Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

29
2 2
x + dy
ösz-
Az (1.2.2.1.-5) képlet jobboldala számlálójában kijelölt négyzetre emelés és a
szegbıl kiemelés után
d
írható, ahol
dx
2
+ dy
2
= E ⋅ dΦ
2
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ
⋅ dΛ
+ G ⋅ dΛ
2
F
2
⎛ ∂x
⎞ ⎛ ∂y
⎞
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ,
⎝ ∂Φ
⎠ ⎝ ∂Φ
⎠
∂x
∂x
∂y
∂y
= ⋅ + ⋅ és
∂Φ
∂Λ
∂Φ
∂Λ
⎛ ∂x
⎞
G = ⎜ ⎟
⎝ ∂Λ
⎠
2
⎛ ∂y
⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ∂Λ
⎠
2
2
az ún. Gauss-féle állandók.
Helyettesítsünk vissza az
2
l -re felírt (1.2.2.1.-5) összefüggésbe! Kapjuk:
l
2
2
2
E ⋅ dΦ
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ
⋅ dΛ
+ G ⋅ dΛ
= .
2 2 2 2
M ⋅ dΦ
+ r ⋅ dΛ
Osszuk el a számlálót és a nevezıt is
Írhatjuk:
Az 1.2.2.1.-1. ábrából
adódik, ahonnan
2
dΛ -tel, majd vezessük be az
l
2
2 E ⋅u
+ 2
dΦ
u = segédfüggvényt!
dΛ
⋅ F ⋅ u + G
= . (1.2.2.1.-6)
2 2 2
M ⋅u
+ r
r ⋅ dΛ
r
tanα = =
M ⋅ dΦ
M ⋅ u
r
u = ⋅ cotα . M
Az u – t az
2
l -re felírt (1.2.2.1.-6) kifejezésbe helyettesítve, írhatjuk:
2
⎛ r ⎞ r
⎛ r ⎞ r
E ⋅⎜
⋅ cotα
⎟ + 2 ⋅ F ⋅ ⋅ cotα
+ G E ⋅⎜
⋅ cotα
⎟ + 2 ⋅ F ⋅ ⋅ cotα
+ G
2 ⎝ M ⎠ M
=
⎝ M
=
⎠ M
l ,
2
2 2
2 r 2 2
r ⋅ ( cot α + 1)
M ⋅ ⋅ cot α + r
2
M
2
de
ezért
1
sinα =
és
2
cot α + 1
cotα
cosα =
,
2
cot α + 1