Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

40
1. tétel: Az ellipszis konjugált félátmérıinek négyzetösszege állandó és egyenlı a féltengelyek
négyzetösszegével (1.2.2.6.-1. ábra):
m +
2 2 2 2
+ n = a b . (1.2.2.6.-1)
2. tétel: Az ellipszis konjugált félátmérıire szerkesztett paralelogramma területe állandó és
egyenlı a féltengelyeire szerkesztett téglalap területével (1.2.2.6.-1. ábra):
m ⋅ n ⋅sin χ = a ⋅b
. (1.2.2.6.-2)
Képezzük az (1.2.2.6.-1) és az (1.2.2.6.-2) összefüggések összegét és különbségét. Kapjuk:
ahonnan
m
m
2
2
+ n
+ n
2
2
A =
B =
+ 2 ⋅ m ⋅ n ⋅ sin χ =
− 2 ⋅ m ⋅ n ⋅sin
χ =
m
m
2
2
+ n
+ n
2
2
2
( a + b)
2
= A
2
( a − b) 2
= B
+ 2 ⋅ m ⋅ n ⋅ sin χ
− 2 ⋅ m ⋅ n ⋅sin
χ
,
(1.2.2.6.-3)
és
A + B A − B
a = ; b = . (1.2.2.6.-4)
2 2
Határozzuk meg χ -t! Az 1.2.2.5.-1. és az 1.2.2.6.-1. ábrákból χ = β − β
0
.
Tekintsük most azt az y, x vetületi koordinátarendszert, amelynek x tengelye a Φ, Λ
földrajzi koordinátájú pont meridiánjának érintıje. E rendszerben β
0
= 0; χ = β (1.2.2.6.-2.
ábra).
Φ (x iránya)
m χ = β
y iránya
1.2.2.6.-2. ábra: A vetületi koordinátarendszer x tengelye a meridián érintıje
Az (1.2.2.2.-3) összefüggésbıl
H
sin χ = sin β =
.
2
E ⋅ E ⋅u
+ 2 ⋅ F ⋅u
+ G