Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

175
⎛ R11
R12
R13
⎞
⎜ ⎟
R = ⎜ R21
R22
R23
⎟ - az α, β, γ elforgatási szögeket tartalmazó forgatómátrix
⎜ ⎟
⎝ R31
R32
R33
⎠
⎛ X ⎞
⎜ ⎟
X = ⎜Y
⎟ - térbeli koordináták az 1. rendszerben.
⎜ ⎟
⎝ Z ⎠
Az R forgatómátrix meghatározható 3 tengely körüli egymás utáni síkbeli forgatást kifejezı
forgatómátrix szorzataként. A forgatómátrix elemei a forgatások sorrendjétıl, ill. a forgásirányoktól
függnek. Minden forgatás akkor érvényes, amikor az elızıt már végrehajtottuk.
Ekkor mondjuk, hogy a forgatások „együtt mozgó” koordinátarendszerre vonatkoznak.
Jelöljük az 5.2.1.-1. ábrán a forgásirányokat az 5.2.-1. ábrának megfelelıen. Az α az X
tengely, a β az Y tengely, a γ a Z tengely körüli forgást jelenti, i, j és k egységvektorok. A levezetéshez
felhasználjuk a vektor algebra eszközeit.
A forgatások sorrendje legyen:
1. Forgatás a Z tengely körül,
2. Forgatás az Y tengely körül,
3. Forgatás az X tengely körül.
A síkbeli forgatómátrixok levezetésénél a forgatást mindig a forgástengely pozitív iránya
felıl szemléljük.
Z
γ
i
k
j
β
Y
1. Forgatás a Z tengely körül (5.2.1.-2. ábra)
X
α
5.2.1.-1. ábra: A transzformáció forgásirányai
r ⋅ = Z
i
γ
γ
X ;
r
Z
Y
γ
r ⋅ = Z
= X ⋅ i + Y ⋅ j ; s így
j
γ
; de
γ
γ
( X ⋅ i + Y ⋅ j) ⋅ i = X ⋅ i ⋅ i +
γ
⋅ j⋅
i
γ
γ
( X ⋅ i + Y ⋅ j) ⋅ j = X ⋅ i ⋅ j +
γ
⋅ j⋅
j
= Y
γ
X ; (5.2.1.-2)
= Y
γ
Y ;