Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

169
Az 5.1.-1. ábrán az X, Y, Z ellipszoidi térbeli és a Φ, Λ, h ellipszoidi földrajzi koordinátarendszert
szemléltetjük. Az XZ sík az ellipszoid kezdı-meridiánjának, az XY az ellipszoidi
egyenlítınek a síkja, Z az ellipszoid forgástengelye, Φ az ellipszoidi földrajzi szélesség, Λ
az ellipszoidi földrajzi hosszúság, h az ellipszoid feletti magasság.
Az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi földrajzi koordináták között szigorú átszámítási
összefüggések állnak fenn. Vezessük le ezeket az összefüggéseket!
5.1.1. Ellipszoidi térbeli koordináták számítása ellipszoidi földrajzi koordinátákból
1. Meusnier tétele (pld. Bronstein-Szemengyajev, 1963, 321. old., Hegedős, 24. old.)
értelmében egy felület P felületi pontjában húzott érintı egyeneshez illeszkedı ferdemetszet
görbületi sugara egyenlı az ugyanazon érintıhöz illeszkedı normálmetszet görbületi sugarának
és a két metszeti sík közbezárt szöge cosinusának szorzatával. Forgási ellipszoid esetén
(5.1.1.-1. ábra) a normálmetszet P’DE síkja a P’ ponton átmenı ferdemetszet (szélességi kör)
P’RQ síkjával Φ szöget zár be, azaz
r = P' n ⋅ cosΦ . (5.1.1.-1.)
Z
Q
R
r
P’
E
o
90
− Φ
n
D
5.1.1.-1. ábra: A meridiánra merıleges P’DE normálmetszet és a P’RQ ferdemetszet (a
P’ szélességi köre)
Ebbıl következik, hogy a P pontból (5.1.-1. ábra) az ellipszoidhoz húzott normális P’n
szakasza, ahol az n pont a normális és a Z tengely metszéspontja, maga az N harántgörbületi
sugár:
N = P′n . (5.1.1.-2)
2. Az X és Y ellipszoidi térbeli koordinátákat az 5.1.-1. ábra kiegészítésével, ill. módosításával
kapjuk (5.1.1.-2. ábra). A PP’’n háromszögbıl ugyanis
Az (5.1.1.-3) figyelembevételével X-re és Y-ra kapjuk:
p = ( N + h)
⋅ cosΦ
. (5.1.1.-3)
X = ( N + h)
⋅ cosΦ
⋅ cos Λ
. (5.1.1.-4)
Y = ( N + h)
⋅ cosΦ
⋅ sin Λ