozzuk meg elıször a<br />
⎛ V ⎞<br />
d⎜cosϕ<br />
⋅ ⎟<br />
⎝ cosΦ<br />
⎠<br />
dΦ<br />
differenciálhányadost!<br />
⎛ V ⎞<br />
d⎜cosϕ<br />
⋅ ⎟<br />
⎝ cosΦ<br />
⎠<br />
dΦ<br />
⎛ V ⎞<br />
d⎜<br />
⎟<br />
V d cosϕ<br />
cos<br />
cos<br />
⎝ Φ<br />
= ⋅ + ϕ ⋅ ⎠<br />
, (3.1.1.1.-3)<br />
cosΦ<br />
dΦ<br />
dΦ<br />
mert a (3.1.-5)-bıl<br />
Továbbá<br />
d cosϕ<br />
dϕ<br />
n ⋅ cosϕ<br />
= −sinϕ<br />
⋅ = −sinϕ<br />
⋅ , (3.1.1.1.-4)<br />
dΦ<br />
dΦ<br />
V<br />
2 ⋅ cosΦ<br />
dϕ<br />
=<br />
dΦ<br />
dV<br />
Határozzuk meg a -t: dΦ<br />
ahonnan<br />
c<br />
⋅ cosϕ<br />
M ⋅ cosϕ<br />
3<br />
V<br />
n ⋅ cosϕ<br />
⋅ n = ⋅ n = .<br />
2<br />
N ⋅ cosΦ<br />
c<br />
⋅ cosΦ<br />
V ⋅ cosΦ<br />
V<br />
V<br />
Φ<br />
⎛<br />
d⎜<br />
⎝ cos<br />
dΦ<br />
V<br />
⎞ dV<br />
⎟ cosΦ<br />
⋅ + V ⋅ sinΦ<br />
⎠<br />
=<br />
dΦ<br />
. (3.1.1.1.-5)<br />
2<br />
cos Φ<br />
2<br />
2 2<br />
= 1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ ,<br />
2<br />
2 2 sinΦ<br />
2 ⋅V ⋅ dV<br />
= −2<br />
⋅ e′<br />
⋅ cosΦ<br />
⋅sinΦ<br />
⋅ dΦ<br />
= −2<br />
⋅ e′<br />
⋅ cos Φ ⋅ ⋅ dΦ<br />
,<br />
cosΦ<br />
dV<br />
e′<br />
= −<br />
dΦ<br />
Behelyettesítve a (3.1.1.1.-5)-be, kapjuk:<br />
2<br />
⋅ cos<br />
V<br />
2<br />
Φ sinΦ<br />
⋅ .<br />
cosΦ<br />
V<br />
Φ<br />
⎛<br />
d⎜<br />
⎝ cos<br />
dΦ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ e′<br />
cosΦ<br />
⋅<br />
⎜−<br />
=<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
⋅ cos Φ sinΦ<br />
⎞<br />
⋅<br />
⎟ + V ⋅sinΦ<br />
V cosΦ<br />
⎠<br />
2<br />
cos Φ<br />
2<br />
⎛ e′<br />
⋅ cos<br />
sinΦ<br />
⋅<br />
⎜V<br />
−<br />
=<br />
⎝ V<br />
2<br />
cos Φ<br />
2<br />
Φ ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
=
115<br />
2 2 2<br />
( V − e′<br />
⋅ cos Φ)<br />
sin Φ<br />
⋅<br />
V<br />
sin Φ<br />
= = , (3.1.1.1.-6)<br />
2<br />
2<br />
cos Φ V ⋅ cos Φ<br />
mert<br />
V 2 − e′<br />
2 ⋅ cos 2 Φ = 1.<br />
Helyettesítsük a (3.1.1.1.-4) és a (3.1.1.1.-6) jobb oldalait a (3.1.1.1.-3) összefüggésbe:<br />
V<br />
Φ<br />
⎛<br />
d⎜cosϕ<br />
⋅<br />
⎝ cos<br />
dΦ<br />
n ⋅ sinϕ<br />
⋅ cosϕ<br />
cosϕ<br />
⋅ sinΦ<br />
−<br />
+<br />
2<br />
V ⋅ cos Φ V ⋅ cos Φ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ V ⋅sinϕ<br />
n ⋅cosϕ<br />
sinΦ<br />
= − ⋅ + cosϕ<br />
⋅ =<br />
2<br />
2<br />
cosΦ<br />
V ⋅cosΦ<br />
V ⋅cos<br />
Φ<br />
cosϕ<br />
= ⋅<br />
2<br />
V ⋅ cos Φ<br />
( sinΦ<br />
− n sinϕ)<br />
2<br />
⋅<br />
Helyettesítsük a (3.1.1.1.-7)-et a (3.1.1.1.-2)-be:<br />
. (3.1.1.1.-7)<br />
dl Λ n ⋅ R cosϕ<br />
= ⋅ ⋅ ( sinΦ<br />
− n ⋅ sinϕ)<br />
2 , (3.1.1.1.-8)<br />
dΦ<br />
c V ⋅ cos Φ<br />
vagy, (3.1.1.1.-1)-bıl az<br />
l Λ<br />
R ⋅ cosϕ<br />
= n ⋅ ⋅V<br />
c ⋅ cosΦ<br />
helyettesítéssel:<br />
dl<br />
Λ<br />
dΦ<br />
= l<br />
Λ<br />
⋅<br />
V ⋅cosΦ<br />
n<br />
( sinΦ<br />
− sinϕ )<br />
2<br />
⋅<br />
. (3.1.1.1.-9)<br />
A (3.1.1.-3) elsı feltétele alapján a normál szélességi körön<br />
⎛ dl ⎞<br />
⎜<br />
Λ<br />
⎟<br />
⎝ dΦ<br />
⎠<br />
0<br />
= sinΦ<br />
0<br />
− n ⋅sinϕ<br />
0<br />
= 0<br />
(3.1.1.1.-9a)<br />
adódik, mert<br />
V<br />
2<br />
0<br />
________________________________<br />
l Λ 0 1<br />
=<br />
≠ 0<br />
2<br />
.<br />
⋅ cosΦ0<br />
V0<br />
⋅ cosΦ0<br />
2<br />
d l<br />
Határozzuk meg most a Λ<br />
második differenciálhányadost. Írhatjuk:<br />
2<br />
dΦ<br />
⎛ l<br />
Λ ⎞ ⎛ l<br />
Λ ⎞<br />
2<br />
d⎜<br />
⋅sinΦ<br />
d sin<br />
2<br />
⎟ ⎜ ⋅ ϕ<br />
2<br />
⎟<br />
d l<br />
Λ ⎝V<br />
⋅cosΦ<br />
V cosΦ<br />
n<br />
⎝ ⋅<br />
=<br />
⎠<br />
− ⋅<br />
⎠<br />
, (3.1.1.1.-10)<br />
2<br />
dΦ<br />
dΦ<br />
dΦ<br />
⎛ l<br />
Λ ⎞<br />
⎛ lΛ<br />
⎞<br />
⎜ ⋅ tanΦ<br />
d<br />
2<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝V<br />
⎠ l<br />
Λ<br />
V<br />
= + tanΦ<br />
⋅<br />
⎝ ⎠<br />
,<br />
2 2<br />
dΦ<br />
V ⋅cos<br />
Φ dΦ<br />
d<br />
2
116<br />
=<br />
⋅<br />
⋅<br />
′<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
−<br />
⋅<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
2<br />
cos<br />
sin<br />
cos<br />
2<br />
d<br />
d<br />
1<br />
d<br />
d<br />
2<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
V<br />
Φ<br />
Φ<br />
Φ<br />
e<br />
l<br />
Φ<br />
l<br />
V<br />
V<br />
Φ<br />
V<br />
V<br />
l<br />
Φ<br />
l<br />
V<br />
Φ<br />
V<br />
l<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
4<br />
2<br />
2<br />
sin<br />
cos<br />
2<br />
d<br />
d<br />
1<br />
V<br />
Φ<br />
Φ<br />
e<br />
l<br />
Φ<br />
l<br />
V<br />
Λ<br />
Λ<br />
⋅<br />
⋅<br />
′<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
= (3.1.1.1.-11)<br />
és<br />
,<br />
sin<br />
cos<br />
2<br />
tan<br />
d<br />
d<br />
1<br />
tan<br />
cos<br />
sin<br />
cos<br />
2<br />
d<br />
d<br />
1<br />
tan<br />
cos<br />
d<br />
tan<br />
d<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
V<br />
Φ<br />
Φ<br />
e<br />
l<br />
Φ<br />
Φ<br />
l<br />
V<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
l<br />
V<br />
Φ<br />
Φ<br />
e<br />
l<br />
Φ<br />
l<br />
V<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
l<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
l<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
⋅<br />
⋅<br />
′<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⋅<br />
′<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
sin<br />
2<br />
d<br />
d<br />
1<br />
tan<br />
cos<br />
d<br />
tan<br />
d<br />
V<br />
e<br />
l<br />
Φ<br />
l<br />
V<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
l<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
l<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
Φ<br />
⋅<br />
′<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
.<br />
(3.1.1.1.-12)<br />
Továbbá:<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
l<br />
n<br />
Φ<br />
V<br />
l<br />
Φ<br />
n<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
l<br />
n<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
d<br />
cos<br />
sin<br />
d<br />
d<br />
d<br />
cos<br />
sin<br />
d<br />
cos<br />
sin<br />
d<br />
2<br />
2<br />
2 ⎟ ⎠ ⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⋅<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
,<br />
Φ<br />
Φ<br />
Φ<br />
Φ<br />
Φ<br />
Φ<br />
2<br />
cos<br />
sin<br />
sin<br />
d<br />
d<br />
cos<br />
cos<br />
d<br />
cos<br />
sin<br />
d<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
. (3.1.1.1.-13)<br />
De<br />
Φ<br />
V<br />
n<br />
Φ<br />
cos<br />
cos<br />
d<br />
d<br />
2 ⋅<br />
⋅<br />
=<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
, s így<br />
Φ<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
n<br />
Φ<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
n<br />
Φ<br />
Φ<br />
Φ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
cos<br />
sin<br />
sin<br />
cos<br />
cos<br />
cos<br />
sin<br />
sin<br />
cos<br />
cos<br />
cos<br />
cos<br />
d<br />
cos<br />
sin<br />
d<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
és, (3.1.1.1.-11)-t is figyelembe véve:<br />
,<br />
cos<br />
sin<br />
sin<br />
cos<br />
cos<br />
sin<br />
cos<br />
2<br />
d<br />
d<br />
1<br />
cos<br />
sin<br />
d<br />
cos<br />
sin<br />
d<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
+<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⋅<br />
′<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⋅<br />
Φ<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
n<br />
V<br />
l<br />
n<br />
V<br />
Φ<br />
Φ<br />
e<br />
l<br />
Φ<br />
l<br />
V<br />
Φ<br />
n<br />
Φ<br />
Φ<br />
V<br />
l<br />
n<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
Λ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ϕ
117<br />
n<br />
⎛ l<br />
d⎜<br />
⎝V<br />
sinϕ<br />
⎞<br />
⋅ ⎟<br />
cosΦ<br />
⎠ n<br />
=<br />
dΦ<br />
V<br />
Λ<br />
2<br />
Λ<br />
⋅<br />
2<br />
4<br />
sinϕ<br />
dl<br />
Λ<br />
2 ⋅l<br />
⋅ ⋅ + n ⋅<br />
cosΦ<br />
dΦ<br />
2<br />
⋅ e′<br />
⋅sinϕ<br />
⋅sinΦ<br />
+<br />
V<br />
2<br />
2<br />
n ⋅lΛ<br />
⋅cos<br />
ϕ l<br />
+<br />
+ n ⋅<br />
4 2<br />
V ⋅cos<br />
Φ V<br />
Λ<br />
2<br />
sinϕ<br />
⋅sinΦ<br />
⋅<br />
2<br />
cos Φ<br />
.<br />
(3.1.1.1.-14)<br />
A (3.1.1.1.-12) és a (3.1.1.1.-14) összefüggéseket behelyettesítve a (3.1.1.1.-10)-be:<br />
n<br />
−<br />
V<br />
2<br />
⎛ l<br />
Λ ⎞ ⎛ l<br />
Λ ⎞<br />
d sin d sin<br />
2 ⎜ ⋅ Φ<br />
2<br />
⎟ ⎜ ⋅ ϕ<br />
2<br />
⎟<br />
d l<br />
Λ ⎝V<br />
⋅cosΦ<br />
V cosΦ<br />
n<br />
⎝ ⋅<br />
=<br />
⎠<br />
− ⋅<br />
⎠<br />
=<br />
2<br />
dΦ<br />
dΦ<br />
dΦ<br />
2 2<br />
l<br />
Λ sinΦ<br />
1 dl<br />
Λ<br />
2 ⋅l<br />
Λ<br />
⋅ e′<br />
⋅sin<br />
Φ<br />
= + ⋅ ⋅ +<br />
+<br />
2 2<br />
2<br />
4<br />
V ⋅cos<br />
Φ cosΦ<br />
V dΦ<br />
V<br />
2<br />
2<br />
2<br />
sinϕ<br />
dl<br />
Λ<br />
2 ⋅l<br />
Λ<br />
⋅ e′<br />
⋅sinϕ<br />
⋅sinΦ<br />
n ⋅l<br />
Λ<br />
⋅cos<br />
ϕ l<br />
Λ<br />
⋅ ⋅ − n ⋅<br />
−<br />
− n ⋅<br />
4<br />
4 2<br />
2<br />
cosΦ<br />
dΦ<br />
V<br />
V ⋅cos<br />
Φ V<br />
sinϕ<br />
⋅sinΦ<br />
⋅<br />
2<br />
cos Φ<br />
vagy, a közös tényezıket kiemelve:<br />
+<br />
V<br />
2<br />
⋅<br />
2<br />
d l<br />
dΦ<br />
1<br />
cos<br />
Λ<br />
2<br />
=<br />
V<br />
2<br />
dl<br />
Λ<br />
⋅ ⋅<br />
Φ dΦ<br />
l<br />
Λ<br />
⎛<br />
2 cos<br />
⎜1−<br />
n ⋅sinϕ<br />
⋅sinΦ<br />
− n ⋅<br />
2<br />
⋅cos<br />
Φ ⎝<br />
V<br />
2<br />
2 ⋅l<br />
⋅ e′<br />
⋅sinΦ<br />
4<br />
V<br />
ϕ ⎞<br />
⎟ +<br />
⎠<br />
Λ<br />
( sinΦ<br />
− n ⋅sinϕ<br />
) +<br />
( sinΦ<br />
− n ⋅sinϕ<br />
)<br />
2<br />
2<br />
.<br />
(3.1.1.1.-15)<br />
3.1.1.2. Az n, k állandók és a Gauss-gömb R sugarának meghatározása<br />
A (3.1.1.1.-15) második differenciálhányados a (3.1.1.-3) képlet szerint a Φ<br />
0<br />
normál<br />
szélességi körön zérus:<br />
A (3.1.1.1.-9a)-ból<br />
2<br />
⎛ d l ⎞<br />
⎜ Λ<br />
= 0<br />
2<br />
d<br />
⎟ .<br />
⎝ Φ ⎠<br />
0<br />
sinΦ 0<br />
− n ⋅sinϕ0<br />
= 0 , (3.1.1.2.-1)<br />
s e miatt a normál szélességi körön a (3.1.1.1.-15) utolsó két tagja zérus. Mivel pedig<br />
ezért<br />
A (3.1.1.1.-9a)-ból<br />
V<br />
2<br />
0<br />
l Λ 0<br />
1<br />
=<br />
≠ 0<br />
2<br />
2 2 ,<br />
⋅ cos Φ0<br />
V0<br />
⋅ cos Φ0<br />
2<br />
2 cos ϕ0<br />
− n ⋅sinϕ 0<br />
⋅ sinΦ0<br />
− n ⋅ = 0 .<br />
V<br />
1<br />
2<br />
0
118<br />
ezért<br />
sinΦ<br />
0<br />
n = ,<br />
sinϕ<br />
2<br />
2 2 sinΦ0<br />
sin Φ0<br />
2<br />
V<br />
0<br />
−V0<br />
⋅ ⋅ sinϕ0<br />
⋅sinΦ0<br />
− ⋅ cos ϕ0<br />
= 0 ,<br />
2<br />
sinϕ<br />
sin ϕ<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
2 sin Φ0<br />
( 1−<br />
sin Φ ) − 0<br />
2<br />
V<br />
0<br />
⋅<br />
0<br />
= ,<br />
2<br />
tan ϕ<br />
0<br />
és végül<br />
2<br />
2 2 sin Φ0<br />
V<br />
0<br />
⋅ cos Φ0<br />
= = 0,<br />
2<br />
tan ϕ<br />
0<br />
tan<br />
0<br />
tan<br />
0<br />
V ⋅ ϕ = Φ . (3.1.1.2.-2)<br />
0<br />
A (3.1.1.-1), a (3.1.1.2.-1) és a (3.1.1.2.-2) képletek együtt az<br />
R ⋅ cosϕ0<br />
l Λ 0<br />
= n ⋅ = 1,<br />
N<br />
0<br />
⋅ cosΦ0<br />
n ⋅sinϕ0<br />
= sinΦ0<br />
,<br />
V ⋅ tanϕ<br />
= tanΦ<br />
0<br />
0<br />
0<br />
(a)<br />
(b)<br />
(c)<br />
(3.1.1.2.-3)<br />
összefüggéshármast alkotják, amelybıl az n, k és R meghatározhatók.<br />
Az n a (3.1.1.2.-3/b) és a (3.1.1.2.-3/c) összefüggésekbıl határozható meg. Az<br />
helyettesítéssel ugyanis<br />
=<br />
sinΦ0<br />
n =<br />
sinϕ<br />
2<br />
⋅ sin ϕ = cos<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
2 sin Φ0<br />
sin ϕ0<br />
2 n ⋅sin<br />
ϕ0<br />
( 1−<br />
sin ϕ ) ⋅ ⋅ = ( 1−<br />
sin ϕ ) ⋅ ,<br />
0<br />
V<br />
2<br />
0<br />
V<br />
sin<br />
0<br />
2<br />
sinϕ0<br />
sinΦ<br />
0<br />
⋅ = ,<br />
cosϕ<br />
cosΦ<br />
ϕ<br />
0<br />
0<br />
0<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
Φ<br />
0<br />
0<br />
2<br />
sin Φ<br />
ϕ0<br />
⋅<br />
2<br />
cos Φ<br />
0<br />
0<br />
=<br />
0<br />
cos<br />
2<br />
Φ<br />
0<br />
ahonnan<br />
⎛ sin = −<br />
Φ ⎞ n n<br />
⎝ ⎠<br />
sin<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
0<br />
V<br />
0<br />
⎜1<br />
2<br />
⎟ ⋅ = − ,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
n cos Φ<br />
0<br />
cos Φ<br />
0<br />
cos Φ<br />
0<br />
Φ<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
( 1+<br />
′ ⋅ cos Φ<br />
0<br />
) ⋅ cos Φ<br />
0<br />
sin Φ<br />
0<br />
2 2 2<br />
2<br />
n = V0<br />
⋅ cos Φ<br />
0<br />
+ sin Φ<br />
0<br />
= e<br />
+ ,<br />
n<br />
2<br />
= cos e′<br />
2<br />
2 4<br />
Φ<br />
0<br />
+ ⋅ cos Φ<br />
0<br />
+<br />
sin<br />
2<br />
Φ<br />
0
119<br />
és végül<br />
′<br />
2<br />
2 4<br />
n = 1+<br />
e ⋅ cos Φ<br />
0 , (3.1.1.2.-4)<br />
ahol az (1.2.1.2.-3) képlet szerint<br />
2<br />
e′ =<br />
2<br />
a - b<br />
2<br />
b<br />
2<br />
a második, a fél kistengelyre vonatkozó numerikus excentricitás négyzete.<br />
Az (1.2.1.2.-4) szerint<br />
s ezzel az<br />
2<br />
n kifejezhetı még az<br />
e<br />
e<br />
1−<br />
e<br />
2<br />
2<br />
′ = ,<br />
2<br />
n<br />
2<br />
e<br />
= 1+<br />
2<br />
4<br />
⋅ cos Φ<br />
1−<br />
e<br />
2<br />
0<br />
(3.1.1.2.-5)<br />
alakban. Az e az elsı, a fél nagytengelyre vonatkozó numerikus excentricitás.<br />
Az n ismeretében a k állandó kifejezhetı a<br />
összefüggésbıl:<br />
⎛ϕ<br />
π ⎞<br />
n ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎞<br />
tan⎜<br />
+ ⎟ = k ⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎠<br />
k =<br />
n ⎛ Φ0<br />
tan ⎜<br />
⎝ 2<br />
⎛ϕ0<br />
π ⎞<br />
tan⎜<br />
+ ⎟<br />
⎝ 2 4 ⎠<br />
π ⎞ ⎛1−<br />
e ⋅ sinΦ<br />
+ ⎟ ⋅<br />
4<br />
⎜<br />
⎠ ⎝1+<br />
e ⋅ sinΦ<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
e<br />
n⋅<br />
2<br />
e<br />
n⋅<br />
2<br />
(3.1.-13)<br />
. (3.1.1.2.-6)<br />
A ϕ<br />
0<br />
meghatározható a (3.1.1.2.-3/b), vagy a (3.1.1.2.-3/c) képletbıl.<br />
A (3.1.1.2.-3) összefüggéshármasból meghatározható a Gauss-gömb sugara. A (3.1.1.2.-3/b)<br />
és a (3.1.1.2.-3/c) alapján<br />
0<br />
sin ⋅<br />
cosϕ<br />
ϕ<br />
0 =<br />
0<br />
sinΦ<br />
V ,<br />
0<br />
0<br />
cosΦ<br />
0<br />
cosΦ<br />
cosϕ<br />
0<br />
0<br />
1<br />
=<br />
V<br />
0<br />
sinΦ<br />
0<br />
⋅<br />
sinϕ<br />
0<br />
=<br />
n<br />
V<br />
.<br />
A (3.1.1.2.-3/a)-ból fejezzük ki R-t:
120<br />
mert az (1.2.1.2.-9) szerint<br />
N ⋅ cosΦ<br />
n ⋅ cosϕ<br />
0 0 0<br />
0 0<br />
R =<br />
= ⋅ = = =<br />
0<br />
0<br />
N<br />
n<br />
n<br />
V<br />
0<br />
N<br />
V<br />
c<br />
N<br />
0<br />
= . Négyzetre emelve:<br />
V<br />
2<br />
2 c c c<br />
R = = ⋅ = N<br />
4<br />
3 0<br />
⋅ M<br />
0<br />
,<br />
V0<br />
V0<br />
V0<br />
c<br />
mert az (1.2.1.2.-8)-ból M<br />
0<br />
= . Gyököt vonva, végül, a Gauss-gömb sugarára kapjuk:<br />
3<br />
V<br />
0<br />
0<br />
c<br />
V<br />
V<br />
0<br />
c<br />
V<br />
2<br />
0<br />
,<br />
R = N 0<br />
⋅ M 0 . (3.1.1.2.-7)<br />
A (3.1.1.2.-4), a (3.1.1.2.-6) és a (3.1.1.2.-7) összefüggésekkel meghatározott állandók az ellipszoid<br />
olyan szögtartó gömbi vetületéhez vezetnek, amelynek hossztorzulása – az elıírt feltételek<br />
mellett – rendkívül kicsi. Ezért ezt a vetületet minimális hossztorzulású vetületnek is<br />
nevezik.<br />
Az inverz vetületi egyenleteket a<br />
3.2. Inverz vetületi egyenletek<br />
( )<br />
λ = n ⋅ Λ − Λ K<br />
és a (3.1.-7a)<br />
⎛ϕ<br />
π ⎞<br />
n ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎞<br />
tan⎜<br />
+ ⎟ = k ⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎠<br />
e<br />
n⋅<br />
2<br />
(3.1.-13)<br />
vetületi egyenletekbıl kapjuk. Az ellipszoidi földrajzi hosszúság:<br />
λ<br />
Λ = + ΛK . (3.2.-1)<br />
n<br />
A (3.1.-13) Φ -re implicit kifejezés inverz vetületi egyenlet is egyben, belıle a Φ értékét<br />
célszerően fokozatos közelítéssel határozhatjuk meg, pld. a Függelék 3.2.-1. pontjában található<br />
VisualBasic nyelvő rutinjával.<br />
3.3. A magyarországi gömbi <strong>vetületek</strong> jellemzı adatai<br />
A 2. fejezetben tárgyalt <strong>vetületek</strong>, mint láttuk, mind kettıs vetítésőek. A sztereografikus<br />
és a ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> Gauss-gömbje az 1841. évi Bessel-ellipszoidra, az<br />
Egységes Országos Vetület Gauss-gömbje az IUGG/1967 ellipszoidra vonatkozik. A Besselés<br />
az IUGG/1967 ellipszoidok és Gauss-gömbjeik jellemzı adatait, kiegészítve a sztereografikus<br />
vetület és az EOV néhány jellemzı adatával, az eddigi jelöléseinkkel a 3.3.-1. táblázatban<br />
foglaljuk össze.
121<br />
3.3.-1. táblázat: A Bessel- és az IUGG/1967 ellipszoidok és Gauss -gömbjeik jellemzı<br />
adatai<br />
Jelölések:<br />
Ellipszoid Bessel, 1841 IUGG/1967<br />
a 6377397,155 6378160<br />
b 6356078,963 6356774,516<br />
α 1:299,152813 1:298,247167<br />
e 0,0816968312157 0,0818205679407<br />
e′ 0,0819708411452 0,0820958289928<br />
Φ<br />
0 46 0 32′ 43,41035′<br />
47 0 10′<br />
00,00000′<br />
ϕ<br />
0 46 0 30′ 00,00000<br />
′′ 47 0 07′<br />
20,05780′<br />
k 1,003016135133 1,0031100083<br />
n 1,000751489594 1,000719704936<br />
R 6378512,966 6379743,001<br />
Φ<br />
K 47 0 29′ 09,63803′<br />
47 0 08′<br />
39,8174<br />
′′<br />
Λ<br />
K 36 0 12<br />
42′<br />
53,5733<br />
′′ 19 0 02′<br />
54,8584′<br />
ϕ 47 0 26′ 21,1372 1′′<br />
47 0 06′<br />
00,00000′<br />
K<br />
a – az ellipszoid fél nagytengelye<br />
b – az ellipszoid fél kistengelye<br />
α – az ellipszoid lapultsága<br />
e – elsı, a fél nagytengelyre vonatkozó numerikus excentricitás<br />
e′ - második, a fél kistengelyre vonatkozó numerikus excentricitás<br />
Φ − a normál szélességi kör ellipszoidi földrajzi szélessége<br />
0<br />
ϕ0<br />
− a normál szélességi kör gömbi földrajzi szélessége<br />
n,k<br />
− a Gauss-féle gömbi vetület állandói<br />
R – a Gauss-gömb sugara<br />
Φ<br />
K<br />
− a sztereografikus vetület , ill. az EOV kezdıpontjának ellipszoidi földrajzi szélessége<br />
Λ<br />
K<br />
− a sztereografikus vetület , ill. az EOV kezdıpontjának ellipszoidi földrajzi hosszúsága<br />
ϕ − a sztereografikus vetület , ill. az EOV kezdıpontjának gömbi földrajzi szélessége<br />
K<br />
3.3.1. Számpéldák a Gauss-féle gömbi vetület alkalmazására<br />
1. példa:<br />
A Sopron melletti Cárhalmon lévı Pintytetı háromszögelési pont Bessel-ellipszoidi földrajzi<br />
koordinátái:<br />
Φ<br />
Λ<br />
Pinty<br />
Pinty<br />
o<br />
= 47 41′<br />
28,03685′′<br />
,<br />
o<br />
= 34 18′<br />
03,16506 ′′.<br />
Számítsuk ki a ϕ földrajzi koordinátákat a Gauss-gömbön!<br />
,λ Pinty Pinty<br />
12 A sztereografikus vetület kezdıpontjának Bessel-ellipszoidi földrajzi hosszúsága a Ferro-i kezdı-meridiántól<br />
értendı.
122<br />
A<br />
összefüggésbe helyettesítve:<br />
( )<br />
λ = n ⋅ Λ − Λ K<br />
(3.1.-7a)<br />
o<br />
0<br />
o<br />
( 34 18′<br />
03,16506 ′′ − 36 42′<br />
53,5733 ′′ ) = −2<br />
24′<br />
56,93899<br />
λ<br />
Pinty<br />
= 1,000751489594 ⋅<br />
′<br />
.<br />
A (3.1.-13) vetületi egyenletbıl<br />
e<br />
⎡ ⎧<br />
n⋅<br />
⎫ ⎤<br />
⎢ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛1−<br />
⋅sin<br />
⎞ 2<br />
n Φ π e Φ ⎪ π<br />
ϕ − ⎥<br />
Pinty<br />
= 2 ⋅ arctan<br />
⎢<br />
⎨k<br />
⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎬<br />
(3.3.1-1)<br />
⎥<br />
⎢ ⎪ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+<br />
e ⋅ sinΦ<br />
⎠ ⎪ 4<br />
⎣ ⎩<br />
⎭ ⎥⎦<br />
A ϕ<br />
Pinty<br />
függvényt célszerő személyi számítógépre vinni (Függelék, 3.3.1.-1.pont).<br />
Az eredmény:<br />
2. példa:<br />
ϕ 47 o Pinty<br />
= 38′<br />
38,49985 ′′ .<br />
A Pintytetı háromszögelési pont EOV koordinátái:<br />
Y<br />
X<br />
Pinty<br />
Pinty<br />
= 468839,43 m,<br />
= 263693,08 m.<br />
Számítsuk át ezeket a koordinátákat az Egységes Országos Vetület Gauss-gömbjére és az<br />
IUGG/1967 ellipszoidra!<br />
Az eredeti EOV koordináták az<br />
összefüggések szerint<br />
y = Y − 650000 m,<br />
x = X − 200000 m<br />
(2.3.3.-1)<br />
y<br />
Pinty<br />
x<br />
Pinty<br />
A segédföldrajzi koordinátákat a<br />
= 468839,43 m − 650000 m = -181160,57 m,<br />
= 263693,08 m − 200000 m = 63639,08 m.<br />
x<br />
m<br />
0⋅R<br />
π<br />
ϕ′<br />
= 2 ⋅ arctan e − ,<br />
2<br />
(2.3.3.-3)<br />
y<br />
λ ′ =<br />
m ⋅ R<br />
(2.3.3.-2)<br />
0<br />
képletekbıl kapjuk. A számításhoz és megjelenítéshez használt programsorok a Függelék<br />
3.3.1.-2. pontjában találhatók.
123<br />
A segédföldrajzi koordináták:<br />
o<br />
o<br />
ϕ ′<br />
Pinty<br />
= 0 34′<br />
19,38424 ′′ , λ′<br />
Pinty<br />
= -1 37′<br />
37,55033′<br />
.<br />
A földrajzi koordináták számítása a Gauss-gömbön a<br />
sinϕ<br />
= sinϕ′<br />
⋅ cosϕ<br />
+ cosϕ′⋅<br />
cos λ′⋅<br />
sinϕ<br />
,<br />
K<br />
cosϕ′⋅<br />
sin λ′<br />
sin λ =<br />
cosϕ<br />
K<br />
(2.2.2.-3)<br />
képletekkel történik. A számításhoz a 2.2.2. pont példájában szereplı utolsó két programrészt<br />
használjuk:<br />
o<br />
o<br />
ϕ<br />
Pinty<br />
= 47 38′<br />
48,93628′′<br />
, λPinty<br />
= - 2 24′<br />
55,60533′<br />
.<br />
Az IUGG/1967 ellipszoidi földrajzi koordinátákhoz a<br />
⎛ϕ<br />
π ⎞<br />
n ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎞<br />
tan⎜<br />
+ ⎟ = k ⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+<br />
e ⋅sinΦ<br />
⎠<br />
e<br />
n⋅<br />
2<br />
(3.1.-13)<br />
λ<br />
Λ = + ΛK<br />
(3.2.-1)<br />
n<br />
képletekkel jutunk. A (3.1.-13) egyenletet Φ -re a 3.2. pont végén bemutatott fokozatos közelítéssel<br />
oldjuk meg (Függelék, 3.2.-1. pont):<br />
o<br />
o<br />
Φ<br />
Pinty<br />
= 47 41′<br />
31,73121′′<br />
, ΛPinty<br />
= 16 38′<br />
05,50684′<br />
.
124
125<br />
4. Nemzetközi <strong>vetületek</strong> Magyarországon<br />
Magyarország – saját vetületei mellett – elsısorban katonai, másodsorban tudományos<br />
együttmőködési céllal ún. nemzetközi <strong>vetületek</strong>et is használt-használ térképezési célra. E <strong>vetületek</strong><br />
lehetıvé teszik a korszerő geodéziai technológiák egységes alkalmazását, alkalmasak arra,<br />
hogy az egész Földet egységesen lefedjék. Ezzel egyidejőleg kevéssé felelnek meg a polgári<br />
célú térképezés olyan általános feladatainak, mint az ingatlan-nyilvántartás, ipari létesítmények<br />
tervezése, stb. A nemzetközi <strong>vetületek</strong> az 1:10000 és kisebb méretarányú topográfiai<br />
térképek vetületei.<br />
Az eddig megismert <strong>vetületek</strong>kel szemben a vetítés közvetlenül az ellipszoidról történik<br />
a síkra. A <strong>vetületek</strong> az 1.2.2.11. pontban ismertetett csoportosítás szerint szögtartó, közvetlen<br />
vetítéső, transzverzális és valódi <strong>vetületek</strong>, amelyek azonban geometriailag nem szemléltethetıek,<br />
az ellipszoid és a sík közötti kapcsolat tisztán matematikai. Két vetületet sorolunk<br />
ide, a Gauss-Krüger vetületet és az UTM (Universal Transverse Mercator) vetületet.<br />
A Magyarországon használt Gauss-Krüger vetület alapfelülete a Kraszovszkijellipszoid,<br />
képfelülete az ellipszoidot az ellipszoidi meridiánok mentén érintı képzeletbeli<br />
henger. Az UTM vetület matematikai szempontból megegyezik a Gauss-Krüger vetülettel, vetítési<br />
törvényszerőségei hasonlók. Magyarországon használt változatának alapfelülete a GPS<br />
mérési eredmények WGS84 vonatkoztatási ellipszoidja, képfelülete pedig nem érinti, hanem<br />
metszi az ellipszoidot. Szelvényezési rendszere mindkét vetületnek olyan, hogy a Föld egységes<br />
lefedésére alkalmas.<br />
4.1. A Gauss-Krüger vetület<br />
Közép-meridián<br />
S<br />
+ x<br />
Közép-meridián<br />
képe<br />
Szegély-meridián<br />
Egyenlítı<br />
+ y<br />
Vetület<br />
Szegély-meridián<br />
képe<br />
4.1.-1. ábra: A Gauss-Krüger vetület<br />
A Gauss-Krüger vetület az 1950-es évektıl kezdve az akkori szocialista rendszer katonai<br />
együttmőködésének térképészeti alapját szolgáltatta azzal, hogy a vetület, mint már utaltunk<br />
rá, kiválóan alkalmas nagy területek egybefüggı, csatlakozó ábrázolására. A volt
126<br />
Szovjetúnió – melynek hatalmas területét az eddig ismertetett <strong>vetületek</strong>hez hasonló <strong>vetületek</strong>ben<br />
ábrázolni nem lehetett – a Gauss-Krüger vetületet 1946-ban vezette be, majd késıbb<br />
használatát a kelet- és közép-európai országokban is kezdeményezte. A hazánk területérıl<br />
rendelkezésre álló 1:25000 és 1:50000 méretarányú topográfiai térképek katonai térképek.<br />
A Gauss-Krüger vetület (4.1.-1. ábra) egymáshoz kapcsolódó vetületi rendszerek öszszessége<br />
(4.1.-2. ábra). A vetítés minden rendszernél az ellipszoidot kiválasztott ellipszoidi<br />
meridiánok mentén érintı - transzverzális – elhelyezéső ellipszoidi hengerek felületére történik.<br />
A hengerek csak képzeletbeliek, a vetítést rájuk tisztán matematikai megfontolások alapján<br />
(vagyis geometriailag nem szemléltethetıen) hajtják végre, abból a szempontból kiindulva,<br />
hogy a vetület szögtartó legyen. A kiválasztott ellipszoidi meridiánok a közép-meridiánok,<br />
az ellipszoidot az ún. meridiánellipszisek mentén érintik. Ezek képe a Gauss-Krüger vetületi<br />
rendszer egyenesként leképzıdı x tengelye. Az ellipszoidi egyenlítı képe a közép-meridiánra<br />
merıleges egyenesként leképzıdı y tengely.<br />
Az egymással szomszédos vetületi rendszerek alapját az egymáshoz képest ∆Λ<br />
szögértékkel<br />
elforgatott helyzető hengerek alkotják. Az egyes rendszerek önálló vetületi sávot képeznek<br />
és a szegély-meridiánok mentén csatlakoznak egymáshoz. Az egyes vetületi sávokon<br />
belül a <strong>vetületek</strong> törvényszerőségei teljesen megegyeznek, a vetület ezért alkalmas az egész<br />
földfelület egységes rendszerben történı ábrázolására.<br />
Az egyes vetületi sávok szélessége a vetület alkalmazásának céljától, illetve ezen keresztül<br />
a hossztorzulás megengedett mértékétıl függ. Magyarországon a topográfiai térképeknél<br />
a ∆ Λ = 6 -os, a nagyobb méretarányú térképezés céljára a ∆ Λ = 3 -os sávszélességet ál-<br />
o<br />
o<br />
o<br />
−4<br />
lapítottak meg. A 3 -os sávoknál a hossztorzulás mértéke a sávok szélein 1,8 ⋅ 10 , tehát a<br />
megengedett<br />
1<br />
10000<br />
közép-meridián<br />
értéket meghaladja. A<br />
+x +x +x<br />
Egyenlítı<br />
Egyenlítı<br />
képe<br />
+y<br />
szegély-meridián<br />
4.1.-2. ábra: A Gauss-Krüger vetületi sávok<br />
o<br />
6 -os sáv szélén a hossztorzulás mint-<br />
−4<br />
egy 6,7 ⋅ 10 .<br />
1<br />
A hossztorzulás mértéke a közép-meridiántól y ≈ ± 90 km-re éri el az U = értéket,<br />
ez Magyarországon mindössze 1 ,2 – nak, vagyis 2,4<br />
sávszélességnek felel meg. Az x<br />
10000<br />
o<br />
o<br />
tengely mentén – mivel az a közép-meridián képe – hossztorzulás nincs.
127<br />
4.1.1. A szögtartóság alapegyenletei<br />
Az eddig tárgyalt sík<strong>vetületek</strong>re egyaránt jellemzı, hogy felírhatók zárt alakban, s a<br />
vetületi számítások élességének a számítási élesség szab határt. A Gauss-Krüger vetület vetületi<br />
egyenletei zárt alakban nem írhatók fel.<br />
A lineármodulus négyzetét az 1.2.2.1. pontban a<br />
l<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
( dd<br />
) dx<br />
+ dy<br />
=<br />
2<br />
( ds) ( M ⋅ dΦ) 2 + ( r ⋅ dΛ) 2<br />
= . (1.2.2.1.-5)<br />
összefüggéssel adtuk meg. Alakítsuk át az (1.2.2.1.-5) összefüggést:<br />
A (4.1.1.-1)-ben<br />
2 2<br />
2 dx<br />
+ dy<br />
l =<br />
. (4.1.1.-1)<br />
2<br />
⎡⎛<br />
⎞ ⎤<br />
2 M<br />
2<br />
r ⋅ ⎢⎜<br />
⋅ dΦ⎟<br />
+ dΛ<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
⎝ r ⎠ ⎥⎦<br />
M – a meridián irányú görbületi sugár (1.2.1.2.-6. képlet) és<br />
Vezessük be az<br />
r = N ⋅ cosΦ<br />
. (1.2.2.1.-4)<br />
M<br />
r<br />
M<br />
⋅ d Φ = ⋅ dΦ<br />
= dΨ<br />
N ⋅ cosΦ<br />
(4.1.1.-2)<br />
jelölést.<br />
Írjunk a továbbiakban d Λ helyett dL<br />
-t.<br />
L = Λ − Λ 0<br />
- a közép-meridiántól számított, attól keletre pozitív, nyugatra negatív elıjelő ellipszoidi<br />
földrajzi hosszúság.<br />
Helyettesítsük (4.1.1.-2)-t a (4.1.1.-1)-be:<br />
l<br />
2<br />
=<br />
r<br />
2<br />
dx<br />
⋅<br />
2<br />
+ dy<br />
2<br />
2 2<br />
( dΨ<br />
+ dL<br />
)<br />
. (4.1.1.-3)<br />
Írjuk fel a (4.1.1.-3)-t komplex változókkal:<br />
l<br />
2<br />
=<br />
r<br />
2<br />
⋅<br />
( dx<br />
+ i ⋅ dy) ⋅ ( dx<br />
− i ⋅ dy)<br />
( dΨ<br />
+ i ⋅ dL) ⋅ ( dΨ<br />
− i ⋅ dL)<br />
=<br />
r<br />
2<br />
d<br />
⋅<br />
( x + i ⋅ y) ⋅ d( x − i ⋅ y)<br />
d( Ψ + i ⋅ L) ⋅ d( Ψ − i ⋅ L)<br />
, (4.1.1.-4)<br />
ahol i = −1<br />
. A számlálóban és a nevezıben a kijelölt mőveletet elvégezve<br />
és<br />
d<br />
2<br />
2 2 2<br />
( −1) ⋅ dy<br />
= dx<br />
dy<br />
2<br />
x −<br />
+<br />
d<br />
2<br />
2 2 2<br />
( −1) ⋅ dL = dΨ<br />
+ dL<br />
2<br />
Ψ −<br />
.
128<br />
A (4.1.1.-4) a lineármodulus négyzete tetszıleges vetületre. Szögtartóság esetén az l<br />
lineármodulus minden irányban egyenlı, azaz független az (1.2.2.1.-5) képletbeli d s iránytól.<br />
A vetületi egyenleteknek tehát olyanoknak kell lenniük, hogy a (4.1.1.-4) kifejezéssel adott<br />
d y<br />
lineármodulus független legyen a d d , vagy a d s végtelen kis szakaszokat meghatározó ,<br />
dx<br />
dΨ<br />
vagy a differenciálhányadosoktól.<br />
dL<br />
Az<br />
x + i ⋅ y = f Ψ + i ⋅ ,<br />
( ) (a)<br />
1<br />
L<br />
vagy az<br />
( − i ⋅ ) (b)<br />
x − i ⋅ y = f Ψ (4.1.1.-5)<br />
2<br />
L<br />
összefüggésekben az x + i ⋅ y a Ψ + i ⋅ L , az x − i ⋅ y a Ψ − i ⋅ L valamilyen analitikus függvénye,<br />
ekkor a (4.1.1.-4)-ben<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
( x + i ⋅ y)<br />
( Ψ + i ⋅ L)<br />
( x − i ⋅ y)<br />
( Ψ − i ⋅ L)<br />
= f ′<br />
1<br />
= f ′<br />
2<br />
( Ψ + i ⋅ L)<br />
(a)<br />
( Ψ − i ⋅ L) , (b)<br />
vagy, a (4.1.1.-6/a) és a (4.1.1.-6/b) kifejezéseket visszaírva a (4.1.1.-4)-be:<br />
Az f ′<br />
1<br />
( Ψ + i ⋅ L)<br />
és az f ′ ( Ψ − i ⋅ L)<br />
l<br />
2<br />
1<br />
= ⋅ f ′<br />
Ψ<br />
2 1<br />
2<br />
r<br />
( Ψ + i ⋅ L) ⋅ f ′ ( − i ⋅ L)<br />
(4.1.1.-6)<br />
. (4.1.1.-7)<br />
2<br />
deriváltak a (4.1.1.-5/a) és (4.1.1.-5/b) feltételek mellett<br />
dy dΨ<br />
csak az x, y és Ψ , L koordinátáktól függnek, de függetlenek azok és differenciálhányadosaitól.<br />
Következésképpen utóbbiaktól függetlenek a (4.1.1.-4) és a (4.1.1.-7) össze-<br />
dx dL<br />
függések is.<br />
Az<br />
x + i ⋅ y =<br />
x − i ⋅ y =<br />
f<br />
f<br />
1<br />
2<br />
( Ψ + i ⋅ L)<br />
(a)<br />
( Ψ − i ⋅ L) (b)<br />
(4.1.1.-5)<br />
egyenleteket a szögtartóság alapegyenleteinek nevezzük. A szögtartóság biztosításához a<br />
(4.1.1.-5) egyenleteknek végesnek és folytonosnak kell lenniük.<br />
4.1.2. Vetületi egyenletek<br />
Fejtsük Taylor-sorba az<br />
függvényt:<br />
( + i ⋅ L)<br />
x + i ⋅ y = f Ψ (4.1.2.-1)
129<br />
x + i ⋅ y = f<br />
+<br />
( Ψ )<br />
2 2<br />
3 3<br />
( Ψ ) ( i ⋅ L) d f ( Ψ ) ( i ⋅ L) d f ( Ψ )<br />
4 4<br />
5 5<br />
6 6<br />
( i ⋅ L) d f ( Ψ ) ( i ⋅ L) d f ( Ψ ) ( i ⋅ L) d f ( Ψ )<br />
4!<br />
⋅<br />
i ⋅ L df<br />
+ ⋅<br />
1! dΨ<br />
dΨ<br />
4<br />
+<br />
5!<br />
+<br />
⋅<br />
2!<br />
dΨ<br />
⋅<br />
5<br />
dΨ<br />
+<br />
2<br />
6!<br />
+<br />
⋅<br />
3!<br />
dΨ<br />
⋅<br />
6<br />
dΨ<br />
+ ...<br />
+<br />
(4.1.2.-2)<br />
Igaz továbbá, hogy<br />
i =<br />
2<br />
−1 , i<br />
3<br />
= −1, i<br />
4<br />
= −i<br />
, i = + 1, 5<br />
i = i,<br />
6<br />
i = −1.<br />
A fenti helyettesítésekkel írhatjuk:<br />
df<br />
x + i ⋅ y = f ( Ψ ) + i ⋅ L ⋅<br />
dΨ<br />
4 4<br />
L d f<br />
+ ⋅<br />
4<br />
24 dΨ<br />
120<br />
2 2<br />
3 3<br />
( Ψ ) L d f ( Ψ ) L d f ( Ψ )<br />
−<br />
2<br />
5 5<br />
6 6<br />
( Ψ ) L d f ( Ψ ) L d f ( Ψ )<br />
+ i ⋅ ⋅ − ⋅ .<br />
dΨ<br />
⋅<br />
5<br />
dΨ<br />
2<br />
720<br />
− i ⋅<br />
6<br />
dΨ<br />
6<br />
⋅<br />
dΨ<br />
3<br />
+<br />
(4.1.2.-3)<br />
Különítsük el a valós és a komplex tagokat:<br />
x =<br />
2 2<br />
L d f<br />
f ( Ψ ) − ⋅ + ⋅<br />
2<br />
2 dΨ<br />
24<br />
df<br />
y = L ⋅ − ⋅<br />
3<br />
dΨ<br />
6 dΨ<br />
4 4<br />
6 6<br />
( Ψ ) L d f ( Ψ ) L d f ( Ψ )<br />
dΨ<br />
3 3<br />
5 5<br />
( Ψ ) L d f ( Ψ ) L d f ( Ψ )<br />
4<br />
+ ⋅<br />
120<br />
− ⋅<br />
720<br />
dΨ<br />
5<br />
dΨ<br />
6<br />
(a)<br />
(b)<br />
(4.1.2.-4)<br />
Az f függvény meghatározásához az alábbi feltételeket vezetik be:<br />
− az ellipszoidi közép-meridiánok képe egyenes (4.1.2-1. ábra), ez az x abszcissza-tengely,<br />
ezért a (4.1.2.-1) összefüggésben L = 0 mellett = 0 x = f Ψ ,<br />
y , azaz ( )<br />
Közép-meridián<br />
+ x<br />
Közép-meridián képe<br />
B<br />
A’<br />
É<br />
P’<br />
A<br />
x = B<br />
y<br />
P<br />
K<br />
Egyenlítı<br />
K<br />
Egyenlítı képe<br />
+ y<br />
a) b)<br />
D<br />
Vetület<br />
4.1.2.-1. ábra: Gauss-Krüger helymeghatározó adatok<br />
− a közép-meridiánokon lévı pontokra az x abszcissza értékek az ellipszoidi egyenlítıtıl<br />
számított B meridiánív-hosszakkal egyenlık:<br />
( ) B<br />
x = f Ψ = . (4.1.2.-5)
130<br />
Helyettesítsünk f ( Ψ ) = B<br />
-t a (4.1.2.-4) összefüggésekbe:<br />
2 2 4 4 6 6<br />
L d B L d B L d B<br />
x = B − ⋅ + ⋅ − ⋅<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2 dΨ<br />
24 dΨ<br />
720 dΨ<br />
3 3 5 5<br />
dB<br />
L d B L d B<br />
y = L ⋅ − ⋅ + ⋅<br />
3<br />
5<br />
dΨ<br />
6 dΨ<br />
120 dΨ<br />
j<br />
d B<br />
Fejezzük ki a ( j = 1,2,3,4,5 ) differenciálhányadosokat!<br />
j<br />
dΨ<br />
dB<br />
dB<br />
dΦ<br />
= ⋅ ,<br />
dΨ<br />
dΦ<br />
dΨ<br />
dΦ<br />
r N ⋅ cosΦ<br />
= = .<br />
dΨ<br />
M M<br />
(a)<br />
(b)<br />
(4.1.2.-6)<br />
Az elemi meridiánív az elemi dΦ<br />
ellipszoidi földrajzi szélességváltozásnál:<br />
következésképpen<br />
Továbbá<br />
2<br />
d B<br />
2<br />
dΨ<br />
Tudjuk, hogy<br />
d B = M ⋅ dΦ<br />
,<br />
dB<br />
= M ,<br />
dΦ<br />
dB<br />
N ⋅ cosΦ<br />
= M ⋅ = N ⋅ cosΦ<br />
= r .<br />
dΨ<br />
M<br />
(4.1.2.-7)<br />
dr<br />
dr<br />
dΦ<br />
dr<br />
r dr<br />
N ⋅ cosΦ<br />
= = ⋅ = ⋅ = ⋅ .<br />
dΨ<br />
dΦ<br />
dΨ<br />
dΦ<br />
M dΦ<br />
M<br />
(4.1.2.-8)<br />
c c<br />
2 2<br />
N = , M = és V = 1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ . (4.1.2.-9)<br />
3<br />
V V<br />
A szorzat deriváltjának képzési szabálya szerint<br />
dr<br />
d<br />
=<br />
dΦ<br />
( N ⋅ cosΦ<br />
)<br />
dΦ<br />
⎛ c ⎞<br />
d⎜<br />
⋅ cosΦ<br />
⎟<br />
⎝V<br />
=<br />
⎠<br />
dΦ<br />
c<br />
= −<br />
V<br />
dV<br />
c<br />
⋅ ⋅ cosΦ<br />
−<br />
dΦ<br />
V<br />
2<br />
⋅<br />
sinΦ<br />
. (4.1.2.-10)<br />
A 3.1.1.1. fejezetben, a (3.1.1.1.-5) képlet után meghatároztuk a<br />
dV<br />
e′<br />
= −<br />
dΦ<br />
2<br />
⋅ cos<br />
V<br />
2<br />
Φ sinΦ<br />
⋅ .<br />
cosΦ<br />
dV<br />
dΦ<br />
differenciálhányadost:<br />
Visszahelyettesítve a (4.1.2.-10)-be:
131<br />
d r c 2 sinΦ<br />
c<br />
= ⋅ e′<br />
⋅ cos<br />
2 Φ ⋅ ⋅ cosΦ<br />
− ⋅ sinΦ<br />
.<br />
3<br />
dΦ<br />
V<br />
cosΦ<br />
V<br />
A kifejezés jobb oldalából emeljünk ki<br />
− c<br />
Φ<br />
V ⋅sin -t:<br />
3<br />
2 2 2<br />
mert − e ′ ⋅ cos Φ + V = 1.<br />
2 2 2 c<br />
( − e′<br />
⋅ cos Φ + V ) = − sinΦ<br />
dr<br />
c<br />
= − ⋅ sinΦ<br />
⋅<br />
⋅<br />
3 3<br />
dΦ<br />
V<br />
V<br />
A (4.1.2.-11) jobb oldalát írjuk be a (4.1.2.-8)-ba, végül:<br />
, (4.1.2.-11)<br />
2<br />
d B c N ⋅ cosΦ<br />
N ⋅ cosΦ<br />
= − ⋅sinΦ<br />
⋅ = −M<br />
⋅ sinΦ<br />
⋅ = −N<br />
⋅ cosΦ<br />
⋅sinΦ<br />
= −r<br />
⋅ sinΦ<br />
.<br />
2 3<br />
dΨ<br />
V<br />
M<br />
M<br />
(4.1.2.-12)<br />
3<br />
d B differenciálhányados:<br />
dψ<br />
A<br />
3<br />
továbbá<br />
d<br />
3<br />
d B<br />
3<br />
dΨ<br />
( − r ⋅ sin )<br />
dΦ<br />
d<br />
=<br />
( − r ⋅sinΦ<br />
) d( − r ⋅ sinΦ<br />
) dΦ<br />
d( − r ⋅ sinΦ<br />
)<br />
dΨ<br />
=<br />
dΦ<br />
⋅ =<br />
dΨ<br />
dΦ<br />
⋅<br />
r<br />
M<br />
,<br />
(4.1.2.-13)<br />
⎛ c<br />
⎞<br />
d⎜−<br />
⋅ cosΦ<br />
⋅sinΦ<br />
⎟<br />
⎝ V<br />
⎠ c dV<br />
c 2 c<br />
=<br />
= ⋅ ⋅ cosΦ<br />
⋅ sinΦ<br />
+ ⋅sin<br />
Φ − ⋅ cos<br />
2<br />
dΦ<br />
V dΦ<br />
V V<br />
Φ 2<br />
2 2<br />
c e′<br />
⋅ cos Φ sin<br />
= − ⋅ ⋅<br />
Φ c 2 c<br />
⋅ cosΦ<br />
⋅ sinΦ<br />
+ ⋅sin<br />
Φ − ⋅ cos<br />
2 Φ =<br />
2<br />
V V cosΦ<br />
V V<br />
c 2 2 2 c 2 c 2<br />
= − ⋅ e′<br />
⋅ cos Φ ⋅sin<br />
Φ + ⋅ sin Φ − ⋅ cos Φ =<br />
3<br />
V<br />
V V<br />
2 2 2 c 2<br />
2<br />
2<br />
( − e′<br />
⋅ cos Φ + V ) − ⋅ cos Φ = M ⋅sin<br />
Φ − ⋅ Φ<br />
c 2<br />
= ⋅ sin Φ ⋅<br />
N cos ,<br />
3<br />
V<br />
V<br />
1<br />
(4.1.2.-14)<br />
2 2 2 c c<br />
mert − e ′ ⋅ cos Φ + V = 1, = N és = M .<br />
3<br />
V V<br />
Helyettesítsünk be a (4.1.2.-13)-ba:<br />
Φ =<br />
3<br />
B<br />
3<br />
dΨ<br />
d<br />
=<br />
( − r ⋅sinΦ<br />
) r<br />
2<br />
N ⋅ cosΦ<br />
⋅ = ( ⋅ Φ − ⋅ Φ ) ⋅ =<br />
d 2<br />
dΦ<br />
M<br />
M<br />
sin<br />
N<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
2 N 3<br />
3<br />
⎛ N sin Φ ⎞<br />
= N ⋅ sin Φ ⋅ cosΦ<br />
− ⋅ cos Φ = −N<br />
⋅ cos Φ ⋅<br />
⎜ −<br />
⎟ .<br />
2<br />
M<br />
⎝ M cos Φ ⎠<br />
M
133<br />
összefüggésbıl (1.2.2.1. pont)! A közép-meridiánon dΛ = 0 , így<br />
Az (1.2.1.2.-5) és az (1.2.1.2.-6) szerint írhatjuk:<br />
ds<br />
= M ⋅ dΦ<br />
. (4.1.3.-1)<br />
B =<br />
Φ<br />
0<br />
1<br />
∫<br />
ds<br />
=<br />
= a ⋅<br />
Φ<br />
0<br />
1<br />
∫<br />
M ⋅ dΦ<br />
= c ⋅<br />
2<br />
( 1−<br />
e )<br />
⋅<br />
Φ<br />
0<br />
1<br />
∫<br />
Φ<br />
0<br />
1<br />
∫<br />
2 2<br />
( 1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ )<br />
dΦ<br />
dΦ<br />
( ) .<br />
2 2 3<br />
1−<br />
e ⋅sin<br />
Φ<br />
3<br />
=<br />
(4.1.3.-2)<br />
A (4.1.3.-2) kifejezés zárt formában nem integrálható, ezért képezzük az alábbi negatív kitevıjő<br />
binomiális sort az e 10. hatványáig:<br />
1<br />
2 2<br />
( 1−<br />
e ⋅sin<br />
Φ )<br />
3⋅5<br />
⋅ 7<br />
+ ⋅ e<br />
2 ⋅ 4 ⋅ 6<br />
+<br />
6<br />
3<br />
⋅ sin<br />
35<br />
⋅ e<br />
16<br />
6<br />
6<br />
=<br />
2 2<br />
( 1−<br />
e ⋅ sin Φ )<br />
3⋅<br />
5⋅<br />
7 ⋅9<br />
Φ + ⋅ e<br />
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8<br />
3 2<br />
= 1+<br />
⋅ e ⋅sin<br />
2<br />
6 315<br />
⋅sin<br />
Φ + ⋅ e<br />
128<br />
8<br />
2<br />
8<br />
3<br />
−<br />
2<br />
⋅ sin<br />
⋅sin<br />
= 1+<br />
8<br />
15<br />
Φ + ⋅ e<br />
8<br />
8<br />
3<br />
2<br />
⋅ e<br />
2<br />
⋅ sin<br />
3⋅5<br />
Φ + ⋅ e<br />
2 ⋅ 4<br />
3⋅5<br />
⋅ 7 ⋅ 9 ⋅11<br />
Φ +<br />
⋅ e<br />
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8⋅10<br />
Φ +<br />
4<br />
⋅sin<br />
693<br />
256<br />
4<br />
⋅ e<br />
2<br />
Φ +<br />
10<br />
⋅ sin<br />
10<br />
10<br />
4<br />
⋅sin<br />
Φ + K =<br />
⋅ sin<br />
10<br />
4<br />
Φ +<br />
Φ + K =<br />
Ismeretesen, egy szög sinusának páros kitevıjő hatványait kifejezhetjük a szög páros számú<br />
többszörösei cosinusainak függvényében, pld.<br />
mert<br />
2<br />
⎡ 1<br />
2<br />
2 2 ⋅sin<br />
Φ 2<br />
⎤<br />
( 1−<br />
cos 2Φ<br />
) = ⋅ ( 1−<br />
cos Φ + sin Φ ) = = sin ⎥ ⎦<br />
2 1<br />
sin Φ = ⋅ ⎢<br />
Φ ,<br />
2<br />
⎣ 2<br />
2<br />
=<br />
4<br />
2 2<br />
sin Φ = sin Φ ⋅ sin Φ =<br />
1<br />
8<br />
⋅<br />
cos<br />
s így tovább a sin<br />
10 Φ -ig.<br />
1<br />
4<br />
⋅<br />
2<br />
( 1−<br />
2 ⋅ cos 2Φ<br />
+ cos 2Φ<br />
)<br />
( 2 − 4 ⋅ cos 2Φ<br />
+ 1+<br />
cos 4Φ<br />
) = ⋅ ( cos 4Φ<br />
− 4 ⋅ cos 2Φ<br />
+ 3)<br />
2<br />
1<br />
8<br />
2 1<br />
1 1<br />
2Φ = 1−<br />
sin 2Φ<br />
= 1−<br />
⋅ (1 − cos 4Φ<br />
) = + ⋅ cos 4Φ<br />
,<br />
2<br />
2 2<br />
A (4.1.3.-2) integrál alatti törtet, a Φ szög páros számú többszöröseinek cosinusai szerint rendezve,<br />
felírhatjuk az alábbi alakban:<br />
3<br />
2 2 −<br />
( 1−<br />
⋅sin<br />
Φ ) 2 = A − B ⋅ cos 2Φ<br />
+ C ⋅ cos 4Φ<br />
− D ⋅ cos 6Φ<br />
+ E ⋅ cos8Φ<br />
− F ⋅ cos10Φ<br />
e .<br />
=<br />
,<br />
(4.1.3.-3)
134<br />
Az A, B, C, D, E, F együtthatók értékeit a 4.1.3.-1 táblázatban foglaljuk össze:<br />
4.1.3.-1. táblázat: Együtthatók a meridiánív számításához<br />
0<br />
e<br />
A +1<br />
B<br />
C<br />
D<br />
E<br />
F<br />
2<br />
e<br />
3<br />
+<br />
4<br />
3<br />
+<br />
4<br />
4<br />
e<br />
45<br />
+<br />
64<br />
15<br />
+<br />
16<br />
15<br />
+<br />
64<br />
6<br />
e<br />
175<br />
+<br />
256<br />
525<br />
+<br />
512<br />
105<br />
+<br />
256<br />
35<br />
+<br />
512<br />
8<br />
e<br />
11025<br />
+<br />
16384<br />
2205<br />
+<br />
2048<br />
2205<br />
+<br />
4096<br />
315<br />
+<br />
2048<br />
315<br />
+<br />
16384<br />
10<br />
e<br />
43659<br />
+<br />
65536<br />
72765<br />
+<br />
65536<br />
10395<br />
+<br />
16384<br />
31185<br />
+<br />
131072<br />
3465<br />
+<br />
65536<br />
693<br />
+<br />
131072<br />
A 4.1.3.-1. táblázatban az oszlopok és sorok találkozásainál lévı számok mindig az e elsı<br />
numerikus excentricitás megfelelı hatványaival szorzandók.. Az A…F együtthatókat a szorzatok<br />
összege adja meg. A B együttható nem tévesztendı össze az ugyanilyen jelöléső B meridiánívvel!<br />
A (4.1.3.-3) kifejezést a (4.1.3.-2)-be helyettesítve, az már tagonként integrálható. Integrálás<br />
után az ellipszoidi meridiánív hossza:<br />
2 ⎛ B C D E F ⎞<br />
( 1−<br />
e ) ⋅⎜<br />
A⋅Φ − ⋅sin 2Φ<br />
+ ⋅sin 4Φ<br />
− ⋅ sin 6Φ<br />
+ ⋅sin 8Φ<br />
− ⋅sin10<br />
⎟<br />
⎠<br />
B = a ⋅<br />
Φ .<br />
⎝ 2 4 6 8 10<br />
(4.1.3.-4)<br />
Az adott ellipszoid paramétereinek függvényében az a fél nagytengely és az e excentricitás<br />
behelyettesítésével a B ellipszoidi meridiánív a Φ ellipszoidi földrajzi szélesség függvényében<br />
számítható. Ha a Φ pld. szögfokban adott, úgy az (4.1.3.-4) összefüggésben az<br />
A ⋅Φ tagot az 1 radián megfelelı értékével még osztani kell.<br />
4.1.4. Inverz vetületi egyenletek<br />
A<br />
x + i ⋅ y =<br />
x − i ⋅ y =<br />
f<br />
f<br />
1<br />
2<br />
( Ψ + i ⋅ L)<br />
(a)<br />
( Ψ − i ⋅ L) (b)<br />
, (4.1.1.-5)<br />
összefüggések módosításával kiinduló függvényeink legyenek az alábbiak:<br />
Ψ + i ⋅ L = F<br />
Ψ − i ⋅ L = F<br />
Fejtsük Taylor-sorba a (4.1.4.-1) függvényeket:<br />
( x + i ⋅ y)<br />
(a)<br />
( x − i ⋅ y) (b)<br />
. (4.1.4.-1)
135<br />
Ψ +<br />
dF<br />
i ⋅ L = F( x)<br />
+ i ⋅ y ⋅<br />
dx<br />
4 4<br />
y d F<br />
+ ⋅<br />
4<br />
24 dx<br />
2 2<br />
3 3<br />
( x) y d F( x) y d F( x)<br />
−<br />
2<br />
5 5<br />
( x) y d F( x) + i ⋅ ⋅ ,<br />
120<br />
⋅<br />
dx<br />
dx<br />
5<br />
2<br />
− i ⋅<br />
6<br />
⋅<br />
dx<br />
3<br />
+<br />
Ψ −<br />
dF<br />
i ⋅ L = F( x)<br />
− i ⋅ y ⋅<br />
dx<br />
4 4<br />
y d F<br />
+ ⋅ −<br />
4<br />
24 dx<br />
2 2<br />
3 3<br />
( x) y d F( x) y d F( x)<br />
−<br />
2<br />
5 5<br />
( x) y d F( x) i<br />
.<br />
⋅<br />
⋅ ⋅<br />
120<br />
dx<br />
dx<br />
5<br />
2<br />
+ i ⋅<br />
6<br />
⋅<br />
dx<br />
3<br />
+<br />
(4.1.4.-2)<br />
A (4.1.4.-2) összefüggések összeadásával és kivonásával kapjuk (az utóbbi esetben i-vel egyszerősítünk):<br />
4 4<br />
( x) y d F( x) + ⋅ ,<br />
2 2<br />
y d F<br />
Ψ = F( x)<br />
− ⋅<br />
(a)<br />
2<br />
4<br />
2 dx<br />
24 dx<br />
3 3<br />
5 5<br />
( x) y d F( x) y d F( x) − ⋅ + ⋅ .<br />
dF<br />
L = y ⋅<br />
(b) (4.1.4.-3)<br />
3<br />
5<br />
dx<br />
6 dx 120 dx<br />
Vezessük be az alábbi feltételeket:<br />
1. y = 0 mellett L = 0 ,<br />
2. F ( x)<br />
= Ψ1<br />
, (4.1.4.-4)<br />
ahol Ψ<br />
1<br />
a Φ<br />
1<br />
ellipszoidi földrajzi szélességnek megfelelı ún. izometrikus szélesség. A Ψ<br />
1<br />
a<br />
M<br />
r<br />
d M<br />
⋅ Φ = ⋅ dΦ<br />
dΨ<br />
N ⋅ cosΦ<br />
=<br />
(4.1.1.-2)<br />
függvény integrálja a Φ<br />
1<br />
helyen. A (4.1.1.-2) integrált a 3.1 pontban már meghatároztuk:<br />
d<br />
e<br />
⎡<br />
⎤<br />
M Φ<br />
1 sin<br />
ln⎢<br />
⎛ Φ π ⎞ ⎛ − e ⋅ Φ ⎞<br />
Ψ = tan ⎜ ⎟<br />
2<br />
⎥<br />
∫ ⋅ = ⎜ + ⎟ ⋅<br />
. (4.1.4.-5)<br />
N cosΦ<br />
⎢ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+<br />
e ⋅ sinΦ<br />
⎠ ⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
A képletbe Φ1<br />
-t helyettesítve, kapjuk:<br />
e<br />
⎡<br />
⎤<br />
1 sin<br />
2<br />
ln<br />
⎢ ⎛ Φ1<br />
π ⎞ ⎛ − e ⋅ Φ1<br />
⎞<br />
Ψ<br />
1<br />
= tan⎜<br />
+ ⎟ ⋅<br />
⎥<br />
.<br />
⎢ 2 4<br />
⎜<br />
1 sin<br />
⎟<br />
(4.1.4.-6)<br />
⎝ ⎠<br />
⎥<br />
1<br />
⎢<br />
⎝ + e ⋅ Φ ⎠<br />
⎣<br />
⎥⎦<br />
A 2. feltételt a 4.1.4.-1/a. és a 4.1.4.-1/b. ábrák alapján láthatjuk be: a 4.1.4.-1/b. ábrán a P<br />
pont x koordinátája ( x = KT1<br />
) ugyanis y = 0 és L = 0 mellett egyenlı az ellipszoidi K T′<br />
1<br />
meridiánív egyenlítıtıl számított hosszával (4.1.4.-1/a. ábra).
136<br />
x<br />
K<br />
Ellipszoid<br />
É<br />
T 1 ’<br />
P’<br />
T’ Szélességi kör<br />
B<br />
Egyenlítı<br />
x<br />
+ x<br />
T 1<br />
T<br />
K<br />
P<br />
Szélességi kör képe<br />
B<br />
+ y<br />
Egyenlítı képe<br />
a) b)<br />
D<br />
Vetület<br />
4.1.4.-1. ábra: x = K T 1<br />
′ = KT1<br />
, y = 0 és L = 0 mellett F ( x)<br />
= Ψ1<br />
a – az ellipszoidon, b – a vetületen<br />
A (4.1.4.-4) feltételekkel a (4.1.4.-3/a) és a (4.1.4.-3/b) egyenletek a<br />
Ψ = Ψ<br />
y<br />
2<br />
⎛ d Ψ ⎞<br />
⋅ ⎜ ⎟<br />
2<br />
⎝ dx<br />
⎠<br />
4 4<br />
y ⎛ d Ψ ⎞<br />
+ ⋅ ⎜<br />
4<br />
24 ⎝ dx ⎠<br />
2<br />
1<br />
−<br />
⎟<br />
2<br />
1<br />
1<br />
,<br />
(a)<br />
L =<br />
⎛ dΨ<br />
⎞<br />
y ⋅ ⎜ ⎟<br />
⎝ dx<br />
⎠<br />
1<br />
−<br />
y<br />
6<br />
3<br />
3<br />
⎛ d Ψ ⎞<br />
⋅ ⎜ ⎟<br />
3<br />
⎝ dx ⎠<br />
1<br />
5 5<br />
y ⎛ d Ψ ⎞<br />
+ ⋅ ⎜ ⎟<br />
5<br />
120 ⎝ dx<br />
⎠<br />
1<br />
.<br />
(b) (4.1.4.-7)<br />
alakot öltik, ahol az 1 indexek a derivált képzés helyére utalnak. A (4.1.4.-5) és (4.1.4.-6) öszszefüggések<br />
alapján általánosan<br />
( ) = Φ[ Ψ + ( Ψ −Ψ<br />
)]<br />
Φ = Φ Ψ<br />
1<br />
Φ = Φ ( Ψ ).<br />
1<br />
1<br />
1<br />
,<br />
(4.1.4.-8)<br />
Taylor-sorba fejtéssel és a Ψ − Ψ1<br />
(4.1.4.-7/a) összefüggésbıl kifejezhetı értékének behelyettesítésével:<br />
⎡ y<br />
Φ = Φ − ⎢<br />
⎢⎣<br />
A továbbiakban, mivel, mint láttuk,<br />
és<br />
2<br />
⎛ d Ψ ⎞<br />
⋅ ⎜ ⎟<br />
2<br />
⎝ dx<br />
⎠<br />
dx<br />
= M ⋅ dΦ<br />
(1.2.2.1. pont), kapjuk:<br />
4 4<br />
y ⎛ d Ψ ⎞<br />
+ ⋅ ⎜ ⎟<br />
4<br />
24 ⎝ dx ⎠<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⎥ ⋅<br />
1<br />
1 ⎥<br />
⎤<br />
⎦<br />
dΦ<br />
. (4.1.4.-9)<br />
dΨ<br />
M<br />
dΨ = ⋅ dΦ<br />
(4.1.4.-10)<br />
N ⋅ cosΦ<br />
dΨ<br />
=<br />
dx<br />
1 1<br />
= ,<br />
N ⋅ cosΦ<br />
r<br />
⎛ dΨ<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dx<br />
⎠<br />
=<br />
N<br />
⋅<br />
1<br />
cos<br />
1 1<br />
Φ1<br />
. (4.1.4.-11)
137<br />
A (4.1.4-10)-bıl<br />
⎛ dΦ<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dΨ<br />
⎠<br />
1<br />
=<br />
N<br />
1<br />
⋅ cosΦ1<br />
. (4.1.4.-12)<br />
M<br />
1<br />
Képezzük a második deriváltakat:<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
2<br />
d⎜<br />
⎟ d⎜<br />
⎟<br />
d Ψ r r dΦ<br />
1 dr<br />
dΦ<br />
=<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎝ ⎠<br />
⋅ = − ⋅ ⋅ , (4.1.4.-13)<br />
2<br />
2<br />
dx<br />
dx<br />
dΦ<br />
dx<br />
r dΦ<br />
dx<br />
ahol<br />
dΦ<br />
=<br />
dx<br />
1<br />
M<br />
a<br />
dx<br />
= M ⋅ dΦ<br />
miatt. Képezzük a<br />
dr<br />
d<br />
=<br />
dΦ<br />
( N ⋅ cosΦ<br />
)<br />
dΦ<br />
dr<br />
dΦ<br />
deriváltat:<br />
⎡<br />
d⎢a<br />
⋅<br />
= −N<br />
⋅sinΦ<br />
+ cosΦ<br />
⋅<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎢a<br />
⋅ e<br />
= −N<br />
⋅sinΦ<br />
+ cosΦ<br />
⋅<br />
⎢<br />
⎣<br />
2<br />
⎤<br />
⋅sinΦ<br />
⋅ cosΦ<br />
⎥ =<br />
3<br />
⎥<br />
2<br />
⎦<br />
2 2<br />
( 1−<br />
e ⋅ sin Φ )<br />
2 2<br />
( 1−<br />
e ⋅sin<br />
Φ )<br />
dΦ<br />
1<br />
−<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
⎡<br />
2 2<br />
⎤<br />
2 2<br />
a ⋅ e ⋅ cos Φ<br />
⎡ e ⋅ cos Φ ⎤<br />
= −N ⋅ sinΦ ⋅ ⎢1<br />
−<br />
⎥ = −N<br />
⋅ sinΦ<br />
⋅ ⎢1<br />
−<br />
⎥ ,<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
⎢⎣<br />
N ⋅ ( 1−<br />
e ⋅sin<br />
Φ ) ⋅ 1−<br />
e ⋅ sin Φ ⎥⎦<br />
⎣ 1−<br />
e ⋅ sin Φ ⎦<br />
mert<br />
a a<br />
N = =<br />
(1.2.1.2.-7. képlet). Végül<br />
W<br />
2 2<br />
1−<br />
e ⋅ sin Φ<br />
dr<br />
⎡1−<br />
e<br />
= −N<br />
⋅ sinΦ<br />
⋅ ⎢<br />
dΦ<br />
⎣<br />
2<br />
2 2<br />
⋅sin<br />
Φ − e ⋅ cos<br />
2 2<br />
1−<br />
e ⋅sin<br />
Φ<br />
2<br />
Φ ⎤<br />
⎥ = −<br />
⎦<br />
1−<br />
e<br />
2<br />
a<br />
⋅sin<br />
2<br />
2<br />
⎡ 1−<br />
e<br />
⋅ sinΦ<br />
⋅ ⎢ 2<br />
Φ ⎣1−<br />
e ⋅sin<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
Φ ⎦<br />
és<br />
2<br />
a ⋅ ( 1−<br />
e )<br />
mert M =<br />
3<br />
2 2<br />
( 1−<br />
e ⋅ sin Φ) 2<br />
2<br />
a ⋅ ( 1−<br />
e )<br />
2 2<br />
( 1−<br />
e ⋅sin<br />
Φ )<br />
dr<br />
= −<br />
⋅sinΦ<br />
= −M<br />
⋅sinΦ<br />
, (4.1.4.-14)<br />
3<br />
dΦ<br />
(1.2.1.2.-6. képlet).<br />
Visszahelyettesítve a (4.1.4.-13)-ba:<br />
2<br />
d Ψ 1<br />
1 sinΦ<br />
= − ⋅ ( − M ⋅sinΦ<br />
) ⋅ = . (4.1.4.-15)<br />
2 2<br />
2<br />
dx<br />
r<br />
M r<br />
2<br />
A (4.1.4.-15) értéke a Φ<br />
1<br />
helyen:
138<br />
2<br />
⎛ d Ψ ⎞<br />
⎜<br />
2<br />
d<br />
⎟<br />
⎝ x ⎠<br />
1<br />
sinΦ<br />
=<br />
1<br />
2<br />
r1<br />
=<br />
N<br />
2<br />
1<br />
sinΦ<br />
1<br />
2<br />
⋅ cos Φ<br />
1<br />
=<br />
tanΦ1<br />
. (4.1.4.-16)<br />
N ⋅ cosΦ<br />
2<br />
1<br />
1<br />
A magasabb rendő deriváltak képzése, valamint a (4.1.4.-7/b) és a (4.1.4.-9) képletekbe helyettesítés,<br />
ill. algebrai átalakítások után az ellipszoidi földrajzi koordinátákat minden gyakorlati<br />
esetet kielégítı pontossággal az alábbi összefüggésekbıl számíthatjuk:<br />
y<br />
Φ = Φ1<br />
−<br />
2 ⋅ M<br />
1<br />
2<br />
⋅ N<br />
1<br />
2<br />
⎧ y<br />
⎪1<br />
− ⋅<br />
2<br />
12 ⋅ N1<br />
⋅ tanΦ1<br />
⋅ ⎨<br />
4<br />
⎪ y<br />
+ ⋅<br />
⎪<br />
4<br />
⎩ 360 ⋅ N1<br />
2<br />
2 2 2<br />
( 5 + 3⋅<br />
tan Φ + η − 9 ⋅η<br />
⋅ tan Φ )<br />
1<br />
1<br />
⎫<br />
+ ⎪<br />
⎬<br />
2<br />
4<br />
( 61+<br />
90 ⋅ tan Φ + ⋅ )<br />
⎪ ⎪ 1<br />
45 tan Φ1<br />
⎭<br />
1<br />
1<br />
(a)<br />
2<br />
2<br />
( 1+<br />
2 ⋅ tan Φ + η )<br />
2<br />
⎧<br />
y<br />
⎫<br />
⎪ 1−<br />
⋅<br />
+<br />
2<br />
1 1<br />
⎪<br />
y<br />
6 ⋅ N1<br />
L = ⋅ ⎨<br />
⎬ (b)<br />
4<br />
N1<br />
⋅ cosΦ1<br />
⎪ y<br />
2<br />
4<br />
2 2 2<br />
+ ⋅ ( 5 + 28⋅<br />
tan Φ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ) ⎪<br />
1<br />
24 tan Φ1<br />
6 η1<br />
8 η1<br />
tan Φ1<br />
⎪<br />
4<br />
⎩ 120 ⋅ N1<br />
⎪<br />
⎭<br />
(4.1.4.-17)<br />
A (4.1.4.-17/a) és (4.1.4.-17/b) képletek az ellipszoidi földrajzi szélességet és hosszúságot 1-2<br />
százezred szögmásodperc élességgel szolgáltatják. Ahhoz, hogy a Φ és Λ mennyiségeket<br />
szögfok, szögperc, szögmásodpercben megkapjuk, az 1 radián megfelelı értékeivel még szorozni<br />
kell.<br />
A (4.1.4.-17/a) képletben a Φ1-t a<br />
2 ⎛ B C D E F ⎞<br />
( 1−<br />
e ) ⋅⎜<br />
A⋅Φ − ⋅sin 2Φ<br />
+ ⋅sin 4Φ<br />
− ⋅ sin 6Φ<br />
+ ⋅sin 8Φ<br />
− ⋅sin10<br />
⎟<br />
⎠<br />
B = a ⋅<br />
Φ .<br />
⎝ 2 4 6 8 10<br />
(4.1.3.-4)<br />
összefüggésbıl fokozatos közelítéssel tudjuk meghatározni, pld. a Függelékben 4.1.4.-1. pont<br />
alatt található VisualBasic nyelvő rutinnal. A rutin az x koordináta és a meridiánívnek az aktuális<br />
Φ -vel számított B hosszát hasonlítja össze. A rutinból kijövı Fi lesz a keresett Φ<br />
1.<br />
4.1.5. A Gauss-Krüger vetület redukciói<br />
4.1.5.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció<br />
A lineármodulus meghatározása ellipszoidi földrajzi koordinátákból<br />
A lineármodulus értéke kifejezhetı a lineármodulus általános egyenletébıl:<br />
Az (1.2.2.1.-7)-ben<br />
2<br />
2<br />
2<br />
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α<br />
+ T ⋅ sin α . (1.2.2.1.-7)
139<br />
E<br />
P = ,<br />
2<br />
M<br />
F G<br />
Q = , T = .<br />
2<br />
M ⋅ r r<br />
Az<br />
2<br />
l értéke a két vetületi fıirányban, a koordinátahálózati vonalak<br />
merılegességi feltétele mellett:<br />
I. vetületi fıirány (az egyenlítı mentén):<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂y<br />
F = ⋅ + ⋅ = 0<br />
(1.2.2.3.-3)<br />
∂Φ<br />
∂Λ<br />
∂Φ<br />
∂Λ<br />
ahol<br />
2<br />
G<br />
l( 90 , 0 ) =<br />
o o T = , (4.1.5.1.-1)<br />
α = ω=<br />
2<br />
r<br />
2<br />
2<br />
⎛ ∂x<br />
⎞ ⎛ ∂y<br />
⎞<br />
G = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ és r = N ⋅ cosΦ<br />
.<br />
⎝ ∂Λ<br />
⎠ ⎝ ∂Λ<br />
⎠<br />
II. vetületi fıirány (a közép-meridián mentén):<br />
2<br />
E<br />
l( 0 , 90 ) o o P =<br />
α = ω=<br />
2<br />
M<br />
, (4.1.5.1.-2)<br />
ahol<br />
2<br />
⎛ ∂x<br />
⎞ ⎛ ∂y<br />
⎞<br />
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ .<br />
⎝ ∂Φ<br />
⎠ ⎝ ∂Φ<br />
⎠<br />
A két vetületi fıirányban a lineármodulusok egyenlık, ezért az l értékét mind a (4.1.5.1.)<br />
mind a (4.1.5.1.-2) képletbıl meghatározhatjuk. A meghatározást a (4.1.5.1.-1) képlet alapján<br />
fogjuk végezni. Képezzük a (4.1.2.-17/a) és a (4.1.2.-17/b) differenciálhányadosait:<br />
2<br />
dy<br />
dL<br />
dx<br />
= L ⋅ N ⋅ sinΦ<br />
⋅ cosΦ<br />
+ K<br />
dL<br />
2<br />
L<br />
3<br />
= N ⋅ cosΦ<br />
+ ⋅ N ⋅ cos Φ<br />
2<br />
(a)<br />
2 2<br />
( 1 − tan Φ + η ) + K (b)<br />
(4.1.5.1.-3)<br />
Továbbá<br />
= N<br />
G =<br />
2<br />
2<br />
2 ⎡ L<br />
3<br />
2 2<br />
( L ⋅ N ⋅sinΦ<br />
⋅ cosΦ<br />
) + N ⋅ cosΦ<br />
+ ⋅ N ⋅ cos Φ ⋅ ( 1−<br />
tan Φ + η )<br />
2 2<br />
cos Φ ⋅ L<br />
⋅ sin<br />
2<br />
⎡<br />
⎢N<br />
Φ + ⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
2<br />
⎢<br />
⎣<br />
⋅ cos<br />
2<br />
Φ + 2 ⋅ N<br />
4<br />
L<br />
+<br />
4<br />
⋅ N<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⋅ cos<br />
⋅ cos<br />
6<br />
4<br />
Φ ⋅<br />
2<br />
L<br />
Φ ⋅ ⋅<br />
2<br />
2 2<br />
( 1−<br />
tan Φ + η )<br />
2 2<br />
( 1−<br />
tan Φ + η )<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
2<br />
=<br />
⎤<br />
+ ⎥<br />
⎥ ≈<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦
140<br />
≈ N<br />
2<br />
= N<br />
2<br />
cos<br />
2<br />
cos<br />
Φ ⋅<br />
2<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
[ L ⋅sin<br />
Φ + 1+<br />
L ⋅ cos Φ ⋅ ( 1−<br />
tan Φ + η ) + K]<br />
⎡<br />
Φ ⋅ ⎢1<br />
+ L<br />
⎣<br />
= N<br />
amivel, (a (4.1.5.1.-1) szerint<br />
2<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
Φ ⋅<br />
⋅ cos<br />
2<br />
2<br />
⎛ sin Φ<br />
2 2 ⎞ ⎤<br />
Φ ⋅<br />
⎜ + 1−<br />
tan Φ + η + K =<br />
2<br />
⎥<br />
cos<br />
⎟<br />
⎝ Φ<br />
⎠ ⎦<br />
2 2<br />
2<br />
[ 1+<br />
L ⋅ cos Φ ⋅ ( 1+<br />
η ) + K],<br />
1<br />
2 2<br />
[ 1+<br />
⋅ cos Φ ⋅ ( 1+<br />
η )] 2 2<br />
G<br />
l = ≈ L<br />
, (4.1.5.1.-4)<br />
N ⋅ cosΦ<br />
vagy, a binomiális tétel alapján, a 2. tagig bezárólag:<br />
2<br />
( 1 )<br />
A lineármodulus meghatározása vetületi koordinátákból<br />
2<br />
L 2<br />
l = 1 + ⋅ cos Φ ⋅ + η . (4.1.5.1.-5)<br />
2<br />
A (4.1.5.1.-5) képletben írjuk L helyére a (4.1.4.-17/b) képlet elsı,<br />
y<br />
L = (4.1.5.1.-6)<br />
N<br />
1<br />
⋅ cosΦ 1<br />
tagját, a cos<br />
2 Φ -t pedig határozzuk meg az alábbi sorba fejtéssel:<br />
sinΦ<br />
[ Φ − ( Φ −Φ<br />
)] = sinΦ<br />
− ( Φ −Φ<br />
) ⋅ Φ + K<br />
= sin<br />
1 1<br />
1 1<br />
cos<br />
1<br />
A (4.1.4.-17/a) második tagjából és a (4.1.2.-15) képlet figyelembe vételével<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
−Φ<br />
= ⋅ tanΦ1<br />
= ⋅ ⋅ 1<br />
2<br />
2 ⋅ M<br />
1<br />
⋅ N1<br />
2 ⋅ N1<br />
cosΦ1<br />
2<br />
( η )<br />
y<br />
y sinΦ<br />
Φ +<br />
1<br />
,<br />
=<br />
valamint<br />
s így<br />
Négyzetre emelve:<br />
2<br />
y<br />
2<br />
( Φ −Φ<br />
) ⋅ cosΦ<br />
= ⋅ sinΦ<br />
⋅ ( + η )<br />
1 1<br />
2 1<br />
1<br />
2 ⋅ N1<br />
2<br />
1<br />
− ⋅sinΦ<br />
2 1<br />
⋅ 1<br />
2 ⋅ N1<br />
1<br />
2<br />
( η )<br />
y<br />
sinΦ = sinΦ<br />
+<br />
1<br />
.<br />
,<br />
2<br />
sin Φ = sin<br />
2 y<br />
= sin Φ1<br />
−<br />
N<br />
2<br />
2 ⋅ y<br />
Φ1<br />
−<br />
2 ⋅ N<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⋅sin<br />
Φ ⋅<br />
2 y<br />
⋅sin<br />
Φ1<br />
−<br />
N<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
⋅ sin<br />
4<br />
2 y<br />
2<br />
2<br />
( 1+<br />
η ) + ⋅sin<br />
Φ ⋅ ( 1+<br />
η )<br />
2<br />
1<br />
4 ⋅ N<br />
4<br />
1<br />
4<br />
2 y<br />
Φ1<br />
⋅η1<br />
+<br />
4 ⋅ N<br />
4<br />
1<br />
1<br />
2<br />
⋅ sin Φ ⋅<br />
1<br />
1<br />
2 2<br />
( 1+<br />
η ) .<br />
1<br />
2<br />
=
141<br />
A kapott kifejezés két utolsó tagját az elsı kettıhöz képesti kicsiségük miatt elhagyva:<br />
Továbbá:<br />
végül<br />
2<br />
2 y<br />
sin Φ = sin Φ1<br />
−<br />
N<br />
2<br />
2 y<br />
cos Φ = 1−<br />
sin Φ1<br />
+<br />
N<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⋅ sin Φ .<br />
2<br />
2 y<br />
⋅sin<br />
Φ1<br />
= cos Φ1<br />
+<br />
N<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⋅ sin Φ ,<br />
2<br />
2<br />
⎛ y 2<br />
⎞<br />
Φ = cos Φ ⋅<br />
⎜ + ⋅<br />
⎟<br />
1<br />
1 tan Φ<br />
2<br />
1<br />
. (4.1.5.1.-7)<br />
⎝ N1<br />
⎠<br />
1<br />
A (4.1.5.1.-6) és a (4.1.5.1.-7) kifejezéseket a (4.1.5.1.-5)-be helyettesítve és η helyébe η1<br />
-t<br />
írva:<br />
⎛<br />
⎜<br />
= 1+<br />
⎝ N<br />
l<br />
1<br />
= 1+<br />
2 ⋅ N<br />
y ⎞<br />
cosΦ<br />
⎟<br />
⋅<br />
1 ⎠<br />
2<br />
2<br />
1<br />
⋅ cos<br />
2<br />
y<br />
⋅ cos<br />
2<br />
⋅ cos Φ<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⎛ y<br />
Φ1<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ N<br />
2<br />
⎛ y<br />
Φ1<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ N<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⋅ tan Φ1<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
⋅ tan<br />
2<br />
2<br />
( 1+<br />
η )<br />
⎞<br />
2<br />
Φ1<br />
⎟ ⋅ ( 1+<br />
η1<br />
).<br />
⎠<br />
2<br />
y 2<br />
A zárójelben lévı ⋅ tan Φ<br />
2<br />
1<br />
tag az 1-hez képest kicsi, s késıbbi szorzások után elhanyagolható.<br />
Ezért<br />
N1<br />
írhatjuk:<br />
2<br />
( 1+η<br />
)<br />
2 2 2<br />
ahol η1 = e ′ ⋅ cos Φ1. A Gauss-gömbre érvényes<br />
2<br />
y<br />
l = 1+<br />
⋅<br />
2 1<br />
, (4.1.5.1.-8)<br />
2 ⋅ N<br />
1<br />
1<br />
=<br />
összefüggésbıl<br />
c<br />
R = M ⋅ N =<br />
(1.2.1.3.-1)<br />
2<br />
V<br />
c<br />
R =<br />
N<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
= , ill.<br />
2<br />
2 2<br />
V1<br />
V1<br />
R =<br />
1<br />
N1<br />
1<br />
V<br />
2<br />
2<br />
és a (4.1.2.-15) szerint V<br />
1<br />
= 1+<br />
η1<br />
, ezért a (4.1.5.1.-8) összefüggés végül az<br />
l<br />
2<br />
y<br />
= 1+<br />
(4.1.5.1.-9)<br />
2 ⋅ R<br />
2<br />
1
142<br />
alakot ölti. A (4.1.5.1.-9)-ben R<br />
1<br />
a közép-meridián mentén a Φ<br />
1<br />
földrajzi szélességnél értelmezett<br />
átlagos földgörbületi sugár. Az 1.2.1.2. pontban megismert<br />
2 c<br />
c = a ⋅ 1+<br />
e′<br />
és N = összefüggések figyelembe vételével:<br />
V<br />
2 2<br />
V = 1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ ,<br />
R<br />
1<br />
N<br />
c<br />
a ⋅<br />
1+<br />
e′<br />
2<br />
1<br />
= = =<br />
. (4.1.5.1.-10)<br />
2 2<br />
V1<br />
V1<br />
⋅V1<br />
1+<br />
e′<br />
⋅ cos Φ1<br />
A hossztorzulási tényezıt és a hosszredukciót az eddigiekhez hasonlóan a lineármodulus<br />
reciprokából kiindulva határozhatjuk meg. A (4.1.5.1.-9) összefüggés<br />
1<br />
l<br />
2<br />
⎛ y<br />
=<br />
⎜1+<br />
⎝ 2 ⋅ R<br />
2<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−1<br />
reciprokának a másodrendő tagig bezárólag vett<br />
1<br />
l<br />
2<br />
y<br />
= 1−<br />
(4.1.5.1.-11)<br />
2 ⋅ R<br />
2<br />
1<br />
binomiális sora a 2.2.3.1. pontban tárgyalt<br />
2<br />
1 x<br />
= 1−<br />
(2.2.3.1.-5)<br />
2<br />
l 2 ⋅ R<br />
képlettıl csak abban különbözik, hogy az ottani x helyett itt y szerepel. Ezért teljes összhangban<br />
az ott bemutatott levezetéssel, a hossztorzulásra az<br />
U<br />
2<br />
k<br />
2<br />
2<br />
( y + y ⋅ y + y )<br />
1<br />
= ⋅<br />
1 1 2 2<br />
(4.1.5.1.-12)<br />
6 ⋅ R<br />
összefüggést vezethetjük le. A hossztorzulási tényezıre az<br />
a hosszredukcióra a<br />
a hosszredukcióval korrigált távolságra a<br />
d 1<br />
m = = ≈ 1+<br />
U , (2.1.3.1.-8)<br />
s 1−U<br />
∆ s = d − s = U ⋅ s , (2.1.3.1. -9)<br />
s = d + ∆s<br />
(2.1.3.1.-10)<br />
összefüggéseket kapjuk. (az utolsó három képlet számozása a 2.1.3.1. pont számozásával azonos).<br />
Az R<br />
k<br />
most a két pont közötti közepes földgörbületi sugár, a gyakorlati számítások<br />
szempontjából a tıle való kis eltéréseknek nincs érzékelhetı hatása. Szükség esetén számítható,<br />
kiindulva az
143<br />
c<br />
R = M ⋅ N =<br />
(1.2.1.3.-1)<br />
2<br />
V<br />
összefüggésbıl.<br />
A (4.1.5.1.-12)-bıl látszik, hogy a hossztorzulás csak az y koordinátától függ. Mivel<br />
U pozitív, a hosszredukció is pozitív, azaz a Gauss-Krüger vetületi távolságok nagyobbak az<br />
ellipszoidi távolságoknál. Az x tengely – a közép-meridián képe - mentén a hossztorzulás 0,<br />
attól távolodva a hossztorzulás az y tengely mentén nı.<br />
A hossztorzulás mértéke – mint mondtuk feljebb - az y ≈ ±90 km mellett éri el az<br />
1<br />
o<br />
o o<br />
U = -t, ez Magyarországon Lmax ≈ 1, 2 -nak, vagyis 2 ⋅ 1,2 = 2,4 sávszélességnek felel<br />
meg. Ez sokkal kisebb a nemzetközi sávbeosztás kisebb méretarányú térképekre vonatkozó<br />
10000<br />
o<br />
6 -os sávszélességénél (4.1.6. pont).<br />
4.1.5.2. Második irányredukció<br />
A 4.1.5.2.-1. ábrán a<br />
QPT trapéz<br />
felel meg 14 . Az ellipszoidi<br />
′ P′<br />
T′<br />
T ellipszoidi idomnak a vetület síkjában a T<br />
P Q<br />
P Q<br />
Q ′<br />
Q<br />
Q P′<br />
T′<br />
T′<br />
o<br />
′<br />
P<br />
idom szögeinek összege 360 + ε , ahol ε közelítıleg<br />
az idomra vonatkozó gömbi szögfölösleg. A 4.1.5.2.-1/b. ábrán a<br />
vonal) síkidom területe<br />
o<br />
360 ∆<br />
PQ<br />
+ ∆<br />
QP<br />
+ .<br />
+ x<br />
QPT T P Q<br />
(a QP görbe<br />
T′<br />
Q<br />
Q’<br />
T Q<br />
y Q<br />
∆ QP<br />
Q<br />
δ PQ<br />
∆ PQ<br />
x Q<br />
T P<br />
b)<br />
T′<br />
P<br />
a)<br />
P’<br />
K<br />
y P<br />
P<br />
x P<br />
+ y<br />
4.1.5.2.-1. ábra: Egymásnak megfelelı alakzatok<br />
a) az ellipszoidon, b) a vetületen<br />
A szögtartóság eredményeként a két idom szögeinek összege egyenlı, vagyis<br />
vagy<br />
o<br />
o<br />
360 = 360 + ∆<br />
PQ<br />
+ ∆<br />
QP<br />
+ ε ,<br />
ε = ∆ + . (4.1.5.2.-1)<br />
PQ<br />
∆ QP<br />
14 Lásd a 2.2.3.2. pont hasonló levezetését!
144<br />
Figyelembe véve, hogy a<br />
QPT trapéz területe könnyen beláthatóan<br />
T P Q<br />
valamint durva közelítéssel elfogadva, hogy<br />
( y + y ) ⋅ ( x − x )<br />
Q<br />
P<br />
T = ,<br />
2<br />
PQ<br />
Q<br />
P<br />
∆ = ∆ , az<br />
QP<br />
összefüggés alapján írhatjuk:<br />
T<br />
ε = 2<br />
⋅ ρ′<br />
R<br />
(1.2.2.12.-25)<br />
( yQ<br />
+ yP<br />
) ⋅ ( xQ<br />
− xP<br />
) ρ<br />
T ε = ⋅ ρ ′′ =<br />
2<br />
2 ⋅ ′′<br />
R<br />
⋅ R<br />
k<br />
2<br />
k<br />
és<br />
( yQ<br />
+ yP<br />
) ⋅ ( xQ<br />
− xP<br />
) ρ ′<br />
ε<br />
∆ ∆<br />
⋅ ′<br />
PQ<br />
=<br />
QP<br />
= =<br />
.<br />
2<br />
4 ⋅ R<br />
2<br />
k<br />
Bevezetve az<br />
jelölést, végül kapjuk:<br />
y<br />
k<br />
=<br />
y<br />
Q<br />
+ y<br />
2<br />
P<br />
( xQ<br />
− xP<br />
) ρ<br />
yk<br />
⋅<br />
∆<br />
PQ<br />
= ∆<br />
QP<br />
=<br />
2 ⋅ ′′ . (4.1.5.2.-2)<br />
⋅ R<br />
2<br />
k<br />
O<br />
2 ⋅ dγ<br />
ρ<br />
dd<br />
Q<br />
∆<br />
QP<br />
q<br />
ξ<br />
+x<br />
P<br />
δ<br />
∆<br />
PQ<br />
p<br />
ds<br />
+y<br />
η<br />
4.1.5.2.-2. ábra: A második irányredukció a Gauss-Krüger vetületben<br />
A 4.1.5.2.-2. ábrán legyen PpqQ a P’Q’ ellipszoidi geodéziai vonal képe. Jelöljük a p<br />
és q pontok közötti elemi ívhosszat ds-sel. A pOq elemi szög legyen 2 ⋅ dγ<br />
. Ekkor a (4.1.5.2.-<br />
2) összefüggéshez hasonlóan – egyelıre az elıjel figyelmen kívül hagyásával – írhatjuk:<br />
y ⋅dx<br />
2 ⋅dγ =<br />
(4.1.5.2.-3)<br />
2<br />
R k
145<br />
Jelöljük a PpqQ görbe görbületi sugarát ρ-val. A pOq háromszögben<br />
2 ⋅ dγ ⋅ ρ = ds ,<br />
vagy, jó közelítéssel<br />
2 ⋅ dγ ⋅ ρ = dd , (4.1.5.2.-4)<br />
ahol dd a PQ húr végtelen kis eleme. A (4.1.5.2.-3)-at helyettesítve:<br />
1 2 ⋅dγ<br />
y dx<br />
=<br />
2<br />
ρ dd = R<br />
⋅<br />
k<br />
dd<br />
. (4.1.5.2.-5)<br />
Vegyünk fel a továbbiakban egy P origójú ξη derékszögő koordinátarendszert, melynek ξ tengelye<br />
a PQ húr irányába esik, η tengelye pedig erre merıleges. A differenciálgeometriából<br />
ismeretesen a ξη koordinátarendszerben a görbületi sugárra felírható az<br />
2<br />
d η<br />
2<br />
1 dξ<br />
= −<br />
ρ<br />
2<br />
⎡ ⎛ dη<br />
⎞ ⎤<br />
⎢1<br />
+ ⎜ ⎟ ⎥<br />
⎢⎣<br />
⎝ dξ<br />
⎠ ⎥⎦<br />
3<br />
2<br />
(4.1.5.2.-6)<br />
dη<br />
összefüggés. A -t úgy is tekinthetjük, mint a PpqQ görbe és a PQ húr által bezárt szög<br />
dξ<br />
tangensét, amelynek négyzete az 1-hez képest rendkívül kicsi. Ezért jó közelítéssel<br />
A (4.1.5.2.-7)-et a (4.1.5.2.-5)-vel összevetve,<br />
adódik, mert<br />
2<br />
1 d η<br />
= − . (4.1.5.2.-7)<br />
2<br />
ρ dξ<br />
2<br />
d η y dx<br />
y dx<br />
− = ⋅ = ⋅<br />
(4.1.5.2.-8)<br />
2 2<br />
2<br />
dξ<br />
R dd<br />
R dξ<br />
k<br />
d d = dξ .<br />
A PQ húr irányszögét jelöljük δ-val. A ξ tengelyen lévı tetszıleges pont koordinátáira az 1.<br />
fıfeladat (1.2.1.4.-4) képletei alapján fennáll, hogy<br />
k<br />
y<br />
x<br />
Q<br />
Q<br />
=<br />
=<br />
dx<br />
y<br />
x<br />
P<br />
P<br />
+ ξ ⋅ sin δ ,<br />
+ ξ ⋅ cos δ ,<br />
= dξ<br />
⋅ cos δ .<br />
(4.1.5.2.-9)
146<br />
A (4.1.5.2.-9) összefüggések figyelembe vételével a (4.1.5.2.-8) felírható a következı alakban:<br />
2<br />
d η<br />
− =<br />
2<br />
dξ<br />
y<br />
P<br />
+ ξ ⋅sinδ<br />
⋅ cosδ<br />
.<br />
2<br />
R k<br />
Integráljuk kétszer ξ szerint a fenti egyenletet:<br />
dη<br />
− =<br />
dξ<br />
y<br />
P<br />
2<br />
⋅ cosδ<br />
ξ<br />
⋅ξ<br />
+<br />
R 2 ⋅ R<br />
2<br />
k<br />
2<br />
k<br />
⋅ sin δ ⋅ cosδ<br />
+ C<br />
1<br />
(4.1.5.2.-10)<br />
−<br />
y<br />
⋅ cosδ<br />
ξ<br />
3<br />
P<br />
2<br />
η = ⋅ξ<br />
+ ⋅ sin δ ⋅ cosδ<br />
+ C<br />
2<br />
2<br />
1<br />
+ C2<br />
(4.1.5.2.-11)<br />
2 ⋅ Rk<br />
6 ⋅ Rk<br />
Határozzuk meg a C 1 és a C 2 integrálási állandókat! Mivel a P pontban<br />
dη<br />
ξ = 0,<br />
η = 0 és = tan ∆PQ<br />
≈ ∆PQ<br />
,<br />
dξ<br />
a (4.1.5.2.-10)-bıl<br />
a (4.1.5.2.-11)-bıl pedig<br />
A Q pontban<br />
C<br />
1<br />
= −∆ PQ<br />
,<br />
C<br />
2<br />
= 0 .<br />
η = 0, ξ = d = PQ ,<br />
ezért a (4.1.5.2.-11)-bıl d-vel való egyszerősítés után<br />
ahonnan<br />
y<br />
⋅ cosδ<br />
d<br />
d<br />
2<br />
P<br />
0 = ⋅ + ⋅ sinδ<br />
⋅ cosδ<br />
− ∆<br />
2<br />
2<br />
PQ<br />
Rk 2 6 ⋅ R k<br />
,<br />
∆<br />
PQ<br />
=<br />
yP<br />
⋅ cosδ<br />
d<br />
⋅ d +<br />
2<br />
2 ⋅ R 6 ⋅<br />
2<br />
k<br />
R k<br />
2<br />
⋅ sinδ<br />
⋅ cosδ<br />
,<br />
vagy, a (4.1.5.2.-9) összefüggések figyelembe vételével<br />
illetve<br />
PQ<br />
( x − x ) ( y − y ) ⋅ ( x − x )<br />
yP<br />
⋅<br />
P<br />
∆ =<br />
,<br />
Q P Q P Q<br />
+<br />
2<br />
2<br />
2 ⋅ Rk<br />
6 ⋅ Rk
147<br />
∆<br />
PQ<br />
=<br />
( x − x )<br />
Q<br />
2 ⋅ R<br />
2<br />
k<br />
P<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜ y<br />
⎝<br />
P<br />
+<br />
y<br />
Q<br />
− y<br />
3<br />
P<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
írható. Az utolsó kifejezés jobb oldalának második tényezıje átírható<br />
y<br />
P<br />
+<br />
y<br />
Q<br />
− y<br />
3<br />
P<br />
6 ⋅ y<br />
=<br />
P<br />
+ 2 ⋅ y<br />
6<br />
Q<br />
− 2 ⋅ y<br />
P<br />
3 ⋅ y<br />
=<br />
P<br />
+ 3 ⋅ y<br />
Q<br />
6<br />
− y<br />
Q<br />
+ y<br />
P<br />
= y<br />
k<br />
−<br />
y<br />
Q<br />
− y<br />
6<br />
P<br />
alakba, amivel<br />
∆<br />
PQ<br />
=<br />
y<br />
k<br />
⋅<br />
( x − x )<br />
Q<br />
2 ⋅ R<br />
2<br />
k<br />
P<br />
ρ′′<br />
⋅ ρ ′′ − ⋅ ( yQ<br />
− yP<br />
) ⋅ ( xQ<br />
− xP<br />
),<br />
12 ⋅ R<br />
2<br />
k<br />
ahol ρ ′′ az 1 radián szögmásodpercben kifejezett értéke. Az 1.2.2.12.-1. ábra és a<br />
δ<br />
= + ∆ −<br />
(1.2.2.12.-26)<br />
PQ<br />
α<br />
PQ PQ<br />
µ<br />
P<br />
képlet alapján elfogadott elıjel-megállapodásnak megfelelıen pedig<br />
PQ<br />
( x − x ) + b ⋅ ( y − y ) ⋅ ( x x )<br />
∆ = −a ⋅ yk ⋅<br />
− , (4.1.5.2.-12)<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
ahol<br />
a =<br />
ρ′′<br />
⋅<br />
és<br />
ρ ′′<br />
b =<br />
12 R<br />
2<br />
2<br />
2 Rk<br />
⋅<br />
k<br />
.<br />
Hasonló levezetéssel, a derékszögő koordinátarendszer origóját Q-ba helyezve, kapjuk:<br />
QP<br />
( x − x ) + b ⋅ ( y − y ) ⋅ ( x x )<br />
∆ = + a ⋅ yk ⋅<br />
− . (4.1.5.2.-13)<br />
Q<br />
P<br />
A (4.1.5.2.-12) és a (4.1.5.2.-13) kifejezések a geodéziai gyakorlatunkban elıforduló esetekre<br />
megfelelı pontosságot nyújtanak. Vegyük észre, hogy az y és az x koordináták, valamint az<br />
elıjelek felcserélésével e kifejezések megegyeznek a (2.2.3.2.-3) képletekkel. A 2.2.3.2.<br />
pontban a második irányredukcióhoz kapcsolódó megjegyzések itt is érvényesek azzal,<br />
hogy az y és az x tengelyek, illetve koordináták szerepe felcserélıdik. Végül megjegyezzük,<br />
hogy kivételes pontossági igények esetén a fenti hasonlóság már nem áll fenn, hiszen a<br />
2.2.3.2. pontban az alapfelület gömb, míg a Gauss-Krüger vetületnél ellipszoid.<br />
4.1.5.3. Vetületi meridiánkonvergencia<br />
A meridiánkonvergencia meghatározása ellipszoidi földrajzi koordinátákból<br />
A vetületi meridiánkonvergencia földrajzi koordináták függvényében való kifejezéséhez<br />
tekintsük a 4.1.5.3.-1. ábrát!<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P
148<br />
+ x<br />
É f<br />
É t<br />
µ<br />
a)<br />
T<br />
P szélességi<br />
körének képe Q<br />
K<br />
µ<br />
P<br />
P meridiánjának<br />
képe<br />
+ y<br />
dy<br />
P 2<br />
dx<br />
µ<br />
P 1<br />
b)<br />
P<br />
4.1.5.3.-1. ábra: A vetületi meridiánkonvergencia<br />
Legyen P az ellipszoidi P’ pont képe, µ a vetületi meridiánkonvergencia, PÉ t a térképi észak,<br />
párhuzamos az x tengellyel, PT párhuzamos az y tengellyel. A meridián és a szélességi kör<br />
egymásra merıleges, ezért<br />
µ = É PÉ szög QPT szög<br />
(4.1.5.3.-1.)<br />
f t<br />
=<br />
A továbbiakban legyenek dx és dy a P pontra vonatkozó elemi koordinátakülönbségek. A<br />
P 1 PP 2 végtelen kis háromszögben (4.1.5.3.-1/b. ábra)<br />
dx<br />
tan µ =<br />
(4.1.5.3.-2)<br />
dy<br />
és e felírásmódnál a Φ értéke állandó.<br />
Írjuk át a (4.1.5.3.-2) képletet a<br />
dx<br />
tan µ =<br />
dL<br />
(4.1.5.3.-3)<br />
dy<br />
dL<br />
dx<br />
dy<br />
alakba! A és a deriváltakat a (4.1.2.-17/a) és a (4.1.2.-17/b) összefüggésekbıl kapjuk.<br />
dL<br />
dL<br />
A másodrendő tagok elhanyagolásával írhatjuk:<br />
A (4.1.5.3.-3)-ba helyettesítve:<br />
dx<br />
= L ⋅ N ⋅sinΦ<br />
⋅ cosΦ<br />
dL<br />
dy<br />
= N ⋅ cosΦ<br />
dL<br />
(a)<br />
(b)<br />
(4.1.5.3-4)<br />
L ⋅ N ⋅sinΦ<br />
⋅ cosΦ<br />
tan µ =<br />
= L ⋅ sinΦ<br />
. (4.1.5.3.-5)<br />
N ⋅ cosΦ
149<br />
A (4.1.5.3.-5) képletben és a továbbiakban az L értéke radiánban értendı.<br />
A (4.1.2.-17/a) és a (4.1.2.-17/b) összefüggések minden tagjának figyelembe vételével történı<br />
differenciálás és a (4.1.5.3.-3) képletbe helyettesítés után az alábbi kifejezéshez jutunk:<br />
3<br />
L<br />
t = tan µ = L ⋅sinΦ<br />
+ ⋅ sinΦ<br />
⋅ cos<br />
3<br />
5<br />
L<br />
4<br />
+ ⋅sinΦ<br />
⋅ cos Φ ⋅<br />
15<br />
Fejezzük ki a µ –t az<br />
illetve<br />
mert t = tan µ .<br />
2<br />
Φ ⋅<br />
2<br />
2 4<br />
( 1+<br />
tan Φ + 3⋅η<br />
+ 2 ⋅η<br />
)<br />
2<br />
4<br />
( 2 + 4 ⋅ tan Φ + 2 ⋅ tan Φ )<br />
arctan t hatványsora segítségével:<br />
3 5<br />
t t<br />
µ = arctan t = t − + −K ,<br />
3 5<br />
+<br />
. (4.1.5.3.-6)<br />
3<br />
5<br />
tan µ tan µ<br />
µ = tan µ − + −K, (4.1.5.3.-7)<br />
3 5<br />
Végül, (4.1.5.3.-6) a (4.1.5.3.-7) figyelembe vételével az alábbi összefüggésbe megy át:<br />
5<br />
2 4 L<br />
4<br />
2<br />
( 1+<br />
3⋅η<br />
+ 2 ⋅η<br />
) + ⋅sin<br />
⋅ cos Φ ⋅ ( 2 − tan Φ )<br />
3<br />
L<br />
2<br />
µ = L ⋅sinΦ<br />
+ ⋅ sinΦ<br />
⋅ cos Φ ⋅<br />
Φ<br />
.<br />
3<br />
15<br />
(4.1.5.3.-8)<br />
A (4.1.5.3.-8) kifejezésben az L értékét radiánban kell behelyettesíteni. Ekkor a µ-t is radiánban<br />
kapjuk. Ha a µ-t pld. szögfokban szeretnénk kifejezni, úgy az 1 radián fokban kifejezett<br />
értékével még szoroznunk kell:<br />
o<br />
o<br />
o<br />
µ = µ ⋅ ρ = µ ⋅ 57,2957795130824 ,<br />
illetve a kapott eredményt még fok-perc-másodperccé át kell alakítani. A (4.1.5.3.-8) képlet a<br />
szögmásodperc mintegy százezred részéig pontos eredményt szolgáltat.<br />
A meridiánkonvergencia meghatározása vetületi koordinátákból<br />
A vetületi meridiánkonvergenciát a vetületi koordináták függvényében megadhatjuk,<br />
ha a (4.1.5.3.-8) összefüggésben L értékét az y derékszögő koordinátán (4.1.5.1.-6 képlet), a<br />
Φ értékét a Φ1-en keresztül fejezzük ki.<br />
A lineármodulus meghatározása vetületi koordinátákból c. pontból<br />
2<br />
1<br />
− ⋅ sinΦ<br />
2 1<br />
⋅ 1<br />
2 ⋅ N1<br />
2<br />
( η )<br />
y<br />
sinΦ = sinΦ<br />
+<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎛ y 2<br />
⎞<br />
Φ = cos Φ ⋅<br />
⎜ + ⋅<br />
⎟<br />
1<br />
1 tan Φ<br />
2<br />
1<br />
. (4.1.5.1.-7)<br />
⎝ N1<br />
⎠<br />
A (4.1.5.1.-6)-ot, valamint a sin Φ és cos 2 Φ fenti kifejezéseit a (4.1.5.3.-8)-ba helyettesítve,<br />
a sin Φ itt nem szereplı tagjával kiegészítve, kapjuk:<br />
1<br />
,
150<br />
1<br />
3<br />
1<br />
5<br />
2 2 y<br />
2<br />
4<br />
( 1 + tan Φ −η<br />
) + ⋅ ( 2 + 5 ⋅ tan Φ + 3 tan Φ )<br />
3<br />
y<br />
y<br />
µ = ⋅ tan Φ1<br />
− ⋅ tan Φ1<br />
⋅<br />
1 1<br />
1<br />
⋅<br />
N 3⋅<br />
N<br />
15⋅<br />
N<br />
5<br />
1<br />
(4.1.5.3.-9)<br />
A (4.1.5.3.-9) képlet szintén radiánban, s a (4.1.5.3.-8) képlethez hasonló pontossággal szolgáltatja<br />
a meridiánkonvergenciát.<br />
4.1.5.4. Számpéldák a Gauss-Krüger vetület alkalmazására<br />
A Gauss-Krüger vetületi koordinátákat az ellipszoidi koordinátákból a (4.1.2.-17/a) és<br />
a (4.1.2.-17/b) képletekbıl, a (4.1.2.-17/a) képletben a B–t a (4.1.3.-4) képletbıl számítjuk. Az<br />
ellipszoidi földrajzi szélességet és hosszúságot a (4.1.4.-17/a) és a (4.1.4.-17/b) képletekbıl<br />
kapjuk. Utóbbinál, mint láttuk a 4.1.4. pontban, külön feladat a Φ<br />
1<br />
meghatározása. Ezt pld. az<br />
ott bemutatott fokozatos közelítéses rutinnal célszerő elvégezni, a (4.1.3.-4) képlet alapján.<br />
A bemutatott összefüggések személyi számítógépen bárki által tetszıleges programnyelven<br />
írt programok segítségével számíthatók. Az alábbiakban bemutatott példák a<br />
Kraszovszkij-ellipszoidra vonatkoznak.<br />
1. példa:<br />
Adottak egy Sopron melletti pont alábbi Kraszovszkij-ellipszoidi földrajzi koordinátái:<br />
Számítsuk ki az<br />
o<br />
Φ = 47 35′<br />
51,67629 ′′ ,<br />
o<br />
Λ = 16 45′<br />
33,44091′′<br />
.<br />
y , x Gauss-Krüger vetületi koordinátákat! Válasszuk közép-meridiánnak a<br />
o<br />
6 -os sávbeosztás Ausztrián keresztül haladó<br />
Λ<br />
0<br />
= 15<br />
A közép-meridiántól számított ellipszoidi földrajzi hosszúság<br />
o<br />
meridiánját!<br />
o<br />
o o<br />
L = Λ − Λ0 = 16 45′<br />
33,44091′′<br />
-15 = 1 45′<br />
33,44091′<br />
.<br />
A Gauss-Krüger vetületi koordináták számíthatók a (4.1.2.-17/b) és a (4.1.2.-17/a) képletekbıl:<br />
y = 132305,399 m,<br />
x = 5275288,971m.<br />
A koordináták számításához használt programrészt a Függelék 4.1.5.4.-1. pontja tartalmazza.<br />
A Nagy_B(Fi) rutinban az A_, B_, C_, D_, E_, F_ a 4.1.3.-1. táblázat megfelelı értékei.<br />
2. példa:<br />
Számítsuk vissza az 1. példában kapott Gauss-Krüger vetületi koordinátákból az ellipszoidi<br />
Φ Λ , földrajzi koordinátákat!<br />
Eredmények:<br />
o<br />
Φ = 47 35′<br />
51,67630 ′′<br />
.<br />
o<br />
Λ = 16 45′<br />
33,44090′′<br />
1
151<br />
A Φ számítását a Függelék 4.1.5.4.-2. alatti programrésze végzi. A programrészben a<br />
Fi = Φ 1<br />
bemenı adat a 4.1.4. pont végén bemutatott programrész kimenı adata, a Fi_G_Kr a<br />
keresett földrajzi szélesség.<br />
A rutin nem a (4.1.4.-17/a) képletet használja, hanem az alábbi kifejezést:<br />
Φ = Φ<br />
, (4.1.5.4.-1)<br />
2<br />
4<br />
6<br />
1<br />
+ B2<br />
⋅ y + B4<br />
⋅ y + B6<br />
⋅ y<br />
ahol<br />
2<br />
= − ⋅ tan<br />
2 1<br />
⋅ 1<br />
2 ⋅ N1<br />
2<br />
( )<br />
1<br />
B Φ +η ,<br />
1<br />
2<br />
2 2 2<br />
( 5 + 3⋅<br />
tan Φ + 6 ⋅η<br />
− 6 ⋅η<br />
⋅ tan )<br />
1<br />
B<br />
4<br />
= ⋅ tanΦ<br />
4 1<br />
⋅<br />
1 1 1<br />
Φ1<br />
, (4.1.5.4.-2)<br />
24 ⋅ N<br />
1<br />
2<br />
4<br />
( 61+<br />
90 ⋅ tan Φ + 45⋅<br />
tan )<br />
1<br />
B<br />
6<br />
= − ⋅ tanΦ<br />
6 1<br />
⋅<br />
1<br />
Φ1<br />
.<br />
720 ⋅ N<br />
1<br />
A (4.1.5.4.-2) B<br />
2<br />
, B4, B6<br />
együtthatói egyszerően következnek a (4.1.4.-17/a) képletbıl, ui.<br />
1<br />
24 ⋅ N<br />
4<br />
1<br />
1<br />
2 ⋅ M<br />
⋅<br />
1<br />
2<br />
1<br />
= = = =<br />
2<br />
2<br />
1<br />
⋅ N c c<br />
1<br />
2 ⋅ ⋅<br />
c 1 2 ⋅ N1<br />
2<br />
3 2 ⋅ ⋅<br />
2 2<br />
V1<br />
V1<br />
V1<br />
V1<br />
1<br />
V<br />
1+<br />
η ,<br />
⋅ N<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
2<br />
[ 5⋅<br />
( 1 + η ) + 3⋅<br />
tan Φ ⋅ ( 1 + η ) + η ⋅ ( 1 + η ) − 9 ⋅η<br />
⋅ tan Φ ⋅ ( 1 + η )]<br />
1<br />
1<br />
=<br />
24 ⋅ N<br />
4<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2 2 2<br />
⋅ ( 5 + 3⋅<br />
tan Φ + 6 ⋅η<br />
− 6 ⋅η<br />
⋅ tan Φ ),<br />
4<br />
az η1<br />
-t tartalmazó tagok elhanyagolásával. A (4.1.5.4.-2) utolsó,<br />
1<br />
720 ⋅ N<br />
6<br />
1<br />
⋅<br />
1<br />
2 ⋅ M ⋅ N<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1+<br />
η1<br />
=<br />
720 ⋅ N<br />
1<br />
⋅<br />
360 ⋅ N<br />
6<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
4<br />
( 61+<br />
90 ⋅ tan Φ + 45⋅<br />
tan Φ )<br />
2<br />
4<br />
( 61+<br />
90 ⋅ tan Φ + 45 ⋅ tan Φ )<br />
2<br />
4<br />
2<br />
2<br />
4<br />
( 61+<br />
90 ⋅ tan Φ + 45 ⋅ tan Φ + η ⋅ ( 61+<br />
90 ⋅ tan Φ + 45 ⋅ tan Φ )).<br />
2<br />
2<br />
4<br />
képletében az η ( 61+<br />
90⋅<br />
tan Φ + 45⋅<br />
Φ )<br />
3. példa:<br />
1<br />
⋅<br />
4<br />
1<br />
1 1<br />
tan<br />
⋅<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
⋅ tag kicsinysége miatt szintén elhanyagolható.<br />
1<br />
1<br />
=<br />
1<br />
1<br />
=<br />
1<br />
1<br />
1<br />
=<br />
Az<br />
y<br />
x<br />
k<br />
k<br />
= 132305,399 m,<br />
= 5275288,971 m
152<br />
Gauss-Krüger vetületi koordinátájú pont környezetében számítsuk ki az U hossztorzulást, az<br />
s = 4542,564 m ellipszoidi távolság ∆ s hosszredukcióját és a hosszredukcióval korrigált d távolságot!<br />
A hossztorzulás számítására az<br />
2<br />
k<br />
2<br />
2<br />
( y + y ⋅ y + y )<br />
1<br />
U = ⋅<br />
1 1 2 2<br />
(4.1.5.1.-12)<br />
6 ⋅ R<br />
összefüggés szolgál. A ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> (2.2.3.1.-9) képletéhez hasonlóan vezessük<br />
be az<br />
jelölést. Ekkor a hossztorzulás képlete az<br />
y 1<br />
+ y<br />
y 2<br />
k<br />
=<br />
2<br />
U<br />
2<br />
k<br />
2 2<br />
2 2 2 3⋅<br />
yk<br />
yk<br />
( yk<br />
+ yk<br />
+ yk<br />
) = =<br />
2<br />
2<br />
1<br />
= ⋅<br />
(4.1.5.4.-3)<br />
6 ⋅ R<br />
6 ⋅ R 2 ⋅ R<br />
k<br />
k<br />
alakot ölti. A hossztorzulás számításakor az<br />
y<br />
k<br />
koordinátát és az<br />
R<br />
k<br />
közepes földgörbületi<br />
sugarat a gyakorlatban elegendı pontossággal kerekítve, 0,1 km élességgel helyettesíthetjük<br />
be:<br />
Az eredmények:<br />
y ≈ 132,3 km , R ≈ 6380 km .<br />
0<br />
k<br />
U = 0,000215106,<br />
∆ s = 0,977 m, d = s + ∆s<br />
= 4543,541m .<br />
A hosszredukció megközelíti az 1 m-t, jóval meghaladja a távolságmérı mőszerek<br />
pontosságát, ezért nem hanyagolhatjuk el. Az Rk<br />
≈ 6380 km értéktıl kb. ± 1km-es eltérés a<br />
hossztorzulás 4. értékes jegyét, valamint a hosszredukció 3. jegyét módosíthatja, a korrigált<br />
távolságban a távolság függvényében néhány mm-es eltérést okozhat.<br />
4. példa:<br />
A P és Q pontok Gauss-Krüger vetületi koordinátái:<br />
y<br />
P<br />
= 135354,76 m , x<br />
P<br />
= 5278313,47 m ; y = 137655,39<br />
Q<br />
m , x = 5273422,72 m .<br />
Q<br />
Számítsuk ki a második irányredukciókat!<br />
A számítás képletei:<br />
PQ<br />
( xQ<br />
− xP<br />
) + b ⋅ ( yQ<br />
− yP<br />
) ⋅ ( xQ<br />
xP<br />
)<br />
( x − x ) + b ⋅ ( y − y ) ⋅ ( x x )<br />
∆ = −a ⋅ yk ⋅<br />
− , (4.1.5.2.-12)<br />
∆ = + a ⋅ yk ⋅<br />
− . (4.1.5.2.-13)<br />
QP<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
A fenti képletekben<br />
a =<br />
ρ′′<br />
és<br />
b =<br />
ρ ′′<br />
2<br />
2<br />
2 ⋅ Rk<br />
12 ⋅ Rk<br />
.
153<br />
Eredmények:<br />
∆<br />
∆<br />
PQ<br />
QP<br />
= + 1,68677′′<br />
= −1,69628′′<br />
.<br />
A példában R<br />
k<br />
≈ 6380 km . Az ettıl az értéktıl kb. ± 1km-es eltérés a második irányredukciót<br />
a tizedesvesszı után a 4. jegyben módosíthatja, szintén a két pont távolságának függvényében.<br />
5. példa:<br />
Számítsuk ki a<br />
o o<br />
Φ = 47 35′<br />
51,67629 ′′ , Λ = 16 45′<br />
33,44091′′<br />
Kraszovszkij-ellipszoidi földrajzi, ill. a megfelelı Gauss-Krüger vetületi<br />
y<br />
k<br />
=<br />
k<br />
132305,399 m, x = 5275288,971m<br />
koordinátájú pontban a vetületi meridiánkonvergenciát!<br />
A földrajzi koordinátákból való számításhoz a Függelék 4.1.5.4.-3. pontjában található programrészt<br />
használtuk.<br />
Az eredmény:<br />
µ = 1 o 17′<br />
57,46547 ′′ .<br />
A vetületi koordinátákból való számításhoz a (4.1.5.3.-9) képletet programoztuk. A program a<br />
Függelék 4.1.5.4.-4. pontjában található.<br />
Az eredmény:<br />
µ = 1 o 17′<br />
57,46546′<br />
.<br />
4.1.6. A Gauss-Krüger vetület szelvényhálózata<br />
A Gauss-Krüger vetület szelvényhálózatának alapja az 1:1000000 méretarányú szelvény.<br />
A szelvényeket az Egyenlítıtıl észak felé 4 0 -onként az ABC nagybetőivel, a<br />
Greenwich-csel ellentétes meridiántól 6 0 -onként arab számokkal számozzák (4.1.6.-1. ábra).<br />
A 6*4 0 -os nemzetközi sávbeosztásban hazánk a 33. és 34. sorszámú sávokba és az L,<br />
ill. az M rétegekbe esik (4.1.6.-1. ábra). A közép-meridiánok ellipszoidi földrajzi szélességei:<br />
0<br />
0<br />
a 33. számú sávé Λ = 15 , a 34. számú sávé Λ = 21 . A 3 0 -os sávbeosztás középmeridiánjainak<br />
megválasztásánál célszerő a 3 0 -os sávokhoz alkalmazkodni: az egyes sávok<br />
o o o o<br />
közép-meridiánjainak földrajzi hosszúsága nyugatról keletre 15 ,18 ,21 ,24 . Noha hazánk<br />
o<br />
nyugat-keleti irányú kiterjedése csak 7 , a nemzetközi sávbeosztásnak megfelelıen a 3 0 -os<br />
sávbeosztásnál az említett 4 sáv szükséges. Ez hátrány az ország területének térképi kezelése<br />
szempontjából, ezért a nagyméretarányú térképezésnél nem honosodott meg.
154<br />
6 0<br />
M-33<br />
M-34<br />
Szlovákia<br />
Ausztria<br />
Szlovénia<br />
4 0 L-33 L-34<br />
Szerbia és<br />
Horvátország Montenegro<br />
Ukrajna<br />
Románia<br />
52 0<br />
48 0<br />
Φ<br />
12 0 18 0 24 0<br />
Λ<br />
44 0<br />
4.1.6.-1. ábra: A 6 0 -os nemzetközi sávbeosztás Magyarországon<br />
A 4.1.6.-1. ábrán látható szelvények (pld. az L-34) méretaránya 1:1000000. A szelvények<br />
lapmérete csak a meridiánok mentén változatlan, kelet-nyugati irányban a földrajzi szélesség<br />
növekedésének függvényében csökken. E miatt a Gauss-Krüger vetület alkalmazhatósági<br />
határa az Egyenlítıtıl mind északra, mind délre mintegy Φ = 80 -ra<br />
0<br />
tehetı.<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
48 0<br />
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24<br />
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36<br />
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48<br />
47 0<br />
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60<br />
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72<br />
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84<br />
3 0<br />
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96<br />
Φ<br />
2 0 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108<br />
L-34<br />
109<br />
18 0<br />
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120<br />
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132<br />
133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144<br />
44 0<br />
Λ 21 0 22 0 30’ 24 0<br />
46 0<br />
4.1.6.-2. ábra: Az 1:1000000 méretarányú Gauss-Krüger szelvény felosztása
155<br />
15’<br />
47 0 40’<br />
a<br />
b<br />
A<br />
B<br />
47 0 35’<br />
c<br />
d<br />
10’<br />
1<br />
3<br />
a<br />
2<br />
4<br />
C<br />
b<br />
L-34-13<br />
D<br />
47 0 30’<br />
Φ<br />
c<br />
d<br />
18 0 00’ 18 0 07,5’<br />
18 0 15’<br />
Λ<br />
Λ<br />
47 0 20’<br />
18 0 30’<br />
4.1.6.-3. ábra: Az 1:100000, 1:50000, 1:25000 és 1:10000 méretarányú Gauss-<br />
Krüger szelvények<br />
Az 1:1000000 méretarányú szelvények továbbosztása többféleképpen történhet, az<br />
1:1000000 méretarány után választott következı méretaránynak megfelelıen történik úgy,<br />
hogy a lapméretek ne, vagy csak kevéssé változzanak.<br />
A leggyakrabban – így Magyarországon is – az 1:1000000 méretarányú szelvényt<br />
12*12 = 144 részre osztják és minden egyes így kapott 1:100000 méretarányú szelvényt arab<br />
számmal jelölnek, a 4.1.6.-2. ábrán bemutatott módon. Az ábrán sraffozással jelölt 1:100000<br />
méretarányú szelvény száma L-34-13.<br />
A nagyobb méretarányú szelvények számozása az 1:100000 méretarányú szelvények<br />
számozásából kiindulva történik.<br />
Az 1:50000 méretarányú szelvénylapokhoz az 1:100000 méretarányú szelvény negyedelésével<br />
jutnak és azokat az A, B, C és D nagy betőkkel jelölik, pld. L-34-13-A (4.1.6.-3. ábra).<br />
Az 1:25000 méretarányú szelvény az 1:50000 méretarányú szelvény ¼-e. Ezeket a<br />
szelvényeket kis a, b, c, és d betőkkel jelölik, pld. L-34-13-B-d (4.1.6.-3. ábra).<br />
Végül, az 1:10000 méretarányú szelvényt az 1:25000 méretarányú szelvénybıl további<br />
negyedeléssel kapják és arab 1, 2, 3 és 4 számokkal jelölik, pld. L-34-13-C-a-1 (4.1.6.-3. ábra).<br />
Egy-egy 1:10000 méretarányú lapon mintegy 5km * 5km –es területet ábrázolhatunk,<br />
a térképlap nagysága mintegy 0,5m * 0,5m.<br />
A Gauss-Krüger vetülető térképeket Magyarországon 1966-tól kezdıdıen polgári célokra<br />
is alkalmazták. Az ez évtıl készült térképek jelölése eltér a fentiekben ismertetett nemzetközi<br />
jelöléstıl. Az 1:100000 méretarányú szelvények Magyarországon katonai célra használt<br />
nemzetközi és polgári célú jelölését a 4.1.6.-4/a és a 4.1.6.-4/b ábrákon mutatjuk be. Az<br />
1:100000 szelvények továbbosztása hasonló, azzal a különbséggel, hogy betők helyett arab<br />
számokat használtak. Pld. az L - 34 -13 - C - a -1<br />
szelvényszám módosított jelölése 404-311<br />
lett.<br />
A Gauss-Krüger vetülető szelvénylapokat bal és jobb oldalon a meridiánok, felül és<br />
alul a szélességi körök határolják. A földrajzi koordináták térkép alapján történı közelítı<br />
meghatározása céljából a térképszelvényen fokbeosztásos keret található, amelyen mind a<br />
négy oldalon a szomszédos szelvények számát is feltüntetik.
156<br />
M-33<br />
M-34<br />
129 130 131 132 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130<br />
141 142 143 144 133 134 135 136 137 138<br />
139 140 141 142<br />
9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
21 22 23 24<br />
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22<br />
33 34 35 36 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34<br />
45 46 47 48 37 38 40 41 42 43 44 45 46 47<br />
a)<br />
57 58 59 60 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58<br />
69 70 71 72 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70<br />
81 82 83 84 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82<br />
L-33 L-34<br />
M-33<br />
M-34<br />
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113<br />
200 201 202 203 204 205 206 207 208 209<br />
210 211 212 213<br />
3<br />
300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313<br />
400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413<br />
b)<br />
500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513<br />
600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613<br />
700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713<br />
800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813<br />
900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913<br />
L-33 L-34<br />
4.1.6.-4. ábra: Az 1:100000 méretarányú Gauss-Krüger szelvények nemzetközi és magyar<br />
polgári célú jelölése<br />
A Gauss-Krüger vetülető topográfiai térképeken földrajzi és vetületi koordinátahálózat<br />
is van. A görbe vonalakból álló földrajzi fokhálózatot a kereten jelölik, a szelvényeken<br />
keresztül nem húzzák meg. A vetületi koordinátahálózat – pld. az 1:10000 méretarányú<br />
szelvényeken 1 km-es oldalhosszúságú - , mint minden vetületi síkon, egymásra merıleges<br />
egyenesekbıl álló szabályos rácshálózat. A kerek kilométerértékeket szintén a keretben tüntetik<br />
fel.
157<br />
4.2. UTM vetület<br />
Az UTM- (Universal Transverse Mercator) vetületnek Magyarországon nincsenek hagyományai.<br />
A vetületet (4.2.-1.ábra) eredetileg az Amerikai Egyesült Államokban használták,<br />
1950-tıl a NATO államok térképezési vetülete. Hazai jelentısége két okból is elıtérbe került,<br />
egyrészt, Magyarország 1999 márciusától a NATO teljes jogú tagja lett, másrészt, a korszerő,<br />
globális helymeghatározó rendszerek (GPS) egyes vevıi lehetıvé teszik, hogy az UTMvetületre<br />
vonatkozó koordináták is közvetlenül kijelezhetık legyenek. A Magyar Honvédség<br />
Térképész Szolgálata a Gauss-Krüger szelvényezéső térképein már a NATO-csatlakozás elıtt<br />
az UTM szelvényhálózati vonalakat is feltüntette.<br />
É<br />
6 0<br />
1 0 37’14”<br />
1 0 37’14”<br />
4.2.-1. ábra: A süllyesztett transzverzális ellipszoidi vetület<br />
Az UTM-vetület – a Gauss-Krüger vetülethez hasonlóan – az ellipszoid egyenlítıi elhelyezéső<br />
(transzverzális) szögtartó hengervetülete (4.2.-1. ábra). A Gauss-Krüger vetülettıl<br />
csak abban különbözik, mint az EOV az érintı ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong>tıl (2.3.-1. ábra),<br />
vagyis az ellipszoidi henger a meridián-ellipszisnél kisebb mérető és a közép-meridiánra<br />
szimmetrikus helyzető két ellipszis (az ún. normálellipszis) metszi az ellipszoidot. A hossztorzulás<br />
értéke ezért nem a közép-meridián, hanem a két normálellipszis mentén zérus, a két<br />
normálellipszis között negatív, azokon kívül pozitív. A Gauss-Krüger vetülethez hasonlóan az<br />
0<br />
UTM-vetület szélsı alkalmazhatósági határa is mintegy Φ = 80 .<br />
4.2.1. Vetületi egyenletek<br />
A vetületi egyenletek a Gauss-Krüger vetület vetületi egyenleteitıl a redukálás mértékében<br />
különböznek. Az UTM vetületnél m = 0, 0<br />
9996 . A 4.1.2. pontban a (4.1.2.-4) összefüggések<br />
után leírtakhoz hasonlóan az UTM vetületre az alábbi feltételek állnak fenn:<br />
1. Az x abszcissza-tengely az ellipszoidi közép-meridiánok egyenesként jelentkezı képe,<br />
L = Λ − Λ 0<br />
mellett y = 0 ,<br />
2. A közép-meridiánon lévı pontokra az x vetületi koordináták az ellipszoidi egyenlítıtıl<br />
számítva az alábbi összefüggésbıl fejezhetık ki:<br />
( ) = m ⋅ B<br />
x = f Ψ<br />
0<br />
, (4.2.1.-1)<br />
ahol B a kérdéses ponthoz tartozó meridiánív hossza, m<br />
0<br />
a redukálás mértéke. Az m<br />
0<br />
elıre<br />
megválasztott konstans érték, ezért a 4.1.2. pontban tárgyalt levezetéseket nem befolyásolja.
158<br />
A redukált UTM-koordinátákat a Gauss-Krüger koordinátákból a (4.1.2.-17/a) és a (4.1.2.-<br />
17/b) képletek szerint, azok jobboldalait m0<br />
-lal szorozva, kapjuk:<br />
2<br />
2 4<br />
( 5 − tan Φ + 9 ⋅η<br />
+ 4 ⋅η<br />
)<br />
2 2<br />
⎧ L ⋅ cos Φ<br />
⎫<br />
2<br />
⎪1<br />
+ ⋅<br />
+<br />
L<br />
⎪<br />
12<br />
x = m0<br />
⋅ B + ⋅ m0<br />
⋅ N ⋅ sinΦ<br />
⋅ cosΦ<br />
⋅ ⎨<br />
4 4<br />
( )<br />
⎪ ⎪ ⎬ (a)<br />
2 ⎪ L ⋅ cos Φ<br />
2<br />
4<br />
B 0 N 0<br />
+ ⋅ 61−<br />
58 ⋅ tan Φ + tan Φ<br />
⎪⎩<br />
360<br />
⎭<br />
y = L ⋅ m<br />
0<br />
N 0<br />
⎧<br />
⎪<br />
⋅ N ⋅ cosΦ<br />
⋅ ⎨<br />
⎪ L<br />
+<br />
⎪⎩<br />
4<br />
⋅ cos<br />
120<br />
4<br />
L<br />
1+<br />
Φ<br />
⋅<br />
2<br />
⋅ cos<br />
6<br />
2<br />
Φ<br />
⋅<br />
2 2<br />
( 1−<br />
tan Φ + η )<br />
2<br />
4<br />
2<br />
2 2<br />
( 5 −18⋅<br />
tan Φ + tan Φ + 14 ⋅η<br />
− 58 ⋅η<br />
⋅ tan Φ ) ⎪<br />
⎪<br />
+<br />
(4.2.1.-2)<br />
A (4.2.1.-2/a) és a (4.2.1.-2/b) összefüggésekbıl látszik, hogy az UTM-vetületi koordináták<br />
úgy is tekinthetık, mint egy m<br />
0<br />
szorzóval kapott kisebb (redukált) ellipszoid Gauss-Krüger<br />
koordinátái. Ezen ellipszoid paraméterei pedig:<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎭<br />
(b)<br />
a<br />
0<br />
= m0<br />
⋅ a, b0<br />
= m0<br />
⋅ b,<br />
B0<br />
= m0<br />
⋅ B,<br />
N<br />
0<br />
= m0<br />
⋅ N . (4.2.1.-3)<br />
A (4.2.1.-3)-ban a<br />
0<br />
a fél nagytengely, b<br />
0<br />
a fél kistengely, B<br />
0<br />
az ellipszoidi meridiánív, N<br />
0<br />
a<br />
harántgörbületi sugár a redukált ellipszoidon.<br />
4.2.2. Inverz vetületi egyenletek<br />
A fordított feladatot, a földrajzi koordináták számítását az UTM-vetületi koordinátákból,<br />
megoldhatjuk a redukált ellipszoidon, a (4.1.3.-4), a (4.1.4.-17/a) és a (4.1.4.-17/b) képletek<br />
megfelelı átalakításával:<br />
2 ⎛ B C D E F ⎞<br />
( 1−<br />
e ) ⋅⎜<br />
A ⋅Φ − ⋅sin 2Φ<br />
+ ⋅sin 4Φ<br />
− ⋅sin 6Φ<br />
+ ⋅ sin8Φ<br />
− ⋅ sin10<br />
⎟<br />
⎠<br />
B<br />
0<br />
= a0<br />
⋅<br />
Φ ,<br />
⎝ 2 4 6 8 10<br />
(a)<br />
y<br />
Φ = Φ1<br />
−<br />
2 ⋅ M<br />
01<br />
2<br />
⋅ N<br />
01<br />
2<br />
⎧ y<br />
⎪1<br />
− ⋅<br />
2<br />
12 ⋅ N<br />
01<br />
⋅ tanΦ1<br />
⋅ ⎨<br />
4<br />
⎪ y<br />
+ ⋅<br />
⎪<br />
4<br />
⎩ 360 ⋅ N<br />
01<br />
2<br />
2 2 2<br />
( 5 + 3⋅<br />
tan Φ + η − 9 ⋅η<br />
⋅ tan Φ )<br />
1<br />
1<br />
⎫<br />
+ ⎪<br />
⎬<br />
2<br />
4<br />
( 61+<br />
90 ⋅ tan Φ + ⋅ )<br />
⎪ ⎪ 1<br />
45 tan Φ1<br />
⎭<br />
1<br />
1<br />
, (b)
159<br />
2<br />
2<br />
( 1+<br />
2 ⋅ tan Φ + η )<br />
2<br />
⎧<br />
y<br />
⎫<br />
⎪ 1−<br />
⋅<br />
+<br />
2<br />
1 1<br />
⎪<br />
y<br />
6 ⋅ N<br />
01<br />
L =<br />
⋅ ⎨<br />
⎬ (c)<br />
4<br />
N<br />
01<br />
⋅ cosΦ1<br />
⎪ y<br />
2<br />
4<br />
2 2 2<br />
+ ⋅ ( 5 + 28 ⋅ tan Φ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ) ⎪<br />
1<br />
24 tan Φ1<br />
6 η1<br />
8 η1<br />
tan Φ1<br />
⎪<br />
4<br />
⎩ 120 ⋅ N<br />
01<br />
⎪<br />
⎭<br />
és, mint tudjuk,<br />
L = Λ − Λ 0<br />
. (d)<br />
(4.2.2.-1)<br />
A (4.2.2.-1/b) és a (4.2.4.-1/c) összefüggésekben szereplı Φ<br />
1<br />
értékét a (4.2.2.-1/a) képletbıl<br />
kiindulva, pld. a Függelék 4.1.4.-1. pontja alatti számítógépes rutinnal határozhatjuk meg, azzal<br />
a különbséggel, hogy a Függelék 4.1.5.4.-1. pontjában lévı Nagy_B(Fi As Double) rutinban<br />
a<br />
________________________________<br />
Be = a * (1 - E_Negyzet)<br />
________________________________<br />
programsor helyett a<br />
________________________________<br />
Be = a0 * (1 - E_Negyzet)<br />
________________________________<br />
sort kell beírni.<br />
A (4.2.1.-2) és a (4.2.2.-4) képletek jelölései:<br />
B 0<br />
= m 0<br />
⋅ B − a közép-meridiánon a kérdéses ponthoz tartozó meridiánív hossza a redukált<br />
ellipszoidon,<br />
2 2 2<br />
η1 = e ′ ⋅ cos Φ1,<br />
Φ, Φ 1 - ellipszoidi földrajzi szélességek,<br />
Λ − a kérdéses pont ellipszoidi földrajzi hosszúsága a greenwichi kezdı-meridiánhoz<br />
képest,<br />
e′ − második numerikus excentricitás,<br />
y, x – UTM-vetületi koordináták,<br />
m − a redukálás mértéke,<br />
0<br />
Λ − az UTM-sáv közép-meridiánjának földrajzi hosszúsága,<br />
0<br />
L − a földrajzi hosszúság a közép-meridiánhoz képest,<br />
N = m ⋅ – harántgörbületi sugár a redukált ellipszoidon,<br />
M<br />
01 0<br />
N1<br />
01<br />
m0<br />
⋅ M<br />
1<br />
= – meridián irányú görbületi sugár a redukált ellipszoidon.<br />
4.2.3. Az UTM-vetület redukciói<br />
4.2.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció<br />
A Gauss-Krüger vetületre a földrajzi koordinátákból számítható lineármodulust a<br />
(4.1.5.1.-5) képlettel, a vetületi koordináták függvényében közelítéssel a (4.1.5.1.-9) képlettel
160<br />
adtuk meg. Az UTM-vetületnél az m<br />
0<br />
miatt a lineármodulus is módosul. A földrajzi koordináták<br />
függvényében a lineármodulus kifejezhetı az<br />
a vetületi koordináták függvényében pedig az<br />
alakban. A (4.2.3.1.-2) képletben<br />
R<br />
2<br />
( )<br />
2<br />
m0<br />
⋅ L 2<br />
l = m0 + ⋅ cos Φ ⋅ 1+η<br />
, (4.2.3.1.-1)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
m ⎛ ⎞<br />
0<br />
⋅ y<br />
y<br />
l = m + =<br />
⎜ +<br />
⎟<br />
0<br />
m<br />
2 0<br />
1<br />
(4.2.3.1.-2)<br />
2<br />
2 ⋅ R01<br />
⎝ 2 ⋅ R01<br />
⎠<br />
2<br />
2 2 2<br />
01<br />
N<br />
01<br />
⋅ M<br />
01<br />
= m0<br />
⋅ R1<br />
= m0<br />
⋅ N1<br />
⋅ M<br />
1<br />
= ,<br />
a közép-meridián mentén értelmezett átlagos földgörbületi sugár a redukált ellipszoidon.<br />
A hossztorzulási tényezıt és a hosszredukciót itt is a lineármodulus reciprokából kiindulva<br />
határozhatjuk meg, az m<br />
0<br />
tényezı figyelembe vételével. A (4.2.3.1.-2) összefüggés<br />
reciproka az EOV-nél megismert (2.3.4.1.-2) képlethez hasonlóan, az ottani x koordináta helyett<br />
y-t helyettesítve, s az<br />
1<br />
l<br />
1<br />
r helyett<br />
2<br />
m<br />
2<br />
⎛ y<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
⎝ 2 ⋅ R<br />
R -et írva, az alábbi:<br />
2<br />
01<br />
⎞ 1<br />
⎟ =<br />
⎠ m<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
⎝<br />
y<br />
2<br />
⋅ m<br />
= 2<br />
m<br />
⋅<br />
2<br />
0 01 0 2<br />
0<br />
R1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ . (4.2.3.1.-3)<br />
⎠<br />
Teljes összhangban az EOV (2.3.4.1.-3) képlettel kifejezett hossztorzulására bemutatott levezetéssel,<br />
az x koordináta helyett y-t helyettesítve, az UTM vetület hossztorzulására írhatjuk:<br />
0<br />
2<br />
k<br />
2<br />
2<br />
( y + y ⋅ y + y )<br />
1<br />
U = ⋅<br />
1 1 2 2 . (4.2.3.1.-4)<br />
6 ⋅ m ⋅ R<br />
Az R<br />
k<br />
a távolság két végpontjára számítható átlagos földgörbületi sugara. Az Egységes Országos<br />
Vetülethez hasonlóan írhatjuk:<br />
Hossztorzulási tényezı:<br />
Hosszredukció:<br />
d<br />
m = = m0 + U , (1.2.2.12.-10)<br />
s<br />
∆ s = d − s = ( m0 −1+<br />
U ) ⋅ s . (2.3.4.1.-4)<br />
Az x tengelyen a hossztorzulási tényezı értéke m<br />
0<br />
= 0,<br />
9996 , 1-nél kisebb, a hosszredukció<br />
negatív. Egy, az x tengely mentén 1 km-es távolság a fenti összefüggés szerint a<br />
∆ s = ( m0 −1)<br />
⋅ s = −0,0004<br />
⋅100000 cm = − 40 cm
161<br />
1<br />
értékkel rövidül, amely 2500<br />
mértékő hossztorzulást jelent, azaz jelentısen meghaladja a<br />
1<br />
Magyarországon elfogadott 10000<br />
értéket.<br />
4.2.3.2. Második irányredukció<br />
A második irányredukció Gauss-Krüger vetületnél megismert<br />
∆<br />
∆<br />
QP<br />
a<br />
y<br />
( xQ<br />
− xP<br />
) + b ⋅ ( yQ<br />
− yP<br />
) ⋅ ( xQ<br />
− xP<br />
)<br />
( x − x ) + b ⋅ ( y − y ) ⋅ ( x − x )<br />
PQ<br />
= − ⋅<br />
k<br />
⋅<br />
,<br />
= + a ⋅ y<br />
k<br />
⋅<br />
Q<br />
összefüggései az UTM-vetületre akkor érvényesek, ha<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
Q<br />
P<br />
(4.1.5.2.-12), (4.1.5.2.-13)<br />
a =<br />
ρ ′′<br />
és<br />
b =<br />
ρ′′<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 ⋅ m0 ⋅ Rk<br />
12 ⋅ m0<br />
⋅ Rk<br />
. (4.2.3.2.-1)<br />
Az<br />
y<br />
k<br />
és R a PQ irány két végpontjára érvényes adatok számtani középértékei.<br />
k<br />
4.2.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia<br />
A Gauss-Krüger vetülethez hasonlóan a vetületi meridiánkonvergenciát a földrajzi koordinátákból<br />
a<br />
5<br />
2 4 L<br />
4<br />
2<br />
( 1+<br />
3⋅η<br />
+ 2 ⋅η<br />
) + ⋅sin<br />
⋅ cos Φ ⋅ ( 2 − tan Φ )<br />
3<br />
L<br />
2<br />
µ = L ⋅sinΦ<br />
+ ⋅ sinΦ<br />
⋅ cos Φ ⋅<br />
Φ<br />
.<br />
3<br />
15<br />
(4.1.5.3.-8)<br />
képletbıl számíthatjuk. A számítást a metszı ellipszoidi henger elhelyezkedése, vagyis az m<br />
0<br />
értéke nem befolyásolja.<br />
A vetületi meridiánkonvergencia vetületi koordinátákból való számításakor viszont a<br />
redukálás m<br />
0<br />
mértékét figyelembe kell venni. Ekkor a (4.1.5.3.-9) képlet, valamint a<br />
(4.2.1.-<br />
2) összefüggések utáni indokolás alapján írhatjuk:<br />
µ =<br />
y<br />
m ⋅ N<br />
0<br />
1<br />
⋅ tanΦ<br />
1<br />
2<br />
⎡ y<br />
⎢ 1−<br />
2<br />
⎢<br />
3⋅<br />
m0<br />
⋅ N<br />
⋅<br />
⎢<br />
4<br />
y<br />
⎢+<br />
⋅<br />
4 4<br />
⎢⎣<br />
15 ⋅ m0<br />
N1<br />
2<br />
1<br />
⋅<br />
2<br />
2<br />
( 1+<br />
tan Φ −η<br />
)<br />
( ) ⎥ ⎥⎥⎥ 2<br />
4<br />
2 + 5⋅<br />
tan Φ1<br />
+ 3⋅<br />
tan Φ1<br />
⎥ ⎦<br />
1<br />
1<br />
+<br />
⎤<br />
. (4.2.3.3.-1)<br />
Példa:<br />
A Sopron melletti Harkai dombon lévı OGPSH pont földrajzi koordinátái a WGS84 ellipszoidon<br />
az alábbiak:<br />
o<br />
SOPR Φ = 47<br />
0 38′<br />
44,16909 ′′ Λ = 16 36′<br />
14,94369′<br />
.
162<br />
Számítsuk ki a pont<br />
meridiánkonvergenciát!<br />
0<br />
15 közép-meridiánú UTM-vetületi koordinátáit és a vetületi<br />
A számításhoz a Gauss-Krüger vetületnél bemutatott programokat használjuk, azzal a különbséggel,<br />
hogy az m0<br />
-lal végzendı szükséges beszorzásokat a megfelelı helyeken a programokba<br />
iktatjuk (Függelék, 4.2.3.3.-1. pont).<br />
Az eredmények:<br />
y = 120478,267 m<br />
o<br />
µ = 1 11′<br />
08,14680′<br />
.<br />
x = 5278158,147 m,<br />
4.2.4. A normál-ellipszisek földrajzi hosszúsága<br />
A normál-ellipszisek közép-meridiántól számított L E földrajzi hosszúságát a 4.2.4.-1<br />
ábra szerint kaphatjuk meg. Az ábra a forgási ellipszoidot a pólusok, pld. az északi pólus felıl<br />
szemlélteti.<br />
Egyenlítı<br />
L E<br />
L E<br />
a<br />
a ⋅ m 0<br />
4.2.4.-1. ábra: A normál-ellipszisek földrajzi hosszúsága<br />
A 4.2.4.-1. ábra alapján<br />
a ⋅ m0 = a ⋅ cos L E<br />
, (4.2.4.-1)<br />
vagyis<br />
m 0<br />
= cos L E<br />
= 0,9996<br />
írható. A fenti összefüggés szerint tehát a normál-ellipszisek a közép-meridiántól az<br />
L 1 o E<br />
= ± 37′<br />
14 ′′<br />
értékkel térnek el 15 .<br />
15 Látható, hogy az L E értéke nem függ az ellipszoid méreteitıl.
163<br />
4.2.5. Az UTM-vetület sáv- és rétegbeosztása<br />
6 0 56 0<br />
33U<br />
34U<br />
52 0<br />
Ausztria<br />
Szlovénia<br />
Horvátország<br />
Szlovákia<br />
Szerbia és<br />
Montenegro<br />
Ukrajna<br />
Románia<br />
48 0<br />
Φ<br />
8 0 12 0 18 0 24 0<br />
33T<br />
34T<br />
44 0<br />
Λ<br />
40 0<br />
4.2.5.-1. ábra: Az UTM vetület nemzetközi sáv- és rétegbeosztása Magyarországon<br />
0 0<br />
Az UTM vetületben a földfelszínt 6 ⋅ 8 -os trapézokra osztják. A nagy latin betős réteg<br />
jelölések a Déli sarknál kezdıdnek, az egyenlítıtıl északra az elsı réteg jelölése N. E jelöléseknek<br />
megfelelıen hazánk az UTM-vetület 33. és 34. sávjába, valamint a T és U jelöléső<br />
rétegekbe esik (4.2.5.-1. ábra). Az ábrán szaggatott vonalakkal a Gauss-Krüger réteghatárokat<br />
is berajzoltuk.<br />
4.2.5.1. Az UTM-vetület koordináta azonosítási rendszere<br />
0 0<br />
Minden egyes 6 ⋅ 8 -os trapéz száma a 6 0 -os sáv sorszámából és a 8 0 -os réteg betőjelébıl<br />
tevıdik össze, így pld. az ábrán pirossal (sötétítve) jelölt trapéz száma 32N. A 6 ⋅ 8 -os<br />
0 0<br />
trapézokat 100km*100km nagyságú négyzetekre osztják (4.2.5.1.-2. ábra).<br />
A 100 km * 100 km-es négyzeteket a következıképpen jelölik: a négyzetek elsı betője<br />
a 180 0 -tól kelet felé haladva A-tól Z-ig (összesen 24 bető: A, B, C, D, E, F, G, H, J, K, L, M,<br />
N, P, Q, R, S, T, U, V, Y, W, X, Z) tart. A 24 betővel összesen 3 db 6 0 -os sávot fognak át,<br />
utána újból kezdik a számozást. A második bető az Egyenlítıtıl északra és délre haladva páratlan<br />
sávban A-val, páros sávban (4.2.5.1.-2. ábra) F-fel kezdıdik. Fentieknek megfelelıen<br />
0 0<br />
például a 32N számú, 6 ⋅ 8 -os kiterjedéső trapézban ábrázolt P pont (4.2.5.1.-2. ábra) hálózati<br />
megjelölése a következı azonosítóval történik: 32NPH. A hálózat további sőrítése a 100<br />
km * 100 km nagyságú négyzet további tízes aláosztásával történik. Ezeket a megfelelı osz-
164<br />
lop és sor számával, arab számokkal jelölik. Megfelelı sőrítéssel a pont helyét az UTM koordinátákon<br />
kívül a pontra vonatkozó azonosítóval is azonosítani lehet.<br />
Az Egyenlítıtıl északra és délre haladva, természetesen, a 4.2.5.1.-2. ábrán az Egyenlítınél<br />
közelítıleg érvényes méretek csökkennek.<br />
180 0 240 0 300 0 0 0 60 0 120 0 180 0<br />
X<br />
72 0 É<br />
W<br />
64 0 É<br />
V<br />
56 0 É<br />
U<br />
48 0 É<br />
T<br />
40 0 É<br />
S<br />
32 0 É<br />
R<br />
24 0 É<br />
Q<br />
16 0 É<br />
P<br />
8 0 É<br />
N 0 0<br />
M<br />
8 0 D<br />
L<br />
16 0 D<br />
K<br />
24 0 D<br />
J<br />
32 0 D<br />
H<br />
40 0 D<br />
G<br />
48 0 D<br />
F<br />
56 0 D<br />
E<br />
64 0 D<br />
D<br />
72 0 D<br />
C<br />
80 0 D<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60<br />
4.2.5.1.-1. ábra: A földfelszín UTM vetületi sáv-, ill. rétegbeosztása<br />
E<br />
K özép-m eridián<br />
6 0 9 0 12 0<br />
H ossztartó norm ál-ellipszis<br />
200 km<br />
300 km<br />
∆ Λ = 6 0<br />
400 km<br />
600 km<br />
500 km<br />
800 km<br />
700 km<br />
500 km<br />
O<br />
JJ K J LJ M J N J PJ Q J R J<br />
JH K H LH M H N H<br />
P<br />
PH<br />
Q H R H<br />
JG K G LG M G N G PG Q G R G<br />
JF K F L F M F N F PF Q F R F<br />
∼180 km<br />
334 km<br />
500 km<br />
400 km<br />
300 km<br />
200 km<br />
100 km<br />
E gyenlítı<br />
4.2.5.1.-2. ábra: AZ UTM-vetület koordináta-azonosítási rendszere<br />
Az azonosításra példát a 4.2.5.1.-2. ábrán láthatunk:<br />
Hálózati megjelölés:
100 km-es egységben: 32NPH<br />
10 km-es egységben: 32NPH28<br />
1 km-es egységben: 32NPH2682<br />
100 m-es egységben: 32NPH263824<br />
10 m-es egységben: 32NPH26318241<br />
1 m-es egységben: 32NPH2631282417<br />
__________________________________________________<br />
165
166
5. Átszámítások vetületi rendszerek között<br />
Az eddigiekben áttekintettük a magyarországi <strong>vetületek</strong> sokféleségét, beleértve a Gauss-Krüger<br />
és az UTM vetületet is. Az országhatárok kinyílásával, szabad átjárhatóságával, az<br />
Európai Unióhoz való csatlakozással a vetületi sokféleség még nem merült ki, sıt, a GPS mérésekbıl<br />
levezetett eredmények térbelisége egyidejőleg a magasságok kezelését is lehetıvé teszi.<br />
A GPS mérésekbıl a térben 3 koordinátát kapunk egy, középpontjával a Föld tömegközéppontjába<br />
helyezett WGS84 16 vonatkoztatási ellipszoid térbeli, ill. ellipszoidi földrajzi koordinátarendszerében.<br />
A különbözı országok vetületi (és magassági) rendszereinek összekapcsolása<br />
ezen keresztül lehetséges. Egyrészt, két szomszédos ország vetületi (és magassági)<br />
rendszereinek összekapcsolásához a WGS84 vonatkoztatási ellipszoidra való közös áttérés<br />
szükséges, másrészt, az utóbbira átszámított koordinátákról saját térképezési feladatainak<br />
megoldásához mindenkinek át kell térnie a saját vetületi (magassági) rendszerére.<br />
Napjainkban az elektronikus számítás- és mőszeres technika, a számítógépes térképezés,<br />
a digitális rajzgépeken való megjelenítés lehetıségei gyökeresen megváltoztatták és kiterjesztették<br />
a vetületi rendszerek közötti átszámításokhoz való hozzáállásunkat. A hagyományos,<br />
elsısorban a síkban értelmezett eljárásokat felváltották a számítástechnikai szempontból<br />
sokáig nehezen kezelhetı, nagy kiterjedéső földfelületen is alkalmazható, az idıbeni változásokat<br />
finomabban követni tudó térbeli átszámítási módszerek.<br />
Mind a különbözı vetületi rendszerek, mind a GPS mérésekbıl levezetett eredmények<br />
és a <strong>vetületek</strong> közötti átszámításokat foglalja össze az alábbi séma:<br />
167<br />
„Inverz” vetületi egyenletek<br />
Vetület 1 (y, x, m)<br />
I.<br />
Térbeli polinomos transzformáció<br />
II.<br />
Vetületi egyenletek<br />
Az 5.-1. ábra jelölései:<br />
Ellipszoidi földrajzi rendszer 1 (Φ, Λ, h=N+m)<br />
Ellipszoidi térbeli rendszer 1 (X, Y, Z)<br />
Ellipszoidi térbeli rendszer 2 (X’, Y’,Z’)<br />
Sík hasonlósági, polinomos és affin<br />
transzformáció<br />
Ellipszoidi földrajzi rendszer 2 (Φ’, Λ’, h’)<br />
Vetület 2 (y’, x’, m’=h’-N’)<br />
5.-1. ábra: Átszámítási séma<br />
Térbeli hasonlósági transzformáció<br />
Φ, Λ, Φ’, Λ’ - ellipszoidi földrajzi koordináták az 1., ill. a 2. rendszerben,<br />
X, Y, Z, X’, Y’, Z’ – ellipszoidi térbeli koordináták az 1., ill. a 2. rendszerben,<br />
h, h’ – ellipszoid feletti magasságok az 1., ill. a 2. rendszerben,<br />
y, x, y’, x’ – vetületi koordináták az 1., ill. a 2. rendszerben,<br />
m, m’ – tengerszint feletti magasságok az 1., ill. a 2. rendszerben,<br />
16 A követı állomások koordinátáit a WGS84 vonatkoztatási rendszerben adják meg. Mivel a nemzetközi ITRS,<br />
ill. az európai ETRS (ill. ennek jelenleg érvényes realizációjához tartozó EUREF89) rendszer eltérése ettıl csak<br />
néhány cm, a gyakorlati GPS mérések végrehajtása során úgy tekinthetjük, hogy a GPS mérésekbıl levezetett<br />
eredmények a WGS84 ellipszoidra vonatkoznak.
168<br />
N = h − m - geoidunduláció,<br />
I. - ellipszoidi térbeli koordináták számítása ellipszoidi földrajzi koordinátákból,<br />
II. - ellipszoidi földrajzi koordináták számítása ellipszoidi térbeli koordinátákból.<br />
A h ellipszoid feletti magasság számításához az m tengerszintfeletti magasságból elvileg<br />
az N geoidunduláció, az m’ tengerszint feletti magasság számításához a h’ ellipszoidi<br />
magasságból az N’ geoidunduláció, azaz a geoidmodell ismeretére van szükség. A<br />
geoidmodell mintegy 10-15 km-es sugarú körön belüli ún. lokális transzformációknál gyakorlatilag<br />
megkerülhetı: a geoidunduláció figyelmen kívül hagyása a vonatkoztatási rendszerek<br />
keveredése miatt ugyan nem korrekt, de a tapasztalat szerint az így számítható eredmények a<br />
gyakorlat szempontjából elfogadhatók. Nagy terület esetén a geoidmodell elhanyagolása a<br />
pontosság rovására megy, bár az így elérhetı, általában 0,5 m-en belüli pontosság a legtöbb<br />
térinformatikai feladat számára megfelelı (pld. Borza, 1999).<br />
A térbeli hasonlósági (más néven térbeli Helmert-, vagy 7 paraméteres) transzformációt<br />
az ellipszoidi térbeli rendszerek között használjuk, míg a térbeli polinomos transzformáció<br />
elvileg az ellipszoidi földrajzi rendszerek között, vagy akár vegyesen is végezhetı. Különbözı<br />
<strong>vetületek</strong> között közvetlen átszámításra szolgál a sík 4 paraméteres (Helmert-) és a<br />
sík polinomos, valamint utóbbi speciális esete, az affin transzformáció.<br />
E fejezetben sorrendben elıször a különbözı vonatkoztatási rendszerek (ellipszoidok)<br />
közötti átszámításokkal, a térbeli hasonlósági, a térbeli polinomos, a síkbeli hasonlósági, a<br />
síkbeli polinomos és a síkbeli affin transzformációval foglalkozunk.<br />
Az azonos vonatkoztatási ellipszoidú <strong>vetületek</strong> (a történelmi Magyarország sztereografikus<br />
és ferdetengelyő hengervetületei, a különbözı kezdı-meridiánú Gauss-Krüger és UTM<br />
sávok) közötti egzakt eljárások a vetületi és az alapfelületi földrajzi koordináták közötti, az<br />
eddigiekben már megismert átszámítási összefüggésekre („inverz” vetületi egyenletek, vetületi<br />
egyenletek) épülnek. Ezekre alapozva az 5.6. pontban tárgyaljuk a szakmatörténetileg is érdekes<br />
koordináta-módszert. Ha két vetület vonatkoztatási ellipszoidja megegyezik, mindig ezt<br />
a módszert alkalmazzuk. Mondanivalónkat számpéldákkal is illusztráljuk.<br />
5.1. Összefüggések az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi földrajzi<br />
koordináták között<br />
Z<br />
P<br />
h<br />
P’<br />
Z<br />
Λ<br />
Φ<br />
X<br />
Y<br />
Y<br />
X<br />
5.1.-1. ábra: GPS mérésekbıl levezetett eredmények
169<br />
Az 5.1.-1. ábrán az X, Y, Z ellipszoidi térbeli és a Φ, Λ, h ellipszoidi földrajzi koordinátarendszert<br />
szemléltetjük. Az XZ sík az ellipszoid kezdı-meridiánjának, az XY az ellipszoidi<br />
egyenlítınek a síkja, Z az ellipszoid forgástengelye, Φ az ellipszoidi földrajzi szélesség, Λ<br />
az ellipszoidi földrajzi hosszúság, h az ellipszoid feletti magasság.<br />
Az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi földrajzi koordináták között szigorú átszámítási<br />
összefüggések állnak fenn. Vezessük le ezeket az összefüggéseket!<br />
5.1.1. Ellipszoidi térbeli koordináták számítása ellipszoidi földrajzi koordinátákból<br />
1. Meusnier tétele (pld. Bronstein-Szemengyajev, 1963, 321. old., Hegedős, 24. old.)<br />
értelmében egy felület P felületi pontjában húzott érintı egyeneshez illeszkedı ferdemetszet<br />
görbületi sugara egyenlı az ugyanazon érintıhöz illeszkedı normálmetszet görbületi sugarának<br />
és a két metszeti sík közbezárt szöge cosinusának szorzatával. Forgási ellipszoid esetén<br />
(5.1.1.-1. ábra) a normálmetszet P’DE síkja a P’ ponton átmenı ferdemetszet (szélességi kör)<br />
P’RQ síkjával Φ szöget zár be, azaz<br />
r = P' n ⋅ cosΦ . (5.1.1.-1.)<br />
Z<br />
Q<br />
R<br />
r<br />
P’<br />
E<br />
o<br />
90<br />
− Φ<br />
n<br />
D<br />
5.1.1.-1. ábra: A meridiánra merıleges P’DE normálmetszet és a P’RQ ferdemetszet (a<br />
P’ szélességi köre)<br />
Ebbıl következik, hogy a P pontból (5.1.-1. ábra) az ellipszoidhoz húzott normális P’n<br />
szakasza, ahol az n pont a normális és a Z tengely metszéspontja, maga az N harántgörbületi<br />
sugár:<br />
N = P′n . (5.1.1.-2)<br />
2. Az X és Y ellipszoidi térbeli koordinátákat az 5.1.-1. ábra kiegészítésével, ill. módosításával<br />
kapjuk (5.1.1.-2. ábra). A PP’’n háromszögbıl ugyanis<br />
Az (5.1.1.-3) figyelembevételével X-re és Y-ra kapjuk:<br />
p = ( N + h)<br />
⋅ cosΦ<br />
. (5.1.1.-3)<br />
X = ( N + h)<br />
⋅ cosΦ<br />
⋅ cos Λ<br />
. (5.1.1.-4)<br />
Y = ( N + h)<br />
⋅ cosΦ<br />
⋅ sin Λ
170<br />
Z<br />
P<br />
h<br />
P’<br />
N<br />
Y<br />
n Φ<br />
Λ<br />
p<br />
X<br />
Y<br />
X<br />
5.1.1.-2. ábra: Az X és Y koordináták meghatározása<br />
3. A Z koordináta (5.1.-1. ábra) meghatározásához tekintsük a P’ pont meridiánsíkjába<br />
(5.1.1.-1. ábra) esı x, y koordinátarendszert (5.1.1.-3. ábra)!<br />
y(Z)<br />
P’’<br />
P<br />
x<br />
h<br />
P’<br />
Z<br />
a<br />
b<br />
n<br />
N’<br />
Φ<br />
A<br />
x<br />
y<br />
B<br />
o<br />
90<br />
+Φ<br />
x<br />
Az ellipszis egyenlete:<br />
5.1.1.-3. ábra: A Z koordináta meghatározása<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
+<br />
b<br />
y<br />
ahol a és b a forgási ellipszoid fél nagy-, ill. fél kistengelye.<br />
2<br />
2<br />
−1<br />
= 0 , (5.1.1.-5)<br />
A P’ ponthoz tartozó érintı iránytangense ismeretesen az (5.1.1.-5) függvény P’ pontbeli elsı<br />
differenciálhányadosa:<br />
dy<br />
dx<br />
o<br />
= tan(90 + Φ)<br />
= −cotΦ<br />
, (5.1.1.-6)
171<br />
Az implicit függvény differenciálási szabálya szerint<br />
ahonnan<br />
2 ⋅ x 2 ⋅ y dy<br />
+ ⋅<br />
2<br />
a b dx<br />
dy<br />
dx<br />
2<br />
=<br />
b<br />
−<br />
a<br />
2<br />
=<br />
2<br />
⋅<br />
x<br />
y<br />
0 ,<br />
. (5.1.1.-7)<br />
Az (5.1.1.-6) és az (5.1.1.-7) összefüggések egybevetésével kapjuk:<br />
y<br />
x<br />
2<br />
b<br />
= ⋅ tan Φ . (5.1.1.-8)<br />
2<br />
a<br />
Az 5.1.1.-3. ábra alapján (5.1.1.-8) átírható a következı alakba:<br />
ahonnan<br />
A PAB háromszögbıl Z-re kapjuk:<br />
N ′⋅ sinΦ<br />
b<br />
=<br />
N ⋅ cosΦ<br />
a<br />
b<br />
N ′ =<br />
a<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⋅ N .<br />
⋅ tanΦ<br />
,<br />
2<br />
⎛ b ⎞<br />
Z = ⎜ ⋅ N + h sinΦ<br />
2<br />
a<br />
⎟ ⋅ . (5.1.1.-9)<br />
⎝ ⎠<br />
Végül, az (5.1.1.-4) és (5.1.1.-9) összefüggések összesítésével kapjuk:<br />
X = (N + h) ⋅ cosΦ<br />
⋅ cos Λ,<br />
Y = (N + h) ⋅ cosΦ<br />
⋅ sin Λ,<br />
⎛ b<br />
Z =<br />
⎜<br />
⎝ a<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⋅ N + h<br />
⎟ ⋅ sinΦ.<br />
⎠<br />
(5.1.1.-10)<br />
Példa:<br />
GPS mérésekbıl a térben egy Q pontra 3 koordinátát kaptunk a középpontjával a Föld<br />
tömegközéppontjába helyezett WGS84 vonatkoztatási ellipszoid földrajzi koordinátarendszerében:<br />
o<br />
o<br />
Φ = 48 07′46,3794 ′′ Λ = 22 32′56,9369 ′<br />
h = 193,617 m.<br />
Az (5.1.1.-10) összefüggések felhasználásával számítsuk ki a Q pont X, Y, Z ellipszoidi térbeli<br />
koordinátáit! A számításhoz használt VisualBasic nyelvő programrészt a Függelék 5.1.1.-1.<br />
pontjában találjuk.<br />
Eredmények: X=3939065,900 m Y=1635574,656 m Z=4726647,124 m.
172<br />
5.1.2. Ellipszoidi földrajzi koordináták számítása ellipszoidi térbeli koordinátákból<br />
1. Az (5.1.1.-10) második összefüggését az elsıvel osztva, kapjuk:<br />
tan Λ =<br />
ahonnan az ellipszoidi földrajzi szélesség:<br />
2. Az (5.1.1.-3) összefüggésbıl kifejezzük h-t:<br />
Y<br />
X<br />
,<br />
Y<br />
Λ = arctan .<br />
(5.1.2.-1)<br />
X<br />
p<br />
h = − N . cos Φ<br />
Az 5.1.1.-2. ábra szerint viszont p a P pont távolsága a Z tengelytıl:<br />
ezért az ellipszoidi magasságra kapjuk:<br />
p +<br />
2 2<br />
= X Y , (5.1.2.-2)<br />
h =<br />
2<br />
X + Y<br />
cosΦ<br />
2<br />
− N . (5.1.2.-3)<br />
3. Az elsı numerikus excentricitásra vonatkozó<br />
összefüggésbıl<br />
e<br />
2<br />
b<br />
a<br />
2<br />
a − b<br />
=<br />
2<br />
a<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= 1−<br />
e .<br />
2<br />
Utóbbi (5.1.1.-9)-be helyettesítésével<br />
2<br />
( N + h − e ⋅ N ) ⋅ sinΦ<br />
Az (5.1.2.-4)-bıl emeljünk ki ( N + h)<br />
-t. Írhatjuk:<br />
Z = . (5.1.2.-4)<br />
Az (5.1.2.-5) kifejezést a<br />
egyenlettel osztva,<br />
Z<br />
⎛ 2 N ⎞<br />
= ( N + h) ⋅ ⎜1−<br />
e ⋅ ⎟ ⋅ sinΦ<br />
. (5.1.2.-5)<br />
⎝ N + h ⎠<br />
p = ( N + h)<br />
⋅ cosΦ<br />
(5.1.1.-3)<br />
Z ⎛<br />
= ⎜1−<br />
e<br />
p ⎝<br />
2<br />
N ⎞<br />
⋅ ⎟ ⋅ tanΦ<br />
N + h ⎠
173<br />
adódik, ahonnan<br />
tan<br />
−1<br />
⎛ 2 N ⎞<br />
Φ = ⋅ 1−<br />
e ⋅ .<br />
Z<br />
p<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
N + h ⎠<br />
A p helyébe az (5.1.2.-2)-t visszaírva és a Φ-t kifejezve, kapjuk:<br />
−1<br />
⎡ Z ⎛<br />
⎤<br />
2 N ⎞<br />
Φ = arctan⎢<br />
⋅ ⎜1<br />
− e ⋅ ⎟ ⎥ . (5.1.2.-6)<br />
2 2<br />
⎢⎣<br />
X + Y ⎝ N + h ⎠ ⎥⎦<br />
Az (5.1.2.-3) és az (5.1.2.-6) összefüggésekben a keresett h és Φ mindkét oldalon szerepel,<br />
ezért a kettı közül az egyiket iterációval kellene megoldani. Bowring (1976) az (5.1.2.-6) helyett<br />
a<br />
2<br />
3<br />
Z+e′<br />
⋅b<br />
⋅ sin ϑ<br />
Φ = arctan<br />
(5.1.2.-7)<br />
2<br />
3<br />
p − e ⋅ a ⋅ cos ϑ<br />
összefüggést vezette le. A képlet alkalmazásakor már nincs szükség iterációra.<br />
Az (5.1.2.-7) képlet jelölései:<br />
p +<br />
2 2<br />
= X Y ;<br />
e<br />
2<br />
=<br />
a<br />
2<br />
−<br />
2<br />
a<br />
b<br />
2<br />
2<br />
a − b<br />
′ ;<br />
b<br />
2<br />
2<br />
; e =<br />
2<br />
Z ⋅ a<br />
ϑ = arctan .<br />
p ⋅b<br />
Végül, az (5.1.2.-1), az (5.1.2.-3) és az (5.1.2.-7) összefüggések összesítésével írhatjuk:<br />
Példa:<br />
Z+e′<br />
Φ = arctan<br />
p − e<br />
h =<br />
2<br />
2<br />
Λ = arctan<br />
2<br />
X + Y<br />
cosΦ<br />
3<br />
⋅ b ⋅sin<br />
ϑ<br />
3<br />
⋅ a ⋅ cos ϑ<br />
Y<br />
X<br />
2<br />
− N<br />
. (5.1.2.-8)<br />
GPS mérésekbıl a térben egy P pontra 3 koordinátát kaptunk a középpontjával a Föld<br />
tömegközéppontjába helyezett WGS84 vonatkoztatási ellipszoid térbeli koordinátarendszerében:<br />
X = 4125619,100 m Y = 1230225,938 m Z = 4690656,162 m .<br />
Az (5.1.2.-7) összefüggések felhasználásával számítsuk ki a P pont Φ, Λ földrajzi koordinátáit<br />
és a WGS84 ellipszoid feletti h magasságot!<br />
A számításhoz a Függelék, 5.1.2.-1. pont alatti VisualBasic nyelvő programrészt használtuk.<br />
Eredmények:<br />
o<br />
o<br />
Φ = 47 38′44,16909 ′′ Λ = 16 36′14,94369 ′<br />
h = 320,547 m .
174<br />
5.2. A térbeli hasonlósági transzformáció<br />
Z<br />
Z’<br />
γ<br />
P<br />
Y’<br />
X′<br />
X<br />
Z’<br />
X’<br />
a<br />
0<br />
c 0<br />
a<br />
0<br />
Z<br />
X<br />
β<br />
Y<br />
Y<br />
b<br />
0<br />
Y’<br />
X’<br />
X<br />
α<br />
5.2.-1. ábra: Eltolt és elforgatott térbeli derékszögő koordinátarendszerek<br />
Két földi ellipszoid egymáshoz képest általánosságban az 5.2.-1. ábrán ábrázolt módon<br />
helyezkedhet el. Az ellipszoidokhoz tartozó, a térben eltolt és elfordult térbeli derékszögő koordinátarendszerek<br />
egymáshoz képest elfoglalt helyzete 3 eltolási paraméterrel és 3 szögadattal<br />
jellemezhetı. A 7. paraméter a méretarány-tényezı, amelyet rendszerint a különbözı ellipszoidokra<br />
vonatkoztatott távolságmérések különbségei okoznak. Ezen ún. 7 paraméteres<br />
transzformáció (más néven térbeli Helmert transzformáció, vagy Bursa-Wolf modell) során<br />
egy térbeli idom az eredeti koordinátarendszerhez képest eltolt és elfordult helyzető lesz, mérete<br />
megváltozik, de alakja az eredetihez hasonló marad: innen származik a transzformáció<br />
elnevezése.<br />
5.2.1. A transzformációs összefüggés levezetése<br />
Az 5.2.-1. ábrán látható vektorháromszögbıl a transzformáció vektoros formában az alábbi:<br />
Az (5.2.1.-1) vektoregyenlet jelölései:<br />
⎛ X ′ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
X′<br />
= ⎜Y<br />
′ ⎟ - térbeli koordináták a 2. rendszerben<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ Z ′ ⎠<br />
a<br />
0<br />
⎛a<br />
⎜<br />
= ⎜b<br />
⎜<br />
⎝c<br />
0<br />
0<br />
0<br />
( + ) ⋅ R X<br />
X′ = a<br />
0<br />
+ 1 κ ⋅ . (5.2.1.-1)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟ - az 1. rendszer origójának koordinátái a 2. rendszerben (eltolási paraméterek)<br />
⎟<br />
⎠<br />
1 + κ = υ - a méretarány-tényezı; κ - méretarány-különbség
175<br />
⎛ R11<br />
R12<br />
R13<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
R = ⎜ R21<br />
R22<br />
R23<br />
⎟ - az α, β, γ elforgatási szögeket tartalmazó forgatómátrix<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ R31<br />
R32<br />
R33<br />
⎠<br />
⎛ X ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
X = ⎜Y<br />
⎟ - térbeli koordináták az 1. rendszerben.<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ Z ⎠<br />
Az R forgatómátrix meghatározható 3 tengely körüli egymás utáni síkbeli forgatást kifejezı<br />
forgatómátrix szorzataként. A forgatómátrix elemei a forgatások sorrendjétıl, ill. a forgásirányoktól<br />
függnek. Minden forgatás akkor érvényes, amikor az elızıt már végrehajtottuk.<br />
Ekkor mondjuk, hogy a forgatások „együtt mozgó” koordinátarendszerre vonatkoznak.<br />
Jelöljük az 5.2.1.-1. ábrán a forgásirányokat az 5.2.-1. ábrának megfelelıen. Az α az X<br />
tengely, a β az Y tengely, a γ a Z tengely körüli forgást jelenti, i, j és k egységvektorok. A levezetéshez<br />
felhasználjuk a vektor algebra eszközeit.<br />
A forgatások sorrendje legyen:<br />
1. Forgatás a Z tengely körül,<br />
2. Forgatás az Y tengely körül,<br />
3. Forgatás az X tengely körül.<br />
A síkbeli forgatómátrixok levezetésénél a forgatást mindig a forgástengely pozitív iránya<br />
felıl szemléljük.<br />
Z<br />
γ<br />
i<br />
k<br />
j<br />
β<br />
Y<br />
1. Forgatás a Z tengely körül (5.2.1.-2. ábra)<br />
X<br />
α<br />
5.2.1.-1. ábra: A transzformáció forgásirányai<br />
r ⋅ = Z<br />
i<br />
γ<br />
γ<br />
X ;<br />
r<br />
Z<br />
Y<br />
γ<br />
r ⋅ = Z<br />
= X ⋅ i + Y ⋅ j ; s így<br />
j<br />
γ<br />
; de<br />
γ<br />
γ<br />
( X ⋅ i + Y ⋅ j) ⋅ i = X ⋅ i ⋅ i +<br />
γ<br />
⋅ j⋅<br />
i<br />
γ<br />
γ<br />
( X ⋅ i + Y ⋅ j) ⋅ j = X ⋅ i ⋅ j +<br />
γ<br />
⋅ j⋅<br />
j<br />
= Y<br />
γ<br />
X ; (5.2.1.-2)<br />
= Y<br />
γ<br />
Y ;
176<br />
γ<br />
Z =<br />
Z .<br />
+Y γ<br />
+Y<br />
+Y γ<br />
+Y<br />
j γ<br />
γ<br />
j<br />
X γ<br />
P(P γ )<br />
X<br />
r Z<br />
Y γ<br />
i<br />
i γ<br />
γ<br />
Y<br />
5.2.1.-2. ábra. Forgatás a Z tengely körül<br />
Továbbá, figyelembe véve, hogy az egységvektorok skaláris szorzata 1, írhatjuk:<br />
+X γ<br />
Y ⋅cosγ<br />
+X<br />
γ<br />
− X ⋅sin γ<br />
X γ X<br />
X ⋅cosγ<br />
γ<br />
γ<br />
Y<br />
P(P γ )<br />
Y γ<br />
Y ⋅sinγ<br />
+X γ<br />
+X<br />
Az<br />
Az<br />
γ<br />
R forgatómátrix:<br />
γ<br />
R -val transzformált koordináták:<br />
⋅<br />
γ<br />
γ<br />
i ⋅ i = i ⋅ i ⋅ cos γ = cosγ<br />
;<br />
=<br />
⋅<br />
⋅<br />
o<br />
( 90 − γ ) = sin γ<br />
γ<br />
γ<br />
j i j i cos<br />
;<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
⋅<br />
o<br />
( 90 + γ ) = −sin<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
i j i j cos<br />
;<br />
X<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
j ⋅ j = j ⋅ j ⋅ cos γ = cosγ<br />
.<br />
⎛cosγ<br />
sinγ<br />
0⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
γ<br />
R = ⎜- sinγ<br />
cosγ<br />
0 ⎟ .<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 1 ⎠<br />
γ<br />
⎛ X ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
γ<br />
= ⎜ Y ⎟ = R<br />
⎜ ⎟<br />
γ<br />
⎝ Z = Z ⎠<br />
2. Forgatás az Y tengely körül (5.2.1.-3. ábra)<br />
Az elızı forgatáshoz hasonló levezetéssel az<br />
A koordináták az<br />
⎛cos<br />
β 0 - sinβ<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
β<br />
R = ⎜ 0 1 0 ⎟ .<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝sinβ<br />
0 cosβ<br />
⎠<br />
γ<br />
R -val és az<br />
γ<br />
⎛ X ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⋅ ⎜Y<br />
⎟ = R<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ Z ⎠<br />
γ<br />
⋅ X . (5.2.1.-3)<br />
β<br />
R forgatómátrixra írhatjuk:<br />
β<br />
R -val végzett transzformáció után:
177<br />
X<br />
β<br />
γ<br />
⎛ X<br />
⎜<br />
β<br />
= ⎜ Y = Y<br />
⎜<br />
β<br />
⎝ Z<br />
γ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟ = R<br />
⎟<br />
⎠<br />
γ<br />
⎛ X<br />
⎜<br />
⋅⎜Y<br />
⎜<br />
⎝ Z<br />
γ<br />
γ<br />
γ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟ = R<br />
⎟<br />
⎠<br />
β<br />
⋅ R<br />
γ<br />
⎛ X ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⋅⎜Y<br />
⎟ = R<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ Z ⎠<br />
β<br />
⋅ R<br />
γ<br />
⋅ X . (5.2.1.-4)<br />
+X γ<br />
+X β α<br />
Z(Z γ )<br />
X β<br />
β<br />
Z β<br />
+Z β<br />
X γ<br />
i β i γ k β β<br />
k =k γ<br />
+Z(+Z γ )<br />
r Y<br />
P γ (P β )<br />
5.2.1.-3. ábra. Forgatás az Y tengely körül<br />
3. Forgatás az X tengely körül (5.2.1.-4. ábra)<br />
+Z β<br />
+Z’<br />
Y’<br />
Y β<br />
r X<br />
P β (P’)<br />
Z’<br />
+Y’<br />
Z β<br />
k’<br />
k β<br />
j’<br />
j β<br />
α<br />
+Y β<br />
Az<br />
Az<br />
α<br />
R forgatómátrix:<br />
γ<br />
R ,<br />
β<br />
R és<br />
5.2.1.-4. ábra: Forgatás az X tengely körül<br />
⎛ 1 0 0 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
α<br />
R = ⎜ 0 cosα<br />
sinα<br />
⎟ .<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 0 - sinα<br />
cosα<br />
⎠<br />
α<br />
R forgatómátrixokkal transzformált koordináták:<br />
⎛X′<br />
= X<br />
⎜<br />
X′<br />
= ⎜ Y ′<br />
⎜<br />
⎝ Z′<br />
γ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟ = R<br />
⎟<br />
⎠<br />
Az (5.2.1.-5) összefüggésben<br />
α<br />
⎛ X<br />
⎜<br />
⋅ ⎜Y<br />
⎜<br />
⎝ Z<br />
β<br />
β<br />
β<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟ = R<br />
⎟<br />
⎠<br />
α<br />
⋅ R<br />
β<br />
⋅ R<br />
γ<br />
⎛ X ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⋅⎜Y<br />
⎟ = R ⋅ X<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ Z ⎠<br />
(5.2.1.-5)
178<br />
⎛ R11<br />
R12<br />
R13<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
α β γ<br />
R = R ⋅ R ⋅ R = ⎜ R21<br />
R22<br />
R23<br />
⎟ .<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ R31<br />
R32<br />
R33<br />
⎠<br />
A szorzást a mátrixszorzás szabályainak megfelelıen elvégezve, a forgatómátrix elemeire<br />
kapjuk:<br />
R = cos β ⋅ cosγ<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
11<br />
12<br />
13<br />
21<br />
22<br />
23<br />
31<br />
32<br />
33<br />
= cos β ⋅sin<br />
γ<br />
= −sin<br />
β<br />
= −cosα<br />
⋅sin<br />
γ + sinα<br />
⋅sin<br />
β ⋅ cosγ<br />
= cosα<br />
⋅ cosγ<br />
+ sinα<br />
⋅ sin β ⋅sin<br />
γ<br />
= sinα<br />
⋅ cos β<br />
= sinα<br />
⋅sin<br />
γ + cosα<br />
⋅ sin β ⋅ cosγ<br />
= −sinα<br />
⋅ cosγ<br />
+ cosα<br />
⋅ sin β ⋅sin<br />
γ<br />
= cosα<br />
⋅ cos β .<br />
(5.2.1.-6)<br />
A transzformációs paraméterek ismeretében az 1. rendszerben adott tetszıleges számú<br />
pont a 2. rendszerbe átszámítható.<br />
5.2.2. A transzformációs paraméterek meghatározása<br />
A transzformációs paraméterek meghatározásához mindkét térbeli derékszögő koordinátarendszerben<br />
ismert ún. közös (azonos, illesztı) pontokra van szükség. A közös pontok koordinátái<br />
mindkét rendszerben ismertek, ill. számíthatók. Megválasztásuktól függ a paraméterek<br />
megbízhatósága, ill. végsı soron majd az átszámítás pontossága. Ezért ezek megválasztásánál<br />
rendkívül körültekintıen kell eljárnunk.<br />
A 7 paraméter meghatározásához legalább 7 egyenletre van szükségünk, ez elvileg 2<br />
közös pontot jelent mindhárom térbeli koordinátájával és 1 pontot valamelyik koordinátájával<br />
mindkét rendszerben. Ez problémát jelent a paraméterek számításában, ezért törekedjünk arra,<br />
hogy legalább 3 közös pontunk legyen, ami összesen 9 egyenletet jelent. A két (vagy több<br />
pont esetén több) fölös adat a gyakorlatban azt jelenti, hogy a paramétereket kiegyenlítéssel<br />
kell meghatároznunk.<br />
A vonatkoztatási ellipszoidokhoz tartozó koordinátarendszerek tengelyei egymáshoz<br />
képest kis szögekkel fordulnak el 17 . Kis szögek cosinusai 1-el, sinusai az ívmértékükkel<br />
egyenlık, a sinusok szorzatai pedig elhanyagolhatók. Ennek megfelelıen az (5.2.1.-6) egyenletekbe<br />
a cos α ≈ cos β ≈ cosγ<br />
= 1 , sinα<br />
≈ dα<br />
, sin β ≈ dβ<br />
; sin γ ≈ dγ<br />
értékeket helyettesítjük,<br />
a sinusos tagok szorzatát pedig 0-nak tekintjük. Kapjuk:<br />
Végezzük el az<br />
⎛1<br />
dγ<br />
- dβ<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
R = ⎜−<br />
dγ<br />
1 dα<br />
⎟ . (5.2.2.-1)<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝dβ<br />
- dα<br />
1 ⎠<br />
17 Kivétel lehet a Bessel ellipszoid, ha a hozzá tartozó vetület (pld. az ausztriai Gauss-Krüger vetület) kezdımeridiánja<br />
a Ferro-i meridián, amelynek közelítı eltérése a Greenwichi meridiántól nyugatra 17 o 40′ . Ez az érték<br />
– még a derékszögő rendszerre való áttérés elıtt - Λ-ban figyelembe vehetı, az eltérés ettıl már kis szögértékhez<br />
vezet.
179<br />
( + ) ⋅ R X<br />
vektoregyenletben kijelölt szorzásokat! Kapjuk:<br />
X′ = a<br />
0<br />
+ 1 κ ⋅<br />
(5.2.1.-1)<br />
vagy<br />
X ′ = a<br />
Y ′ = b<br />
o<br />
Z′<br />
= c<br />
o<br />
o<br />
+ (1 + κ ) ⋅ X + (1 + κ)<br />
⋅Y<br />
⋅ dγ<br />
− (1 + κ ) ⋅ Z ⋅ dβ<br />
+ (1 + κ)<br />
⋅Y<br />
− (1 + κ ) ⋅ X ⋅ dγ<br />
+ (1 + κ)<br />
⋅ Z ⋅ dα<br />
,<br />
+ (1 + κ ) ⋅ Z + (1 + κ ) ⋅ X ⋅ dβ<br />
− (1 + κ)<br />
⋅Y<br />
⋅ dα<br />
X ′ = a<br />
Y ′ = b<br />
o<br />
Z′<br />
= c<br />
o<br />
o<br />
+ X + κ ⋅ X + Y ⋅ dγ<br />
+ κ ⋅Y<br />
⋅ dγ<br />
− Z ⋅ dβ<br />
− κ ⋅ Z ⋅ dβ<br />
+ Y + κ ⋅Y<br />
− X ⋅ dγ<br />
− κ ⋅ X ⋅ dγ<br />
+ Z ⋅ dα<br />
+ κ ⋅ Z ⋅ dα<br />
+ Z + κ ⋅ Z + X ⋅ dβ<br />
+ κ ⋅ X ⋅ dβ<br />
− Y ⋅ dα<br />
+ κ ⋅Y<br />
⋅ dα<br />
(5.2.2.-2)<br />
Az (5.2.2.-2) összefüggésekben a koordináták nagysága a terepi pontnak az ellipszoid középpontjától<br />
való távolságától, ezen belül a féltengelyek méretétıl, ill. a pont ellipszoid feletti<br />
magasságától függ. Magyarországon a legnagyobb koordináta a Z, ami még 1000 m tengerszint<br />
feletti magasságban is Z < 5 ⋅ 10 m . Ekkor pld. a WGS84 és a HD72 (Hungarian Datum<br />
6<br />
1972, IUGG/1967) közötti átszámításkor tapasztalat szerint a méretarány-különbség κ < 10 −5<br />
6<br />
és a forgatási szögek szélsı esetben sem haladják meg az 5”-et. Ekkor Z = 5 ⋅10<br />
m mellett<br />
6 −5<br />
5′′<br />
κ ⋅ Z ⋅ dβ<br />
= 5 ⋅10<br />
m ⋅10<br />
⋅ ≈ 0,001m .<br />
5<br />
2 ⋅10<br />
"<br />
Az összefüggés jobb oldalának nevezıjében 2 ⋅ 10<br />
5 " az 1 radián ”-ben kifejezett közelítı értéke.<br />
Következésképpen a méretarány-különbségeknek a koordinátákkal és a forgatási szögekkel<br />
vett vegyes szorzatait elhanyagolhatjuk, hiszen a többi taghoz képest nagyságrendekkel<br />
kisebbek, s náluk az adott pontok koordinátáinak hibái is jóval nagyobbak. Az (5.2.2.-2) öszszefüggések<br />
így felírhatók<br />
X ′ = a<br />
Y ′ = b<br />
o<br />
o<br />
+ X + κ ⋅ X + Y ⋅ dγ<br />
− Z ⋅ dβ<br />
+ Y + κ ⋅Y<br />
− X ⋅ dγ<br />
+ Z ⋅ dα<br />
(5.2.2.-3)<br />
Z′<br />
= co<br />
+ Z + κ ⋅ Z + X ⋅ dβ<br />
− Y ⋅ dα<br />
alakban.<br />
Az (5.2.2.-3) egyenletekben az X’, Y’, és Z’ koordinátákat vigyük át az egyenletek<br />
jobb oldalára. Az adott pontok koordinátáiban lévı hibák miatt a bal oldalak nem zérus értékőek,<br />
hanem ott az ún. „maradék eltérések” (rezidiumok, javítások) állnak. Az i. közös pontra<br />
felírható:<br />
v<br />
v<br />
v<br />
X<br />
Y<br />
i<br />
Z<br />
i<br />
i<br />
= a<br />
= b<br />
o<br />
= c<br />
o<br />
o<br />
+ X<br />
i<br />
+ Z<br />
i<br />
i<br />
+ κ ⋅ X<br />
+ Y + κ ⋅Y<br />
− X<br />
i<br />
+ κ ⋅ Z<br />
i<br />
i<br />
+ Y ⋅ dγ<br />
− Z<br />
i<br />
+ X<br />
i<br />
i<br />
⋅ dγ<br />
+ Z<br />
i<br />
i<br />
i<br />
⋅ dβ<br />
− X ′<br />
⋅ dα<br />
− Y ′<br />
⋅ dβ<br />
− Y ⋅ dα<br />
− Z′<br />
Írjuk fel az (5.2.2.-4) egyenleteket vektoros formában! Kapjuk:<br />
i<br />
i<br />
i<br />
. (5.2.2.-4)<br />
v = A ⋅ x − l<br />
(5.2.2.-5)<br />
i<br />
i<br />
( 3) ( 3,7) ( ) ( 3)<br />
7<br />
i
180<br />
Az (5.2.2.-5) vektoregyenlet jelölései:<br />
v<br />
i<br />
( 3)<br />
x =<br />
( 7)<br />
=<br />
( v v v )<br />
X i<br />
( 3,7)<br />
⎛1<br />
⎜<br />
= ⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0 0<br />
1 0<br />
0 1<br />
( a b c κ dα<br />
dβ<br />
dγ<br />
)<br />
0<br />
Yi<br />
0<br />
0<br />
Zi<br />
T<br />
;<br />
A<br />
i<br />
T<br />
;<br />
l<br />
X<br />
Y<br />
i<br />
( 3)<br />
i<br />
Z<br />
i<br />
i<br />
=<br />
0<br />
Z<br />
0<br />
0<br />
T<br />
( X ′ - X Y ′-Y<br />
Z ′ − Z ) .<br />
i<br />
i<br />
− Y<br />
i<br />
-Z<br />
X<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
Y<br />
i<br />
− X<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
(5.2.2.-6)<br />
A T − vel transzponált mátrixot jelölünk.<br />
p (i = 1,2, …, p) db közös pont esetén p számú (5.2.2.-5) alakú vektoregyenletünk van.<br />
Ezek összegzéseként írhatjuk:<br />
v<br />
= A ⋅ x − l . (5.2.2.-7)<br />
( 3 p) ( 3 p,7) ( 7) ( 3 p)<br />
Az (5.2.2.-7) vektoregyenletben értelemszerően<br />
⎛ v ⎞ ⎛l<br />
⎞ ⎛ A ⎞<br />
⎜ ( 3 1<br />
) ⎟ ⎜ ( 3 1<br />
) ⎟ ⎜ ( 3,7 1<br />
)<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜<br />
v<br />
2 ⎟ ⎜<br />
l<br />
2 ⎟ ⎜<br />
A<br />
2<br />
( 3)<br />
( 3)<br />
( 3,7)<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
v = ⎜ . ⎟;<br />
l = ⎜ . ⎟;<br />
A = ⎜ . . (5.2.2.-8)<br />
( 3 p)<br />
( 3 p,7)<br />
⎜<br />
.<br />
⎟ ⎜<br />
.<br />
⎟ ⎜<br />
.<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ v ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ ( ) ⎟ ⎜ ( ) ⎟ ⎜ ( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ p<br />
l<br />
p<br />
A<br />
p<br />
3<br />
3<br />
3,7<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
( 3 p)<br />
A 7 paramétert tartalmazó x vektort a legkisebb négyzetek elve szerinti alábbi megoldás szolgáltatja:<br />
−1<br />
= ⎜<br />
⎛ T<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ T<br />
x A ⋅ A ⋅ A ⋅ l<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎞ . (5.2.2.-9)<br />
7 ⎝ 7,3 p 3 p,7<br />
⎠ ⎝ 7,3 p 3 p ⎠<br />
A meghatározott paramétereket az (5.2.1.-1) vektoregyenletbe helyettesítve, az elsı<br />
rendszerben ismert térbeli derékszögő koordináták (X) a második rendszerbe (X’) átszámíthatók.<br />
Ha ezután a második rendszerhez tartozó vetületre kívánunk áttérni, elıbb az (5.1.2.-7)<br />
összefüggésekbe (az (5.1.2.-7) összefüggések utáni példa), majd az ellipszoidi földrajzi koordináták<br />
ismeretében a vetületi egyenletekbe helyettesítünk (5.-1. ábra). Ha ismerjük a második<br />
rendszer ellipszoidján a geoidundulációkat, az ellipszoidi magasságokból a tengerszint feletti<br />
magasságokat az (1.2.1.2.-11) képlet szerint az<br />
m = h − N<br />
(5.2.2.-10)<br />
összefüggés szolgáltatja (5.-1. ábra). Az (5.2.2.-10) képletben N most a geoidunduláció. Ha a<br />
közös pontok második rendszerbeli térbeli derékszögő koordinátáinak számításakor a<br />
geoidundulációkat nem vettük figyelembe, úgy a hasonlósági transzformáció elvégzése után<br />
közvetlenül a tengerszint feletti magasságokat kapjuk, azokkal a fenntartásokkal, amelyeket<br />
az 5.-1. ábra jelölésmagyarázata utáni bekezdésben összefoglaltunk.<br />
A paraméterek pontosságát jellemzı mérıszámok a kiegyenlítı számításból ismerete-<br />
T −<br />
sen a ( ) 1<br />
Q = A ⋅ A inverz mátrix átlós elemeinek négyzetgyökei. A paraméterek középhibáit
181<br />
úgy kapjuk, ha utóbbiakat megszorozzuk a súlyegység középhibájával. A súlyegység középhibáját<br />
megkapjuk, ha az (5.2.2.-4) képletbeli (koordinátairányú) javítások négyzetösszegét<br />
elosztjuk a fölös adatok számával, majd vesszük annak négyzetgyökét:<br />
A paraméterek középhibái:<br />
p<br />
∑<br />
2<br />
p<br />
∑<br />
2<br />
v<br />
X<br />
+ v + v<br />
i<br />
Yi<br />
Zi<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1 i=<br />
1<br />
µ<br />
0<br />
= ±<br />
3⋅<br />
p − 7<br />
. (5.2.2.-11)<br />
p<br />
∑<br />
2<br />
Példa:<br />
( )<br />
µ x j<br />
= ± µ<br />
0<br />
⋅ Q jj<br />
j =1,2,3,4,5,6,7 . (5.2.2.-12)<br />
Számítsuk ki a térbeli hasonlósági transzformáció paramétereit és a súlyegység középhibáját<br />
a WGS84 vonatkoztatási ellipszoid és az Egységes Országos vetület között az alábbi<br />
közös pontok alapján (5.2.2.-1. táblázat)! A közös pontok egész Magyarország területét lefedik.<br />
5.2.2.-1. táblázat: Közös pontok koordinátái a paraméterek számításához<br />
Sorszám<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
12<br />
13<br />
14<br />
15<br />
16<br />
17<br />
18<br />
19<br />
20<br />
21<br />
22<br />
23<br />
24<br />
Φ WGS84 Λ WGS84 h y EOV x EOV m<br />
48-28-04,42240<br />
46-51-56,81240<br />
47-28-56,27133<br />
46-19-10,43565<br />
45-53-01,01601<br />
46-04-19,83671<br />
46-53-02,04292<br />
47-43-14,89477<br />
47-50-17,06062<br />
47-59-49,26535<br />
46-22-08,20518<br />
46-53-22,51896<br />
47-23-07,40001<br />
47-09-27,51787<br />
48-04-36,69376<br />
47-15-20,47635<br />
46-18-48,83654<br />
47-47-22,56055<br />
47-17-29,75411<br />
46-33-47,96959<br />
48-22-37,26725<br />
47-38-44,16897<br />
48-07-46,37922<br />
47-22-14,59641<br />
20-31-12,57568<br />
19-35-41,95584<br />
19-01-02,25758<br />
20-40-14,78819<br />
18-13-01,80159<br />
18-08-07,94491<br />
17-29-28,87945<br />
17-44-28,35831<br />
21-30-48,38669<br />
19-35-02,48194<br />
17-05-26,27616<br />
16-23-45,40556<br />
16-28-59,38447<br />
21-37-13,25229<br />
20-29-51,52991<br />
18-37-09,29576<br />
19-38-46,68121<br />
19-16-53,48687<br />
19-36-06,57495<br />
18-20-48,38519<br />
21-37-56,47121<br />
16-36-14,94362<br />
22-32-56,93673<br />
20-32-12,98244<br />
456,256<br />
166,947<br />
309,547<br />
142,509<br />
314,432<br />
293,988<br />
191,701<br />
162,997<br />
161,608<br />
419,039<br />
285,411<br />
325,630<br />
634,935<br />
137,514<br />
826,731<br />
234,660<br />
170,994<br />
291,792<br />
270,584<br />
209,588<br />
155,800<br />
320,550<br />
193,622<br />
136,029<br />
758921,385<br />
691744,460<br />
647727,410<br />
775016,420<br />
585536,604<br />
579444,550<br />
531407,593<br />
552003,127<br />
834572,608<br />
690046,500<br />
499440,130<br />
447972,160<br />
456423,380<br />
845059,830<br />
758062,903<br />
617590,469<br />
696126,170<br />
667539,245<br />
691930,680<br />
596277,192<br />
841488,851<br />
466457,988<br />
910597,724<br />
762485,465<br />
348214,269<br />
169203,850<br />
237595,140<br />
109637,020<br />
60221,292<br />
81252,210<br />
172254,298<br />
264931,481<br />
280059,946<br />
294960,670<br />
115716,240<br />
175133,800<br />
229998,590<br />
204711,120<br />
304703,360<br />
212491,260<br />
107849,365<br />
271786,719<br />
216542,440<br />
135678,234<br />
340246,742<br />
258621,351<br />
315396,390<br />
226261,009<br />
414,121<br />
123,827<br />
265,820<br />
99,910<br />
269,704<br />
249,060<br />
146,298<br />
119,170<br />
121,331<br />
375,860<br />
240,274<br />
279,730<br />
588,850<br />
96,286<br />
784,115<br />
190,518<br />
127,207<br />
248,260<br />
227,727<br />
165,196<br />
115,916<br />
275,100<br />
154,721<br />
94,145<br />
Mindkét rendszerbıl elıbb a térbeli derékszögő rendszerre kell áttérni. A WGS84 ellipszoidi<br />
földrajzi koordinátákat az (5.1.1.-10) képletek szerint a Függelék 5.1.1.-1. programrésze<br />
alakítja át ellipszoidi térbeli koordinátákká. Az EOV koordinátákat elıbb az IUGG/1967<br />
ellipszoid földrajzi koordinátarendszerébe, majd annak ellipszoidi térbeli rendszerébe kell átszámítani.<br />
Az elıbbit a 2.3.3. és a 3.2. pontokban leírtak, ill. a Függelék 3.2.-1 pontjában bemutatott<br />
programrész szerint végezzük, utóbbi a Függelék 5.1.1.-1. programrészének feladata,<br />
kiegészítve azzal, hogy a tengerszint feletti magasságokat az 5.-1. ábra szerint az N<br />
geoidundulációkkal még módosítani kellene. Példánkban a geoidundulációk hiányoznak, így a
182<br />
geoidmodellt figyelmen kívül hagyjuk, a már ismertetett fenntartásokkal. Az átszámítás<br />
eredményei az 5.2.2.-2. táblázatban találhatók.<br />
5.2.2.-2. táblázat: Térbeli derékszögő koordináták<br />
Sorszám<br />
X WGS84 Y WGS84 Z WGS84 X IUGG/1967 Y IUGG/1967 Z IUGG/1967<br />
1 3968358,714 1485300,217 4751872,834 3968296,866 1485368,259 4751876,854<br />
2 4115696,917 1465128,067 4631697,723 4115635,533 1465196,567 4631702,226<br />
3 4082824,354 1407207,748 4678396,009 4082762,985 1407276,164 4678400,056<br />
4 4128720,729 1557707,336 4589954,261 4128658,983 1557775,646 4589958,726<br />
5 4224902,836 1390480,228 4556477,629 4224841,458 1390549,061 4556482,457<br />
6 4212543,154 1379764,093 4571028,608 4212481,693 1379833,002 4571033,188<br />
7 4165317,664 1312628,722 4633092,810 4165256,255 1312697,875 4633096,916<br />
8 4094404,152 1309936,683 4696168,898 4094343,742 1310005,615 4696173,376<br />
9 3990368,117 1572929,232 4704929,850 3990306,995 1572997,504 4704934,771<br />
10 4028867,947 1433349,547 4716965,864 4028806,419 1433417,592 4716969,778<br />
11 4214231,898 1295712,826 4593846,987 4214170,842 1295782,350 4593851,982<br />
12 4189295,384 1232654,596 4633622,740 4189234,470 1232724,331 4633627,065<br />
13 4148871,315 1227625,570 4671346,977 4148810,318 1227695,098 4671350,683<br />
14 4039261,585 1600916,391 4653800,429 4039199,904 1600984,402 4653804,922<br />
15 3999572,374 1495191,640 4723205,632 3999510,312 1495259,626 4723209,499<br />
16 4110020,434 1384712,033 4661276,932 4109959,103 1384780,581 4661281,046<br />
17 4156384,525 1483807,667 4589514,227 4156322,717 1483876,176 4589518,504<br />
18 4052449,856 1417680,892 4701406,931 4052388,384 1417749,119 4701410,816<br />
19 4082930,519 1454012,813 4664012,257 4082869,285 1454081,272 4664016,694<br />
20 4169896,021 1382838,714 4608675,301 4169834,684 1382907,559 4608679,869<br />
21 3945623,038 1564760,472 4744941,526 3945561,915 1564828,744 4744946,465<br />
22 4125619,105 1230225,938 4690656,162 4125558,506 1230295,277 4690660,071<br />
23 3939065,909 1635574,656 4726647,124 3939004,923 1635642,974 4726652,178<br />
24 4052514,578 1518151,790 4669875,539 4052453,185 1518220,042 4669880,165<br />
−1<br />
A következı lépés az (5.2.2.-6) összefüggésekben az A mátrix és az l vektor összeállítása.<br />
Ezt a mőveletet a Függelék 5.2.2.-1. pontjába foglalt programrész végzi. Az<br />
T<br />
T<br />
A ⋅ A együtthatómátrixot és az A ⋅ l tisztatag-vektort a Függelék 5.2.2.-2. programré-<br />
( 7,3 p) ( 3 p,7)<br />
( 7,3 p) ( 3 p)<br />
sze számítja. Az = ⎜<br />
⎛ T<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ T<br />
x A ⋅ A ⋅ A ⋅ l ⎟<br />
⎞ normál egyenletrendszer megoldása pedig a<br />
( 7 ) ⎝ ( 7,3 p ) ( 3 p,7<br />
) ⎠ ⎝ ( 7,3 p ) ( 3 p ) ⎠<br />
Függelék 5.2.2.-3. pontjában található programrész feladata.<br />
Az x vektor elemei a D() oszlopvektorban találhatók. A hivatkozott programrészt is<br />
tartalmazó program az eredményeket az alábbi formában hozza létre, ill. tárolja:<br />
__________________________________<br />
Eltolási paraméterek:<br />
a_0, b_0, c_0 (m):<br />
-47,8664 69,2021 11,4703<br />
Méretarány-különbség: -0,000002195486094308010<br />
Forgatási szögek:<br />
dα = - 00-00-00,3013892424<br />
dβ = 00-00-00,0531954090<br />
dγ = - 00-00-00,4718639249
183<br />
Forgatási mátrix:<br />
0,999999999997350000000 -0,000002287660864205990 -0,000000257898620632462<br />
0,000002287660487368270 0,999999999996316000000 -0,000001461176280557710<br />
0,000000257901963307305 0,000001461175690569350 0,999999999998899000000<br />
A súlyegység középhibája: ±0,317 m.<br />
__________________________________<br />
Ha most pld. egy GPS vevıvel kapott térbeli koordinátahármast kívánunk átszámítani<br />
az EOV koordinátarendszerébe, úgy a kapott eredmények (5.2.1.-1) vektoregyenletbe helyettesítése<br />
után az IUGG/1967 rendszerbe transzformált térbeli derékszögő koordinátákat elıször<br />
az (5.1.2.-7) képletekkel, ill. az utána szemléltetett programrésszel elıször az IUGG/1967 vonatkoztatási<br />
ellipszoidon földrajzi koordinátákká, ill. tengerszint feletti magassággá alakítjuk<br />
át 18 . Az ellipszoidi koordinátákból gömbi koordinátákat a 3. fejezet (3.1.-7a) és (3.1.-13) képleteivel,<br />
végül, a gömbi földrajzi koordinátákból EOV koordinátákat a 2. fejezet (2.3.1.-1),<br />
ill. (2.3.1.-3) képleteivel kaphatunk.<br />
5.3. A térbeli polinomos transzformáció<br />
A térbeli hasonlósági transzformációtól eltérıen a térbeli polinomos transzformáció<br />
nem csak derékszögő, hanem az 5.-1. ábra szerinti tetszıleges koordinátahármasok között is<br />
végezhetı, így pld. az ellipszoidi térbeli és a vetületi koordináták, a két ellipszoidi földrajzi,<br />
vagy vegyesen, a földrajzi és a térbeli koordináták között. A polinomos transzformációt az ellipszoidi<br />
térbeli derékszögő koordináták példáján mutatjuk be.<br />
A transzformációs összefüggések az alábbiak:<br />
X ′ = F<br />
Y ′ = G<br />
Z′<br />
= H<br />
( X , Y,<br />
Z )<br />
( X , Y,<br />
Z )<br />
=<br />
=<br />
f −i<br />
f −i−<br />
j<br />
∑∑ ∑<br />
i=<br />
0 j=<br />
0 k=<br />
0<br />
f −i<br />
f −i−<br />
j<br />
∑∑ ∑<br />
i=<br />
0 j=<br />
0 k=<br />
0<br />
f −i<br />
f −i−<br />
j<br />
( X , Y,<br />
Z ) = ∑∑ ∑<br />
f<br />
f<br />
f<br />
i=<br />
0 j=<br />
0 k = 0<br />
a<br />
s<br />
c<br />
s<br />
s<br />
⋅ X<br />
b ⋅ X<br />
i<br />
⋅ X<br />
⋅Y<br />
⋅Y<br />
i<br />
i<br />
j<br />
⋅Y<br />
j<br />
j<br />
⋅ Z<br />
⋅ Z<br />
k<br />
⋅ Z<br />
k<br />
k<br />
(5.3.-1)<br />
Az (5.3.-1) összefüggések jelölései:<br />
X, Y, Z - koordináták az 1. (ellipszoidi térbeli, vagy ellipszoidi felületi) rendszerben;<br />
X’, Y’, Z’ - koordináták a 2. (ellipszoidi térbeli, vagy ellipszoidi felületi) rendszerben;<br />
a s , b s , c s – a polinomok meghatározandó együtthatói (s = 1,2,…t);<br />
f - a polinomok fokszáma.<br />
A polinomok meghatározandó együtthatóinak t számát az alábbi képletbıl kaphatjuk meg:<br />
t<br />
(f+ 1)<br />
⋅(f<br />
=<br />
2<br />
+ 5⋅<br />
6<br />
f<br />
+ 6 )<br />
. (5.3.-2)<br />
18 Mivel a geoidmodellt mellıztük, az átszámítás „visszafelé” közvetlenül tengerszint feletti magasságokhoz vezet.
184<br />
A polinomos transzformációnál az együtthatók számával legalább egyenlı számú közös<br />
pontra van szükség. Az (5.3.-2) összefüggésbıl viszont látszik, hogy a meghatározandó<br />
együtthatók száma a polinom fokszámától függıen gyorsan nı. Ez f = 1 esetén t = 4, f = 2<br />
esetén t = 10, f = 3 esetén t = 20 db együtthatót, ill. közös pontot jelent, tehát még a legalacsonyabb<br />
fokszám esetén is többet, mint a térbeli hasonlósági transzformációnál. A polinom fokszámát<br />
következésképpen mindig körültekintéssel kell meghatározni.<br />
A minimálisan szükségesnél nagyobb számú közös pont esetén az együtthatókat kiegyenlítéssel,<br />
a legkisebb négyzetek elvébıl kiindulva határozzuk meg. Az (5.3.-1) összefüggésekbıl<br />
az is következik, hogy e transzformáció típusnál mind a három koordinátát önállóan<br />
határozzuk meg. A kiegyenlítés eredménye mindhárom esetben egy ún. kiegyenlítı felület.<br />
Az együtthatókat a legkisebb négyzetek elvébıl kiindulva az<br />
a = ⎜<br />
⎛ M<br />
⎝<br />
( t ) ( t,p) ( p,t ) ( t,p) ( p)<br />
b = ⎜<br />
⎛ M<br />
⎝<br />
T<br />
T<br />
⋅ M ⎟<br />
⎞<br />
⎠<br />
⋅ M ⎟<br />
⎞<br />
⎠<br />
−1<br />
−1<br />
⎜<br />
⎛ T<br />
⋅ M ⋅ X′<br />
⎟<br />
⎞ ,<br />
⎝ ⎠ &<br />
⎜<br />
⎛ T<br />
⋅ M ⋅ Y′<br />
⎟<br />
⎞ ,<br />
⎝ ⎠ &<br />
( t ) ( t,p) ( p,t ) ( t,p) ( p)<br />
−1<br />
⎜<br />
⎛ T<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ T<br />
c = M ⋅ M ⋅ M ⋅ Z′<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎞<br />
t ⎝ t,p p,t ⎠ ⎝ t,p p ⎠<br />
(5.3.-3)<br />
összefüggésekbıl határozzuk meg. Mint feljebb, T -vel most is transzponált, a -1 - gyel inverz<br />
mátrixot jelölünk.<br />
Jelölésmagyarázat:<br />
p - az azonos pontok száma;<br />
i j k<br />
M( l,<br />
s)<br />
= X<br />
l<br />
⋅Yl<br />
⋅ Zl<br />
( l =1,2,..., p;<br />
s =1,2,..., t)<br />
- az M mátrix l. sorában és s. oszlopában lévı<br />
elem, i = 0 ,1,..., f ; j = 0,1,..., f − i;<br />
k = 0,1,...,<br />
f − i − j ((5.3.-1) képletek);<br />
X ′( l)<br />
= X ′ , Y ′(<br />
l)<br />
= Y ′,<br />
Z′<br />
( l)<br />
= Z′<br />
l &<br />
l &<br />
l<br />
( l =1,2,..., p)<br />
- rendre a X’, Y’ és Z’ vektorok l-ik elemei;<br />
a ( s)<br />
= as<br />
, b(<br />
s)<br />
= bs&<br />
, c( s)<br />
= cs<br />
( s =1,2,..., t)<br />
- rendre az a, b és c vektorok s-ik elemei.<br />
Látjuk, hogy, bár az együtthatókat külön-külön normál-egyenletrendszerbıl határozzuk<br />
meg, a polinomok együtthatóinak pontosságát jellemzı mérıszámok ugyanazon<br />
T −<br />
( M ⋅ ) 1<br />
Q = M inverz mátrix átlós elemeinek négyzetgyökei. Az együtthatók középhibáit<br />
megkapjuk, ha az inverz mátrix átlós elemeinek négyzetgyökeit megszorozzuk a súlyegység<br />
középhibáival. A súlyegység középhibái:<br />
µ<br />
X ′ 0<br />
p<br />
2<br />
( er.<br />
) ( tr.<br />
) p ( er.<br />
) ( tr.<br />
) p ( er.<br />
) ( tr.<br />
)<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
∑⎜<br />
X<br />
i′−<br />
X ′<br />
i ⎟ ∑⎜<br />
Yi′−<br />
Y ′<br />
i ⎟<br />
i=<br />
1 ⎝ ⎠<br />
i=<br />
1<br />
= ±<br />
⎝ ⎠<br />
Y ′ ±<br />
Z<br />
p − t &<br />
, µ<br />
0<br />
=<br />
, µ<br />
p − t &<br />
2<br />
′ 0<br />
= ±<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ Z<br />
i′−<br />
Z ′<br />
i ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
p − t<br />
2<br />
(5.3.-4)<br />
Az (5.3.-4) összefüggésekben (er.)-rel a közös pontok ’-ıs rendszerbeli koordinátáinak<br />
eredeti, (tr.)-rel pedig a transzformáció végrehajtása utáni értékeit jelöljük. A két érték különbségei<br />
a maradék eltérések. p = t esetén a kiegyenlítı felület minden ponton átmegy és –<br />
fölös adatok hiányában – a középhibák értelmüket vesztik.<br />
Az együtthatók középhibái:<br />
( j 1,2,..., t)<br />
µ<br />
a<br />
= ± µ<br />
X ′ 0<br />
⋅ Q<br />
jj<br />
; µ<br />
b<br />
= ± µ<br />
Y ′ 0<br />
⋅ Q<br />
jj<br />
; µ<br />
c<br />
= ± µ<br />
X ′ 0<br />
⋅ Q<br />
jj<br />
= .<br />
j<br />
j<br />
j<br />
(5.3.-5)<br />
.
185<br />
Példa:<br />
Az 5.2.2.-2. táblázatba foglalt 24-24 db közös pont WGS84 és IUGG/1967 ellipszoidi<br />
térbeli koordinátái alapján számítsuk ki az 1., a 2. és a 3. fokú polinomos transzformáció<br />
együtthatóit és a maradék eltérésekbıl az egyes koordinátákra számítható súlyegységközéphibákat!<br />
A WGS84 ellipszoidhoz a vesszıtlen, az IUGG/1967 ellipszoidhoz a vesszıs<br />
koordináták tartoznak.<br />
Az (5.3.-2) képlet szerint 1. fokú polinom esetén 4, 2. fokú polinom esetén 10, 3. fokú<br />
polinom esetén 20 az együtthatók száma. A közös pontok száma 24, a feladatot mindhárom<br />
esetben kiegyenlítéssel oldjuk meg VisualBasic nyelvő programrészek felhasználásával.<br />
A Függelék 5.3.-1. pont alatti programrész – a számítási pontosság növelése céljából –<br />
kiszámítja a vesszıtlen és a vesszıs koordinátahalmazok X_1=X 0 , Y_1=Y 0 , Z_1=Z 0 és X_2<br />
=X' 0 , Y_2=Y' 0 , Z_2=Z' 0 súlypontjait. A késıbbiekben emiatt az együtthatók és a számított középhibák<br />
a súlypontokra átszámított koordinátákra vonatkoznak majd. A programrészben az<br />
X_Y_Z mátrix a vesszıtlen, az U_V_W mátrix a vesszıs koordinátákat tartalmazza, p a pontok<br />
száma.<br />
Az M mátrix számítását a Függelék 5.3.-2. pontja alatti programrész végzi. A normálmátrix<br />
és a tisztatag-vektor számításáért a hasonlósági transzformáció példájában már bemutatotthoz<br />
hasonló (Függelék, 5.3.-3. pont) programrész, a tisztatagok meghatározásáért a Függelék<br />
5.3.-4. pontjában található programrész felel.<br />
A Függelék 5.3.-5. pontjában lévı programrésszel számított Tiszta vektorok az X’,<br />
Y’, Z’ rendszer saját súlypontjára átszámított koordinátáit tartalmazzák.<br />
Az (5.3.-3) normál egyenletrendszerek megoldása a hasonlósági transzformációnál<br />
már ismertetett programrész (Függelék, 5.2.2.-3. pont) feladata. Végül, a maradék ellentmondások<br />
számítása után az (5.3.-4)-be helyettesítéssel megkapjuk a súlyegység-középhibákat.<br />
Az 1., a 2. és a 3. fokú polinomos transzformáció együtthatóit és a maradék eltérésekbıl<br />
az egyes koordinátákra számított súlyegység-középhibákat az 5.3.-1, 5.3-.-2. és 5.3.-3.<br />
táblázatokban foglaljuk össze.<br />
A súlyponti koordináták: X 0 = 4093239,214 m; X’ 0 = 4093177,895 m;<br />
Y 0 = 1426595,745 m; Y’ 0 = 1426664,368 m;<br />
Z 0 = 4660975,552 m; Z’ 0 = 4660979,929 m.<br />
A polinom fokszámának a növekedésével a koordináták súlyegység-középhibái csökkennek.<br />
Felhívjuk azonban a figyelmet arra, hogy a tényleges megbízhatóság megítélésére<br />
ezek az adatok nem feltétlenül mérvadóak. Emellett – mint látjuk – jelentıs eltérések mutatkoznak<br />
az egyes együtthatók nagyságrendjében, ami még viszonylag nagy szóhosszúságú<br />
számítógépes számábrázolás esetén is – a normál-egyenletrendszerek gyengébb kondicionáltságára<br />
utalhatnak. Mivel pedig - ez most csak példánkra igaz - a kapott paraméterek a súlyponti<br />
koordináták között teremtenek kapcsolatot, az új, IUGG/1967 rendszerbe történı átszámításnál<br />
a két rendszer súlyponti koordinátáit figyelembe kell venni.<br />
A súlyponti koordináták használata az (5.3.-1) összefüggéseket az alábbiak szerint<br />
módosítja:<br />
X ′ = F<br />
Y ′ = G<br />
Z′<br />
= H<br />
f f −i<br />
f −i−<br />
j<br />
i<br />
j<br />
k<br />
( X , Y , Z ) = ∑∑ ∑as<br />
⋅ ( X − X<br />
0) ⋅ ( Y −Y0<br />
) ⋅ ( Z − Z0)<br />
i=<br />
0 j=<br />
0 k=<br />
0<br />
f f −i<br />
f −i−<br />
j<br />
i<br />
j<br />
k<br />
( X Y , Z ) = ∑∑ ∑bs<br />
⋅ ( X − X<br />
0) ⋅ ( Y −Y0<br />
) ⋅ ( Z − Z0)<br />
i=<br />
0 j=<br />
0 k=<br />
0<br />
+ X ′<br />
, + Y ′ . (5.3.-6)<br />
f f −i<br />
f −i−<br />
j<br />
i<br />
j<br />
k<br />
( X , Y , Z ) = ∑∑ ∑cs<br />
⋅ ( X − X<br />
0) ⋅ ( Y −Y0<br />
) ⋅ ( Z − Z0)<br />
i=<br />
0 j=<br />
0 k=<br />
0<br />
0<br />
0<br />
+ Z′<br />
0
186<br />
5.3.-1. táblázat: Transzformációs együtthatók és súlyegység középhibák f = 1 - nél<br />
1. fokú polinom (f = 1) Súlyegység<br />
(s) a b c<br />
1 -4,67936353111767D-04 7,324219332414D-04 4,0054301889532D-04<br />
2 -8,10399157028647D-05 -1,09858146932519D-04 0,999902141989153<br />
3 -2,70228270039869D-05 0,999963741531645 -2,70994312939195D-05<br />
4 0,999927989628181 -9,36384425357062D-05 -8,2600855577705D-05<br />
középhibák<br />
µ<br />
X ′0<br />
=±0,269m<br />
µ<br />
Y ′0<br />
=±0,118m<br />
µ<br />
Z′0<br />
=±0.264m<br />
5.3-2. táblázat: Transzformációs együtthatók és súlyegység középhibák f = 2 - nél<br />
2. fokú polinom (f = 2) Súlyegység<br />
(s) a b c<br />
1 2,17790553745427 ,283112930051036 2,07529210711511<br />
2 -9,39248936881644E-04 -1,81323642951434E-04 0,999092093878765<br />
3 1,04115962894308E-08 -2,96512298054141E-09 -2,47074292719279E-09<br />
4 -2,89143054264621E-04 0,999942325500197 -2,74463260000087E-04<br />
5 6,20622863858374E-09 -1,30678697402285E-09 -1,44296192509912E-09<br />
6 8,22934843439313E-10 -1,40325600790667E-10 -3,21501363771574E-10<br />
7 0,999178503712735 -1,55463890608769E-04 -7,90099064189737E-04<br />
8 1,82801092726039E-08 -4,37183775273771E-09 -4,35582081817438E-09<br />
9 5,39885015860357E-09 -9,28055433608716E-10 -1,35135482214876E-09<br />
10 7,85205310848418E-09 -1,59537913679066E-09 -2,07741368327096E-09<br />
Sorszám<br />
Sorszám<br />
Sorszám<br />
középhibák<br />
µ<br />
X ′0<br />
=±0,176m<br />
µ<br />
Y ′0<br />
=± 0,066m<br />
µ<br />
Z′0<br />
=± 0,166m<br />
5.3.-3. táblázat: Transzformációs együtthatók és súlyegység középhibák f = 3 - nál<br />
3. fokú polinom (f = 3) Súlyegység<br />
(s) a b c<br />
1 -1,29155641650566E-02 -,510088243954281 1,46164303162912<br />
2 -3,23201331105103E-03 -2,80295028404543E-05 0,995562994099961<br />
3 1,39099130253615E-06 6,2860400682952E-08 1,63237277405417E-06<br />
4 -3,07797439427623E-11 2,73760064543701E-12 -3,80534572062212E-11<br />
5 -9,9363066626437E-04 0,999978043234837 -1,33195916948369E-03<br />
6 8,48653841482255E-07 4,29418447487686E-08 9,85959297812355E-07<br />
7 -2,6671687062702E-11 3,00381429455519E-12 -3,325820415916E-11<br />
8 1,29464391607638E-07 7,27198991841467E-09 1,48810194935395E-07<br />
9 -7,51854448004943E-12 1,07836726777589E-12 -9,47686181492875E-12<br />
10 -6,85254218632183E-13 1,27649753841947E-13 -8,77377004284199E-13<br />
11 0,997096131650384 -4,22884746705388E-05 -3,91676808944913E-03<br />
12 2,45926889880528E-06 1,18271399102608E-07 2,86623581009801E-06<br />
13 -7,79291589687356E-11 7,69351018013282E-12 -9,66760683896058E-11<br />
14 7,50225267098166E-07 4,00641615155736E-08 8,65635362000121E-07<br />
15 -4,48768719119951E-11 5,57045160524362E-12 -5,61856219424073E-11<br />
16 -6,29355033693112E-12 9,93448314839779E-13 -7,97534247464013E-12<br />
17 1,08683152356659E-06 5,53594215944014E-08 1,25805294076586E-06<br />
18 -6,54591841942556E-11 7,18616382900818E-12 -8,15275559316857E-11<br />
19 -1,87777969239337E-11 2,57902884990957E-12 -2,36233106963719E-11<br />
20 -1,82268796170258E-11 2,2330581575388E-12 -2,28092247788277E-11<br />
középhibák<br />
µ<br />
X ′0<br />
=±0,073m<br />
µ<br />
Y ′0<br />
=± 0,033m<br />
µ<br />
Z′0<br />
=±0,114m
187<br />
5.4. A síkbeli hasonlósági transzformáció<br />
Két vetületi koordinátarendszer egymáshoz képest általánosságban az 5.4.-1. ábrán ábrázolt<br />
módon helyezkedhet el. A síkban eltolt és elfordult derékszögő koordinátarendszerek<br />
egymáshoz képest elfoglalt helyzete 2 eltolási paraméterrel és 1 szögadattal jellemezhetı. A<br />
4. paraméter a méretarány-tényezı, amelyet rendszerint a különbözı vetületi rendszerekre vonatkoztatott<br />
távolságmérések különbségei okoznak. Hasonlóan a 7 paraméteres transzformációhoz<br />
– a 4 paraméteres transzformáció (más néven síkbeli Helmert-transzformáció) során<br />
egy síkbeli idom az eredeti koordinátarendszerhez képest eltolt és elfordult helyzető lesz, mérete<br />
megváltozik, de alakja az eredetihez hasonló marad. A síkbeli hasonlósági transzformáció<br />
csak kis, 20-30 km 2 –es területen ad a geodéziai pontosság szempontjából elfogadható eredményt.<br />
A transzformáció vektoros formában az alábbi:<br />
Az (5.4.-1) vektoregyenlet jelölései:<br />
⎛ x′<br />
⎞<br />
x′<br />
= ⎜ ⎟ - vetületi koordináták a 2. rendszerben<br />
⎝ y′<br />
⎠<br />
a<br />
0<br />
⎛a<br />
=<br />
⎜<br />
⎝b<br />
0<br />
0<br />
x′ = a0 + υ ⋅ R ⋅ x . (5.4.-1)<br />
⎞<br />
⎟ - az 1. rendszer origójának koordinátái a 2. rendszerben (eltolási paraméterek)<br />
⎠<br />
υ - a méretarány-tényezı<br />
⎛ R11 R ⎞<br />
R =<br />
⎜<br />
⎟ - az ε elforgatási szöget tartalmazó forgatómátrix<br />
⎝ R21<br />
R12<br />
22 ⎠<br />
⎛ x ⎞<br />
x = ⎜ ⎟ - vetületi koordináták az 1. rendszerben.<br />
⎝ y ⎠<br />
+x’<br />
y’<br />
+x<br />
ε<br />
y<br />
ε<br />
x<br />
x<br />
P<br />
x’<br />
+y’<br />
x ⋅ cosε<br />
b 0<br />
+y<br />
+y<br />
a 0<br />
a 0<br />
x’<br />
+x’<br />
+x<br />
y’<br />
ε<br />
b 0<br />
a 0<br />
− y ⋅sin ε<br />
y<br />
y ⋅ cosε<br />
ε<br />
ε<br />
x<br />
P<br />
x’<br />
x ⋅sin ε<br />
+y’<br />
5.4.-1. ábra: Síkbeli hasonlósági transzformáció<br />
Az 5.2.1.-2. ábrához kapcsolódó hasonló levezetést mellızve, írhatjuk:<br />
Az R forgatómátrix:<br />
⎛cosε<br />
- sinε<br />
⎞<br />
R = ⎜<br />
⎟ .<br />
⎝sinε<br />
cosε<br />
⎠
188<br />
Az (5.4.-1) vektoregyenletbe helyettesítve, az x’ komponenseire írható (5.4.-1. jobboldali ábra):<br />
x′<br />
= a<br />
0<br />
y′<br />
= b<br />
0<br />
+ υ ⋅ x ⋅ cos ε − υ ⋅ y ⋅sin<br />
ε<br />
+ υ ⋅ x ⋅ sin ε + υ ⋅ y ⋅ cos ε<br />
(5.4.-2)<br />
Az (5.4.-2)-t rendszerint az<br />
x′<br />
= a<br />
0<br />
y′<br />
= b<br />
0<br />
+ x ⋅ a − y ⋅ b<br />
. (5.4.-3)<br />
+ y ⋅ a + x ⋅ b<br />
alakban írják fel. Az (5.4.-3)-ban a = υ ⋅ cos ε;<br />
b = υ ⋅sin<br />
ε .<br />
Az a 0 , b 0 , a, b transzformációs paraméterek meghatározásához legalább 2 közös pont<br />
szükséges. Több közös pont esetén a paramétereket a legkisebb négyzetek elve szerint kiegyenlítéssel<br />
határozzák meg. A 4 ismeretlenes normálegyenlet-rendszer kifejtés után az alábbi:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
− ⎜<br />
⎝<br />
p ⋅ a<br />
p<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
x<br />
i<br />
y<br />
0<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
i<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
a<br />
0<br />
a<br />
0<br />
+<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
p ⋅b<br />
p<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
y<br />
i<br />
x<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
i<br />
0<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
b<br />
0<br />
b<br />
0<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
∑<br />
∑<br />
p<br />
2 2<br />
∑( xi<br />
+ yi<br />
)<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
i=<br />
1<br />
x<br />
y<br />
i<br />
i<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
a<br />
a<br />
⎞<br />
⎟ ⋅ a<br />
⎠<br />
⎛<br />
− ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
ahol, az eddigi jelöléseken túl, p – a közös pontok száma.<br />
A súlyegység középhibája:<br />
A paraméterek középhibái:<br />
p<br />
2<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
p<br />
p<br />
p<br />
2 2 ⎞<br />
∑( x + ) ⎟ ⋅ = ∑ ⋅ ′<br />
i<br />
yi<br />
b xi<br />
yi<br />
+ ∑<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
i=<br />
1<br />
y<br />
x<br />
i<br />
i<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
( er.<br />
) ( tr.<br />
) p ( er.<br />
) ( tr.<br />
)<br />
b<br />
b<br />
⎠<br />
=<br />
=<br />
=<br />
p<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
x′<br />
i<br />
y′<br />
i<br />
x ⋅ x′<br />
+<br />
i<br />
i<br />
(5.4.-4)<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
∑⎜<br />
x′<br />
′ ⎜ ′ ′<br />
i<br />
− xi<br />
⎟ + ∑ yi<br />
− yi<br />
⎟<br />
i= 1 1<br />
0<br />
= ±<br />
⎝ ⎠ i=<br />
µ<br />
⎝ ⎠<br />
. (5.4.-5)<br />
2 ⋅ p − 4<br />
( )<br />
µ j<br />
= ± µ<br />
0<br />
⋅ Q jj<br />
j = 1,2,3,4 . (5.4.-6)<br />
2<br />
p<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
y ⋅ y′<br />
i<br />
i<br />
i<br />
y ⋅ x′<br />
Az (5.4.-6)-ban Q<br />
jj<br />
az (5.4.-4) normálegyenlet-rendszer együtthatómátrixa inverzének j. sorában<br />
és j. oszlopában lévı átlós elem.<br />
Példa:<br />
UTM és EOV vetületbeli közös pontok koordinátái (5.4.-1. táblázat) alapján határozzuk<br />
meg az UTM és az EOV közötti síkbeli hasonlósági transzformáció a 0 , b 0 , a, b paramétereit,<br />
valamint a súlyegység középhibáját!<br />
i
189<br />
A számítás a fentiekhez hasonló VisualBasic nyelvő program felhasználásával végezhetı.<br />
A számítás eredményeit az 5.4.-2. táblázatban foglaljuk össze. A kapott paraméterekbıl<br />
visszaszámítottuk a υ méretarány-tényezıt és az ε elforgatási szöget.<br />
Pontszám<br />
5.4.-1. táblázat: Közös pontok koordinátái<br />
UTM<br />
EOV<br />
x y x’ y’<br />
1 5283345,23 622592,76 263693,08 468839,43<br />
2 5280422,81 617792,93 261023,41 463893,24<br />
3 5279769,45 619521,03 260281,01 465585,42<br />
4 5279175,14 618839,42 259722,79 464873,72<br />
5 5278969,03 619454,03 259484,99 465476,92<br />
6 5276893,53 620348,72 257365,40 466262,76<br />
7 5278997,94 619898,40 259490,78 465922,28<br />
8 5276988,77 620339,57 257461,00 466258,57<br />
9 5279961,72 617756,17 260564,75 463832,57<br />
5.4.-2. táblázat: Transzformációs paraméterek és a súlyegység középhibja<br />
Paraméterek A súlyegység<br />
középhibája<br />
a 0 -4981244,840 m<br />
b 0 -427537,862 m<br />
a 0,9988529625 µ<br />
0<br />
= ±0,010 m<br />
b 0,0519554646<br />
υ 1,0002032843<br />
ε 2 o 58′<br />
39,23<br />
′′<br />
5.5. A síkbeli polinomos transzformáció<br />
A síkbeli polinomos transzformáció összefüggéseit a térbeli transzformáció speciális<br />
eseteként írhatjuk fel az alábbi alakban:<br />
x′<br />
= F<br />
y′<br />
= G<br />
( x,<br />
y)<br />
=<br />
f −i<br />
∑∑<br />
i=<br />
0 j=<br />
0<br />
f −i<br />
( x,<br />
y) = ∑∑<br />
f<br />
f<br />
i=<br />
0 j=<br />
0<br />
a<br />
b<br />
k<br />
k<br />
⋅ x<br />
⋅ x<br />
i<br />
i<br />
⋅ y<br />
⋅ y<br />
j<br />
j<br />
(5.5.-1)<br />
Jelölések:<br />
x, y - koordináták az 1. vetületi rendszerben;<br />
x’, y’ - koordináták a 2. vetületi rendszerben;<br />
a k , b k - az átalakító függvények együtthatói (k = 1,2,…t);<br />
f - a polinomok fokszáma;<br />
( f + 1 ) ⋅ ( f + 2)<br />
t =<br />
- az együtthatók (a polinomok tagjainak) száma.<br />
2<br />
Az együtthatók számával itt is legalább egyenlı számú közös pontra van szükség. A<br />
meghatározandó együtthatók száma a polinom fokszámától függıen: f = 1 esetén t = 3, f = 2<br />
esetén t = 6, stb.<br />
A minimálisan szükséges t - nél nagyobb számú közös pont esetén az együtthatókat<br />
kiegyenlítéssel, a legkisebb négyzetek elvébıl kiindulva határozzuk meg. Az (5.5.-1) össze-
190<br />
függésekbıl – a térbeli polinomos transzformáció analógiájára - az is következik, hogy e<br />
transzformáció típusnál a két koordinátát önállóan határozzuk meg.<br />
Az együtthatókra fennállnak a következı összefüggések:<br />
a = ⎜<br />
⎛ M<br />
⎝<br />
( t ) ( t,p ) ( p,t ) ( t,p ) ( p)<br />
b = ⎜<br />
⎛ M<br />
⎝<br />
T<br />
T<br />
⋅ M ⎟<br />
⎞<br />
⎠<br />
⋅ M ⎟<br />
⎞<br />
⎠<br />
−1<br />
−1<br />
( t ) ( t,p ) ( p,t ) ( t,p) ( p)<br />
T<br />
⋅ ⎜<br />
⎛ M ⋅ x′<br />
⎟<br />
⎞ ,<br />
⎝ ⎠ &<br />
. (5.5.-2)<br />
⎛ T ⎞<br />
⋅ ⎜ M ⋅ y′<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Mint feljebb, T -vel most is transzponált, a -1 - gyel inverz mátrixot jelölünk.<br />
Az (5.5.-2) vektoregyenletekben:<br />
p - az azonos pontok száma;<br />
i j<br />
M( l, k ) = xl ⋅ yl<br />
( l =1,2,..., p;<br />
k =1,2,..., t)<br />
- az M mátrix l. sorában és k. oszlopában lévı<br />
elem,<br />
x′<br />
( l)<br />
= x′<br />
, y ′(<br />
l)<br />
= y′<br />
l &<br />
l<br />
( l =1,2,..., p)<br />
- rendre az x’, y’ vektorok l-ik elemei;<br />
a ( k)<br />
= a , b(<br />
k)<br />
= ( k =1,2,..., t)<br />
- rendre az a, b vektorok k-ik elemei.<br />
k<br />
b k<br />
A súlyegység középhibái:<br />
µ<br />
x′<br />
0<br />
p<br />
( er.<br />
) ( tr.<br />
) p ( er.<br />
) ( tr.<br />
)<br />
⎛ ⎞<br />
∑⎜<br />
x′<br />
i<br />
− x′<br />
i ⎟<br />
i=<br />
1<br />
= ±<br />
⎝ ⎠<br />
, µ<br />
y′<br />
p − t &<br />
2<br />
0<br />
= ±<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ y′<br />
i<br />
− y′<br />
i ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
p − t<br />
2<br />
. (5.5.-3)<br />
Az (5.5.-3) összefüggésekben – mint eddig - (er.)-rel a közös pontok ’-ıs rendszerbeli<br />
koordinátáinak eredeti, (tr.)-rel pedig a transzformáció végrehajtása utáni értékeit jelöljük. A<br />
két érték különbségei a maradék eltérések.<br />
Az együtthatók középhibái:<br />
T<br />
és ( ) 1<br />
( j 1,2,..., t)<br />
µ = ± µ ′ 0<br />
⋅ Q ; µ = ± µ ′ 0<br />
⋅ Q = . (5.5.-4)<br />
a<br />
−<br />
j<br />
x<br />
jj<br />
b<br />
j<br />
y<br />
Q = M ⋅ M .<br />
A síkbeli affin transzformáció a síkbeli polinomos transzformáció speciális esete, amikor<br />
az (5.5.-1) polinomokban az 1-nél magasabb rendő tagokat elhagyjuk, vagyis, mint feljebb,<br />
f=1 és t=3.<br />
Az affin transzformáció egyenletei:<br />
Példa:<br />
x′<br />
= F<br />
y′<br />
= G<br />
( x,<br />
y)<br />
=<br />
1<br />
1−i<br />
∑∑<br />
i=<br />
0 j=<br />
0<br />
1<br />
1−i<br />
a<br />
⋅ x<br />
⋅ y<br />
= a<br />
i j<br />
( x,<br />
y) = b ⋅ x ⋅ y = b + b ⋅ x + b ⋅ y<br />
∑∑<br />
i=<br />
0 j=<br />
0<br />
k<br />
k<br />
i<br />
j<br />
0<br />
0<br />
jj<br />
+ a ⋅ x + a<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⋅ y<br />
. (5.5.-5)<br />
Az 5.4.-1. táblázatbeli 9-9 db közös pont UTM és EOV vetületi koordinátái alapján<br />
számítsuk ki az UTM és EOV közötti 1., és a 2. fokú polinomos transzformáció együtthatóit<br />
és a maradék eltérésekbıl az egyes koordinátákra számítható súlyegység-középhibákat! Az<br />
UTM vetülethez a vesszıtlen, az EOV vetülethez a vesszıs koordináták tartoznak.
191<br />
1. fokú polinom esetén 3, 2. fokú polinom esetén 6 az együtthatók száma. A közös<br />
pontok száma 9, a feladatot mindkét esetben kiegyenlítéssel oldjuk meg a fentiekhez hasonló<br />
VisualBasic nyelvő programrészek felhasználásával.<br />
A program - a térbeli polinomos transzformációhoz hasonlóan – elıször számítja az<br />
Y_1=y 0 , X_1=x 0 és az Y_2=y' 0 ; X_2=x' 0 súlypontokat, a Függelék 5.5.-1. pontjában lévı<br />
programrész szerint.<br />
A súlyponti koordináták: x 0 = 5279391,513 m; x’ 0 = 259898,579 m;<br />
y 0 = 619615,892 m; y’ 0 = 465660,546 m;<br />
Az M együttható-mátrixot a Függelék 5.5.-2. programrésze, a normálegyenlet-rendszer<br />
együttható-mátrixát, ill. a tisztatag-vektort pedig a Függelék 5.5.-3. pont alatti programrésze<br />
hozza létre. Az 1., ill. a 2. fokú polinomra vonatkozó normálegyenlet-rendszerek megoldásának<br />
eredményeit az 5.5.-1. és az 5.5.-2. táblázatokban foglaljuk össze.<br />
5.5.-1. táblázat: Transzformációs együtthatók és súlyegység középhibák f = 1 - nél<br />
1. fokú polinom (f = 1) Súlyegység<br />
(k) a B<br />
1 6,7809570346147E-11 3,20330449671162E-10<br />
2 5,19532372831576E-02 0,998849257999807<br />
3 0,998860067767362 -5,19559243710818E-02<br />
középhibák<br />
µ<br />
x′0<br />
=±0,003m<br />
µ<br />
y′0<br />
=±0,005m<br />
Az 5.5.-1. táblázat együtthatói egyben az adott közös ponthalmazra vonatkozó affin<br />
transzformáció paraméterei is (51. képletek).<br />
5.5.-2. táblázat: Transzformációs együtthatók és súlyegység középhibák f = 2 - nél<br />
Sorszám<br />
Sorszám<br />
2. fokú polinom (f = 2) Súlyegység<br />
(k) a b<br />
1 -3,81163961928474E-03 -6,90250803391604E-05<br />
2 5,19478279007737E-02 0,998856178285471<br />
3 2,86730162149163E-10 1,33115500498818E-09<br />
4 0,998853675979519 -5,19514675769692E-02<br />
5 3,12617670885238E-09 -4,60126746576934E-09<br />
6 5,22748402577875E-10 -8,09902589998173E-10<br />
középhibák<br />
µ<br />
x′0<br />
=±0,001m<br />
µ<br />
y′0<br />
=±0,002m<br />
A súlyponti koordináták használata az (5.5.-1) összefüggéseket az alábbiak szerint módosítja:<br />
x′<br />
= F<br />
y′<br />
= G<br />
f f −i<br />
i<br />
j<br />
( x,<br />
y) = ∑∑ ak<br />
⋅ ( x − x0<br />
) ⋅ ( y − y0<br />
)<br />
i=<br />
0 j=<br />
0<br />
f f −i<br />
i<br />
j<br />
( x,<br />
y) = ∑∑bk<br />
⋅ ( x − x0<br />
) ⋅ ( y − y0<br />
)<br />
i=<br />
0 j=<br />
0<br />
5.6. A koordináta-módszer<br />
+ x′<br />
0<br />
. (5.5.-6)<br />
+ y′<br />
A koordináta-módszernél az egyik vetületi rendszerben adott vetületi koordinátákat az<br />
inverz vetületi egyenletek felhasználásával alapfelületi (vonatkoztatási ellipszoidi, gömbi) koordinátákká<br />
alakítjuk, majd az így kapott földrajzi koordinátákat a másik vetületre érvényes<br />
vetületi egyenletek segítségével számítjuk át a másik vetületi rendszerbe. A módszer csak ak-
192<br />
kor szigorú, ha az alapfelület mindkét vetület esetén megegyezik. Feltétel az is, hogy mindkét<br />
vetületi koordinátarendszert ugyanazon alappont-hálózati mérésekbıl és számításokból definiáljuk,<br />
ellenkezı esetben a két vetület közötti hálózat-elhelyezési eltérések a számítás szigorúságát<br />
befolyásolják. Pld. a budapesti sztereografikus rendszer és az osztrák Gauss-Krüger<br />
vetületi rendszernek ugyanaz az ellipszoidja (a Bessel-ellipszoid), de az osztrák vetületi rendszert<br />
a 19. századbeli osztrák-magyar katonai háromszögelés, a budapesti sztereografikus<br />
rendszert viszont a 20. század elején végzett magyarországi háromszögelés alapozza meg<br />
(5.6.1. pont), így a kettı közötti átszámítás nem lehet szigorú.<br />
A magyarországi <strong>vetületek</strong>nél szigorú átszámítás csak a budapesti sztereografikus és a<br />
három ferdetengelyő hengervetület, valamint a szomszédos Gauss-Krüger, ill. UTM vetületi<br />
sávok között végezhetı. A ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong>, valamint a Gauss-Krüger és az<br />
UTM vetületi sávok szélein az átszámítást a mindennapos geodéziai gyakorlati számítások is<br />
indokolják. Ilyen pld. az az eset, amikor egy távolság egyik végpontja az egyik, a másik a másik<br />
vetületben, ill. vetületi sávban helyezkedik el.<br />
5.6.1. Átszámítás a budapesti sztereografikus és a magyarországi ferdetengelyő<br />
henger<strong>vetületek</strong> között<br />
A budapesti sztereografikus és a ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> a koordináta-módszer<br />
alkalmazásának legtipikusabb példái. Mindkét típusú vetületi rendszernek ugyanaz az ellipszoidja<br />
(a Bessel-ellipszoid), sıt, mint tudjuk, a henger<strong>vetületek</strong> koordinátarendszereinek x<br />
tengelyei ugyannak az ellipszoidi és gömbi kezdı-meridiánnak képei, így a koordinátamódszer<br />
tejesen szigorú és egzakt összefüggésekre épül. Még egyszerőbb a helyzet a ferdetengelyő<br />
henger<strong>vetületek</strong> északi, középsı és déli (HÉR, HKR, HDR) rendszerei esetén, hiszen<br />
a köztük lévı különbség csak az, hogy kezdıpontjaik mások ugyanazon a kezdı-meridiánon.<br />
Mivel a sztereografikus és a henger<strong>vetületek</strong>et ugyanaz a Gauss-gömb kapcsolja össze,<br />
elegendı az egyik vetületrıl a Gauss-gömbre, majd a Gauss-gömbrıl a másik vetületre áttérni,<br />
így megtakaríthatók a Gauss-gömb és a Bessel-ellipszoid közötti átszámítások.<br />
A fenti egyszerő meggondolásokon túl azonban a budapesti sztereografikus és a 3 ferdetengelyő<br />
hengervetület közötti áttérésnek van egy különlegessége. Ezt mutatjuk be a továbbiakban.<br />
A sztereografikus rendszer Gellérthegy kezdıpontjának ellipszoidi földrajzi szélességét<br />
és hosszúságát a második osztrák-magyar katonai felmérés idejének vége felé, a 19. század<br />
60-as éveiben Bécsbıl vezették le. Az 1863-tól érvényes sztereografikus rendszer Gellérthegy<br />
kezdıpontjának Bessel-ellipszoidi földrajzi koordinátái 0 ,01′′ élességgel<br />
Ledersteger 19 (1947) szerint:<br />
o<br />
Φ<br />
K<br />
= 47 29′<br />
14,07 ′′ ,<br />
.<br />
o<br />
Λ = 36 42′<br />
56,22 ′′<br />
A Φ<br />
K<br />
-nak megfelelı Gauss-gömbi szélesség:<br />
K<br />
ϕ 47 o K<br />
= 26′<br />
25,563′′<br />
.<br />
E vetületi rendszer elhelyezését a magyar geodéziai önállósodási törekvések következtében<br />
a századunk elején végzett háromszögelés alapján Fasching Antal neves magyar geodé-<br />
19 A Bessel-ellipszoid kiinduló meridiánja a Greenwich-tıl nyugatra mintegy 17 o 40′ -re lévı Ferro-i meridián.
193<br />
ta 20 javaslatára 1908-ban, a magyarországi ferdetengelyő henger<strong>vetületek</strong> bevezetésével egyidejőleg<br />
módosították (a 3.3.-1. táblázatban ϕ 47 0 K<br />
= 26′<br />
21,13721′<br />
).<br />
Ugyancsak Fasching Antal javaslatára a hengervetületi koordináták számításához<br />
megváltoztatták az osztrák-magyar katonai háromszögelésbıl kapott háromszögelési hálózat<br />
tájékozását is oly módon, hogy a Gellérthegy vetületi kezdıpontból kiinduló irányok<br />
azimutját, s így irányszögét is 6 ,44′ -cel csökkentették. Ezért, ha a sztereografikus vetületi<br />
koordinátákból koordináta-módszerrel hengervetületi koordinátákat akarunk számolni, úgy a<br />
sztereografikus koordinátákat ( y<br />
St<br />
, xSt<br />
) a Gauss-gömbre való áttérésnél a következı síktranszformációval<br />
módosítanunk kell:<br />
y = y<br />
x = y<br />
St<br />
St<br />
⋅ cos6,44 ′′ − x<br />
⋅sin 6,44′′<br />
+ x<br />
St<br />
St<br />
⋅sin 6,44 ′′<br />
⋅ cos6,44 ′′<br />
(5.6.1.-1)<br />
Az így kapott y, x koordinátákat helyettesítjük be a ϕ és λ gömbi földrajzi koordináták<br />
meghatározására szolgáló<br />
cot λ<br />
1 ⎡<br />
− ⋅ ⎢x<br />
⋅sinϕ<br />
K<br />
y ⎣<br />
2<br />
⎛ d ⎞ ⎤<br />
+<br />
⎜ R −<br />
⎟ ⋅ cosϕ<br />
⎥<br />
⎝ 4 ⋅ R ⎠ ⎦<br />
=<br />
K<br />
és (2.1.2.-8)<br />
sinϕ<br />
2<br />
1 ⎡<br />
⎛ d ⎞ ⎤<br />
⋅ ⎢−<br />
x ⋅ cosϕ<br />
+<br />
⎜ −<br />
⎟ ⋅<br />
K<br />
R sinϕ<br />
2 ⎥<br />
d ⎣<br />
⎝ 4 ⋅ R<br />
R +<br />
⎠ ⎦<br />
4 ⋅ R<br />
=<br />
K<br />
(2.1.2.-9)<br />
egyenletekbe.<br />
Ha, fordítva, a henger<strong>vetületek</strong>rıl térünk át a budapesti sztereografikus vetületre, a<br />
és a<br />
⎛<br />
ϕ′<br />
= −⎜<br />
2 ⋅ arctan<br />
⎝<br />
y<br />
λ′<br />
= −<br />
R<br />
e R x<br />
cosϕ′⋅<br />
sin λ′<br />
sin λ =<br />
cosϕ<br />
π ⎞<br />
− ⎟,<br />
2<br />
⎠<br />
sinϕ<br />
= sinϕ′<br />
⋅ cosϕ<br />
+ cosϕ′⋅<br />
cos λ′⋅<br />
sinϕ<br />
,<br />
K<br />
K<br />
(2.2.2.-1)<br />
(2.2.2.-3)<br />
összefüggésekbıl számított ϕ és λ gömbi földrajzi koordinátákból az<br />
és a<br />
cosϕ<br />
⋅sin<br />
λ<br />
y = −2<br />
⋅ R ⋅<br />
. (2.1.1.-5)<br />
1+<br />
cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅ cosϕ<br />
+ sinϕ<br />
⋅sinϕ<br />
K<br />
K<br />
20 A róla elnevezett díjat ma Magyarországon évenként 3 neves geodétának ítélik oda.
194<br />
cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅sinϕ<br />
− sinϕ<br />
⋅ cosϕ<br />
= 2 ⋅ R ⋅<br />
1+<br />
cosϕ<br />
⋅ cosλ<br />
⋅ cosϕ<br />
+ sinϕ<br />
⋅ sinϕ<br />
K<br />
K<br />
x (2.1.1.-6)<br />
összefüggésekkel kapható y és x koordinátákat még az<br />
K<br />
K<br />
y<br />
x<br />
St<br />
St<br />
= y ⋅ cos6,44 ′′ + x ⋅sin 6,44 ′′<br />
= −y<br />
⋅ sin 6,44′′<br />
+ x ⋅ cos 6,44′′<br />
(5.6.1.-2)<br />
inverz transzformációval módosítanunk kell.<br />
1. példa:<br />
Számítsuk át a 32-2126 számú pont y = 135762 ,11m és x = 40723,06 m HKR koordinátáit a<br />
sztereografikus rendszerbe! A Gauss-gömb sugara: R = 6378512,966 m , a kezdıpont gömbi<br />
földrajzi szélessége ϕ 47 o K<br />
= 06′<br />
00,00000<br />
′′ .<br />
A segédföldrajzi koordináták, a szögek radiánban számított értékeinek átalakítása után:<br />
⎛<br />
ϕ′<br />
= −⎜<br />
2 ⋅ arctan<br />
⎝<br />
y<br />
λ′<br />
= −<br />
R<br />
A Gauss-gömbi földrajzi koordináták:<br />
ϕ = arcsin<br />
e R x<br />
π ⎞<br />
o<br />
− ⎟ = −0<br />
21′<br />
56,87071′′<br />
,<br />
2<br />
⎠<br />
o<br />
= -1 13′<br />
10,19963′′<br />
.<br />
( sinϕ′⋅<br />
cosϕ<br />
+ cosϕ′⋅<br />
cos λ′⋅<br />
sinϕ<br />
)<br />
cosϕ′⋅<br />
sin λ′<br />
λ = arcsin<br />
cosϕ<br />
K<br />
o<br />
K<br />
= 46 43′<br />
13,20272 ′′<br />
.<br />
o<br />
= -1 46′<br />
44,23001′′<br />
A Gauss-gömbi földrajzi koordinátákról a budapesti sztereografikus vetületi rendszerre a<br />
(2.1.1.-5) és a (2.1.1.-6) összefüggésekkel térünk át, ahol ϕ = 47 0 26′<br />
21,13721′<br />
:<br />
cosϕ<br />
⋅sin<br />
λ<br />
y = −2<br />
⋅ R ⋅<br />
1+<br />
cosϕ<br />
⋅ cosλ<br />
⋅ cosϕ<br />
+ sinϕ<br />
⋅sinϕ<br />
K<br />
K<br />
′<br />
K<br />
= 135769,607 m,<br />
cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅ sinϕ<br />
K<br />
− sinϕ<br />
⋅ cosϕ<br />
K<br />
x = 2 ⋅ R ⋅<br />
1+<br />
cosϕ<br />
⋅ cos λ ⋅ cosϕ<br />
+ sinϕ<br />
⋅ sinϕ<br />
K<br />
K<br />
= 78486,438 m .<br />
Az így kapott sztereografikus koordinátákat módosítsuk még az (5.6.1.-2) transzformációval:<br />
y<br />
x<br />
St<br />
St<br />
= 135769,607 ⋅ cos 6,44′′<br />
+ 78486,438⋅<br />
sin 6,44′′<br />
= 135772,058 m,<br />
= −135769,607<br />
⋅sin 6,44′′<br />
+ 78486,438 ⋅ cos6,44 ′′ = 78482,199 m<br />
.<br />
2. példa:<br />
Számítsuk át a 36-3014 számú pont y = −26505,65 m és xSt<br />
koordinátáit a hengervetület középsı rendszerébe (HKR)!<br />
St<br />
=<br />
100685,68 m sztereografikus
195<br />
A henger<strong>vetületek</strong>re való áttérésnél az eredeti sztereografikus koordinátákat elıször az<br />
y = y<br />
x = y<br />
St<br />
St<br />
⋅ cos6,44 ′′ − x<br />
⋅sin 6,44 ′′ + x<br />
St<br />
St<br />
⋅ sin 6,44′′<br />
= −26508,794 m,<br />
⋅ cos 6,44′′<br />
= 100684,852 m<br />
transzformációval módosítjuk, majd az így kapott koordinátákból számítjuk a Gauss-gömbi<br />
földrajzi koordinátákat:<br />
2<br />
⎪⎧<br />
1 ⎡ ⎛ d ⎞ ⎤⎪⎫<br />
o<br />
λ = arccot⎨−<br />
⋅ ⎢x<br />
⋅sinϕ<br />
K<br />
+<br />
⎜ R − cos<br />
K ⎥⎬<br />
= 0 20′<br />
46,03768′′<br />
⎪⎩ ⎣<br />
4<br />
⎟ ⋅ ϕ<br />
y<br />
⎝ ⋅ R ⎠ ⎦⎪⎭<br />
,<br />
⎧<br />
⎫<br />
⎪<br />
2<br />
1 ⎡<br />
⎛ d ⎞ ⎤⎪<br />
o<br />
ϕ = arcsin⎨<br />
⋅ cos<br />
K<br />
sin<br />
K<br />
= 46 32′<br />
03,42086 ′′<br />
2 ⎢−<br />
x ⋅ ϕ +<br />
⎜ R −<br />
⎥⎬<br />
⎪ ⎣<br />
4<br />
⎟ ⋅ ϕ<br />
,<br />
d<br />
⎝ ⋅ R ⎠ ⎦⎪<br />
R +<br />
⎩ 4 ⋅ R<br />
⎭<br />
a szögek radiánban számított értékeinek átalakítása után.<br />
A segédföldrajzi koordinátáknak a (2.2.1.-1) képletekbıl való számítása után végül, az<br />
alábbi HKR koordinátákat kapjuk:<br />
y = -26508,394 m,<br />
.<br />
x = 62921,344 m.<br />
5.6.2. Átszámítás a különbözı közép-meridiánú Gauss-Krüger és UTM vetületi<br />
sávok között<br />
Az átszámítást mind a Gauss-Krüger, mind az UTM vetületnél úgy végezzük, hogy az<br />
adott közép-meridiánra vonatkozó vetületi koordinátákat az inverz vetületi egyenletek útján<br />
ellipszoidi földrajzi koordinátákká alakítjuk, majd a vetületi egyenletek segítségével egy<br />
szomszédos vetületi sávba számítjuk át. A szomszédos sávok Magyarországon a Gausso<br />
o<br />
o<br />
Krüger vetület esetén különbözı sávszélességő ( 6 -os, 3 -os, vagy akár 2 -os) és középmeridiánú<br />
vetületi sávok is lehetnek.<br />
Példa:<br />
o<br />
o<br />
Számítsuk át a Λ<br />
0<br />
= 15 közép-meridiánú 6 -os Gauss-Krüger vetületi sáv<br />
o<br />
y = 222999,16 m és x = 5194897,08 m vetületi koordinátáit a Λ0 = 18 -os közép-meridiánú<br />
o<br />
3 -os vetületi sávba!<br />
A számításhoz a (4.1.4.-17/a, /b és (4.1.3.-4), valamint a (4.1.2.-17/a és /b) összefüggéseket<br />
használjuk, valamint tudjuk, hogy L = Λ − Λ0<br />
.<br />
Eredmények:<br />
y = -5801,19 m, x = 5190746,80 m .
196
197<br />
Irodalom<br />
A.1. Vetületi Szabályzat az Egységes Országos Vetületi Rendszer alkalmazására. MÉM Országos<br />
Földügyi és Térképészeti Hivatal, Budapest, 1975.<br />
<strong>Bácsatyai</strong>, L.: A vetületi meridiánkonvergencia grafikus meghatározásának egy módja. Geodézia<br />
és Kartográfia, 1968, 365-368. old.<br />
Baboss, Cs.: Analitikus geometria (segédlet). Kézirat. Erdészeti és Faipari Egyetem Földmérési<br />
és Földrendezıi Fıiskolai Kar, Székesfehérvár, 1983.<br />
<strong>Bácsatyai</strong>, L. - Kovács, Gy.: Nagy térbeli felületek felmérésének és pontosságvizsgálatának<br />
néhány kérdése. Erdészeti és Faipari Egyetem Tudományos Közleményei, 1982, 1.<br />
szám, 91-103. old.<br />
<strong>Bácsatyai</strong> L.: „<strong>Magyarországi</strong> <strong>vetületek</strong>”, tankönyv, Mezıgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest,<br />
1993.<br />
<strong>Bácsatyai</strong> L.: Egyszerő összefüggések a budapesti sztereografikus rendszerrıl a Gaussgömbre<br />
történı áttéréshez. Geodézia és Kartográfia, Budapest, 1993/3. 164-167 old.<br />
<strong>Bácsatyai</strong> L.: Geodézia erdı- és környezetmérnököknek. MTA GGKI kiadványa. Geomatikai<br />
Közlemények VI. sz. 2003. Ábrákkal, tárgy- és névmutatóval 325 oldal.<br />
Bíró, P.: A geodéziai alapfelületek. Geodézia és Kartográfia, 1972, 401-412. old.<br />
Bíró, P.: Kozmikus geodézia I. rész: Csillagászati alapismeretek és földrajzi helymeghatározás,<br />
Elektronikus jegyzet. BME, Budapest, 2003. Elektronikus jegyzet.<br />
Borza, T.: Az Országos GPS Hálózat geodéziai jelentısége, Geomatikai Közlemények, I.<br />
Sopron, 1999, 37-42. old.<br />
Bowring, B,: Transformation from spatial to geographical coordinates, Survey Review XXIII,<br />
1976, 323-327. old.<br />
Bronstein-Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv, Mőszaki Könyvkiadó, Bp., 1963.<br />
Buchholtz, A. – Rüger, W.: Photogrammetrie, VEB Verlag für Bauwesen, Berlin, 1973.<br />
Csepregi, Sz.: Geodéziai alapismeretek III. Fıiskolai jegyzet, Kézirat. Erdészeti és Faipari<br />
Egyetem Földmérési és Földrendezıi Fıiskolai Kar, Székesfehérvár, 1983.<br />
Csepregi Sz. – Soha, G.: Szabatos vetületi számítások. Geodézia és Kartográfia, Budapest,<br />
1983. 4. sz. 247-257. old.<br />
Czobor, Á.: Vetületi átszámítások térbeli derékszögő segédkoordinátákkal. Geodézia és kartográfia,<br />
Budapest, 1989. 252-258. old.<br />
Department of defense: World Geodetic System 1984. DMA Technical Report, 1987. Szeptember<br />
30.<br />
Fasching, A.: A magyar országos háromszögelések és részletes felmérések új vetületi rendszere.<br />
Budapest, 1909. (57 old.)<br />
Geodézia. Szerk.: Zakatov, P. Sz., Izd. Geodezicheskoi Literaturi, Moszkva, 1954.<br />
Geodéziai kézikönyv, I. kötet. Szerk.: Hazay István. Közgazdasági és Jogi Kiadó, Budapest,<br />
1956.<br />
Geodéziai kézikönyv, III. kötet. Szerk.: Hazay István. Közgazdasági és Jogi Kiadó, Budapest,<br />
1960.<br />
Hammer, E.: Lehr- und Handbuch der ebenen und sphaerischen Trigonometrie. J.B. Metzler<br />
Könyvkiadó, Stuttgart, 1923.<br />
Hazay, I.: Földi <strong>vetületek</strong>. Tankönyv. Akadémiai kiadó, Budapest, 1954.<br />
Hazay, I.: A <strong>vetületek</strong> szerepe a térképészetben. Geodézia és Kartográfia, 1988, 395. old.<br />
Hegedős, I.: Héjszerkezetek, 2. fej.: A mérnöki héjelmélet,<br />
http://www,bme,hu/~hegedus/hejkonyv2,pdf.<br />
Homoródi, L.: Régi háromszögelési hálózataink elhelyezése és tájékozása. Földméréstani<br />
Közlemények, 1953, 118. old.
198<br />
Irmédi-Molnár, L.: Térképalkotás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1970.<br />
Joó, I.: Az új nemzetközi ellipszoidhoz tartozó magyarországi simulógömb. Geodézia és Kartográfia,<br />
1972, 183-185. old.<br />
Joó, I.: Az új magyarországi közepes sugarú gömb a geodéziai számítási gyakorlat szempontjából.<br />
Geodézia és Kartográfia, 1972, 420. old.<br />
Jordan-Eggert-Kneissl: Handbuch der Vermessungskunde, I. kötet. J.B. Metzler Könyvkiadó,<br />
Stuttgart, 1939.<br />
Jordan-Eggert-Kneissl: Handbuch der Vermessungskunde, II. kötet. J.B. Metzler Könyvkiadó,<br />
Stuttgart, 1941.<br />
Jordan-Eggert-Kneissl: Handbuch der Vermessungskunde, Band IV. Zweite Haelfte, 1959.<br />
Klinghammer, I. – Papp-Váry, Á.: Földünk tükre a térkép, Gondolat Kiadó, Budapest, 1983.<br />
Ledersteger, K.: Theoretische und numerische Studien zur genaeherten Ableitung eines<br />
bestandschliessenden Ellipsoides für Europa. Sitzungsberichte der mathem. Naturw.<br />
Abt. II. a, Bd. 9. u. 10. Heft, 1947.<br />
Levasseur, K.: 50 Jahre Gauss-Krüger Koordinaten in Österreich. Öst. ZfV., 1960.<br />
Németh, Gy.: Vetülettan. Fıiskolai jegyzet, Kézirat. Erdészeti és Faipari Egyetem Földmérési<br />
és Földrendezıi Fıiskolai Kar, Székesfehérvár, 1992.<br />
Rohrer, H.: Zum neuen Projektionssystem Österreichs. Öst. ZfV., 1934, S. 89-97.<br />
Rohrer, H.: Zum neuen Projektionssystem Österreichs (Schluss). Öst. ZfV., 1934, S. 116-123.<br />
Szpravocsnyik geodeziszta. Izd. Nedra, Moszkva, 1975.<br />
Sárközy F.: Geodézia. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.<br />
Schwidefsky, K. – Ackerman, F.: Photogrammetrie, B.G. Teubner, Stuttgart, 1976.<br />
Sébor, J.: Általános geodézia, 2. kötet. Mezıgazdasági Kiadó, Budapest, 1955.<br />
Soha, G.: Geodéziai feladatok megoldása az ellipszoid izometrikus koordinátarendszerében.<br />
Geodézia és Kartográfia, 1984. 239-243. old.<br />
Szádeczky-Kardoss, Gy.: Sztereografikus vetületi meridiánkonvergencia számítása síkkoordinátákból.<br />
Földméréstani Közlemények, 1953. 26-30. old.<br />
Szpravocsnyik geodeziszta, I. könyv. Nyedra kiadó, Moszkva, 1975.<br />
Tárczy-Hornoch, A. – Hrisztov, V.: Tables for Krassowski-ellipszoid. Akadémiai Kiadó, Budapest,<br />
1959.<br />
Varga, J.: Alaphálózatok I (Vetülettan). BME egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest,<br />
1986.<br />
Varga, J.: Vetülettan. BME egyetemi jegyzet. Mőegyetemi Kiadó, Budapest, 1997.<br />
Zakatov, P. Sz.: Kursz viszsej geodezii. Izd. Nedra, Moszkva, 1964.
199<br />
Függelék<br />
E fejezet a könyvben elıforduló számítási példákhoz használt VisualBasic nyelvő<br />
számítási programokat, ill. programrészleteket tartalmazza. A programok, ill. programrészek<br />
fejléce a megfelelı fejezet, ill. pont számával egyezik meg, sorszámos aláosztással.<br />
2.1.3.1.-1.<br />
________________________________<br />
Private Sub Command1_Click()<br />
R = 6378.5<br />
x = Val(Text1.Text): Rem Km-ben kell beadni!<br />
y = Val(Text2.Text) : Rem Km-ben kell beadni!<br />
s = Val(Text3.Text): Rem Méterben kell beadni!<br />
d0 = Sqr(x ^ 2 + y ^ 2)<br />
U = (1 / (12 * R ^ 2)) * (3 * x ^ 2 + 3 * y ^ 2)<br />
DeltaS = U * s<br />
d = s + DeltaS<br />
Text4.Text = "d0 = " + Format$(d0, "0.000")") + " km"<br />
Text5.Text = "U = " + Format$(U, "0.00000000")<br />
Text6.Text = "DeltaS = " + Format$(DeltaS, "0.000") + " m."<br />
Text7.Text = "d = " + Format$(d, "0.000") + " m."<br />
End Sub<br />
________________________________<br />
2.1.3.1.-2.<br />
________________________________<br />
Private Sub Command2_Click()<br />
romperc = 206264.8<br />
R = 6378512.966<br />
X1 = Val(Text1.Text)<br />
Y1 = Val(Text2.Text)<br />
X2 = Val(Text3.Text)<br />
Y2 = Val(Text4.Text)<br />
T = (X1 * Y2 - X2 * Y1) / 2<br />
Delta12 = (T * romperc) / (2 * R ^ 2)<br />
Text5.Text = "T = " + Format$(T, "0.00") + „ m2”<br />
Text6.Text = "Delta12 = " + Format$(Delta12, "0.0") + " mp"<br />
End Sub<br />
________________________________
200<br />
2.2.1.-1.<br />
________________________________<br />
Private Sub Gomb_Henger()<br />
Dim Fi As Double, Lambda As Double, H As Double<br />
Dim Y As Double, X As Double, Fi_G_K As Double<br />
Fi_G_K = Val(Fok(Val(Text1.Text)))<br />
Fi = Val(Fok(Val(Text2.Text)))<br />
Lambda = Val(Fok(Val(Text3.Text)))<br />
------<br />
Cos_Fi_G_K = Cos(Radian(Fi_G_K))<br />
Sin_Fi_G_K = Sin(Radian(Fi_G_K))<br />
CosFi = Cos(Radian(Fi))<br />
SinFi = Sin(Radian(Fi))<br />
SinLambda = Sin(Radian(Lambda))<br />
CosLambda = Cos(Radian(Lambda))<br />
SinFi_Vesszo = SinFi * Cos_Fi_G_K - CosFi * CosLambda * Sin_Fi_G_K<br />
CosFi_Vesszo = Sqr(1 - SinFi_Vesszo ^ 2)<br />
Hanyados = CosFi * SinLambda / CosFi_Vesszo<br />
Lambda_Vesszo = ArcSin(Hanyados)<br />
Y = - R * Lambda_Vesszo<br />
------<br />
Fi_Vesszo = ArcSin(SinFi_Vesszo)<br />
X = - R * Log(Tan((Fi_Vesszo) / 2 + Pi / 4))<br />
------<br />
End Sub<br />
________________________________<br />
Private Function Fok(Szog As Double) As String<br />
Dim Elojel As Integer, Perc As Double, Mp As Double<br />
Elojel = Sgn(Szog)<br />
Perc = Int(100 * (Abs(Szog) - Int(Abs(Szog))))<br />
Mp = 10000 * (Abs(Szog) - Int(Abs(Szog)) - 0.01 * Perc)<br />
Szog = Int(Abs(Szog)) + Perc / 60 + Mp / 3600<br />
Fok = Format$(Elojel * Abs(Szog), "0.0000000000")<br />
End Function<br />
________________________________<br />
Private Function ArcSin(Sin_Szog As Double) As Double<br />
Dim Cos_Szog As Double, Sin_Szog As double<br />
Cos_Szog = Sqr(1 - Sin_Szog ^ 2)<br />
ArcSin = Atn(Sin_Szog / Cos_Szog)<br />
End Function<br />
________________________________<br />
2.2.2.-1.<br />
________________________________<br />
Private Function Lambda_Vesszo(Y As Double) As Double<br />
Lambda_Vesszo = - Y / R<br />
End Function<br />
________________________________<br />
Private Function Fi_Vesszo(X As Double) As Double
201<br />
Fi_Vesszo = -2 * Atn(Exp(X / R)) - Pi / 2)<br />
End Function<br />
________________________________<br />
Private Function Fi_Henger(Y As Double, X As Double) As Double<br />
Static CosFi As Double, SinFi As Double, Fi_G_K As Double<br />
Static SinFi_V As Double, CosFi_V As Double, CosLambda_V As Double<br />
CosFi = Cos(Radian(Fi_G_K))<br />
SinFi = Sin(Radian(Fi_G_K))<br />
SinFi_V = Sin(Fi_Vesszo(X))<br />
CosFi_V = Cos(Fi_Vesszo(X))<br />
CosLambda_V = Cos(Lambda_Vesszo(Y))<br />
SinFi = SinFi_V * CosFi + CosFi_V * CosLambda_V * SinFi<br />
Fi_Henger = Rofok * ArcSin(SinFi)<br />
End Function<br />
________________________________<br />
Private Function Lambda_Henger(Y As Double, X As Double) As Double<br />
Static CosFi As Double, CosFi_V As Double<br />
Static SinLambda As Double, SinLambda_V As Double<br />
CosFi_V = Cos(Fi_Vesszo(X))<br />
SinLambda_V = Sin(Lambda_Vesszo(Y))<br />
CosFi = Cos(Radian(Fi_Henger(Y, X)))<br />
SinLambda = (CosFi_V * SinLambda_V) / CosFi<br />
Lambda_Henger = Rofok * ArcSin(SinLambda)<br />
End Function<br />
________________________________<br />
2.2.3.2.-1.<br />
________________________________<br />
Private Sub Command2_Click()<br />
Rem *** Második irányredukció számítása ***<br />
romperc = 206264.8<br />
R = 6378512.966<br />
X1 = Val(Text1.Text)<br />
Y1 = Val(Text2.Text)<br />
X2 = Val(Text3.Text)<br />
Y2 = Val(Text4.Text)<br />
XK = (X1 + X2) / 2<br />
Delta12 = (XK * (Y2 - Y1) * romperc) / (2 * R ^ 2)<br />
Text5.Text = "XK = " + Format$(XK, "0.000")<br />
Text6.Text = "Delta12 = " + Format$(Delta12, "0.00000") + " mp"<br />
End Sub<br />
________________________________<br />
2.2.3.3.-1.<br />
________________________________<br />
Private Sub Command1_Click()
202<br />
Static Fok_Perc_Mp As String<br />
Rem *** Vetületi meridiánkonvergencia számítása ***<br />
R = 6378512.966<br />
Cotan_Fi_G_K = 0.929257344635727<br />
Rofok = 57.2957795130824<br />
X = Val(Text1.Text)<br />
Y = Val(Text2.Text)<br />
Ch = (Exp(X / R) + Exp(-X / R)) / 2<br />
Sh = (Exp(X / R) - Exp(-X / R)) / 2<br />
Sin_ = Sin(Y / R)<br />
Cos_ = Cos(Y / R)<br />
Tan_Mu = -(Ch * Sin_) / (Cotan_Fi_G_K + Sh * Cos_)<br />
Mu = Rofok * Atn(Tan_Mu)<br />
Elojel = Sgn(Mu) : Rem *** Fok átalakítása Fok-perc-másodperccé ***<br />
Perc = (Abs(Mu) - Int(Abs(Mu))) * 0.6<br />
Mp = (100 * Perc - Int(100 * Perc)) * 0.006<br />
Mp = Elojel * (Int(Abs(Mu)) + Int(100 * Perc) / 100 + Mp)<br />
Fok_Perc_Mp = Format$(Mp, "0.000000000")<br />
Text3.Text = "Mu = " + Fok_Perc_Mp<br />
End Sub<br />
________________________________<br />
2.3.4.2.-1.<br />
________________________________<br />
Private Sub Command2_Click()<br />
Rem *** A második irányredukció számítása az EOV-ben ***<br />
romperc = 206264.8<br />
R = 6379743.001<br />
m0 = 0.99993<br />
X1 = Val(Text1.Text)<br />
Y1 = Val(Text2.Text)<br />
X2 = Val(Text3.Text)<br />
Y2 = Val(Text4.Text)<br />
a = romperc / (2 * R ^ 2 * m0 ^ 2)<br />
b = romperc / (12 * R ^ 2 * m0 ^ 2)<br />
XK = (X1 + X2) / 2<br />
Delta12 = a * XK * (Y2 - Y1) - b * (X2 - X1) * (Y2 - Y1)<br />
Delta21 = -a * XK * (Y2 - Y1) - b * (X2 - X1) * (Y2 - Y1)<br />
Text5.Text = "a = " + Format$(a, "0.0000000000000000")<br />
Text6.Text = "b = " + Format$(b, "0.0000000000000000")<br />
Text7.Text = "Delta12 = " + Format$(Delta12, "0.000000") + " mp"<br />
Text8.Text = "Delta21 = " + Format$(Delta21, "0.000000") + " mp"<br />
End Sub
203<br />
________________________________<br />
Private Sub Command1_Click()<br />
Rem *** A hossztorzulás számítása az EOV-ben ***<br />
romperc = 206264.8<br />
R = 6379743.001<br />
m0 = 0.99993<br />
X1 = Val(Text1.Text)<br />
Y1 = Val(Text2.Text)<br />
X2 = Val(Text3.Text)<br />
Y2 = Val(Text4.Text)<br />
U = (1 / (6 * R ^ 2 * m0)) * (X1 ^ 2 + X1 * X2 + X2 ^ 2)<br />
m = m0 + U<br />
Text5.Text = "U = " + Format$(U, "0.0000000000")<br />
Text6.Text = "m = " + Format$(m, "0.0000000000")<br />
End Sub<br />
________________________________<br />
3.2.-1.<br />
________________________________<br />
……<br />
Rofok = 57.2957795130824<br />
Pi = 180 / Rofok<br />
Rad = Pi / 180<br />
Fi = Radian(Fi)<br />
Fok = Fi - Rad<br />
Tized = 10 * Rad<br />
For i = 1 To 10<br />
Tized = 0.1 * Tized<br />
Do<br />
Fok = Fok + Tized<br />
e = Sqr(E_Negyzet) * Sin(Fok)<br />
F1 = Tan(Pi / 4 + Fi / 2)<br />
F2 = kis_k * ((Tan(Pi / 4 + Fok / 2) ^ kis_n) * ((1 - e) / (1 + e)) ^ ((kis_n * Sqr(E_Negyzet)) / 2))<br />
Kulonbseg = F1 - F2<br />
Loop Until Kulonbseg < 0<br />
Fok = Fok - Tized<br />
Next<br />
Fi_Ell = Rofok * Fok<br />
________________________________<br />
3.3.1.-1.<br />
________________________________<br />
Private Function Fi_Gomb(Fi As Double) As Double<br />
Dim f As Double
204<br />
Fi=Val(Text6.Text)<br />
If Abs(Fi) > 90 Then Fi = 90<br />
Fi = Radian(Fi)<br />
f = kis_k * ((Tan(Pi / 4 + Fi / 2) ^ kis_n) * ((1 - Sqr(E_Negyzet) * Sin(Fi)) / (1 + Sqr(E_Negyzet) * Sin(Fi))) ^<br />
((kis_n * Sqr(E_Negyzet)) / 2))<br />
Fi_Gomb = 2 * Rofok * (Atn(f) - Pi / 4)<br />
End Function<br />
________________________________<br />
3.3.1.-2.<br />
________________________________<br />
Fi_Vesszo = (2 * Atn(Exp(X / (R * m0))) - Pi / 2)<br />
RSet FPMstr = Fok_Perc_Mp(Rofok * Fi_Vesszo)<br />
Text17.Text = FPMstr<br />
Lambda_Vesszo = Y / (R * m0)<br />
RSet FPMstr = Fok_Perc_Mp(Rofok * Lambda_Vesszo)<br />
Text18.Text = FPMstr<br />
________________________________<br />
4.1.4.-1.<br />
________________________________<br />
……<br />
Elojel_X = Sgn(X)<br />
X = Abs(X)<br />
Fok = 0<br />
Tized = 1<br />
For i = 1 To 10<br />
Tized = 0.1 * Tized<br />
Do<br />
Fok = Fok + Tized<br />
Kulonbseg = X - Nagy_B(Fok)<br />
Loop Until Kulonbseg < 0<br />
Fok = Fok - Tized<br />
Next<br />
Fi = Elojel_X * Radian(Fok)<br />
……<br />
________________________________<br />
4.1.5.4.-1.<br />
________________________________<br />
Private Function Kis_y_G_Kr(Fi As Double, Lambda As Double) As Double<br />
Static Rad_Lambda As Double, CosFi As Double
205<br />
Static TanFi As Double, N As Double<br />
Static Eta_Negyzet As Double, Osszeg As Double<br />
Static a_1 As Double, a_3 As Double, a_5 As Double, a_7 As Double<br />
Rad_Lambda = Radian(Lambda)<br />
CosFi = Cos(Radian(Fi))<br />
TanFi = Tan(Radian(Fi))<br />
Eta_Negyzet = E_V_Negyzet * CosFi ^ 2<br />
N = Nagy_N(Fi)<br />
a_1 = N * CosFi<br />
a_3 = N * CosFi ^ 3 * (1 - TanFi ^ 2 + Eta_Negyzet) / 6<br />
a_5 = N * CosFi ^ 5 * (5 - 18 * TanFi ^ 2 + TanFi ^ 4 + 14 * Eta_Negyzet - 58 * Eta_Negyzet * TanFi ^ 2) / 120<br />
Kis_y_G_Kr = a_1 * Rad_Lambda + a_3 * Rad_Lambda ^ 3 + a_5 * Rad_Lambda ^ 5 + a_7 * Rad_Lambda ^ 7<br />
End Function<br />
________________________________<br />
Private Function Kis_x_G_Kr(Fi As Double, Lambda As Double) As Double<br />
Static Rad_Lambda As Double, Rad_Fi As Double<br />
Static SinFi As Double, CosFi As Double, TanFi As Double<br />
Static N As Double, Eta_Negyzet As Double<br />
Static a_2 As Double, a_4 As Double, a_6 As Double<br />
Rad_Lambda = Radian(Lambda)<br />
Rad_Fi = Radian(Fi)<br />
SinFi = Sin(Rad_Fi)<br />
CosFi = Cos(Rad_Fi)<br />
TanFi = Tan(Rad_Fi)<br />
Eta_Negyzet = E_V_Negyzet * CosFi ^ 2<br />
N = Nagy_N(Fi)<br />
a_2 = N * CosFi * SinFi / 2<br />
a_4 = N * CosFi ^ 3 * SinFi * (5 - TanFi ^ 2 + 9 * Eta_Negyzet + 4 * Eta_Negyzet ^ 2) / 24<br />
a_6 = N * CosFi ^ 5 * SinFi * (61 - 58 * TanFi ^ 2 + TanFi ^ 4) / 720<br />
Kis_x_G_Kr = Nagy_B(Fi) + a_2 * Rad_Lambda ^ 2 + a_4 * Rad_Lambda ^ 4 + a_6 * Rad_Lambda ^ 6<br />
End Function<br />
________________________________<br />
Private Function Nagy_B(Fi As Double) As Double<br />
Static Be As Double, G As Double, Fi_ As Double<br />
Be = a * (1 - E_Negyzet)<br />
Fi_ = Radian(Fi)<br />
G = A_ * Fi_ - (B_ / 2) * Sin(2 * Fi_) + (C_ / 4) * Sin(4 * Fi_)<br />
G = G - (D_ / 6) * Sin(6 * Fi_) + (E_ / 8) * Sin(8 * Fi_)<br />
G = G - (F_ / 10) * Sin(10 * Fi_)<br />
Nagy_B = Be * G<br />
End Function<br />
________________________________<br />
Private Function Nagy_N(Fi As Double) As Double<br />
Static a As Double, b As Double<br />
Nagy_N = a ^ 2 / Sqr(a ^ 2 * Cos(Radian(Fi)) ^ 2 + b ^ 2 * Sin(Radian(Fi)) ^ 2)<br />
End Function<br />
________________________________
206<br />
4.1.5.4.-2.<br />
________________________________<br />
Private Function Fi_G_Kr(Y As Double, Fi As Double) As Double<br />
Static CosFi As Double<br />
Static Eta_Negyzet As Double, V As Double<br />
Static N As Double, TanFi As Double<br />
Static b_2 As Double, b_4 As Double, b_6 As Double<br />
CosFi = Cos(Fi)<br />
Eta_Negyzet = E_V_Negyzet * CosFi ^ 2<br />
V = Sqr(1 + Eta_Negyzet)<br />
N = Nagy_N(Fok)<br />
TanFi = Tan(Fi)<br />
b_2 = -TanFi * V ^ 2 / (2 * N ^ 2)<br />
b_4 = (TanFi / (24 * N ^ 4)) * (5 + 3 * TanFi ^ 2 + 6 * Eta_Negyzet - 6 * Eta_Negyzet * TanFi ^ 2)<br />
b_6 = -(TanFi / (720 * N ^ 6)) * (61 + 90 * TanFi ^ 2 + 45 * TanFi ^ 4)<br />
Fi_G_Kr = Rofok * (Fi + b_2 * Y ^ 2 + b_4 * Y ^ 4 + b_6 * Y ^ 6)<br />
End Function<br />
________________________________<br />
4.1.5.4.-3.<br />
________________________________<br />
Private Function MerKonv_G_Kr(Fi As Double, Lambda As Double) As Double<br />
Static SinFi As Double, CosFi As Double, TanFi As Double<br />
Static Rad_Lambda As Double, Eta_Negyzet As Double<br />
Static c_1 As Double, c_3 As Double, c_5 As Double, c_7 As Double<br />
SinFi = Sin(Radian(Fi))<br />
CosFi = Cos(Radian(Fi))<br />
TanFi = Tan(Radian(Fi))<br />
Rad_Lambda = Radian(Lambda)<br />
Eta_Negyzet = E_V_Negyzet * CosFi ^ 2<br />
c_1 = SinFi<br />
c_3 = (SinFi * CosFi ^ 2 / 3) * (1 + 3 * Eta_Negyzet + 2 * Eta_Negyzet ^ 2)<br />
c_5 = (SinFi * CosFi ^ 4 / 15) * (2 - TanFi ^ 2)<br />
MerKonv_G_Kr = Rofok * (c_1 * Rad_Lambda + c_3 * Rad_Lambda ^ 3 + c_5 * Rad_Lambda ^ 5)<br />
End Function<br />
________________________________<br />
4.1.5.4.-4.<br />
________________________________<br />
Private Function MerKonv_G_Kr_YX(Y As Double, X As Double, Fi As Double) As Double<br />
Static CosFi As Double, TanFi As Double<br />
Static c_1 As Double, c_3 As Double, c_5 As Double, c_7 As Double<br />
Static N As Double, Eta_Negyzet As Double<br />
CosFi = Cos(Fi)<br />
TanFi = Tan(Fi)<br />
Eta_Negyzet = E_V_Negyzet * CosFi ^ 2
207<br />
N = Nagy_N(Rofok * Fi)<br />
N = N * m0<br />
c_1 = TanFi / N<br />
c_3 = -(TanFi / (3 * N ^ 3)) * (1 + TanFi ^ 2 - Eta_Negyzet)<br />
c_5 = (TanFi / (15 * N ^ 5)) * (2 + 5 * TanFi ^ 2 + 3 * TanFi ^ 4 )<br />
MerKonv_G_Kr_YX = Rofok * (c_1 * Y + c_3 * Y ^ 3 + c_5 * Y ^ 5)<br />
End Function<br />
________________________________<br />
4.2.3.3.-1.<br />
________________________________<br />
N = N * m0<br />
M = M * m0<br />
a = a * m0<br />
b = b * m0<br />
________________________________<br />
5.1.1.-1.<br />
__________________________________<br />
Private Function Nagy_X(Fi As Double, Lambda As Double, H As Double) As Double<br />
Nagy_X = (Nagy_N(Fi) + H) * Cos(Fi) * Cos(Lambda)<br />
End Function<br />
__________________________________<br />
Private Function Nagy_Y(Fi As Double, Lambda As Double, H As Double) As Double<br />
Nagy_Y = (Nagy_N(Fi) + H) * Cos(Fi) * Sin(Lambda)<br />
End Function<br />
__________________________________<br />
Private Function Nagy_Z(Fi As Double, Lambda As Double, H As Double) As Double<br />
Nagy_Z = (Nagy_N(Fi) * (b ^ 2 / a ^ 2) + H) * Sin(Fi)<br />
End Function<br />
__________________________________<br />
Private Function Nagy_N(Fi As Double) As Double<br />
Nagy_N = a ^ 2 / Sqr(a ^ 2 * Cos(Fi) ^ 2 + b ^ 2 * Sin(Fi) ^ 2)<br />
End Function<br />
_________________________________
208<br />
5.1.2.-1.<br />
__________________________________<br />
Private Sub GPS_WGS()<br />
Static Fi As Double, Lambda As Double, H As Double<br />
Static Y As Double, X As Double, Z As Double<br />
Static n As Double, PE As Double, Teta As Double<br />
Lambda = Atn(Y / X)<br />
PE = Sqr(X ^ 2 + Y ^ 2)<br />
Teta = Atn((Z * a) / (PE * b))<br />
Fi = Atn((Z + E_V_Negyzet * b * Sin(Teta) ^ 3) / (PE - E_Negyzet * a * Cos(Teta) ^ 3))<br />
n = Nagy_N(Fi)<br />
H = PE / Cos(Fi) - n<br />
End Sub<br />
__________________________________<br />
5.2.2.-1.<br />
__________________________________<br />
p = Pontok_Szama<br />
For l = 1 To p<br />
Xi(l) = X_Y_Z(l, 1): Rem Az X vektor<br />
Yi(l) = X_Y_Z(l, 2)<br />
Zi(l) = X_Y_Z(l, 3)<br />
Xiv(l) = U_V_W(l, 1) : Rem Az X’ vektor<br />
Yiv(l) = U_V_W(l, 2)<br />
Ziv(l) = U_V_W(l, 3)<br />
Next l<br />
Rem ********<br />
For k = 1 To 3 * p<br />
For j = 1 To 7<br />
Matrix(k, j) = 0<br />
Next j<br />
Next k<br />
For j = 1 To p<br />
i = 3 * (j - 1)<br />
Matrix(i + 1, 1) = 1: Rem Az A együttható mátrix összeállítása<br />
Matrix(i + 1, 4) = Xi(j)<br />
Matrix(i + 1, 6) = -Zi(j)<br />
Matrix(i + 1, 7) = Yi(j)<br />
Matrix(i + 2, 2) = 1<br />
Matrix(i + 2, 4) = Yi(j)<br />
Matrix(i + 2, 5) = Zi(j)<br />
Matrix(i + 2, 7) = -Xi(j)<br />
Matrix(i + 3, 3) = 1<br />
Matrix(i + 3, 4) = Zi(j)<br />
Matrix(i + 3, 5) = -Yi(j)<br />
Matrix(i + 3, 6) = Xi(j)<br />
Tiszta(i + 1) = Xiv(j) - Xi(j): Rem Az l vektor összeállítása
209<br />
Tiszta(i + 2) = Yiv(j) - Yi(j)<br />
Tiszta(i + 3) = Ziv(j) - Zi(j)<br />
Next<br />
__________________________________<br />
5.2.2.-2.<br />
__________________________________<br />
For i = 1 To 7: Rem Normálmátrix összeállítása<br />
For j = 1 To 8<br />
Normal(i, j) = 0<br />
Next<br />
Next<br />
For i = 1 To 7<br />
For j = 1 To 7<br />
For k = 1 To 3 * p<br />
Normal(i, j) = Normal(i, j) + Matrix(k, i) * Matrix(k, j)<br />
Next k<br />
Next j<br />
Next i<br />
For i = 1 To 7: Rem Tisztatag vektor összeállítása<br />
For k = 1 To 3 * p<br />
Normal(i, 8) = Normal(i, 8) + Matrix(k, i) * Tiszta(k)<br />
Next k<br />
Next i<br />
__________________________________<br />
5.2.2.-3.<br />
__________________________________<br />
Private Sub Megoldas()<br />
Static i As Integer<br />
Static j As Integer<br />
Static k As Integer<br />
Rem *** Változók a normálegyenletrendszer megoldásához ***<br />
Static Foindex As Integer, Foelem As Double, M_ As Double<br />
Static NormSor As Double, Legnagyobb As Double, Meret As Double<br />
Static LU(30, 30) As Double, Skalak(30) As Double, PS(30) As Integer<br />
Static Akku As Double<br />
Rem ******** Normál_egyenletrendszer megoldása ********<br />
Rem * A tiszta tagok a Normal(i, 8) oszlopban vannak! *<br />
Rem ******** Felbontás ********<br />
Rem * Megadjuk a PS, LU és a Skálák kezdeti értékét *<br />
For i = 1 To 7<br />
PS(i) = i<br />
NormSor = 0<br />
For j = 1 To 7
210<br />
LU(i, j) = Normal(i, j)<br />
If NormSor < Abs(LU(i, j)) Then<br />
NormSor = Abs(LU(i, j))<br />
End If<br />
Next j<br />
If NormSor = 0 Then<br />
Skalak(i) = 0<br />
uzenet = MsgBox("Zérus sor van a FELBONTÁS mátrixában!", 0, "Hiba!")<br />
Exit Sub<br />
End If<br />
Skalak(i) = 1 / NormSor<br />
Next i<br />
Rem * Gauss-féle eljárás részleges fıelem-kiválasztással *<br />
For k = 1 To 6<br />
Legnagyobb = 0<br />
For i = k To 7<br />
Meret = Abs(LU(PS(i), k)) * Skalak(PS(i))<br />
If Legnagyobb < Meret Then<br />
Legnagyobb = Meret<br />
Foindex = i<br />
End If<br />
Next i<br />
If Legnagyobb = 0 Then<br />
uzenet = MsgBox("Szinguláris mátrix van a FELBONTÁS-ban!", 0, "Hiba!")<br />
Exit Sub<br />
End If<br />
If Foindex k Then<br />
j = PS(k)<br />
PS(k) = PS(Foindex)<br />
PS(Foindex) = j<br />
End If<br />
Foelem = LU(PS(k), k)<br />
For i = k + 1 To 7<br />
M_ = -LU(PS(i), k) / Foelem<br />
LU(PS(i), k) = -M_<br />
For j = k + 1 To 7<br />
LU(PS(i), j) = LU(PS(i), j) + M_ * LU(PS(k), j)<br />
Rem * Ez a belsı ciklus. Csak az oszlopindex változik. *<br />
Next j<br />
Next i<br />
Next k
211<br />
If LU(PS(7), 7) = 0 Then<br />
uzenet = MsgBox("Szinguláris mátrix van a FELBONTÁS-ban!", 0, "Hiba!")<br />
Exit Sub<br />
End If<br />
Rem **** FELBONTAS vége! ****<br />
Rem **** MEGOLDO ****<br />
For i = 1 To 7<br />
Akku = 0<br />
For j = 1 To i - 1<br />
Akku = Akku + LU(PS(i), j) * D(j)<br />
Next j<br />
D(i) = Normal(PS(i), 8) - Akku<br />
Next i<br />
For i = 7 To 1 Step -1<br />
Akku = 0<br />
For j = i + 1 To 7<br />
Akku = Akku + LU(PS(i), j) * D(j)<br />
Next j<br />
D(i) = (D(i) - Akku) / LU(PS(i), i)<br />
Next i<br />
End Sub<br />
__________________________________<br />
5.3.-1.<br />
__________________________________<br />
p = Pontok_Szama<br />
X_1 = 0<br />
Y_1 = 0<br />
Z_1 = 0<br />
X_2 = 0<br />
Y_2 = 0<br />
Z_2 = 0<br />
Rem **** Súlyponti koordináták számítása ****<br />
For j = 1 To p<br />
X_1 = X_1 + X_Y_Z(j, 1)<br />
Y_1 = Y_1 + X_Y_Z(j, 2)<br />
Z_1 = Z_1 + X_Y_Z(j, 3)<br />
X_2 = X_2 + U_V_W(j, 1)<br />
Y_2 = Y_2 + U_V_W(j, 2)<br />
Z_2 = Z_2 + U_V_W(j, 3)<br />
Next
212<br />
X_1 = X_1 / p<br />
Y_1 = Y_1 / p<br />
Z_1 = Z_1 / p<br />
X_2 = X_2 / p<br />
Y_2 = Y_2 / p<br />
Z_2 = Z_2 / p<br />
__________________________________<br />
5.3.-2.<br />
__________________________________<br />
For l = 1 To p<br />
X = X_Y_Z(l, 1) - X_1<br />
Y = X_Y_Z(l, 2) - Y_1<br />
Z = X_Y_Z(l, 3) - Z_1<br />
m = 0: f = 3: Rem **** A polinom fokszáma ****<br />
For i = 0 To f<br />
For j = 0 To f - i<br />
For k = 0 To f - i - j<br />
m = m + 1<br />
Matrix(l, m) = X ^ i * Y ^ j * Z ^ k<br />
Next k<br />
Next j<br />
Next i<br />
Next l<br />
__________________________________<br />
5.3.-3.<br />
__________________________________<br />
Private Sub Normal_Matrix()<br />
Static i As Integer<br />
Static j As Integer<br />
Static k As Integer<br />
Static p As Integer<br />
Static t As Integer<br />
p = Pontok_Szama<br />
t = Tagok_Szama<br />
Rem ******** Normálmátrix összeállítása ********<br />
For i = 1 To t<br />
For j = 1 To t + 1<br />
Normal(i, j) = 0#<br />
Next<br />
Next<br />
For i = 1 To t<br />
For j = 1 To t<br />
For k = 1 To p<br />
Normal(i, j) = Normal(i, j) + Matrix(k, i) * Matrix(k, j)<br />
Next k
213<br />
Next j<br />
Next i<br />
End Sub<br />
_________________________________<br />
5.3.-4.<br />
__________________________________<br />
Private Sub Tisztatag()<br />
Static i As Integer<br />
Static j As Integer<br />
Static k As Integer<br />
Static p As Integer<br />
Static t As Integer<br />
p = Pontok_Szama<br />
t = Tagok_Szama<br />
Rem ******** Tisztatag vektor összeállítása ********<br />
For i = 1 To t<br />
For k = 1 To p<br />
Normal(i, t + 1) = Normal(i, t + 1) + Matrix(k, i) * Tiszta(k)<br />
Next k<br />
Next i<br />
End Sub<br />
__________________________________<br />
5.3.-5.<br />
__________________________________<br />
For k = 1 To p<br />
Tiszta(k) = U_V_W(k, 1) - X_2<br />
Next k<br />
For k = 1 To p<br />
Tiszta(k) = U_V_W(k, 2) - Y_2<br />
Next k<br />
For k = 1 To p<br />
Tiszta(k) = U_V_W(k, 3) - Z_2<br />
Next k<br />
__________________________________<br />
5.5.-1.<br />
_________________________________<br />
p = Pontok_Szama<br />
Y_1 = 0<br />
X_1 = 0<br />
Y_2 = 0<br />
X_2 = 0<br />
For j = 1 To p
214<br />
Y_1 = Y_1 + X_Y_Z(j, 1)<br />
X_1 = X_1 + X_Y_Z(j, 2)<br />
Y_2 = Y_2 + U_V_W(j, 1)<br />
X_2 = X_2 + U_V_W(j, 2)<br />
Next<br />
Y_1 = Y_1 / p<br />
X_1 = X_1 / p<br />
Y_2 = Y_2 / p<br />
X_2 = X_2 / p<br />
_________________________________<br />
5.5.-2.<br />
_________________________________<br />
For l = 1 To p<br />
Y = X_Y_Z(l, 1) - Y_1<br />
X = X_Y_Z(l, 2) - X_1<br />
m = 0<br />
For i = 0 To n<br />
For j = 0 To n - i<br />
m = m + 1<br />
Matrix(l, m) = Y ^ i * X ^ j<br />
Next j<br />
Next i<br />
Next l<br />
_________________________________<br />
5.5.-3.<br />
_________________________________<br />
Rem ******** Normálmátrix összeállítása ********<br />
For i = 1 To t<br />
For j = 1 To t + 1<br />
Normal(i, j) = 0#<br />
Next<br />
Next<br />
For i = 1 To t<br />
For j = 1 To t<br />
For k = 1 To p<br />
Normal(i, j) = Normal(i, j) + Matrix(k, i) * Matrix(k, j)<br />
Next k<br />
Next j<br />
Next i<br />
End Sub<br />
_________________________________<br />
Rem ******** Tisztatag vektor összeállítása ********<br />
For i = 1 To t<br />
For k = 1 To p<br />
Normal(i, t + 1) = Normal(i, t + 1) + Matrix(k, i) * Tiszta(k)<br />
Next k
Next i<br />
End Sub<br />
_________________________________<br />
215