Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

145
Jelöljük a PpqQ görbe görbületi sugarát ρ-val. A pOq háromszögben
2 ⋅ dγ ⋅ ρ = ds ,
vagy, jó közelítéssel
2 ⋅ dγ ⋅ ρ = dd , (4.1.5.2.-4)
ahol dd a PQ húr végtelen kis eleme. A (4.1.5.2.-3)-at helyettesítve:
1 2 ⋅dγ
y dx
=
2
ρ dd = R
⋅
k
dd
. (4.1.5.2.-5)
Vegyünk fel a továbbiakban egy P origójú ξη derékszögő koordinátarendszert, melynek ξ tengelye
a PQ húr irányába esik, η tengelye pedig erre merıleges. A differenciálgeometriából
ismeretesen a ξη koordinátarendszerben a görbületi sugárra felírható az
2
d η
2
1 dξ
= −
ρ
2
⎡ ⎛ dη
⎞ ⎤
⎢1
+ ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ dξ
⎠ ⎥⎦
3
2
(4.1.5.2.-6)
dη
összefüggés. A -t úgy is tekinthetjük, mint a PpqQ görbe és a PQ húr által bezárt szög
dξ
tangensét, amelynek négyzete az 1-hez képest rendkívül kicsi. Ezért jó közelítéssel
A (4.1.5.2.-7)-et a (4.1.5.2.-5)-vel összevetve,
adódik, mert
2
1 d η
= − . (4.1.5.2.-7)
2
ρ dξ
2
d η y dx
y dx
− = ⋅ = ⋅
(4.1.5.2.-8)
2 2
2
dξ
R dd
R dξ
k
d d = dξ .
A PQ húr irányszögét jelöljük δ-val. A ξ tengelyen lévı tetszıleges pont koordinátáira az 1.
fıfeladat (1.2.1.4.-4) képletei alapján fennáll, hogy
k
y
x
Q
Q
=
=
dx
y
x
P
P
+ ξ ⋅ sin δ ,
+ ξ ⋅ cos δ ,
= dξ
⋅ cos δ .
(4.1.5.2.-9)