Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

179
( + ) ⋅ R X
vektoregyenletben kijelölt szorzásokat! Kapjuk:
X′ = a
0
+ 1 κ ⋅
(5.2.1.-1)
vagy
X ′ = a
Y ′ = b
o
Z′
= c
o
o
+ (1 + κ ) ⋅ X + (1 + κ)
⋅Y
⋅ dγ
− (1 + κ ) ⋅ Z ⋅ dβ
+ (1 + κ)
⋅Y
− (1 + κ ) ⋅ X ⋅ dγ
+ (1 + κ)
⋅ Z ⋅ dα
,
+ (1 + κ ) ⋅ Z + (1 + κ ) ⋅ X ⋅ dβ
− (1 + κ)
⋅Y
⋅ dα
X ′ = a
Y ′ = b
o
Z′
= c
o
o
+ X + κ ⋅ X + Y ⋅ dγ
+ κ ⋅Y
⋅ dγ
− Z ⋅ dβ
− κ ⋅ Z ⋅ dβ
+ Y + κ ⋅Y
− X ⋅ dγ
− κ ⋅ X ⋅ dγ
+ Z ⋅ dα
+ κ ⋅ Z ⋅ dα
+ Z + κ ⋅ Z + X ⋅ dβ
+ κ ⋅ X ⋅ dβ
− Y ⋅ dα
+ κ ⋅Y
⋅ dα
(5.2.2.-2)
Az (5.2.2.-2) összefüggésekben a koordináták nagysága a terepi pontnak az ellipszoid középpontjától
való távolságától, ezen belül a féltengelyek méretétıl, ill. a pont ellipszoid feletti
magasságától függ. Magyarországon a legnagyobb koordináta a Z, ami még 1000 m tengerszint
feletti magasságban is Z < 5 ⋅ 10 m . Ekkor pld. a WGS84 és a HD72 (Hungarian Datum
6
1972, IUGG/1967) közötti átszámításkor tapasztalat szerint a méretarány-különbség κ < 10 −5
6
és a forgatási szögek szélsı esetben sem haladják meg az 5”-et. Ekkor Z = 5 ⋅10
m mellett
6 −5
5′′
κ ⋅ Z ⋅ dβ
= 5 ⋅10
m ⋅10
⋅ ≈ 0,001m .
5
2 ⋅10
"
Az összefüggés jobb oldalának nevezıjében 2 ⋅ 10
5 " az 1 radián ”-ben kifejezett közelítı értéke.
Következésképpen a méretarány-különbségeknek a koordinátákkal és a forgatási szögekkel
vett vegyes szorzatait elhanyagolhatjuk, hiszen a többi taghoz képest nagyságrendekkel
kisebbek, s náluk az adott pontok koordinátáinak hibái is jóval nagyobbak. Az (5.2.2.-2) öszszefüggések
így felírhatók
X ′ = a
Y ′ = b
o
o
+ X + κ ⋅ X + Y ⋅ dγ
− Z ⋅ dβ
+ Y + κ ⋅Y
− X ⋅ dγ
+ Z ⋅ dα
(5.2.2.-3)
Z′
= co
+ Z + κ ⋅ Z + X ⋅ dβ
− Y ⋅ dα
alakban.
Az (5.2.2.-3) egyenletekben az X’, Y’, és Z’ koordinátákat vigyük át az egyenletek
jobb oldalára. Az adott pontok koordinátáiban lévı hibák miatt a bal oldalak nem zérus értékőek,
hanem ott az ún. „maradék eltérések” (rezidiumok, javítások) állnak. Az i. közös pontra
felírható:
v
v
v
X
Y
i
Z
i
i
= a
= b
o
= c
o
o
+ X
i
+ Z
i
i
+ κ ⋅ X
+ Y + κ ⋅Y
− X
i
+ κ ⋅ Z
i
i
+ Y ⋅ dγ
− Z
i
+ X
i
i
⋅ dγ
+ Z
i
i
i
⋅ dβ
− X ′
⋅ dα
− Y ′
⋅ dβ
− Y ⋅ dα
− Z′
Írjuk fel az (5.2.2.-4) egyenleteket vektoros formában! Kapjuk:
i
i
i
. (5.2.2.-4)
v = A ⋅ x − l
(5.2.2.-5)
i
i
( 3) ( 3,7) ( ) ( 3)
7
i