Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

112
( e ⋅sinΦ)
dΦ ⎛ Φ π ⎞
∫ = ln tan⎜
+ ⎟ . (3.1-11)
cosΦ
⎝ 2 4 ⎠
e ⋅ d
A ∫
tag a z = e ⋅sinΦ
helyettesítéssel alapintegrálhoz vezet (pld. Bronstejn-
2 2
1−
e ⋅ sin Φ
Szemengyajev, 1963, 432. és 241. old.):
( e ⋅sinΦ)
e ⋅ d
dz
e 1+
z
∫ = e ⋅ = e ⋅ z = ⋅
− e ⋅ Φ
∫ Ar th ln , de
2 2
2
1 sin 1−
z
2 1−
z
e 1+
z e 1−
z e 1−
e ⋅sinΦ
⎛1−
e ⋅sinΦ
⎞
− ⋅ ln = ⋅ ln = ⋅ ln = ln⎜
⎟ .
2 1−
z 2 1+
z 2 1+
e ⋅ sinΦ
⎝1+
e ⋅ sinΦ
⎠
A (3.1-11)-re is tekintettel továbbá
∫
M
N
Φ ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−
e ⋅ sinΦ
⎞
⋅ = ln tan⎜
+ ⎟ + ln⎜
⎟
cosΦ
⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅ sinΦ
⎠
⎡
1 sin
ln⎢
⎛ Φ π ⎞ ⎛ − e ⋅ Φ ⎞
= tan⎜
+ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎢ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅sinΦ
⎠
⎣
e
e
d 2
2
A (3.1.-9) alapján visszaszorozva n-nel és az integrálási állandót is figyelembe véve, írhatjuk:
M Φ
Φ π e Φ
n
d e
⎧ ⎡
⎤⎫
⎪
1 sin
n ln tan
2 ⎪
⎨
⎢ ⎛ ⎞ ⎛ − ⋅ ⎞ ⎥
⋅∫ ⋅ = ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎬ + ln k . (3.1.-12)
N cosΦ
⎪
⎢ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅ sinΦ
⎠ ⎥
⎪
⎩ ⎣
⎦⎭
Végül, a (3.1.-9) alapján, a (3.1.-10) és a (3.1.-12) kifejezések egyenlıségébıl a
e
2
⎤
⎥ .
⎥
⎦
⎛ϕ
π ⎞
n ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−
e ⋅sinΦ
⎞
tan⎜
+ ⎟ = k ⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅⎜
⎟
⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅sinΦ
⎠
e
n⋅
2
(3.1.-13)
kifejezéshez jutunk, ahol e az elsı numerikus excentricitás.
A (3.1.-7a) és a (3.1.-13) kifejezések a Gauss-féle szögtartó gömbi vetület vetületi
egyenletei.
3.1.1. A Gauss-féle szögtartó gömbi vetület állandói
A (3.1.-13) vetületi egyenlet gyakorlati alkalmazásához meg kell határoznunk az n és k
állandók értékeit, valamint a Gauss-gömb R sugarát.
Induljunk ki abból, hogy az ellipszoidi pontok gömbre vetítése a lehetı legegyszerőbb,
valamint minimális hossztorzulású legyen azon a területen, ahol a vetítést kívánjuk végezni. E
célból két feltételt szabunk:
1.egy kiválasztott szélességi körön, az ún. normál szélességi körön a lineármodulus legyen
egységnyi,
2.a lineármodulus a normál szélességi körtıl északra és délre a lehetı leglassabban változzék.
E feltételek teljesülése azt jelenti, hogy egy bizonyos területen belül a lineármodulus gyakorlatilag
állandó és egységnyi, egyidejőleg a számítások is viszonylag egyszerően végezhetık.