Bácsatyai László: Magyarországi vetületek - NymE GEO portál

MAGYARORSZÁGI VETÜLETEK
Bácsatyai László
Sopron, 2005

2
Lektor: Dr. Csepregi Szabolcs
fıiskolai tanár
Dr. Varga József
egyetemi adjunktus

3
Tartalomjegyzék
BEVEZETÉS---------------------------------------------------------------------------------------------- 7
1. TÉRKÉPI VETÜLETEK ---------------------------------------------------------------------------- 9
1.1. A térkép -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9
1.2. A földfelszíntıl a térkép síkjáig-------------------------------------------------------------------------------------- 10
1.2.1. A vetítés ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11
1.2.1.1. Alapfelületek. A geoid. ----------------------------------------------------------------------------------------- 12
1.2.1.2. A földi ellipszoid------------------------------------------------------------------------------------------------- 17
1.2.1.3. A földgömb ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21
1.2.1.4. A síkvetület. Vetületi koordinátarendszerek.---------------------------------------------------------------- 23
A geodézia fıfeladatai a vetületi koordinátarendszerben-------------------------------------------------------- 24
1.2.2. Vetületi torzulások és redukciók ------------------------------------------------------------------------------------ 25
1.2.2.1. Vetületi torzulások----------------------------------------------------------------------------------------------- 27
A lineármodulus általános egyenlete-------------------------------------------------------------------------------- 28
1.2.2.2. Azimut eltérése a képfelületen--------------------------------------------------------------------------------- 30
1.2.2.3. A fokhálózati vonalak merılegességének feltétele--------------------------------------------------------- 34
1.2.2.4. A lineármodulus vizsgálata a szélsıértékekre. Vetületi fıirányok. ------------------------------------- 35
1.2.2.5. Torzulási ellipszis (Tissot-féle indikatrix) ------------------------------------------------------------------- 36
1.2.2.6. Összefüggések lineármodulusok között---------------------------------------------------------------------- 39
Apollonius tételei------------------------------------------------------------------------------------------------------- 39
1.2.2.7. Területi modulus ------------------------------------------------------------------------------------------------- 41
1.2.2.8. Maximális szögeltérés------------------------------------------------------------------------------------------- 42
1.2.2.9. Az alapfelület szögtartó, területtartó és általános torzulású ábrázolása a vetületen ------------------ 44
Az alapfelület szögtartó ábrázolása --------------------------------------------------------------------------------- 44
Az alapfelület területtartó ábrázolása ------------------------------------------------------------------------------- 45
Az alapfelület általános torzulású ábrázolása---------------------------------------------------------------------- 46
1.2.2.10. Torzulási ellipszisek különbözı torzulású vetületekre--------------------------------------------------- 46
1.2.2.11. Vetületek csoportosítása -------------------------------------------------------------------------------------- 48
Valódi és képzetes vetületek ----------------------------------------------------------------------------------------- 48
Csoportosítás a képfelület alakja szerint --------------------------------------------------------------------------- 48
Csoportosítás a képfelület Földhöz viszonyított elhelyezése szerint ------------------------------------------ 49
Érintı és süllyesztett vetület------------------------------------------------------------------------------------------ 49
Közvetlen és közvetett vetítéső vetület ----------------------------------------------------------------------------- 50
1.2.2.12. Vetületi redukciók---------------------------------------------------------------------------------------------- 50
Elsı irány- és szögredukció. Az iránymodulus.------------------------------------------------------------------- 51
Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------------- 52
Területtorzulási tényezı és területi redukció ---------------------------------------------------------------------- 54
Második irány- és szögredukció ------------------------------------------------------------------------------------- 54
Gömbi szögfölösleg---------------------------------------------------------------------------------------------------- 55
Vetületi meridiánkonvergencia -------------------------------------------------------------------------------------- 58
2. MAGYARORSZÁG SAJÁT VETÜLETEI---------------------------------------------------- 59
2.1. A sztereografikus vetület --------------------------------------------------------------------------------------------- 60
2.1.1. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 61
2.1.2. Inverz vetületi egyenletek -------------------------------------------------------------------------------------------- 66
2.1.3. A sztereografikus vetület redukciói--------------------------------------------------------------------------------- 69
2.1.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------- 69
2.1.3.2. Második irányredukció ----------------------------------------------------------------------------------------- 73
2.1.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia -------------------------------------------------------------------------------- 75
2.1.4. A sztereografikus vetület szelvényhálózatai----------------------------------------------------------------------- 77
2.1.4.1. A magyarországi analóg erdıtervi (erdészeti üzemi) térképek szelvényezési rendszere ------------ 78

4
2.2. A ferdetengelyő hengervetületek ------------------------------------------------------------------------------------ 80
2.2.1. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 81
2.2.2. Inverz vetületi egyenletek -------------------------------------------------------------------------------------------- 86
2.2.3. A ferdetengelyő hengervetületek redukciói ----------------------------------------------------------------------- 87
2.2.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------- 87
2.2.3.2. Második irányredukció ----------------------------------------------------------------------------------------- 90
2.2.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia -------------------------------------------------------------------------------- 94
2.2.4. A ferdetengelyő hengervetületek szelvényhálózatai ------------------------------------------------------------- 97
2.3. Egységes Országos Vetület ------------------------------------------------------------------------------------------- 98
2.3.1. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------100
2.3.2. A metszı gömbi körök és a Gellérthegy pont elhelyezése-----------------------------------------------------102
2.3.3. Inverz vetületi egyenletek -------------------------------------------------------------------------------------------103
2.3.4. A Egységes Országos Vetület redukciói --------------------------------------------------------------------------104
2.3.4.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------104
2.3.4.2. Második irányredukció és vetületi meridiánkonvergencia-----------------------------------------------105
2.3.5. Az Egységes Országos Vetület szelvényhálózata ---------------------------------------------------------------107
3. GAUSS-FÉLE SZÖGTARTÓ GÖMBI VETÜLET ----------------------------------------109
3.1. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 109
3.1.1. A Gauss-féle szögtartó gömbi vetület állandói ------------------------------------------------------------------112
2
dl Λ d l Λ
2
3.1.1.1. A dΦ
és a dΦ
differenciálhányadosok meghatározása -----------------------------------------------113
3.1.1.2. Az n, k állandók és a Gauss-gömb R sugarának meghatározása ----------------------------------------117
3.2. Inverz vetületi egyenletek-------------------------------------------------------------------------------------------- 120
3.3. A magyarországi gömbi vetületek jellemzı adatai-------------------------------------------------------------- 120
3.3.1. Számpéldák a Gauss-féle gömbi vetület alkalmazására --------------------------------------------------------121
4. NEMZETKÖZI VETÜLETEK MAGYARORSZÁGON -----------------------------------125
4.1. A Gauss-Krüger vetület---------------------------------------------------------------------------------------------- 125
4.1.1. A szögtartóság alapegyenletei --------------------------------------------------------------------------------------127
4.1.2. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------128
4.1.3. Az ellipszoidi meridiánív hossza-----------------------------------------------------------------------------------132
4.1.4. Inverz vetületi egyenletek -------------------------------------------------------------------------------------------134
4.1.5. A Gauss-Krüger vetület redukciói ---------------------------------------------------------------------------------138
4.1.5.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------138
A lineármodulus meghatározása ellipszoidi földrajzi koordinátákból ---------------------------------------138
A lineármodulus meghatározása vetületi koordinátákból ------------------------------------------------------140
4.1.5.2. Második irányredukció ----------------------------------------------------------------------------------------143
4.1.5.3. Vetületi meridiánkonvergencia -------------------------------------------------------------------------------147
A meridiánkonvergencia meghatározása ellipszoidi földrajzi koordinátákból------------------------------147
A meridiánkonvergencia meghatározása vetületi koordinátákból --------------------------------------------149
4.1.5.4. Számpéldák a Gauss-Krüger vetület alkalmazására-------------------------------------------------------150
4.1.6. A Gauss-Krüger vetület szelvényhálózata ------------------------------------------------------------------------153
4.2. UTM vetület ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 157
4.2.1. Vetületi egyenletek ---------------------------------------------------------------------------------------------------157
4.2.2. Inverz vetületi egyenletek -------------------------------------------------------------------------------------------158
4.2.3. Az UTM-vetület redukciói ------------------------------------------------------------------------------------------159
4.2.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció -------------------------------------------------------------------159
4.2.3.2. Második irányredukció ----------------------------------------------------------------------------------------161
4.2.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia -------------------------------------------------------------------------------161
4.2.4. A normál-ellipszisek földrajzi hosszúsága------------------------------------------------------------------------162
4.2.5. Az UTM-vetület sáv- és rétegbeosztása---------------------------------------------------------------------------163

5
4.2.5.1. Az UTM-vetület koordináta azonosítási rendszere--------------------------------------------------------163
5. ÁTSZÁMÍTÁSOK VETÜLETI RENDSZEREK KÖZÖTT-------------------------------167
5.1. Összefüggések az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi földrajzi koordináták között----------------------- 168
5.1.1. Ellipszoidi térbeli koordináták számítása ellipszoidi földrajzi koordinátákból-----------------------------169
5.1.2. Ellipszoidi földrajzi koordináták számítása ellipszoidi térbeli koordinátákból-----------------------------172
5.2. A térbeli hasonlósági transzformáció------------------------------------------------------------------------------ 174
5.2.1. A transzformációs összefüggés levezetése -----------------------------------------------------------------------174
5.2.2. A transzformációs paraméterek meghatározása -----------------------------------------------------------------178
5.3. A térbeli polinomos transzformáció ------------------------------------------------------------------------------- 183
5.4. A síkbeli hasonlósági transzformáció------------------------------------------------------------------------------ 187
5.5. A síkbeli polinomos transzformáció ------------------------------------------------------------------------------- 189
5.6. A koordináta-módszer------------------------------------------------------------------------------------------------ 191
5.6.1. Átszámítás a budapesti sztereografikus és a magyarországi ferdetengelyő hengervetületek között ----192
5.6.2. Átszámítás a különbözı közép-meridiánú Gauss-Krüger és UTM vetületi sávok között ----------------195
Irodalom---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 197
FÜGGELÉK--------------------------------------------------------------------------------------------199
2.1.3.1.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------199
2.1.3.1.-2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------199
2.2.1.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------200
2.2.2.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------200
2.2.3.2.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------201
2.2.3.3.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------201
2.3.4.2.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------202
3.2.-1. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------203
3.3.1.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------203
3.3.1.-2.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------204
4.1.4.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------204
4.1.5.4.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------204
4.1.5.4.-2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------206
4.1.5.4.-3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------206
4.1.5.4.-4. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------206
4.2.3.3.-1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------207
5.1.1.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------207
5.1.2.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------208
5.2.2.-1.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------208
5.2.2.-2.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------209
5.2.2.-3.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------209
5.3.-1. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------211
5.3.-2. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------212
5.3.-3. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------212
5.3.-4. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------213
5.3.-5. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------213
5.5.-1. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------213
5.5.-2. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------214
5.5.-3. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------214

7
Bevezetés
Geodéziai vetületeket tárgyaló könyv Magyarországon elıször 1954-ben jelent meg,
Hazay István tollából. A kiadást késıbb több is követte. A BME Földmérı és
Geoinformatikus szakos hallgatói számára Varga József írt egyetemi jegyzeteket, míg a
NyME Geoinformatika szakos hallgatói Németh Gyula fıiskolai jegyzetébıl tanulnak.
Jelen könyv a „Magyarországi vetületek” c., a Mezıgazdasági és Szaktudás Kiadónál
1993-ban megjelent tankönyv jelentısen módosított és korszerősített változata. Elıdjéhez hasonlóan
a Magyarországon alkalmazott vetületi rendszerekkel foglalkozik, felépítése lényegében
megegyezik a korábbiéval: az elsı részben a vetületek torzulásaival, a második részben a
kizárólag Magyarországon kidolgozott, a mindenkori magyarországi területi sajátosságokat
magukon hordozó, a magyarországi térképezés céljára kiválasztott geodéziai vetületekkel foglalkozik.
A harmadik rész a Gauss-féle szögtartó gömbi vetületet, a negyedik rész a Magyarországon
is használt nemzetközi vetületeket, a Gauss-Krüger és az UTM vetületet ismerteti. A
könyv utolsó, ötödik fejezetének tárgya a vetületi rendszerek közötti átszámítások.
Úgy éreztem, hogy a könyvem megjelenése óta több mint 10 év elteltével - az utóbbi
idıben nagyon fontossá vált a mőholdas helymeghatározás elterjedésére is tekintettel - nem
fölösleges a magyar geodéziai szakirodalomnak ezt a részét újra átgondolni, s a vetületek általános
törvényszerőségein túl a csak Magyarországon használatos vetületekrıl matematikai
szempontból megalapozott és egyben új szemléletmódú áttekintést nyújtani. E tankönyv nem
pótolhatja és nem is helyettesítheti Dr. Hazay Istvánnak a geodéziai vetületek terén Magyarországon
mindmáig alapmőnek tekinthetı munkásságát és nem versenytársa, hanem kiegészítıje
kíván lenni az e témában eddig megjelent irodalmaknak. Törekedtem arra, hogy a számítástechnika
mai színvonalának megfelelı anyagot állítsak össze. Ezért többek között – a Gauss-Krüger
és az UTM vetületek kivételével – mind a vetületi egyenleteknél, mind a vetületi
redukcióknál elhagytam a vetületi sorokat és a legtöbb esetben számítógépen különösebb nehézségek
nélkül programozható zárt képleteket fogalmaztam meg. Az egyes anyagrészeket
számítási példákkal egészítettem ki, a számításokat végzı VisualBasic forrásnyelvő programrészeket
a legtöbb esetben a könyv Függelékében mellékeltem.
Az 1993-as kiadáshoz képest jelentısen módosítottam a vetületi torzulások és
redukciók általános elméletének leírását. A GIS és a GPS technika mai fejlettségi szintjének
következtében módosítanom kellett a vetületi rendszerek közötti átszámítások felfogásmódját
is, bemutatva, hogy az átszámításokat a térben kell elvégezni: a GPS mérésekbıl a térben 3
koordinátát kapunk egy, középpontjával a Föld tömegközéppontjába helyezett vonatkoztatási
ellipszoid térbeli, ill. ellipszoidi földrajzi koordinátarendszerében. A különbözı országok vetületi
(és magassági) rendszereinek összekapcsolása ezen keresztül lehetséges. Mindezeken
túlmenıen számos szóhasználati módosításra is sor került. Kijavítottam az elızı kiadásban

8
észre nem vett szövegezés- és képlethibákat. Csak remélhetem, hogy ezzel egyidejőleg nem
keletkeztek újabb hibák.
Jelentısen megváltoztak az ábrák is. A régi kiadás számos ábráját kicseréltem. E térben
megszerkesztett ábrák síkban, sajnos, nem mindig azt mutatják, amit térben látni lehetett,
a síkban, a könyv ábrájaként sajnos szegényebbé válnak, remélem azonban, hogy jobbak,
mint az elsı kiadásban és megfelelı figyelemmel jól követhetık.
Néhány azóta megjelent publikáció kivételével lényegében változatlanul maradt az elsı
kiadás irodalomjegyzéke. Ez – reményeim szerint – segíti a korábbi irodalomban való eligazodást,
lehetıvé teszi a korábbi anyagokban való tájékozódást.
A könyv megírásakor komoly támogatást és segítséget kaptam Dr. Ádám József egyetemi
tanár, akadémikustól, aki tanácsaival végig segítette munkámat. Hálámat fejezem ki
könyvem lektorainak, Dr. Varga József egyetemi adjunktusnak és Dr. Csepregi Szabolcs fıiskolai
tanárnak, akik részletekbe menı, helyenként szigorú ítéletükkel remélhetıleg megakadályozták,
hogy könyvemben tisztázatlan fogalmak, definíciók, matematikai levezetések maradjanak.
Remélem, hogy a könyv újszerő tárgyalásmódjával, néhány, a téma magyarországi és
nemzetközi szakirodalmában újnak tekinthetı összefüggésével, valamint számpéldáival hasznos
kiegészítıje lesz nemcsak a magyarországi földmérı mérnök-képzésnek, hanem az e területen
dolgozó szakemberek továbbképzésének, látásmódjuk további bıvülésének is. A könyvet
haszonnal forgathatják az agrár területen tevékenykedı szakemberek, a vetülettan után érdeklıdı
kutatók, mélyebb elmélyülést kívánó doktorandusok, egyetemi és fıiskolai hallgatók,
de a térinformatikával foglalkozó szakemberek is, akik valamilyen más szakmai területrıl érkezve,
a digitális térképekkel kapcsolatba kerülnek. Ezek száma nem kevés, remélhetı, hogy
a könnyebb, kisebb elmélyülést igénylı és látványosabb irányok mellett e könyv tanulmányozásával
is hasznosan töltik majd idejüket.
Sopron, 2005. március 3.
Bácsatyai László

9
1. Térképi vetületek
1.1. A térkép
A térkép a földfelszín megismerésének legfontosabb segédeszköze és minden tervezés
alapja, olyan adathordozó, amely egy hosszú, elméleti és gyakorlati tevékenységeket egyaránt
magában foglaló folyamat végterméke. A folyamat elméleti része elsısorban a Föld alakjának
és méreteinek meghatározására irányul, ebbe kell majd beillesztenünk szőkebb környezetünket.
A Föld alakján itt nem a fizikai földfelszínt, a szárazföldeket, tengereket értjük, hanem
egy idealizált földfelületet, amely nem tartalmazza a Föld rendkívül változatos kiemelkedéseit,
bemélyedéseit, ill. ezek változásait.
Szó szerinti értelemben a térkép a térnek a képe, olyan síkbeli alkotás, amely az idealizált
földfelszín matematikai törvényszerőségeknek eleget tevı vetítésével jön létre és a körülöttünk
lévı háromdimenziós világot, illetve annak kisebb-nagyobb részeit különbözı mértékő
kicsinyítésben ábrázolja. A kicsinyítés mértékét térképi méretaránynak nevezzük és a késıbbiekben
„M”-mel fogjuk jelölni. A méretarányt törtszámmal fejezzük ki, ahol a tört számlálójában
1, a nevezıben pedig a kicsinyítés mértékét kifejezı – a továbbiakban „a”-val jelölt
- méretarányszám áll. Jelölése pld. 1:25000, vagy 1/25000, általánosságban 1:a, vagy 1/a. A
méretarány és a méretarányszám egymással fordított arányban vannak, nagyobb méretarányhoz
kisebb méretarányszám tartozik és fordítva. Az 1:25000 méretarány tehát kisebb, mint az
1:10000. A térképi méretarány elsı közelítésben a térkép síkjában tetszıleges két pont közötti
távolság és a két pont eredeti távolságának hányadosa. A méretarány szempontjából azonban
egy síkbeli és egy térbeli távolság csak akkor hasonlítható össze, ha párhuzamosak. Ez még az
idealizált földfelszínen lévı távolság esetén sincs így, ezért a méretarány fogalmát a földfelszín
vetítésének matematikai megfogalmazása után pontosítani fogjuk (1.2.-1. képlet).
A kész térkép lehet analóg vagy digitális. Az analóg térképek papírra, vagy mérettartó
anyagra (asztralon lapra, fóliára) készülnek, a digitális térképeket a számítógépek háttértárolóin
kódolt formában tárolják. A digitális térkép olyan számítógépes adatállomány, amelynek a
felhasználásával megfelelı eszközökkel (rajzgép, plotter) elıállítható az analóg térkép. Az
analóg térképpel ellentétben a digitális térkép méretarány-független abban az értelemben,
hogy a térképi adatok ábrázolható sőrőségének nem rajzi korlátok, hanem a számítógépes rajzi
megjelenítés szempontjából kialakított észszerőség szab határt. Utóbbit a térkép olvashatósága,
a jelkulcs és a térképi összevonások (generalizálás) mértéke befolyásolja. A digitális
térkép megbízhatósága elméletileg tetszılegesen nagy lehet. Ez alatt azt értjük, hogy a digitális
térképet kizárólag a geodéziai mérések és számítások hibái terhelik, az éppen aktuális grafikus
megjelenítés méretaránya nem. Mindez csak az új terepi felmérés eredményeibıl készült
digitális térképre igaz, a digitalizálás útján készült digitális térképre nem, mert a térképdigitalizálás
során az eredeti analóg termék hibáira még a digitalizálás során elkövetett hibák
is rárakódnak.
Mind a méretarány-függetlenség (a tetszıleges térképi adatsőrőség), mind az elméletileg
korlátlan ábrázolási megbízhatóság kihasználása egy számítógépes térképi adatbázisban
optimális, amely a térkép rajzi és minimális szöveges információin túl a térképi elemekhez
rendelt tetszıleges mennyiségő numerikus és szöveges információt (ún. attribútumokat) is tartalmaz.
A digitális térképi és a hozzárendelt szöveges adatbázis teremtette meg az alapját a
számítástechnika ma már Magyarországon is széleskörően elterjedt lehetıségének, a Földrajzi
Információs Rendszerek (angolul: Geographical Informations System – GIS) kialakításának.
A technika eszközeinek optimális kihasználását a térképkészítés szigorú matematikai
alapjai teszik lehetıvé, amelyekre támaszkodva a térkép – legalább elméletileg - biztosítja a
földfelszín lehetı legkisebb torzulásokkal terhelt ábrázolását. Ezen alapok tárgyalása jelen
könyvünk tárgya.

10
1.2. A földfelszíntıl a térkép síkjáig
A térképi ábrázolás megkönnyítése végett a földfelszíni pontok térben elfoglalt helyét
két részre bontjuk: gyerekkorunk óta kialakult szemléletmódunknak megfelelıen az ábrázolandó
pontokat
vízszintes,
függıleges (magassági) helyzetükkel adjuk meg (1.2.-1. ábra).
A hagyományos geodéziában a fizikai földfelszín pontjait egy fizikai értelemben meghatározott
felülethez, a vízszintes felülethez képest értelmezzük. A pont vízszintes helyzetét
két adattal, a függıleges helyzetét egy adattal adjuk meg. A földfelszín síkrajzát a vízszintes
felületen lévı P’ pontok, domborzatrajzát a P’P’’ görbe vonalú szakaszok (m 1 , m 2 , m 3 ) öszszessége
adja.
1.2.-1. ábra: A földi pontok helyzetének megadása
A vízszintes felület a nehézségi erıtérben értelmezett idealizált felület, más néven tengerszint
vagy geoid. A geoid matematikailag zárt formában nem írható le, ezért a kezelhetıség
érdekében a tengerszinten lévı pontokat egy ellipszoidra, az ún. vonatkoztatási ellipszoidra,
végül egy síkra, a vetület síkjára vetítjük. A vetület méretarány szerinti kicsinyítésével jön
létre a térkép síkja. Eszerint a térkép méretaránya az alábbi:
térképi hossz
M = térképi méretarány =
. (1.2.-1)
vetületi hossz

11
A hagyományos geodéziai mérések, mérımőszerek természete olyan, hogy a vízszintesben
lévı pontok helyzetének és a tengerszint feletti magasságok meghatározása két részre
választható szét és mindkét rész külön kezelhetı. A ma már üzemszerően használt GPS vevık
mérési eredményeibıl viszont a Föld tömegközéppontjában rögzített ellipszoidi koordinátákat
kapunk, ezért a könyv címében vállalt feladat – a vízszintes helyzet értelmezése - mellett a
magassági értelmezéssel is foglalkoznunk kell.
1.2.1. A vetítés
Ha egy idomot az egyik felületrıl a másikra vetítünk, akkor az ott létrejött idom képe
az elıbbinek. Azt a felületet, amelyrıl vetítünk, alapfelületnek, amelyre vetítünk, képfelületnek
nevezzük. Az ellipszoidról a síkra történı áttérésnél az ellipszoid az alap-, a sík pedig a
képfelület. Utóbbi esetben a képfelület ún. síkvetület, vagy egyszerően vetület. Elıfordul,
hogy az ellipszoid és a sík közé gömböt iktatnak, ekkor az ellipszoidról a gömbre való áttérésnél
a képfelület a gömb.
A vetítés matematikai összefüggésekkel történhet
1. geometriailag megszerkeszthetı és szemléltethetı,
2. geometriailag nem szemléltethetı módon.
Az elsı esetben a vetítést valamilyen vetítési középpontból végezzük és vetítısugarakkal
közvetítjük. Ha a vetítési középpont a végtelenben van és a vetítısugarak a képfelületre
merılegesek, ortogonális, vagy derékszögő vetítésrıl (1.2.1.-1/a. ábra), ha a vetítısugarak
párhuzamosak, de a képfelületre nem merılegesek, klinogonális, vagy ferdeszögő vetítésrıl
(1.2.1.-1/b. ábra) beszélünk. Ha vetítési középpont a végesben van, a vetítés centrális (1.2.1.-
1/c. ábra).
C
e
P
1
e
P
2
e
P
1
e
P
2
e
P
1
e
P
2
P 1 P 2 P 1 P 2
P 1 P 2
a) b)
c)
1.2.1.-1. ábra: Vetítés vetítısugarakkal
a) ortogonális vetítés, b) klinogonális vetítés, c) centrális vetítés
A második esetben a vetítési középpont és a vetítısugarak helyzete geometriailag nem
szemléltethetı, a vetített pontok geometriailag nem szerkeszthetık.

12
1.2.1.1. Alapfelületek. A geoid.
Az 1.2.-1. ábrán szemléltetett vízszintes felület mentes a fizikai földfelszín rendkívüli
változatosságától, a kisebb-nagyobb kiemelkedésektıl vagy bemélyedésektıl és a Föld egészére
érvényes tulajdonságokkal bír. Nyugalomban lévı nagy vízfelületek, tavak, tengerek
szemlélésekor ez az elképzelésünk valósággá válik. Tekintettel arra, hogy az óceánok és a
tengerek felszíne a Földfelszín közel 4/5-e, természetes, hogy ez a felület a nyugalomban lévı
tengerszint felülete, amelyet gondolatban meghosszabbítunk a fizikai földfelszín, a szárazföldek
alatt úgy, hogy az a Föld egészére kiterjedı, folyamatos felületet alkosson. Ezt a felületet
(1.2.1.1.-1. ábra) Listing német fizikus 1873-ban geoidnak nevezte el.
Fizikai földfelszín
óceán
geoid
1.2.1.1.-1. ábra: A földfelszín és a geoid
A nyugalomban lévı tengerek felszínét a nehézségi erı alakítja. A nehézségi erı az az
erı, amely minden testet a Földhöz vonz. A nehézségi erı a szabadon esı testre ható nehézségi
gyorsulással mérhetı.
A nehézségi gyorsulás egysége a gal:
m
s
-2
1 gal = 10 .
2
Az egységnyi tömegre ható nehézségi erı számértékben megegyezik a nehézségi
gyorsulással, ezért e két fogalom között általában nem tesznek különbséget. Az SI rendszerben
a nehézségi erı egysége az erıegység, N (Newton), átlagos értéke pedig :
⎛ kg ⋅ m ⎞
2
g = 9,81 N ⎜ = 9,81⋅10
⋅ gal ⋅ kg
2
⎟
.
⎝ s ⎠
É
f
g
P
k
C
1.2.1.1.-2. ábra: A nehézségi erı

13
Feltételezve, hogy Földünk felszíne közelében a kozmikus sugárzásból, illetve a Nap,
a Hold, a bolygók tömegvonzásából adódó erıhatások elhanyagolhatók, a nyugalomban lévı
testre ható nehézségi erıt két erı eredıjeként határozhatjuk meg (1.2.1.1.-2. ábra):
- A Föld Newton-féle tömegvonzása (f),
- A Föld tengely körüli forgásából származó centrifugális erı (k), amelynek iránya minden
pontban merıleges a Föld forgástengelyére
g = f + k . (1.2.1.1.-1)
A centrifugális erı nagysága az egyenlítıtıl a sarkok felé csökken, ami – a tömegvonzási
erıvel ellentétes irányú hatás és a Föld lapultsága következtében - azt jelenti, hogy a nehézségi
erı értéke az egyenlítıtıl a sarkok felé nı.
Mint minden erı, a nehézségi erı is vektormennyiség. A nehézségi erıtér, tetszıleges
más erıtérhez hasonlóan megadható erıvonalaival, azaz az erıtér minden pontjában ismerni
kell a nehézségi erıvektor irányát és nagyságát. A nehézségi erıtér kezelése egyszerőbbé válik,
ha bevezetjük a potenciál, mint skaláris mennyiség fogalmát.
A g nehézségi erı potenciálján olyan W skalár mennyiséget értünk, amelynek egy r
elmozdulás vektor szerinti elsı deriváltja a nehézségi erı vektora:
Az (1.2.1.1.-2) alapján az elemi potenciál:
dW
g = . (1.2.1.1.-2)
dr
dW = g ⋅ dr . (1.2.1.1.-3)
Az (1.2.1.1.-3) kifejezés két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat ismert meghatározása
szerint:
dW
( g,dr) = g ⋅ dr
⋅ cos( g,d
) = g dr
= g ⋅ dr
⋅ cos
r , (1.2.1.1.-4)
r
⋅
ahol
g = g a nehézségi erı vektor, d r = dr
az elmozdulás vektor abszolút értéke,
g = g ⋅ cos( g,
dr)
a g erıvektor elmozdulás irányú komponense, ( g dr)
r
, - rel pedig a két vektor
által közbezárt szöget jelöljük.
A ( g, dr)
szög értékére válasszunk két szélsı esetet:
o
o
1. ( g dr) 90 és 2. ( dr) 0
, =
g , = .
o
Az 1. ( g , dr) = 90 esetben cos ( g ,dr) = 0 , s így d W = g ⋅ dr
= 0 . Feltételezve, hogy g
értéke állandó, a potenciált az alábbi összefüggés szolgáltatja:
W = ∫ d W = g ⋅∫
dr
= g ⋅ r = const. (1.2.1.1.-5)
Az (1.2.1.1.-5) összefüggés az azonos potenciálú pontok mértani helyét fejezi ki, azaz
egy olyan felületet, amelynek minden pontjában a dr elmozdulás vektor iránya merıleges a
nehézségi erı vektorának irányára.

14
-g
dr
W=const.
1.2.1.1.-3. ábra: A nehézségierı-vektor iránya merıleges a szintfelületre
A nehézségi erı iránya az adott pontban mindig merıleges erre a felületre (1.2.1.1.-3.
ábra). E felület neve szintfelület, vagy egyenlı potenciálú, ekvipotenciális felület. Ugyancsak
ezen összefüggés szerint a W potenciál, mint erınek és útnak a szorzata, munka jellegő menynyiség.
Eszerint, ha a W = const. potenciálú felületen egy tömeget mozgatunk, nem végzünk
munkát a nehézségi erı ellenében.
g r esetben a dr elmozdulás-vektor iránya azonos a g vektor irányával,
o
A 2. ( , d ) = 0
vagyis cos ( g ,dr) = 1
g
, ahonnan a (1.2.1.1.-4) képletbıl következik, hogy
dW
= g ⋅ dr
. (1.2.1.1.-6)
Képezzük most az (1.2.1.1.-6) határozott integrálját a W 0 potenciál értékő geoid és egy
tetszıleges W P potenciálú szintfelület között (1.2.1.1.-4. ábra).
P
∫
0
d W
=
P
∫
0
g ⋅ dr
= g ⋅
P
∫
0
dr
, és
W
p
W0
= g ⋅ rP
− r0
)
− ( = −g
⋅ m . (1.2.1.1.-7)
P
Az
P
Q
P
r − r = m érték a P szintfelületén bárhol lévı P pontnak a geoid, vagy a tengerszint
feletti abszolút magassága. Az (1.2.1.1.-7) összefüggésben a negatív elıjel arra utal,
hogy míg a nehézségi erı a Föld belseje felé mutat, addig a magasságot fordítva, a középtengerszinttıl
„felfelé” értelmezzük pozitívnak.
P
P
g
függıvonal
0
0
g
geoid
1.2.1.1.-4. ábra: A tengerszint feletti magasság a függıvonal mentén értelmezett távolság

15
Az (1.2.1.1.-7) összefüggés levezetésekor feltételeztük, hogy a két szintfelület között
a nehézségi erı sem nagyságát, sem irányát nem változtatja. Mivel ez valójában nincs így, a
magasságot szigorú értelemben véve nem egyenes, hanem egy ún. kettıs csavarodású térbeli
görbe vonal, a függıvonal mentén kell értelmeznünk. Könnyen belátható, hogy a függıvonal
tetszıleges pontjában húzott érintı megadja nehézségi erı irányát.
Tekintsünk a továbbiakban két szomszédos szintfelületet! Mivel mindkét szintfelület
minden pontjához ugyanazon potenciál tartozik, nyilvánvaló, hogy a két szintfelület közötti
∆W potenciálkülönbség állandó, azaz a P-vel és Q-val jelzett tetszıleges szintfelületre az
(1.2.1.1.-7) összefüggés szerint fennáll:
Q
P
( W −W
) − ( W −W
)
∆ W = W −W
=
. (1.2.1.1.-8)
Q
0
P
0
A szintfelületek közti távolságot jelöljük
∆ m = m Q
− m -vel, ekkor (1.2.1.1.-5. ábra):
P
∆ W = −g
⋅ ∆m
. (1.2.1.1.-9)
Q szintfelülete
W Q
∆m
m Q
P szintfelülete
W P
W 0
m P
geoid
A
1.2.1.1.-5. ábra: A magasságkülönbség értelmezése
P
∆ m = m Q
− m érték két tetszıleges szintfelületnek vagy a P, vagy a Q ponton átmenı
függıleges mentén vett távolsága. Közeli P és Q pontok esetén a két érték eltérése elhanyagolható.
A ∆m érték ekkor a különbözı szintfelületeken lévı P és Q pontok magasságkülönbsége
(relatív magassága). Hagyományosan mindig két pont közötti magasságkülönbséget
mérünk.
Ha ismerjük az egyik szintfelületen (pld. P) lévı pont abszolút magasságát, akkor a
másik (pld. Q) szintfelületen lévı pont abszolút magassága
m Q
= m P
+ ∆m
. (1.2.1.1.-10)
Mivel a nehézségi erı értéke az egyenlítıtıl a sarkok felé nı, azaz
g > g , viszont
∆W állandó, ez csak úgy képzelhetı el, hogy a két szintfelület közötti ∆m távolságokra
∆ m > ∆ áll fenn, azaz a szintfelületek nem párhuzamosak egymással, hanem a sarkok
ekv.
m pol.
felé összehajlanak (1.2.1.1.-6. ábra), ugyanis
∆ W = g ⋅ ∆mekv = g ⋅ ∆m
.
ekv.
.
pol.
pol.
pol.
ekv.

16
g pol. .
∆m pol. W Q
W P
Egyenlítı ∆m ekv. g ekv.
1.2.1.1.-6. ábra: A szintfelületek a sarkok felé összehajlanak
m
m
A geoidon g
ekv.
≅ 9,78
, g
2 pol.
≅ 9,83 . Ha a ∆m nagysága az Egyenlítın pld. 100
2
s
s
m, úgy
9,78 ⋅100 m
∆m
pol.
=
≅ 99,5 m ,
9,83
azaz mintegy 0,5 m-rel kisebb. Alsó-geodéziai méréseinkben a szintfelületek nem párhuzamos
voltától – éppúgy, mint a függıvonal görbeségétıl – általában eltekinthetünk.
Írjuk fel végül az (1.2.1.1.-6) összefüggést
dW
d r = (1.2.1.1.-10)
g
alakban. A g értéke véges mennyiség, dW értéke pedig nem zérus, tehát dr semmilyen körülmények
között nem lehet zérus. Ez azt jelenti, hogy a szintfelületek nem metszhetik egymást.
Tetszıleges P földfelszíni pont helyzetét egy, a Földhöz kapcsolt koordinátarendszerben
az m abszolút magasságával, aΦ ′ szintfelületi földrajzi szélességével és a Λ′ szintfelületi
földrajzi hosszúságával adják meg (1.2.1.1.-7. ábra).
A Föld forgástengelye
függıvonal
szintfelületi normális
P ( Φ ′,Λ
′,m
)
m
geoid
P pont szintfelülete
Λ′
Φ ′
Egyenlítı síkja
1.2.1.1.-7. ábra: Földfelszíni pont szintfelületi koordinátái

17
1.2.1.2. A földi ellipszoid
A földi ellipszoid a Föld valódi alakját helyettesítı forgási ellipszoid (1.2.1.2.-1. ábra).
forgástengely
b
q
a
meridián-ellipszis
a
Egyenlítı
1.2.1.2.-1. ábra: A földi ellipszoid a nagy féltengelye és b kis féltengelye
A földi ellipszoid alakját nem befolyásolják a Föld tömegelrendezıdésének rendellenességei,
a rá értelmezett ún. normál nehézségi erıtér jól illeszkedik a Föld nehézségi erıteréhez
és egyszerően számítható. Így a földi ellipszoidot geometriai méretei mellett a Föld
együttes tömege és szögsebessége is jellemzi. A földi ellipszoid ún. szintellipszoid, ami azt jelenti,
hogy az ellipszoid felülete önmaga nehézségi erıterének szintfelülete. Mindebbıl következik,
hogy a geoidhoz az elméletileg legjobban simuló ellipszoid is attól kisebb-nagyobb
mértékben eltér. Szárazföldeknél általában a geoid alatt, a tengereknél pedig a geoid felett halad
(1.2.1.2.-2. ábra).
kontinens
geoid
földi ellipszoid
1.2.1.2.-2. ábra: A földi ellipszoid elhelyezkedése
Ha az ellipszoidot a forgástengelyén áthaladó síkkal elmetsszük, az ún. meridiánellipszishez
jutunk. A földi ellipszoid méretét és alakját az ellipszoid fél nagytengelyével, a-
val és fél kistengelyével, b-vel adják meg (1.2.1.2.-1. ábra). Az a és b értékekbıl levezethetık
a földi ellipszoidra vonatkozó alábbi paraméterek:
q - meridiánkvadráns
a − b
α = - az ellipszoid lapultsága (1.2.1.2.-1)
a
2 2
a − b
e = - elsı, a fél nagytengelyre vonatkozó numerikus excentricitás
2
a
(1.2.1.2.-2)

18
2 2
a - b
e′ = - második, a fél kistengelyre vonatkozó numerikus excentricitás
2
b
Összefüggések a két numerikus excentricitás között:
(1.2.1.2.-3)
2
2
2 e 2 e′
e′ = ; e = . (1.2.1.2.-4)
2
2
1−
e 1+
e′
Meghatározásuk idejétıl, helyétıl és módjától függıen az egyes földi ellipszoidok méretei
különböznek egymástól. Az 1.2.1.2.-1. táblázatban összefoglaljuk a Magyarországon is
használatos ellipszoidok legfontosabb paramétereit.
1.2.1.2.-1. táblázat: Magyarországon is használatos ellipszoidok paraméterei
Az ellipszoid Közlésének a (m) b (m) α
neve éve
Bessel 1842 6377397,155 6356078,963 1:299,153
Kraszovszkij 1940 6378245 6356863,019 1:298,3
IUGG/1967 1967 6378160 6356774,516 1:298,247
WGS84 1984 6378137 6356752,3142 1:298,257
Tetszıleges P földfelszíni pont helyzetét az ellipszoidhoz kapcsolt koordinátarendszerekben
adják meg: ellipszoidi X, Y, Z térbeli koordinátáival, vagy h ellipszoid feletti magasságával,
Φ ellipszoidi földrajzi szélességével és Λ ellipszoidi földrajzi hosszúságával
(1.2.1.2.-2. ábra). A két rendszer között az átszámítás zárt képletekkel történik (5.1. fejezet).
Z
θ
ellipszoidi normális
P(Φ, Λ, h)
szintfelületi normális
Greenwichi
ellipszoidi meridián
P’
h
α
Λ
Φ
Q’
A P pont
ellipszoidi meridiánja
Y
X
(Greenwich)
Ellipszoidi egyenlítı síkja
1.2.1.2.-2. ábra: Helymeghatározó adatok a földi ellipszoidon
Az ellipszoid felületébıl az ellipszoid forgástengelyén átfektetett síkok a meridiánokat,
az Egyenlítı síkjával párhuzamos síkok a szélességi köröket metszik ki. Valamely ellipszoidi
P pont földrajzi szélességén a P pont normálisának (amely – a pólusokban és az Egyenlítı
pontjain emelt normálisok kivételével - nem megy át az ellipszoid középpontján) az ellip-

19
szoidi egyenlítı síkjával bezárt szögét, Λ földrajzi hosszúságán a P ponton átmenı meridiánnak
egy – a vetület szempontjából tetszılegesen választott – ún. kezdı-meridiánnal bezárt
szögét értjük. A vetületeknél, így pld. a Magyarországon is használatban lévı Gauss-Krüger
vetületnél a kezdı-meridián gyakran az ismert greenwichi meridiánnal esik egybe, de pld. az
Ausztriában érvényes Gauss-Krüger vetület ún. ferroi kezdı-meridiánja mintegy 17 o 40′ -cel
esik nyugat felé a greenwichi meridiántól.
Definíciószerően soroljunk fel néhány további fontos fogalmat:
Valamely P’Q’ ellipszoidi ív (1.2.1.2.-2. ábra) földrajzi azimutja a P’ pontban az ívnek
a P’ ponton átmenı meridián északi ágával bezárt α szöge, a meridián és az ív P’ pontbeli
érintıi között, az óramutató járásával megegyezı irányban értelmezve.
2
a
2 a
c = = a ⋅ 1+
e′
= - pólusgörbületi sugár (1.2.1.2.-5)
2
1−
e
b
(Ellipszoidi földrajzi szélességtıl függı) segédmennyiségek:
2 2
2 2
V = 1+
e′
⋅ cos Φ;
W = 1−
e ⋅ sin Φ ;
M=
N =
2
a ⋅ ( 1−
e )
2 2
( 1−
e ⋅sin
Φ)
1−
e
2
a
⋅sin
2
Φ
3
2
=
=
1
2
a ⋅ ( 1+
e′
) 2
3
2 2
( 1+
e′
⋅ cos Φ) 2
1
2
a ⋅ ( 1+
e′
) 2
1
2 2
( 1+
e′
⋅ cos Φ) 2
Kapcsolatok a segédmennyiségek között:
- az ellipszoid meridián irányú görbületi sugara
(1.2.1.2.-6)
- az ellipszoid harántgörbületi sugara
2
( 1−
e )
(1.2.1.2.-7)
c a ⋅
N = =
3
3
V W
; (1.2.1.2.-8)
c a
N = = .
V W
(1.2.1.2.-9)
a
Φ = 0 esetén, vagyis az egyenlítın M = 2
1+
e′
, N = a ;
o
Φ = 90 esetén, vagyis a póluson
M = N = a ⋅ 1 + e′
= c . Innen származik c – re a pólusgörbületi sugár elnevezés.
2
A P’ és Q’ pontok távolsága az ellipszoidon a pontokat összekötı legrövidebb ellipszoidi
ív, a geodéziai vonal. Az ellipszoid P’ pontbeli normálisán és a Q’ ponton átfektetett
sík, valamint a Q’ pontbeli normálisán és a P’ ponton átfektetett sík által az ellipszoid felületébıl
kimetszett normálmetszetek nem azonosak (1.2.1.2.-3. ábra), mivel az ellipszoid lapultsága
miatt a normálisok nem esnek egy síkba, hanem kitérı egyenesek (kivéve, ha a P’ és Q’
pontok egy meridiánon, vagy egy szélességi körön helyezkednek el). A geodéziai vonal 1/3 és
2/3 arányban osztja a két normálmetszetet és folyamatosan követi a kitérı egyenesek változását,
minden egyes pontjában a görbületi sugár iránya egybeesik a felületi normálissal. Mivel
∆ értéke csekély (100 km-es távolságon is csak mintegy 0,04"), e tulajdonságnak csak az ellipszoidon,
mint alapfelületen végzett számítások egyértelmősége szempontjából, a földrajzi
koordináták és a földrajzi azimutok számításánál van jelentısége.

20
P’
P’Q’ normálmetszet
Q’P’ normálmetszet
1.2.1.2.-3. ábra: Normálmetszetek és a geodéziai vonal
Tekintsük az 1.2.1.1.-7. és a 1.2.1.2.-2. ábrát!
Az ábrák alapján a geoid és a földi ellipszoid eltéréseit az alábbi fogalmakkal rögzítjük:
Függıvonal-elhajlás (a szintfelületi és az ellipszoidi normális által bezárt szög):
∆
2
2
( Φ′
− Φ) + ( Λ′
− Λ) ⋅ cosΦ
2
θ =
(1.2.1.2.-10)
Geoidunduláció (az ellipszoidi és a tengerszint feletti magasság különbsége):
Q’
N
= h − m
(1.2.1.2.-11)
E két mennyiség ismerete lehetıvé teszi a geoidról az ellipszoidra történı áttérést. A
függıvonal-elhajlás a gyakorlati esetek többségében elhanyagolható, a függıvonalak ekkor az
ellipszoid normálisai.
A hazai és nemzetközi szakirodalom a harántgörbületi sugarat és a geoidundulációt
egyaránt N-nel jelöli. A jelöléseket mi is megtartottuk. A két jelölés ugyanazon összefüggésekben
sohasem keveredik, s mindig világos lesz, mikor melyikrıl van szó.
Azt az ellipszoidot, amelyre az egyes országok térképezési rendszerüket vonatkoztatják,
vonatkoztatási ellipszoidnak, vagy vonatkoztatási rendszernek nevezzük (1.2.-1. ábra). A
vonatkoztatási ellipszoid olyan földi ellipszoid, amelynek földfelszíni kezdıpontja és tájékozása
van, valamint ismert a geoidunduláció a kezdıpontban.
A vonatkoztatási ellipszoid méreteit a kezdeti idıszakban a fokmérések segítségével
határozták meg. A fokmérés során az ellipszoidi meridiánív egy szakaszát, valamint az ív két
végpontjának földrajzi szélességét (Φ 1 , Φ 2 ) mérték. A meridiánszakasz hosszából és a két szélesség
fokértékben adott különbségébıl vezették le a meridiánív hosszát és az ellipszoid
egyéb paramétereit. Mivel – mint láttuk – az M meridián irányú és az N harántgörbületi sugár
az ellipszoidon pontról pontra változik, az ellipszoidok mérete attól függ, hogy a fenti adatokat
a Föld mely részén határozták meg. Az így meghatározott ellipszoid a meghatározás helyén
simul legjobban a geoidhoz, így egy adott ország számára annak az ellipszoidnak a használata
célszerő, amelyet a hozzá minél közelebb esı helyen határoztak meg. A mőholdak segítségével
végzett ellipszoid-meghatározások és a GPS elterjedése az egész világon ugyanazon
vonatkoztatási ellipszoid használatát követeli meg, az arra vonatkozó eredményeket
minden országnak át kell számítania a saját vonatkoztatási rendszerére (5. fejezet).
Magyarországon a polgári célú geodéziai munkáknál és térképeknél sokáig a Besselféle
vonatkoztatási ellipszoidot használták, 1975-tıl, az Egységes Országos Térképrendszerre
történı áttéréskor a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió által 1967-ben elfogadott
IUGG/1967 ellipszoidot vezették be. A GPS mérések eredményei a WGS84 ellipszoidra vonatkoznak.
A rendszerváltás elıtt a Varsói Szerzıdés keretén belül katonai térképeit Magyarország
is a Kraszovszkij-féle ellipszoidra vonatkoztatta.

21
A vonatkoztatási ellipszoidok országonként különbözıek, de még ugyanazon országon
– így Magyarországon - belül is a különbözı idıszakokban változtak. A vonatkoztatási rendszer
elnevezés helyett gyakran használják a geodéziai dátum elnevezést is. Ebben az értelemben
használatos Magyarországon az IUGG/1967 vonatkozási ellipszoid helyett a HD-72
(Hungarian Datum 1972) elnevezés.
1.2.1.3. A földgömb
A Föld méreteit Newtonig visszamenıen egyetlen paraméterrel, a sugárral jellemezték.
A Krisztus elıtt 3. században élt Eratosthenes volt az elsı, aki a földgömb sugarát megállapította
(1.2.1.3.-1. ábra).
forgástengely
o
≈ 7,2
Nap
R
Alexandria
R
Syene (Asszuán)
Gömbi egyenlítı
1.2.1.3.-1. ábra: A földgömb sugarának meghatározása
Eratosthenes megfigyelte, hogy a nyári napforduló idején, délben Syenében (a mai
Asszuán) a napsugarak egy kút fenekét megvilágították, vagyis merılegesen érkeztek a Föld
felületére, míg egy teljesen hasonló idıpontban Alexandriában a teljes kör mintegy 1/50-ed
o
részével eltértek ( ≈ 7,2 ). Az Alexandria és Syene közötti gömbi meridiánív hosszára a két
hely között áthaladó karaván haladási idejébıl és sebességébıl következtetett (mai hosszmértékben
ez a távolság mintegy 672 km.). Ez nyilvánvalóan pontatlan, hiszen Alexandria és
Syene nincsenek ugyanazon a meridiánon és a napsugarak nem pontosan függılegesek.
Az R sugarú körben az ív és a sugár hányadosa egyenlı a középponti szög radiánban
kifejezett értékével, ahonnan:
o
672 180
R = ⋅ = 5350 km .
π
o
7,2
Ez az érték mintegy 16%-kal kisebb a ma ismert R = 6370 km körüli értéknél.
A földgömbön egy P’ pont helyét a ϕ gömbi földrajzi szélesség és a λ gömbi földrajzi
hosszúság határozzák meg (1.2.1.3.-2. ábra).
A földrajzi szélesség és hosszúság, valamint a földrajzi azimut meghatározása megegyezik
a földi ellipszoidnál megfogalmazott meghatározásokkal, az „ellipszoidi” kifejezést a
gömbi” kifejezéssel helyettesítjük.

22
A gömb forgástengelye
P(ϕ, λ)
gömbi normális
Gömbi kezdımeridián
P’
Q’
α g
λ
ϕ
A P pont
gömbi meridiánja
Gömbi egyenlítı
síkja
1.2.1.3.-2. ábra: Helymeghatározó adatok a földgömbön
A P’ és Q’ gömbi pontok közötti legrövidebb vonal a legnagyobb gömbi kör e két pont
közé esı íve, a gömbi geodéziai vonal. Az 1.2.1.3.-3. ábrán két további gömbi vonalat ábrázolunk:
az ortodrómát és a loxodrómát.
ortodróma
α
α
α
azimut
loxodróma
1.2.1.3.-3. ábra: Ortodróma és loxodróma
Az ortodróma görög szó, szó szerinti fordításban „egyenes futást” jelent. Az a hajó,
amely e vonal mentén törekszik céljának elérésére, a legrövidebb utat, vagyis a legnagyobb
gömbi körívet követi. Az ortodróma és a gömbi geodéziai vonal ekvivalens kifejezések. Látjuk,
hogy a meridiánokat mindig más-más szög alatt metszik, az e szerinti tájékozódás nem
egyszerő. A loxodróma „ferde futást” jelent és azimutja állandó, a meridiánok és az egyenlítı
mentén a legnagyobb gömbi kör, a szélességi körök mentén gömbi kör. Más irányban egy
olyan csavarvonal, amely aszimptotikusan közeledik, csavarodik a pólushoz. A régi hajósok
csak arra ügyeltek, hogy iránytőjük segítségével ezt a szöget tartsák. A navigálás így egyszerő,
de idıveszteséges volt, a loxodróma ugyanis hosszabb, mint az ortodróma.
Kisebb kiterjedéső országokban, mint amilyen Magyarország is, az ellipszoid felületének
egy darabját egy ún. simulógömbbel helyettesíthetik. Ez a gömb az ellipszoidot az ábrázolandó
terület közepe táján megválasztott pont környezetében érinti. Az ellipszoid és a simulógömb
felületei olyan közel esnek egymáshoz, hogy a mérési eredményeket közvetlenül gömbi

23
adatoknak tekinthetjük. Ezt az ellipszoid felületéhez legjobban simuló gömböt Gaussgömbnek
nevezik. A Gauss-gömb sugara egy megfelelıen kiválasztott pontban az ellipszoid
meridián irányú és harántgörbületi sugarának mértani közepe (3.1.1.2. pont):
c
R = M ⋅ N = . (1.2.1.3.-1)
2
V
A gömb és a sík közötti összefüggések sokkal egyszerőbbek, mint az ellipszoid és a
sík közöttiek, ami a számítástechnika régi fejlettségi szintjén különösen fontos volt. Magyarországon
a Gauss-gömböt 1857 óta az ún. „kettıs vetítés” esetén alkalmazzák. A vetítés elsı
lépése az ellipszoidról a Gauss-gömbre, a második a Gauss-gömbrıl a síkra történı vetítés.
Az ellipszoidról a Gauss-gömbre vetítés eredménye a Gauss-féle gömbi vetület, amelynek
számítási összefüggéseire és tulajdonságainak ismertetésére a 3. fejezetben térünk vissza.
1.2.1.4. A síkvetület. Vetületi koordinátarendszerek.
A síkban, vagy a síkba teríthetı képfelületen (továbbiakban: vetület, 1.2.-1. ábra) egy
P pont helyét egy y, x sík derékszögő koordinátarendszerben, a vetületi koordinátarendszerben
értelmezzük. Egy ország vetületi koordinátarendszerének kezdıpontját célszerően az ország
közepe táján választják meg. Az alkalmazandó vetület megválasztását alapvetıen az ország
alakja, a Földön való elhelyezkedése, területi és hosszanti irányú kiterjedésének mértéke
befolyásolja. Más vetületet választanak pld. a meridián irányában hosszan elnyúló ország, pld.
Chile, vagy a különbözı irányokban nagyjából azonos kiterjedéső Franciaország esetében.
Nagy kiterjedéső országok esetén általában több - hasonló típusú és tulajdonságú – vetületi
koordinátarendszert használnak, mindegyiket külön kezdıponttal.
A vetületi koordinátarendszer x tengelye a kezdıponton áthaladó meridiánnak, a kezdı-meridiánnak,
y tengelye a kezdıirányra az alapfelületen is merıleges alapfelületi vonalnak
a vetületben egyenesként jelentkezı képe. A továbbiakban a koordinátákat y, x sorrendben
használjuk. A matematikában megszokott sík derékszögő koordinátarendszerrel ellentétben a
vetületi koordinátarendszerben az y tengely pozitív ágát az x tengely pozitív ágától jobbra, az
óramutató járásának megfelelı irányban kapjuk. E koordinátarendszer használatának oka feltehetıen
az a hagyományos szemlélet, amellyel összhangban a geodéziában használatos
szögmérımőszereken a vízszintes szöget az óramutató járásával megegyezı irányban növekvı
fokbeosztáson olvassuk le, mert – mint a jobboldali közlekedést – ezt érezzük természetesnek.
Ebben a rendszerben minden, a matematikában megszokott koordináta-geometriai összefüggés
érvényben marad.
+x
+y
y Q
d
P
y P
δ PQ
∆x PQ
K
x P
x Q
∆x PQ
δ PQ
∆y PQ
d
Q
δ QP
δ QP
Q
∆y PQ
x Q
x P
K
P
y P
y Q
+y
a) +x
b)
1.2.1.4.-1. ábra: Vetületi koordinátarendszerek
a) délnyugati tájékozás b) északkeleti tájékozás

24
A vetületi koordinátarendszerek x tengelyének pozitív ága (a +x tengely) dél, vagy
észak elé mutat. Dél felé mutató +x tengelynél délnyugati, észak felé mutató +x tengelynél
északkeleti tájékozású vetületi koordinátarendszerrıl beszélünk (1.2.1.4.-1. ábra).
A vetületi koordinátarendszerben a pont helyét y és x derékszögő koordinátáival adjuk
meg.
o o
A δ irányszög alatt azt a 0 és 360 közé esı szöget értjük, amelyet egy vetületi síkon
lévı P pontból egy másik, ugyanazon síkon lévı Q pont felé menı irány a +x tengely irányával
az óramutató járásával megegyezı irányban bezár. Az 1.2.1.4.-1. a) és b) ábrákból láthatóan
a Q pontból a P pontba menı ellentétes irány irányszöge ettıl 180 -kal
o
különbözik:
o
δ
PQ
= δQP
± 180 . (1.2.1.4.-1)
Az alap- és a képfelület között a kapcsolatot a vetületi egyenletek teremtik meg. Utóbbiak
az y és x vetületi koordinátákat fejezik ki az ellipszoidi földrajzi Φ szélesség és a Λ ellipszoidi
földrajzi hosszúság függvényében. Szimbolikus jelöléssel:
y =
x =
f
y
x
( Φ,
Λ),
f ( Φ,
Λ).
(1.2.1.4.-2)
A vetületi egyenletekkel szemben az alábbi feltételeket kívánják meg:
− az alapfelület minden pontjának csak egy és csakis egy pont feleljen meg a képfelületen,
− a vetületi egyenletek folytonosak és differenciálhatók, deriváltjaik szintén folytonosak
legyenek,
− kielégítsék a torzulásokra (1.2.2. pont) megadott követelményeket.
Fordítva, kifejezhetjük a Φ és Λ ellipszoidi földrajzi koordinátákat a vetületi koordináták
függvényében:
Φ =
Λ =
f
f
Φ
Λ
( y,
x),
( y,
x).
(1.2.1.4.-3)
Utóbbiak az ún. inverz vetületi egyenletek.
A vetületi egyenleteket nem minden térképezendı pontra használják. Az ellipszoidon
korlátozott számú pont földrajzi koordinátái és a szomszédos pontok közötti földrajzi
azimutok meghatározása után azokat a vetületi egyenletek segítségével számítják át vetületi
koordinátákká és irányszögekké. Az ily módon definiált vetületben további, immár tetszıleges
számú pontot már a sík derékszögő koordinátarendszerben érvényes összefüggések felhasználásával
határoznak meg, a vetületi egyenletek alkalmazása nélkül.
A geodézia fıfeladatai a vetületi koordinátarendszerben
Elsı geodéziai fıfeladat: Egy vetületi koordinátarendszerben adott pont derékszögő
koordinátáiból és egy másik pont felé menı egyenes szakasz δ irányszögébıl és d hosszából
meghatározzuk a másik pont vetületi koordinátáit.
Adottak: y P , x P – a P pont vetületi koordinátái,
δ PQ – a P pontról a Q pontra mutató irány irányszöge,
d – a P és Q pontok távolsága a vetületi koordinátarendszerben.
Keressük: A Q pont y Q , x Q vetületi koordinátáit.

25
A 1.2.1.4.-1. ábrából mind az északkeleti, mind a délnyugati tájékozású koordinátarendszerre:
y
x
Q
Q
= y
= y
P
P
+ ∆y
+ ∆x
PQ
PQ
= y
= x
P
P
+ d ⋅ sinδ
+ d ⋅ cosδ
PQ
PQ
. (1.2.1.4.-4)
Második geodéziai fıfeladat: Valamely vetületi koordinátarendszerben adott két pont
derékszögő koordinátáiból meghatározzuk a két pont közötti egyenes szakasz d hosszát (a két
pont távolságát) és az egyenes szakasz δ irányszögét.
Adottak: y P , x P , y Q , x Q – a P és Q pontok vetületi koordinátái,
Keressük: δ PQ – a P pontról a Q pontra mutató irány irányszögét,
d – a P és Q pontok távolságát a vetületi koordinátarendszerben.
Ugyancsak a 1.2.1.4.-1. ábrából
tan δ
∆ y
PQ
PQ
= =
∆
x
PQ
y
x
Q
Q
− y
− x
P
P
, (1.2.1.4.-5)
Mivel
o
360 ( − ∆y)
2
2
PQ PQ
=
2
( y − y ) + ( x − ) 2
d = ∆ y + ∆ x
x . (1.2.1.4.-6)
0 < 360
IV. I.
y = −
x = +
P
y = −
x = −
Q III
Q IV
1.2.1.4.-2. ábra: Az irányszög elıjelei
o
o
< δ
PQ
, ezért
PQ
Q
P
Q
P
cosδ és sinδ
PQ
, s így az (1.2.1.4.-5) kifejezésbıl
számítható δ
PQ
elıjeles mennyiség, attól függıen, hogy az irányszög melyik (I., II., III., IV.)
szög negyedbe esik. A szögnegyedek értelmezését és a koordinátakülönbségek ( ∆ y , ∆x
)
elıjeleit az 1.2.1.4.-2. ábrán szemléltetjük.
III. II.
1.2.2. Vetületi torzulások és redukciók
∆
∆
∆
∆
( )
+ ∆x
∆y
= +
∆x
= +
A geoid a magasságok szempontjából nem, de a síkrajz térképezésének mindennapos
gyakorlata szempontjából elfogadható mértékben helyettesíthetı az ellipszoiddal. Az ellipszoidi
görbe vonalak és felületek síkba vetítésekor azonban nem elhanyagolható torzulások lépnek
fel. A térképalkotás során arra kell törekednünk, hogy a síkrajzot és a síkban ábrázolt
domborzatot alkotó természetes és mesterséges tereptárgyakat lehetıleg valódi alakjukban
0
o
o
180 ( − ∆x)
δ
PQ
Q II
Q I
∆y
= +
∆x
= −
o
90 ( + ∆y)
PQ
PQ

26
vagy ahhoz minél közelebb mutassuk be. Ebbıl a szempontból a torzulások annál nagyobbak,
szembetőnıbbek és zavaróbbak, minél nagyobb a földfelszínnek az a része, amelyet a térképen
ábrázolni akarunk. Szélsı esetben, ha például az egész Földet egy térképen kívánjuk ábrázolni,
az 1.2.2.-1. ábrán vázolt helyzet állhat elı, amikor az egyes földrészek térképi területe
jelentıs mértékben ellentmond a valóságos területi adatoknak.
1.2.2.-1. ábra: A földfelszíni alakzatok torzulnak a síkban
Fordítva, minél kisebb a térképen ábrázolni kívánt földfelület, annál kisebbek a torzulások,
míg végül eljutunk egy akkora területhez, amelynek térképi ábrázolásakor a térképezési
gyakorlat szempontjából a torzulások mértéke már elhanyagolható. E terület nagysága a térkép
méretarányától és a térképi ábrázolás elıírt megbízhatóságától függ, s emiatt relatív. Határozzuk
meg azt a - a méretaránytól függı - legnagyobb területet, amelyen belül a torzulások
figyelmen kívül hagyhatók. A területi korlátok betartása esetén vetítésre nincs szükség.
Induljunk ki abból, hogy a grafikus térképen az egymáshoz 0,1 mm-nél közelebb esı
pontokat már nem tudjuk egymástól megkülönböztetni. Ez pld. 1:10000 méretarány esetén a
terepen (pontosabban a vetületen) 0 ,1mm ⋅10000
= 1000 mm = 1m
-nek felel meg. Az
1.2.2. - 2. ábrán a vízszintes felületet az egyszerőség kedvéért gömbbel helyettesítjük.
1.2.2.-2. ábra: A torzulás mértéke a felület nagyságától függ
A földgömb R sugara mintegy 6380 km. A γ az s gömbi hosszhoz tartozó középponti
szög. Az s hossznak az érintési síkra, más szóval, a K pont vízszintes síkjára vetített értéke d.

27
A kettı különbsége az s hossz torzulásának a terepen megengedhetı mértéke, esetünkben
1 m = 0,001km . Az ábrából
∆s
= d − s = R ⋅ tan γ − s,
s
∆ s = R ⋅ tan − s,
(1.2.2.-1)
R
s
∆ s = 6380 ⋅ tg − s.
6380
Az (1.2.2.-1) egyenletet az s = 50 km érték elégíti ki, azaz a torzulást a K pont környezetében
mintegy 50 km-es sugarú körben hagyhatjuk figyelmen kívül. Kisebb méretaránynál s
értéke nagyobb, nagyobb méretaránynál kisebb. Pld. nagyobb, 1:1000 méretaránynál
s = 23 km .
A vetítés során a területek és hosszak torzulásával általánosságban a szögek is torzulnak.
A vetületi egyenletek azonban megválaszthatók úgy, hogy valamelyik mennyiség a másik
rovására a vetítéssel ne változzon.
A képfelületen jelentkezı torzulások miatt a térképi ábrázoláskor a mért távolságokat,
szögeket és területeket korrigálnunk kell. A korrekcióra szolgáló mennyiségeket vetületi redukcióknak
nevezzük.
1.2.2.1. Vetületi torzulások
A hosszak el nem kerülhetı változása a vetületen azt jelenti, hogy a vetítéskor az alapfelületi
méretek pontról pontra a helytıl függıen különbözı méretekben képzıdnek le a képfelületen.
E különbségek rögzítésére az ún. vetületi méretarány kifejezés szolgál. Ezt a változást
a hosszak torzulását jellemzı lineármodulussal értelmezzük:
dd
l = . (1.2.2.1.-1)
ds
A lineármodulus azt fejezi ki, hogy egy alapfelületi s hossz végtelen kis ds változásának
a vetületi d hossz (1.2.2.1.-1. ábra) mekkora végtelen kis dd változása felel meg. Általános
esetben dd
≠ ds
.
A szögek torzulását a
∆ γ = γ ′ − γ
(1.2.2.1.-2)
szögeltéréssel, s annak υ = ∆γ
max
maximális értékével jellemezzük (1.2.2.8. pont).
Az (1.2.2.1.-2) összefüggésben γ ′ két tetszıleges irány közbezárt szöge a képfelületen, γ a
megfelelı irányok által bezárt szög az alapfelületen.
A vetületen lévı végtelen kis dT terület és a megfelelı alapfelületi dF felület
dT
τ =
(1.2.2.1.-3)
dF
hányadosát területi modulusnak nevezzük. A területtorzulás függvénye a hosszak és szögek
torzulásának.
A hosszak, szögek és területek fenti torzulásainak mértékszámai minısítik a vetületek
használhatóságát, alkalmazásuk feltételeit. A továbbiakban, amikor alapfelületrıl beszélünk,
ellipszoidot vagy gömböt, ha képfelületrıl, síkvetületet (vetületet) értünk alatta.

28
A lineármodulus általános egyenlete
Φ + dΦ
M ⋅ dΦ
r ⋅ dΛ
y0 + dy,
x0
+ dx
Φ + dΦ,
Λ + dΛ
dy
x0 + dx
ds
dd
dx
α
β
a)
Φ, Λ
y , x b)
0 0
1.2.2.1.-1. ábra: Végtelen kis felületek az alapfelületen és a képfelületen
Általános esetben az ellipszoidra, mint alapfelületre vonatkozóan a lineármodulus
egyenletét egy tetszıleges Φ, Λ földrajzi koordinátájú pontban az alábbi levezetésbıl kaphatjuk
meg (1.2.2.1.-1. ábra) :
Az ábra szerint a vetületre
az ellipszoidra
dd +
2 2
= dx
dy
,
igaz, ahol
ds
=
( M ⋅ dΦ) 2
+ ( r ⋅ dΛ) 2
r = N
⋅ cos
Φ
1 és (1.2.2.1.-4)
M – a meridián irányú görbületi sugár (1.2.1.2.-6. képlet),
N – a harántgörbületi sugár (1.2.1.2.-7. képlet).
Helyettesítsük dd és ds kifejezéseit az (1.2.2.1.-1) képletbe, majd emeljük négyzetre! Kapjuk:
Az
l
2
2
2 2
( dd
) dx
+ dy
=
2
( ds) ( M ⋅ dΦ) 2 + ( r ⋅ dΛ) 2
= . (1.2.2.1.-5)
y = f
x = f
y
x
( Φ , Λ)
,
( Φ , Λ)
(1.2.1.4.-2)
vetületi egyenletek teljes deriváltjai:
∂x
∂x
dx
= ⋅ dΦ
+ ⋅ dΛ,
∂Φ
∂Λ
.
∂y
∂y
dy
= ⋅ dΦ
+ ⋅ dΛ
∂Φ
∂Λ
1 Az (1.2.2.1.-4) összefüggés bizonyítása az „5.1.1. Ellipszoidi térbeli koordináták számítása ellipszoidi földrajzi
koordinátákból” c. pontban található.

29
2 2
x + dy
ösz-
Az (1.2.2.1.-5) képlet jobboldala számlálójában kijelölt négyzetre emelés és a
szegbıl kiemelés után
d
írható, ahol
dx
2
+ dy
2
= E ⋅ dΦ
2
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ
⋅ dΛ
+ G ⋅ dΛ
2
F
2
⎛ ∂x
⎞ ⎛ ∂y
⎞
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ,
⎝ ∂Φ
⎠ ⎝ ∂Φ
⎠
∂x
∂x
∂y
∂y
= ⋅ + ⋅ és
∂Φ
∂Λ
∂Φ
∂Λ
⎛ ∂x
⎞
G = ⎜ ⎟
⎝ ∂Λ
⎠
2
⎛ ∂y
⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ∂Λ
⎠
2
2
az ún. Gauss-féle állandók.
Helyettesítsünk vissza az
2
l -re felírt (1.2.2.1.-5) összefüggésbe! Kapjuk:
l
2
2
2
E ⋅ dΦ
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ
⋅ dΛ
+ G ⋅ dΛ
= .
2 2 2 2
M ⋅ dΦ
+ r ⋅ dΛ
Osszuk el a számlálót és a nevezıt is
Írhatjuk:
Az 1.2.2.1.-1. ábrából
adódik, ahonnan
2
dΛ -tel, majd vezessük be az
l
2
2 E ⋅u
+ 2
dΦ
u = segédfüggvényt!
dΛ
⋅ F ⋅ u + G
= . (1.2.2.1.-6)
2 2 2
M ⋅u
+ r
r ⋅ dΛ
r
tanα = =
M ⋅ dΦ
M ⋅ u
r
u = ⋅ cotα . M
Az u – t az
2
l -re felírt (1.2.2.1.-6) kifejezésbe helyettesítve, írhatjuk:
2
⎛ r ⎞ r
⎛ r ⎞ r
E ⋅⎜
⋅ cotα
⎟ + 2 ⋅ F ⋅ ⋅ cotα
+ G E ⋅⎜
⋅ cotα
⎟ + 2 ⋅ F ⋅ ⋅ cotα
+ G
2 ⎝ M ⎠ M
=
⎝ M
=
⎠ M
l ,
2
2 2
2 r 2 2
r ⋅ ( cot α + 1)
M ⋅ ⋅ cot α + r
2
M
2
de
ezért
1
sinα =
és
2
cot α + 1
cotα
cosα =
,
2
cot α + 1

30
2 E 2 F
G 2
l = ⋅ cos α + 2 ⋅ ⋅ sinα
⋅ cosα
+ ⋅ sin α .
2
2
M
M ⋅ r
r
E F
G
Vezessük be a P = , a Q = és a T = jelöléseket! Ekkor sin 2α
= 2 ⋅ sinα
⋅ cosα
2
2
M M ⋅ r r
helyettesítéssel a lineármodulus négyzetére kapjuk:
Példa:
2
2
2
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α
+ T ⋅ sin α . (1.2.2.1.-7)
A földgömbre vonatkozó vetületi egyenletek legyenek az alábbiak:
1. Határozzuk meg a lineármodulust!
Képezzük az alábbi parciális deriváltakat:
y = R ⋅ λ
.
x = R ⋅ϕ
Továbbá
∂y
∂y
∂x
∂x
= R; = 0; = R;
= 0 .
∂λ
∂ϕ
∂ϕ
∂λ
M = R , N = R és az (1.2.2.1.-4) képlet szerint r = R ⋅ cosϕ
, R a föld-
mert a földgömbre
gömb sugara.
E =
2
2
= R ; F = 0; G R ,
1
P = 1 ; Q = 0; T = ,
2
cos ϕ
Az (1.2.2.1.-7) összefüggésbe helyettesítve, a lineármodulusra írhatjuk:
2 2 1
2
l = cos α + ⋅sin
α .
2
cos ϕ
2. Számítsuk ki az l lineármodulusnak a gömbi meridián és a gömbi szélességi kör irányába
esı m, ill. n értékeit!
g
A gömbi azimut a meridián irányában α = 0
2
értékeit az l képletébe helyettesítve, kapjuk:
o
, a szélességi kör irányában
1
l 0
( ) = m = 1,
l 0
α 0 ( α 90 ) = n = .
= =
cosϕ
g
α
o
= 90
A gömbi meridián hossza a vetületben nem szenved torzulást, a szélességi kör hossza az
egyenlítıtıl való távolság függvényében 1-tıl ∞ -ig változik.
1.2.2.2. Azimut eltérése a képfelületen
Az 1.2.2.1.-1. ábra szerint az α földrajzi azimutnak a vetületen a β szög felel meg.
Határozzuk meg β-t és eltérését az α földrajzi azimuttól (azimutredukció: ∆
α
= β −α
,
1.2.2.12. pont, (1.2.2.12.-1) képlet).
! Az
g
α

31
Két tetszıleges alapfelületi görbe képének közbezárt szöge a vetület síkjában legyen
χ (1.2.2.2.-1. ábra).
P 1
χ
P
1.2.2.2.-1. ábra: Az alapfelületi görbék képe a vetületen is görbe
A differenciálgeometriából két tetszıleges görbe közbezárt szögére ismert képlet (pld.
Bronstejn-Szemengyajev, 1963, 320. old.) alapján a
cos
E ⋅ dΦ
⋅ dΦ
+ F ⋅
( dΦ
⋅ dΛ
+ dΦ
⋅ dΛ)
1
1 1
1
χ =
(1.2.2.2.-1)
dd
⋅ dd
1
+ G ⋅ dΛ
⋅ dΛ
összefüggés írható fel, ahol E, F és G a Gauss-féle állandók, d Φ és dΛ
a P pont Φ és Λ ,
dΦ 1
és dΛ1
a P 1 pont Φ
1
és Λ1
földrajzi koordinátáinak végtelen kis változásai, az elızı
pont hasonló képlete szerint pedig
dd
2 2
2
2
= dx
+ dy
= E ⋅ dΦ
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ
⋅ dΛ
+ G ⋅ dΛ
és
dd
2 2
2
1
dx1
+ dy1
= E ⋅ dΦ1
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ1
⋅ dΛ1
+ G ⋅ d
= Λ .
Ha a P 1 pont a meridiánon van, Λ
1
= konstans (a meridián mentén nincs változás,
1.2.2.1.-1. a) ábra), ezért dΛ 1
= 0 és χ = β . Az (1.2.2.2.-1) képlet ekkor a
2
1
cos β =
E ⋅ dΦ
=
dΦ
⋅
1
2
E ⋅ dΦ
⋅ dΦ
1
+ F ⋅ dΦ
⋅ dΛ
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ
⋅ dΛ
+ G ⋅ dΛ
E ⋅
dΦ
⋅
1
E ⋅ dΦ
( E ⋅ dΦ
+ F ⋅ dΛ)
2
1
2
⋅
E ⋅ dΦ
+ 2 ⋅ F ⋅ dΦ
⋅ dΛ
+ G ⋅ dΛ
alakot ölti. A dΦ
1
-el egyszerősítve és az elızı fejezetbıl ismert
dΦ
u = segédfüggvényt he-
dΛ
lyettesítve, írhatjuk:
Fejezzük ki a
sin β -t is! Kapjuk:
1
2
=
E ⋅ u + F
cos β =
. (1.2.2.2.-2)
2
E ⋅ E ⋅ u + 2 ⋅ F ⋅ u + G

32
2
2 2
2
( E ⋅u
+ 2 ⋅ F ⋅u
+ G) − ( E ⋅u
+ 2 ⋅ E ⋅ F ⋅u
+ F )
E ⋅ ( E ⋅u
+ 2 ⋅ F ⋅ u + G)
2
2 E ⋅
sin β = 1−
cos β =
.
2
Továbbá
2
E ⋅ G − F
H
sin β =
=
, (1.2.2.2.-3)
2
2
E ⋅ E ⋅ u + 2 ⋅ F ⋅ u + G E ⋅ E ⋅ u + 2 ⋅ F ⋅u
+ G
ahol
H
=
E ⋅ G −
2
F
az ún. 4. Gauss-féle állandó.
Osszuk el az (1.2.2.2.-3) egyenletet az (1.2.2.2.-2)-vel! Kapjuk:
valamint
ahonnan
H
tan β = ,
E ⋅u
+ F
E ⋅ u + F = H ⋅ cot β ,
H F
u = ⋅ cot β − .
E E
A lineármodulus általános egyenletének elızı pontbeli levezetésénél viszont
r
u = ⋅ cotα . (1.2.2.2.-4)
M
A két utolsó egyenlet
r
M
⋅ cot α =
H
E
⋅ cot β −
F
E
összevetésébıl a β-ra írhatjuk:
r ⋅ E F
cot β = ⋅ cotα
+ .
M ⋅ H H
Végül, a földrajzi azimut vetületére az alábbi összefüggés írható fel:
vagy
M ⋅ H
tan β =
r ⋅ E ⋅ cotα
+ M ⋅ F
(1.2.2.2.-5)
M ⋅ H ⋅ tanα
tan β =
.
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
(1.2.2.2.-6)
A szögek különbségére felírható ismert

33
tan
( β − α )
tan β − tanα
=
1+
tan β ⋅ tanα
trigonometriai összefüggésbe az (1.2.2.2.-6) kifejezést helyettesítve, írhatjuk:
M ⋅ H ⋅ tanα
− tanα
tan( β −α
) =
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
.
2
M ⋅ H ⋅ tan α
1+
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
Végül, a földrajzi azimut a vetületben az alábbi összefüggés szerint tér el:
A
tan
( − α )
tan β és tan α szögek hányadosa:
Példa:
( M ⋅ H − r ⋅ E)
2
⋅ tanα
− M ⋅ F ⋅ tan α
. (1.2.2.2.-7)
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
+ M ⋅ H ⋅ tan α
β =
2
tan β M ⋅ H
=
. (1.2.2.2.-8)
tanα
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
1. Számítsuk ki az elızı pontbeli gömbi vetületre a földrajzi azimut eltérését!
továbbá
y = R ⋅ λ
,
x = R ⋅ϕ
R a földgömb sugara.
E =
2
2
= R ; F = 0; G R ,
H =
Az (1.2.2.2.-7) összefüggésbe helyettesítve, írhatjuk:
tan
( −α
)
2. Számítsuk ki ( β − α )
2 2
= E ⋅ G − F R , r = R ⋅ cosϕ
,
2
3 3
( M ⋅ H − r ⋅ E) ⋅ tanα
− M ⋅ F ⋅ tan α ( R − R ⋅ cosϕ)
⋅ cosϕ
+ R
⋅ tanα
.
⋅ tan α
β =
2
3
3 2
=
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
+ M ⋅ H ⋅ tan α R
tan
, valamint
( α )
( 1−
cosϕ)
⋅ tanα
− =
.
cosϕ
+ tan α
β
2
tan β
tanα
A tan ( β −α ) képletébe helyettesítve, kapjuk:
tan
g
értékétα
1−
cosϕ
o
= 45
tan β
mellett!
( β −α
) (
0
α 45 ) = ,
=
1+
cosϕ
tanα
0
( α = 45 ) 1+
cosϕ
=
.
1

34
o
o tan β 1
ϕ = 0 - nál ( β −α
) (
0
α = 45 ) = 0 ,
= ,
tanα
0
( α = 45 ) 2
o
tan β
ϕ = 90 - nál
= 1.
o
( β −α
) (
0
α = 45 ) = 45 ,
tanα
0
( α = 45 )
1.2.2.3. A fokhálózati vonalak merılegességének feltétele
A meridiánok és a szélességi körök az alapfelületen egymásra merılegesek. A meridiánoknak
és a szélességi köröknek a vetületben megfelelı vonalak a fokhálózati vonalak képei.
Vizsgáljuk meg, hogy utóbbiak mikor merılegesek egymásra.
χ
1.2.2.3.-1. A fokhálózati vonalak képeinek közbezárt szöge
A fokhálózati vonalak képeinek közbezárt szögét jelöljük χ -val.
0
H
Ekkor α = 90 -nál a tan β = képletbe helyettesítve
E ⋅u
+ F
H
tan χ = , (1.2.2.3.-1)
F
dΦ
mert u( α
o
) = = 0 . Az χ helyett gyakran használatos ε szög a hálózat ún. merılegességi
= 90
dΛ
mutatója:
o
χ = 90 ± ε ,
ahonnan
o
( 90 ± )
H
tan χ = tan ε = ,
F
F
tan ε = m . (1.2.2.3.-2)
H
A fokhálózati vonalak képei akkor merılegesek, ha ε = 0 , vagy tan ε = 0 . De tan ε = 0 ,
ha F = 0 . Következésképpen a merılegesség feltétele:
∂x
∂x
∂y
∂y
F = ⋅ + ⋅ = 0 . (1.2.2.3.-3)
∂Φ
∂Λ
∂Φ
∂Λ

35
1.2.2.4. A lineármodulus vizsgálata a szélsıértékekre. Vetületi fıirányok.
Az
2
2
2
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α
+ T ⋅sin
α (1.2.2.1.-7)
függvénynek ott van szélsıértéke, ahol az elsı deriváltja 0:
( − 2 ⋅ P ⋅ cosα
⋅ sinα
+ 2 ⋅Q
⋅ cos 2α
+ 2 ⋅T
⋅ sinα
cosα
) dα
2 ⋅ l ⋅ dl
=
⋅ ,
dl
= −P
⋅sin 2α
+ 2 ⋅Q
⋅ cos 2α
+ T ⋅sin 2α
= 2 ⋅Q
⋅ cos 2α
−
α
dα
( P − T ) ⋅sin 2 = 0
,
ahonnan
Q
tan 2α = 2 ⋅ . (1.2.2.4.-1)
P − T
o
A tan 2α
függvény az α és az α + 90 szögekre egyezı elıjelő és nagyságú értékeket
vesz fel. Ebbıl következik, hogy az alapfelületen létezik két egymásra merıleges irány,
amelyekre az lineármodulusnak szélsıértéke van.
Képezzük a lineármodulus második deriváltját:
2
d l
2
dα
( T − P) ⋅ cos 2α
− 4 ⋅Q
⋅ sin 2α
= 2 ⋅ cos 2α
⋅ ( T − P − 2 ⋅ ⋅ tan 2α
)
= 2 ⋅
Q
.
A lineármodulusnak az egyik irányban maximuma, a másik irányban minimuma van, mert
α − ra és α + 90
o − ra a cos2α ellenkezı elıjelő, a zárójeles kifejezésnek pedig az elıjelre
nincs hatása.
o
Az alapfelületi azimutok legyenek α és α + 90 ,
a megfelelı vetületi azimutok pedig β és β1.
o
Igazoljuk, hogy a két irány a vetületen is merıleges egymásra, vagyis β
1
= β + 90 .
o
A β1 = β + 90 feltétel mellett
tan β ⋅ tan β1 = −1, (1.2.2.4.-2)
o
mert tan( β + 90 ) = − cot β .
De
M ⋅ H
tan β =
és (1.2.2.2.-5)
r ⋅ E ⋅ cotα
+ M ⋅ F
M ⋅ H
tan β 1
=
,
− r ⋅ E ⋅ tanα
+ M ⋅ F
α + α A fenti képleteket a (1.2.2.4.-2)-be helyettesítve, kapjuk:
o
mert cot( 90 ) = − tan .
2 2
M ⋅ H
tan β ⋅ tan β1
=
,
2 2
2 2
− r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ r ⋅ E ⋅ cotα
− M ⋅ F ⋅ r ⋅ E ⋅ tanα
+ M ⋅ F

36
illetve
2 2
M ⋅ H
tan β ⋅ tan β1
=
. (1.2.2.4.-3)
2 2
− r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ r ⋅ E ⋅
2 2
( cotα
− tanα
) + M ⋅ F
De
1+
cos 2α
1−
cos 2α
cotα − tanα
= − = 2 ⋅ cot 2α
,
sin 2α
sin 2α
az (1.2.2.4.-1)-bıl viszont
E G
−
2
2
2 ⋅ ( P − T ) 2 2
M r E ⋅ r − G ⋅ M
2 ⋅ cot 2α = = =
.
2 ⋅Q
F M ⋅ F ⋅ r
M ⋅ r
Behelyettesítve az (1.2.2.4.-3) összefüggésbe, kapjuk:
2 2
M ⋅ H
tan β ⋅ tan β1
=
2
2
2 2
E ⋅ r − G ⋅ M
− r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ r ⋅ E ⋅
+ M
M ⋅ F ⋅ r
2 2
2
M ⋅ H
H
=
2 2 2 2
2 2 2
− r ⋅ E + r ⋅ E − E ⋅ G ⋅ M + M ⋅ F − E ⋅ G + F
2
2
⋅ F
2
=
De
H
2
= E ⋅ G − F , s ezért végül
2
H
tan β ⋅ tan β =
2
− H
1
= −
1. Qu.e.d.
o
Vagyis, valóban β
1
= β + 90 .
Következésképpen, az alapfelület minden egyes pontjánál van két egymásra merıleges
vonal, amelyek vetületei is merılegesek. Ezek az irányok a vetületi fıirányok. A vetületi fıirányokba
esı lineármodulusok mindig extremálisak, azaz lmax.
maximális, vagy l
min.
minimális
értéket vesznek fel.
Azokban a vetületekben, amelyekben a fokhálózati vonalak képei egymásra merılegesek,
a vetületi fıirányok egybeesnek a meridiánokkal és szélességi körökkel. Ezeket a vetületeket
ortogonális vetületeknek nevezzük.
1.2.2.5. Torzulási ellipszis (Tissot-féle indikatrix)
Vegyünk fel az alapfelület tetszıleges pontjában egy végtelen kicsi, egységnyi sugarú
kört! Vizsgáljuk meg, hogyan képzıdik le ez a kör a vetületben!

37
1.2.2.5.-1. táblázat: A lineármodulus változása
Azimut
Alapfelület Vetület
α
0
β
0
Lineármodulus
m
α
1
β
1
l
1
α
2
β
2
l
2
Nézzük meg elıször, hogyan változik a lineármodulus a β függvényében! Az egymásnak
megfelelı kiinduló adatokat az 1.2.2.5.-1. táblázatban foglaljuk össze. Az m a
lineármodulus a meridián mentén.
u (x iránya)
Φ
m
x
β
0
β
1
v
1
β
2
l
1
l
2
1
u
1
2
v (y iránya)
1.2.2.5.-1. ábra: A lineármodulus változása
Az
Tekintsük az 1.2.2.5.-1. ábrát!
összefüggést írjuk át az
l
2
2 E ⋅u
+ 2
⋅ F ⋅ u + G
= (1.2.2.1.-6)
2 2 2
M ⋅u
+ r
alakba. Fejezzük ki (1.2.2.5.-1) nevezıjét a
összefüggés figyelembevételével! Kapjuk:
2 2 2
1 M ⋅u
+ r
=
(1.2.2.5.-1)
2 2
l E ⋅ u + 2 ⋅ F ⋅ u + G
sin β -ra kapott
H
sin β =
(1.2.2.2.-3)
2
E ⋅ E ⋅ u + 2 ⋅ F ⋅u
+ G
E ⋅ u
2
+ 2 ⋅ F ⋅ u + G =
2
H
E ⋅sin
2
β
Ez utóbbit, valamint az azimut eltérésének levezetésekor (1.2.2.2. pont) kapott

38
H
u = ⋅ cot β −
E
kifejezést az (1.2.2.5.-1) képletbe helyettesítve, írhatjuk:
F
E
=
M
E
2
⋅ cos
2
1 E ⋅sin
β ⎡
= ⋅
2
2
⎢M
l H ⎢⎣
2
⋅ cot β −
2
M ⋅ F
M
β − 2 ⋅ ⋅sin
β ⋅ cos β +
E ⋅ H
2
⎛
⋅⎜
⎝
H
E
2
F
E
2
⎞
⎟
⎠
+ r
2
⋅ F + r
2
E ⋅ H
2
2
⎤
⎥ =
⎥⎦
⋅ E
2
⋅ sin
2
β .
Vezessük be a következı jelöléseket:
1
Visszahelyettesítve
2
l
2
2
M
P = 1
E
, M ⋅ F
Q = −
E ⋅ H
2 2 2 2
M ⋅ F + r ⋅ E
= .
E ⋅ H
1
és
1
2
T
utolsó kifejezésébe, végül:
1 2
= P cos 2 sin cos sin
2
2 1
⋅ β + ⋅Q1
⋅ β ⋅ β + T1
⋅ β
l
. (1.2.2.5.-2)
Az 1.2.2.5.-1. táblázatot egészítsük ki az 1.2.2.5.-1. ábra alapján (1.2.2.5.-2. táblázat)!
1.2.2.5.-2. táblázat: A lineármodulus változása a derékszögő koordináták függvényében
Általában
Alapfelület
Azimut
Vetület
Lineármodulus
Derékszögő
koordináták
v u
α
0
β m
0
m ⋅sin β
0
m ⋅ cos β
0
α
1
β
1
l
1
l
1
⋅ sin β1
l
1
⋅ cos β1
α
2
β
2
l
2
l
2
⋅sin β
2
l
2
⋅ cos β
2
v = l ⋅ sin β és u = l ⋅ cos β , ahonnan
v
sin β = és
l
u
cos β = .
l
A sin β -t és cos β -t behelyettesítve az (1.2.2.5.-2) összefüggésbe és
kapjuk:
2
l –tel egyszerősítve,
2
2
P ⋅u
+ 2 ⋅Q
⋅ u ⋅ v + T ⋅ v 1 . (1.2.2.5.-3)
1 1
1
=
Az (1.2.2.5.-3) függvény diszkriminánsa
P − . A függvény
2
1T1
Q1
2
P T − Q 0 esetén parabola,
1 1 1
=

39
2
P T − Q 0 esetén hiperbola,
1 1 1
<
2
P T − Q 0 esetén ellipszis.
1 1 1
>
P
1, Q
1
és T
1
fenti értékeit behelyettesítve:
M
E
2
M
⋅
2
2
⋅ F + r
2
E ⋅ H
2
⋅ E
2
M
−
E
2
4
⋅ F
⋅ H
2
2
=
M
E
2
4
⋅ F
⋅ H
2
2
2 2
M ⋅ r ⋅ E
+
2 2
E ⋅ H
2
M
−
E
2
4
⋅ F
⋅ H
2
2
=
2
M ⋅ r
2
H
2
> 0 ,
vagyis az (1.2.2.5.-3) függvény ellipszis egyenlete.
Φ
x
Φ
1 Vetület
m a
1
Λ
b
n
Λ
x 0
y
a) b)
y 0
1.2.2.5.-2. ábra: Az alapfelületen végtelen kis sugarú kör képe a vetületen a torzulási ellipszis
(Tissot-féle indikatrix)
Az alapfelület (ellipszoid vagy gömb) tetszıleges pontjába helyezett végtelen kis kör
képe a vetület megfelelı pontjában ellipszis, az ún. torzulási ellipszis, vagy a Tissot-féle
indikatrix. Mivel, mint láttuk az 1.2.2.4. pontban, a vetületi fıirányokba esı lineármodulusok
mindig extremálisak, a torzulási ellipszis a és b féltengelyei a vetületi fıirányokkal esnek
egybe.
Az 1.2.2.5.-2. ábrán y , x 0 0
az alapfelület Φ, Λ földrajzi koordinátájú pontjának vetületi
koordinátái, m a meridián és n a meridiánra merıleges irányú lineármodulusok.
1.2.2.6. Összefüggések lineármodulusok között
Apollonius tételei
Φ
a
m
χ
n
b
1.2.2.6.-1. ábra: Az ellipszis konjugált félátmérıi

40
1. tétel: Az ellipszis konjugált félátmérıinek négyzetösszege állandó és egyenlı a féltengelyek
négyzetösszegével (1.2.2.6.-1. ábra):
m +
2 2 2 2
+ n = a b . (1.2.2.6.-1)
2. tétel: Az ellipszis konjugált félátmérıire szerkesztett paralelogramma területe állandó és
egyenlı a féltengelyeire szerkesztett téglalap területével (1.2.2.6.-1. ábra):
m ⋅ n ⋅sin χ = a ⋅b
. (1.2.2.6.-2)
Képezzük az (1.2.2.6.-1) és az (1.2.2.6.-2) összefüggések összegét és különbségét. Kapjuk:
ahonnan
m
m
2
2
+ n
+ n
2
2
A =
B =
+ 2 ⋅ m ⋅ n ⋅ sin χ =
− 2 ⋅ m ⋅ n ⋅sin
χ =
m
m
2
2
+ n
+ n
2
2
2
( a + b)
2
= A
2
( a − b) 2
= B
+ 2 ⋅ m ⋅ n ⋅ sin χ
− 2 ⋅ m ⋅ n ⋅sin
χ
,
(1.2.2.6.-3)
és
A + B A − B
a = ; b = . (1.2.2.6.-4)
2 2
Határozzuk meg χ -t! Az 1.2.2.5.-1. és az 1.2.2.6.-1. ábrákból χ = β − β
0
.
Tekintsük most azt az y, x vetületi koordinátarendszert, amelynek x tengelye a Φ, Λ
földrajzi koordinátájú pont meridiánjának érintıje. E rendszerben β
0
= 0; χ = β (1.2.2.6.-2.
ábra).
Φ (x iránya)
m χ = β
y iránya
1.2.2.6.-2. ábra: A vetületi koordinátarendszer x tengelye a meridián érintıje
Az (1.2.2.2.-3) összefüggésbıl
H
sin χ = sin β =
.
2
E ⋅ E ⋅u
+ 2 ⋅ F ⋅u
+ G

41
De, mint láttuk,
1.2.2.7. Területi modulus
dΦ
o
u = . A szélességi körön α = 90 , u = 0, következésképpen
dΛ
H
sin χ = . (1.2.2.6.-5)
EG
A területi modulust az 1.2.2.1. pontban az alábbi összefüggéssel határoztuk meg:
dT
τ = . (1.2.2.1.-3)
dF
ds
m
ds
p
Vetület
dd
m
χ
dd
p
1.2.2.7.-1. ábra: Az alapfelületi végtelen kis felületnek végtelen kis vetületi terület felel
meg
dT
dd
m
⋅ dd
dF
= ds
m
p
⋅sin
⋅ ds
p
dT
τ =
dF
dd
=
= χ
,
χ
⋅ dd
p
⋅sin
χ dd
=
ds
⋅ ds
ds
m
m
p
m
m
dd
⋅
ds
p
p
⋅sin
.
A képletekben
lületen,
m
d s , ds
meridián- és szélességi (parallel) körök végtelen kis oldalai az alapfe-
p
m
p
d d , dd
az alapfelületi meridián- és szélességi (parallel) köröknek megfelelı oldalak
a vetületben.
dd
m
De m = és
ds
m
dd
p
n = a meridián-, ill. a szélességi kör menti lineármodulusok, ezért
ds
p
De (1.2.2.6.-2) miatt
τ = m ⋅ n ⋅sin χ . (1.2.2.7.-1)
τ = a ⋅ b
(1.2.2.7.-2)
o
A szélességi körön, α = 90 -nál, az (1.2.2.1.-7) és az (1.2.2.6.-5) figyelembe vételével írhatjuk:
E G H H
τ = m ⋅ n ⋅sin χ = ⋅ ⋅ = . (1.2.2.7.-3)
M r E ⋅ G M ⋅ r

42
1.2.2.8. Maximális szögeltérés
γ
γ’
1.2.2.8.-1: Tetszıleges alapfelületi γ szög képe γ'
Az egymásnak megfelelı γ ′, ill. γ vetületi és alapfelületi szögek
∆ γ = γ ′ − γ különbségét szögeltérésnek nevezzük. Az υ = ∆γ max .
maximális szögeltérés a
földrajzi szélesség, hosszúság és azimut υ = f ( Φ,Λ,α)
függvénye.
Tekintsük az α alapfelületi és a megfelelı β vetületi azimutokkal közbezárt γ , ill. γ ′,
szögeket (1.2.2.8.-2. ábra)!
α
γ
β
γ’
α
β
1.2.2.8.-2: Azimutok és szögek
Az ábrából
o
o
γ = 180 − 2 ⋅α;
γ ′ = 180 − 2 ⋅ β .
a szögeltérés és
∆γ
= γ ′ − γ = 2 ⋅
∆γ
= α − β .
2
( α − β )
az alapfelületi és vetületi azimut különbsége. Láttuk, hogy
tan β =
M ⋅ H ⋅ tanα
. (1.2.2.2.-6)
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
Feltételezve, hogy a fokhálózati vonalak képei merılegesek (1.2.2.3. pont), írhatjuk:
F
2
= 0 ; H = E ⋅ G − F = E ⋅ G .
Az (1.2.2.2.-5) képletet F = 0 mellett írjuk fel a

43
M ⋅ E ⋅G
⋅ tanα
M
tan β =
= ⋅
r ⋅ E E
alakban. Továbbá, az (1.2.2.7.-3) összefüggés jelöléseivel:
G
r
⋅ tanα
tan β =
n
m
⋅ tanα
=
A fenti összefüggés bal- és jobboldalát vonjuk ki
A trigonometriából ismeretesen
b
a
⋅ tanα
. (1.2.2.8.-1)
tanα
-ból, majd adjuk össze vele! Kapjuk:
b a − b
tanα
− tan β = tanα
− ⋅ tanα
= ⋅ tanα,
a a
. (1.2.2.8.-2)
b a + b
tanα
+ tan β = tanα
+ ⋅ tanα
= ⋅ tanα
a a
( α ± β )
sin
tanα
± tan β =
.
cosα
⋅ cos β
A képletbe rendre (1.2.2.8.-2) elsı és második összefüggését helyettesítve és az elsı egyenletet
a másodikkal osztva, írhatjuk:
A maximális szögeltérés:
sin
sin
sin
( α − β ) a − b
=
( α + β ) a + b
a − b
a + b
( α − β ) = ⋅sin( α + β )
∆γ
a − b
sin = ⋅ sin
2 a + b
mert sin ( α + β ) maximális értéke 1. De sin ( α + β ) = 1
Továbbá
De
s így
υ
cos =
2
,
( α + β )
, vagy (1.2.2.8.-3)
. (1.2.2.8.-4)
a − b
sin υ = , (1.2.2.8.-5)
2 a + b
1−
sin
o
, ha α + β = 90 .
2 ⋅ a ⋅b
= ,
2 a + b
2 υ
a − b
tan υ = . (1.2.2.8.-6)
2 2 ⋅ a ⋅ b
τ = a ⋅ b , (1.2.2.7.-2)

44
Fejezzük ki a továbbiakban a
υ a − b
tan = . 2 2 ⋅ τ
tan υ -et. Ismert trigonometriai összefüggések alapján
4
végül
υ
tan =
4
υ
1−
cos
2
=
υ
1+
cos
2
A területtartó vetületekre
következésképpen
a + b − 2 ⋅
a + b + 2 ⋅
⎛
tan⎜45
⎝
o
a ⋅ b
=
a ⋅ b
υ
1+
tan
υ ⎞
+ ⎟ =
4
=
4 ⎠ υ
1−
tan
4
1
τ = a ⋅ b = 1 ; b = ,
a
2
( a − b ) a − b
=
2
( a + b ) a + b
a
b
.
,
⎛
tan⎜45
⎝
o
υ ⎞
+ ⎟ =
4 ⎠
a
b
=
a
2
= a .
1.2.2.9. Az alapfelület szögtartó, területtartó és általános torzulású ábrázolása a
vetületen
Az alapfelület szögtartó ábrázolása
Az alapfelület szögtartó (konform) ábrázolása során egy végtelen kis alapfelületi idom
alakja a vetületben hasonló marad és a υ maximális szögeltérés zérus.
A lineármodulus elsı deriváltjára az
függvénybıl az 1.2.2.4. pontban a
2
2
2
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α
+ T ⋅sin
α
(1.2.2.1.-7)
dl
= 2 ⋅ Q ⋅ cos 2α
+
α
dα
( T − P) ⋅sin 2 = 0
(1.2.2.9.-1)
összefüggést kaptuk. Ebben az összefüggésben az egyenlıség akkor áll fenn, ha
Q = 0 és T − P = 0.
F G
Q = és T = jelöléseket. A fok-
2
M ⋅ r r
E
Az 1.2.2.1. pontban bevezettük a P = ,
2
M
hálózati vonalak képeire vonatkozó

45
∂x
∂x
∂y
∂y
F = ⋅ + ⋅ = 0
(1.2.2.3.-3)
∂Φ
∂Λ
∂Φ
∂Λ
F
feltétel teljesülése esetén Q = = 0 , ekkor a T − P = 0 kifejezésbıl
M ⋅ r
(1.2.2.7.-3) alapján
E G
2 =
2 és (1.2.2.9.-2)
M r
2 2
m = n .
Ebbıl következik a szögtartó ábrázolás alábbi szükséges és elégséges feltétele:
azaz a lineármodulus minden irányban egyenlı.
A szögtartó ábrázolás feltételei:
m = n , (1.2.2.9.-3)
1.
2.
3.
a = b = m = n = l
τ = a
2
υ = 0.
(1.2.2.9.-4)
Az alapfelület területtartó ábrázolása
Az alapfelület ekvivalens ábrázolásakor egy végtelen kis vetületi terület és a megfelelı
alapfelületi felület aránya megmarad:
Területtartó vetületeknél κ = 1, vagyis τ = 1.
dT
τ = = κ . (1.2.2.9.-5)
d F
Írjuk fel még egyszer a területi modulusra vonatkozó alábbi összefüggéseket:
τ = a ⋅b
= 1
τ = m ⋅ n ⋅ sin χ = 1
H
τ = = 1 .
M ⋅ r
A területtartóság feltétele az utolsó összefüggésbıl:
H
= M ⋅ r . (1.2.2.9.-6)
A területtartó ábrázolás feltételei:

46
1.
2.
3.
1 1
a = ; b =
b a
τ = 1
(1.2.2.9.-7)
⎛
tan⎜45
⎝
o
υ ⎞
+ ⎟ = a;
4 ⎠
υ a − b
tan = .
2 2
Az alapfelület általános torzulású ábrázolása
Az általános torzulású vetületeknél a szögek és a területek is torzulnak. Ilyen vetület
pld. a meridián mentén hossztartó vetület, amelynél a meridián-menti lineármodulus egységnyi:
a ≠ b; b = 1; υ ≠ 0; τ ≠ 1.
1.2.2.10. Torzulási ellipszisek különbözı torzulású vetületekre
A különbözı torzulású vetületeknél az alapfelület tetszıleges pontjaiban felvett azonos
mérető végtelen kis kör képe általában más-más alakú, mérető és elhelyezkedéső ellipszis
lesz.
A különbözı torzulású vetületek torzulási ellipsziseit a földrajzi szélesség függvényében
az 1.2.2.10.-2. ábrán mutatjuk be. A vetületi fıirányok egybeesnek a meridiánokkal és
szélességi körökkel, vagyis a torzulási ellipszis b fél kistengelye a meridián, az a fél nagytengelye
a szélességi körök irányába esik. A vetületek kezdıpontja az Egyenlítı és egy tetszıleges
meridián metszéspontja. A meridiánra merıleges irányú lineármodulus legyen mind a három
típusú vetületnél a = .
1
cosϕ
A szögtartó vetületeknél a torzulási ellipszis a = b miatt a vetületen is kör lesz, alakja
és elhelyezése állandó, mérete pedig a vetület tulajdonságainak megfelelıen változik. Olyan
vetület, amely minden távolságot a vetület minden pontjában helyesen tudna rögzíteni, vagyis
hossztartó (ekvidisztáns) vetület nincs. Létezhet azonban olyan vetület, amely bizonyos pontokban,
ill. vonalak mentén hossztartó, sıt, akár egyidejőleg és ugyanott szögtartó is lehet
(Pld. a Marinus-féle két szélességi kör (Φ 1 , Φ 2 ) mentén hossz- és szögtartó vetület, 1.2.2.10.-
3. ábra).
A vetület torzulás szerinti megválasztása a térkép céljától, ill. ezzel összefüggésben, a
térkép méretarányától függ. Az 1:1000 – 1:100000 méretarányú térképeket az ún. geodéziai
vetületekben, az ennél kisebb méretarányú térképeket a földrajzi vetületekben ábrázolják. A
geodéziai vetületek egy adott országon belül érvényesek, az ország kis területrészeit ábrázolják,
a földrajzi vetületek nagy területegységekre (országokra, kontinensekre, az egész Földre)
vonatkoznak. A geodéziai vetületekben készült térképeken a mérhetıség, a mérnöki tervezés
igénye az elsıdleges, ez a szögek alap- és képfelületi azonosságát, vagyis a szögtartóságot
követeli meg. A földrajz viszont arra törekszik, hogy a Földet, vagy annak nagy területegységeit
lehetıség szerint területhően mutassa be. Jelen könyv a geodéziai vetületeknek, valamint
azok magyarországi alkalmazásának bemutatását tekinti feladatának.

47
o
60
o
30
a = 2
b = 2
a = 1,15
b = 1,15
o
90
o
60
a = ∞
b = 0
a = 2
a = 1,15
o
90
b = 0,5
o
60
o
30
o
b = 0,86
30
a = ∞
b = 1
a = 2
b = 1
a = 1,15
b = 1
o
0
a = 1
b = 1
o
0
a = 1
b = 1
o
0
a = 1
b = 1
-30
o
a = 1,15
b = 1,15
o
-30 a = 1,15 -30
b = 0,86
o
- 60 a = 2 - 60
b = 0,5
o
o
a = 1,15
b = 1
a = 2
b = 1
- 60
o
a = 2
b = 2
-90
o
a = ∞
b = 0
-90
o
a = ∞
b = 1
a = b,
υ = 0
τ = a
Szögtartó vetület
2
a ≠ b,
υ ≠ 0
τ = 1
Területtartó vetület
a ≠ b,
b = 1
υ ≠ 0, τ ≠ 1
Meridián mentén
hossztartó vetület
1.2.2.10.-2. ábra: Torzulási ellipszisek
Az 1.2.2.10.-3. és az 1.2.2.10.-4. ábrákon két különleges földrajzi vetületet szemléltetünk.

48
Φ 1
Φ 2
1.2.2.10.-3. ábra: Marinus-féle két szélességi
kör (Φ 1 , Φ 2 ) mentén hossz- és szögtartó vetület
1.2.2.11. Vetületek csoportosítása
1.2.2.10.-4. ábra: Mollweide-féle területtartó vetület
A torzulás szerinti megkülönböztetésen túl a vetületeket más szempontok szerint is
csoportosítják.
Valódi és képzetes vetületek
A valódi és a képzetes vetületeket a fokhálózat képének alakulása különbözteti meg
egymástól. Valódi vetületrıl beszélünk, ha a fokhálózati vonalak képei merılegesek (1.2.2.3.
pont), ellenkezı esetben a vetület képzetes. Utóbbiak között nincs szögtartó vetület. Mindkét
típusú vetületnél lehetnek az 1.2.1. pont szerinti geometriailag megszerkeszthetı és szemléltethetı,
ill. geometriailag nem szemléltethetı vetületek.
Csoportosítás a képfelület alakja szerint
A képfelület alakja szerint megkülönböztetünk
– henger
– kúp és
– azimutális vetületeket (1.2.2.11.-1. ábra).

49
A henger-, kúp- és azimutális vetületeket együttesen síkvetületeknek nevezzük.
Hengervetület
Kúpvetület
Azimutális(sík)
vetület
1.2.2.11.-1. ábra: Vetületek alakjuk szerint
Csoportosítás a képfelület Földhöz viszonyított elhelyezése szerint
A Föld pólusokat összekötı átmérıjéhez képest a képfelület tengelyét háromféleképpen
helyezhetjük el. Sík esetében most tengely alatt egy síkra merıleges egyenest értünk.
Eszerint megkülönböztetünk
– normális (poláris)
– transzverzális (ekvatoriális) és
– ferde tengelyő vetületeket.
Normális elhelyezéső vetületnél a képfelület tengelye a Föld forgástengelye, transzverzális
vetületnél a képfelület tengelye az egyenlítı síkjában van. Ferde tengelyő vetületnél a
a képfelület tengelye átmegy az alapfelület (ellipszoid, gömb) középpontján (1.2.2.11.-2. ábra).
Normális Transzverzális Ferde tengelyő
1.2.2.11.-2. ábra: Vetületek a Földhöz viszonyított elhelyezésük szerint
Érintı és süllyesztett vetület
Érintı vetületnél az alapfelület érinti, süllyesztett (metszı) vetületnél metszi a képfelületet
(1.2.2.11.-3. ábra). Érintı henger- és kúpvetületeknél az alapfelület a képfelülettel egy
képfelületi vonal mentén, azimutális vetületnél egy képfelületi pontban találkozik, süllyesztett
vetületnél a találkozás mindig az alapfelület és a képfelület metszésvonala.

50
Érintı
Süllyesztett
Közvetlen és közvetett vetítéső vetület
1.2.2.11.-3. ábra: Érintı és süllyesztett vetület
Egy vetületet közvetlen vetítésőnek mondunk, ha az ellipszoidról a vetítés közvetlenül
a síkra, vagy síkba fejthetı felületre (henger, kúp) történik. Közvetett vetítéső a vetület akkor,
ha a vetítés kettıs, vagyis ha a vetítést elsı lépésben az ellipszoidról gömbre (Gauss-gömb),
második lépésben a Gauss-gömbrıl a síkra végezzük el.
A vetületek a felsorolt különbözı szempontok szerint kombinálhatók.
1.2.2.12. Vetületi redukciók
A Föld felszínén végzett mérések nyers eredményeit elıször a geoidra (a tengerszintre),
majd a geoidról az ellipszoidra, végül a vetület síkjára át kell számítanunk. A geoidról az
ellipszoidra történı áttéréshez – ha szükséges – a függıvonal-elhajlást és a geoidundulációt
kell figyelembe vennünk. A geoidra és az ellipszoidra való átszámítással nem foglalkozunk.
P meridiánjának képe
É f
É t
Q meridiánjának
képe
É f
É t
+x
µ P
β PQ
geod. vonal µ Q
δ PQ
képe
s PQ
P
∆ d
PQ
PQ
∆ QP
Q
δ QP
β QP
+y
1.2.2.12.-1. Helymeghatározó adatok a vetületben
Az 1.2.2.12.-1. ábrán az ellipszoidi helymeghatározó adatok képeit és a vetületi helymeghatározó
adatokat foglaljuk össze. Az ábrán a P és Q az ellipszoidi pontok megfelelıi,
β PQ és β QP az α PQ és α QP a földrajzi azimutok képei, amelyek szögtartó vetületben megegyeznek
a földrajzi azimutokkal:
β = α .
É f –el az ellipszoidi meridiánok képeihez a vetületi P és Q pontokban szerkesztett érintıket jelöljük.
Az alapfelületi meridiánoknak a vetületi koordinátarendszer +x tengelyével párhuza-

51
mos egyenesek (szokásos nevük: térképi észak, jelölésük É t ), az alapfelületi legrövidebb vonalnak,
a geodéziai vonalnak a vetületi koordinátarendszerben a síkbeli legrövidebb vonal, a
d PQ egyenes szakasz, az α PQ földrajzi azimutnak a δ PQ irányszög, az α QP földrajzi azimutnak
a δ QP irányszög felel meg.
Az ellipszoidi adatokat a vetületre való áttérésnél az alábbi vetületi redukciókkal kell
módosítanunk.
− elsı irány- és szögredukció,
− hossztorzulási tényezı és hosszredukció,
− területtorzulási tényezı és területi redukció,
− második irány- és szögredukció,
− gömbi szögfölösleg,
− vetületi meridiánkonvergencia.
Elsı irány- és szögredukció. Az iránymodulus.
Azimutredukció: A β vetületi azimut és a megfelelı α alapfelületi földrajzi azimut különbsége
(eltérése, 1.2.2.2. pont):
Αz azimutredukciót számíthatjuk a tan( β −α )
∆ = β −α
. (1.2.2.12.-1)
α
-ra levezetett (1.2.2.2.-7) összefüggésbıl.
Egy tetszıleges alapfelületi irány vetületbeli azimutját megkapjuk, ha az α alapfelületi
azimuthoz az azimutredukció értékét hozzáadjuk:
β = α + ∆ . (1.2.2.12.-2)
α
ΙΙ.
ΙΙ.
1
α
ω
1
P
P’
Vetület
b β
ω′
Ι. a Ι.
1.2.2.12.-2. ábra: Az I. és II. vetületi fıirány
A 1.2.2.12.-2. ábrán a torzulási ellipszis szélességi kör irányába esı a féltengelyének
iránya legyen az I., a meridián irányába esı b féltengelyének iránya a II. vetületi fıirány . Jelöljük
ω = 90 −α
- val és ω′ = 90 − β -val egy tetszıleges alapfelületi iránynak, ill. a meg-
o
o
felelı vetületi iránynak a I. vetületi fıiránnyal bezárt szögeit.
Elsı irányredukció alatt definíciószerően a
∆ = ω′
−ω
(1.2.2.12.-3)
különbséget értjük. A továbbiakban

52
∆ = −∆ α ,
β = α − ∆ . (1.2.2.12.-4)
Az elsı szögredukció két irányra vonatkozó elsı irányredukciók különbsége:
∆ sz = ∆ 2 − ∆1 . (1.2.2.12.-5)
vagy, az 1.2.2.8. pont 1.2.2.8.-2. ábrája szerinti értelmezésben:
Az
∆γ
2
∆γ
2
1
2
( ∆γ
− ∆γ
)
2 1
∆ sz = − = ⋅
2 1
. (1.2.2.12.-6)
hányados az ún. iránymodulus.
A továbbiakban
tan ω′
i =
(1.2.2.12.-7)
tanω
1
1
tan ω′
= ; tanω
=
tan β tanα
miatt és az (1.2.2.2.-8) képletet figyelembe véve
i =
tanω′
=
tanω
tanα
=
tan β
r ⋅ E + M ⋅ F ⋅ tanα
.
M ⋅ H
A könyvünkben tárgyalt geodéziai vetületek mind szögtartóak, így mind az elsı irányredukció,
mind az elsı szögredukció értéke zérus, a = b , i = 1.
Hossztorzulási tényezı és hosszredukció
Az alapfelület két pontjának képét a vetület síkjában összekötı vonal a d egyenes szakasz
(1.2.1.12.-1. ábra). A d hossz és az alapfelületi pontok közötti geodéziai vonal s hosszának
hányadosát hossztorzulási tényezınek, különbségüket hosszredukciónak nevezzük:
Hossztorzulási tényezı:
Hosszredukció:
d vetületi hossz
m = =
. (1.2.2.12.-8)
s alapfelületi hossz
∆ s = d − s = képfelületi hossz − alapfelületi hossz . (1.2.2.12.-9)
Írjuk fel az (1.2.2.12.-8) összefüggést az
d
m = = m0 + U
(1.2.2.12.-10)
s

53
alakban. Az (1.2.2.12.-10) képletben m
0
egy elıre megválasztott konstans érték, az ún. redukálás
mértéke, az U érték a hossztorzulás. A hossztorzulás értékét Magyarországon szokás
1
-ben megszabni, de ezt követelményt csak a ferdetengelyő érintı hengervetületeknél
10000
sikerült betartani (2.2. fejezet).
Ha m
0
= 1 , érintı vetületrıl beszélünk. Az alapfelület és a képfelület találkozásánál
nyilvánvalóan a hossztorzulás 0, bárhol máshol pozitív (1.2.2.12.-3/a. ábra).
A hossztorzulás értékét csökkenteni, s ezzel a vetület használhatósági tartományát növelni
lehet úgy, ha m 0 < 1. Ez azt jelenti, hogy a vetületi egyenletekkel meghatározott valamennyi
koordinátát az 1-nél valamivel kisebb számmal megszorzunk, azaz az
vetületi egyenletek az
y =
x =
f
y
x
y = m
x = m
( Φ,
Λ),
f ( Φ,
Λ).
⋅ f
⋅ f
x
( Φ,Λ)
( Φ,Λ)
0 y
,
0
(1.2.1.4.-2)
(1.2.1.4.-2/a)
alakot öltik.
Ez esetben a vetület süllyesztett, az ábrázolás méretaránya változik úgy, hogy a vetületi
számításokból kapott távolságok az (1.2.1.4.-2/a) képlet szerint rövidülnek. Süllyesztett vetületnél
a hossztorzulás értelemszerően pozitív és negatív is lehet. A 1.2.2.12.-3/b. ábrán a
képfelület metszi az alapfelületet, az alapfelületen belül a hossztorzulás negatív, a képfelületi
hosszak rövidülnek, azon kívül pozitív, a képfelületi hosszak csak kisebb mértékben nagyobbodnak.
A torzulásmentes helyek az alap- és képfelület metszésvonalai (ábránkon körív és
egyenes metszéspontjai).
A m 0 szám megválasztásánál ügyelni kell arra, hogy a hossztorzulás most ellenkezı
(rövidülı) értelemben ne lépje túl a megengedett értéket. Süllyesztett vetületek pld. az Egységes
Országos Vetület és az UTM vetület (2.3. pont, 4.2. pont).
+
vetület
alapfelület
+ s +
1.2.2.12.-3. ábra: Pozitív és negatív elıjelő hossztorzulás
A süllyesztés következtében az alapfelületi távolságok egy redukált alapfelületen értelmezhetık
(1.2.2.12.-3/b. ábra), az (1.2.2.12.-10) képlet az
m ⋅
0
a) b)
-
s
d U
m = = 1 + = 1 + U ′
m ⋅ s m
0
0
(1.2.2.12.-11)
alakban írható fel. Az (1.2.2.12.-11) – ben m0 ⋅ s a redukált távolság, U ′a redukált alapfelületen
értelmezett hossztorzulás. Az (1.2.2.12.-11) – bıl a süllyesztett vetület hossztorzulása

54
U = m 0
⋅U
′ . (1.2.2.12.-12)
A továbbiakban a (1.2.2.12.-10) összefüggésbıl
( m U )
d = s ⋅
0
+ . (1.2.2.12.-13)
Az (1.2.2.12.-9) összefüggés figyelembe vételével m 0 = 1 esetén
m 0 < 1, azaz süllyesztett vetület esetén
( + U ) − s = s + s ⋅U
− s = U ⋅ s
∆s
= d − s = s ⋅ 1 , (1.2.2.12.-14)
( m + U ) − s = m −1+
U ⋅ s
∆ s = d − s = s ⋅
0
(
0
) . (1.2.2.12.-15)
A hosszredukcióval redukált távolság m 0 = 1 esetén:
d
= s + ∆s
= s + U ⋅ s . (1.2.2.12.-16)
Végül, a hosszredukcióval redukált távolság az m 0 < 1 esetén:
d = s + ∆s
= s + s( m0 −1+
U ) . (1.2.2.12.-17)
Az U hossztorzulás az alapfelület méreteinek és a vetületi koordináták függvénye.
Minden vetületben van legalább egy pont, vagy vonal, ahol a hossztorzulási tényezı értéke 1,
a hosszredukcióé zérus. Ezek a pontok, vagy vonalak: az alapfelület és a vetület érintkezési
pontja, vagy vonala, ill. metszésvonala. A hossztorzulás értéke ezektıl távolodva nı.
Területtorzulási tényezı és területi redukció
A hossztorzulási tényezı és hosszredukció mintájára a területtorzulási tényezıt és a
területredukciót az alábbiak szerint definiálják:
Területtorzulási tényezı:
Területredukció:
T vetületi terület
f = =
. (1.2.2.12.-18)
F alapfelületi terület
∆ T = T − F = vetületi terület − alapfelületi terület . (1.2.2.12.-19)
A területtorzulási tényezı és a területi redukció a hossztorzulási tényezıtıl és a hosszredukciótól
függ, e könyvben nem tárgyaljuk.
Második irány- és szögredukció
Második irányredukció: Az 1.2.2.12.-1. ábrán a ∆
PQ
szög a vetületi síkbeli PQ iránynak
a geodéziai vonal pontonként vetített vetületbeli képéhez húzott érintıjével bezárt szöge.
A Q pontban fellépı ∆ második irányredukció értéke ettıl általában mind nagyságban,
QP
mind elıjelben különbözik.

55
R
s PR
d PR
P
ψ ′
P
ψ
P
d PQ
s PQ
Q
1.2.2.12.-4. ábra: Második szögredukció
Második szögredukció: Szögtartó vetületben két, ugyanazon pontból kiinduló geodéziai
vonal vetületbeli képéhez húzott érintık közbezárt ψ’ szögének és a képfelületen a megfelelı
egyenes szakaszok közbezárt ψ szögének különbsége (1.2.2.12.-4. ábra):
∆ sz
= ψ ′ −ψ . (1.2.2.12.-20)
A második irány- és szögredukció értéke az alapfelület méreteitıl, a vetületi koordinátáktól
és a földrajzi szélességtıl függ, nagyságuk vetületenként változó, szögmásodperc nagyságrendő.
Gömbi szögfölösleg
Az 1.2.2.12.-5. ábrán a PQR háromszög oldalai az
vonalak és a
d , d és d egyenes szakaszok.
PQ
PR
QR
s , s és s képfelületi görbe
PQ
PR
QR
s PR
d PR
R
ψ ′
ψ
R
R
d QR
s QR
P
ψ ′
P
∆ PQ
ψ
P
d PQ
s PQ
ψ
Q
∆ QP
ψ ′
Q
Q
1.2.2.12.-5. ábra: Második szögredukciók és a gömbi szögfölösleg
A görbékkel határolt háromszög szögeinek összege
∑ ψ ′ = ψ ′
P
+ ψ ′
Q
+ ψ ′
R
.
Az egyenes szakaszokkal határolt háromszög szögeinek összege
∑
=
P
+ + = 180
o
ψ ψ ψ
Q
ψ
R
.

56
Az alapfelületet gömbnek, a képfelületi görbe vonalak alkotta háromszöget megengedhetı
közelítéssel gömbháromszögnek tekintjük. Ismeretes, hogy a gömbháromszög szögeinek
összege mindig nagyobb 180 -nál. Ekkor
o
az
ε = ∑ψ
′ − ∑ψ > 0
(1.2.2.12.-21)
különbség az ún. gömbi szögfölösleg.
De
P
ε = ∑ψ
′ − ∑ψ = ∆
Q
+ ∆
R
+ ∆ ,
vagyis a gömbi szögfölösleg a háromszög csúcspontjaira vonatkozó második szögredukciók
összege. A gömbi szögfölöslegnek a vetületek második irányredukcióinak számításánál megkülönböztetett
jelentısége van.
β
R
A
α
sz
C
γ
β
sz
F
sz
B
B’
C’
γ
α
A’
Fα
-val, a BCB’AB lap-
F -val. Az R sugarú gömb felülete
szög felületét
1.2.2.12.-6. ábra: Gömbi szögfölösleg
Jelöljük az 1.2.2.12.-6. ábrán az ABA’CA lapszög felületét
Fgömb 4 R
alábbiak:
Fβ
-val és a CBC’AC lapszög felületét
2
= ⋅π ⋅ . Az egyes lapszögek felületei, ha az α β,
γ
A felületek összege:
F
F
F
α
β
α
2
= ⋅ ( 4 ⋅π
⋅ R ),
o
360
β
2
= ⋅ ( 4 ⋅π
⋅ R ),
o
360
2
( 4 ⋅ ⋅ R )
γ
= ⋅ π
o
360
γ
.
γ
, szögeket fokban adjuk meg, az
α + β + γ
2
Fα + Fβ
+ Fγ
= ⋅ 4 ⋅π
⋅ R
(1.2.2.12.-22)
o
360

57
Az ábrán sraffozással jelölt ABC gömbi háromszög F felületének bevezetésével az
F F , F felületeket két-két részre bontjuk:
α
,
β γ
F
F α
F β
F γ
= F + A′BC ,
= F + B′AC ,
= F + C′AB , továbbá
+ F + F = 3 ⋅ F + A′
BC + B′
AC + C′
AB
α β γ
.
Az ábrán a hátul lévı C’AB felület egyenlı a gömb felénk esı CA’B’ felületével. A
3 ⋅ F = 2 ⋅ F + F helyettesítéssel ekkor írhatjuk:
F
+ F + F = 2 ⋅ F + F + A′
BC + B′
AC + CA′
B′
α β γ
.
Ezen összefüggés utolsó 4 tagjának összege a gömb felénk esı
2
⋅π fél felülete, vagyis
2 ⋅ R
F
+ F + F = 2 ⋅ F + 2 ⋅π
⋅ R
2
α β γ
. (1.2.2.12.-23)
A (1.2.2.12.-22) és a (1.2.2.12.-23) kifejezések bal oldalai megegyeznek, ezért a jobb oldalak
is egyenlık:
2 α + β + γ
2
2 ⋅ F + 2 ⋅π ⋅ R = ⋅ 4 ⋅π
⋅ R ,
o
360
α + β + γ 2 2
F = ⋅π
⋅ R - π ⋅ R , végül
o
180
F =
o π 2
( + β + γ −180 ) ⋅ ⋅ R
α .
o
180
De az ABC gömbháromszögre a gömbi szögfölösleg
s ezért
0
ε = α + β + γ −180 ,
o
ε = F 180 F
⋅ = ⋅ ρ ′′ , (1.2.2.12.-24)
2
R π R
2
ahol ρ ′′ az 1 radián – az ε kicsinységét figyelembe véve – szögmásodpercekben kifejezett
értéke: ρ ′′ = 206264 , 8′
. Újabb megengedhetı közelítéssel a gömbi háromszög F felületét a
megfelelı vetületi háromszög T területével helyettesítjük:
T
ε = ⋅ ρ′
2
R
. (1.2.2.12.-25)
Az ellipszoidi szögfölösleget a gömbi szögfölösleggel értelmezzük. A gömb sugara ez
esetben az
c
R = M ⋅ N =
(1.2.1.3.-1)
2
V
összefüggéssel számítható.

58
2
A gömbi szögfölösleg értéke 1 km - es háromszögfelület esetén mindössze
2
2
ε ≈ 0 ,005′
, 100 km esetén ε ≈ 0 , 5′
és csak 200 km -nél éri el az ε ≈ 1′′ -et. Ezzel a közelítések
is elfogadhatóvá válnak.
Vetületi meridiánkonvergencia
Vetületi meridiánkonvergencia: Az alapfelületi meridián képéhez a vetület P pontjában
húzott érintınek az +x tengellyel e pontban párhuzamos iránnyal bezárt szöge, jelölése µ
P
(1.2.1.12.-1. ábra). Az érintı irányát földrajzi északnak nevezzük, és É f – fel fogjuk jelölni.
Az +x tengellyel párhuzamos irány a térképi észak, jelölése É t . Értéke a földrajzi, vagy a vetületi
koordinátáktól és a Föld sugarától függ, a vetületek szélein eléri a szögfokos nagyságrendet.
Tekintsük az 1.2.2.12.-7. ábrát!
_
+x
É t
+
É f
µ
É t = É f
1.2.2.12.-7. ábra: A vetületi meridiánkonvergencia változása
Az x tengelyen lévı pontokban a µ értéke zérus, mivel a térképi és a földrajzi északi
irány egybeesik, az x tengely a kezdı-meridián képe. Minél jobban eltávolodunk mindkét
irányban az x tengelytıl, annál nagyobb a meridiánkonvergencia értéke, vagy fordítva, minél
inkább közeledünk az x tengelyhez, annál jobban tart (konvergál) a meridián képe az x tengelyhez.
A vetületi meridiánkonvergencia elıjelét a fenti ábra szerint értelmezzük, azaz pozitívnak
tekintjük akkor, ha a térképi északi irány a µ szög jobb oldali szára.
A vetületi koordináta-rendszerbeli δ
PQ
irányszög a második irányredukció és a vetületi
meridiánkonvergencia figyelembe vételével szögtartó vetületekre (α = β) az alábbi összefüggésbıl
számítható (1.2.2.12.-1. ábra):
+y
δ
PQ
α
PQ
+ ∆PQ
− µ
P
= . (1.2.2.12.-26)

59
2. Magyarország saját vetületei
Magyarország saját vetületei alatt a kizárólag Magyarországon kidolgozott, a mindenkori
magyarországi területi sajátosságokat magukon hordozó, a magyarországi térképezés céljára
kiválasztott geodéziai vetületeket értjük. A vetületek szögtartóak és vagy érintik, vagy
metszik az alapfelületet. A fejezetben keletkezésük sorrendjében az alábbi vetületeket tekintjük
át:
- Sztereografikus vetület,
- Ferdetengelyő hengervetületek,
- Egységes Országos Vetület (EOV).
A sztereografikus és a ferdetengelyő hengervetületek a történelmi Magyarország vetületei,
kialakításuknál az ország akkori területébıl indultak ki. Mindkettı vonatkoztatási ellipszoidja
a Bessel-ellipszoid (1841). A vetületek az 1.2.2.11. pontbeli csoportosítás szerint közvetett
vetítésőek, vagyis a vetítést két lépésben hajtják végre: az ellipszoidról elıször egy, az
ellipszoidot helyettesítı gömbre, a Gauss-gömbre (sugara R = 6378512,966 m ) vetítenek, s
csak utána a síkra, ill. hengerre, mint síkba fejthetı felületre. A vetületek ortogonálisak, azaz
fokhálózati vonalaik képei egymásra merılegesek. Az EOV képfelülete süllyesztett henger, a
vetület szintén közvetett és ortogonális, vonatkoztatási ellipszoidja az IUGG/1967 elnevezéső
ellipszoid, Gauss-gömbjének sugara R = 6379743,001 m .
A geodéziai vetületek 1:1000 – 1:100000 méretaránya mellett az országot a térképlapok
kezelhetetlen nagysága miatt egy térképen nem lehet ábrázolni. Emiatt a geodéziai felmérés
eredményeit több, egymáshoz csatlakozó térképlapon, más néven szelvényen, vagy szelvénylapon
ábrázoljuk. Abból a célból, hogy a választott vetületi rendszerben a szelvények
összefüggését biztosítsuk, azokat a szelvényhálózatban helyezzük el úgy, hogy a csatlakozó
hálózati vonalak mentén a térképi ábrázolás az egyes szelvénylapokon átfedés és hézagmentes
legyen. A térképi tartalom hely szerinti azonosítása, az egyes szelvények egymástól való elkülönítése
céljából az egyes szelvénylapokat számozzák, rajtuk feltüntetik a vetületi koordinátatengelyekkel
párhuzamos egyeneseket, esetleg a fokhálózati vonalak képeit.
A sztereografikus és a ferdetengelyő hengervetületek szelvényhálózata ún. öl-, ill. méterrendszerő.
A méterrendszer bevezetése elıtt a hazánkban alkalmazott mértékegység a bécsi
ölrendszeren alapuló öl (a széttárt karok ujjvégei közötti távolság) volt. A bécsi öl továbbosztása
a 6-os rendszerben történt:
1 öl = 6 láb,
1 láb = 12 hüvelyk,
1 hüvelyk = 12 vonal.
A területmértékek közötti összefüggések pedig az alábbiak:
1 négyszögöl = 1 öl 2 ,
1 kataszteri hold = 1600 öl 2 ,
1 négyzetmérföld = 4000 öl ⋅ 4000 öl = 10000 kataszteri hold.
A mértékegység a méretarányt befolyásolja: az ölrendszer az alapja a térképek régi, ún. kataszteri
méretarányának, amelyet úgy választottak meg, hogy a térképen ábrázolt 1 hüvelyk 2
– nek 1 kataszteri hold feleljen meg. Mivel 1 hüvelyk = 1/72 öl és
1hold
2
2
= 1600 öl = 40 öl , s a kettı aránya adja a méretarányt, kapjuk:
1
öl : 40 öl = 1 : (72 ⋅ 40) = 1 : 2880.
72

60
2.1. A sztereografikus vetület
A magyarországi sztereografikus vetület az elsı matematikai értelemben szigorúan kidolgozott
vetület, keletkezésének idıpontja 1863. A vetület az 1.2.2.11. pontban tárgyalt
csoportosítási szempontok szerint valódi, érintı, azimutális, ferde tengelyő (1.2.2.11.-2. jobboldali
ábra). E pontban vetítés második lépcsıjét, a Gauss-gömbrıl egy vízszintes érintı síkra
történı vetítést mutatjuk be. Az ellipszoidról a Gauss-gömbre történı vetítésrıl a 3. fejezetben
lesz szó.
A sztereografikus vetület képfelülete egy Gauss-gömbi meridiánon a vetület K kezdıpontjának
választott ponthoz tartozó érintısík (2.1.-1. ábra). Az x tengely a kezdıponton áthaladó
gömbi meridián vetületben egyenesként jelentkezı képe, pozitív ága dél felé mutat, az y
tengely a kezdıpontban a meridiánra merıleges gömbi fıkör vetületben szintén egyenesként
jelentkezı képe. A vetítés a meridián K kezdıpontjával ellentétes, az érintı gömbi körön lévı
C pontjából centrálisan történik, a vetületi koordinátarendszer tehát délnyugati tájékozású
(1.2.1.4.-1/a. ábra).
É
S
+ y
K
O
+ x
Gömbi egyenlítı
C
Kezdıpont gömbi meridiánja
D
2.1.-1. ábra: A magyarországi sztereografikus vetület
Az U hossztorzulás a K kezdıponttól 127 km-es sugárral húzott körön éri el a megengedett
U = értéket, geodéziai vetületnek elvileg e körön belül használható. A törté-
1
10000
nelmi Magyarország területe ennél jóval nagyobb volt, ezért az ország területét három sztereografikus
vetülettel fedték le (2.1.-2. ábra):
1. A budapesti rendszer. Kezdıpontja a Gellérthegy nevő felsırendő alappont gömbi
megfelelıje.
2. A marosvásárhelyi rendszer. Kezdıpontja a Kesztejhegy nevő felsırendő alappont
gömbi megfelelıje. E rendszerben ábrázolták az erdélyi és a kelet-magyarországi
területeket.
3. Az ivanici rendszer. A rendszert a délnyugati, tengerparti területek felmérésére hozták
létre. Kezdıpontja a Zágrábtól mintegy 30 km-re keletre fekvı Ivaničgradon lévı
Ivanič nevő (Zárdatorony) felsırendő háromszögelési pont gömbi megfelelıje.

61
2.1.-2. ábra: A történelmi Magyarország három sztereografikus vetülete 2
A sztereografikus vetületi koordináták ma a budapesti rendszerben értelmezettek. A
Gellérthegy Gauss-gömbi földrajzi koordinátái:
2.1.1. Vetületi egyenletek
A kezdıpont földrajzi szélessége: ϕ 47 o K
= 26′
21,1372 1′′
A kezdıpont földrajzi hosszúsága: λ 0 o K
= 0′
00,00000
′′ .
Tekintsünk egy O gömbközéppontú x ′, y′
, z′
térbeli derékszögő segédkoordinátarendszert,
amelynek z′ tengelye a Gauss-gömb forgástengelye, iránya az É északi
pólus felé mutat, x′ tengelye a K meridiánsíkjának és a gömbi egyenlítı síkjának metszésvonala,
kelet felé mutat, y′ tengelye pedig x′ -re és a K pont M meridiánsíkjára merıleges. Az
* * *
x , y , z segéd-koordinátarendszer tengelyei ezzel párhuzamosak, origója a vetület K kezdıpontjában
van (2.1.1.-1. ábra).
Tekintsünk továbbá egy K középpontú x , y,
z térbeli derékszögő koordinátarendszert,
amelynek + z tengelye a K pont gömbi normálisának irányába mutat a meridián síkjában, + x
tengelye az S vetületi síkba (2.1.1.-1. ábra) esik és déli irányba mutat. A rendszer + y tengelye
szintén a vetület síkjában van, merıleges az M meridiánsíkra és párhuzamos az y′ tengellyel.
Egy síkba, a meridián síkjába esnek az x ′, z′
és az x, z tengelyek által kifeszített síkok.
2 http://zeus.szif.hu/ottofi/drottofi/keret1.htm

62
+ y’
+z’
A gömb forgástengelye +z * +z A K pont normálisa
M
S
k’
k y = y *
P
K φ K r P(x * , z * )
+ y
i ρ
+ y * i’
R
O + x
+x
φ *
K
R ⋅ cosϕ K
R ⋅ sinϕ K
C
2.1.1.-1. ábra: Vetületi és segédkoordináták
Fejezzük ki elıször egy tetszıleges térbeli P pont
D
x , y,
z rendszerbeli koordinátáit az
x ′, y′
, z′
rendszer koordinátáinak függvényében! Mivel y = y
* = y′
, az x, z és az x ′, z′
rendszerek
síkbeli koordináta transzformációval kapcsolhatók össze (2.1.1.-2. ábra). A síkbeli
analitikus geometria ismert összefüggései alapján:
x = r ⋅i; z = r ⋅k
, de
+ x’
* *
r = x ⋅i′
+ z ⋅k′
, ezért
* *
*
*
= ( x ⋅i′
+ z ⋅k′
) ⋅i
= x ⋅i′⋅i
+ z ⋅k′
⋅i
* *
*
*
( x ⋅ i′
+ z ⋅ k′
) ⋅ k = x ⋅ i′
⋅ k + z ⋅ k′
⋅ k
x ,
z =
.
+z ∗
+z
x *
x
P(x * ,z * )
+z ∗
ϕ
K
ϕ K
*
z ⋅ cosϕ
K
+z
*
x ⋅ sinϕ
x *
K
P(x, z)
k’
k
i’
ϕ
i
K
r
0
90 − ϕK
z
z *
+x
+x ∗
ϕ
K
*
z ⋅ sinϕ
K
ϕ
K
ϕ K
*
x ⋅ cosϕ
K
z *
+x
+x ∗
2.1.1.-2. ábra: Koordináta-transzformáció

63
Az
i, i′
, k,
k′
egységvektorok, abszolút értékük 1, közbezárt szögeikre pedig igaz, hogy
vagyis
i ′ ⋅i
= i′
⋅ i ⋅cos
k ′ ⋅i
= k′
⋅ i ⋅cos
o
( 90 −ϕ
K
) = sinϕK
o
( 180 −ϕK
) = −cosϕK
i ′ ⋅k
= i′
⋅ k ⋅cosϕ = cosϕ
K
K
o
( 90 −ϕ
K
) = sinϕK
k ′ ⋅k
= k′
⋅k
⋅cos
,
x = x
z = x
*
*
⋅ sin ϕ − z
K
⋅ cos ϕ + z
K
*
*
⋅ cosϕ
,
⋅ sin ϕ
K
K
(2.1.1.-1)
és ϕK
a K kezdıpont gömbi földrajzi szélessége. Figyelembe véve továbbá, hogy
r = ρ − R, (2.1.1.-1. ábra)
írhatjuk:
x
z
*
*
= x′
− x
= z′
− z
K
K
= x′
− R ⋅ cosϕ
,
= z′
− R ⋅ sin ϕ
K
K
,
ahol R a földgömb sugara. Végül kapjuk:
x =
z =
( x′
− R ⋅cosϕ
) ⋅sinϕ
− ( z′
− R ⋅sinϕ
)
y = y′
⋅cosϕ
= x′⋅sinϕ
− z′⋅cosϕ
( x′
− R ⋅cosϕ
) ⋅cosϕ
+ ( z′
− R ⋅sinϕ
) ⋅sinϕ
= x′⋅cosϕ
+ z′⋅sinϕ
− R
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
(2.1.1.-2)
Könnyebben memorizálható és az inverz transzformációt is áttekinthetıbbé, könnyebben
követhetıvé teszi a 2.1.1.-1. táblázat:
2.1.1.-1. táblázat: Segédtáblázat a sík koordináta-transzformációhoz
x’ y’ z’
x sinϕ 0
K
− cosϕK
y 1
z + R cosϕ 0
K
sinϕ
K
Az x ′, y′
, z′
→ x,
y,
z transzformációt a sorok, az x , y,
z → x′
, y′
, z′
transzformációt az
oszlopok szerinti kifejtésbıl, szorzási mőveletekkel kapjuk.
A vetítési centrum a K vetületi kezdıponthoz tartozó gömbi átmérı átellenes vége, a C
pont. A 2.1.1.-3. ábrán a CP vetítési sugár a gömbbıl a P’ pontot metszi ki. A P’ pont gömbi
földrajzi koordinátái ϕ , λ .
A C pont koordinátái az
x , y,
z rendszerben:
x
= ; y = 0; z = −2
⋅ R
C
0
C C
,
.

64
+z’
+z
S
+ y’
R
+ y
O
K
R
φ
λ
x
+ x
y
R ⋅cosϕ
P(x, y)
P’( ϕ, λ )
R ⋅sinϕ
P
Vetítési centrum: C
R ⋅ cosϕ ⋅ cosλ
− y ′ = R ⋅ cosϕ ⋅ sin λ
P
+ x’
D
2.1.1.-3. ábra: Gömbi földrajzi és sztereografikus vetületi koordináták
A P’ pont koordinátái az
x ′, y′
, z′
rendszerben, a földrajzi koordináták függvényében:
x′
P′
= R ⋅ cosϕ
⋅ cosλ,
y′
= −R
⋅ cosϕ
⋅sin
λ,
P′
z′
P′
= R ⋅sinϕ
.
A P’ pont koordinátáit az x , y,
z rendszerben, a földrajzi koordináták függvényében a 2.1.1.-1.
táblázat felhasználásával, a (2.1.1.-2) egyenletekbe visszahelyettesítve kapjuk:
z
x
P′
P′
= R ⋅ cosϕ
⋅ cosλ
⋅sinϕ
− R ⋅sinϕ
⋅ cosϕ
,
y
P′
= −R
⋅ cosϕ
⋅sin
λ,
= R ⋅ cosϕ
⋅ cosλ
⋅ cosϕ
+ R ⋅sinϕ
⋅ sinϕ
− R .
K
K
K
K
(2.1.1.-3)
Az S sík egyenlete az
x , y,
z rendszerben
z = 0 .
Írjuk fel a C és a P’ pontokon átmenı térbeli egyenes egyenleteit az
x , y,
z rendszerben:
x − x
x
P′
C
− x
C
=
y − y
y
P′
C
− y
C
=
z − z
z
P′
C
− z
C
(2.1.1.-4)
A vetületi P(x, y) pont a CP’ egyenes és az S sík döféspontja (2.1.1.-3. ábra). Határozzuk meg
ezt a pontot. Írjuk fel az alábbi három egyenletet (az egyenes két tetszıleges egyenlete és a sík
egyenlete):

65
x
x
P′
=
y
y
z − z
z
P′
P′
C
− z
C
P′
z = 0 .
z + 2 ⋅ R
= ,
z + 2 ⋅ R
P′
z + 2 ⋅ R
= ,
z + 2 ⋅ R
A z = 0 -t az elsı és a második egyenletbe helyettesítve, kapjuk:
x
x
P′
y
y
P′
=
z
=
z
P′
P′
2 ⋅ R
,
+ 2 ⋅ R
2 ⋅ R
.
+ 2 ⋅ R
Fejezzük ki elıször a második egyenletbıl y-t:
y =
y
P′
⋅
z
P′
2 ⋅ R
R ⋅ cosϕ
⋅ sin λ
= −2
⋅ R ⋅
+ 2 ⋅ R R ⋅ cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ R ⋅ sinϕ
⋅sinϕ
K
K
.
− R + 2 ⋅ R
Egyszerősítve R-rel, végül:
A továbbiakban
x = x
és végül
P′
⋅
z
P′
cosϕ
⋅sin
λ
y = −2
⋅ R ⋅
. (2.1.1.-5)
1+
cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅sinϕ
2 ⋅ R
R ⋅ cosϕ
⋅ cos λ ⋅sinϕ
K
− R ⋅sinϕ
⋅ cosϕ
K
= 2 ⋅ R ⋅
+ 2 ⋅ R R ⋅ cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ R ⋅sinϕ
⋅ sinϕ
− R + 2 ⋅ R
cosϕ
⋅ cos λ ⋅sinϕ
− sinϕ
⋅ cosϕ
1+
cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅ sinϕ
K
K
x = 2 ⋅ R ⋅
. (2.1.1.-6)
A (2.1.1.-5) és a (2.1.1.-6) összefüggések a magyarországi sztereografikus vetület vetületi
egyenletei. A λ -t a kezdı-meridiántól keletre tekintjük pozitívnak, vagyis a gömbi földrajzi
hosszúság növekedési iránya ellentétes az y koordináta növekedési irányával.
Példa:
Számítsuk ki a ϕ = 46 o 35′
54,0500′
gömbi földrajzi szélességő és a λ = 1 o 20′
09,3800′
gömbi földrajzi hosszúságú pont y, x budapesti sztereografikus vetületi koordinátáit!
A kezdıpont földrajzi szélessége: ϕ 47 o K
= 26′
21,1372 1′′
A Gauss-gömb sugara:
Az eredmények:
R = 6378512,966 m .
y = -102192,770 m; x = 92739,376 m .
K
K
K
K
K
K

66
2.1.2. Inverz vetületi egyenletek
Az inverz vetületi egyenletekre (1.2.1.4.-3. képlet) a vetületi redukciók számításánál és
a vetületi rendszerek közötti átszámításoknál (5. fejezet) lesz szükség. Levezetésükhöz fejtsük
ki a 2.1.1.-1. táblázatot oszlopai szerint! Írhatjuk:
x′
= x ⋅sinϕ
+
K
y′
= y
z′
= −x
⋅ cosϕ
+
Helyettesítsük a (2.1.2.-1) összefüggésbe az
K
( z + R)
R ⋅ cosϕ
⋅ cos λ = x ⋅ sinϕ
+
⋅ cosϕ
K
( z + R) ⋅ sinϕ
K
′
P ′, y′
P′
, z′
P′
. (2.1.2.-1)
x fenti értékeit:
( z + R)
- R ⋅ cosϕ
⋅ sin λ = y,
R ⋅ sinϕ
= −x
⋅ cosϕ
+
K
K
⋅ cosϕ
,
( z + R) ⋅ sinϕ
.
Helyettesítsük a P’ pont x , y,
z rendszerbeli x
P ′ , yP′
, zP′
koordinátáit a fenti egyenletekbe
és fejezzük ki a földrajzi koordinátákat e koordináták függvényében:
x
cot λ = −
− x
sinϕ
=
P′
P′
⋅sinϕ
+
K
⋅ cosϕ
+
K
( z + R)
y
P′
P′
( z + R)
R
P′
K
⋅ cosϕ
⋅sinϕ
K
K
K
,
.
(2.1.2.-2)
Határozzuk meg az x
P ′ , yP′
, zP′
koordinátákat a vetületi koordináták függvényében! Tekintsük
a 2.1.2.-3. ábrát!
+z
S
+ y
O(0,0,-R)
k
K
j i
R
R
γ
y
d x
P(x, y)
P’( x
P ′, yP′
, zP′
C(0,0,-2R)
R γ
+ x
2.1.2.-3. ábra: Vektorábra a gömbi földrajzi koordináták meghatározásához
sztereografikus vetületi koordinátákból

67
A gömbi P’ pont rajta van a CP egyenesen, ezért a megoldások közül célszerő a P’ pont koordinátáit
a CP szakaszt adott arányban osztó pont koordinátáiként meghatározni. A CP vektor
hosszát a következıképpen kapjuk:
KP = x ⋅ i + y ⋅ j;
CO = −
A CP vektor hossza a CP távolság:
KO = −R
⋅k;
( KC − KO) = −( − 2 ⋅ R + R)
KC = −2
⋅ R ⋅k;
⋅k
= R ⋅k
CP = KP − KC = x ⋅ i + y ⋅ j + 2 ⋅ R ⋅ k .
és
CP
2 2 2
= x + y + 4 ⋅ R . (2.1.2.-3)
A CO és CP vektorok közbezárt szögének cosinusa:
( x ⋅ i + y ⋅ j + 2 ⋅ R ⋅k)
CO ⋅CP
R ⋅ k ⋅
cosγ = =
.
2 2 2
CO ⋅ CP R ⋅ x + y + 4 ⋅ R
Egyszerősítve, a számlálóban kijelölt mőveleteket elvégezve, s figyelembe véve, hogy
k ⋅ i = k ⋅ j = 0 , mert merıleges egységvektorok és k ⋅k = 1, kapjuk:
2 ⋅ R
cosγ =
. (2.1.2.-4)
2 2 2
x + y + 4 ⋅ R
A CKP’ háromszög CK oldala átmegy a CKP’ gömbi kör O középpontján, ezért az ugyanezen
körön lévı P’-nél lévı szög a Thales-tétel alapján derékszögő. Emiatt
CP′ = 2 ⋅ R ⋅ cosγ .
A
C P′ és P′
P távolságok aránya:
CP′
P′
P
=
CP′
CP − CP′
=
x
2
+ y
2
2 ⋅ R ⋅ cosγ
=
2
+ 4 ⋅ R − 2 ⋅ R ⋅ cosγ
m
n
. (2.1.2.-5)
A CP távolságot a (2.1.2.-5) összefüggés szerinti arányban osztó P’ gömbi pont koordinátái
az
x , y,
z rendszerben a következık:
x
y
z
P′
P′
P′
n ⋅ xC
+ m ⋅ x
=
,
n + m
n ⋅ yC
+ m ⋅ y
=
,
n + m
n ⋅ zC
+ m ⋅ z
=
.
n + m
(2.1.2.-6)
A (2.1.2.-6) összefüggésben x, y a P pont koordinátái a vetület síkjában, ugyanitt z = 0 . Tudjuk,
hogy
xC = 0;
yC
= 0; zC
= −2
⋅ R ,
n
2 2 2
+ m = CP = x + y + 4 ⋅ R és γ
(2.1.2.-4) összefüggésben kifejezett értékét helyettesítve, írhatjuk:
cos helyébe a

68
Vezessük be a
jelölést. Ekkor
x
y
z
P′
P′
P′
=
=
x
x
2
2
2
4 ⋅ R
2
+ y + 4 ⋅ R
2
4 ⋅ R
2
+ y + 4 ⋅ R
2
2
⋅ x,
⋅ y,
3
8⋅
R
=
− 2 ⋅ R.
2 2 2
x + y + 4 ⋅ R
2
4 ⋅ R
c =
2 2 2
x + y + 4 ⋅ R
x
y
z
P′
P′
P′
= c ⋅ x,
= c ⋅ y,
= c ⋅ 2⋅
R − 2⋅
R .
(2.1.2.-7)
A fenti értékeket helyettesítsük a (2.1.2.-2) elsı összefüggésébe:
x
cot λ = −
P′
⋅sinϕ
K
+
y
c ⋅ x ⋅ sinϕ
K
= −
( z + R) ⋅ cosϕ
c ⋅ x ⋅sinϕ
+ ( c ⋅ 2 ⋅ R − 2 ⋅ R + R)
P′
P′
+ c ⋅ 2 ⋅ R ⋅ cosϕ
K
− 2 ⋅ R ⋅ cosϕ
K
c ⋅ y
1 ⎛
= − ⎜ x ⋅sinϕ
K
y ⎝
K
= −
+ R ⋅ cosϕ
R ⋅ cosϕ
K ⎞
+ 2 ⋅ R ⋅ cosϕ
K
− ⎟ .
c ⎠
K
c ⋅ y
K
=
⋅ cosϕ
K
=
Alakítsuk át a zárójelben lévı kifejezés utolsó két tagját:
R ⋅ cosϕ
K
⎛ 1 ⎞
⋅ R ⋅ cosϕ K
− = R ⋅ cosϕ
⋅ ⎜2
− ⎟ ;
c
⎝ c ⎠
2
K
2
2 2 2
8⋅
R x + y + 4 ⋅ R
−
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
1 2 ⋅ c −1
x + y + 4 ⋅ R x + y + 4 ⋅ R 4 ⋅ R − ( x + y ) d
2 − = =
=
= 1−
,
2
2
2
c c
4 ⋅ R
4 ⋅ R
4 ⋅ R
2 2 2
x + y + 4 ⋅ R
ahol
d +
2 2 2
= x y . A
P
cot λ fenti kifejezésébe helyettesítve, végül:
cot λ
1 ⎡
− ⋅ ⎢x
⋅sinϕ
K
y ⎣
2
⎛ d ⎞ ⎤
+
⎜ R −
⎟ ⋅ cosϕ
⎥ . (2.1.2.-8)
⎝ 4 ⋅ R ⎠ ⎦
=
K
A ϕ -t a (2.1.2.-2) második összefüggésébıl kapjuk:

69
( c ⋅ 2 ⋅ R − 2 ⋅ R + R)
− c ⋅ x ⋅ cosϕ
K
+
⋅ sinϕ
K
sinϕ
=
R
c ⎛
R ⋅ sinϕ
K ⎞
= ⋅ ⎜−
x ⋅ cosϕ
K
+ 2 ⋅ R ⋅sinϕ
K
− ⎟ .
R ⎝
c ⎠
=
A c értékét behelyettesítve, végül
2
1 ⎡
⎛ d ⎞ ⎤
sinϕ
= ⋅ cos
K
sin
2 ⎢−
x ⋅ ϕ +
⎜ R −
K ⎥
⎣
4
⎟ ⋅ ϕ
d
⎝ ⋅ R
R +
⎠ ⎦
4 ⋅ R
. (2.1.2.-9)
A (2.1.2.-8) és a (2.1.2.-9) összefüggések a sztereografikus vetület inverz vetületi egyenletei.
Példa:
A (2.1.2.-8) és a (2.1.2.-9) összefüggésekkel ellenırizzük az elızı példa számításának helyességét!
y = -102192,770 m; x = 92739,376 m .
A kezdıpont földrajzi szélessége: ϕ 47 o K
= 26′
21,1372 1′′
A Gauss-gömb sugara: R = 6378512,966 m .
2 2
d = x + y = 137999,8337 m .
A ϕ és a λ értékei 0,0001” élességgel megegyeznek az elızı példa bemenı adataival:
o
ϕ = 46 35′
54,0500′′
.
o
λ = 1 20′
09 ′,3800
2.1.3. A sztereografikus vetület redukciói
A redukciók számításánál fogadjuk el az alábbiakat:
− a szögtartóság miatt a vetületen lévı szögek megegyeznek a megfelelı alapfelületi
(gömbi) szögekkel,
− a kezdı-meridián képe egyenes,
− a vetületi kezdıponton át nem menı gömbi körök képei körök 3 , amelyek mindig a
homorú oldalukat mutatják a K vetületi kezdıpont felé,
− a vetületi kezdıponton átmenı gömbi körök képei a vetületen egyenes szakaszok.
2.1.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció
Határozzuk meg elıször a ferdetengelyő sztereografikus vetület lineármodulusát.
A 2.1.3.1.-1/a. ábrán a CKP derékszögő háromszögbıl:
A 2.1.3.1.-1/a. ábra alapján felírható még:
A CPA háromszögbıl :
KC 2 ⋅ R
CP = = .
cosγ cosγ
3 Pld. Hazay: Földi vetületek, 1954, 36.§

70
PA
=
2 ⋅ R
CP ⋅ dγ
= ⋅ dγ
.
cosγ
S
+ y
δ
-δ
+ y
R
γ
O
K
R
2γ R
2dγ
y
dd
d x
P
P’ Q
ds A
Q’
γ
b)
+ x
K
P -dy
-δ
dd dx
Q
C
dγ
+ x
a)
O
R
2γ
R
2dγ
P’
ds
Q’
2.1.3.1.-1. ábra: Hossztorzulási tényezı és hosszredukció meghatározása
Az OP’Q’ háromszögbıl (ennek egyik oldala a ds ív ):
ds = P'Q' = 2⋅
R ⋅dγ
.
Az APQ háromszögbıl (merıleges szárú szögek miatt a P pontnál lévı szög is γ):
PA 2 ⋅ R
dd = PQ = = ⋅ dγ
.
2
cosγ
cos γ
A lineármodulus
dd
l = (1.2.2.1.-1)
ds
képletébıl kapjuk a sztereografikus vetület alábbi lineármodulusát:
dd
PQ 1
l = = = . (2.1.3.1.-1)
2
d s P'Q' cos γ
Alakítsuk át a (2.1.3.1.-1) képletet:
2
2
1 cos γ + sin γ
2
l = =
= 1+
tan γ .
2 2
cos γ cos γ
De szintén a CKP derékszögő háromszögbıl

71
Továbbá
ezért
2
d
d
tanγ = és l = 1+
.
2
2 ⋅ R
4 ⋅ R
d +
2 2 2
= x y ,
2 2
x + y
l = 1+
. (2.1.3.1.-2)
2
4 ⋅ R
Írjuk fel a lineármodulus reciprokát a (2.1.3.1.-2) binomiális sorának 2. tagjáig (pld.
Bronstejn-Szemengyajev, 1963, 405. old.):
A (2.1.3.1.-3)-ból
A 2.1.3.1.-1/b. ábra szerint
1 ds
=
l dd
2
x
= 1−
4
+
⋅
y
2
R
2
+ ....
(2.1.3.1.-3)
2 2
2
2
⎛ x + y ⎞ x y
s = dd
⋅
⎜1−
= dd
− ⋅ dd
− ⋅ dd
2
2
4 R
⎟
. (2.1.3.1.-4)
⎝ ⋅ ⎠ 4 ⋅ R 4 ⋅ R
d 2
dx
dy
cosδ = cos( − δ ) = és - sinδ
= sin( − δ ) = − ,
dd
dd
illetve
dx
dy
dd = = .
cosδ sinδ
A (2.1.3.1.-4)-be helyettesítve, írhatjuk:
2
2
x dx
y dy
s = dd
− ⋅ − ⋅ . (2.1.3.1.-5)
2
4 ⋅ R cosδ 4 ⋅ R sinδ
d
2
+ y
x 2
K
d 12
P 1
x 1
-y 1
δ 12
x 2 - x 1
-y 2
P 2
y 2 - y 1
+ x
2.1.3.1.-2. ábra: Koordinátakülönbségek
Képezzük a (2.1.3.1.-5) határozott integrálját pld. a P ( , x ) és a P ( y x )
(2.1.3.1.-2. ábra):
y pontok között
1 1 1
2 2
,
2

72
s
12
= d
12
3
⎡ x ⎤
− ⎢ 2 ⎥
⎣12
⋅ R ⋅ cosδ
⎦
x2
x1
3
⎡ y ⎤
− ⎢ 2 ⎥
⎣12
⋅ R ⋅ sinδ
⎦
y2
y1
,
3 3
3 3
x2
− x1
y2
− y1
s
12
= d12
−
−
,
2
2
12 ⋅ R ⋅ cosδ
12 ⋅ R ⋅sinδ
12
12
vagy, figyelembe véve, hogy
cos
=
x − x
2 1
δ
12
és
d12
sinδ
12
=
y2
− y
d
12
1
, írhatjuk:
3 3 3 3
d ⎛
12
x2
− x1
y2
− y1
12 12
.
2
12 ⎟ ⎞
s = d − ⋅
⎜ +
⋅ R ⎝ x2
− x1
y2
− y1
⎠
Végezzük el a zárójelben kijelölt mőveleteket! Az s = s12
, d = d12
jelölésbeli egyszerősítéssel
végül:
2
2 2
2 ⎤
( x + x ⋅ x + x + y + y ⋅ y + ) ⎥⎦
⎡ 1
s = d ⋅
⎢
1−
⋅
2 1 1 2 2 1 1 2
y2
. (2.1.3.1.-6)
⎣ 12 ⋅ R
Vezessük be az
2
2 2
2
( x + x ⋅ x + x + y + y ⋅ y y )
1
U = ⋅
2 1 1 2 2 1 1 2
+
2
(2.1.3.1.-7)
12 ⋅ R
jelölést. A (2.1.3.1.-6) képlet átrendezésével és a binomiális sor felhasználásával az
d 1
m = = ≈ 1+
U
s 1−U
(2.1.3.1.-8)
hossztorzulási tényezıt kapjuk, ahol U a hossztorzulás. Összevetve ezt a hossztorzulási tényezıre
adott 1.2.2.12. fejezetbeli
d
m = = m0 + U
(1.2.2.12.-10)
s
összefüggéssel, látjuk, hogy m = 0
1, ami természetes, hiszen érintı vetületrıl van szó.
Végül, a hosszredukció a (1.2.2.12.-14) képlet szerint számítható:
A hosszredukcióval korrigált távolság:
∆ s = d − s = U ⋅ s . (2.1.3.1. -9)
s = d + ∆s
. (2.1.3.1.-10)
A (2.1.3.1.-8) összefüggésbıl látszik, hogy, mivel U pozitív, a hosszredukció is pozitív,
azaz, amint az egyébként is könnyen belátható, a sztereografikus vetületi távolságok nagyobbak
a gömbi távolságoknál. A K kezdıpontban a hossztorzulás 0, attól távolodva, a
(2.1.3.1.-7) összefüggés szimmetrikussága miatt, a hossztorzulás a K pont körüli koncentrikus
körök mentén nı.

73
A mért távolság környezetében célszerő átlagos x , y 0 0
koordinátákkal számolni, hiszen
a távolságméréskor a végpontok koordinátáit többnyire még nem ismerjük. A (2.1.3.1.-
x1
+ x2
y
7) képletben ezért helyettesítsünk x0
= -et és 1
+ y
y = 2
-ıt. Ekkor
2
2
2
2 2 d
( x ) 0
0
+ y0
=
2
1
U = ⋅
. (2.1.3.1. -11)
2
4 ⋅ R
4 ⋅ R
A hossztorzulás számításakor a koordinátákat és a Gauss-gömb R sugarát elegendı kerekítve,
0,1 km-es élességgel behelyettesíteni.
1
A hossztorzulás megengedett értéke Magyarországon U = (1.2.2.12. pont).
10000
Vizsgáljuk meg, hogy a K kezdıpontból kiindulva U hol éri el ezt az értéket? A (2.1.3.1. -10)
képletben a Gauss-gömb sugara R ≈ 6380 km . Az U hossztorzulás x = 90 0
km és
2 2
y
0
= 90 km , azaz 127,3
1
d0 = x + y = km mellett éri el az -et. Ez azt jelenti, hogy a
10000
K vetületi kezdıpont körül 127,3 km sugarú körön kívül az U értéke már meghaladja azt.
Példa:
Számítsuk ki az s = 2825,346 m nagyságú gömbi távolság K kezdıponttól vett d0
távolságát,
U hossztorzulását, a ∆s
hosszredukciót és a hosszredukcióval korrigált d távolságot
az y = -102192,770
0
m és x 92739,376 m
0
=
koordinátájú pont környezetében!
A koordináták és a Gauss-gömb sugara km élességgel:
y = -102,2 km , x = 92,7 m , R = 6378,5 km .
0
0
k
A számításhoz és a megjelenítéshez használt VisualBasic nyelvő programrészt a Függelék
2.1.3.1.-1. pontjában találjuk.
Az eredmények:
d = 137,979 km , U = 0,000116984,
∆s = 0,331 m , d = 2825,677 m.
0
A hosszredukció a vetületi kezdıponttól távolabb dm-es nagyságrendő, jóval meghaladja
a távolságmérı mőszerek pontosságát, ezért nem hanyagolhatjuk el.
2.1.3.2. Második irányredukció
A második irányredukció számításánál a szögtartóság mellett felhasználjuk, hogy a K
kezdıponton átmenı gömbi körök képei egyenesek, így az ε gömbi szögfölösleg (1.2.2.12.-5.
ábra) két, egyenlı nagyságú szög, a ∆ és ∆ második irányredukciók összege (2.1.3.2.-1.
PQ
KP
∆
KQ
= ∆
PK
= ∆
QK
=
ábra), hiszen ∆ = 0 és a szögredukciók ∆ sz
= ∆ .
QP

74
+ y
K
r Q
x Q
r P
x P
- y Q
Q
-y P
∆ QP
∆ PQ
P
+ x
2.1.3.2.-1. Második irányredukció a sztereografikus vetületben
Ismeretes, hogy két vektor vektoriális szorzatának abszolút értéke megegyezik az általuk
kifeszített paralelogramma területével.
Mivel a PQ vetületi körív K felé a homorú oldalát mutatja, a redukció elıjele értelemszerően
adódik a vetületi koordináták ismeretében. Pld. a ∆
PQ
elıjele pozitív, a ∆
QP
ezzel
nagyságra azonos, de elıjelre különbözı. Ezért esetünkben a PKQ vetületi háromszög területe
i j k
1 1
1
1
T = ⋅ rP
∗ rQ
= ⋅ xP
- yP
0 = ⋅ ( xQ
⋅ yP
− xP
⋅ yQ
) ⋅k
= ⋅ ( xP
⋅ yQ
− xQ
⋅ yP
) ⋅ k ,
2 2
2
2
x - y 0
Vegyük észre, hogy fentiek miatt
ezért:
Példa:
Q
Q
xP
⋅ yQ
− xQ
⋅ yP
T = . (2.1.3.2.-1)
2
ε
+ ∆
PQ
= - ∆
QP
= . De tudjuk, hogy szögmásodpercben
2
T
ε = 2
⋅ ρ′
, (1.2.2.12.-25)
R
ε T xP
⋅ yQ
− x
= = ⋅ ρ′′
=
2
2 2 ⋅ R
4 ⋅ R
Q
∆
PQ
2
⋅ y
P
⋅ ρ ′′ . (2.1.3.2.-2)
Számítsuk ki a PKQ háromszög területét és a PQ irányra vonatkozó ∆ PQ
irányredukciót!
A koordináták:
y
P
= -102192,770 m , x
P
= 92739,376 m
y - 91009,203 m , x = 90023,435 m
Q =
P
második

75
A Gauss-gömb sugara:
R = 6378512,966 m .
A számításhoz és a megjelenítéshez a Függelék, 2.1.3.2.-1. pontban használt VisualBasic
nyelvő programrész tartozik.
Az eredmények:
T = 379803745,5438 m 2 , ∆ = + 0,963
.
A két pont távolsága 11508,63 m.
PQ
′′
A második irányredukció pozitív elıjele a 2.1.3.2.-1. ábráról szemléletesen látszik.
Megjegyezzük, hogy - az (1.2.2.12.-25) képletben elfogadott F = T közelítés miatt, nevezetesen,
hogy a gömbháromszög területe egyenlı a megfelelı vetületi háromszög területével - a
(2.1.3.2.-2) képlet nem szabatos. Az alsó-geodéziában elıforduló távolságoknál azonban elfogadható,
sıt, mivel nagyságrendje mindössze 1” körül van, az esetek többségében el is hanyagolható.
A második irányredukcióra az alábbi szabatos képlet levezetését találjuk (Csepregi-
Soha, 1983, 247-248. old.) c. cikkében:
2.1.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia
xP
⋅ yQ
− xQ
⋅ yP
tan ∆ =
⋅ ρ′
PQ
. (2.1.3.2.-2/a)
2
4 ⋅ R + x ⋅ x − y ⋅ y
A feladat megoldásához tekintsük a 2.1.3.3.-1. ábrát! Az ábrán É a földgömbi északi
pólus, a PÉ vetületi ív a P’ pont gömbi meridiánjának képe, λ a gömbi földrajzi hosszúság, a
o
− δ = 360 − δ , ahol δ az ÉP irány irányszöge, a ∆ a második irányredukció, µ a
meridiánkonvergencia.
Az É pont sztereografikus vetületi koordinátái:
Az x koordinátát a (2.1.1.-6) képletbe helyettesítéssel kapjuk,
É
P
Q
P
Q
y = 0 . (2.1.3.3.-1)
É
cosϕ
ϕ 47 o K
= 26′
21,13721 ′′ , s így x = −4968729,
283 m .
A µ -t az alábbi összefüggésbıl kapjuk:
É
o
0
= 90 és λ = 0
É É
ϕ mellett
K
x = −2
⋅ R ⋅ . (2.1.3.3.-2)
É
1+
sinϕ
K
( λ + δ )
µ = −δ
− λ − δ = − 2 ⋅ . (2.1.3.3.-4)
A λ földrajzi hosszúság a
cot λ
összefüggésbıl számítható,
1 ⎡
− ⋅ ⎢x
⋅sinϕ
K
y ⎣
2
⎛ d ⎞ ⎤
+
⎜ R −
⎟ ⋅ cosϕ
⎥
⎝ 4 ⋅ R ⎠ ⎦
=
K
d +
2 2 2
= x y .
(2.1.2.-8)

76
É
S
δ
É
S
- δ
λ
∆
É t
µ
∆
- δ
-δ
λ
∆
É t
x É
x É
∆
µ
+ y
O
K
x
B
- y
P’
P
+ y
K
x
B
- y
δ
P
-δ
λ
+ x
+ x
C
a)
b)
2.1.3.3.-1. Vetületi meridiánkonvergencia a sztereografikus vetületben
Példa:
A P pont koordinátái: y
P
= −102192,
770 m, xP
= 92739,
376 m . Számítsuk ki a P pontbeli
vetületi meridiánkonvergenciát!
tanδ
=
y
x − x
y = ; x = -4968729,
283 m .
É
0
É
−102192,770
=
, ahonnan
92739,
376 + 4968729 283
É
,
δ = −1 o 09′
23,991′′
,
o
Továbbá 2 ⋅δ = −2
18′
47,982′
és a „2.1.2. Inverz vetületi egyenletek” példájából
λ = 1 o 20′
09′
,380 .
A vetületi meridiánkonvergencia:
o
o
( λ + 2 ⋅ ) = −( 1 20′
09′
,380 − 2 18′
47,982′′
) = 0 58′
38,602
o
µ = − δ
′′ .

77
A sztereografikus vetületi meridiánkonvergenciát a vetületi koordinátákból számíthatjuk
Szádeczky-Kardoss (1953) alábbi zárt képletével is:
sin
= y ⋅
K
K
µ .
2
2
2
2 2
( 4 ⋅ R ⋅ cosϕ
− d ⋅ cosϕ
+ 4 ⋅ R ⋅ x ⋅ sinϕ
) + 16 ⋅ R ⋅ y
K
4 ⋅ R ⋅ sinϕ
− 2 ⋅ x ⋅ cosϕ
2.1.4. A sztereografikus vetület szelvényhálózatai
K
K
(2.1.3.3.-5)
A budapesti sztereografikus rendszer szelvényhálózata öl, illetve méter rendszerő. Nevezik
régi és új sztereografikus szelvényhálózatnak is. A délnyugati tájékozású koordinátarendszerben
az x tengellyel párhuzamosan helyezkednek el az oszlopok, az y tengellyel párhuzamosan
a rétegek (2.1.4.-1. ábra). Az öl-rendszerő szelvényhálózat beosztásának alapja a
négyzetmérföld. Egy négyzetmérföld 20 szelvényre oszlik, az egyes szelvények y tengellyel
párhuzamos oldala 1000 öl, x tengellyel párhuzamos oldala 800 öl. Egy, a 2.1.4.-1. ábrán sötétítéssel
jelölt 1000 öl ⋅ 800 öl mérető szelvény méretaránya 1:2880.
A 2.1.4.-1./b. ábrán látható 1:2880 méretarányú 1000 öl * 800 öl nagyságú területet ábrázoló
kataszteri térkép méteres rendszerben kifejezett méretei:
- az y tengellyel párhuzamosan: ( 1000 öl : 2880) 1,89648 ≈ 66 cm
- az x tengellyel párhuzamosan: ( 800 öl : 2880) ⋅ 1,89648 ≈ 53 cm ,
⋅ ,
amely még viszonylag könnyen kiteríthetı, illetve használható papírlap méret.
31.
II. I. I. II.
N.o.
(nyugati
oszlop)
K.o.
(keleti
oszlop)
32.
1000 öl
~66 cm
+ y
33.
34.
e
f
g
h
i
K
d c b a
4000 öl
4000 öl
800 öl
~53 cm
N.o.I.34.b.h.
M = 1:2880
+ x
2.1.4.-1. ábra: A sztereografikus vetület öl rendszerő szelvényhálózata
Az egyes kataszteri szelvények számozását a 2.1.4.-1. ábrán követhetjük végig. A budapesti
rendszerben a számozás minden síknegyedben keletrıl nyugat felé az a, b, c, d betőkkel
és minden síknegyedben északról délre az e, f, g, h, i betőkkel történik. A sötétítéssel jelölt
szelvény száma: N.o.I.34.b.h., vagyis a szelvény a nyugati I. oszlop és 34. réteg találkozásánál
lévı 4000 öl ⋅ 4000 öl = 1 négyzetmérföld mérető szelvény b. oszlopában és h. sorában található.
Megjegyezzük, hogy a rétegek számozását a történelmi Magyarország északi szélétıl kell
érteni (2.1.-2. ábra).

78
A méteres rendszerben a szelvénybeosztás az ún. szelvénycsoportokon alapszik
(2.1.4.-2. ábra). Egy-egy, az oszlopok és rétegek határvonalaival kimetszett szelvénycsoport
7 2
mérete 8000 m ⋅ 6000 m , területe 4,8 ⋅ 10 m = 4800 ha (hektár) .
+y
2
1
1
2
II. I. I. II.
e d c b a
e d c b a
k
i
h
g
f
f
g
h
i
k
ÉNY
K
DNY
ÉK
DK
a b c d e
8000 m
6000 m
a b c d e
k
i
h
g
f
f
g
h
i
k
1600 m
80 cm
DK.II.2.d.h.
M = 1:2000
1200 m
60 cm
+x
2.1.4.-2. ábra: A sztereografikus vetület méter-rendszerő szelvényhálózata
Az egyes szelvénycsoportok helyét az oszlopokban nyugatra és keletre is római, a rétegekben
arab számokkal jelöljük. A számozás mindkét esetben a budapesti rendszer koordináta-tengelyeitıl
kiindulva növekszik. Egy-egy szelvénycsoport 25 db 1600m*1200m területő,
1:2000 méretarányú szelvénybıl áll. Az egyes térképlapok cm-ben kifejezett méretei:
- az y tengellyel párhuzamosan: 1600 m : 2000 = 0,8 m = 80 cm,
- az x tengellyel párhuzamosan: 1200 m : 2000 = 0,6 m = 60 cm.
A térképlap mérete már a használhatóság határán van. A 2.1.4.-2. ábrán sötétítéssel jelölt
szelvény száma: DK.II.2.d.h. A DK a délkeleti sík-negyedet, a II. a második oszlopot, a 2.
a második réteget jelenti. A kisbetős jelölések sík-negyedenként (ÉNY, ÉK, DNY, DK), a koordináta-tengelyektıl
távolodva, az ábécé sorrendjében követik egymást.
1966-tól 1975-ig (az Egységes Országos Vetület – EOV megjelenéséig) polgári használatra
az M = 1:10000 méretarányú, valójában Gauss-Krüger vetülető és szelvényezéső topográfiai
térképekre a budapesti katonai sztereografikus rendszer kilométer-hálózati vonalait
nyomtatták, a szelvényeket kétszer három számjegybıl álló számozással látták el, pld. 504-
332.
2.1.4.1. A magyarországi analóg erdıtervi (erdészeti üzemi) térképek szelvényezési
rendszere
1962-ben a mai Földmérési és Térképészeti Hivatal akkori elıdje, az Állami Földmérési
és Térképészeti Hivatal (ÁFTH) egységesíteni akarta a polgári célú vetületi és szelvényezési
rendszereket 4 . Az ÁFTH 227/1962 szám alatt Utasítást adott ki, amelynek értelmében erre
a rendszerre át kell térni. Az utasításnak csak az erdészeti ágazat tett eleget: jelenleg még ez
az analóg erdıtérképek szelvényezési rendszere.
4 Ez végül is csak az Egységes Országos Vetületi (EOV) és Térképrendszer (EOTR) bevezetésekor sikerült,
1975-ben.

79
Az analóg erdıtérképek szelvényezése a budapesti sztereografikus vetületi koordinátarendszer
módosított, öl rendszerő szelvényhálózati rendszerében történik. Az áttéréskor az
egységesség érdekében az elfogadott vetület nélküli és hengervetületi szelvényeket is sztereografikus
vetületre dolgozták át. A módosítás lényegét a 2.1.4.1.-1. ábrán követhetjük nyomon.
2
2 1 3 4
ÉK-2-2
(31)
1
ÉN
K
ÉK
(32)
1
DN
DK
(33)
2
DN-2-1
(34)
(I)
(II) (I) (II)
2.1.4.1.-1. ábra: Erdészeti üzemi térképek szelvényezési rendszere
Az erdészeti üzemi térkép M = 1:10000 méretarányú szelvénye 4⋅ 4 = 16 db, egyenként
1:2880 méretarányú, 1000 öl ⋅ 800 öl ( ≈ 1896,48 m ⋅ ≈ 1517,18m)
nagyságú kataszteri
szelvénybıl áll. Ilyen pld. a 2.1.4.1.-1. ábrán sötétítéssel jelölt szelvény. Az egyes rétegek az
eredeti öl rendszerő szelvényezéstıl eltérıen tehát az x tengellyel párhuzamosan nem
5 ⋅ 800 öl = 4000 öl , hanem csak 4 ⋅ 800 öl = 3200 öl kiterjedésőek.
Az 1:10000 méretarányú üzemi térkép lapmérete az y tengellyel párhuzamosan
( 1896,48
⋅ 4) m :10000 ≈ 75,86 cm , az x tengellyel párhuzamosan pedig
( 1517,18
⋅ 4) m:10000 ≈ 60,69 cm.
A szelvényezés kezdıpontja szintén a Gellérthegy nevő alappont, de számozása részben
követi a sztereografikus vetület méteres szelvényezési rendszerét: pld. a 2.1.4.1.-1. ábrán
megjelölt 4000 öl ⋅ 3200 öl területő, 1:10000 méretarányú szelvény száma: ÉK-2-2, vagyis az
északkeleti sík-negyed északi irányban 2. rétegének, nyugati irányban pedig 2. oszlopának
metszésében lévı szelvény. A könnyebb eligazodás végett a 2.1.4.1.-1. ábrán zárójelben az
eredeti öl rendszerő szelvényszámozást is feltüntetjük.
Az Állami Erdészeti Szolgálat 521/2000 számú fıigazgatói utasítása 5 a digitális térképi
alapadatok létesítéséhez és a digitális üzemi térkép analóg megjelenítéséhez engedélyezi az
EOV vetületi rendszert és az EOTR szelvényezést. Az EOV rendszerre való áttérés ennek
megfelelıen folyik. A sztereografikus (vagy más) vetületrıl az EOV-re vagy az EOV koordinátáikkal
is adott ún. illesztıpontok (a mindkét vetületben ismert, közös, vagy azonos pontok)
segítségével térnek át (5. fejezet), vagy a sztereografikus (vagy más) vetületi rendszerben elıállított
digitális adatállományt transzformálják az Egységes Országos Vetületbe.
5 Útmutató a digitális üzemi térkép készítéséhez és mintaállományaihoz. Állami Erdészeti Szolgálat, Budapest
2000.

80
2.2. A ferdetengelyő hengervetületek
A magyarországi hengervetületek az Osztrák-Magyar Monarchián belüli alaphálózati
és térképezési önállósodási törekvések eredményeképpen 1908-1909-ben kerültek bevezetésre.
A vetület az 1.2.2.11. pontban tárgyalt csoportosítási szempontok szerint valódi, érintı,
ferde tengelyő hengervetület (1.2.2.11.-2. ábra). A vetület szintén szögtartó, a – sztereografikus
vetülethez hasonlóan - a vetítés kettıs, elıször a Bessel-ellipszoidról a Gauss-gömbre,
majd a Gauss-gömbrıl a gömböt egy legnagyobb gömbi kör mentén érintı hengerre történik a
vetítés.
Mindhárom hengervetület x tengelye a gellérthegyi meridián, y tengelye a legnagyobb
gömbi kör egyenesként jelentkezı képe. Az x tengely pozitív ága délnek, az y tengely pozitív
ága pedig nyugatnak mutat, tehát a vetületi koordinátarendszer délnyugati tájékozású. Egy
hengervetület kezdıpontja sem egyezik meg a budapesti sztereografikus rendszer kezdıpontjával,
a HÉR kezdıpontja a Gellérthegytıl északra mintegy 137 km-re, a HKR kezdıpontja a
Gellérthegytıl délre mintegy 38 km-re helyezkedik el. A hengervetületek U hossztorzulása az
1
y tengely mentén zérus (az y tengely az érintı gömbi kör képe), a megengedett értéket
10000
az y tengelytıl számítva az x tengellyel párhuzamosan x = ± 90 km-nél éri el. A történelmi
Magyarország területét három hengervetületi sávban ábrázolták (2.2.-1. ábra):
HÉR - Hengervetület Északi Rendszere
HKR - Hengervetület Középsı Rendszere
HDR - Hengervetület Déli Rendszere
Mindhárom hengervetület kezdıpontjának földrajzi hosszúsága: λ 0 o K
= 0′
00,00000
′′ .
HÉR
HKR
HDR
É
2.2.-1. ábra: A három ferdetengelyő hengervetület
– A hengervetület északi rendszere (HÉR) ábrázolja az ország ϕ 47 o K
= 55′
00′
Gaussgömbi
földrajzi szélességtıl északra esı, a mai Szlovákia egész területét, kezdıpontjának
földrajzi szélessége:
ϕ 48 o K
= 40′
02′
,

81
2.2.-2. ábra: A hengervetületek elhelyezkedése a történelmi Magyarország területén 6
– A hengervetület középsı rendszere (HKR) ábrázolja az ország ϕ = 47 o 55′
00′
és a
K
′
ϕ 46 o K
= 22′
00′
Gauss-gömbi földrajzi szélességek közötti területét. A kezdıpont földrajzi
szélessége:
ϕ 47 o K
= 06′
00 ′′ .
– A hengervetület déli rendszere (HDR) ábrázolja az ország ϕ 46 o K
= 22′
00′
Gauss-gömbi
földrajzi szélességtıl délre esı területét. A kezdıpont földrajzi szélessége:
ϕ 45 o K
= 31′
59′
.
A budapesti sztereografikus rendszer kezdıpontjával egy hengervetület kezdıpontja
sem esik egybe, hiszen a Gellérthegy Gauss-gömbi földrajzi szélessége más (2.1. pont).
2.2.1. Vetületi egyenletek
A 2.2.1.-1. ábrán a +z’ forgástengelyő henger a gömböt a KAC legnagyobb gömbi
körben érinti. Válasszunk egy segédrendszert, ekkor ez a kör lesz a segédrendszer segédegyenlítıje,
a segédegyenlítıre merıleges gömbi körök a segédmeridiánok. ϕ′ -vel a segédföldrajzi
szélességet, λ′ -vel a segédföldrajzi hosszúságot fogjuk jelölni. A K pont kezdımeridiánja
egyben a KDCÉ segéd kezdı-meridián is. Az ábrán az eredeti gömb forgástengelyét
z g -vel, az Egyenlítı síkja és a kezdı-meridián síkja metszésvonalát x g -vel jelöljük. A
KDCÉ kezdı-meridián S síkjára a gömb középpontjában merıleges a rendszer y g tengelye,
amely egyben a ϕ földrajzi szélességgel elforgatott x’, y’, z’ segédrendszer y’ tengelye is.
K
Az x’, y’, z’ segédrendszerben a kezdıpont földrajzi szélessége ϕ ′ 0 o K
= 00′
00,00′
. A kezdıpont
λ és λ′
földrajzi hosszúságai mindkét rendszerben λ ′ = λ = 0 o 00′
00,00′
.
′
K K
6 http://zeus.szif.hu/ottofi/drottofi/keret1.htm

82
+z’
z’
+ z g
P(x’,z’ )
+ z g + x’
É’
É
µ
P’( ϕ, λ )
y g ,y’
A
ϕ
K
φ
ϕ
ϕ′
K
− λ′
−λ
+x g
k′
g
k
r
o
90 − ϕK
i′ ϕ
K
g
i
b)
+ x’
+x g
C
Segédegyenlítı
D
D’
Kezdı-meridián
a)
2.2.1.-1. ábra: Ferde tengelyő hengervetület
a) segédrendszer, b) koordináta-transzformáció
Az x g , y g , z g és az x’, y’, z’ rendszerek közötti transzformációs összefüggések levezetése
hasonló ahhoz, amit a sztereografikus vetületnél bemutattunk. A 2.2.1.-1. ábra szerint
felírhatók az alábbi összefüggések:
x ′ = r ⋅ i′
; z′
= r ⋅k′
, de
de
ezért végül:
r
g g g
= x ⋅ i + z
⋅ k
g
, ezért
g g g g
g g g
( x ⋅ i + z ⋅ k ) ⋅ i′
= x ⋅ i ⋅ i′
+ z ⋅ k ⋅ i′
g g g g
g g
g
( x ⋅ + z ⋅k
) ⋅ k′
= x ⋅ i ⋅ k′
+ z ⋅ k ⋅k
′
g
x =
,
g
z ′ = i ′ ,
g
i = cosϕ
K
,
⋅ i′
o
( 90 −ϕ
K
) = sinϕ
K
g
k = cos
,
⋅ i′
o
( 90 + ϕ
K
) = −sinϕ
K
g
i = cos
,
⋅ k′
g
k = cosϕ
K
,
⋅k′

83
′ z
g
g
x = x ⋅ cosϕ
K
+ ⋅ sinϕ
K
,
g
′ y ,
y =
′ z
g
g
z = −x
⋅sinϕ
K
+ ⋅ cosϕ
K
.
Az egyenes és az inverz transzformációt is megkönnyíti a 2.2.1.-1. táblázat.
2.2.1.-1. táblázat: Segédtáblázat a sík koordináta-transzformációhoz
x g y g z g
x’ cosϕ 0
K
sinϕ
K
y’ 1
z’ − sinϕ 0
K
cosϕ
K
A 2.1.1.-3. ábrához hasonlóan írhatók fel a P pont koordinátái mind az x g , y g , z g ,
mind az x ′, y′
, z′
rendszerben, a földrajzi koordináták függvényében:
x
y
z
g
g
g
= R ⋅ cosϕ
⋅ cos λ,
x′
= R ⋅ cosϕ′
⋅ cos λ′
,
= −R
⋅ cosϕ
⋅sin
λ,
y′
= −R
⋅ cosϕ′
⋅sin
λ′
,
= R ⋅ sinϕ
,
z′
= R ⋅sinϕ′
.
Helyettesítsük a fenti koordinátákat a transzformációs képletekbe:
R ⋅ cosϕ′⋅
cos λ′
= R ⋅ cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ R ⋅ sinϕ
⋅ sinϕ
,
R ⋅ cosϕ′⋅
sin λ′
= R ⋅ cosϕ
⋅sin
λ
g
( y = y′
),
R ⋅ sinϕ′
= −R
⋅ cosϕ
⋅ sin λ ⋅ sinϕ
+ R ⋅ sinϕ
⋅ cosϕ
.
R-rel egyszerősítve, a segédföldrajzi koordináták az alábbi összefüggésekbıl számíthatók:
K
K
K
K
sinϕ′
= sinϕ
⋅ cosϕ
- cosϕ
⋅ sin λ ⋅ sinϕ
,
K
cosϕ
⋅ sin λ
sin λ′
=
.
cosϕ′
K
(2.2.1.-1)
A 2.2.1.-2. ábrán a segédrendszert könnyebben szemléltethetı, elforgatott helyzetben ábrázoljuk.
Az ábrából belátható, hogy a gömbi pontoknak az O pontból a henger palástjára történı
centrális vetítése esetén
x = R ⋅ tanϕ′
, (2.2.1.-2)
y = −R
⋅ λ′
ahol ϕ ′ és λ′
a (2.2.1.-1)-bıl számítható segédföldrajzi koordináták. Vizsgáljuk meg, hogy a
fenti – geometriailag szemléltethetı - vetületi egyenletek szögtartó ábrázoláshoz vezetnek-e.
A lineármodulus általános egyenlete (1.2.2.1. pont):
2
2
2
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α
+ T ⋅ sin α , (1.2.2.1.-7)

84
+z’
Kezdı-meridián
Segéd szélességi kör
+y’
A
C
+y
R
O
φ'
λ'
λ'
Segédegyenlítı
R
K
+x
P’ P
-x
R ⋅ tanϕ ′
P
− R ⋅ λ′
+x’
2.2.1.-2. ábra: Segédföldrajzi és vetületi koordináták
ahol
E
P = ,
2
M
F G
Q = , T = ,
2
M ⋅ r r
2
2
⎛ ∂x
⎞ ⎛ ∂y
⎞ ∂x
∂x
∂y
∂y
⎛ ∂x
⎞ ⎛ ∂y
⎞
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ , F = ⋅ + ⋅ , G = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ .
⎝ ∂Φ
⎠ ⎝ ∂Φ
⎠ ∂Φ
∂Λ
∂Φ
∂Λ
⎝ ∂Λ
⎠ ⎝ ∂Λ
⎠
2
2
A gömbi segédkoordináta-rendszerben
(2.2.1.-2) összefüggésekre
Φ = ϕ ′, Λ = λ′
, M = R , N = R , r = R ⋅ cosϕ′
. A
∂x
R
= ,
∂ϕ′
cos 2 ϕ′
∂x
= 0,
∂λ′
∂y
= 0,
∂ϕ′
∂y
= −R,
∂λ′
2
R
E = , F = 0 , G = R
4
cos ϕ′
2
.
A lineármodulus a vetületi fıirányokban (1.2.2.12.-2. ábra):
I. vetületi fıirány (a segéd szélességi kör iránya):
l
II. vetületi fıirány (a segéd meridián iránya):
R
2 1
l o o
( α ω ) = a = T =
=
= 90 , 0
R
2 ⋅ cos 2 ϕ′
cosϕ′
e
= ,
=

85
l
2
R
4
cos ϕ′
1
l o o
( α ω ) = b = P = =
= 0 , 90
2
2
R cos ϕ′
m
= .
=
A vetületi fıirányokban a lineármodulus különbözik, a szögtartó ábrázolás (1.2.2.9.-4) képlet
szerinti a = b = m = n = l feltétele nem teljesül.
A szögtartó ábrázolás érdekében a segéd meridián menti lineármodulust tegyük egyenlıvé a
segéd szélességi kör menti lineármodulussal:
1
l
m
= l e
= .
cosϕ′
Ekkor a vetület geometriailag már nem értelmezhetı: a henger csak szimbólum. Bár így a
gömb és a sík között kizárólag matematikai kapcsolat jön létre, a vetületek e csoportját is valódi
hengervetületeknek nevezzük. Tehát legyen
l
m
E 1
l o o
( α ω ) = b = P = = , ahonnan
= 0 , 90
R cosϕ′
=
=
Az
2
⎛ ∂x
⎞ ⎛ ∂y
⎞ R
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = .
⎝ ∂ϕ ′ ⎠ ⎝ ∂ϕ′
⎠ cosϕ′
2
y = −R
⋅ λ′
(2.2.1.-3)
∂y
vetületi egyenlet nem változik, vagyis = 0 . Ezért
∂ϕ′
ahonnan
∂x
R
E = = ,
∂ϕ ′ cosϕ′
R
∂x = ⋅ ∂ϕ′
.
cosϕ′
A ferdetengelyő hengervetületi rendszer x koordinátáját az utolsó kifejezés alábbi integráljaként
kapjuk:
∂ϕ′
⎛ ϕ′
π ⎞
x = ∫ ∂x
= R ⋅∫
= R ⋅ ln tan⎜
+ ⎟ + c . (2.2.1.-4)
cosϕ′
⎝ 2 4 ⎠
Mivel ϕ ′ = 0 esetén x = 0, a c integrálási állandó 0. Az x tengely növekedési iránya ellentétes
a ϕ′ növekedési irányával, ezért a (2.2.1.-4) kifejezés jobb oldala negatív lesz:
Trigonometriai átalakítás után
⎛ϕ′
π ⎞
x = −R
⋅ ln tan⎜
+ ⎟ . (2.2.1.-5)
⎝ 2 4 ⎠

86
R 1+
sinϕ′
x = − ⋅ ln . (2.2.1.-6)
2 1−
sinϕ′
A (2.2.1-3) és a (2.2.1.-5), ill. (2.2.1.-6) kifejezések mindhárom magyarországi ferdetengelyő
hengervetület vetületi egyenletei. A (2.2.1-3) egyenletbe a λ′ - t radiánban kell behelyettesíteni.
Ha λ′ pld. fokban adott, úgy
λ′
y = −R
⋅ , (2.2.1.-7)
o
ρ
o
ahol ρ az 1 radián szögfokban kifejezett értéke:
o
o 180
ρ = ,
π
ahol π a Ludolf-féle szám. Ne felejtsük el, hogy a (2.2.1-3) és a (2.2.1.-7), valamint a (2.2.1.-
5) és a (2.2.1.-6) vetületi egyenletek a 2.2.1.-2. ábra segédrendszerében érvényesek. Alkalmazásukhoz
az eredeti ϕ és λ földrajzi koordinátákat a (2.2.1.-1) összefüggésekkel transzformálni
kell.
Példa:
Számítsuk ki a hengervetület középsı rendszerében a ϕ = 47 o 38′
25,3000
′′ földrajzi szélességő
és a λ = + 1 o 55′
32,8000
′′ földrajzi hosszúságú pont hengervetületi koordinátáit. A kezdıpont
földrajzi szélessége ϕ 47 o K
= 06′
00
′′ , a Gauss-gömb sugara R = 6378512,966 m .
A számításhoz használt VisualBasic nyelvő programrészek a Függelék, 2.2.1.-1. pont alatt találhatók.
Az eredmények:
2.2.2. Inverz vetületi egyenletek
o
ϕ ′ = 0
o 33′
22,8034 ′′ , λ′
= 1 17′
50,936′
y = −144443,573 m, x = −61935,473 m .
A ϕ és λ gömbi földrajzi koordináták számítása az y, x hengervetületi koordinátákból
két lépésben történik. Az elsı lépésben a (2.2.1.-4)-bıl kifejezzük ϕ′ -t, a (2.2.1.-3)-ból, vagy
a (2.2.1.-7)-ból pedig λ′ -t. A második lépésben a 2.2.1.-1. táblázat felhasználásával visszatérünk
az x g , y g , z g rendszerbe.
1. lépés:
⎛
ϕ′
= −⎜
2 ⋅ arctan
⎝
y
λ′
= − .
R
e R x
π ⎞
− ⎟,
2
⎠
(2.2.2.-1)
Aϕ′ elıjele negatív, mert növekedési iránya ellentétes az x növekedési irányával.

87
2. lépés:
′
ϕ
ϕ
g
x = x ⋅ cos
K
− z ⋅ sin
K
,
g
y = y′
,
′
ahonnan
Példa:
Továbbá:
′
ϕ
ϕ
g
z = x ⋅sin
K
+ z ⋅ cos
K
.
R ⋅ cosϕ
⋅ cos λ = R ⋅ cosϕ′
⋅ cos λ′
⋅ cosϕ
− R ⋅sinϕ′
⋅sinϕ
,
R ⋅ cosϕ
⋅ sin λ = R ⋅ cosϕ′⋅
sin λ′
y = −144443,573 m, x = −61935,473
m vetületi ko-
Ellenırizzük az elızı példában számított
ordinátákat!
′
g
( y′
= y ),
R ⋅ sinϕ
= R ⋅ cosϕ′
⋅ cos λ′
⋅sinϕ
+ R ⋅ sinϕ′⋅
cosϕ
,
sinϕ
= sinϕ′
⋅ cosϕ
+ cosϕ′⋅
cos λ′⋅
sinϕ
,
K
cosϕ′⋅
sin λ′
sin λ =
cosϕ
K
.
K
K
K
K
(2.2.2.-2)
(2.2.2.-3)
Helyettesítsük be elıször az x = −61935,473 m értéket a (2.2.2.-1) elsı, majd az
y = −144443,573 m értéket a (2.2.2.-1) második kifejezésébe, majd a kapott ϕ ′ és λ′
értékeket
a (2.2.2.-3) képletekbe.
A számításhoz használt programrészek a Függelék 2.2.2.-1. pontjában vannak.
Eredmények:
o
ϕ = 47
o 38′
25,3000 ′′ , λ = + 1 55′
32,8000′
.
2.2.3. A ferdetengelyő hengervetületek redukciói
2.2.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció
A hossztorzulási tényezı és hosszredukció számításánál itt is a lineármodulusra van
szükségünk. A 2.2.1. pontban láttuk, hogy az y tengely (a segédegyenlítı képe) mentén
a = b = 1, vagyis nincs hossztorzulás. A lineármodulus az ott elmondottak alapján az
képlettel fejezhetı ki, ahol ϕ′ a segédföldrajzi szélesség.
dd
1
l = =
(2.2.3.1.-1)
ds
cosϕ′
A 2.2.3.1.-1/a. ábrán a P’ pont a gömbön elemi kis mértékben a Q’, a 2.2.3.1.-1/b. ábrán a P
pont a vetületen elemi kis mértékben a Q pontba vándorol. Az ábrákból könnyen beláthatók
az alábbi összefüggések:
ϕ ′ =
ξ
,
R

88
1 1 dx
l = = = , ahonnan
cosϕ′
ξ dξ
cos
R
1
dx = l ⋅ dξ
= ⋅ dξ
.
ξ
cos
R
+y
R
O
φ'
Q’ ds
dξ
2.2.3.1.-1. ábra: Lineármodulus
a) gömb, b) vetület
ξ
A cos hatványsora, a 2. rendő tagokig bezárólag (pld. Bronstejn-Szemengyajev: Matematikai
zsebkönyv, 406.
R
old.):
2
1
ξ ξ
= cosϕ ′ = cos = 1−
+ ... (2.2.3.1.-2)
2
l
R 2 ⋅ R
A (2.2.3.1.-2)-bıl, a binomiális sor (uo., 405. old.) szerint
R
K
dy
P’
y
ξ
+y
a) b)
+x
+x
K
Q
dx
dd
τ δ
dy
y
x
P
1 1
=
ξ ξ
cos 1−
R 2 ⋅ R
2
ξ
= 1+
2 ⋅ R
+
2 2
2
...
(2.2.3.1.-3)
A (2.2.3.1.-3) képlet integrálja:
∫
dξ
ξ
cos
R
∫
2
⎛ ξ
⎜1+
⎝ 2 ⋅ R
3
⎞
⋅ ξ
⎟ dξ
= ξ +
⎠ 6 ⋅ R
= 2
2
. (2.2.3.1.-4)
3
ξ
Az x koordináta tehát a tagban különbözik a megfelelı gömbi ξ ívtıl. Ennek a nagysága
az y tengelytıl pld. 100 km-es távolság esetén mintegy 4,1 m. A ϕ′ -nek a (2.2.3.1.-2)
2
6 ⋅ R
képlet alapján számítható értékében mindössze ≈ 0 ,0005′′
eltérést okoz, ha ugyanebben az
összefüggésben a ξ-t x – szel helyettesítjük. Vagyis írhatjuk:

89
2
1
x
= cosϕ ′ = 1−
. (2.2.3.1.-5)
2
l
2 ⋅ R
Az
dd
l = -t helyettesítve, kapjuk:
ds
2
2
⎛ x ⎞
x
s = ⎜1−
dd
= dd
− ⋅ dd
2
2 R
⎟ ⋅
. (2.2.3.1.-6)
⎝ ⋅ ⎠ 2 ⋅ R
d 2
A (2.2.3.1.-6) második tagjában helyettesítsünk a 2.2.3.1.-1. ábra szerint
dx
dx
dd = = -t.
sinτ cosδ
Integrálás után:
2
3
1 x
1 x
s = d −
⋅ x = d −
⋅ + c
⋅ R
∫ d
. (2.2.3.1.-7)
2
2
2 cosδ
2 ⋅ R ⋅ cosδ
3
Számítsuk ki az integrál értékét az x
1
és az x2
határok között:
s
1
3 3
( x − x )
3 3
2 1 2 1
= d −
⋅
2 1
= d − ⋅ ⋅ ,
2
2
6 ⋅ R ⋅ cosδ12
6 ⋅ R x2
− x1
cosδ12
1
x
− x
x
− x
Az (1.2.1.4.-1) ábra és az elsı fıfeladat (1.2.1.3.-4) második képlete szerint
ezért
ill., a d-t kiemelve:
A hossztorzulásra az
1
s = d −
6 ⋅ R
2
x
⋅
x
3
2
2
3
− x1
− x
1
⋅ d ,
3 3
⎛ 1 x ⎞
2
− x1
s = d
⎜1−
⋅
⎟ .
2
⎝ 6 ⋅ R x2
− x1
⎠
d
x
− x
2 1
= ,
cosδ
12
2
2
( x + x ⋅ x x )
1
U = ⋅
2 1 1 2
+
2
(2.2.3.1.-8)
6 ⋅ R
jelölést bevezetve, a sztereografikus vetülethez hasonlóan a hossztorzulási tényezı az
d 1
m = = ≈ 1+
U , (2.1.3.1.-8)
s 1−U
a hosszredukció a
∆ s = d − s = U ⋅ s , (2.1.3.1. -9)

90
a hosszredukcióval korrigált távolság a
s = d + ∆s
(2.1.3.1.-10)
összefüggésekbıl adódnak (az utolsó három képlet számozása a 2.1.3.1. pont számozásával
azonos).
A (2.2.3.1.-8)-ból látszik, hogy a hossztorzulás csak az x koordinátától függ. Mivel U
pozitív, a hosszredukció is pozitív, azaz a ferdetengelyő hengervetületi távolságok is nagyobbak
a gömbi távolságoknál. Az y tengely mentén a hossztorzulás 0 - itt az alap- és a képfelület
egybeesik - attól távolodva a hossztorzulás az x tengely mentén nı.
A hossztorzulás mértéke az
x ≈ 90 km mellett éri el az
U
=
1
10000
A mért távolság környezetében a számításokat közelítı, vagy átlagos x
0
koordináta
bevezetésével itt is egyszerősíthetjük. A (2.2.3.1.-8) képlet ekkor az
-t.
U
2 2
2 2 2 3⋅
x0
x
( x ) 0
0
+ x0
+ x0
= =
2
2
1
= ⋅
(2.2.3.1.-9)
2
6 ⋅ R
6 ⋅ R 2 ⋅ R
alakot ölti. A hossztorzulás számításakor az x
0
koordinátát és a Gauss-gömb R sugarát elegendı
kerekítve, 0,1 km élességgel behelyettesíteni.
Példa:
Számítsuk ki az
s = 4282,506 m nagyságú gömbi távolság U hossztorzulását, a
∆s
hosszredukciót és a hosszredukcióval korrigált d távolságot az
az x = 82514,32
0
m koordinátájú pont környezetében!
y = -182623,15
0
m és
A hossztorzulás nem függ az y-tól. Az x
0
koordináta és a Gauss-gömb sugara 0,1 km élességgel:
Az eredmények:
x = 82,5 km , R = 6378,5 km .
0
U = 0,000083645,
∆s
= 0,358 m, d = s + ∆s
= 4282,864 m .
A hosszredukció itt is dm-es nagyságrendő, jóval meghaladja a távolságmérı mőszerek
pontosságát, ezért nem hanyagolhatjuk el.
2.2.3.2. Második irányredukció
A második irányredukció számításánál felhasználjuk, hogy a segédmeridiánok valódi
(pontonként vetített) képei a henger palástjának alkotói, tehát a vetületi koordinátarendszerben
az x tengellyel párhuzamos egyenesek. Ezekben az irányokban a vetületi síkon a második
irányredukció értéke 0. Az y tengellyel párhuzamosan a két irányredukció nagyságra egyenlı,
az összes többi irányban viszont ∆ ≠ ∆ . Fogadjuk el, hogy a gömbi pontokat összekötı
PQ
QP
gömbi ívek valódi képei homorú oldalukkal az y tengely felé néznek. Ez azt is jelenti, hogy a
segédegyenlítıt metszı gömbi körívek valódi képének az y tengelyben inflexiós pontjuk van.

91
Ez utóbbi esetben viszont elıfordulhat, hogy a két irányredukció egyenlı elıjelő (2.2.3.2.-1.
ábra).
Fogadjuk el a továbbiakban a sztereografikus vetületnél alkalmazott
T
ε = 2
⋅ ρ′
R
(1.2.2.12.-25)
közelítést, azaz a gömbi szögfölösleg képletében a gömbi háromszög F felületét helyettesítsük
a megfelelı vetületi háromszög T területével.
+y
K
+x
A 2.2.3.2.-2. ábrán a
felel meg. A gömbi
2.2.3.2.-1. ábra: Második irányredukció
Q
′ P′
T′
T gömbi idomnak a vetület síkjában a T
P Q
P Q
Q ′
QPT trapéz
Q P′
T′
T′
o
′
P
idom szögeinek összege 360 + ε , ahol ε az idomra vonatkozó
gömbi szögfölösleg 7 . A 2.2.3.2.-2/b. ábrán a
o
360 ∆
PQ
+ ∆
QP
+ .
QPT T P Q
(a QP görbe vonal) síkidom területe
A szögtartóság eredményeként a két idom szögeinek összege egyenlı, vagyis
vagy
o
o
360 = 360 + ∆
PQ
+ ∆
QP
+ ε ,
ε = ∆ + . (2.2.3.2.-1)
PQ
∆ QP
7 A legnagyobb gömbi körökkel határolt bármely idom gömbi háromszögekre bontható, s ezért az ε -ra a vonatkozó
képlet bármely idomra alkalmazható. Így pld. a Q ′ P′
T′
Q
és a P ′ T′
T′
P Q
gömbi háromszögekre
FQ
ε = 2
⋅ ρ′
és F
P
Q
ε = ⋅ ρ′
érvényes, ahonnan
P 2
R
R
FQ
+ FP
FQ′
P′
TP′
T′
ε = ε + ε = ⋅ ρ ′′ = ⋅ ρ ′
, illetve közelítéssel
Q P
2
2
R
R
TQ′
P′
TP′
T′
ε = ⋅ ρ ′
írható.
2
R

92
T′
Q
T′
P
+ y
T Q
T P
K
x Q
x P
Q’
P’ Q
∆ QP
a) b)
y Q
∆ PQ
δ PQ
P
y P
2.2.3.2.-2. ábra: Egymásnak megfelelı alakzatok
a) a gömbön, b) a vetületen
+ x
Figyelembe véve, hogy a
QPT trapéz területe könnyen beláthatóan
T P Q
valamint durva közelítéssel elfogadva, hogy
, a (1.2.2.12.-25) összefüggés alapján
írhatjuk:
Bevezetve az
jelölést, végül kapjuk:
( x + x ) ⋅ ( y − y )
Q
P
T = ,
2
∆
PQ
Q
=
∆
P
QP
( xQ
+ xP
) ⋅ ( yQ
− yP
) ρ
T ε = ⋅ ρ ′′ =
2
2 ⋅ ′′ és
R
2 ⋅ R
( xQ
+ xP
) ⋅ ( yQ
− yP
) ρ ′′
ε
∆
PQ
= ∆
QP
= =
2
2 4 ⋅ R
x
k
=
x
Q
( y − y )
+ x
2
P
xk
⋅
Q P
∆
PQ
= ∆
QP
=
⋅ ρ ′′ = a ⋅ xk
⋅ ( yQ
− yP
), (2.2.3.2.-2)
2
2 ⋅ R
ahol
′′
a = ρ .
2
2 ⋅ R
1. példa:
A P és Q pontok ferdetengelyő hengervetületi koordinátái:
y
P
= -182623,15 m , x
P
= 82514,32 m ; y = -193544,04
Q
m , x = 90442,82 m .
Q
Számítsuk ki a második irányredukciókat!
⋅
.

93
A számításhoz és a megjelenítéshez használt programrész a Függelék 2.2.3.2.-1. pontjában található.
Eredmények:
x
K
= 86478,570 m, ∆
PQ
= ∆
QP
= 2,3940 ′′ .
A második irányredukció elıjele a két pontnak a vetületi koordináta-rendszerbeli elhelyezkedésébıl
adódik (2.2.3.2.-1. ábra). A (2.2.3.2.-2) képlet a P pontbeli irányredukció értékét
adja meg elıjelhelyesen, a Q pontbeli irányredukció értéke ezzel ellentétes, ha az elıjel
megállapításánál az 1.2.2.12.-1. ábrából és az (1.2.2.12.-26) összefüggésbıl indulunk ki. Példánkban
y − y = −10920,
89, s ezért
Q
P
∆
PQ
= −2,3940′′
és ∆
QP
= + 2,3940 ′′ .
A (2.2.3.2.-2) képlet az y tengelytıl viszonylag távol és mintegy ~10 km-es távolság
alatt ad pontossági szempontból elfogadható eredményt, nagyobb távolságoknál és az y tengelyhez
közel (2.2.3.2.-1. ábra) az ellentétes irányredukciók eltérése már szögmásodperc
nagyságrendő.. A 2.2.3.2.-1. ábrából szemléletesen is belátható, hogy az y tengelyt ferdén
metszı vonaldaraboknál, szélsı esetben, ha az egyik végpont az y tengelyre esik, az ottani
irányredukció zérus, a másik végpontban pedig magával az ε szögfölösleggel egyenlı.
A gyakorlatban elıforduló esetekben kielégítı eredményt 8 adnak a
∆
∆
PQ
QP
= + a ⋅ x
= −a
⋅ x
k
k
⋅
⋅
( yQ
− yP
) − b ⋅ ( xQ
− xP
) ⋅ ( yQ
− yP
)
( y − y ) − b ⋅ ( x − x ) ⋅ ( y − y )
Q
P
Q
P
Q
P
és
a
(2.2.3.2.-3)
összefüggések (Hazay: Földi vetületek, 354. old.). A (2.2.3.2.-3) képletben – az eddigi jelöléseken
túl
ρ′′
b =
12 ⋅ R
A (2.2.3.2.-3) képletek szerkezetébıl látszik, hogy
képletek jobb oldalának második tagjában a két koordináta megegyezik:
2. példa:
2
.
∆ = ∆ csak akkor igaz, ha a
PQ
QP
x = x .
Az 1. példa adataival számítsuk ki a (2.2.3.2.-3) képlet szerinti második irányredukciókat:
Q
P
∆
∆
PQ
QP
= −2,3940
′′ − 0,0366′′
= −2,4306
′′
.
= + 2,3940 ′′ − 0,0366′′
= + 2,3574
3. példa:
A P és Q pontok ferdetengelyő hengervetületi koordinátái:
y
P
= -182623,15 m , x
P
= −12023,42 m ; y = -193544,04
Q
m , x +17425,08 m
Q
=
.
8 Hasonló esetre részletes levezetést találunk a Gauss-Krüger vetület második irányredukciójára a 4.1.5.2. pontban.

94
Számítsuk ki a második irányredukciókat!
∆
∆
PQ
QP
= −0,0748
′′ + 0,1359 ′′ = + 0,0611′′
.
= + 0,0748′′
+ 0,1359′′
= + 0,2107′′
Látjuk, hogy egy szélsı esethez közeli helyzetben az ellentétes irányredukciók abszolút értékre
különböznek, elıjelre viszont megegyeznek (2.2.3.2.-1. ábra).
2.2.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia
A vetületi meridiánkonvergencia a 2.2.1.-1. ábrán a P’ pontnál a P’ pont eredeti, valamint
segédmeridiánja által bezárt µ-vel jelölt kis szögérték. Csak ferdetengelyő hengervetületnél
jelentkezik, hiszen az eredeti és a segédmeridiánok normális elhelyezéső (a gömböt az
egyenlítı mentén érintı) hengervetületnél egybeesnek (1.2.2.11.-2. ábra).
+z’
λ′ (α)
É’
180 o − λ ( β )
ϕ
K
( c)
90 o − ϕ ( a)
90 o − ϕ′ ( b)
ϕ
K
( c)
+ z g λ( β )
É
90 o − ϕ ( a)
µ(γ) + x’
x g
P’
ϕ
K
z g
y g
ϕ′
φ
K
− λ′
− λ
+x g
y g ,y’
2.2.3.3.-1. ábra: A vetületi meridiánkonvergencia
A meridiánkonvergenciát vezessük le a gömbön, a szögtartóság miatt ez meg fog
egyezni a P’ pont vetületi P megfelelıjében lévı síkbeli meridiánkonvergenciával.
A számításhoz induljunk ki a (2.2.2.-2) összefüggések elsı két képletébıl. Egyszerősítve
R-rel:
cosϕ
⋅ cos λ = cosϕ′
⋅ cos λ′
⋅ cosϕ
− sinϕ′
⋅sinϕ
,
cosϕ
⋅ sin λ = cosϕ′
⋅ sin λ′
.
K
K
(2.2.3.3.-1)

95
Írjuk át ezeket az összefüggéseket a 2.2.3.3.-1. ábrán az É’ÉP’ gömbi háromszöghöz rendelt
(zárójelbe tett) jelölésekkel 9 :
sin a ⋅ cos β = −sin
b ⋅ cosα
⋅ cos c + cosb
⋅sin
c,
sina
⋅ sin β = sin b ⋅ sinα
.
(2.2.3.3.-2)
A (2.2.3.3.-2)-ben figyelembe vettük a tetszıleges szögek trigonometrikus függvényeire érvényes
összefüggéseket.
A gömbi trigonometria ismert ciklikus cseréjével 10 írhatjuk (mindkét összefüggésben a latin,
ill. a görög „ABC” szerint eggyel elıbbre lépünk):
sin b ⋅ cosγ
= −sin
c ⋅ cos β ⋅ cos a + cos c ⋅sin
a,
sin b ⋅sin
γ = sin c ⋅sin
β .
(2.2.3.3.-3)
Osszuk el a (2.2.3.3.-3) második összefüggését az elsıvel:
sin c ⋅sin
β
tanγ
=
. (2.2.3.3.-4)
cos c ⋅sin
a − sin c ⋅ cos a ⋅ cos β
Az a, b, c és az α , β,
γ helyére írjuk vissza az eredeti jelöléseinket! Ekkor a vetületi meridiánkonvergenciát
a földrajzi koordináták, ill. a vetületi kezdıpont földrajzi szélességének függvényében
az alábbi összefüggéssel fejezzük ki:
sinϕ
K
⋅sin
λ
tan µ = . (2.2.3.3.-5)
cosϕ
⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅sinϕ
⋅ cos λ
K
K
Fejezzük ki most a vetületi meridiánkonvergenciát az y, x vetületi koordináták függvényében.
A (2.2.1.-1) összefüggések elıtti képletsorból, R-rel való egyszerősítés után:
cosϕ′
⋅ cos λ′
= cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅ sinϕ
,
cosϕ′
⋅ sin λ′
= cosϕ
⋅sin
λ .
K
K
(2.2.3.3.-6)
A (2.2.3.3.-2) összefüggéshez hasonlóan írjuk át a (2.2.3.3.-5) képleteteket a 2.2.3.3.-1. ábra
zárójelben lévı jelöléseivel:
sin b ⋅ cosα
= −sin
a ⋅ cos β ⋅ cos c + cos a ⋅sin
c,
sinb
⋅sinα
= sin a ⋅ sin β .
(2.2.3.3.-7)
A fentihez hasonló ciklikus cserével (most eggyel hátra lépünk):
sin a ⋅ cosγ
= −sin
c ⋅ cosα
⋅ cosb
+ cos c ⋅ sin b,
sin a ⋅ sin γ = sin c ⋅sinα
,
(2.2.3.3.-8)
9 Az É’ÉP’gömbi háromszögben a λ és λ
′ földrajzi hosszúságokat pozitív elıjelőeknek tekintjük. Ez egyenértékő
azzal, hogy a P’ pont – az ábrától eltérıen - a kezdı-meridiántól nem nyugatra, hanem keletre helyezkedik
el.
10 Ez olyan, mint a síkbeli háromszögek cosinus, ill. sinus tételeiben szereplı mennyiségek ciklikus cseréje.

96
ahonnan
sin c ⋅ sinα
tanγ =
. (2.2.3.3.-9)
cos c ⋅sin
b − sin c ⋅ cosα
⋅ cosb
Helyettesítsük vissza az eredeti jelöléseket:
sinϕ
λ′
K
⋅ sin
tan µ =
. (2.2.3.3.-10)
cosϕ
⋅ cosϕ′
− sinϕ
⋅ cos λ′
⋅sinϕ′
K
Osszuk el a (2.2.3.3.-10) jobb oldalának számlálóját és nevezıjét sinϕ
K
-val:
K
sin λ′
tan µ =
. (2.2.3.3.-11)
cotϕ
⋅ cosϕ′
− cos λ′
⋅ cosϕ′
Osszuk el a számlálót és nevezıt cosϕ′
-vel:
De a (2.2.2.-1) inverz vetületi egyenletek
K
1
⋅ sin λ′
cosϕ′
tan µ =
. (2.2.3.3.-12)
cotϕ
− cos λ′
⋅ tanϕ′
K
második egyenletébıl
Továbbá, az
λ ′ = −
y
R
⎛ y ⎞
sin λ ′ = sin⎜
− ⎟ = -sin
⎝ R ⎠
⎛ y ⎞
cos λ ′ = cos⎜
− ⎟ = cos
⎝ R ⎠
y
R
y
R
. (2.2.3.3.-13)
R 1+
sinϕ′
x = − ⋅ ln
(2.2.1.-6)
2 1−
sinϕ′
képletbıl az „area” függvények figyelembevételével (pld. Bronstejn-Szemengyajev, 1963,
244. old.):
De, egyrészt
−
x
R
=
1 1+
sinϕ′
⋅ ln = Ar th sinϕ′
.
2 1−
sinϕ′
sinϕ′
Ar th sinϕ′ = Ar sh
= Ar sh tanϕ′
= −
2
1−
sin ϕ′
x
R
,
ahonnan

97
másrészt
ahonnan
Ar th sinϕ′
= Ar ch
⎛ x ⎞ x
tan ϕ ′ = sh⎜
− ⎟ = −sh
, (2.2.3.3.-14)
⎝ R ⎠ R
1
1−
sin
1 ⎛ = ch⎜
−
cosϕ′
⎝
2
x
R
= Ar ch
ϕ′
⎞
⎟ = ch
⎠
x
R
1
cos
ϕ′
x
= −
R
. (2.2.3.3.-15)
,
Végül, visszahelyettesítve a (2.2.3.3.-12)-be és tekintettel a (2.2.3.3.-13) és a (2.2.3.3.-14) elıjeleire:
A (2.2.3.3.-15) képletben
x y
ch ⋅ sin
tan µ = −
R R
. (2.2.3.3.-15)
x y
cotϕ
K
+ sh ⋅ cos
R R
Példa:
sh
x
R
x
R
x
−
x
−
R
R
e − e x e + e
= , ch = .
2 R 2
x
R
A ferdetengelyő hengervetület középsı rendszerében (HKR) a P pont koordinátái:
y = −144443,574 m, x = −61935,475 m .
Számítsuk ki a vetületi meridiánkonvergenciát! A kezdıpont földrajzi szélessége
ϕ 47 o K
= 06′
00 ′′ , a Gauss-gömb sugara R = 6378512,966 m .
A számításhoz és kijelzéshez használt programrészt a Függelék 2.2.3.3.-1. pontjában találjuk.
Eredmény:
= + 1 o 24′
38,3697 ′′
µ .
Az elıjel pozitív, hiszen pontunk a kezdı-meridiántól keletre helyezkedik el.
2.2.4. A ferdetengelyő hengervetületek szelvényhálózatai
Hasonlóan a sztereografikus vetület szelvényhálózataihoz, a hengervetületeknél is öl
és méter rendszerő szelvénybeosztást különböztetünk meg. A méter rendszerő szelvénybeosztás
teljes mértékben megegyezik a sztereografikus vetület méteres szelvénybeosztásával
(2.1.4.-2. ábra). Az öl rendszerő beosztás hasonlít a sztereografikus vetület öl rendszerő szelvényhálózatához,
azzal a különbséggel, hogy a négyzetmérföldek számozása olyan, mint a
méter rendszerő beosztásé (2.2.4.-1. ábra).
A 2.2.4.-1. ábrán jelzett kataszteri szelvény száma e szerint a számozás szerint
D.N.I.2.b.h. A kisbetős jelölések minden síknegyedben az ábécé sorrendjében a délnyugati
síknegyedhez hasonlóan követik egymást.

98
2.
II. I. I. II.
N.o.
(nyugati
oszlop)
K.o.
(keleti
oszlop)
+ y
1.
1.
2.
e
f
g
h
i
É.N.
D.N.
K
d c b a
É.K.
D.K.
+ x
2.2.4.-1. ábra: A ferde tengelyő hengervetületek öl rendszerő szelvényhálózata
2.3. Egységes Országos Vetület
Részben a többfajta vetületi rendszer (eddig még nem szóltunk a Gauss-Krüger vetületi
rendszerő katonai topográfiai térképekrıl) polgári célú egységesítése, részben pedig a miatt,
hogy a hossztorzulás értéke az ország egész területén minél kisebb mértékben térjen el az
1
-tıl, 1975-ben polgári célokra új vetületi rendszert vezettek be, az Egységes Országos
10000
Vetületet, rövidítve, az EOV-t. Vonatkoztatási ellipszoidja az IUGG/1967 ellipszoid.
Az EOV az eddig tárgyalt vetületektıl – egyebek mellett – abban is különbözik, hogy
a szelvényezés rendszere (Egységes Országos Térképrendszer – EOTR) a kis méretarányoktól
kezdve a legnagyobb méretarányig számozásban is egységesen átfogja az eddig tárgyalt térképfajtákat.
Az egységesítési törekvés egészen természetes, ha meggondoljuk, hogy 1975-ig és
még jóval utána is, az ország különbözı területeirıl különbözı vetülető és szelvényezési
rendszerő térképek álltak rendelkezésre. Ez folyamatosan megkövetelte az egyes vetületi
rendszerek közötti – a számítástechnika akkori szintje mellett – kényelmetlen átszámításokat.
Természetes törekvés volt az is, hogy a polgári térképészet igyekezett elszakadni a katonaitól,
nem utolsó sorban utóbbi akkori szigorú titkossága miatt. Az egységesítés célja volt továbbá,
hogy mind a földmérési, mind a topográfiai alaptérképek vetületi rendszere és szelvényhálózata
azonos legyen, eltérıen attól a helyzettıl, hogy a sztereografikus és hengervetületi rendszerek
elsısorban a földmérési, míg a Gauss-Krüger vetületi rendszer (4.1. pont) a topográfiai
térképek vetülete volt (beleértve az 1:10000 méretarányú budapesti sztereografikus rendszer
koordináta vonalaival ellátott Gauss-Krüger vetülető topográfiai térképeket).
Fentiek mellett komoly szakmai érv volt a hossztorzulás értékének csökkentése az ország
egész területén. A hossztorzulásra megkívánt -es határ komoly kötöttséget jelent a
10000
1
vetületek alkalmazhatóságát illetıen, hiszen ezt a sztereografikus vetületnél a kezdıpont körüli
127 km-es sugarú kör, a ferdetengelyő hengervetületeknél pedig az y tengelytıl két irányban
90-90 km-es sáv maximálta. E mellett a szögtartó sztereografikus és hengervetületeknél a

99
torzulásmentes helytıl eltekintve a képfelületi hosszak mindig nagyobbak, mint az alapfelületiek.
~37,77 km
Gellérthegy
~75,48 km
47 o 06’
2.3.-1. ábra: EOV - ferde tengelyő, redukált hengervetület
A bemutatott módszerrel az EOV-ben egész Magyarország területe egy (ferde tengelyő)
hengervetületi sávon ábrázolható anélkül, hogy a hossztorzulás értéke az x tengely mentén
az értéket meghaladná. Ezt azzal érték el, hogy a képfelület metszı, vagy süllyesz-
10000
1
tett henger (1.2.2.11.-3. ábra), amely 2 párhuzamos gömbi körben metszi a Gauss-gömböt. A
két gömbi kör között a hossztorzulás negatív, a gömbi körökön kívül pozitív irányú, a körökön
pedig zérus (1.2.2.12. pont, 1.2.2.12.-3. ábra). Fentiek miatt az EOV-t redukált hengervetületnek
is nevezik. A henger elhelyezkedése megegyezik a HKR rendszer elhelyezkedésével.
A kezdı-meridián áthalad a Gellérthegy nevő felsırendő alapponton, de utóbbi – a hengervetület
középsı rendszeréhez hasonlóan – nem azonos a vetület kezdıpontjával.
A vetület az 1.2.2.11. pontban tárgyalt csoportosítási szempontok szerint valódi, sülylyesztett,
ferdetengelyő hengervetület. A vetület szögtartó, a – sztereografikus és ferdetengelyő
hengervetületekhez hasonlóan - a vetítés kettıs, elıször az ellipszoidról a Gauss-gömbre,
majd a Gauss-gömbrıl a gömböt két gömbi kör mentén metszı hengerre történik a vetítés. A
Gauss-gömb sugara a ferdetengelyő hengervetületektıl eltér:
R = 6379743,001m .
A vetületi kezdıpont ellipszoidi földrajzi koordinátái:
Gauss-gömbi koordinátái:
o
o
Φ
K
= 47 08′
39,8174 ′′ és ΛK
= 19 02′
54,8584 ′′ ,
o
o
ϕ
K
= 47 06′
00,0000 ′′ és λK
= 0 00′
00,0000′
.
A Gauss-gömb a ϕ = 47 o 07′
20,0578
′′ gömbi földrajzi szélességő pontjában (ellipszoidi
földrajzi szélessége Φ = 47 o 10′
00,0000′
) simul az ellipszoidhoz, ami nem egyezik meg a vetületi
kezdıpont földrajzi szélességével.

100
2.3.1. Vetületi egyenletek
ϕ ′, λ′
segédföldrajzi koordináták számítására a (2.2.1.-1) összefüggések érvényesek.
A
A süllyesztés az EOV vetületi egyenleteit az
x = m
⋅ f
( ϕ,
λ)
( ϕ,
λ)
y = m0 ⋅ f ,
0
y
x
(1.2.1.4.-2a)
képletek szerint módosítja (1.2.1.4. pont), ahol m0
a redukálás mértéke. Az EOV esetében
m = 0,99993 . A λ
0
ϕ , gömbi földrajzi koordináták.
Az Egységes Országos Vetület vetületi egyenleteit a ferdetengelyő hengervetületek
(2.2.1.-3), (2.2.1.-5) – (2.2.1.-7) vetületi egyenleteibıl származtatjuk. Mivel az EOV – a ferdetengelyő
hengervetületektıl eltérıen - északkeleti tájékozású, a vetületi egyenletek jobboldalai
pozitív elıjelőek:
y = m0 ⋅ R ⋅ λ′
(2.3.1.-1)
vagy, ha λ′ szögfokban adott:
valamint
vagy
λ′
y = m0
⋅ R ⋅ ,
o
ρ
(2.3.1.-2)
⎛ ϕ′
π ⎞
x = m0
⋅ R ⋅ ln tan⎜
+ ⎟ ,
⎝ 2 4 ⎠
(2.3.1.-3)
R 1+
sinϕ′
x = m0
⋅ ⋅ ln .
2 1−
sinϕ′
(2.3.1.-4)
A fenti képletekben a ϕ′ a segédföldrajzi szélesség, a λ′ a segédföldrajzi hosszúság. A segédegyenlítı
segédföldrajzi szélessége ϕ ′ = 0 . A henger a Gauss-gömbbıl az
r
m
m
( −ϕ
)
= R ⋅cos
ϕ ′ = R ⋅cos
′
sugarú, a 2.3.2. pontban számított ϕ és ϕ
É D
gömbi földrajzi szélességő gömbi köröket metszi
ki (2.3.1.-1. ábra).
m

101
+x
r m
+y
r m
ϕ = 47 o 46′
41′
É
ϕ′
m
R
ϕ 47 o K
= 06′
K
φ K
γ
s′
e
s e
ϕ 46 o D
= 25′
19′
Segédegyenlítı
2.3.1.-1. ábra: A redukált hengervetület az r m sugarú gömböt érinti
A süllyesztés következtében a Gauss-gömb egy r
m
sugarú gömbbé „redukálódik”, innen
a „redukált hengervetület” elnevezés. A segédegyenlítı egy tetszıleges se
íve az r m
sugarú
gömbön rövidül. A 2.3.1.-1. ábrából beláthatóan
s e
= R ⋅γ , (2.3.1.-5)
s′ = r ⋅γ = R ⋅ cos ϕ′
⋅γ
= s ⋅ cosϕ′
.
e
m
m
A cosϕ ′
m
értéke a ϕ ′m
= 0 eset kivételével mindig kisebb 1-nél, tehát valóban rövidülés következik
be.
A gyakorlati számítások egyszerősítése érdekében a koordináta-tengelyeket a vetület
síkjában önmagukkal párhuzamosan eltolták úgy, hogy az ország egész területén minden koordináta
pozitív legyen. Az eltolás mértékét úgy választották meg, hogy a koordinátákat ne
lehessen felcserélni, az X koordináta mindig kisebb, az Y koordináta mindig nagyobb, mint
400000 m.
A vetületi koordináták és a koordinátatengelyek eltolásával nyert koordináták közötti
összefüggések az alábbiak:
Y = y + 650000 m,
(2.3.1.-6)
X = x + 200000 m,
vagyis az x tengely nyugatra 650 km-rel, az y tengely pedig dél felé 200 km-rel van eltolva.
e
m

102
Példa:
Számítsuk ki a ϕ = 47 o 17′
27,49242′
Gauss-gömbi földrajzi szélességő és a
λ = −2 o 11′
33,13712 ′′ földrajzi hosszúságú P’ pont EOV koordinátáit! A kezdıpont földrajzi
szélessége ϕ 47 o K
= 06′
00
′′ , a Gauss-gömb sugara R = 6379743,001 m .
A segédföldrajzi koordináták a (2.2.1.-1) képletekbıl az alábbiak:
o
ϕ ′ = 0
o 12′
42,52209 ′′ , λ′
= -1 29′
13,05233′
.
Az eredeti EOV koordináták számíthatók a (2.3.1.-2) és a (2.3.1.-3) képletekbıl:
y = - 165557,61m, x = 23583,110 m .
Az eltolt EOV koordináták:
Y = 484442,394 m, X = 223583,110 m .
2.3.2. A metszı gömbi körök és a Gellérthegy pont elhelyezése
Legyen a továbbiakban
m cosϕ ′ 0,99993 .
0
=
m
=
Innen a metszı gömbi körök földrajzi szélességei:
ϕ
′
m m
= −ϕ′
= 0 o 40′
40,57234 ′′ .
A kezdıpont gömbi földrajzi szélessége ϕ = 47 o 06
, ezért a kezdıponttól északra lévı gömbi
kör (2.3.1.-1. ábra) földrajzi szélessége:
K
′
o o
o
ϕ = 47 06′
+ 0 40′
40,57234′′
= 47 46′
40,5723′
,
É
′
a délre lévıé pedig:
o o
o
ϕ
D
= 47 06′
− 0 40′
40,57234 ′′ = 46 25′
19,4277 ′′ .
A metszı gömbi körök vetületi kezdıponttól számított távolsága a gömbön
o
ϕ′
0 40′
40,57234 ′′
s =
D
= ⋅ = 6379743,001⋅
= 75486,578 m
É s R m
o
o
,
ρ
57,29578
ahol
180 = = 57,29578
π
o
o
o
ρ és
x
o
⎛ 0 40′
40,57234 ′′
,99993⋅
6379743,001⋅
ln tan
⎜
⎝ 2 ⋅ ρ
π ⎞
+
4
⎟
⎠
= xD
= 0 =
É o
75483,054 m

103
a vetületen, vagyis a gömbi ívnél rövidebb, amint az a 2.3.1.-1. ábráról szemléletesen is belátható.
A Gellérthegy nevő alappont gömbi földrajzi szélessége az EOV Gauss-gömbjén
ϕ 47 o G
= 26′
32,05074′
11 . Innen a vetületi kezdıpont távolsága a Gellérthegytıl délre a
(2.3.1.-5) képlet szerint
s
a gömbön és
x
o
ϕ −ϕ
0 20′
32,05074′′
= 6379743,001⋅
o
ρ
57,29578
G K
G
= R ⋅
=
o
o
⎛ 0 20′
32,05074 ′′
,99993⋅
6379743,001⋅
ln tan
⎜
⎝ 2 ⋅ ρ
π ⎞
+
4
⎟
⎠
G
= 0 =
o
38107,165 m
a (2.3.1.-3) szerint a vetületen. A fenti méreteket a 2.3.-1. ábrán láthatjuk.
2.3.3. Inverz vetületi egyenletek
38104,725 m
Az inverz vetületi egyenletekbe helyettesítés elıtt elıbb az eltolt koordinátarendszerrıl
vissza kell térnünk az eredeti vetületi koordinátákra:
y = Y − 650000 m,
x = X − 200000 m.
(2.3.3.-1)
A (2.3.1.-1)-bıl a λ′ -t, a (2.3.1.-3)-ból a ϕ ′-t kifejezve, az inverz vetületi egyenletek
az alábbiak:
és
y
λ ′ =
(2.3.3.-2)
m ⋅ R
0
x
m
0⋅R
π
ϕ′
= 2 ⋅ arctan e − . (2.3.3.-3)
2
A Gauss-gömbi ϕ földrajzi szélesség és λ földrajzi hosszúság itt is a (2.2.2.-3) összefüggések
szerint a segédföldrajzi koordinátákból számíthatók.
Példa:
Számítsuk ki az Y = 484442,394 m, X = 223583,110 m EOV koordinátájú P pont Gaussgömbi
földrajzi koordinátáit!
Az eredeti EOV koordináták a (2.3.3.-1) képlet szerint:
y = - 165557,61m, x = 23583,110 m .
A segédföldrajzi koordináták a (2.3.3.-2) és a (2.3.3.-3) szerint:
11 A
G
ϕ az EOV Gauss-gömbjén a = 47 o 29′
13,7535′
számítható.
Φ IUGG/1967 ellipszoidi földrajzi szélességbıl
G

104
o
ϕ ′ = 0
o 12′
42,52209 ′′ , λ′
= -1 29′
13,05233′
.
A Gauss-gömbi földrajzi koordináták a (2.2.2.-3) összefüggések szerint:
o
ϕ = 47
o 17′
27,49242 ′′ , λ = −2
11′
33,13712 ′
.
Visszakaptuk az elızı példa kiinduló adatait.
2.3.4. A Egységes Országos Vetület redukciói
2.3.4.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció
Az m0
-nak megfelelıen módosul az
lineármodulus és annak
reciproka az alábbiak szerint:
dd
1
l = =
(2.2.3.1.-1)
ds
cosϕ′
2
1
x
= cosϕ ′ = 1−
(2.2.3.1.-5)
2
l
2 ⋅ R
m0
l = , (2.3.4.1.-1)
cos ϕ ′
1
l
cosϕ′
1
=
m m
2
⎛ x
⋅
⎜1−
⎝ 2 ⋅ r
⎞ 1
⎟ =
⎠ m
⎛
⋅
⎜1−
⎝
x
2
⋅ m
=
2
2
0 0
m 0 2
0
⋅ R
2
⎞
⎟ . (2.3.4.1.-2)
⎠
A ferdetengelyő hengervetületekre érvényes (2.2.3.1.-8) képletbıl kiindulva, a hossztorzulás
a redukált gömbön
2
m
2
2 1
2
2
( x + x ⋅ x + x ) = ⋅ ( x + x ⋅ x + x )
1
U ′ = ⋅
1 1 2 2
2 1 1 2 2
,
6 ⋅ r
6 ⋅ m ⋅ R
2
0
mert
r ϕ′
m
= R ⋅ cos
m
és = cos
m
m ϕ ′
0
. Az
U = m 0
⋅U
′
(1.2.2.12.-12)
összefüggést figyelembe véve:
azaz az EOV hossztorzulása
A hossztorzulási tényezı
2
0
2
2
( x + x ⋅ x x )
1
U = m0
⋅ ⋅
2 1 1 2
+
2
,
6 ⋅ m ⋅ R
0
2
2
( x + x ⋅ x x )
U = 1
⋅
2 1 1 2 2
6 ⋅ m ⋅ R
+ . (2.3.4.1.-3)

105
d
m = = m0 + U , (1.2.2.12.-10)
s
a hosszredukció pedig az 1.2.2.12. pont (1.2.2.12.-17) képlete szerint
∆ s = d − s = ( m0 −1+
U ) ⋅ s . (2.3.4.1.-4)
Az y tengelyen a hossztorzulási tényezı értéke m
0
= 0,
99993 , 1-nél kisebb, a hosszredukció
negatív. Egy, az y tengely mentén 1 km-es távolság a fenti összefüggés szerint a
∆s
= ( m0 −1)
⋅ s = −0,00007
⋅100000 cm = − 7 cm
értékkel rövidül (az y tengely mentén U = 0).
A hossztorzulás, ill. a hosszredukció csak az x-tıl függ, az y tengelytıl észak és dél
felé távolodva a hossztorzulási tényezı értéke közeledik 1-hez, ill. a hosszredukció értéke a
zérushoz, majd a metszı gömbi körökben, ahol az alap- és a képfelület egybeesnek, 1-gyel,
ill. zérussal egyenlık. Tovább távolodva észak, ill. dél felé, a hossztorzulási tényezı értéke 1-
nél nagyobbá, a hosszredukció pedig pozitívvé válik. A hossztorzulás még így is nagy területen
jelentısen meghaladja az értéket, leginkább Baranya megye déli és Borsod-Abaúj-
1
10000
Zemplén megye északi részén.
2.3.4.2. Második irányredukció és vetületi meridiánkonvergencia
A második irányredukciót és a vetületi meridiánkonvergenciát a ferdetengelyő hengervetületeknél
megismert módon számítjuk (2.2.3.2 és 2.2.3.3. pontok).
A második irányredukciók számíthatók a ferdetengelyő hengervetületeknél megismert
∆
∆
PQ
QP
= + a ⋅ x
= −a
⋅ x
k
k
⋅
⋅
( yQ
− yP
) − b ⋅ ( xQ
− xP
) ⋅ ( yQ
− yP
)
( y − y ) − b ⋅ ( x − x ) ⋅ ( y − y )
Q
P
Q
P
Q
P
és
a
(2.2.3.2.-3)
összefüggésekbıl, azzal a különbséggel, hogy az a és b együtthatókban az m
0
tényezıt figyelembe
kell venni az alábbiak szerint:
a =
ρ ′′
2
2 ⋅ m ⋅ R
0
2
= 2,5342506 ⋅10
-9
"
,
m
ρ ′′
b =
2
12 ⋅ m ⋅ R
0
2
= 4,2237510 ⋅10
-10
"
.
m
Az a és b együtthatókban szereplı állandók:
ρ ′′ = 206264,8
′′ ; R = 6379743,001m; m = 0
0,99993 .
A vetületi meridián-konvergencia földrajzi koordinátákból való számítását csak a henger
elhelyezkedése befolyásolja, mérete nem, a vetületi koordinátákból történı számításkor
viszont figyelembe kell venni a redukálás m
0
mértékét. Ezért a (2.2.3.3.-15) összefüggésnek
megfelelı, az EOV-re használható alábbi képletben az R helyett = m 0
⋅ R helyettesítendı:
r m

106
x y
ch ⋅ sin
m0
⋅ R m0
⋅ R
tan µ =
. (2.3.4.2.-1)
x y
cotϕ
K
− sh ⋅ cos
m ⋅ R m ⋅ R
0
Az összefüggés levezetése megegyezik a (2.2.3.3.-15) levezetésével. A számlálóban és
a nevezıben jelentkezı elıjelváltás oka, hogy – a ferdetengelyő hengervetületekkel ellentétben
– az EOV, mint láttuk, északkeleti tájékozású.
1. példa:
o o
Számítsuk ki a ϕ = 47 17′
27,49242′′
, λ = −2
11′
33,1371 2 ′′ Gauss-gömbi földrajzi koordinátájú
pontban a vetületi meridiánkonvergenciát!
sinϕ
K
⋅sin
λ
tan µ = . (2.2.3.3.-5)
cosϕ
⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅sinϕ
⋅ cos λ
K
Behelyettesítve a (2.2.3.3.-5)-be, ϕ 47 o K
= 06′
00,00000
′′ mellett kapjuk:
2. példa:
µ = -1 o 36′
21,44697′
.
Számítsuk ki a P pontból a Q pont felé menı irányra mindkét végpontban a második irányredukciót
és a hossztorzulási tényezıt!
A P pont eltolt EOV koordinátái:
A Q pont eltolt EOV koordinátái:
Y
P
= 484442,394 m, X
P
= 223583,110 m .
Y = 02904,530 m, X 248071,890 m .
Q
5
Q
=
Az eredeti EOV koordináták a (2.3.3.-1) képlet szerint:
A második irányredukciók:
A hossztorzulás:
A hossztorzulási tényezı:
y = 165557,606 m, x 23583,110 m ,
P
-
P
=
y = 147095,470 m, x 48071,890 m .
Q
-
Q
=
∆
PQ
= + 1,48532
′′ , ∆
PQ
= -1,86725′
.
K
U = 0,0000163838 .
0

107
m = 0,9999463838 .
A számítást a Függelék 2.3.4.2.-1. pontja alatti VisualBasic programrészekkel végeztük.
2.3.5. Az Egységes Országos Vetület szelvényhálózata
Az Egységes Országos Térképrendszer (EOTR) szelvényezésének alapját az y irányban
48000 m, az x irányban pedig 32000 m nagyságú 1:100000 méretarányú szelvények képezik.
A 2.3.5.-1. ábrán látható, hogy az 1:100000 méretarányú szelvények száma a szelvénysorok,
illetve a szelvényoszlopok 0-tól induló sorszámaiból tevıdik össze. Az ábra sarokpontjainak
koordinátái a koordinátarendszer eltolása miatt:
X
Y
alsó
bal
= 32000 m,
= 384000 m, Y
X
jobb
felsı
= 384000 m,
= 960000 m.
384000 m
107
108 109
96
97 98 99
910
82
85
86
87
88
89
810
811
71
72 73 74
75
76
77
78
79
710
711
x
61 62 63 64 65
66
67 68
69
610
51 52 53 54 55
56
57
57
57
40 41
42
43
44
45
46
47 48 49
31
32
33
34
35
36
37 38
39
21 22
23
24
25
26
27
28
29
12
13
14
15
16
17
18
32000 m
03 04 05
384000 m y
960000 m
2.3.5.-1. ábra: Az EOTR szelvényhálózata. Az 1:100000 méretarányú szelvények
Az 1:100000 méretarányú szelvényekbıl az 1:50000, 1:25000 és 1:10000 méretaránysor térképlapjait
mindig a sor 1-gyel lejjebb lévı méretarányú szelvényébıl, annak negyedelésével
kapjuk (2.3.5.-2/a. ábra). A szelvények számozása az ábrából követhetı nyomon. Az 1:10000
méretarányú szelvények számozására példát 2.3.5.-2/b. ábrán látunk. Az 1:10000 méretarányú
szelvények további negyedelésével jutunk el az 1:4000 és 1:2000 méretarányú szelvényeken
át az 1:1000 méretarányú szelvényhez. Ennek méretét és számozását a 2.3.5.-2/c. ábrán láthatjuk.
Az 1:100000, az 1:50000 és az 1:25000 méretarányú szelvények lapmérete megegyezik,
48 cm ⋅ 32 cm , hiszen a méretek felezıdnek, a méretarány pedig kétszerezıdik. Az
1:25000 méretarányról az 1:10000 méretarányra való áttérésnél a méretek felezıdnek, de a
méretarány két és félszeresére nı, s így az 1:10000 méretarányú térkép lapmérete:
[ 48 ( 2,5 : 2)
= 60 cm] ⋅[ 32 ⋅ ( 2,5 : 2)
= 40 cm]
⋅ .

108
Hasonló a helyzet az 1:10000 méretarányról az 1:4000 méretarányra való áttérésnél:
60 ⋅ ( 2,5 : 2) = 75 cm és 40 ⋅ ( 2,5 : 2) = 50 cm . Az 1:2000 és 1:1000 méretarányú lapok lapmérete
ugyanez. Magyarországon EOTR szelvényezésben 1:100000, 1:25000 és 1:10000 méretarányú
topográfiai térképek készülnek, 1:50000 méretarányú térkép EOTR szelvényezésben
nem készül. A nagyobb méretarányú földmérési alaptérképeket ma már kizárólag EOTR szelvényezésben
készítik.
63
63-234
M=1:100000
M=1:10000
32000 m
1
3
48000 m
1 2
2
3 4
4
4000 m
1
1 2
3 4
3 4
500 m
6000 m 750 m
63-234-442
M=1:1000
a) b)
750 m
75 cm
500 m 50 cm
c)
2.3.5.-2. ábra: Az EOTR különbözı méretarányú szelvényei
a) 1:10000, b) 1:10000, c) 1:1000

109
3. Gauss-féle szögtartó gömbi vetület
E fejezetben a Gauss-féle gömbi vetület számítási összefüggéseit és tulajdonságait ismertetjük.
Az ellipszoidról a gömbre vetítés történhet szögtartó vagy területtartó módon, vagy
úgy, hogy vagy a meridiánok, vagy a szélességi körök hossztartóak legyenek.
A magyarországi sztereografikus, ferdetengelyő hengervetületeknél, valamint az Egységes
Országos Vetületnél a kettıs vetítés elsı lépéseként az ellipszoidról a gömbre történı
vetítés szögtartó, vagyis a lineármodulus értéke a vetületi fıirányokban megegyezik. Ha a két
egymásra merıleges vetületi fıirány egybeesik a szélességi körök és meridiánok irányával,
úgy ezt az
l
( )
= lΛ
l ϕ
l λ
(3.-1)
Φ
=
feltétel fejezi ki. Jelöléseink továbbra is – mint az eddigiekben – az alábbiak:
Φ - ellipszoidi földrajzi szélesség,
Λ - ellipszoidi földrajzi hosszúság,
ϕ - gömbi földrajzi szélesség,
λ - gömbi földrajzi hosszúság.
3.1. Vetületi egyenletek
Az ellipszoidról a gömbre történı vetítés vetületi egyenletei általános esetben:
Feltételek a vetületi egyenletekre:
ϕ = f ϕ
λ =
f
λ
( Φ,Λ)
,
( Φ,Λ).
(3.1-1)
− a Φ és Λ változási határai között minden valós Φ és Λ értéknek valós ϕ és λ értékek feleljenek
meg,
− az ellipszoidi meridiánokat gömbi meridiánokkal, az ellipszoidi szélességi köröket gömbi
szélességi körökkel ábrázoljuk.
Ellipszoid
dΛ
P
Gömb
d λ
P g
C
B
B g
A A g
3.1.-1. ábra: A gömbi vetület
C g

110
Az utóbbi feltétel a (3.1.-1) egyenleteket a következıkben módosítja:
ϕ = h ϕ
λ = h
λ
( )
Φ ,
( Λ),
(3.1.-2.)
vagyis a gömbi szélesség csak az ellipszoidi szélesség, a gömbi hosszúság csak az ellipszoidi
hosszúság függvénye.
Határozzuk meg a (3.1.-2) függvényeket!
Vegyünk fel az ellipszoid felületén egy A, valamint egy hozzá végtelen közel fekvı B pontot
(3.1.-1. ábra). Az ellipszoidi pontok gömbi megfelelıi legyenek A g és B g . Legyenek az A
pont ellipszoidi földrajzi koordinátái Φ és Λ , a B ponté Φ + dΦ és Λ + dΛ , az A g pont gömbi
földrajzi koordinátái ϕ és λ , a B g ponté ϕ + d ϕ és λ + dλ
. BC a B pont végtelen kis szélességi
körének végtelen kis íve az ellipszoidon, B g C g ugyanaz a gömbön. A lineármodulus a
meridián mentén az
l Λ
A
g C
=
AC
a földrajzi szélességi kör irányában az
g
R ⋅ dϕ = , (3.1.-3)
M ⋅ dΦ
l Φ
=
B
g C
BC
g
=
R ⋅ cosϕ
⋅ dλ
N ⋅ cosΦ
⋅ dΛ
(3.1.-4)
összefüggésekkel fejezhetı ki, ahol R a földgömb (a Gauss-gömb) sugara, M az ellipszoid meridián
irányú görbületi sugara, N a harántgörbületi sugár és az (1.2.2.1.-4) képletbıl
N ⋅ cos Φ = r a B pont szélességi körének sugara az ellipszoidon, R ⋅ cosϕ
a gömbön. A vetítés
szögtartó, ha
l
Φ
= l
Λ
=
R ⋅ dϕ
=
M ⋅ dΦ
R ⋅ cosϕ
⋅ dλ
,
N ⋅ cosΦ
⋅ dΛ
(3.1.-5)
ahonnan
dϕ
=
cosϕ
M
N
dΦ
dλ
⋅ ⋅ . (3.1.-6)
cosΦ
dΛ
A (3.1.-2.) összefüggés szerint viszont φ csak Φ-tıl, λ csak Λ-tól függ, következésképpen a
dλ
elsı derivált konstans. Vezessük be az
dΛ
jelölést, ekkor integrálás után kapjuk:
dλ
n =
dΛ
λ = n ⋅ Λ + c , (3.1.-7)
ahol c az integrálási állandó.

111
Ha az ellipszoidi és a gömbi földrajzi hosszúságokra vonatkozó kezdı-meridiánok megegyeznek,
úgy a kezdı-meridiánra λ = Λ = 0 , ezért c = 0 és (3.1.-7) egyenlet
λ = n ⋅ Λ
(3.1.-8)
alakú lesz, ellenkezı esetben a c integrálási állandó a kezdı-meridián földrajzi hosszúságára
jellemzı érték. Legyen a továbbiakban
ahol
a
c = −n
⋅ ,
Λ K
Λ
K
a vetület kezdı-meridiánjának földrajzi hosszúsága. A fenti helyettesítéssel a (3.1.-7)
alakot ölti.
( )
λ = n ⋅ Λ − Λ K
(3.1.-7a)
Alakítsuk át a (3.1.-6) kifejezést. Figyelembe véve, hogy a (3.1.-8) szerint
dϕ
= n ⋅
cosϕ
M
N
dΦ
⋅ . (3.1.-9)
cosΦ
A (2.2.1.-4) kifejezéshez hasonlóan a (3.1.-9) bal oldalának integrálja alapintegrál:
dϕ ⎛ϕ
π ⎞
∫ = ln tan⎜
+ ⎟ . (3.1.-10)
cosϕ
⎝ 2 4 ⎠
dλ = n , írhatjuk:
dΛ
c c
2 2
Az M = , N = és a V = 1+
e′
⋅ cos Φ képletek (1.2.1.2. pont) felhasználásával a
3
V V
(3.1.-9) jobb oldalának integrálja az n elhagyásával az alábbi:
∫
M
N
dΦ
⋅ =
cosΦ
∫
c
3
V
c
V
dΦ
⋅ =
cosΦ
2
2 e
De az 1.2.1.2. pontból e′ = , ezért
2
1−
e
∫
V
2
dΦ
=
⋅ cosΦ
dΦ
∫ 2 2
( 1+
e′
⋅ cos Φ)
.
⋅ cosΦ
2
2 2
2
dΦ
1−
e
1−
e ⋅ ( sin Φ + cos Φ)
∫
=
( ) ∫
⋅ dΦ
=
2 2
2 2
( ) ∫ 2 2
1+
e′
⋅ cos Φ ⋅ cosΦ
1−
e ⋅ sin Φ ⋅ cosΦ
( 1−
e ⋅ sin Φ)
⋅ cosΦ
2 2 2 2
2 2
( 1−
e ⋅sin
Φ)
− e ⋅ cos Φ dΦ
e ⋅ cos Φ
∫
⋅ dΦ
=
( ) ∫ − ∫
⋅ dΦ
=
2 2
2 2
1−
e ⋅ sin Φ ⋅ cosΦ
cosΦ
( 1−
e ⋅sin
Φ)
⋅ cosΦ
=
dΦ
De a (3.1.-10) alapján
e
2
⋅ cosΦ
dΦ
e ⋅ d
∫ − ∫ ⋅ dΦ
= ∫ −
2 2
Φ − e ⋅ Φ Φ
∫ 2
cos 1 sin cos 1−
e ⋅
( e ⋅ sinΦ)
sin
2
.
Φ
⋅ dΦ =

112
( e ⋅sinΦ)
dΦ ⎛ Φ π ⎞
∫ = ln tan⎜
+ ⎟ . (3.1-11)
cosΦ
⎝ 2 4 ⎠
e ⋅ d
A ∫
tag a z = e ⋅sinΦ
helyettesítéssel alapintegrálhoz vezet (pld. Bronstejn-
2 2
1−
e ⋅ sin Φ
Szemengyajev, 1963, 432. és 241. old.):
( e ⋅sinΦ)
e ⋅ d
dz
e 1+
z
∫ = e ⋅ = e ⋅ z = ⋅
− e ⋅ Φ
∫ Ar th ln , de
2 2
2
1 sin 1−
z
2 1−
z
e 1+
z e 1−
z e 1−
e ⋅sinΦ
⎛1−
e ⋅sinΦ
⎞
− ⋅ ln = ⋅ ln = ⋅ ln = ln⎜
⎟ .
2 1−
z 2 1+
z 2 1+
e ⋅ sinΦ
⎝1+
e ⋅ sinΦ
⎠
A (3.1-11)-re is tekintettel továbbá
∫
M
N
Φ ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−
e ⋅ sinΦ
⎞
⋅ = ln tan⎜
+ ⎟ + ln⎜
⎟
cosΦ
⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅ sinΦ
⎠
⎡
1 sin
ln⎢
⎛ Φ π ⎞ ⎛ − e ⋅ Φ ⎞
= tan⎜
+ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎢ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅sinΦ
⎠
⎣
e
e
d 2
2
A (3.1.-9) alapján visszaszorozva n-nel és az integrálási állandót is figyelembe véve, írhatjuk:
M Φ
Φ π e Φ
n
d e
⎧ ⎡
⎤⎫
⎪
1 sin
n ln tan
2 ⎪
⎨
⎢ ⎛ ⎞ ⎛ − ⋅ ⎞ ⎥
⋅∫ ⋅ = ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎬ + ln k . (3.1.-12)
N cosΦ
⎪
⎢ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅ sinΦ
⎠ ⎥
⎪
⎩ ⎣
⎦⎭
Végül, a (3.1.-9) alapján, a (3.1.-10) és a (3.1.-12) kifejezések egyenlıségébıl a
e
2
⎤
⎥ .
⎥
⎦
⎛ϕ
π ⎞
n ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−
e ⋅sinΦ
⎞
tan⎜
+ ⎟ = k ⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅⎜
⎟
⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅sinΦ
⎠
e
n⋅
2
(3.1.-13)
kifejezéshez jutunk, ahol e az elsı numerikus excentricitás.
A (3.1.-7a) és a (3.1.-13) kifejezések a Gauss-féle szögtartó gömbi vetület vetületi
egyenletei.
3.1.1. A Gauss-féle szögtartó gömbi vetület állandói
A (3.1.-13) vetületi egyenlet gyakorlati alkalmazásához meg kell határoznunk az n és k
állandók értékeit, valamint a Gauss-gömb R sugarát.
Induljunk ki abból, hogy az ellipszoidi pontok gömbre vetítése a lehetı legegyszerőbb,
valamint minimális hossztorzulású legyen azon a területen, ahol a vetítést kívánjuk végezni. E
célból két feltételt szabunk:
1.egy kiválasztott szélességi körön, az ún. normál szélességi körön a lineármodulus legyen
egységnyi,
2.a lineármodulus a normál szélességi körtıl északra és délre a lehetı leglassabban változzék.
E feltételek teljesülése azt jelenti, hogy egy bizonyos területen belül a lineármodulus gyakorlatilag
állandó és egységnyi, egyidejőleg a számítások is viszonylag egyszerően végezhetık.

113
Jelöljük a normál szélességi kör gömbi földrajzi szélességét ϕ0
-val, ellipszoidi földrajzi szélességét
Φ0
-val. Az 1. feltétel matematikailag a (3.1.-5) képlet alapján az
R ⋅ cosϕ
0
Φ0 = l
Λ0
= n ⋅ =
N
0
⋅ cosΦ0
l
1
(3.1.1.-1)
összefüggéssel fogalmazható meg. N
0
a harántgörbületi sugár a Φ
0
földrajzi szélességő normál
szélességi körön.
A 2. feltétel matematikai formába öntéséhez írjuk fel az iránymenti l Λ
lineármodulust az
2 3
( Φ − Φ ) ⎛ d l ⎞ ( Φ − Φ )
2
3
⎛ dl
Λ ⎞
⎛ d l ⎞
Λ
0
Λ
0
l
Λ
= l
Λ
+ ⎜ ⎟ ⋅ ( Φ − Φ ) + ⋅ + ⋅ + ...
Φ
⎜
Φ
⎟
⎜
Φ
⎟
0
0
2
3
⎝ d ⎠0
⎝ d ⎠ 2 ⎝ d ⎠ 6
0
0
(3.1.1.-2)
sorba fejtett alakban (pld. Bronstejn-Szemengyajev, 1963, 402. old.), ahol Φ a normál szélességi
körtıl Φ − Φ0
távolságra lévı pont ellipszoidi földrajzi szélessége.
A (3.1.1.-1) alapján a (3.1.1.-2)-ben helyettesítsünk l = Λ0
1-et, a lineármodulus lehetı leglassabb
változásának kritériumai pedig legyenek:
⎛ dl
Λ ⎞
⎜ ⎟
⎝ dΦ
⎠
0
= 0
és
2
⎛ d l
⎜
⎝ dΦ
Λ
2
⎞
⎟
⎠
0
= 0 . (3.1.1.-3)
Ezekkel a feltételekkel a lehetı leglassabb változás tehát azt jelenti, hogy a (3.1.1.-2)-ben
csak a harmad és magasabb rendő tagok okozhatnak az egységtıl nagyobb eltérést.
A (3.1.1.-1), valamint a (3.1.1.-3) két egyenlete alapján felírható az a 3 ismeretlenes egyenletrendszer,
amelybıl meghatározhatók az n, k és R mennyiségek. Ehhez meg kell határoznunk a
(3.1.1.-3) differenciálhányadosokat.
3.1.1.1. A
d
l Λ
dΦ
2
d l
és a Λ
2
dΦ
differenciálhányadosok meghatározása
dl Határozzuk meg elıször a Λ
elsı differenciálhányadost. A (3.1.1.-1) és a (3.1.-5)
dΦ
összefüggések alapján általánosságban a meridián irányú lineármodulus értéke
illetve, mivel
N =
c
V
l Λ
R ⋅ cosϕ = n ⋅ ,
N ⋅ cosΦ
, ahol c a pólusgörbületi sugár, V ellipszoidi segédmennyiség,
l Λ
R ⋅ cosϕ
= n ⋅ ⋅V
c ⋅ cosΦ
n ⋅ R ⎛
= ⋅ ⎜cosϕ
⋅
c ⎝ cos
V
Φ
⎞
⎟ . (3.1.1.1.-1)
⎠

114
Az
n ⋅ R
c
konstans, V
A továbbiakban
2 2
= 1+
e′
⋅ cos Φ , e′ a második numerikus excentricitás.
⎛ V ⎞
d⎜cosϕ
⋅ ⎟
dl Λ n ⋅ R cosΦ
= ⋅
⎝
⎠
. (3.1.1.1.-2)
dΦ
c dΦ
Határozzuk meg elıször a
⎛ V ⎞
d⎜cosϕ
⋅ ⎟
⎝ cosΦ
⎠
dΦ
differenciálhányadost!
⎛ V ⎞
d⎜cosϕ
⋅ ⎟
⎝ cosΦ
⎠
dΦ
⎛ V ⎞
d⎜
⎟
V d cosϕ
cos
cos
⎝ Φ
= ⋅ + ϕ ⋅ ⎠
, (3.1.1.1.-3)
cosΦ
dΦ
dΦ
mert a (3.1.-5)-bıl
Továbbá
d cosϕ
dϕ
n ⋅ cosϕ
= −sinϕ
⋅ = −sinϕ
⋅ , (3.1.1.1.-4)
dΦ
dΦ
V
2 ⋅ cosΦ
dϕ
=
dΦ
dV
Határozzuk meg a -t: dΦ
ahonnan
c
⋅ cosϕ
M ⋅ cosϕ
3
V
n ⋅ cosϕ
⋅ n = ⋅ n = .
2
N ⋅ cosΦ
c
⋅ cosΦ
V ⋅ cosΦ
V
V
Φ
⎛
d⎜
⎝ cos
dΦ
V
⎞ dV
⎟ cosΦ
⋅ + V ⋅ sinΦ
⎠
=
dΦ
. (3.1.1.1.-5)
2
cos Φ
2
2 2
= 1+
e′
⋅ cos Φ ,
2
2 2 sinΦ
2 ⋅V ⋅ dV
= −2
⋅ e′
⋅ cosΦ
⋅sinΦ
⋅ dΦ
= −2
⋅ e′
⋅ cos Φ ⋅ ⋅ dΦ
,
cosΦ
dV
e′
= −
dΦ
Behelyettesítve a (3.1.1.1.-5)-be, kapjuk:
2
⋅ cos
V
2
Φ sinΦ
⋅ .
cosΦ
V
Φ
⎛
d⎜
⎝ cos
dΦ
⎞
⎟
⎠
⎛ e′
cosΦ
⋅
⎜−
=
⎝
2
2
⋅ cos Φ sinΦ
⎞
⋅
⎟ + V ⋅sinΦ
V cosΦ
⎠
2
cos Φ
2
⎛ e′
⋅ cos
sinΦ
⋅
⎜V
−
=
⎝ V
2
cos Φ
2
Φ ⎞
⎟
⎠
=

115
2 2 2
( V − e′
⋅ cos Φ)
sin Φ
⋅
V
sin Φ
= = , (3.1.1.1.-6)
2
2
cos Φ V ⋅ cos Φ
mert
V 2 − e′
2 ⋅ cos 2 Φ = 1.
Helyettesítsük a (3.1.1.1.-4) és a (3.1.1.1.-6) jobb oldalait a (3.1.1.1.-3) összefüggésbe:
V
Φ
⎛
d⎜cosϕ
⋅
⎝ cos
dΦ
n ⋅ sinϕ
⋅ cosϕ
cosϕ
⋅ sinΦ
−
+
2
V ⋅ cos Φ V ⋅ cos Φ
⎞
⎟
⎠ V ⋅sinϕ
n ⋅cosϕ
sinΦ
= − ⋅ + cosϕ
⋅ =
2
2
cosΦ
V ⋅cosΦ
V ⋅cos
Φ
cosϕ
= ⋅
2
V ⋅ cos Φ
( sinΦ
− n sinϕ)
2
⋅
Helyettesítsük a (3.1.1.1.-7)-et a (3.1.1.1.-2)-be:
. (3.1.1.1.-7)
dl Λ n ⋅ R cosϕ
= ⋅ ⋅ ( sinΦ
− n ⋅ sinϕ)
2 , (3.1.1.1.-8)
dΦ
c V ⋅ cos Φ
vagy, (3.1.1.1.-1)-bıl az
l Λ
R ⋅ cosϕ
= n ⋅ ⋅V
c ⋅ cosΦ
helyettesítéssel:
dl
Λ
dΦ
= l
Λ
⋅
V ⋅cosΦ
n
( sinΦ
− sinϕ )
2
⋅
. (3.1.1.1.-9)
A (3.1.1.-3) elsı feltétele alapján a normál szélességi körön
⎛ dl ⎞
⎜
Λ
⎟
⎝ dΦ
⎠
0
= sinΦ
0
− n ⋅sinϕ
0
= 0
(3.1.1.1.-9a)
adódik, mert
V
2
0
________________________________
l Λ 0 1
=
≠ 0
2
.
⋅ cosΦ0
V0
⋅ cosΦ0
2
d l
Határozzuk meg most a Λ
második differenciálhányadost. Írhatjuk:
2
dΦ
⎛ l
Λ ⎞ ⎛ l
Λ ⎞
2
d⎜
⋅sinΦ
d sin
2
⎟ ⎜ ⋅ ϕ
2
⎟
d l
Λ ⎝V
⋅cosΦ
V cosΦ
n
⎝ ⋅
=
⎠
− ⋅
⎠
, (3.1.1.1.-10)
2
dΦ
dΦ
dΦ
⎛ l
Λ ⎞
⎛ lΛ
⎞
⎜ ⋅ tanΦ
d
2
⎟
⎜ ⎟
⎝V
⎠ l
Λ
V
= + tanΦ
⋅
⎝ ⎠
,
2 2
dΦ
V ⋅cos
Φ dΦ
d
2

116
=
⋅
⋅
′
⋅
⋅
+
⋅
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4
2
2
2
4
2
2
cos
sin
cos
2
d
d
1
d
d
2
d
d
d
d
V
Φ
Φ
Φ
e
l
Φ
l
V
V
Φ
V
V
l
Φ
l
V
Φ
V
l
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
4
2
2
sin
cos
2
d
d
1
V
Φ
Φ
e
l
Φ
l
V
Λ
Λ
⋅
⋅
′
⋅
⋅
+
⋅
= (3.1.1.1.-11)
és
,
sin
cos
2
tan
d
d
1
tan
cos
sin
cos
2
d
d
1
tan
cos
d
tan
d
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
V
Φ
Φ
e
l
Φ
Φ
l
V
Φ
Φ
V
l
V
Φ
Φ
e
l
Φ
l
V
Φ
Φ
V
l
Φ
Φ
V
l
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
⋅
⋅
′
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
′
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
4
2
2
2
2
2
2
sin
2
d
d
1
tan
cos
d
tan
d
V
e
l
Φ
l
V
Φ
Φ
V
l
Φ
Φ
V
l
Λ
Λ
Λ
Λ
Φ
⋅
′
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
.
(3.1.1.1.-12)
Továbbá:
Φ
Φ
V
l
n
Φ
V
l
Φ
n
Φ
Φ
V
l
n
Λ
Λ
Λ
d
cos
sin
d
d
d
cos
sin
d
cos
sin
d
2
2
2 ⎟ ⎠ ⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
,
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
2
cos
sin
sin
d
d
cos
cos
d
cos
sin
d
⋅
+
⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
. (3.1.1.1.-13)
De
Φ
V
n
Φ
cos
cos
d
d
2 ⋅
⋅
=
ϕ
ϕ
, s így
Φ
Φ
Φ
V
n
Φ
Φ
Φ
V
n
Φ
Φ
Φ
2
2
2
2
2
2
cos
sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
cos
cos
d
cos
sin
d
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
és, (3.1.1.1.-11)-t is figyelembe véve:
,
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
2
d
d
1
cos
sin
d
cos
sin
d
2
2
2
2
2
4
2
2
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
′
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
Φ
Φ
Φ
V
n
V
l
n
V
Φ
Φ
e
l
Φ
l
V
Φ
n
Φ
Φ
V
l
n
Λ
Λ
Λ
Λ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

117
n
⎛ l
d⎜
⎝V
sinϕ
⎞
⋅ ⎟
cosΦ
⎠ n
=
dΦ
V
Λ
2
Λ
⋅
2
4
sinϕ
dl
Λ
2 ⋅l
⋅ ⋅ + n ⋅
cosΦ
dΦ
2
⋅ e′
⋅sinϕ
⋅sinΦ
+
V
2
2
n ⋅lΛ
⋅cos
ϕ l
+
+ n ⋅
4 2
V ⋅cos
Φ V
Λ
2
sinϕ
⋅sinΦ
⋅
2
cos Φ
.
(3.1.1.1.-14)
A (3.1.1.1.-12) és a (3.1.1.1.-14) összefüggéseket behelyettesítve a (3.1.1.1.-10)-be:
n
−
V
2
⎛ l
Λ ⎞ ⎛ l
Λ ⎞
d sin d sin
2 ⎜ ⋅ Φ
2
⎟ ⎜ ⋅ ϕ
2
⎟
d l
Λ ⎝V
⋅cosΦ
V cosΦ
n
⎝ ⋅
=
⎠
− ⋅
⎠
=
2
dΦ
dΦ
dΦ
2 2
l
Λ sinΦ
1 dl
Λ
2 ⋅l
Λ
⋅ e′
⋅sin
Φ
= + ⋅ ⋅ +
+
2 2
2
4
V ⋅cos
Φ cosΦ
V dΦ
V
2
2
2
sinϕ
dl
Λ
2 ⋅l
Λ
⋅ e′
⋅sinϕ
⋅sinΦ
n ⋅l
Λ
⋅cos
ϕ l
Λ
⋅ ⋅ − n ⋅
−
− n ⋅
4
4 2
2
cosΦ
dΦ
V
V ⋅cos
Φ V
sinϕ
⋅sinΦ
⋅
2
cos Φ
vagy, a közös tényezıket kiemelve:
+
V
2
⋅
2
d l
dΦ
1
cos
Λ
2
=
V
2
dl
Λ
⋅ ⋅
Φ dΦ
l
Λ
⎛
2 cos
⎜1−
n ⋅sinϕ
⋅sinΦ
− n ⋅
2
⋅cos
Φ ⎝
V
2
2 ⋅l
⋅ e′
⋅sinΦ
4
V
ϕ ⎞
⎟ +
⎠
Λ
( sinΦ
− n ⋅sinϕ
) +
( sinΦ
− n ⋅sinϕ
)
2
2
.
(3.1.1.1.-15)
3.1.1.2. Az n, k állandók és a Gauss-gömb R sugarának meghatározása
A (3.1.1.1.-15) második differenciálhányados a (3.1.1.-3) képlet szerint a Φ
0
normál
szélességi körön zérus:
A (3.1.1.1.-9a)-ból
2
⎛ d l ⎞
⎜ Λ
= 0
2
d
⎟ .
⎝ Φ ⎠
0
sinΦ 0
− n ⋅sinϕ0
= 0 , (3.1.1.2.-1)
s e miatt a normál szélességi körön a (3.1.1.1.-15) utolsó két tagja zérus. Mivel pedig
ezért
A (3.1.1.1.-9a)-ból
V
2
0
l Λ 0
1
=
≠ 0
2
2 2 ,
⋅ cos Φ0
V0
⋅ cos Φ0
2
2 cos ϕ0
− n ⋅sinϕ 0
⋅ sinΦ0
− n ⋅ = 0 .
V
1
2
0

118
ezért
sinΦ
0
n = ,
sinϕ
2
2 2 sinΦ0
sin Φ0
2
V
0
−V0
⋅ ⋅ sinϕ0
⋅sinΦ0
− ⋅ cos ϕ0
= 0 ,
2
sinϕ
sin ϕ
0
0
0
2
2 sin Φ0
( 1−
sin Φ ) − 0
2
V
0
⋅
0
= ,
2
tan ϕ
0
és végül
2
2 2 sin Φ0
V
0
⋅ cos Φ0
= = 0,
2
tan ϕ
0
tan
0
tan
0
V ⋅ ϕ = Φ . (3.1.1.2.-2)
0
A (3.1.1.-1), a (3.1.1.2.-1) és a (3.1.1.2.-2) képletek együtt az
R ⋅ cosϕ0
l Λ 0
= n ⋅ = 1,
N
0
⋅ cosΦ0
n ⋅sinϕ0
= sinΦ0
,
V ⋅ tanϕ
= tanΦ
0
0
0
(a)
(b)
(c)
(3.1.1.2.-3)
összefüggéshármast alkotják, amelybıl az n, k és R meghatározhatók.
Az n a (3.1.1.2.-3/b) és a (3.1.1.2.-3/c) összefüggésekbıl határozható meg. Az
helyettesítéssel ugyanis
=
sinΦ0
n =
sinϕ
2
⋅ sin ϕ = cos
0
2
2
2 2
2 sin Φ0
sin ϕ0
2 n ⋅sin
ϕ0
( 1−
sin ϕ ) ⋅ ⋅ = ( 1−
sin ϕ ) ⋅ ,
0
V
2
0
V
sin
0
2
sinϕ0
sinΦ
0
⋅ = ,
cosϕ
cosΦ
ϕ
0
0
0
cos
2
2
Φ
0
0
2
sin Φ
ϕ0
⋅
2
cos Φ
0
0
=
0
cos
2
Φ
0
ahonnan
⎛ sin = −
Φ ⎞ n n
⎝ ⎠
sin
2
2
2
2
2
0
0
V
0
⎜1
2
⎟ ⋅ = − ,
2
2
2
n cos Φ
0
cos Φ
0
cos Φ
0
Φ
2 2
2
2
( 1+
′ ⋅ cos Φ
0
) ⋅ cos Φ
0
sin Φ
0
2 2 2
2
n = V0
⋅ cos Φ
0
+ sin Φ
0
= e
+ ,
n
2
= cos e′
2
2 4
Φ
0
+ ⋅ cos Φ
0
+
sin
2
Φ
0

119
és végül
′
2
2 4
n = 1+
e ⋅ cos Φ
0 , (3.1.1.2.-4)
ahol az (1.2.1.2.-3) képlet szerint
2
e′ =
2
a - b
2
b
2
a második, a fél kistengelyre vonatkozó numerikus excentricitás négyzete.
Az (1.2.1.2.-4) szerint
s ezzel az
2
n kifejezhetı még az
e
e
1−
e
2
2
′ = ,
2
n
2
e
= 1+
2
4
⋅ cos Φ
1−
e
2
0
(3.1.1.2.-5)
alakban. Az e az elsı, a fél nagytengelyre vonatkozó numerikus excentricitás.
Az n ismeretében a k állandó kifejezhetı a
összefüggésbıl:
⎛ϕ
π ⎞
n ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−
e ⋅sinΦ
⎞
tan⎜
+ ⎟ = k ⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅⎜
⎟
⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅sinΦ
⎠
k =
n ⎛ Φ0
tan ⎜
⎝ 2
⎛ϕ0
π ⎞
tan⎜
+ ⎟
⎝ 2 4 ⎠
π ⎞ ⎛1−
e ⋅ sinΦ
+ ⎟ ⋅
4
⎜
⎠ ⎝1+
e ⋅ sinΦ
0
0
⎞
⎟
⎠
e
n⋅
2
e
n⋅
2
(3.1.-13)
. (3.1.1.2.-6)
A ϕ
0
meghatározható a (3.1.1.2.-3/b), vagy a (3.1.1.2.-3/c) képletbıl.
A (3.1.1.2.-3) összefüggéshármasból meghatározható a Gauss-gömb sugara. A (3.1.1.2.-3/b)
és a (3.1.1.2.-3/c) alapján
0
sin ⋅
cosϕ
ϕ
0 =
0
sinΦ
V ,
0
0
cosΦ
0
cosΦ
cosϕ
0
0
1
=
V
0
sinΦ
0
⋅
sinϕ
0
=
n
V
.
A (3.1.1.2.-3/a)-ból fejezzük ki R-t:

120
mert az (1.2.1.2.-9) szerint
N ⋅ cosΦ
n ⋅ cosϕ
0 0 0
0 0
R =
= ⋅ = = =
0
0
N
n
n
V
0
N
V
c
N
0
= . Négyzetre emelve:
V
2
2 c c c
R = = ⋅ = N
4
3 0
⋅ M
0
,
V0
V0
V0
c
mert az (1.2.1.2.-8)-ból M
0
= . Gyököt vonva, végül, a Gauss-gömb sugarára kapjuk:
3
V
0
0
c
V
V
0
c
V
2
0
,
R = N 0
⋅ M 0 . (3.1.1.2.-7)
A (3.1.1.2.-4), a (3.1.1.2.-6) és a (3.1.1.2.-7) összefüggésekkel meghatározott állandók az ellipszoid
olyan szögtartó gömbi vetületéhez vezetnek, amelynek hossztorzulása – az elıírt feltételek
mellett – rendkívül kicsi. Ezért ezt a vetületet minimális hossztorzulású vetületnek is
nevezik.
Az inverz vetületi egyenleteket a
3.2. Inverz vetületi egyenletek
( )
λ = n ⋅ Λ − Λ K
és a (3.1.-7a)
⎛ϕ
π ⎞
n ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−
e ⋅sinΦ
⎞
tan⎜
+ ⎟ = k ⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅⎜
⎟
⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅sinΦ
⎠
e
n⋅
2
(3.1.-13)
vetületi egyenletekbıl kapjuk. Az ellipszoidi földrajzi hosszúság:
λ
Λ = + ΛK . (3.2.-1)
n
A (3.1.-13) Φ -re implicit kifejezés inverz vetületi egyenlet is egyben, belıle a Φ értékét
célszerően fokozatos közelítéssel határozhatjuk meg, pld. a Függelék 3.2.-1. pontjában található
VisualBasic nyelvő rutinjával.
3.3. A magyarországi gömbi vetületek jellemzı adatai
A 2. fejezetben tárgyalt vetületek, mint láttuk, mind kettıs vetítésőek. A sztereografikus
és a ferdetengelyő hengervetületek Gauss-gömbje az 1841. évi Bessel-ellipszoidra, az
Egységes Országos Vetület Gauss-gömbje az IUGG/1967 ellipszoidra vonatkozik. A Besselés
az IUGG/1967 ellipszoidok és Gauss-gömbjeik jellemzı adatait, kiegészítve a sztereografikus
vetület és az EOV néhány jellemzı adatával, az eddigi jelöléseinkkel a 3.3.-1. táblázatban
foglaljuk össze.

121
3.3.-1. táblázat: A Bessel- és az IUGG/1967 ellipszoidok és Gauss -gömbjeik jellemzı
adatai
Jelölések:
Ellipszoid Bessel, 1841 IUGG/1967
a 6377397,155 6378160
b 6356078,963 6356774,516
α 1:299,152813 1:298,247167
e 0,0816968312157 0,0818205679407
e′ 0,0819708411452 0,0820958289928
Φ
0 46 0 32′ 43,41035′
47 0 10′
00,00000′
ϕ
0 46 0 30′ 00,00000
′′ 47 0 07′
20,05780′
k 1,003016135133 1,0031100083
n 1,000751489594 1,000719704936
R 6378512,966 6379743,001
Φ
K 47 0 29′ 09,63803′
47 0 08′
39,8174
′′
Λ
K 36 0 12
42′
53,5733
′′ 19 0 02′
54,8584′
ϕ 47 0 26′ 21,1372 1′′
47 0 06′
00,00000′
K
a – az ellipszoid fél nagytengelye
b – az ellipszoid fél kistengelye
α – az ellipszoid lapultsága
e – elsı, a fél nagytengelyre vonatkozó numerikus excentricitás
e′ - második, a fél kistengelyre vonatkozó numerikus excentricitás
Φ − a normál szélességi kör ellipszoidi földrajzi szélessége
0
ϕ0
− a normál szélességi kör gömbi földrajzi szélessége
n,k
− a Gauss-féle gömbi vetület állandói
R – a Gauss-gömb sugara
Φ
K
− a sztereografikus vetület , ill. az EOV kezdıpontjának ellipszoidi földrajzi szélessége
Λ
K
− a sztereografikus vetület , ill. az EOV kezdıpontjának ellipszoidi földrajzi hosszúsága
ϕ − a sztereografikus vetület , ill. az EOV kezdıpontjának gömbi földrajzi szélessége
K
3.3.1. Számpéldák a Gauss-féle gömbi vetület alkalmazására
1. példa:
A Sopron melletti Cárhalmon lévı Pintytetı háromszögelési pont Bessel-ellipszoidi földrajzi
koordinátái:
Φ
Λ
Pinty
Pinty
o
= 47 41′
28,03685′′
,
o
= 34 18′
03,16506 ′′.
Számítsuk ki a ϕ földrajzi koordinátákat a Gauss-gömbön!
,λ Pinty Pinty
12 A sztereografikus vetület kezdıpontjának Bessel-ellipszoidi földrajzi hosszúsága a Ferro-i kezdı-meridiántól
értendı.

122
A
összefüggésbe helyettesítve:
( )
λ = n ⋅ Λ − Λ K
(3.1.-7a)
o
0
o
( 34 18′
03,16506 ′′ − 36 42′
53,5733 ′′ ) = −2
24′
56,93899
λ
Pinty
= 1,000751489594 ⋅
′
.
A (3.1.-13) vetületi egyenletbıl
e
⎡ ⎧
n⋅
⎫ ⎤
⎢ ⎪ ⎛ ⎞ ⎛1−
⋅sin
⎞ 2
n Φ π e Φ ⎪ π
ϕ − ⎥
Pinty
= 2 ⋅ arctan
⎢
⎨k
⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎬
(3.3.1-1)
⎥
⎢ ⎪ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅ sinΦ
⎠ ⎪ 4
⎣ ⎩
⎭ ⎥⎦
A ϕ
Pinty
függvényt célszerő személyi számítógépre vinni (Függelék, 3.3.1.-1.pont).
Az eredmény:
2. példa:
ϕ 47 o Pinty
= 38′
38,49985 ′′ .
A Pintytetı háromszögelési pont EOV koordinátái:
Y
X
Pinty
Pinty
= 468839,43 m,
= 263693,08 m.
Számítsuk át ezeket a koordinátákat az Egységes Országos Vetület Gauss-gömbjére és az
IUGG/1967 ellipszoidra!
Az eredeti EOV koordináták az
összefüggések szerint
y = Y − 650000 m,
x = X − 200000 m
(2.3.3.-1)
y
Pinty
x
Pinty
A segédföldrajzi koordinátákat a
= 468839,43 m − 650000 m = -181160,57 m,
= 263693,08 m − 200000 m = 63639,08 m.
x
m
0⋅R
π
ϕ′
= 2 ⋅ arctan e − ,
2
(2.3.3.-3)
y
λ ′ =
m ⋅ R
(2.3.3.-2)
0
képletekbıl kapjuk. A számításhoz és megjelenítéshez használt programsorok a Függelék
3.3.1.-2. pontjában találhatók.

123
A segédföldrajzi koordináták:
o
o
ϕ ′
Pinty
= 0 34′
19,38424 ′′ , λ′
Pinty
= -1 37′
37,55033′
.
A földrajzi koordináták számítása a Gauss-gömbön a
sinϕ
= sinϕ′
⋅ cosϕ
+ cosϕ′⋅
cos λ′⋅
sinϕ
,
K
cosϕ′⋅
sin λ′
sin λ =
cosϕ
K
(2.2.2.-3)
képletekkel történik. A számításhoz a 2.2.2. pont példájában szereplı utolsó két programrészt
használjuk:
o
o
ϕ
Pinty
= 47 38′
48,93628′′
, λPinty
= - 2 24′
55,60533′
.
Az IUGG/1967 ellipszoidi földrajzi koordinátákhoz a
⎛ϕ
π ⎞
n ⎛ Φ π ⎞ ⎛1−
e ⋅sinΦ
⎞
tan⎜
+ ⎟ = k ⋅ tan ⎜ + ⎟ ⋅⎜
⎟
⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅sinΦ
⎠
e
n⋅
2
(3.1.-13)
λ
Λ = + ΛK
(3.2.-1)
n
képletekkel jutunk. A (3.1.-13) egyenletet Φ -re a 3.2. pont végén bemutatott fokozatos közelítéssel
oldjuk meg (Függelék, 3.2.-1. pont):
o
o
Φ
Pinty
= 47 41′
31,73121′′
, ΛPinty
= 16 38′
05,50684′
.

124

125
4. Nemzetközi vetületek Magyarországon
Magyarország – saját vetületei mellett – elsısorban katonai, másodsorban tudományos
együttmőködési céllal ún. nemzetközi vetületeket is használt-használ térképezési célra. E vetületek
lehetıvé teszik a korszerő geodéziai technológiák egységes alkalmazását, alkalmasak arra,
hogy az egész Földet egységesen lefedjék. Ezzel egyidejőleg kevéssé felelnek meg a polgári
célú térképezés olyan általános feladatainak, mint az ingatlan-nyilvántartás, ipari létesítmények
tervezése, stb. A nemzetközi vetületek az 1:10000 és kisebb méretarányú topográfiai
térképek vetületei.
Az eddig megismert vetületekkel szemben a vetítés közvetlenül az ellipszoidról történik
a síkra. A vetületek az 1.2.2.11. pontban ismertetett csoportosítás szerint szögtartó, közvetlen
vetítéső, transzverzális és valódi vetületek, amelyek azonban geometriailag nem szemléltethetıek,
az ellipszoid és a sík közötti kapcsolat tisztán matematikai. Két vetületet sorolunk
ide, a Gauss-Krüger vetületet és az UTM (Universal Transverse Mercator) vetületet.
A Magyarországon használt Gauss-Krüger vetület alapfelülete a Kraszovszkijellipszoid,
képfelülete az ellipszoidot az ellipszoidi meridiánok mentén érintı képzeletbeli
henger. Az UTM vetület matematikai szempontból megegyezik a Gauss-Krüger vetülettel, vetítési
törvényszerőségei hasonlók. Magyarországon használt változatának alapfelülete a GPS
mérési eredmények WGS84 vonatkoztatási ellipszoidja, képfelülete pedig nem érinti, hanem
metszi az ellipszoidot. Szelvényezési rendszere mindkét vetületnek olyan, hogy a Föld egységes
lefedésére alkalmas.
4.1. A Gauss-Krüger vetület
Közép-meridián
S
+ x
Közép-meridián
képe
Szegély-meridián
Egyenlítı
+ y
Vetület
Szegély-meridián
képe
4.1.-1. ábra: A Gauss-Krüger vetület
A Gauss-Krüger vetület az 1950-es évektıl kezdve az akkori szocialista rendszer katonai
együttmőködésének térképészeti alapját szolgáltatta azzal, hogy a vetület, mint már utaltunk
rá, kiválóan alkalmas nagy területek egybefüggı, csatlakozó ábrázolására. A volt

126
Szovjetúnió – melynek hatalmas területét az eddig ismertetett vetületekhez hasonló vetületekben
ábrázolni nem lehetett – a Gauss-Krüger vetületet 1946-ban vezette be, majd késıbb
használatát a kelet- és közép-európai országokban is kezdeményezte. A hazánk területérıl
rendelkezésre álló 1:25000 és 1:50000 méretarányú topográfiai térképek katonai térképek.
A Gauss-Krüger vetület (4.1.-1. ábra) egymáshoz kapcsolódó vetületi rendszerek öszszessége
(4.1.-2. ábra). A vetítés minden rendszernél az ellipszoidot kiválasztott ellipszoidi
meridiánok mentén érintı - transzverzális – elhelyezéső ellipszoidi hengerek felületére történik.
A hengerek csak képzeletbeliek, a vetítést rájuk tisztán matematikai megfontolások alapján
(vagyis geometriailag nem szemléltethetıen) hajtják végre, abból a szempontból kiindulva,
hogy a vetület szögtartó legyen. A kiválasztott ellipszoidi meridiánok a közép-meridiánok,
az ellipszoidot az ún. meridiánellipszisek mentén érintik. Ezek képe a Gauss-Krüger vetületi
rendszer egyenesként leképzıdı x tengelye. Az ellipszoidi egyenlítı képe a közép-meridiánra
merıleges egyenesként leképzıdı y tengely.
Az egymással szomszédos vetületi rendszerek alapját az egymáshoz képest ∆Λ
szögértékkel
elforgatott helyzető hengerek alkotják. Az egyes rendszerek önálló vetületi sávot képeznek
és a szegély-meridiánok mentén csatlakoznak egymáshoz. Az egyes vetületi sávokon
belül a vetületek törvényszerőségei teljesen megegyeznek, a vetület ezért alkalmas az egész
földfelület egységes rendszerben történı ábrázolására.
Az egyes vetületi sávok szélessége a vetület alkalmazásának céljától, illetve ezen keresztül
a hossztorzulás megengedett mértékétıl függ. Magyarországon a topográfiai térképeknél
a ∆ Λ = 6 -os, a nagyobb méretarányú térképezés céljára a ∆ Λ = 3 -os sávszélességet ál-
o
o
o
−4
lapítottak meg. A 3 -os sávoknál a hossztorzulás mértéke a sávok szélein 1,8 ⋅ 10 , tehát a
megengedett
1
10000
közép-meridián
értéket meghaladja. A
+x +x +x
Egyenlítı
Egyenlítı
képe
+y
szegély-meridián
4.1.-2. ábra: A Gauss-Krüger vetületi sávok
o
6 -os sáv szélén a hossztorzulás mint-
−4
egy 6,7 ⋅ 10 .
1
A hossztorzulás mértéke a közép-meridiántól y ≈ ± 90 km-re éri el az U = értéket,
ez Magyarországon mindössze 1 ,2 – nak, vagyis 2,4
sávszélességnek felel meg. Az x
10000
o
o
tengely mentén – mivel az a közép-meridián képe – hossztorzulás nincs.

127
4.1.1. A szögtartóság alapegyenletei
Az eddig tárgyalt síkvetületekre egyaránt jellemzı, hogy felírhatók zárt alakban, s a
vetületi számítások élességének a számítási élesség szab határt. A Gauss-Krüger vetület vetületi
egyenletei zárt alakban nem írhatók fel.
A lineármodulus négyzetét az 1.2.2.1. pontban a
l
2
2
2 2
( dd
) dx
+ dy
=
2
( ds) ( M ⋅ dΦ) 2 + ( r ⋅ dΛ) 2
= . (1.2.2.1.-5)
összefüggéssel adtuk meg. Alakítsuk át az (1.2.2.1.-5) összefüggést:
A (4.1.1.-1)-ben
2 2
2 dx
+ dy
l =
. (4.1.1.-1)
2
⎡⎛
⎞ ⎤
2 M
2
r ⋅ ⎢⎜
⋅ dΦ⎟
+ dΛ
⎥
⎢⎣
⎝ r ⎠ ⎥⎦
M – a meridián irányú görbületi sugár (1.2.1.2.-6. képlet) és
Vezessük be az
r = N ⋅ cosΦ
. (1.2.2.1.-4)
M
r
M
⋅ d Φ = ⋅ dΦ
= dΨ
N ⋅ cosΦ
(4.1.1.-2)
jelölést.
Írjunk a továbbiakban d Λ helyett dL
-t.
L = Λ − Λ 0
- a közép-meridiántól számított, attól keletre pozitív, nyugatra negatív elıjelő ellipszoidi
földrajzi hosszúság.
Helyettesítsük (4.1.1.-2)-t a (4.1.1.-1)-be:
l
2
=
r
2
dx
⋅
2
+ dy
2
2 2
( dΨ
+ dL
)
. (4.1.1.-3)
Írjuk fel a (4.1.1.-3)-t komplex változókkal:
l
2
=
r
2
⋅
( dx
+ i ⋅ dy) ⋅ ( dx
− i ⋅ dy)
( dΨ
+ i ⋅ dL) ⋅ ( dΨ
− i ⋅ dL)
=
r
2
d
⋅
( x + i ⋅ y) ⋅ d( x − i ⋅ y)
d( Ψ + i ⋅ L) ⋅ d( Ψ − i ⋅ L)
, (4.1.1.-4)
ahol i = −1
. A számlálóban és a nevezıben a kijelölt mőveletet elvégezve
és
d
2
2 2 2
( −1) ⋅ dy
= dx
dy
2
x −
+
d
2
2 2 2
( −1) ⋅ dL = dΨ
+ dL
2
Ψ −
.

128
A (4.1.1.-4) a lineármodulus négyzete tetszıleges vetületre. Szögtartóság esetén az l
lineármodulus minden irányban egyenlı, azaz független az (1.2.2.1.-5) képletbeli d s iránytól.
A vetületi egyenleteknek tehát olyanoknak kell lenniük, hogy a (4.1.1.-4) kifejezéssel adott
d y
lineármodulus független legyen a d d , vagy a d s végtelen kis szakaszokat meghatározó ,
dx
dΨ
vagy a differenciálhányadosoktól.
dL
Az
x + i ⋅ y = f Ψ + i ⋅ ,
( ) (a)
1
L
vagy az
( − i ⋅ ) (b)
x − i ⋅ y = f Ψ (4.1.1.-5)
2
L
összefüggésekben az x + i ⋅ y a Ψ + i ⋅ L , az x − i ⋅ y a Ψ − i ⋅ L valamilyen analitikus függvénye,
ekkor a (4.1.1.-4)-ben
d
d
d
d
( x + i ⋅ y)
( Ψ + i ⋅ L)
( x − i ⋅ y)
( Ψ − i ⋅ L)
= f ′
1
= f ′
2
( Ψ + i ⋅ L)
(a)
( Ψ − i ⋅ L) , (b)
vagy, a (4.1.1.-6/a) és a (4.1.1.-6/b) kifejezéseket visszaírva a (4.1.1.-4)-be:
Az f ′
1
( Ψ + i ⋅ L)
és az f ′ ( Ψ − i ⋅ L)
l
2
1
= ⋅ f ′
Ψ
2 1
2
r
( Ψ + i ⋅ L) ⋅ f ′ ( − i ⋅ L)
(4.1.1.-6)
. (4.1.1.-7)
2
deriváltak a (4.1.1.-5/a) és (4.1.1.-5/b) feltételek mellett
dy dΨ
csak az x, y és Ψ , L koordinátáktól függnek, de függetlenek azok és differenciálhányadosaitól.
Következésképpen utóbbiaktól függetlenek a (4.1.1.-4) és a (4.1.1.-7) össze-
dx dL
függések is.
Az
x + i ⋅ y =
x − i ⋅ y =
f
f
1
2
( Ψ + i ⋅ L)
(a)
( Ψ − i ⋅ L) (b)
(4.1.1.-5)
egyenleteket a szögtartóság alapegyenleteinek nevezzük. A szögtartóság biztosításához a
(4.1.1.-5) egyenleteknek végesnek és folytonosnak kell lenniük.
4.1.2. Vetületi egyenletek
Fejtsük Taylor-sorba az
függvényt:
( + i ⋅ L)
x + i ⋅ y = f Ψ (4.1.2.-1)

129
x + i ⋅ y = f
+
( Ψ )
2 2
3 3
( Ψ ) ( i ⋅ L) d f ( Ψ ) ( i ⋅ L) d f ( Ψ )
4 4
5 5
6 6
( i ⋅ L) d f ( Ψ ) ( i ⋅ L) d f ( Ψ ) ( i ⋅ L) d f ( Ψ )
4!
⋅
i ⋅ L df
+ ⋅
1! dΨ
dΨ
4
+
5!
+
⋅
2!
dΨ
⋅
5
dΨ
+
2
6!
+
⋅
3!
dΨ
⋅
6
dΨ
+ ...
+
(4.1.2.-2)
Igaz továbbá, hogy
i =
2
−1 , i
3
= −1, i
4
= −i
, i = + 1, 5
i = i,
6
i = −1.
A fenti helyettesítésekkel írhatjuk:
df
x + i ⋅ y = f ( Ψ ) + i ⋅ L ⋅
dΨ
4 4
L d f
+ ⋅
4
24 dΨ
120
2 2
3 3
( Ψ ) L d f ( Ψ ) L d f ( Ψ )
−
2
5 5
6 6
( Ψ ) L d f ( Ψ ) L d f ( Ψ )
+ i ⋅ ⋅ − ⋅ .
dΨ
⋅
5
dΨ
2
720
− i ⋅
6
dΨ
6
⋅
dΨ
3
+
(4.1.2.-3)
Különítsük el a valós és a komplex tagokat:
x =
2 2
L d f
f ( Ψ ) − ⋅ + ⋅
2
2 dΨ
24
df
y = L ⋅ − ⋅
3
dΨ
6 dΨ
4 4
6 6
( Ψ ) L d f ( Ψ ) L d f ( Ψ )
dΨ
3 3
5 5
( Ψ ) L d f ( Ψ ) L d f ( Ψ )
4
+ ⋅
120
− ⋅
720
dΨ
5
dΨ
6
(a)
(b)
(4.1.2.-4)
Az f függvény meghatározásához az alábbi feltételeket vezetik be:
− az ellipszoidi közép-meridiánok képe egyenes (4.1.2-1. ábra), ez az x abszcissza-tengely,
ezért a (4.1.2.-1) összefüggésben L = 0 mellett = 0 x = f Ψ ,
y , azaz ( )
Közép-meridián
+ x
Közép-meridián képe
B
A’
É
P’
A
x = B
y
P
K
Egyenlítı
K
Egyenlítı képe
+ y
a) b)
D
Vetület
4.1.2.-1. ábra: Gauss-Krüger helymeghatározó adatok
− a közép-meridiánokon lévı pontokra az x abszcissza értékek az ellipszoidi egyenlítıtıl
számított B meridiánív-hosszakkal egyenlık:
( ) B
x = f Ψ = . (4.1.2.-5)

130
Helyettesítsünk f ( Ψ ) = B
-t a (4.1.2.-4) összefüggésekbe:
2 2 4 4 6 6
L d B L d B L d B
x = B − ⋅ + ⋅ − ⋅
2
4
6
2 dΨ
24 dΨ
720 dΨ
3 3 5 5
dB
L d B L d B
y = L ⋅ − ⋅ + ⋅
3
5
dΨ
6 dΨ
120 dΨ
j
d B
Fejezzük ki a ( j = 1,2,3,4,5 ) differenciálhányadosokat!
j
dΨ
dB
dB
dΦ
= ⋅ ,
dΨ
dΦ
dΨ
dΦ
r N ⋅ cosΦ
= = .
dΨ
M M
(a)
(b)
(4.1.2.-6)
Az elemi meridiánív az elemi dΦ
ellipszoidi földrajzi szélességváltozásnál:
következésképpen
Továbbá
2
d B
2
dΨ
Tudjuk, hogy
d B = M ⋅ dΦ
,
dB
= M ,
dΦ
dB
N ⋅ cosΦ
= M ⋅ = N ⋅ cosΦ
= r .
dΨ
M
(4.1.2.-7)
dr
dr
dΦ
dr
r dr
N ⋅ cosΦ
= = ⋅ = ⋅ = ⋅ .
dΨ
dΦ
dΨ
dΦ
M dΦ
M
(4.1.2.-8)
c c
2 2
N = , M = és V = 1+
e′
⋅ cos Φ . (4.1.2.-9)
3
V V
A szorzat deriváltjának képzési szabálya szerint
dr
d
=
dΦ
( N ⋅ cosΦ
)
dΦ
⎛ c ⎞
d⎜
⋅ cosΦ
⎟
⎝V
=
⎠
dΦ
c
= −
V
dV
c
⋅ ⋅ cosΦ
−
dΦ
V
2
⋅
sinΦ
. (4.1.2.-10)
A 3.1.1.1. fejezetben, a (3.1.1.1.-5) képlet után meghatároztuk a
dV
e′
= −
dΦ
2
⋅ cos
V
2
Φ sinΦ
⋅ .
cosΦ
dV
dΦ
differenciálhányadost:
Visszahelyettesítve a (4.1.2.-10)-be:

131
d r c 2 sinΦ
c
= ⋅ e′
⋅ cos
2 Φ ⋅ ⋅ cosΦ
− ⋅ sinΦ
.
3
dΦ
V
cosΦ
V
A kifejezés jobb oldalából emeljünk ki
− c
Φ
V ⋅sin -t:
3
2 2 2
mert − e ′ ⋅ cos Φ + V = 1.
2 2 2 c
( − e′
⋅ cos Φ + V ) = − sinΦ
dr
c
= − ⋅ sinΦ
⋅
⋅
3 3
dΦ
V
V
A (4.1.2.-11) jobb oldalát írjuk be a (4.1.2.-8)-ba, végül:
, (4.1.2.-11)
2
d B c N ⋅ cosΦ
N ⋅ cosΦ
= − ⋅sinΦ
⋅ = −M
⋅ sinΦ
⋅ = −N
⋅ cosΦ
⋅sinΦ
= −r
⋅ sinΦ
.
2 3
dΨ
V
M
M
(4.1.2.-12)
3
d B differenciálhányados:
dψ
A
3
továbbá
d
3
d B
3
dΨ
( − r ⋅ sin )
dΦ
d
=
( − r ⋅sinΦ
) d( − r ⋅ sinΦ
) dΦ
d( − r ⋅ sinΦ
)
dΨ
=
dΦ
⋅ =
dΨ
dΦ
⋅
r
M
,
(4.1.2.-13)
⎛ c
⎞
d⎜−
⋅ cosΦ
⋅sinΦ
⎟
⎝ V
⎠ c dV
c 2 c
=
= ⋅ ⋅ cosΦ
⋅ sinΦ
+ ⋅sin
Φ − ⋅ cos
2
dΦ
V dΦ
V V
Φ 2
2 2
c e′
⋅ cos Φ sin
= − ⋅ ⋅
Φ c 2 c
⋅ cosΦ
⋅ sinΦ
+ ⋅sin
Φ − ⋅ cos
2 Φ =
2
V V cosΦ
V V
c 2 2 2 c 2 c 2
= − ⋅ e′
⋅ cos Φ ⋅sin
Φ + ⋅ sin Φ − ⋅ cos Φ =
3
V
V V
2 2 2 c 2
2
2
( − e′
⋅ cos Φ + V ) − ⋅ cos Φ = M ⋅sin
Φ − ⋅ Φ
c 2
= ⋅ sin Φ ⋅
N cos ,
3
V
V
1
(4.1.2.-14)
2 2 2 c c
mert − e ′ ⋅ cos Φ + V = 1, = N és = M .
3
V V
Helyettesítsünk be a (4.1.2.-13)-ba:
Φ =
3
B
3
dΨ
d
=
( − r ⋅sinΦ
) r
2
N ⋅ cosΦ
⋅ = ( ⋅ Φ − ⋅ Φ ) ⋅ =
d 2
dΦ
M
M
sin
N
cos
2
2
2 N 3
3
⎛ N sin Φ ⎞
= N ⋅ sin Φ ⋅ cosΦ
− ⋅ cos Φ = −N
⋅ cos Φ ⋅
⎜ −
⎟ .
2
M
⎝ M cos Φ ⎠
M

133
összefüggésbıl (1.2.2.1. pont)! A közép-meridiánon dΛ = 0 , így
Az (1.2.1.2.-5) és az (1.2.1.2.-6) szerint írhatjuk:
ds
= M ⋅ dΦ
. (4.1.3.-1)
B =
Φ
0
1
∫
ds
=
= a ⋅
Φ
0
1
∫
M ⋅ dΦ
= c ⋅
2
( 1−
e )
⋅
Φ
0
1
∫
Φ
0
1
∫
2 2
( 1+
e′
⋅ cos Φ )
dΦ
dΦ
( ) .
2 2 3
1−
e ⋅sin
Φ
3
=
(4.1.3.-2)
A (4.1.3.-2) kifejezés zárt formában nem integrálható, ezért képezzük az alábbi negatív kitevıjő
binomiális sort az e 10. hatványáig:
1
2 2
( 1−
e ⋅sin
Φ )
3⋅5
⋅ 7
+ ⋅ e
2 ⋅ 4 ⋅ 6
+
6
3
⋅ sin
35
⋅ e
16
6
6
=
2 2
( 1−
e ⋅ sin Φ )
3⋅
5⋅
7 ⋅9
Φ + ⋅ e
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8
3 2
= 1+
⋅ e ⋅sin
2
6 315
⋅sin
Φ + ⋅ e
128
8
2
8
3
−
2
⋅ sin
⋅sin
= 1+
8
15
Φ + ⋅ e
8
8
3
2
⋅ e
2
⋅ sin
3⋅5
Φ + ⋅ e
2 ⋅ 4
3⋅5
⋅ 7 ⋅ 9 ⋅11
Φ +
⋅ e
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅8⋅10
Φ +
4
⋅sin
693
256
4
⋅ e
2
Φ +
10
⋅ sin
10
10
4
⋅sin
Φ + K =
⋅ sin
10
4
Φ +
Φ + K =
Ismeretesen, egy szög sinusának páros kitevıjő hatványait kifejezhetjük a szög páros számú
többszörösei cosinusainak függvényében, pld.
mert
2
⎡ 1
2
2 2 ⋅sin
Φ 2
⎤
( 1−
cos 2Φ
) = ⋅ ( 1−
cos Φ + sin Φ ) = = sin ⎥ ⎦
2 1
sin Φ = ⋅ ⎢
Φ ,
2
⎣ 2
2
=
4
2 2
sin Φ = sin Φ ⋅ sin Φ =
1
8
⋅
cos
s így tovább a sin
10 Φ -ig.
1
4
⋅
2
( 1−
2 ⋅ cos 2Φ
+ cos 2Φ
)
( 2 − 4 ⋅ cos 2Φ
+ 1+
cos 4Φ
) = ⋅ ( cos 4Φ
− 4 ⋅ cos 2Φ
+ 3)
2
1
8
2 1
1 1
2Φ = 1−
sin 2Φ
= 1−
⋅ (1 − cos 4Φ
) = + ⋅ cos 4Φ
,
2
2 2
A (4.1.3.-2) integrál alatti törtet, a Φ szög páros számú többszöröseinek cosinusai szerint rendezve,
felírhatjuk az alábbi alakban:
3
2 2 −
( 1−
⋅sin
Φ ) 2 = A − B ⋅ cos 2Φ
+ C ⋅ cos 4Φ
− D ⋅ cos 6Φ
+ E ⋅ cos8Φ
− F ⋅ cos10Φ
e .
=
,
(4.1.3.-3)

134
Az A, B, C, D, E, F együtthatók értékeit a 4.1.3.-1 táblázatban foglaljuk össze:
4.1.3.-1. táblázat: Együtthatók a meridiánív számításához
0
e
A +1
B
C
D
E
F
2
e
3
+
4
3
+
4
4
e
45
+
64
15
+
16
15
+
64
6
e
175
+
256
525
+
512
105
+
256
35
+
512
8
e
11025
+
16384
2205
+
2048
2205
+
4096
315
+
2048
315
+
16384
10
e
43659
+
65536
72765
+
65536
10395
+
16384
31185
+
131072
3465
+
65536
693
+
131072
A 4.1.3.-1. táblázatban az oszlopok és sorok találkozásainál lévı számok mindig az e elsı
numerikus excentricitás megfelelı hatványaival szorzandók.. Az A…F együtthatókat a szorzatok
összege adja meg. A B együttható nem tévesztendı össze az ugyanilyen jelöléső B meridiánívvel!
A (4.1.3.-3) kifejezést a (4.1.3.-2)-be helyettesítve, az már tagonként integrálható. Integrálás
után az ellipszoidi meridiánív hossza:
2 ⎛ B C D E F ⎞
( 1−
e ) ⋅⎜
A⋅Φ − ⋅sin 2Φ
+ ⋅sin 4Φ
− ⋅ sin 6Φ
+ ⋅sin 8Φ
− ⋅sin10
⎟
⎠
B = a ⋅
Φ .
⎝ 2 4 6 8 10
(4.1.3.-4)
Az adott ellipszoid paramétereinek függvényében az a fél nagytengely és az e excentricitás
behelyettesítésével a B ellipszoidi meridiánív a Φ ellipszoidi földrajzi szélesség függvényében
számítható. Ha a Φ pld. szögfokban adott, úgy az (4.1.3.-4) összefüggésben az
A ⋅Φ tagot az 1 radián megfelelı értékével még osztani kell.
4.1.4. Inverz vetületi egyenletek
A
x + i ⋅ y =
x − i ⋅ y =
f
f
1
2
( Ψ + i ⋅ L)
(a)
( Ψ − i ⋅ L) (b)
, (4.1.1.-5)
összefüggések módosításával kiinduló függvényeink legyenek az alábbiak:
Ψ + i ⋅ L = F
Ψ − i ⋅ L = F
Fejtsük Taylor-sorba a (4.1.4.-1) függvényeket:
( x + i ⋅ y)
(a)
( x − i ⋅ y) (b)
. (4.1.4.-1)

135
Ψ +
dF
i ⋅ L = F( x)
+ i ⋅ y ⋅
dx
4 4
y d F
+ ⋅
4
24 dx
2 2
3 3
( x) y d F( x) y d F( x)
−
2
5 5
( x) y d F( x) + i ⋅ ⋅ ,
120
⋅
dx
dx
5
2
− i ⋅
6
⋅
dx
3
+
Ψ −
dF
i ⋅ L = F( x)
− i ⋅ y ⋅
dx
4 4
y d F
+ ⋅ −
4
24 dx
2 2
3 3
( x) y d F( x) y d F( x)
−
2
5 5
( x) y d F( x) i
.
⋅
⋅ ⋅
120
dx
dx
5
2
+ i ⋅
6
⋅
dx
3
+
(4.1.4.-2)
A (4.1.4.-2) összefüggések összeadásával és kivonásával kapjuk (az utóbbi esetben i-vel egyszerősítünk):
4 4
( x) y d F( x) + ⋅ ,
2 2
y d F
Ψ = F( x)
− ⋅
(a)
2
4
2 dx
24 dx
3 3
5 5
( x) y d F( x) y d F( x) − ⋅ + ⋅ .
dF
L = y ⋅
(b) (4.1.4.-3)
3
5
dx
6 dx 120 dx
Vezessük be az alábbi feltételeket:
1. y = 0 mellett L = 0 ,
2. F ( x)
= Ψ1
, (4.1.4.-4)
ahol Ψ
1
a Φ
1
ellipszoidi földrajzi szélességnek megfelelı ún. izometrikus szélesség. A Ψ
1
a
M
r
d M
⋅ Φ = ⋅ dΦ
dΨ
N ⋅ cosΦ
=
(4.1.1.-2)
függvény integrálja a Φ
1
helyen. A (4.1.1.-2) integrált a 3.1 pontban már meghatároztuk:
d
e
⎡
⎤
M Φ
1 sin
ln⎢
⎛ Φ π ⎞ ⎛ − e ⋅ Φ ⎞
Ψ = tan ⎜ ⎟
2
⎥
∫ ⋅ = ⎜ + ⎟ ⋅
. (4.1.4.-5)
N cosΦ
⎢ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝1+
e ⋅ sinΦ
⎠ ⎥
⎣
⎦
A képletbe Φ1
-t helyettesítve, kapjuk:
e
⎡
⎤
1 sin
2
ln
⎢ ⎛ Φ1
π ⎞ ⎛ − e ⋅ Φ1
⎞
Ψ
1
= tan⎜
+ ⎟ ⋅
⎥
.
⎢ 2 4
⎜
1 sin
⎟
(4.1.4.-6)
⎝ ⎠
⎥
1
⎢
⎝ + e ⋅ Φ ⎠
⎣
⎥⎦
A 2. feltételt a 4.1.4.-1/a. és a 4.1.4.-1/b. ábrák alapján láthatjuk be: a 4.1.4.-1/b. ábrán a P
pont x koordinátája ( x = KT1
) ugyanis y = 0 és L = 0 mellett egyenlı az ellipszoidi K T′
1
meridiánív egyenlítıtıl számított hosszával (4.1.4.-1/a. ábra).

136
x
K
Ellipszoid
É
T 1 ’
P’
T’ Szélességi kör
B
Egyenlítı
x
+ x
T 1
T
K
P
Szélességi kör képe
B
+ y
Egyenlítı képe
a) b)
D
Vetület
4.1.4.-1. ábra: x = K T 1
′ = KT1
, y = 0 és L = 0 mellett F ( x)
= Ψ1
a – az ellipszoidon, b – a vetületen
A (4.1.4.-4) feltételekkel a (4.1.4.-3/a) és a (4.1.4.-3/b) egyenletek a
Ψ = Ψ
y
2
⎛ d Ψ ⎞
⋅ ⎜ ⎟
2
⎝ dx
⎠
4 4
y ⎛ d Ψ ⎞
+ ⋅ ⎜
4
24 ⎝ dx ⎠
2
1
−
⎟
2
1
1
,
(a)
L =
⎛ dΨ
⎞
y ⋅ ⎜ ⎟
⎝ dx
⎠
1
−
y
6
3
3
⎛ d Ψ ⎞
⋅ ⎜ ⎟
3
⎝ dx ⎠
1
5 5
y ⎛ d Ψ ⎞
+ ⋅ ⎜ ⎟
5
120 ⎝ dx
⎠
1
.
(b) (4.1.4.-7)
alakot öltik, ahol az 1 indexek a derivált képzés helyére utalnak. A (4.1.4.-5) és (4.1.4.-6) öszszefüggések
alapján általánosan
( ) = Φ[ Ψ + ( Ψ −Ψ
)]
Φ = Φ Ψ
1
Φ = Φ ( Ψ ).
1
1
1
,
(4.1.4.-8)
Taylor-sorba fejtéssel és a Ψ − Ψ1
(4.1.4.-7/a) összefüggésbıl kifejezhetı értékének behelyettesítésével:
⎡ y
Φ = Φ − ⎢
⎢⎣
A továbbiakban, mivel, mint láttuk,
és
2
⎛ d Ψ ⎞
⋅ ⎜ ⎟
2
⎝ dx
⎠
dx
= M ⋅ dΦ
(1.2.2.1. pont), kapjuk:
4 4
y ⎛ d Ψ ⎞
+ ⋅ ⎜ ⎟
4
24 ⎝ dx ⎠
2
1
2
⎥ ⋅
1
1 ⎥
⎤
⎦
dΦ
. (4.1.4.-9)
dΨ
M
dΨ = ⋅ dΦ
(4.1.4.-10)
N ⋅ cosΦ
dΨ
=
dx
1 1
= ,
N ⋅ cosΦ
r
⎛ dΨ
⎞
⎜ ⎟
⎝ dx
⎠
=
N
⋅
1
cos
1 1
Φ1
. (4.1.4.-11)

137
A (4.1.4-10)-bıl
⎛ dΦ
⎞
⎜ ⎟
⎝ dΨ
⎠
1
=
N
1
⋅ cosΦ1
. (4.1.4.-12)
M
1
Képezzük a második deriváltakat:
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
2
d⎜
⎟ d⎜
⎟
d Ψ r r dΦ
1 dr
dΦ
=
⎝ ⎠
=
⎝ ⎠
⋅ = − ⋅ ⋅ , (4.1.4.-13)
2
2
dx
dx
dΦ
dx
r dΦ
dx
ahol
dΦ
=
dx
1
M
a
dx
= M ⋅ dΦ
miatt. Képezzük a
dr
d
=
dΦ
( N ⋅ cosΦ
)
dΦ
dr
dΦ
deriváltat:
⎡
d⎢a
⋅
= −N
⋅sinΦ
+ cosΦ
⋅
⎣
⎡
⎢a
⋅ e
= −N
⋅sinΦ
+ cosΦ
⋅
⎢
⎣
2
⎤
⋅sinΦ
⋅ cosΦ
⎥ =
3
⎥
2
⎦
2 2
( 1−
e ⋅ sin Φ )
2 2
( 1−
e ⋅sin
Φ )
dΦ
1
−
2
⎤
⎥
⎦
=
⎡
2 2
⎤
2 2
a ⋅ e ⋅ cos Φ
⎡ e ⋅ cos Φ ⎤
= −N ⋅ sinΦ ⋅ ⎢1
−
⎥ = −N
⋅ sinΦ
⋅ ⎢1
−
⎥ ,
2 2
2 2
2 2
⎢⎣
N ⋅ ( 1−
e ⋅sin
Φ ) ⋅ 1−
e ⋅ sin Φ ⎥⎦
⎣ 1−
e ⋅ sin Φ ⎦
mert
a a
N = =
(1.2.1.2.-7. képlet). Végül
W
2 2
1−
e ⋅ sin Φ
dr
⎡1−
e
= −N
⋅ sinΦ
⋅ ⎢
dΦ
⎣
2
2 2
⋅sin
Φ − e ⋅ cos
2 2
1−
e ⋅sin
Φ
2
Φ ⎤
⎥ = −
⎦
1−
e
2
a
⋅sin
2
2
⎡ 1−
e
⋅ sinΦ
⋅ ⎢ 2
Φ ⎣1−
e ⋅sin
2
⎤
⎥
Φ ⎦
és
2
a ⋅ ( 1−
e )
mert M =
3
2 2
( 1−
e ⋅ sin Φ) 2
2
a ⋅ ( 1−
e )
2 2
( 1−
e ⋅sin
Φ )
dr
= −
⋅sinΦ
= −M
⋅sinΦ
, (4.1.4.-14)
3
dΦ
(1.2.1.2.-6. képlet).
Visszahelyettesítve a (4.1.4.-13)-ba:
2
d Ψ 1
1 sinΦ
= − ⋅ ( − M ⋅sinΦ
) ⋅ = . (4.1.4.-15)
2 2
2
dx
r
M r
2
A (4.1.4.-15) értéke a Φ
1
helyen:

138
2
⎛ d Ψ ⎞
⎜
2
d
⎟
⎝ x ⎠
1
sinΦ
=
1
2
r1
=
N
2
1
sinΦ
1
2
⋅ cos Φ
1
=
tanΦ1
. (4.1.4.-16)
N ⋅ cosΦ
2
1
1
A magasabb rendő deriváltak képzése, valamint a (4.1.4.-7/b) és a (4.1.4.-9) képletekbe helyettesítés,
ill. algebrai átalakítások után az ellipszoidi földrajzi koordinátákat minden gyakorlati
esetet kielégítı pontossággal az alábbi összefüggésekbıl számíthatjuk:
y
Φ = Φ1
−
2 ⋅ M
1
2
⋅ N
1
2
⎧ y
⎪1
− ⋅
2
12 ⋅ N1
⋅ tanΦ1
⋅ ⎨
4
⎪ y
+ ⋅
⎪
4
⎩ 360 ⋅ N1
2
2 2 2
( 5 + 3⋅
tan Φ + η − 9 ⋅η
⋅ tan Φ )
1
1
⎫
+ ⎪
⎬
2
4
( 61+
90 ⋅ tan Φ + ⋅ )
⎪ ⎪ 1
45 tan Φ1
⎭
1
1
(a)
2
2
( 1+
2 ⋅ tan Φ + η )
2
⎧
y
⎫
⎪ 1−
⋅
+
2
1 1
⎪
y
6 ⋅ N1
L = ⋅ ⎨
⎬ (b)
4
N1
⋅ cosΦ1
⎪ y
2
4
2 2 2
+ ⋅ ( 5 + 28⋅
tan Φ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ) ⎪
1
24 tan Φ1
6 η1
8 η1
tan Φ1
⎪
4
⎩ 120 ⋅ N1
⎪
⎭
(4.1.4.-17)
A (4.1.4.-17/a) és (4.1.4.-17/b) képletek az ellipszoidi földrajzi szélességet és hosszúságot 1-2
százezred szögmásodperc élességgel szolgáltatják. Ahhoz, hogy a Φ és Λ mennyiségeket
szögfok, szögperc, szögmásodpercben megkapjuk, az 1 radián megfelelı értékeivel még szorozni
kell.
A (4.1.4.-17/a) képletben a Φ1-t a
2 ⎛ B C D E F ⎞
( 1−
e ) ⋅⎜
A⋅Φ − ⋅sin 2Φ
+ ⋅sin 4Φ
− ⋅ sin 6Φ
+ ⋅sin 8Φ
− ⋅sin10
⎟
⎠
B = a ⋅
Φ .
⎝ 2 4 6 8 10
(4.1.3.-4)
összefüggésbıl fokozatos közelítéssel tudjuk meghatározni, pld. a Függelékben 4.1.4.-1. pont
alatt található VisualBasic nyelvő rutinnal. A rutin az x koordináta és a meridiánívnek az aktuális
Φ -vel számított B hosszát hasonlítja össze. A rutinból kijövı Fi lesz a keresett Φ
1.
4.1.5. A Gauss-Krüger vetület redukciói
4.1.5.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció
A lineármodulus meghatározása ellipszoidi földrajzi koordinátákból
A lineármodulus értéke kifejezhetı a lineármodulus általános egyenletébıl:
Az (1.2.2.1.-7)-ben
2
2
2
l = P ⋅ cos α + Q ⋅ sin 2α
+ T ⋅ sin α . (1.2.2.1.-7)

139
E
P = ,
2
M
F G
Q = , T = .
2
M ⋅ r r
Az
2
l értéke a két vetületi fıirányban, a koordinátahálózati vonalak
merılegességi feltétele mellett:
I. vetületi fıirány (az egyenlítı mentén):
∂x
∂x
∂y
∂y
F = ⋅ + ⋅ = 0
(1.2.2.3.-3)
∂Φ
∂Λ
∂Φ
∂Λ
ahol
2
G
l( 90 , 0 ) =
o o T = , (4.1.5.1.-1)
α = ω=
2
r
2
2
⎛ ∂x
⎞ ⎛ ∂y
⎞
G = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ és r = N ⋅ cosΦ
.
⎝ ∂Λ
⎠ ⎝ ∂Λ
⎠
II. vetületi fıirány (a közép-meridián mentén):
2
E
l( 0 , 90 ) o o P =
α = ω=
2
M
, (4.1.5.1.-2)
ahol
2
⎛ ∂x
⎞ ⎛ ∂y
⎞
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ .
⎝ ∂Φ
⎠ ⎝ ∂Φ
⎠
A két vetületi fıirányban a lineármodulusok egyenlık, ezért az l értékét mind a (4.1.5.1.)
mind a (4.1.5.1.-2) képletbıl meghatározhatjuk. A meghatározást a (4.1.5.1.-1) képlet alapján
fogjuk végezni. Képezzük a (4.1.2.-17/a) és a (4.1.2.-17/b) differenciálhányadosait:
2
dy
dL
dx
= L ⋅ N ⋅ sinΦ
⋅ cosΦ
+ K
dL
2
L
3
= N ⋅ cosΦ
+ ⋅ N ⋅ cos Φ
2
(a)
2 2
( 1 − tan Φ + η ) + K (b)
(4.1.5.1.-3)
Továbbá
= N
G =
2
2
2 ⎡ L
3
2 2
( L ⋅ N ⋅sinΦ
⋅ cosΦ
) + N ⋅ cosΦ
+ ⋅ N ⋅ cos Φ ⋅ ( 1−
tan Φ + η )
2 2
cos Φ ⋅ L
⋅ sin
2
⎡
⎢N
Φ + ⎢
⎢
⎢
⎣
2
⎢
⎣
⋅ cos
2
Φ + 2 ⋅ N
4
L
+
4
⋅ N
2
2
2
⋅ cos
⋅ cos
6
4
Φ ⋅
2
L
Φ ⋅ ⋅
2
2 2
( 1−
tan Φ + η )
2 2
( 1−
tan Φ + η )
2
⎤
⎥
⎦
2
=
⎤
+ ⎥
⎥ ≈
⎥
⎥
⎦

140
≈ N
2
= N
2
cos
2
cos
Φ ⋅
2
2 2
2 2
2 2
[ L ⋅sin
Φ + 1+
L ⋅ cos Φ ⋅ ( 1−
tan Φ + η ) + K]
⎡
Φ ⋅ ⎢1
+ L
⎣
= N
amivel, (a (4.1.5.1.-1) szerint
2
cos
2
2
Φ ⋅
⋅ cos
2
2
⎛ sin Φ
2 2 ⎞ ⎤
Φ ⋅
⎜ + 1−
tan Φ + η + K =
2
⎥
cos
⎟
⎝ Φ
⎠ ⎦
2 2
2
[ 1+
L ⋅ cos Φ ⋅ ( 1+
η ) + K],
1
2 2
[ 1+
⋅ cos Φ ⋅ ( 1+
η )] 2 2
G
l = ≈ L
, (4.1.5.1.-4)
N ⋅ cosΦ
vagy, a binomiális tétel alapján, a 2. tagig bezárólag:
2
( 1 )
A lineármodulus meghatározása vetületi koordinátákból
2
L 2
l = 1 + ⋅ cos Φ ⋅ + η . (4.1.5.1.-5)
2
A (4.1.5.1.-5) képletben írjuk L helyére a (4.1.4.-17/b) képlet elsı,
y
L = (4.1.5.1.-6)
N
1
⋅ cosΦ 1
tagját, a cos
2 Φ -t pedig határozzuk meg az alábbi sorba fejtéssel:
sinΦ
[ Φ − ( Φ −Φ
)] = sinΦ
− ( Φ −Φ
) ⋅ Φ + K
= sin
1 1
1 1
cos
1
A (4.1.4.-17/a) második tagjából és a (4.1.2.-15) képlet figyelembe vételével
2
2
1
1
−Φ
= ⋅ tanΦ1
= ⋅ ⋅ 1
2
2 ⋅ M
1
⋅ N1
2 ⋅ N1
cosΦ1
2
( η )
y
y sinΦ
Φ +
1
,
=
valamint
s így
Négyzetre emelve:
2
y
2
( Φ −Φ
) ⋅ cosΦ
= ⋅ sinΦ
⋅ ( + η )
1 1
2 1
1
2 ⋅ N1
2
1
− ⋅sinΦ
2 1
⋅ 1
2 ⋅ N1
1
2
( η )
y
sinΦ = sinΦ
+
1
.
,
2
sin Φ = sin
2 y
= sin Φ1
−
N
2
2 ⋅ y
Φ1
−
2 ⋅ N
2
2
1
2
2
1
2
⋅sin
Φ ⋅
2 y
⋅sin
Φ1
−
N
2
2
1
1
⋅ sin
4
2 y
2
2
( 1+
η ) + ⋅sin
Φ ⋅ ( 1+
η )
2
1
4 ⋅ N
4
1
4
2 y
Φ1
⋅η1
+
4 ⋅ N
4
1
1
2
⋅ sin Φ ⋅
1
1
2 2
( 1+
η ) .
1
2
=

141
A kapott kifejezés két utolsó tagját az elsı kettıhöz képesti kicsiségük miatt elhagyva:
Továbbá:
végül
2
2 y
sin Φ = sin Φ1
−
N
2
2 y
cos Φ = 1−
sin Φ1
+
N
cos
2
2
2
1
2
2
1
2
⋅ sin Φ .
2
2 y
⋅sin
Φ1
= cos Φ1
+
N
1
2
2
1
2
⋅ sin Φ ,
2
2
⎛ y 2
⎞
Φ = cos Φ ⋅
⎜ + ⋅
⎟
1
1 tan Φ
2
1
. (4.1.5.1.-7)
⎝ N1
⎠
1
A (4.1.5.1.-6) és a (4.1.5.1.-7) kifejezéseket a (4.1.5.1.-5)-be helyettesítve és η helyébe η1
-t
írva:
⎛
⎜
= 1+
⎝ N
l
1
= 1+
2 ⋅ N
y ⎞
cosΦ
⎟
⋅
1 ⎠
2
2
1
⋅ cos
2
y
⋅ cos
2
⋅ cos Φ
2
1
2
⎛ y
Φ1
⋅
⎜1+
⎝ N
2
⎛ y
Φ1
⋅
⎜1+
⎝ N
2
2
1
2
2
1
2
⎞
⋅ tan Φ1
⎟ ⋅
⎠
⋅ tan
2
2
( 1+
η )
⎞
2
Φ1
⎟ ⋅ ( 1+
η1
).
⎠
2
y 2
A zárójelben lévı ⋅ tan Φ
2
1
tag az 1-hez képest kicsi, s késıbbi szorzások után elhanyagolható.
Ezért
N1
írhatjuk:
2
( 1+η
)
2 2 2
ahol η1 = e ′ ⋅ cos Φ1. A Gauss-gömbre érvényes
2
y
l = 1+
⋅
2 1
, (4.1.5.1.-8)
2 ⋅ N
1
1
=
összefüggésbıl
c
R = M ⋅ N =
(1.2.1.3.-1)
2
V
c
R =
N
2
1
1
1
= , ill.
2
2 2
V1
V1
R =
1
N1
1
V
2
2
és a (4.1.2.-15) szerint V
1
= 1+
η1
, ezért a (4.1.5.1.-8) összefüggés végül az
l
2
y
= 1+
(4.1.5.1.-9)
2 ⋅ R
2
1

142
alakot ölti. A (4.1.5.1.-9)-ben R
1
a közép-meridián mentén a Φ
1
földrajzi szélességnél értelmezett
átlagos földgörbületi sugár. Az 1.2.1.2. pontban megismert
2 c
c = a ⋅ 1+
e′
és N = összefüggések figyelembe vételével:
V
2 2
V = 1+
e′
⋅ cos Φ ,
R
1
N
c
a ⋅
1+
e′
2
1
= = =
. (4.1.5.1.-10)
2 2
V1
V1
⋅V1
1+
e′
⋅ cos Φ1
A hossztorzulási tényezıt és a hosszredukciót az eddigiekhez hasonlóan a lineármodulus
reciprokából kiindulva határozhatjuk meg. A (4.1.5.1.-9) összefüggés
1
l
2
⎛ y
=
⎜1+
⎝ 2 ⋅ R
2
1
⎞
⎟
⎠
−1
reciprokának a másodrendő tagig bezárólag vett
1
l
2
y
= 1−
(4.1.5.1.-11)
2 ⋅ R
2
1
binomiális sora a 2.2.3.1. pontban tárgyalt
2
1 x
= 1−
(2.2.3.1.-5)
2
l 2 ⋅ R
képlettıl csak abban különbözik, hogy az ottani x helyett itt y szerepel. Ezért teljes összhangban
az ott bemutatott levezetéssel, a hossztorzulásra az
U
2
k
2
2
( y + y ⋅ y + y )
1
= ⋅
1 1 2 2
(4.1.5.1.-12)
6 ⋅ R
összefüggést vezethetjük le. A hossztorzulási tényezıre az
a hosszredukcióra a
a hosszredukcióval korrigált távolságra a
d 1
m = = ≈ 1+
U , (2.1.3.1.-8)
s 1−U
∆ s = d − s = U ⋅ s , (2.1.3.1. -9)
s = d + ∆s
(2.1.3.1.-10)
összefüggéseket kapjuk. (az utolsó három képlet számozása a 2.1.3.1. pont számozásával azonos).
Az R
k
most a két pont közötti közepes földgörbületi sugár, a gyakorlati számítások
szempontjából a tıle való kis eltéréseknek nincs érzékelhetı hatása. Szükség esetén számítható,
kiindulva az

143
c
R = M ⋅ N =
(1.2.1.3.-1)
2
V
összefüggésbıl.
A (4.1.5.1.-12)-bıl látszik, hogy a hossztorzulás csak az y koordinátától függ. Mivel
U pozitív, a hosszredukció is pozitív, azaz a Gauss-Krüger vetületi távolságok nagyobbak az
ellipszoidi távolságoknál. Az x tengely – a közép-meridián képe - mentén a hossztorzulás 0,
attól távolodva a hossztorzulás az y tengely mentén nı.
A hossztorzulás mértéke – mint mondtuk feljebb - az y ≈ ±90 km mellett éri el az
1
o
o o
U = -t, ez Magyarországon Lmax ≈ 1, 2 -nak, vagyis 2 ⋅ 1,2 = 2,4 sávszélességnek felel
meg. Ez sokkal kisebb a nemzetközi sávbeosztás kisebb méretarányú térképekre vonatkozó
10000
o
6 -os sávszélességénél (4.1.6. pont).
4.1.5.2. Második irányredukció
A 4.1.5.2.-1. ábrán a
QPT trapéz
felel meg 14 . Az ellipszoidi
′ P′
T′
T ellipszoidi idomnak a vetület síkjában a T
P Q
P Q
Q ′
Q
Q P′
T′
T′
o
′
P
idom szögeinek összege 360 + ε , ahol ε közelítıleg
az idomra vonatkozó gömbi szögfölösleg. A 4.1.5.2.-1/b. ábrán a
vonal) síkidom területe
o
360 ∆
PQ
+ ∆
QP
+ .
+ x
QPT T P Q
(a QP görbe
T′
Q
Q’
T Q
y Q
∆ QP
Q
δ PQ
∆ PQ
x Q
T P
b)
T′
P
a)
P’
K
y P
P
x P
+ y
4.1.5.2.-1. ábra: Egymásnak megfelelı alakzatok
a) az ellipszoidon, b) a vetületen
A szögtartóság eredményeként a két idom szögeinek összege egyenlı, vagyis
vagy
o
o
360 = 360 + ∆
PQ
+ ∆
QP
+ ε ,
ε = ∆ + . (4.1.5.2.-1)
PQ
∆ QP
14 Lásd a 2.2.3.2. pont hasonló levezetését!

144
Figyelembe véve, hogy a
QPT trapéz területe könnyen beláthatóan
T P Q
valamint durva közelítéssel elfogadva, hogy
( y + y ) ⋅ ( x − x )
Q
P
T = ,
2
PQ
Q
P
∆ = ∆ , az
QP
összefüggés alapján írhatjuk:
T
ε = 2
⋅ ρ′
R
(1.2.2.12.-25)
( yQ
+ yP
) ⋅ ( xQ
− xP
) ρ
T ε = ⋅ ρ ′′ =
2
2 ⋅ ′′
R
⋅ R
k
2
k
és
( yQ
+ yP
) ⋅ ( xQ
− xP
) ρ ′
ε
∆ ∆
⋅ ′
PQ
=
QP
= =
.
2
4 ⋅ R
2
k
Bevezetve az
jelölést, végül kapjuk:
y
k
=
y
Q
+ y
2
P
( xQ
− xP
) ρ
yk
⋅
∆
PQ
= ∆
QP
=
2 ⋅ ′′ . (4.1.5.2.-2)
⋅ R
2
k
O
2 ⋅ dγ
ρ
dd
Q
∆
QP
q
ξ
+x
P
δ
∆
PQ
p
ds
+y
η
4.1.5.2.-2. ábra: A második irányredukció a Gauss-Krüger vetületben
A 4.1.5.2.-2. ábrán legyen PpqQ a P’Q’ ellipszoidi geodéziai vonal képe. Jelöljük a p
és q pontok közötti elemi ívhosszat ds-sel. A pOq elemi szög legyen 2 ⋅ dγ
. Ekkor a (4.1.5.2.-
2) összefüggéshez hasonlóan – egyelıre az elıjel figyelmen kívül hagyásával – írhatjuk:
y ⋅dx
2 ⋅dγ =
(4.1.5.2.-3)
2
R k

145
Jelöljük a PpqQ görbe görbületi sugarát ρ-val. A pOq háromszögben
2 ⋅ dγ ⋅ ρ = ds ,
vagy, jó közelítéssel
2 ⋅ dγ ⋅ ρ = dd , (4.1.5.2.-4)
ahol dd a PQ húr végtelen kis eleme. A (4.1.5.2.-3)-at helyettesítve:
1 2 ⋅dγ
y dx
=
2
ρ dd = R
⋅
k
dd
. (4.1.5.2.-5)
Vegyünk fel a továbbiakban egy P origójú ξη derékszögő koordinátarendszert, melynek ξ tengelye
a PQ húr irányába esik, η tengelye pedig erre merıleges. A differenciálgeometriából
ismeretesen a ξη koordinátarendszerben a görbületi sugárra felírható az
2
d η
2
1 dξ
= −
ρ
2
⎡ ⎛ dη
⎞ ⎤
⎢1
+ ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ dξ
⎠ ⎥⎦
3
2
(4.1.5.2.-6)
dη
összefüggés. A -t úgy is tekinthetjük, mint a PpqQ görbe és a PQ húr által bezárt szög
dξ
tangensét, amelynek négyzete az 1-hez képest rendkívül kicsi. Ezért jó közelítéssel
A (4.1.5.2.-7)-et a (4.1.5.2.-5)-vel összevetve,
adódik, mert
2
1 d η
= − . (4.1.5.2.-7)
2
ρ dξ
2
d η y dx
y dx
− = ⋅ = ⋅
(4.1.5.2.-8)
2 2
2
dξ
R dd
R dξ
k
d d = dξ .
A PQ húr irányszögét jelöljük δ-val. A ξ tengelyen lévı tetszıleges pont koordinátáira az 1.
fıfeladat (1.2.1.4.-4) képletei alapján fennáll, hogy
k
y
x
Q
Q
=
=
dx
y
x
P
P
+ ξ ⋅ sin δ ,
+ ξ ⋅ cos δ ,
= dξ
⋅ cos δ .
(4.1.5.2.-9)

146
A (4.1.5.2.-9) összefüggések figyelembe vételével a (4.1.5.2.-8) felírható a következı alakban:
2
d η
− =
2
dξ
y
P
+ ξ ⋅sinδ
⋅ cosδ
.
2
R k
Integráljuk kétszer ξ szerint a fenti egyenletet:
dη
− =
dξ
y
P
2
⋅ cosδ
ξ
⋅ξ
+
R 2 ⋅ R
2
k
2
k
⋅ sin δ ⋅ cosδ
+ C
1
(4.1.5.2.-10)
−
y
⋅ cosδ
ξ
3
P
2
η = ⋅ξ
+ ⋅ sin δ ⋅ cosδ
+ C
2
2
1
+ C2
(4.1.5.2.-11)
2 ⋅ Rk
6 ⋅ Rk
Határozzuk meg a C 1 és a C 2 integrálási állandókat! Mivel a P pontban
dη
ξ = 0,
η = 0 és = tan ∆PQ
≈ ∆PQ
,
dξ
a (4.1.5.2.-10)-bıl
a (4.1.5.2.-11)-bıl pedig
A Q pontban
C
1
= −∆ PQ
,
C
2
= 0 .
η = 0, ξ = d = PQ ,
ezért a (4.1.5.2.-11)-bıl d-vel való egyszerősítés után
ahonnan
y
⋅ cosδ
d
d
2
P
0 = ⋅ + ⋅ sinδ
⋅ cosδ
− ∆
2
2
PQ
Rk 2 6 ⋅ R k
,
∆
PQ
=
yP
⋅ cosδ
d
⋅ d +
2
2 ⋅ R 6 ⋅
2
k
R k
2
⋅ sinδ
⋅ cosδ
,
vagy, a (4.1.5.2.-9) összefüggések figyelembe vételével
illetve
PQ
( x − x ) ( y − y ) ⋅ ( x − x )
yP
⋅
P
∆ =
,
Q P Q P Q
+
2
2
2 ⋅ Rk
6 ⋅ Rk

147
∆
PQ
=
( x − x )
Q
2 ⋅ R
2
k
P
⎛
⋅
⎜ y
⎝
P
+
y
Q
− y
3
P
⎞
⎟
⎠
írható. Az utolsó kifejezés jobb oldalának második tényezıje átírható
y
P
+
y
Q
− y
3
P
6 ⋅ y
=
P
+ 2 ⋅ y
6
Q
− 2 ⋅ y
P
3 ⋅ y
=
P
+ 3 ⋅ y
Q
6
− y
Q
+ y
P
= y
k
−
y
Q
− y
6
P
alakba, amivel
∆
PQ
=
y
k
⋅
( x − x )
Q
2 ⋅ R
2
k
P
ρ′′
⋅ ρ ′′ − ⋅ ( yQ
− yP
) ⋅ ( xQ
− xP
),
12 ⋅ R
2
k
ahol ρ ′′ az 1 radián szögmásodpercben kifejezett értéke. Az 1.2.2.12.-1. ábra és a
δ
= + ∆ −
(1.2.2.12.-26)
PQ
α
PQ PQ
µ
P
képlet alapján elfogadott elıjel-megállapodásnak megfelelıen pedig
PQ
( x − x ) + b ⋅ ( y − y ) ⋅ ( x x )
∆ = −a ⋅ yk ⋅
− , (4.1.5.2.-12)
Q
P
Q
P
Q
P
ahol
a =
ρ′′
⋅
és
ρ ′′
b =
12 R
2
2
2 Rk
⋅
k
.
Hasonló levezetéssel, a derékszögő koordinátarendszer origóját Q-ba helyezve, kapjuk:
QP
( x − x ) + b ⋅ ( y − y ) ⋅ ( x x )
∆ = + a ⋅ yk ⋅
− . (4.1.5.2.-13)
Q
P
A (4.1.5.2.-12) és a (4.1.5.2.-13) kifejezések a geodéziai gyakorlatunkban elıforduló esetekre
megfelelı pontosságot nyújtanak. Vegyük észre, hogy az y és az x koordináták, valamint az
elıjelek felcserélésével e kifejezések megegyeznek a (2.2.3.2.-3) képletekkel. A 2.2.3.2.
pontban a második irányredukcióhoz kapcsolódó megjegyzések itt is érvényesek azzal,
hogy az y és az x tengelyek, illetve koordináták szerepe felcserélıdik. Végül megjegyezzük,
hogy kivételes pontossági igények esetén a fenti hasonlóság már nem áll fenn, hiszen a
2.2.3.2. pontban az alapfelület gömb, míg a Gauss-Krüger vetületnél ellipszoid.
4.1.5.3. Vetületi meridiánkonvergencia
A meridiánkonvergencia meghatározása ellipszoidi földrajzi koordinátákból
A vetületi meridiánkonvergencia földrajzi koordináták függvényében való kifejezéséhez
tekintsük a 4.1.5.3.-1. ábrát!
Q
P
Q
P

148
+ x
É f
É t
µ
a)
T
P szélességi
körének képe Q
K
µ
P
P meridiánjának
képe
+ y
dy
P 2
dx
µ
P 1
b)
P
4.1.5.3.-1. ábra: A vetületi meridiánkonvergencia
Legyen P az ellipszoidi P’ pont képe, µ a vetületi meridiánkonvergencia, PÉ t a térképi észak,
párhuzamos az x tengellyel, PT párhuzamos az y tengellyel. A meridián és a szélességi kör
egymásra merıleges, ezért
µ = É PÉ szög QPT szög
(4.1.5.3.-1.)
f t
=
A továbbiakban legyenek dx és dy a P pontra vonatkozó elemi koordinátakülönbségek. A
P 1 PP 2 végtelen kis háromszögben (4.1.5.3.-1/b. ábra)
dx
tan µ =
(4.1.5.3.-2)
dy
és e felírásmódnál a Φ értéke állandó.
Írjuk át a (4.1.5.3.-2) képletet a
dx
tan µ =
dL
(4.1.5.3.-3)
dy
dL
dx
dy
alakba! A és a deriváltakat a (4.1.2.-17/a) és a (4.1.2.-17/b) összefüggésekbıl kapjuk.
dL
dL
A másodrendő tagok elhanyagolásával írhatjuk:
A (4.1.5.3.-3)-ba helyettesítve:
dx
= L ⋅ N ⋅sinΦ
⋅ cosΦ
dL
dy
= N ⋅ cosΦ
dL
(a)
(b)
(4.1.5.3-4)
L ⋅ N ⋅sinΦ
⋅ cosΦ
tan µ =
= L ⋅ sinΦ
. (4.1.5.3.-5)
N ⋅ cosΦ

149
A (4.1.5.3.-5) képletben és a továbbiakban az L értéke radiánban értendı.
A (4.1.2.-17/a) és a (4.1.2.-17/b) összefüggések minden tagjának figyelembe vételével történı
differenciálás és a (4.1.5.3.-3) képletbe helyettesítés után az alábbi kifejezéshez jutunk:
3
L
t = tan µ = L ⋅sinΦ
+ ⋅ sinΦ
⋅ cos
3
5
L
4
+ ⋅sinΦ
⋅ cos Φ ⋅
15
Fejezzük ki a µ –t az
illetve
mert t = tan µ .
2
Φ ⋅
2
2 4
( 1+
tan Φ + 3⋅η
+ 2 ⋅η
)
2
4
( 2 + 4 ⋅ tan Φ + 2 ⋅ tan Φ )
arctan t hatványsora segítségével:
3 5
t t
µ = arctan t = t − + −K ,
3 5
+
. (4.1.5.3.-6)
3
5
tan µ tan µ
µ = tan µ − + −K, (4.1.5.3.-7)
3 5
Végül, (4.1.5.3.-6) a (4.1.5.3.-7) figyelembe vételével az alábbi összefüggésbe megy át:
5
2 4 L
4
2
( 1+
3⋅η
+ 2 ⋅η
) + ⋅sin
⋅ cos Φ ⋅ ( 2 − tan Φ )
3
L
2
µ = L ⋅sinΦ
+ ⋅ sinΦ
⋅ cos Φ ⋅
Φ
.
3
15
(4.1.5.3.-8)
A (4.1.5.3.-8) kifejezésben az L értékét radiánban kell behelyettesíteni. Ekkor a µ-t is radiánban
kapjuk. Ha a µ-t pld. szögfokban szeretnénk kifejezni, úgy az 1 radián fokban kifejezett
értékével még szoroznunk kell:
o
o
o
µ = µ ⋅ ρ = µ ⋅ 57,2957795130824 ,
illetve a kapott eredményt még fok-perc-másodperccé át kell alakítani. A (4.1.5.3.-8) képlet a
szögmásodperc mintegy százezred részéig pontos eredményt szolgáltat.
A meridiánkonvergencia meghatározása vetületi koordinátákból
A vetületi meridiánkonvergenciát a vetületi koordináták függvényében megadhatjuk,
ha a (4.1.5.3.-8) összefüggésben L értékét az y derékszögő koordinátán (4.1.5.1.-6 képlet), a
Φ értékét a Φ1-en keresztül fejezzük ki.
A lineármodulus meghatározása vetületi koordinátákból c. pontból
2
1
− ⋅ sinΦ
2 1
⋅ 1
2 ⋅ N1
2
( η )
y
sinΦ = sinΦ
+
cos
2
2
2
⎛ y 2
⎞
Φ = cos Φ ⋅
⎜ + ⋅
⎟
1
1 tan Φ
2
1
. (4.1.5.1.-7)
⎝ N1
⎠
A (4.1.5.1.-6)-ot, valamint a sin Φ és cos 2 Φ fenti kifejezéseit a (4.1.5.3.-8)-ba helyettesítve,
a sin Φ itt nem szereplı tagjával kiegészítve, kapjuk:
1
,

150
1
3
1
5
2 2 y
2
4
( 1 + tan Φ −η
) + ⋅ ( 2 + 5 ⋅ tan Φ + 3 tan Φ )
3
y
y
µ = ⋅ tan Φ1
− ⋅ tan Φ1
⋅
1 1
1
⋅
N 3⋅
N
15⋅
N
5
1
(4.1.5.3.-9)
A (4.1.5.3.-9) képlet szintén radiánban, s a (4.1.5.3.-8) képlethez hasonló pontossággal szolgáltatja
a meridiánkonvergenciát.
4.1.5.4. Számpéldák a Gauss-Krüger vetület alkalmazására
A Gauss-Krüger vetületi koordinátákat az ellipszoidi koordinátákból a (4.1.2.-17/a) és
a (4.1.2.-17/b) képletekbıl, a (4.1.2.-17/a) képletben a B–t a (4.1.3.-4) képletbıl számítjuk. Az
ellipszoidi földrajzi szélességet és hosszúságot a (4.1.4.-17/a) és a (4.1.4.-17/b) képletekbıl
kapjuk. Utóbbinál, mint láttuk a 4.1.4. pontban, külön feladat a Φ
1
meghatározása. Ezt pld. az
ott bemutatott fokozatos közelítéses rutinnal célszerő elvégezni, a (4.1.3.-4) képlet alapján.
A bemutatott összefüggések személyi számítógépen bárki által tetszıleges programnyelven
írt programok segítségével számíthatók. Az alábbiakban bemutatott példák a
Kraszovszkij-ellipszoidra vonatkoznak.
1. példa:
Adottak egy Sopron melletti pont alábbi Kraszovszkij-ellipszoidi földrajzi koordinátái:
Számítsuk ki az
o
Φ = 47 35′
51,67629 ′′ ,
o
Λ = 16 45′
33,44091′′
.
y , x Gauss-Krüger vetületi koordinátákat! Válasszuk közép-meridiánnak a
o
6 -os sávbeosztás Ausztrián keresztül haladó
Λ
0
= 15
A közép-meridiántól számított ellipszoidi földrajzi hosszúság
o
meridiánját!
o
o o
L = Λ − Λ0 = 16 45′
33,44091′′
-15 = 1 45′
33,44091′
.
A Gauss-Krüger vetületi koordináták számíthatók a (4.1.2.-17/b) és a (4.1.2.-17/a) képletekbıl:
y = 132305,399 m,
x = 5275288,971m.
A koordináták számításához használt programrészt a Függelék 4.1.5.4.-1. pontja tartalmazza.
A Nagy_B(Fi) rutinban az A_, B_, C_, D_, E_, F_ a 4.1.3.-1. táblázat megfelelı értékei.
2. példa:
Számítsuk vissza az 1. példában kapott Gauss-Krüger vetületi koordinátákból az ellipszoidi
Φ Λ , földrajzi koordinátákat!
Eredmények:
o
Φ = 47 35′
51,67630 ′′
.
o
Λ = 16 45′
33,44090′′
1

151
A Φ számítását a Függelék 4.1.5.4.-2. alatti programrésze végzi. A programrészben a
Fi = Φ 1
bemenı adat a 4.1.4. pont végén bemutatott programrész kimenı adata, a Fi_G_Kr a
keresett földrajzi szélesség.
A rutin nem a (4.1.4.-17/a) képletet használja, hanem az alábbi kifejezést:
Φ = Φ
, (4.1.5.4.-1)
2
4
6
1
+ B2
⋅ y + B4
⋅ y + B6
⋅ y
ahol
2
= − ⋅ tan
2 1
⋅ 1
2 ⋅ N1
2
( )
1
B Φ +η ,
1
2
2 2 2
( 5 + 3⋅
tan Φ + 6 ⋅η
− 6 ⋅η
⋅ tan )
1
B
4
= ⋅ tanΦ
4 1
⋅
1 1 1
Φ1
, (4.1.5.4.-2)
24 ⋅ N
1
2
4
( 61+
90 ⋅ tan Φ + 45⋅
tan )
1
B
6
= − ⋅ tanΦ
6 1
⋅
1
Φ1
.
720 ⋅ N
1
A (4.1.5.4.-2) B
2
, B4, B6
együtthatói egyszerően következnek a (4.1.4.-17/a) képletbıl, ui.
1
24 ⋅ N
4
1
1
2 ⋅ M
⋅
1
2
1
= = = =
2
2
1
⋅ N c c
1
2 ⋅ ⋅
c 1 2 ⋅ N1
2
3 2 ⋅ ⋅
2 2
V1
V1
V1
V1
1
V
1+
η ,
⋅ N
2
2
2 2 2
2 2
2
[ 5⋅
( 1 + η ) + 3⋅
tan Φ ⋅ ( 1 + η ) + η ⋅ ( 1 + η ) − 9 ⋅η
⋅ tan Φ ⋅ ( 1 + η )]
1
1
=
24 ⋅ N
4
1
1
2
2 2 2
⋅ ( 5 + 3⋅
tan Φ + 6 ⋅η
− 6 ⋅η
⋅ tan Φ ),
4
az η1
-t tartalmazó tagok elhanyagolásával. A (4.1.5.4.-2) utolsó,
1
720 ⋅ N
6
1
⋅
1
2 ⋅ M ⋅ N
1
1
2
1+
η1
=
720 ⋅ N
1
⋅
360 ⋅ N
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
4
( 61+
90 ⋅ tan Φ + 45⋅
tan Φ )
2
4
( 61+
90 ⋅ tan Φ + 45 ⋅ tan Φ )
2
4
2
2
4
( 61+
90 ⋅ tan Φ + 45 ⋅ tan Φ + η ⋅ ( 61+
90 ⋅ tan Φ + 45 ⋅ tan Φ )).
2
2
4
képletében az η ( 61+
90⋅
tan Φ + 45⋅
Φ )
3. példa:
1
⋅
4
1
1 1
tan
⋅
1
1
1
1
⋅ tag kicsinysége miatt szintén elhanyagolható.
1
1
=
1
1
=
1
1
1
=
Az
y
x
k
k
= 132305,399 m,
= 5275288,971 m

152
Gauss-Krüger vetületi koordinátájú pont környezetében számítsuk ki az U hossztorzulást, az
s = 4542,564 m ellipszoidi távolság ∆ s hosszredukcióját és a hosszredukcióval korrigált d távolságot!
A hossztorzulás számítására az
2
k
2
2
( y + y ⋅ y + y )
1
U = ⋅
1 1 2 2
(4.1.5.1.-12)
6 ⋅ R
összefüggés szolgál. A ferdetengelyő hengervetületek (2.2.3.1.-9) képletéhez hasonlóan vezessük
be az
jelölést. Ekkor a hossztorzulás képlete az
y 1
+ y
y 2
k
=
2
U
2
k
2 2
2 2 2 3⋅
yk
yk
( yk
+ yk
+ yk
) = =
2
2
1
= ⋅
(4.1.5.4.-3)
6 ⋅ R
6 ⋅ R 2 ⋅ R
k
k
alakot ölti. A hossztorzulás számításakor az
y
k
koordinátát és az
R
k
közepes földgörbületi
sugarat a gyakorlatban elegendı pontossággal kerekítve, 0,1 km élességgel helyettesíthetjük
be:
Az eredmények:
y ≈ 132,3 km , R ≈ 6380 km .
0
k
U = 0,000215106,
∆ s = 0,977 m, d = s + ∆s
= 4543,541m .
A hosszredukció megközelíti az 1 m-t, jóval meghaladja a távolságmérı mőszerek
pontosságát, ezért nem hanyagolhatjuk el. Az Rk
≈ 6380 km értéktıl kb. ± 1km-es eltérés a
hossztorzulás 4. értékes jegyét, valamint a hosszredukció 3. jegyét módosíthatja, a korrigált
távolságban a távolság függvényében néhány mm-es eltérést okozhat.
4. példa:
A P és Q pontok Gauss-Krüger vetületi koordinátái:
y
P
= 135354,76 m , x
P
= 5278313,47 m ; y = 137655,39
Q
m , x = 5273422,72 m .
Q
Számítsuk ki a második irányredukciókat!
A számítás képletei:
PQ
( xQ
− xP
) + b ⋅ ( yQ
− yP
) ⋅ ( xQ
xP
)
( x − x ) + b ⋅ ( y − y ) ⋅ ( x x )
∆ = −a ⋅ yk ⋅
− , (4.1.5.2.-12)
∆ = + a ⋅ yk ⋅
− . (4.1.5.2.-13)
QP
Q
P
Q
P
Q
P
A fenti képletekben
a =
ρ′′
és
b =
ρ ′′
2
2
2 ⋅ Rk
12 ⋅ Rk
.

153
Eredmények:
∆
∆
PQ
QP
= + 1,68677′′
= −1,69628′′
.
A példában R
k
≈ 6380 km . Az ettıl az értéktıl kb. ± 1km-es eltérés a második irányredukciót
a tizedesvesszı után a 4. jegyben módosíthatja, szintén a két pont távolságának függvényében.
5. példa:
Számítsuk ki a
o o
Φ = 47 35′
51,67629 ′′ , Λ = 16 45′
33,44091′′
Kraszovszkij-ellipszoidi földrajzi, ill. a megfelelı Gauss-Krüger vetületi
y
k
=
k
132305,399 m, x = 5275288,971m
koordinátájú pontban a vetületi meridiánkonvergenciát!
A földrajzi koordinátákból való számításhoz a Függelék 4.1.5.4.-3. pontjában található programrészt
használtuk.
Az eredmény:
µ = 1 o 17′
57,46547 ′′ .
A vetületi koordinátákból való számításhoz a (4.1.5.3.-9) képletet programoztuk. A program a
Függelék 4.1.5.4.-4. pontjában található.
Az eredmény:
µ = 1 o 17′
57,46546′
.
4.1.6. A Gauss-Krüger vetület szelvényhálózata
A Gauss-Krüger vetület szelvényhálózatának alapja az 1:1000000 méretarányú szelvény.
A szelvényeket az Egyenlítıtıl észak felé 4 0 -onként az ABC nagybetőivel, a
Greenwich-csel ellentétes meridiántól 6 0 -onként arab számokkal számozzák (4.1.6.-1. ábra).
A 6*4 0 -os nemzetközi sávbeosztásban hazánk a 33. és 34. sorszámú sávokba és az L,
ill. az M rétegekbe esik (4.1.6.-1. ábra). A közép-meridiánok ellipszoidi földrajzi szélességei:
0
0
a 33. számú sávé Λ = 15 , a 34. számú sávé Λ = 21 . A 3 0 -os sávbeosztás középmeridiánjainak
megválasztásánál célszerő a 3 0 -os sávokhoz alkalmazkodni: az egyes sávok
o o o o
közép-meridiánjainak földrajzi hosszúsága nyugatról keletre 15 ,18 ,21 ,24 . Noha hazánk
o
nyugat-keleti irányú kiterjedése csak 7 , a nemzetközi sávbeosztásnak megfelelıen a 3 0 -os
sávbeosztásnál az említett 4 sáv szükséges. Ez hátrány az ország területének térképi kezelése
szempontjából, ezért a nagyméretarányú térképezésnél nem honosodott meg.

154
6 0
M-33
M-34
Szlovákia
Ausztria
Szlovénia
4 0 L-33 L-34
Szerbia és
Horvátország Montenegro
Ukrajna
Románia
52 0
48 0
Φ
12 0 18 0 24 0
Λ
44 0
4.1.6.-1. ábra: A 6 0 -os nemzetközi sávbeosztás Magyarországon
A 4.1.6.-1. ábrán látható szelvények (pld. az L-34) méretaránya 1:1000000. A szelvények
lapmérete csak a meridiánok mentén változatlan, kelet-nyugati irányban a földrajzi szélesség
növekedésének függvényében csökken. E miatt a Gauss-Krüger vetület alkalmazhatósági
határa az Egyenlítıtıl mind északra, mind délre mintegy Φ = 80 -ra
0
tehetı.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
48 0
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
47 0
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
3 0
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
Φ
2 0 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
L-34
109
18 0
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
44 0
Λ 21 0 22 0 30’ 24 0
46 0
4.1.6.-2. ábra: Az 1:1000000 méretarányú Gauss-Krüger szelvény felosztása

155
15’
47 0 40’
a
b
A
B
47 0 35’
c
d
10’
1
3
a
2
4
C
b
L-34-13
D
47 0 30’
Φ
c
d
18 0 00’ 18 0 07,5’
18 0 15’
Λ
Λ
47 0 20’
18 0 30’
4.1.6.-3. ábra: Az 1:100000, 1:50000, 1:25000 és 1:10000 méretarányú Gauss-
Krüger szelvények
Az 1:1000000 méretarányú szelvények továbbosztása többféleképpen történhet, az
1:1000000 méretarány után választott következı méretaránynak megfelelıen történik úgy,
hogy a lapméretek ne, vagy csak kevéssé változzanak.
A leggyakrabban – így Magyarországon is – az 1:1000000 méretarányú szelvényt
12*12 = 144 részre osztják és minden egyes így kapott 1:100000 méretarányú szelvényt arab
számmal jelölnek, a 4.1.6.-2. ábrán bemutatott módon. Az ábrán sraffozással jelölt 1:100000
méretarányú szelvény száma L-34-13.
A nagyobb méretarányú szelvények számozása az 1:100000 méretarányú szelvények
számozásából kiindulva történik.
Az 1:50000 méretarányú szelvénylapokhoz az 1:100000 méretarányú szelvény negyedelésével
jutnak és azokat az A, B, C és D nagy betőkkel jelölik, pld. L-34-13-A (4.1.6.-3. ábra).
Az 1:25000 méretarányú szelvény az 1:50000 méretarányú szelvény ¼-e. Ezeket a
szelvényeket kis a, b, c, és d betőkkel jelölik, pld. L-34-13-B-d (4.1.6.-3. ábra).
Végül, az 1:10000 méretarányú szelvényt az 1:25000 méretarányú szelvénybıl további
negyedeléssel kapják és arab 1, 2, 3 és 4 számokkal jelölik, pld. L-34-13-C-a-1 (4.1.6.-3. ábra).
Egy-egy 1:10000 méretarányú lapon mintegy 5km * 5km –es területet ábrázolhatunk,
a térképlap nagysága mintegy 0,5m * 0,5m.
A Gauss-Krüger vetülető térképeket Magyarországon 1966-tól kezdıdıen polgári célokra
is alkalmazták. Az ez évtıl készült térképek jelölése eltér a fentiekben ismertetett nemzetközi
jelöléstıl. Az 1:100000 méretarányú szelvények Magyarországon katonai célra használt
nemzetközi és polgári célú jelölését a 4.1.6.-4/a és a 4.1.6.-4/b ábrákon mutatjuk be. Az
1:100000 szelvények továbbosztása hasonló, azzal a különbséggel, hogy betők helyett arab
számokat használtak. Pld. az L - 34 -13 - C - a -1
szelvényszám módosított jelölése 404-311
lett.
A Gauss-Krüger vetülető szelvénylapokat bal és jobb oldalon a meridiánok, felül és
alul a szélességi körök határolják. A földrajzi koordináták térkép alapján történı közelítı
meghatározása céljából a térképszelvényen fokbeosztásos keret található, amelyen mind a
négy oldalon a szomszédos szelvények számát is feltüntetik.

156
M-33
M-34
129 130 131 132 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
141 142 143 144 133 134 135 136 137 138
139 140 141 142
9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
21 22 23 24
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
33 34 35 36 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
45 46 47 48 37 38 40 41 42 43 44 45 46 47
a)
57 58 59 60 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
69 70 71 72 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
81 82 83 84 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
L-33 L-34
M-33
M-34
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113
200 201 202 203 204 205 206 207 208 209
210 211 212 213
3
300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313
400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413
b)
500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513
600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613
700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713
800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813
900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913
L-33 L-34
4.1.6.-4. ábra: Az 1:100000 méretarányú Gauss-Krüger szelvények nemzetközi és magyar
polgári célú jelölése
A Gauss-Krüger vetülető topográfiai térképeken földrajzi és vetületi koordinátahálózat
is van. A görbe vonalakból álló földrajzi fokhálózatot a kereten jelölik, a szelvényeken
keresztül nem húzzák meg. A vetületi koordinátahálózat – pld. az 1:10000 méretarányú
szelvényeken 1 km-es oldalhosszúságú - , mint minden vetületi síkon, egymásra merıleges
egyenesekbıl álló szabályos rácshálózat. A kerek kilométerértékeket szintén a keretben tüntetik
fel.

157
4.2. UTM vetület
Az UTM- (Universal Transverse Mercator) vetületnek Magyarországon nincsenek hagyományai.
A vetületet (4.2.-1.ábra) eredetileg az Amerikai Egyesült Államokban használták,
1950-tıl a NATO államok térképezési vetülete. Hazai jelentısége két okból is elıtérbe került,
egyrészt, Magyarország 1999 márciusától a NATO teljes jogú tagja lett, másrészt, a korszerő,
globális helymeghatározó rendszerek (GPS) egyes vevıi lehetıvé teszik, hogy az UTMvetületre
vonatkozó koordináták is közvetlenül kijelezhetık legyenek. A Magyar Honvédség
Térképész Szolgálata a Gauss-Krüger szelvényezéső térképein már a NATO-csatlakozás elıtt
az UTM szelvényhálózati vonalakat is feltüntette.
É
6 0
1 0 37’14”
1 0 37’14”
4.2.-1. ábra: A süllyesztett transzverzális ellipszoidi vetület
Az UTM-vetület – a Gauss-Krüger vetülethez hasonlóan – az ellipszoid egyenlítıi elhelyezéső
(transzverzális) szögtartó hengervetülete (4.2.-1. ábra). A Gauss-Krüger vetülettıl
csak abban különbözik, mint az EOV az érintı ferdetengelyő hengervetületektıl (2.3.-1. ábra),
vagyis az ellipszoidi henger a meridián-ellipszisnél kisebb mérető és a közép-meridiánra
szimmetrikus helyzető két ellipszis (az ún. normálellipszis) metszi az ellipszoidot. A hossztorzulás
értéke ezért nem a közép-meridián, hanem a két normálellipszis mentén zérus, a két
normálellipszis között negatív, azokon kívül pozitív. A Gauss-Krüger vetülethez hasonlóan az
0
UTM-vetület szélsı alkalmazhatósági határa is mintegy Φ = 80 .
4.2.1. Vetületi egyenletek
A vetületi egyenletek a Gauss-Krüger vetület vetületi egyenleteitıl a redukálás mértékében
különböznek. Az UTM vetületnél m = 0, 0
9996 . A 4.1.2. pontban a (4.1.2.-4) összefüggések
után leírtakhoz hasonlóan az UTM vetületre az alábbi feltételek állnak fenn:
1. Az x abszcissza-tengely az ellipszoidi közép-meridiánok egyenesként jelentkezı képe,
L = Λ − Λ 0
mellett y = 0 ,
2. A közép-meridiánon lévı pontokra az x vetületi koordináták az ellipszoidi egyenlítıtıl
számítva az alábbi összefüggésbıl fejezhetık ki:
( ) = m ⋅ B
x = f Ψ
0
, (4.2.1.-1)
ahol B a kérdéses ponthoz tartozó meridiánív hossza, m
0
a redukálás mértéke. Az m
0
elıre
megválasztott konstans érték, ezért a 4.1.2. pontban tárgyalt levezetéseket nem befolyásolja.

158
A redukált UTM-koordinátákat a Gauss-Krüger koordinátákból a (4.1.2.-17/a) és a (4.1.2.-
17/b) képletek szerint, azok jobboldalait m0
-lal szorozva, kapjuk:
2
2 4
( 5 − tan Φ + 9 ⋅η
+ 4 ⋅η
)
2 2
⎧ L ⋅ cos Φ
⎫
2
⎪1
+ ⋅
+
L
⎪
12
x = m0
⋅ B + ⋅ m0
⋅ N ⋅ sinΦ
⋅ cosΦ
⋅ ⎨
4 4
( )
⎪ ⎪ ⎬ (a)
2 ⎪ L ⋅ cos Φ
2
4
B 0 N 0
+ ⋅ 61−
58 ⋅ tan Φ + tan Φ
⎪⎩
360
⎭
y = L ⋅ m
0
N 0
⎧
⎪
⋅ N ⋅ cosΦ
⋅ ⎨
⎪ L
+
⎪⎩
4
⋅ cos
120
4
L
1+
Φ
⋅
2
⋅ cos
6
2
Φ
⋅
2 2
( 1−
tan Φ + η )
2
4
2
2 2
( 5 −18⋅
tan Φ + tan Φ + 14 ⋅η
− 58 ⋅η
⋅ tan Φ ) ⎪
⎪
+
(4.2.1.-2)
A (4.2.1.-2/a) és a (4.2.1.-2/b) összefüggésekbıl látszik, hogy az UTM-vetületi koordináták
úgy is tekinthetık, mint egy m
0
szorzóval kapott kisebb (redukált) ellipszoid Gauss-Krüger
koordinátái. Ezen ellipszoid paraméterei pedig:
⎫
⎪
⎬
⎭
(b)
a
0
= m0
⋅ a, b0
= m0
⋅ b,
B0
= m0
⋅ B,
N
0
= m0
⋅ N . (4.2.1.-3)
A (4.2.1.-3)-ban a
0
a fél nagytengely, b
0
a fél kistengely, B
0
az ellipszoidi meridiánív, N
0
a
harántgörbületi sugár a redukált ellipszoidon.
4.2.2. Inverz vetületi egyenletek
A fordított feladatot, a földrajzi koordináták számítását az UTM-vetületi koordinátákból,
megoldhatjuk a redukált ellipszoidon, a (4.1.3.-4), a (4.1.4.-17/a) és a (4.1.4.-17/b) képletek
megfelelı átalakításával:
2 ⎛ B C D E F ⎞
( 1−
e ) ⋅⎜
A ⋅Φ − ⋅sin 2Φ
+ ⋅sin 4Φ
− ⋅sin 6Φ
+ ⋅ sin8Φ
− ⋅ sin10
⎟
⎠
B
0
= a0
⋅
Φ ,
⎝ 2 4 6 8 10
(a)
y
Φ = Φ1
−
2 ⋅ M
01
2
⋅ N
01
2
⎧ y
⎪1
− ⋅
2
12 ⋅ N
01
⋅ tanΦ1
⋅ ⎨
4
⎪ y
+ ⋅
⎪
4
⎩ 360 ⋅ N
01
2
2 2 2
( 5 + 3⋅
tan Φ + η − 9 ⋅η
⋅ tan Φ )
1
1
⎫
+ ⎪
⎬
2
4
( 61+
90 ⋅ tan Φ + ⋅ )
⎪ ⎪ 1
45 tan Φ1
⎭
1
1
, (b)

159
2
2
( 1+
2 ⋅ tan Φ + η )
2
⎧
y
⎫
⎪ 1−
⋅
+
2
1 1
⎪
y
6 ⋅ N
01
L =
⋅ ⎨
⎬ (c)
4
N
01
⋅ cosΦ1
⎪ y
2
4
2 2 2
+ ⋅ ( 5 + 28 ⋅ tan Φ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ) ⎪
1
24 tan Φ1
6 η1
8 η1
tan Φ1
⎪
4
⎩ 120 ⋅ N
01
⎪
⎭
és, mint tudjuk,
L = Λ − Λ 0
. (d)
(4.2.2.-1)
A (4.2.2.-1/b) és a (4.2.4.-1/c) összefüggésekben szereplı Φ
1
értékét a (4.2.2.-1/a) képletbıl
kiindulva, pld. a Függelék 4.1.4.-1. pontja alatti számítógépes rutinnal határozhatjuk meg, azzal
a különbséggel, hogy a Függelék 4.1.5.4.-1. pontjában lévı Nagy_B(Fi As Double) rutinban
a
________________________________
Be = a * (1 - E_Negyzet)
________________________________
programsor helyett a
________________________________
Be = a0 * (1 - E_Negyzet)
________________________________
sort kell beírni.
A (4.2.1.-2) és a (4.2.2.-4) képletek jelölései:
B 0
= m 0
⋅ B − a közép-meridiánon a kérdéses ponthoz tartozó meridiánív hossza a redukált
ellipszoidon,
2 2 2
η1 = e ′ ⋅ cos Φ1,
Φ, Φ 1 - ellipszoidi földrajzi szélességek,
Λ − a kérdéses pont ellipszoidi földrajzi hosszúsága a greenwichi kezdı-meridiánhoz
képest,
e′ − második numerikus excentricitás,
y, x – UTM-vetületi koordináták,
m − a redukálás mértéke,
0
Λ − az UTM-sáv közép-meridiánjának földrajzi hosszúsága,
0
L − a földrajzi hosszúság a közép-meridiánhoz képest,
N = m ⋅ – harántgörbületi sugár a redukált ellipszoidon,
M
01 0
N1
01
m0
⋅ M
1
= – meridián irányú görbületi sugár a redukált ellipszoidon.
4.2.3. Az UTM-vetület redukciói
4.2.3.1. Hossztorzulási tényezı és hosszredukció
A Gauss-Krüger vetületre a földrajzi koordinátákból számítható lineármodulust a
(4.1.5.1.-5) képlettel, a vetületi koordináták függvényében közelítéssel a (4.1.5.1.-9) képlettel

160
adtuk meg. Az UTM-vetületnél az m
0
miatt a lineármodulus is módosul. A földrajzi koordináták
függvényében a lineármodulus kifejezhetı az
a vetületi koordináták függvényében pedig az
alakban. A (4.2.3.1.-2) képletben
R
2
( )
2
m0
⋅ L 2
l = m0 + ⋅ cos Φ ⋅ 1+η
, (4.2.3.1.-1)
2
2
2
m ⎛ ⎞
0
⋅ y
y
l = m + =
⎜ +
⎟
0
m
2 0
1
(4.2.3.1.-2)
2
2 ⋅ R01
⎝ 2 ⋅ R01
⎠
2
2 2 2
01
N
01
⋅ M
01
= m0
⋅ R1
= m0
⋅ N1
⋅ M
1
= ,
a közép-meridián mentén értelmezett átlagos földgörbületi sugár a redukált ellipszoidon.
A hossztorzulási tényezıt és a hosszredukciót itt is a lineármodulus reciprokából kiindulva
határozhatjuk meg, az m
0
tényezı figyelembe vételével. A (4.2.3.1.-2) összefüggés
reciproka az EOV-nél megismert (2.3.4.1.-2) képlethez hasonlóan, az ottani x koordináta helyett
y-t helyettesítve, s az
1
l
1
r helyett
2
m
2
⎛ y
⋅
⎜1−
⎝ 2 ⋅ R
R -et írva, az alábbi:
2
01
⎞ 1
⎟ =
⎠ m
⎛
⋅
⎜1−
⎝
y
2
⋅ m
= 2
m
⋅
2
0 01 0 2
0
R1
2
⎞
⎟ . (4.2.3.1.-3)
⎠
Teljes összhangban az EOV (2.3.4.1.-3) képlettel kifejezett hossztorzulására bemutatott levezetéssel,
az x koordináta helyett y-t helyettesítve, az UTM vetület hossztorzulására írhatjuk:
0
2
k
2
2
( y + y ⋅ y + y )
1
U = ⋅
1 1 2 2 . (4.2.3.1.-4)
6 ⋅ m ⋅ R
Az R
k
a távolság két végpontjára számítható átlagos földgörbületi sugara. Az Egységes Országos
Vetülethez hasonlóan írhatjuk:
Hossztorzulási tényezı:
Hosszredukció:
d
m = = m0 + U , (1.2.2.12.-10)
s
∆ s = d − s = ( m0 −1+
U ) ⋅ s . (2.3.4.1.-4)
Az x tengelyen a hossztorzulási tényezı értéke m
0
= 0,
9996 , 1-nél kisebb, a hosszredukció
negatív. Egy, az x tengely mentén 1 km-es távolság a fenti összefüggés szerint a
∆ s = ( m0 −1)
⋅ s = −0,0004
⋅100000 cm = − 40 cm

161
1
értékkel rövidül, amely 2500
mértékő hossztorzulást jelent, azaz jelentısen meghaladja a
1
Magyarországon elfogadott 10000
értéket.
4.2.3.2. Második irányredukció
A második irányredukció Gauss-Krüger vetületnél megismert
∆
∆
QP
a
y
( xQ
− xP
) + b ⋅ ( yQ
− yP
) ⋅ ( xQ
− xP
)
( x − x ) + b ⋅ ( y − y ) ⋅ ( x − x )
PQ
= − ⋅
k
⋅
,
= + a ⋅ y
k
⋅
Q
összefüggései az UTM-vetületre akkor érvényesek, ha
P
Q
P
Q
P
(4.1.5.2.-12), (4.1.5.2.-13)
a =
ρ ′′
és
b =
ρ′′
2 2
2 2
2 ⋅ m0 ⋅ Rk
12 ⋅ m0
⋅ Rk
. (4.2.3.2.-1)
Az
y
k
és R a PQ irány két végpontjára érvényes adatok számtani középértékei.
k
4.2.3.3. Vetületi meridiánkonvergencia
A Gauss-Krüger vetülethez hasonlóan a vetületi meridiánkonvergenciát a földrajzi koordinátákból
a
5
2 4 L
4
2
( 1+
3⋅η
+ 2 ⋅η
) + ⋅sin
⋅ cos Φ ⋅ ( 2 − tan Φ )
3
L
2
µ = L ⋅sinΦ
+ ⋅ sinΦ
⋅ cos Φ ⋅
Φ
.
3
15
(4.1.5.3.-8)
képletbıl számíthatjuk. A számítást a metszı ellipszoidi henger elhelyezkedése, vagyis az m
0
értéke nem befolyásolja.
A vetületi meridiánkonvergencia vetületi koordinátákból való számításakor viszont a
redukálás m
0
mértékét figyelembe kell venni. Ekkor a (4.1.5.3.-9) képlet, valamint a
(4.2.1.-
2) összefüggések utáni indokolás alapján írhatjuk:
µ =
y
m ⋅ N
0
1
⋅ tanΦ
1
2
⎡ y
⎢ 1−
2
⎢
3⋅
m0
⋅ N
⋅
⎢
4
y
⎢+
⋅
4 4
⎢⎣
15 ⋅ m0
N1
2
1
⋅
2
2
( 1+
tan Φ −η
)
( ) ⎥ ⎥⎥⎥ 2
4
2 + 5⋅
tan Φ1
+ 3⋅
tan Φ1
⎥ ⎦
1
1
+
⎤
. (4.2.3.3.-1)
Példa:
A Sopron melletti Harkai dombon lévı OGPSH pont földrajzi koordinátái a WGS84 ellipszoidon
az alábbiak:
o
SOPR Φ = 47
0 38′
44,16909 ′′ Λ = 16 36′
14,94369′
.

162
Számítsuk ki a pont
meridiánkonvergenciát!
0
15 közép-meridiánú UTM-vetületi koordinátáit és a vetületi
A számításhoz a Gauss-Krüger vetületnél bemutatott programokat használjuk, azzal a különbséggel,
hogy az m0
-lal végzendı szükséges beszorzásokat a megfelelı helyeken a programokba
iktatjuk (Függelék, 4.2.3.3.-1. pont).
Az eredmények:
y = 120478,267 m
o
µ = 1 11′
08,14680′
.
x = 5278158,147 m,
4.2.4. A normál-ellipszisek földrajzi hosszúsága
A normál-ellipszisek közép-meridiántól számított L E földrajzi hosszúságát a 4.2.4.-1
ábra szerint kaphatjuk meg. Az ábra a forgási ellipszoidot a pólusok, pld. az északi pólus felıl
szemlélteti.
Egyenlítı
L E
L E
a
a ⋅ m 0
4.2.4.-1. ábra: A normál-ellipszisek földrajzi hosszúsága
A 4.2.4.-1. ábra alapján
a ⋅ m0 = a ⋅ cos L E
, (4.2.4.-1)
vagyis
m 0
= cos L E
= 0,9996
írható. A fenti összefüggés szerint tehát a normál-ellipszisek a közép-meridiántól az
L 1 o E
= ± 37′
14 ′′
értékkel térnek el 15 .
15 Látható, hogy az L E értéke nem függ az ellipszoid méreteitıl.

163
4.2.5. Az UTM-vetület sáv- és rétegbeosztása
6 0 56 0
33U
34U
52 0
Ausztria
Szlovénia
Horvátország
Szlovákia
Szerbia és
Montenegro
Ukrajna
Románia
48 0
Φ
8 0 12 0 18 0 24 0
33T
34T
44 0
Λ
40 0
4.2.5.-1. ábra: Az UTM vetület nemzetközi sáv- és rétegbeosztása Magyarországon
0 0
Az UTM vetületben a földfelszínt 6 ⋅ 8 -os trapézokra osztják. A nagy latin betős réteg
jelölések a Déli sarknál kezdıdnek, az egyenlítıtıl északra az elsı réteg jelölése N. E jelöléseknek
megfelelıen hazánk az UTM-vetület 33. és 34. sávjába, valamint a T és U jelöléső
rétegekbe esik (4.2.5.-1. ábra). Az ábrán szaggatott vonalakkal a Gauss-Krüger réteghatárokat
is berajzoltuk.
4.2.5.1. Az UTM-vetület koordináta azonosítási rendszere
0 0
Minden egyes 6 ⋅ 8 -os trapéz száma a 6 0 -os sáv sorszámából és a 8 0 -os réteg betőjelébıl
tevıdik össze, így pld. az ábrán pirossal (sötétítve) jelölt trapéz száma 32N. A 6 ⋅ 8 -os
0 0
trapézokat 100km*100km nagyságú négyzetekre osztják (4.2.5.1.-2. ábra).
A 100 km * 100 km-es négyzeteket a következıképpen jelölik: a négyzetek elsı betője
a 180 0 -tól kelet felé haladva A-tól Z-ig (összesen 24 bető: A, B, C, D, E, F, G, H, J, K, L, M,
N, P, Q, R, S, T, U, V, Y, W, X, Z) tart. A 24 betővel összesen 3 db 6 0 -os sávot fognak át,
utána újból kezdik a számozást. A második bető az Egyenlítıtıl északra és délre haladva páratlan
sávban A-val, páros sávban (4.2.5.1.-2. ábra) F-fel kezdıdik. Fentieknek megfelelıen
0 0
például a 32N számú, 6 ⋅ 8 -os kiterjedéső trapézban ábrázolt P pont (4.2.5.1.-2. ábra) hálózati
megjelölése a következı azonosítóval történik: 32NPH. A hálózat további sőrítése a 100
km * 100 km nagyságú négyzet további tízes aláosztásával történik. Ezeket a megfelelı osz-

164
lop és sor számával, arab számokkal jelölik. Megfelelı sőrítéssel a pont helyét az UTM koordinátákon
kívül a pontra vonatkozó azonosítóval is azonosítani lehet.
Az Egyenlítıtıl északra és délre haladva, természetesen, a 4.2.5.1.-2. ábrán az Egyenlítınél
közelítıleg érvényes méretek csökkennek.
180 0 240 0 300 0 0 0 60 0 120 0 180 0
X
72 0 É
W
64 0 É
V
56 0 É
U
48 0 É
T
40 0 É
S
32 0 É
R
24 0 É
Q
16 0 É
P
8 0 É
N 0 0
M
8 0 D
L
16 0 D
K
24 0 D
J
32 0 D
H
40 0 D
G
48 0 D
F
56 0 D
E
64 0 D
D
72 0 D
C
80 0 D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
4.2.5.1.-1. ábra: A földfelszín UTM vetületi sáv-, ill. rétegbeosztása
E
K özép-m eridián
6 0 9 0 12 0
H ossztartó norm ál-ellipszis
200 km
300 km
∆ Λ = 6 0
400 km
600 km
500 km
800 km
700 km
500 km
O
JJ K J LJ M J N J PJ Q J R J
JH K H LH M H N H
P
PH
Q H R H
JG K G LG M G N G PG Q G R G
JF K F L F M F N F PF Q F R F
∼180 km
334 km
500 km
400 km
300 km
200 km
100 km
E gyenlítı
4.2.5.1.-2. ábra: AZ UTM-vetület koordináta-azonosítási rendszere
Az azonosításra példát a 4.2.5.1.-2. ábrán láthatunk:
Hálózati megjelölés:

100 km-es egységben: 32NPH
10 km-es egységben: 32NPH28
1 km-es egységben: 32NPH2682
100 m-es egységben: 32NPH263824
10 m-es egységben: 32NPH26318241
1 m-es egységben: 32NPH2631282417
__________________________________________________
165

166

5. Átszámítások vetületi rendszerek között
Az eddigiekben áttekintettük a magyarországi vetületek sokféleségét, beleértve a Gauss-Krüger
és az UTM vetületet is. Az országhatárok kinyílásával, szabad átjárhatóságával, az
Európai Unióhoz való csatlakozással a vetületi sokféleség még nem merült ki, sıt, a GPS mérésekbıl
levezetett eredmények térbelisége egyidejőleg a magasságok kezelését is lehetıvé teszi.
A GPS mérésekbıl a térben 3 koordinátát kapunk egy, középpontjával a Föld tömegközéppontjába
helyezett WGS84 16 vonatkoztatási ellipszoid térbeli, ill. ellipszoidi földrajzi koordinátarendszerében.
A különbözı országok vetületi (és magassági) rendszereinek összekapcsolása
ezen keresztül lehetséges. Egyrészt, két szomszédos ország vetületi (és magassági)
rendszereinek összekapcsolásához a WGS84 vonatkoztatási ellipszoidra való közös áttérés
szükséges, másrészt, az utóbbira átszámított koordinátákról saját térképezési feladatainak
megoldásához mindenkinek át kell térnie a saját vetületi (magassági) rendszerére.
Napjainkban az elektronikus számítás- és mőszeres technika, a számítógépes térképezés,
a digitális rajzgépeken való megjelenítés lehetıségei gyökeresen megváltoztatták és kiterjesztették
a vetületi rendszerek közötti átszámításokhoz való hozzáállásunkat. A hagyományos,
elsısorban a síkban értelmezett eljárásokat felváltották a számítástechnikai szempontból
sokáig nehezen kezelhetı, nagy kiterjedéső földfelületen is alkalmazható, az idıbeni változásokat
finomabban követni tudó térbeli átszámítási módszerek.
Mind a különbözı vetületi rendszerek, mind a GPS mérésekbıl levezetett eredmények
és a vetületek közötti átszámításokat foglalja össze az alábbi séma:
167
„Inverz” vetületi egyenletek
Vetület 1 (y, x, m)
I.
Térbeli polinomos transzformáció
II.
Vetületi egyenletek
Az 5.-1. ábra jelölései:
Ellipszoidi földrajzi rendszer 1 (Φ, Λ, h=N+m)
Ellipszoidi térbeli rendszer 1 (X, Y, Z)
Ellipszoidi térbeli rendszer 2 (X’, Y’,Z’)
Sík hasonlósági, polinomos és affin
transzformáció
Ellipszoidi földrajzi rendszer 2 (Φ’, Λ’, h’)
Vetület 2 (y’, x’, m’=h’-N’)
5.-1. ábra: Átszámítási séma
Térbeli hasonlósági transzformáció
Φ, Λ, Φ’, Λ’ - ellipszoidi földrajzi koordináták az 1., ill. a 2. rendszerben,
X, Y, Z, X’, Y’, Z’ – ellipszoidi térbeli koordináták az 1., ill. a 2. rendszerben,
h, h’ – ellipszoid feletti magasságok az 1., ill. a 2. rendszerben,
y, x, y’, x’ – vetületi koordináták az 1., ill. a 2. rendszerben,
m, m’ – tengerszint feletti magasságok az 1., ill. a 2. rendszerben,
16 A követı állomások koordinátáit a WGS84 vonatkoztatási rendszerben adják meg. Mivel a nemzetközi ITRS,
ill. az európai ETRS (ill. ennek jelenleg érvényes realizációjához tartozó EUREF89) rendszer eltérése ettıl csak
néhány cm, a gyakorlati GPS mérések végrehajtása során úgy tekinthetjük, hogy a GPS mérésekbıl levezetett
eredmények a WGS84 ellipszoidra vonatkoznak.

168
N = h − m - geoidunduláció,
I. - ellipszoidi térbeli koordináták számítása ellipszoidi földrajzi koordinátákból,
II. - ellipszoidi földrajzi koordináták számítása ellipszoidi térbeli koordinátákból.
A h ellipszoid feletti magasság számításához az m tengerszintfeletti magasságból elvileg
az N geoidunduláció, az m’ tengerszint feletti magasság számításához a h’ ellipszoidi
magasságból az N’ geoidunduláció, azaz a geoidmodell ismeretére van szükség. A
geoidmodell mintegy 10-15 km-es sugarú körön belüli ún. lokális transzformációknál gyakorlatilag
megkerülhetı: a geoidunduláció figyelmen kívül hagyása a vonatkoztatási rendszerek
keveredése miatt ugyan nem korrekt, de a tapasztalat szerint az így számítható eredmények a
gyakorlat szempontjából elfogadhatók. Nagy terület esetén a geoidmodell elhanyagolása a
pontosság rovására megy, bár az így elérhetı, általában 0,5 m-en belüli pontosság a legtöbb
térinformatikai feladat számára megfelelı (pld. Borza, 1999).
A térbeli hasonlósági (más néven térbeli Helmert-, vagy 7 paraméteres) transzformációt
az ellipszoidi térbeli rendszerek között használjuk, míg a térbeli polinomos transzformáció
elvileg az ellipszoidi földrajzi rendszerek között, vagy akár vegyesen is végezhetı. Különbözı
vetületek között közvetlen átszámításra szolgál a sík 4 paraméteres (Helmert-) és a
sík polinomos, valamint utóbbi speciális esete, az affin transzformáció.
E fejezetben sorrendben elıször a különbözı vonatkoztatási rendszerek (ellipszoidok)
közötti átszámításokkal, a térbeli hasonlósági, a térbeli polinomos, a síkbeli hasonlósági, a
síkbeli polinomos és a síkbeli affin transzformációval foglalkozunk.
Az azonos vonatkoztatási ellipszoidú vetületek (a történelmi Magyarország sztereografikus
és ferdetengelyő hengervetületei, a különbözı kezdı-meridiánú Gauss-Krüger és UTM
sávok) közötti egzakt eljárások a vetületi és az alapfelületi földrajzi koordináták közötti, az
eddigiekben már megismert átszámítási összefüggésekre („inverz” vetületi egyenletek, vetületi
egyenletek) épülnek. Ezekre alapozva az 5.6. pontban tárgyaljuk a szakmatörténetileg is érdekes
koordináta-módszert. Ha két vetület vonatkoztatási ellipszoidja megegyezik, mindig ezt
a módszert alkalmazzuk. Mondanivalónkat számpéldákkal is illusztráljuk.
5.1. Összefüggések az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi földrajzi
koordináták között
Z
P
h
P’
Z
Λ
Φ
X
Y
Y
X
5.1.-1. ábra: GPS mérésekbıl levezetett eredmények

169
Az 5.1.-1. ábrán az X, Y, Z ellipszoidi térbeli és a Φ, Λ, h ellipszoidi földrajzi koordinátarendszert
szemléltetjük. Az XZ sík az ellipszoid kezdı-meridiánjának, az XY az ellipszoidi
egyenlítınek a síkja, Z az ellipszoid forgástengelye, Φ az ellipszoidi földrajzi szélesség, Λ
az ellipszoidi földrajzi hosszúság, h az ellipszoid feletti magasság.
Az ellipszoidi térbeli és az ellipszoidi földrajzi koordináták között szigorú átszámítási
összefüggések állnak fenn. Vezessük le ezeket az összefüggéseket!
5.1.1. Ellipszoidi térbeli koordináták számítása ellipszoidi földrajzi koordinátákból
1. Meusnier tétele (pld. Bronstein-Szemengyajev, 1963, 321. old., Hegedős, 24. old.)
értelmében egy felület P felületi pontjában húzott érintı egyeneshez illeszkedı ferdemetszet
görbületi sugara egyenlı az ugyanazon érintıhöz illeszkedı normálmetszet görbületi sugarának
és a két metszeti sík közbezárt szöge cosinusának szorzatával. Forgási ellipszoid esetén
(5.1.1.-1. ábra) a normálmetszet P’DE síkja a P’ ponton átmenı ferdemetszet (szélességi kör)
P’RQ síkjával Φ szöget zár be, azaz
r = P' n ⋅ cosΦ . (5.1.1.-1.)
Z
Q
R
r
P’
E
o
90
− Φ
n
D
5.1.1.-1. ábra: A meridiánra merıleges P’DE normálmetszet és a P’RQ ferdemetszet (a
P’ szélességi köre)
Ebbıl következik, hogy a P pontból (5.1.-1. ábra) az ellipszoidhoz húzott normális P’n
szakasza, ahol az n pont a normális és a Z tengely metszéspontja, maga az N harántgörbületi
sugár:
N = P′n . (5.1.1.-2)
2. Az X és Y ellipszoidi térbeli koordinátákat az 5.1.-1. ábra kiegészítésével, ill. módosításával
kapjuk (5.1.1.-2. ábra). A PP’’n háromszögbıl ugyanis
Az (5.1.1.-3) figyelembevételével X-re és Y-ra kapjuk:
p = ( N + h)
⋅ cosΦ
. (5.1.1.-3)
X = ( N + h)
⋅ cosΦ
⋅ cos Λ
. (5.1.1.-4)
Y = ( N + h)
⋅ cosΦ
⋅ sin Λ

170
Z
P
h
P’
N
Y
n Φ
Λ
p
X
Y
X
5.1.1.-2. ábra: Az X és Y koordináták meghatározása
3. A Z koordináta (5.1.-1. ábra) meghatározásához tekintsük a P’ pont meridiánsíkjába
(5.1.1.-1. ábra) esı x, y koordinátarendszert (5.1.1.-3. ábra)!
y(Z)
P’’
P
x
h
P’
Z
a
b
n
N’
Φ
A
x
y
B
o
90
+Φ
x
Az ellipszis egyenlete:
5.1.1.-3. ábra: A Z koordináta meghatározása
x
a
2
2
+
b
y
ahol a és b a forgási ellipszoid fél nagy-, ill. fél kistengelye.
2
2
−1
= 0 , (5.1.1.-5)
A P’ ponthoz tartozó érintı iránytangense ismeretesen az (5.1.1.-5) függvény P’ pontbeli elsı
differenciálhányadosa:
dy
dx
o
= tan(90 + Φ)
= −cotΦ
, (5.1.1.-6)

171
Az implicit függvény differenciálási szabálya szerint
ahonnan
2 ⋅ x 2 ⋅ y dy
+ ⋅
2
a b dx
dy
dx
2
=
b
−
a
2
=
2
⋅
x
y
0 ,
. (5.1.1.-7)
Az (5.1.1.-6) és az (5.1.1.-7) összefüggések egybevetésével kapjuk:
y
x
2
b
= ⋅ tan Φ . (5.1.1.-8)
2
a
Az 5.1.1.-3. ábra alapján (5.1.1.-8) átírható a következı alakba:
ahonnan
A PAB háromszögbıl Z-re kapjuk:
N ′⋅ sinΦ
b
=
N ⋅ cosΦ
a
b
N ′ =
a
2
2
2
2
⋅ N .
⋅ tanΦ
,
2
⎛ b ⎞
Z = ⎜ ⋅ N + h sinΦ
2
a
⎟ ⋅ . (5.1.1.-9)
⎝ ⎠
Végül, az (5.1.1.-4) és (5.1.1.-9) összefüggések összesítésével kapjuk:
X = (N + h) ⋅ cosΦ
⋅ cos Λ,
Y = (N + h) ⋅ cosΦ
⋅ sin Λ,
⎛ b
Z =
⎜
⎝ a
2
2
⎞
⋅ N + h
⎟ ⋅ sinΦ.
⎠
(5.1.1.-10)
Példa:
GPS mérésekbıl a térben egy Q pontra 3 koordinátát kaptunk a középpontjával a Föld
tömegközéppontjába helyezett WGS84 vonatkoztatási ellipszoid földrajzi koordinátarendszerében:
o
o
Φ = 48 07′46,3794 ′′ Λ = 22 32′56,9369 ′
h = 193,617 m.
Az (5.1.1.-10) összefüggések felhasználásával számítsuk ki a Q pont X, Y, Z ellipszoidi térbeli
koordinátáit! A számításhoz használt VisualBasic nyelvő programrészt a Függelék 5.1.1.-1.
pontjában találjuk.
Eredmények: X=3939065,900 m Y=1635574,656 m Z=4726647,124 m.

172
5.1.2. Ellipszoidi földrajzi koordináták számítása ellipszoidi térbeli koordinátákból
1. Az (5.1.1.-10) második összefüggését az elsıvel osztva, kapjuk:
tan Λ =
ahonnan az ellipszoidi földrajzi szélesség:
2. Az (5.1.1.-3) összefüggésbıl kifejezzük h-t:
Y
X
,
Y
Λ = arctan .
(5.1.2.-1)
X
p
h = − N . cos Φ
Az 5.1.1.-2. ábra szerint viszont p a P pont távolsága a Z tengelytıl:
ezért az ellipszoidi magasságra kapjuk:
p +
2 2
= X Y , (5.1.2.-2)
h =
2
X + Y
cosΦ
2
− N . (5.1.2.-3)
3. Az elsı numerikus excentricitásra vonatkozó
összefüggésbıl
e
2
b
a
2
a − b
=
2
a
2
2
2
= 1−
e .
2
Utóbbi (5.1.1.-9)-be helyettesítésével
2
( N + h − e ⋅ N ) ⋅ sinΦ
Az (5.1.2.-4)-bıl emeljünk ki ( N + h)
-t. Írhatjuk:
Z = . (5.1.2.-4)
Az (5.1.2.-5) kifejezést a
egyenlettel osztva,
Z
⎛ 2 N ⎞
= ( N + h) ⋅ ⎜1−
e ⋅ ⎟ ⋅ sinΦ
. (5.1.2.-5)
⎝ N + h ⎠
p = ( N + h)
⋅ cosΦ
(5.1.1.-3)
Z ⎛
= ⎜1−
e
p ⎝
2
N ⎞
⋅ ⎟ ⋅ tanΦ
N + h ⎠

173
adódik, ahonnan
tan
−1
⎛ 2 N ⎞
Φ = ⋅ 1−
e ⋅ .
Z
p
⎜
⎝
⎟
N + h ⎠
A p helyébe az (5.1.2.-2)-t visszaírva és a Φ-t kifejezve, kapjuk:
−1
⎡ Z ⎛
⎤
2 N ⎞
Φ = arctan⎢
⋅ ⎜1
− e ⋅ ⎟ ⎥ . (5.1.2.-6)
2 2
⎢⎣
X + Y ⎝ N + h ⎠ ⎥⎦
Az (5.1.2.-3) és az (5.1.2.-6) összefüggésekben a keresett h és Φ mindkét oldalon szerepel,
ezért a kettı közül az egyiket iterációval kellene megoldani. Bowring (1976) az (5.1.2.-6) helyett
a
2
3
Z+e′
⋅b
⋅ sin ϑ
Φ = arctan
(5.1.2.-7)
2
3
p − e ⋅ a ⋅ cos ϑ
összefüggést vezette le. A képlet alkalmazásakor már nincs szükség iterációra.
Az (5.1.2.-7) képlet jelölései:
p +
2 2
= X Y ;
e
2
=
a
2
−
2
a
b
2
2
a − b
′ ;
b
2
2
; e =
2
Z ⋅ a
ϑ = arctan .
p ⋅b
Végül, az (5.1.2.-1), az (5.1.2.-3) és az (5.1.2.-7) összefüggések összesítésével írhatjuk:
Példa:
Z+e′
Φ = arctan
p − e
h =
2
2
Λ = arctan
2
X + Y
cosΦ
3
⋅ b ⋅sin
ϑ
3
⋅ a ⋅ cos ϑ
Y
X
2
− N
. (5.1.2.-8)
GPS mérésekbıl a térben egy P pontra 3 koordinátát kaptunk a középpontjával a Föld
tömegközéppontjába helyezett WGS84 vonatkoztatási ellipszoid térbeli koordinátarendszerében:
X = 4125619,100 m Y = 1230225,938 m Z = 4690656,162 m .
Az (5.1.2.-7) összefüggések felhasználásával számítsuk ki a P pont Φ, Λ földrajzi koordinátáit
és a WGS84 ellipszoid feletti h magasságot!
A számításhoz a Függelék, 5.1.2.-1. pont alatti VisualBasic nyelvő programrészt használtuk.
Eredmények:
o
o
Φ = 47 38′44,16909 ′′ Λ = 16 36′14,94369 ′
h = 320,547 m .

174
5.2. A térbeli hasonlósági transzformáció
Z
Z’
γ
P
Y’
X′
X
Z’
X’
a
0
c 0
a
0
Z
X
β
Y
Y
b
0
Y’
X’
X
α
5.2.-1. ábra: Eltolt és elforgatott térbeli derékszögő koordinátarendszerek
Két földi ellipszoid egymáshoz képest általánosságban az 5.2.-1. ábrán ábrázolt módon
helyezkedhet el. Az ellipszoidokhoz tartozó, a térben eltolt és elfordult térbeli derékszögő koordinátarendszerek
egymáshoz képest elfoglalt helyzete 3 eltolási paraméterrel és 3 szögadattal
jellemezhetı. A 7. paraméter a méretarány-tényezı, amelyet rendszerint a különbözı ellipszoidokra
vonatkoztatott távolságmérések különbségei okoznak. Ezen ún. 7 paraméteres
transzformáció (más néven térbeli Helmert transzformáció, vagy Bursa-Wolf modell) során
egy térbeli idom az eredeti koordinátarendszerhez képest eltolt és elfordult helyzető lesz, mérete
megváltozik, de alakja az eredetihez hasonló marad: innen származik a transzformáció
elnevezése.
5.2.1. A transzformációs összefüggés levezetése
Az 5.2.-1. ábrán látható vektorháromszögbıl a transzformáció vektoros formában az alábbi:
Az (5.2.1.-1) vektoregyenlet jelölései:
⎛ X ′ ⎞
⎜ ⎟
X′
= ⎜Y
′ ⎟ - térbeli koordináták a 2. rendszerben
⎜ ⎟
⎝ Z ′ ⎠
a
0
⎛a
⎜
= ⎜b
⎜
⎝c
0
0
0
( + ) ⋅ R X
X′ = a
0
+ 1 κ ⋅ . (5.2.1.-1)
⎞
⎟
⎟ - az 1. rendszer origójának koordinátái a 2. rendszerben (eltolási paraméterek)
⎟
⎠
1 + κ = υ - a méretarány-tényezı; κ - méretarány-különbség

175
⎛ R11
R12
R13
⎞
⎜ ⎟
R = ⎜ R21
R22
R23
⎟ - az α, β, γ elforgatási szögeket tartalmazó forgatómátrix
⎜ ⎟
⎝ R31
R32
R33
⎠
⎛ X ⎞
⎜ ⎟
X = ⎜Y
⎟ - térbeli koordináták az 1. rendszerben.
⎜ ⎟
⎝ Z ⎠
Az R forgatómátrix meghatározható 3 tengely körüli egymás utáni síkbeli forgatást kifejezı
forgatómátrix szorzataként. A forgatómátrix elemei a forgatások sorrendjétıl, ill. a forgásirányoktól
függnek. Minden forgatás akkor érvényes, amikor az elızıt már végrehajtottuk.
Ekkor mondjuk, hogy a forgatások „együtt mozgó” koordinátarendszerre vonatkoznak.
Jelöljük az 5.2.1.-1. ábrán a forgásirányokat az 5.2.-1. ábrának megfelelıen. Az α az X
tengely, a β az Y tengely, a γ a Z tengely körüli forgást jelenti, i, j és k egységvektorok. A levezetéshez
felhasználjuk a vektor algebra eszközeit.
A forgatások sorrendje legyen:
1. Forgatás a Z tengely körül,
2. Forgatás az Y tengely körül,
3. Forgatás az X tengely körül.
A síkbeli forgatómátrixok levezetésénél a forgatást mindig a forgástengely pozitív iránya
felıl szemléljük.
Z
γ
i
k
j
β
Y
1. Forgatás a Z tengely körül (5.2.1.-2. ábra)
X
α
5.2.1.-1. ábra: A transzformáció forgásirányai
r ⋅ = Z
i
γ
γ
X ;
r
Z
Y
γ
r ⋅ = Z
= X ⋅ i + Y ⋅ j ; s így
j
γ
; de
γ
γ
( X ⋅ i + Y ⋅ j) ⋅ i = X ⋅ i ⋅ i +
γ
⋅ j⋅
i
γ
γ
( X ⋅ i + Y ⋅ j) ⋅ j = X ⋅ i ⋅ j +
γ
⋅ j⋅
j
= Y
γ
X ; (5.2.1.-2)
= Y
γ
Y ;

176
γ
Z =
Z .
+Y γ
+Y
+Y γ
+Y
j γ
γ
j
X γ
P(P γ )
X
r Z
Y γ
i
i γ
γ
Y
5.2.1.-2. ábra. Forgatás a Z tengely körül
Továbbá, figyelembe véve, hogy az egységvektorok skaláris szorzata 1, írhatjuk:
+X γ
Y ⋅cosγ
+X
γ
− X ⋅sin γ
X γ X
X ⋅cosγ
γ
γ
Y
P(P γ )
Y γ
Y ⋅sinγ
+X γ
+X
Az
Az
γ
R forgatómátrix:
γ
R -val transzformált koordináták:
⋅
γ
γ
i ⋅ i = i ⋅ i ⋅ cos γ = cosγ
;
=
⋅
⋅
o
( 90 − γ ) = sin γ
γ
γ
j i j i cos
;
⋅
=
⋅
⋅
o
( 90 + γ ) = −sin
γ
γ
γ
i j i j cos
;
X
γ
γ
γ
j ⋅ j = j ⋅ j ⋅ cos γ = cosγ
.
⎛cosγ
sinγ
0⎞
⎜
⎟
γ
R = ⎜- sinγ
cosγ
0 ⎟ .
⎜
⎟
⎝ 0 0 1 ⎠
γ
⎛ X ⎞
⎜ ⎟
γ
= ⎜ Y ⎟ = R
⎜ ⎟
γ
⎝ Z = Z ⎠
2. Forgatás az Y tengely körül (5.2.1.-3. ábra)
Az elızı forgatáshoz hasonló levezetéssel az
A koordináták az
⎛cos
β 0 - sinβ
⎞
⎜
⎟
β
R = ⎜ 0 1 0 ⎟ .
⎜
⎟
⎝sinβ
0 cosβ
⎠
γ
R -val és az
γ
⎛ X ⎞
⎜ ⎟
⋅ ⎜Y
⎟ = R
⎜ ⎟
⎝ Z ⎠
γ
⋅ X . (5.2.1.-3)
β
R forgatómátrixra írhatjuk:
β
R -val végzett transzformáció után:

177
X
β
γ
⎛ X
⎜
β
= ⎜ Y = Y
⎜
β
⎝ Z
γ
⎞
⎟
⎟ = R
⎟
⎠
γ
⎛ X
⎜
⋅⎜Y
⎜
⎝ Z
γ
γ
γ
⎞
⎟
⎟ = R
⎟
⎠
β
⋅ R
γ
⎛ X ⎞
⎜ ⎟
⋅⎜Y
⎟ = R
⎜ ⎟
⎝ Z ⎠
β
⋅ R
γ
⋅ X . (5.2.1.-4)
+X γ
+X β α
Z(Z γ )
X β
β
Z β
+Z β
X γ
i β i γ k β β
k =k γ
+Z(+Z γ )
r Y
P γ (P β )
5.2.1.-3. ábra. Forgatás az Y tengely körül
3. Forgatás az X tengely körül (5.2.1.-4. ábra)
+Z β
+Z’
Y’
Y β
r X
P β (P’)
Z’
+Y’
Z β
k’
k β
j’
j β
α
+Y β
Az
Az
α
R forgatómátrix:
γ
R ,
β
R és
5.2.1.-4. ábra: Forgatás az X tengely körül
⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
α
R = ⎜ 0 cosα
sinα
⎟ .
⎜
⎟
⎝ 0 - sinα
cosα
⎠
α
R forgatómátrixokkal transzformált koordináták:
⎛X′
= X
⎜
X′
= ⎜ Y ′
⎜
⎝ Z′
γ
⎞
⎟
⎟ = R
⎟
⎠
Az (5.2.1.-5) összefüggésben
α
⎛ X
⎜
⋅ ⎜Y
⎜
⎝ Z
β
β
β
⎞
⎟
⎟ = R
⎟
⎠
α
⋅ R
β
⋅ R
γ
⎛ X ⎞
⎜ ⎟
⋅⎜Y
⎟ = R ⋅ X
⎜ ⎟
⎝ Z ⎠
(5.2.1.-5)

178
⎛ R11
R12
R13
⎞
⎜ ⎟
α β γ
R = R ⋅ R ⋅ R = ⎜ R21
R22
R23
⎟ .
⎜ ⎟
⎝ R31
R32
R33
⎠
A szorzást a mátrixszorzás szabályainak megfelelıen elvégezve, a forgatómátrix elemeire
kapjuk:
R = cos β ⋅ cosγ
R
R
R
R
R
R
R
R
11
12
13
21
22
23
31
32
33
= cos β ⋅sin
γ
= −sin
β
= −cosα
⋅sin
γ + sinα
⋅sin
β ⋅ cosγ
= cosα
⋅ cosγ
+ sinα
⋅ sin β ⋅sin
γ
= sinα
⋅ cos β
= sinα
⋅sin
γ + cosα
⋅ sin β ⋅ cosγ
= −sinα
⋅ cosγ
+ cosα
⋅ sin β ⋅sin
γ
= cosα
⋅ cos β .
(5.2.1.-6)
A transzformációs paraméterek ismeretében az 1. rendszerben adott tetszıleges számú
pont a 2. rendszerbe átszámítható.
5.2.2. A transzformációs paraméterek meghatározása
A transzformációs paraméterek meghatározásához mindkét térbeli derékszögő koordinátarendszerben
ismert ún. közös (azonos, illesztı) pontokra van szükség. A közös pontok koordinátái
mindkét rendszerben ismertek, ill. számíthatók. Megválasztásuktól függ a paraméterek
megbízhatósága, ill. végsı soron majd az átszámítás pontossága. Ezért ezek megválasztásánál
rendkívül körültekintıen kell eljárnunk.
A 7 paraméter meghatározásához legalább 7 egyenletre van szükségünk, ez elvileg 2
közös pontot jelent mindhárom térbeli koordinátájával és 1 pontot valamelyik koordinátájával
mindkét rendszerben. Ez problémát jelent a paraméterek számításában, ezért törekedjünk arra,
hogy legalább 3 közös pontunk legyen, ami összesen 9 egyenletet jelent. A két (vagy több
pont esetén több) fölös adat a gyakorlatban azt jelenti, hogy a paramétereket kiegyenlítéssel
kell meghatároznunk.
A vonatkoztatási ellipszoidokhoz tartozó koordinátarendszerek tengelyei egymáshoz
képest kis szögekkel fordulnak el 17 . Kis szögek cosinusai 1-el, sinusai az ívmértékükkel
egyenlık, a sinusok szorzatai pedig elhanyagolhatók. Ennek megfelelıen az (5.2.1.-6) egyenletekbe
a cos α ≈ cos β ≈ cosγ
= 1 , sinα
≈ dα
, sin β ≈ dβ
; sin γ ≈ dγ
értékeket helyettesítjük,
a sinusos tagok szorzatát pedig 0-nak tekintjük. Kapjuk:
Végezzük el az
⎛1
dγ
- dβ
⎞
⎜
⎟
R = ⎜−
dγ
1 dα
⎟ . (5.2.2.-1)
⎜
⎟
⎝dβ
- dα
1 ⎠
17 Kivétel lehet a Bessel ellipszoid, ha a hozzá tartozó vetület (pld. az ausztriai Gauss-Krüger vetület) kezdımeridiánja
a Ferro-i meridián, amelynek közelítı eltérése a Greenwichi meridiántól nyugatra 17 o 40′ . Ez az érték
– még a derékszögő rendszerre való áttérés elıtt - Λ-ban figyelembe vehetı, az eltérés ettıl már kis szögértékhez
vezet.

179
( + ) ⋅ R X
vektoregyenletben kijelölt szorzásokat! Kapjuk:
X′ = a
0
+ 1 κ ⋅
(5.2.1.-1)
vagy
X ′ = a
Y ′ = b
o
Z′
= c
o
o
+ (1 + κ ) ⋅ X + (1 + κ)
⋅Y
⋅ dγ
− (1 + κ ) ⋅ Z ⋅ dβ
+ (1 + κ)
⋅Y
− (1 + κ ) ⋅ X ⋅ dγ
+ (1 + κ)
⋅ Z ⋅ dα
,
+ (1 + κ ) ⋅ Z + (1 + κ ) ⋅ X ⋅ dβ
− (1 + κ)
⋅Y
⋅ dα
X ′ = a
Y ′ = b
o
Z′
= c
o
o
+ X + κ ⋅ X + Y ⋅ dγ
+ κ ⋅Y
⋅ dγ
− Z ⋅ dβ
− κ ⋅ Z ⋅ dβ
+ Y + κ ⋅Y
− X ⋅ dγ
− κ ⋅ X ⋅ dγ
+ Z ⋅ dα
+ κ ⋅ Z ⋅ dα
+ Z + κ ⋅ Z + X ⋅ dβ
+ κ ⋅ X ⋅ dβ
− Y ⋅ dα
+ κ ⋅Y
⋅ dα
(5.2.2.-2)
Az (5.2.2.-2) összefüggésekben a koordináták nagysága a terepi pontnak az ellipszoid középpontjától
való távolságától, ezen belül a féltengelyek méretétıl, ill. a pont ellipszoid feletti
magasságától függ. Magyarországon a legnagyobb koordináta a Z, ami még 1000 m tengerszint
feletti magasságban is Z < 5 ⋅ 10 m . Ekkor pld. a WGS84 és a HD72 (Hungarian Datum
6
1972, IUGG/1967) közötti átszámításkor tapasztalat szerint a méretarány-különbség κ < 10 −5
6
és a forgatási szögek szélsı esetben sem haladják meg az 5”-et. Ekkor Z = 5 ⋅10
m mellett
6 −5
5′′
κ ⋅ Z ⋅ dβ
= 5 ⋅10
m ⋅10
⋅ ≈ 0,001m .
5
2 ⋅10
"
Az összefüggés jobb oldalának nevezıjében 2 ⋅ 10
5 " az 1 radián ”-ben kifejezett közelítı értéke.
Következésképpen a méretarány-különbségeknek a koordinátákkal és a forgatási szögekkel
vett vegyes szorzatait elhanyagolhatjuk, hiszen a többi taghoz képest nagyságrendekkel
kisebbek, s náluk az adott pontok koordinátáinak hibái is jóval nagyobbak. Az (5.2.2.-2) öszszefüggések
így felírhatók
X ′ = a
Y ′ = b
o
o
+ X + κ ⋅ X + Y ⋅ dγ
− Z ⋅ dβ
+ Y + κ ⋅Y
− X ⋅ dγ
+ Z ⋅ dα
(5.2.2.-3)
Z′
= co
+ Z + κ ⋅ Z + X ⋅ dβ
− Y ⋅ dα
alakban.
Az (5.2.2.-3) egyenletekben az X’, Y’, és Z’ koordinátákat vigyük át az egyenletek
jobb oldalára. Az adott pontok koordinátáiban lévı hibák miatt a bal oldalak nem zérus értékőek,
hanem ott az ún. „maradék eltérések” (rezidiumok, javítások) állnak. Az i. közös pontra
felírható:
v
v
v
X
Y
i
Z
i
i
= a
= b
o
= c
o
o
+ X
i
+ Z
i
i
+ κ ⋅ X
+ Y + κ ⋅Y
− X
i
+ κ ⋅ Z
i
i
+ Y ⋅ dγ
− Z
i
+ X
i
i
⋅ dγ
+ Z
i
i
i
⋅ dβ
− X ′
⋅ dα
− Y ′
⋅ dβ
− Y ⋅ dα
− Z′
Írjuk fel az (5.2.2.-4) egyenleteket vektoros formában! Kapjuk:
i
i
i
. (5.2.2.-4)
v = A ⋅ x − l
(5.2.2.-5)
i
i
( 3) ( 3,7) ( ) ( 3)
7
i

180
Az (5.2.2.-5) vektoregyenlet jelölései:
v
i
( 3)
x =
( 7)
=
( v v v )
X i
( 3,7)
⎛1
⎜
= ⎜0
⎜
⎝0
0 0
1 0
0 1
( a b c κ dα
dβ
dγ
)
0
Yi
0
0
Zi
T
;
A
i
T
;
l
X
Y
i
( 3)
i
Z
i
i
=
0
Z
0
0
T
( X ′ - X Y ′-Y
Z ′ − Z ) .
i
i
− Y
i
-Z
X
i
i
i
i
Y
i
− X
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
i
i
i
i
(5.2.2.-6)
A T − vel transzponált mátrixot jelölünk.
p (i = 1,2, …, p) db közös pont esetén p számú (5.2.2.-5) alakú vektoregyenletünk van.
Ezek összegzéseként írhatjuk:
v
= A ⋅ x − l . (5.2.2.-7)
( 3 p) ( 3 p,7) ( 7) ( 3 p)
Az (5.2.2.-7) vektoregyenletben értelemszerően
⎛ v ⎞ ⎛l
⎞ ⎛ A ⎞
⎜ ( 3 1
) ⎟ ⎜ ( 3 1
) ⎟ ⎜ ( 3,7 1
)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜
v
2 ⎟ ⎜
l
2 ⎟ ⎜
A
2
( 3)
( 3)
( 3,7)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
v = ⎜ . ⎟;
l = ⎜ . ⎟;
A = ⎜ . . (5.2.2.-8)
( 3 p)
( 3 p,7)
⎜
.
⎟ ⎜
.
⎟ ⎜
.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ v ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ( ) ⎟ ⎜ ( ) ⎟ ⎜ ( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ p
l
p
A
p
3
3
3,7
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( 3 p)
A 7 paramétert tartalmazó x vektort a legkisebb négyzetek elve szerinti alábbi megoldás szolgáltatja:
−1
= ⎜
⎛ T
⎟
⎞
⎜
⎛ T
x A ⋅ A ⋅ A ⋅ l
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎞ . (5.2.2.-9)
7 ⎝ 7,3 p 3 p,7
⎠ ⎝ 7,3 p 3 p ⎠
A meghatározott paramétereket az (5.2.1.-1) vektoregyenletbe helyettesítve, az elsı
rendszerben ismert térbeli derékszögő koordináták (X) a második rendszerbe (X’) átszámíthatók.
Ha ezután a második rendszerhez tartozó vetületre kívánunk áttérni, elıbb az (5.1.2.-7)
összefüggésekbe (az (5.1.2.-7) összefüggések utáni példa), majd az ellipszoidi földrajzi koordináták
ismeretében a vetületi egyenletekbe helyettesítünk (5.-1. ábra). Ha ismerjük a második
rendszer ellipszoidján a geoidundulációkat, az ellipszoidi magasságokból a tengerszint feletti
magasságokat az (1.2.1.2.-11) képlet szerint az
m = h − N
(5.2.2.-10)
összefüggés szolgáltatja (5.-1. ábra). Az (5.2.2.-10) képletben N most a geoidunduláció. Ha a
közös pontok második rendszerbeli térbeli derékszögő koordinátáinak számításakor a
geoidundulációkat nem vettük figyelembe, úgy a hasonlósági transzformáció elvégzése után
közvetlenül a tengerszint feletti magasságokat kapjuk, azokkal a fenntartásokkal, amelyeket
az 5.-1. ábra jelölésmagyarázata utáni bekezdésben összefoglaltunk.
A paraméterek pontosságát jellemzı mérıszámok a kiegyenlítı számításból ismerete-
T −
sen a ( ) 1
Q = A ⋅ A inverz mátrix átlós elemeinek négyzetgyökei. A paraméterek középhibáit

181
úgy kapjuk, ha utóbbiakat megszorozzuk a súlyegység középhibájával. A súlyegység középhibáját
megkapjuk, ha az (5.2.2.-4) képletbeli (koordinátairányú) javítások négyzetösszegét
elosztjuk a fölös adatok számával, majd vesszük annak négyzetgyökét:
A paraméterek középhibái:
p
∑
2
p
∑
2
v
X
+ v + v
i
Yi
Zi
i=
1
i=
1 i=
1
µ
0
= ±
3⋅
p − 7
. (5.2.2.-11)
p
∑
2
Példa:
( )
µ x j
= ± µ
0
⋅ Q jj
j =1,2,3,4,5,6,7 . (5.2.2.-12)
Számítsuk ki a térbeli hasonlósági transzformáció paramétereit és a súlyegység középhibáját
a WGS84 vonatkoztatási ellipszoid és az Egységes Országos vetület között az alábbi
közös pontok alapján (5.2.2.-1. táblázat)! A közös pontok egész Magyarország területét lefedik.
5.2.2.-1. táblázat: Közös pontok koordinátái a paraméterek számításához
Sorszám
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Φ WGS84 Λ WGS84 h y EOV x EOV m
48-28-04,42240
46-51-56,81240
47-28-56,27133
46-19-10,43565
45-53-01,01601
46-04-19,83671
46-53-02,04292
47-43-14,89477
47-50-17,06062
47-59-49,26535
46-22-08,20518
46-53-22,51896
47-23-07,40001
47-09-27,51787
48-04-36,69376
47-15-20,47635
46-18-48,83654
47-47-22,56055
47-17-29,75411
46-33-47,96959
48-22-37,26725
47-38-44,16897
48-07-46,37922
47-22-14,59641
20-31-12,57568
19-35-41,95584
19-01-02,25758
20-40-14,78819
18-13-01,80159
18-08-07,94491
17-29-28,87945
17-44-28,35831
21-30-48,38669
19-35-02,48194
17-05-26,27616
16-23-45,40556
16-28-59,38447
21-37-13,25229
20-29-51,52991
18-37-09,29576
19-38-46,68121
19-16-53,48687
19-36-06,57495
18-20-48,38519
21-37-56,47121
16-36-14,94362
22-32-56,93673
20-32-12,98244
456,256
166,947
309,547
142,509
314,432
293,988
191,701
162,997
161,608
419,039
285,411
325,630
634,935
137,514
826,731
234,660
170,994
291,792
270,584
209,588
155,800
320,550
193,622
136,029
758921,385
691744,460
647727,410
775016,420
585536,604
579444,550
531407,593
552003,127
834572,608
690046,500
499440,130
447972,160
456423,380
845059,830
758062,903
617590,469
696126,170
667539,245
691930,680
596277,192
841488,851
466457,988
910597,724
762485,465
348214,269
169203,850
237595,140
109637,020
60221,292
81252,210
172254,298
264931,481
280059,946
294960,670
115716,240
175133,800
229998,590
204711,120
304703,360
212491,260
107849,365
271786,719
216542,440
135678,234
340246,742
258621,351
315396,390
226261,009
414,121
123,827
265,820
99,910
269,704
249,060
146,298
119,170
121,331
375,860
240,274
279,730
588,850
96,286
784,115
190,518
127,207
248,260
227,727
165,196
115,916
275,100
154,721
94,145
Mindkét rendszerbıl elıbb a térbeli derékszögő rendszerre kell áttérni. A WGS84 ellipszoidi
földrajzi koordinátákat az (5.1.1.-10) képletek szerint a Függelék 5.1.1.-1. programrésze
alakítja át ellipszoidi térbeli koordinátákká. Az EOV koordinátákat elıbb az IUGG/1967
ellipszoid földrajzi koordinátarendszerébe, majd annak ellipszoidi térbeli rendszerébe kell átszámítani.
Az elıbbit a 2.3.3. és a 3.2. pontokban leírtak, ill. a Függelék 3.2.-1 pontjában bemutatott
programrész szerint végezzük, utóbbi a Függelék 5.1.1.-1. programrészének feladata,
kiegészítve azzal, hogy a tengerszint feletti magasságokat az 5.-1. ábra szerint az N
geoidundulációkkal még módosítani kellene. Példánkban a geoidundulációk hiányoznak, így a

182
geoidmodellt figyelmen kívül hagyjuk, a már ismertetett fenntartásokkal. Az átszámítás
eredményei az 5.2.2.-2. táblázatban találhatók.
5.2.2.-2. táblázat: Térbeli derékszögő koordináták
Sorszám
X WGS84 Y WGS84 Z WGS84 X IUGG/1967 Y IUGG/1967 Z IUGG/1967
1 3968358,714 1485300,217 4751872,834 3968296,866 1485368,259 4751876,854
2 4115696,917 1465128,067 4631697,723 4115635,533 1465196,567 4631702,226
3 4082824,354 1407207,748 4678396,009 4082762,985 1407276,164 4678400,056
4 4128720,729 1557707,336 4589954,261 4128658,983 1557775,646 4589958,726
5 4224902,836 1390480,228 4556477,629 4224841,458 1390549,061 4556482,457
6 4212543,154 1379764,093 4571028,608 4212481,693 1379833,002 4571033,188
7 4165317,664 1312628,722 4633092,810 4165256,255 1312697,875 4633096,916
8 4094404,152 1309936,683 4696168,898 4094343,742 1310005,615 4696173,376
9 3990368,117 1572929,232 4704929,850 3990306,995 1572997,504 4704934,771
10 4028867,947 1433349,547 4716965,864 4028806,419 1433417,592 4716969,778
11 4214231,898 1295712,826 4593846,987 4214170,842 1295782,350 4593851,982
12 4189295,384 1232654,596 4633622,740 4189234,470 1232724,331 4633627,065
13 4148871,315 1227625,570 4671346,977 4148810,318 1227695,098 4671350,683
14 4039261,585 1600916,391 4653800,429 4039199,904 1600984,402 4653804,922
15 3999572,374 1495191,640 4723205,632 3999510,312 1495259,626 4723209,499
16 4110020,434 1384712,033 4661276,932 4109959,103 1384780,581 4661281,046
17 4156384,525 1483807,667 4589514,227 4156322,717 1483876,176 4589518,504
18 4052449,856 1417680,892 4701406,931 4052388,384 1417749,119 4701410,816
19 4082930,519 1454012,813 4664012,257 4082869,285 1454081,272 4664016,694
20 4169896,021 1382838,714 4608675,301 4169834,684 1382907,559 4608679,869
21 3945623,038 1564760,472 4744941,526 3945561,915 1564828,744 4744946,465
22 4125619,105 1230225,938 4690656,162 4125558,506 1230295,277 4690660,071
23 3939065,909 1635574,656 4726647,124 3939004,923 1635642,974 4726652,178
24 4052514,578 1518151,790 4669875,539 4052453,185 1518220,042 4669880,165
−1
A következı lépés az (5.2.2.-6) összefüggésekben az A mátrix és az l vektor összeállítása.
Ezt a mőveletet a Függelék 5.2.2.-1. pontjába foglalt programrész végzi. Az
T
T
A ⋅ A együtthatómátrixot és az A ⋅ l tisztatag-vektort a Függelék 5.2.2.-2. programré-
( 7,3 p) ( 3 p,7)
( 7,3 p) ( 3 p)
sze számítja. Az = ⎜
⎛ T
⎟
⎞
⎜
⎛ T
x A ⋅ A ⋅ A ⋅ l ⎟
⎞ normál egyenletrendszer megoldása pedig a
( 7 ) ⎝ ( 7,3 p ) ( 3 p,7
) ⎠ ⎝ ( 7,3 p ) ( 3 p ) ⎠
Függelék 5.2.2.-3. pontjában található programrész feladata.
Az x vektor elemei a D() oszlopvektorban találhatók. A hivatkozott programrészt is
tartalmazó program az eredményeket az alábbi formában hozza létre, ill. tárolja:
__________________________________
Eltolási paraméterek:
a_0, b_0, c_0 (m):
-47,8664 69,2021 11,4703
Méretarány-különbség: -0,000002195486094308010
Forgatási szögek:
dα = - 00-00-00,3013892424
dβ = 00-00-00,0531954090
dγ = - 00-00-00,4718639249

183
Forgatási mátrix:
0,999999999997350000000 -0,000002287660864205990 -0,000000257898620632462
0,000002287660487368270 0,999999999996316000000 -0,000001461176280557710
0,000000257901963307305 0,000001461175690569350 0,999999999998899000000
A súlyegység középhibája: ±0,317 m.
__________________________________
Ha most pld. egy GPS vevıvel kapott térbeli koordinátahármast kívánunk átszámítani
az EOV koordinátarendszerébe, úgy a kapott eredmények (5.2.1.-1) vektoregyenletbe helyettesítése
után az IUGG/1967 rendszerbe transzformált térbeli derékszögő koordinátákat elıször
az (5.1.2.-7) képletekkel, ill. az utána szemléltetett programrésszel elıször az IUGG/1967 vonatkoztatási
ellipszoidon földrajzi koordinátákká, ill. tengerszint feletti magassággá alakítjuk
át 18 . Az ellipszoidi koordinátákból gömbi koordinátákat a 3. fejezet (3.1.-7a) és (3.1.-13) képleteivel,
végül, a gömbi földrajzi koordinátákból EOV koordinátákat a 2. fejezet (2.3.1.-1),
ill. (2.3.1.-3) képleteivel kaphatunk.
5.3. A térbeli polinomos transzformáció
A térbeli hasonlósági transzformációtól eltérıen a térbeli polinomos transzformáció
nem csak derékszögő, hanem az 5.-1. ábra szerinti tetszıleges koordinátahármasok között is
végezhetı, így pld. az ellipszoidi térbeli és a vetületi koordináták, a két ellipszoidi földrajzi,
vagy vegyesen, a földrajzi és a térbeli koordináták között. A polinomos transzformációt az ellipszoidi
térbeli derékszögő koordináták példáján mutatjuk be.
A transzformációs összefüggések az alábbiak:
X ′ = F
Y ′ = G
Z′
= H
( X , Y,
Z )
( X , Y,
Z )
=
=
f −i
f −i−
j
∑∑ ∑
i=
0 j=
0 k=
0
f −i
f −i−
j
∑∑ ∑
i=
0 j=
0 k=
0
f −i
f −i−
j
( X , Y,
Z ) = ∑∑ ∑
f
f
f
i=
0 j=
0 k = 0
a
s
c
s
s
⋅ X
b ⋅ X
i
⋅ X
⋅Y
⋅Y
i
i
j
⋅Y
j
j
⋅ Z
⋅ Z
k
⋅ Z
k
k
(5.3.-1)
Az (5.3.-1) összefüggések jelölései:
X, Y, Z - koordináták az 1. (ellipszoidi térbeli, vagy ellipszoidi felületi) rendszerben;
X’, Y’, Z’ - koordináták a 2. (ellipszoidi térbeli, vagy ellipszoidi felületi) rendszerben;
a s , b s , c s – a polinomok meghatározandó együtthatói (s = 1,2,…t);
f - a polinomok fokszáma.
A polinomok meghatározandó együtthatóinak t számát az alábbi képletbıl kaphatjuk meg:
t
(f+ 1)
⋅(f
=
2
+ 5⋅
6
f
+ 6 )
. (5.3.-2)
18 Mivel a geoidmodellt mellıztük, az átszámítás „visszafelé” közvetlenül tengerszint feletti magasságokhoz vezet.

184
A polinomos transzformációnál az együtthatók számával legalább egyenlı számú közös
pontra van szükség. Az (5.3.-2) összefüggésbıl viszont látszik, hogy a meghatározandó
együtthatók száma a polinom fokszámától függıen gyorsan nı. Ez f = 1 esetén t = 4, f = 2
esetén t = 10, f = 3 esetén t = 20 db együtthatót, ill. közös pontot jelent, tehát még a legalacsonyabb
fokszám esetén is többet, mint a térbeli hasonlósági transzformációnál. A polinom fokszámát
következésképpen mindig körültekintéssel kell meghatározni.
A minimálisan szükségesnél nagyobb számú közös pont esetén az együtthatókat kiegyenlítéssel,
a legkisebb négyzetek elvébıl kiindulva határozzuk meg. Az (5.3.-1) összefüggésekbıl
az is következik, hogy e transzformáció típusnál mind a három koordinátát önállóan
határozzuk meg. A kiegyenlítés eredménye mindhárom esetben egy ún. kiegyenlítı felület.
Az együtthatókat a legkisebb négyzetek elvébıl kiindulva az
a = ⎜
⎛ M
⎝
( t ) ( t,p) ( p,t ) ( t,p) ( p)
b = ⎜
⎛ M
⎝
T
T
⋅ M ⎟
⎞
⎠
⋅ M ⎟
⎞
⎠
−1
−1
⎜
⎛ T
⋅ M ⋅ X′
⎟
⎞ ,
⎝ ⎠ &
⎜
⎛ T
⋅ M ⋅ Y′
⎟
⎞ ,
⎝ ⎠ &
( t ) ( t,p) ( p,t ) ( t,p) ( p)
−1
⎜
⎛ T
⎟
⎞
⎜
⎛ T
c = M ⋅ M ⋅ M ⋅ Z′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎞
t ⎝ t,p p,t ⎠ ⎝ t,p p ⎠
(5.3.-3)
összefüggésekbıl határozzuk meg. Mint feljebb, T -vel most is transzponált, a -1 - gyel inverz
mátrixot jelölünk.
Jelölésmagyarázat:
p - az azonos pontok száma;
i j k
M( l,
s)
= X
l
⋅Yl
⋅ Zl
( l =1,2,..., p;
s =1,2,..., t)
- az M mátrix l. sorában és s. oszlopában lévı
elem, i = 0 ,1,..., f ; j = 0,1,..., f − i;
k = 0,1,...,
f − i − j ((5.3.-1) képletek);
X ′( l)
= X ′ , Y ′(
l)
= Y ′,
Z′
( l)
= Z′
l &
l &
l
( l =1,2,..., p)
- rendre a X’, Y’ és Z’ vektorok l-ik elemei;
a ( s)
= as
, b(
s)
= bs&
, c( s)
= cs
( s =1,2,..., t)
- rendre az a, b és c vektorok s-ik elemei.
Látjuk, hogy, bár az együtthatókat külön-külön normál-egyenletrendszerbıl határozzuk
meg, a polinomok együtthatóinak pontosságát jellemzı mérıszámok ugyanazon
T −
( M ⋅ ) 1
Q = M inverz mátrix átlós elemeinek négyzetgyökei. Az együtthatók középhibáit
megkapjuk, ha az inverz mátrix átlós elemeinek négyzetgyökeit megszorozzuk a súlyegység
középhibáival. A súlyegység középhibái:
µ
X ′ 0
p
2
( er.
) ( tr.
) p ( er.
) ( tr.
) p ( er.
) ( tr.
)
⎛ ⎞
⎛ ⎞
∑⎜
X
i′−
X ′
i ⎟ ∑⎜
Yi′−
Y ′
i ⎟
i=
1 ⎝ ⎠
i=
1
= ±
⎝ ⎠
Y ′ ±
Z
p − t &
, µ
0
=
, µ
p − t &
2
′ 0
= ±
∑
i=
1
⎛ ⎞
⎜ Z
i′−
Z ′
i ⎟
⎝ ⎠
p − t
2
(5.3.-4)
Az (5.3.-4) összefüggésekben (er.)-rel a közös pontok ’-ıs rendszerbeli koordinátáinak
eredeti, (tr.)-rel pedig a transzformáció végrehajtása utáni értékeit jelöljük. A két érték különbségei
a maradék eltérések. p = t esetén a kiegyenlítı felület minden ponton átmegy és –
fölös adatok hiányában – a középhibák értelmüket vesztik.
Az együtthatók középhibái:
( j 1,2,..., t)
µ
a
= ± µ
X ′ 0
⋅ Q
jj
; µ
b
= ± µ
Y ′ 0
⋅ Q
jj
; µ
c
= ± µ
X ′ 0
⋅ Q
jj
= .
j
j
j
(5.3.-5)
.

185
Példa:
Az 5.2.2.-2. táblázatba foglalt 24-24 db közös pont WGS84 és IUGG/1967 ellipszoidi
térbeli koordinátái alapján számítsuk ki az 1., a 2. és a 3. fokú polinomos transzformáció
együtthatóit és a maradék eltérésekbıl az egyes koordinátákra számítható súlyegységközéphibákat!
A WGS84 ellipszoidhoz a vesszıtlen, az IUGG/1967 ellipszoidhoz a vesszıs
koordináták tartoznak.
Az (5.3.-2) képlet szerint 1. fokú polinom esetén 4, 2. fokú polinom esetén 10, 3. fokú
polinom esetén 20 az együtthatók száma. A közös pontok száma 24, a feladatot mindhárom
esetben kiegyenlítéssel oldjuk meg VisualBasic nyelvő programrészek felhasználásával.
A Függelék 5.3.-1. pont alatti programrész – a számítási pontosság növelése céljából –
kiszámítja a vesszıtlen és a vesszıs koordinátahalmazok X_1=X 0 , Y_1=Y 0 , Z_1=Z 0 és X_2
=X' 0 , Y_2=Y' 0 , Z_2=Z' 0 súlypontjait. A késıbbiekben emiatt az együtthatók és a számított középhibák
a súlypontokra átszámított koordinátákra vonatkoznak majd. A programrészben az
X_Y_Z mátrix a vesszıtlen, az U_V_W mátrix a vesszıs koordinátákat tartalmazza, p a pontok
száma.
Az M mátrix számítását a Függelék 5.3.-2. pontja alatti programrész végzi. A normálmátrix
és a tisztatag-vektor számításáért a hasonlósági transzformáció példájában már bemutatotthoz
hasonló (Függelék, 5.3.-3. pont) programrész, a tisztatagok meghatározásáért a Függelék
5.3.-4. pontjában található programrész felel.
A Függelék 5.3.-5. pontjában lévı programrésszel számított Tiszta vektorok az X’,
Y’, Z’ rendszer saját súlypontjára átszámított koordinátáit tartalmazzák.
Az (5.3.-3) normál egyenletrendszerek megoldása a hasonlósági transzformációnál
már ismertetett programrész (Függelék, 5.2.2.-3. pont) feladata. Végül, a maradék ellentmondások
számítása után az (5.3.-4)-be helyettesítéssel megkapjuk a súlyegység-középhibákat.
Az 1., a 2. és a 3. fokú polinomos transzformáció együtthatóit és a maradék eltérésekbıl
az egyes koordinátákra számított súlyegység-középhibákat az 5.3.-1, 5.3-.-2. és 5.3.-3.
táblázatokban foglaljuk össze.
A súlyponti koordináták: X 0 = 4093239,214 m; X’ 0 = 4093177,895 m;
Y 0 = 1426595,745 m; Y’ 0 = 1426664,368 m;
Z 0 = 4660975,552 m; Z’ 0 = 4660979,929 m.
A polinom fokszámának a növekedésével a koordináták súlyegység-középhibái csökkennek.
Felhívjuk azonban a figyelmet arra, hogy a tényleges megbízhatóság megítélésére
ezek az adatok nem feltétlenül mérvadóak. Emellett – mint látjuk – jelentıs eltérések mutatkoznak
az egyes együtthatók nagyságrendjében, ami még viszonylag nagy szóhosszúságú
számítógépes számábrázolás esetén is – a normál-egyenletrendszerek gyengébb kondicionáltságára
utalhatnak. Mivel pedig - ez most csak példánkra igaz - a kapott paraméterek a súlyponti
koordináták között teremtenek kapcsolatot, az új, IUGG/1967 rendszerbe történı átszámításnál
a két rendszer súlyponti koordinátáit figyelembe kell venni.
A súlyponti koordináták használata az (5.3.-1) összefüggéseket az alábbiak szerint
módosítja:
X ′ = F
Y ′ = G
Z′
= H
f f −i
f −i−
j
i
j
k
( X , Y , Z ) = ∑∑ ∑as
⋅ ( X − X
0) ⋅ ( Y −Y0
) ⋅ ( Z − Z0)
i=
0 j=
0 k=
0
f f −i
f −i−
j
i
j
k
( X Y , Z ) = ∑∑ ∑bs
⋅ ( X − X
0) ⋅ ( Y −Y0
) ⋅ ( Z − Z0)
i=
0 j=
0 k=
0
+ X ′
, + Y ′ . (5.3.-6)
f f −i
f −i−
j
i
j
k
( X , Y , Z ) = ∑∑ ∑cs
⋅ ( X − X
0) ⋅ ( Y −Y0
) ⋅ ( Z − Z0)
i=
0 j=
0 k=
0
0
0
+ Z′
0

186
5.3.-1. táblázat: Transzformációs együtthatók és súlyegység középhibák f = 1 - nél
1. fokú polinom (f = 1) Súlyegység
(s) a b c
1 -4,67936353111767D-04 7,324219332414D-04 4,0054301889532D-04
2 -8,10399157028647D-05 -1,09858146932519D-04 0,999902141989153
3 -2,70228270039869D-05 0,999963741531645 -2,70994312939195D-05
4 0,999927989628181 -9,36384425357062D-05 -8,2600855577705D-05
középhibák
µ
X ′0
=±0,269m
µ
Y ′0
=±0,118m
µ
Z′0
=±0.264m
5.3-2. táblázat: Transzformációs együtthatók és súlyegység középhibák f = 2 - nél
2. fokú polinom (f = 2) Súlyegység
(s) a b c
1 2,17790553745427 ,283112930051036 2,07529210711511
2 -9,39248936881644E-04 -1,81323642951434E-04 0,999092093878765
3 1,04115962894308E-08 -2,96512298054141E-09 -2,47074292719279E-09
4 -2,89143054264621E-04 0,999942325500197 -2,74463260000087E-04
5 6,20622863858374E-09 -1,30678697402285E-09 -1,44296192509912E-09
6 8,22934843439313E-10 -1,40325600790667E-10 -3,21501363771574E-10
7 0,999178503712735 -1,55463890608769E-04 -7,90099064189737E-04
8 1,82801092726039E-08 -4,37183775273771E-09 -4,35582081817438E-09
9 5,39885015860357E-09 -9,28055433608716E-10 -1,35135482214876E-09
10 7,85205310848418E-09 -1,59537913679066E-09 -2,07741368327096E-09
Sorszám
Sorszám
Sorszám
középhibák
µ
X ′0
=±0,176m
µ
Y ′0
=± 0,066m
µ
Z′0
=± 0,166m
5.3.-3. táblázat: Transzformációs együtthatók és súlyegység középhibák f = 3 - nál
3. fokú polinom (f = 3) Súlyegység
(s) a b c
1 -1,29155641650566E-02 -,510088243954281 1,46164303162912
2 -3,23201331105103E-03 -2,80295028404543E-05 0,995562994099961
3 1,39099130253615E-06 6,2860400682952E-08 1,63237277405417E-06
4 -3,07797439427623E-11 2,73760064543701E-12 -3,80534572062212E-11
5 -9,9363066626437E-04 0,999978043234837 -1,33195916948369E-03
6 8,48653841482255E-07 4,29418447487686E-08 9,85959297812355E-07
7 -2,6671687062702E-11 3,00381429455519E-12 -3,325820415916E-11
8 1,29464391607638E-07 7,27198991841467E-09 1,48810194935395E-07
9 -7,51854448004943E-12 1,07836726777589E-12 -9,47686181492875E-12
10 -6,85254218632183E-13 1,27649753841947E-13 -8,77377004284199E-13
11 0,997096131650384 -4,22884746705388E-05 -3,91676808944913E-03
12 2,45926889880528E-06 1,18271399102608E-07 2,86623581009801E-06
13 -7,79291589687356E-11 7,69351018013282E-12 -9,66760683896058E-11
14 7,50225267098166E-07 4,00641615155736E-08 8,65635362000121E-07
15 -4,48768719119951E-11 5,57045160524362E-12 -5,61856219424073E-11
16 -6,29355033693112E-12 9,93448314839779E-13 -7,97534247464013E-12
17 1,08683152356659E-06 5,53594215944014E-08 1,25805294076586E-06
18 -6,54591841942556E-11 7,18616382900818E-12 -8,15275559316857E-11
19 -1,87777969239337E-11 2,57902884990957E-12 -2,36233106963719E-11
20 -1,82268796170258E-11 2,2330581575388E-12 -2,28092247788277E-11
középhibák
µ
X ′0
=±0,073m
µ
Y ′0
=± 0,033m
µ
Z′0
=±0,114m

187
5.4. A síkbeli hasonlósági transzformáció
Két vetületi koordinátarendszer egymáshoz képest általánosságban az 5.4.-1. ábrán ábrázolt
módon helyezkedhet el. A síkban eltolt és elfordult derékszögő koordinátarendszerek
egymáshoz képest elfoglalt helyzete 2 eltolási paraméterrel és 1 szögadattal jellemezhetı. A
4. paraméter a méretarány-tényezı, amelyet rendszerint a különbözı vetületi rendszerekre vonatkoztatott
távolságmérések különbségei okoznak. Hasonlóan a 7 paraméteres transzformációhoz
– a 4 paraméteres transzformáció (más néven síkbeli Helmert-transzformáció) során
egy síkbeli idom az eredeti koordinátarendszerhez képest eltolt és elfordult helyzető lesz, mérete
megváltozik, de alakja az eredetihez hasonló marad. A síkbeli hasonlósági transzformáció
csak kis, 20-30 km 2 –es területen ad a geodéziai pontosság szempontjából elfogadható eredményt.
A transzformáció vektoros formában az alábbi:
Az (5.4.-1) vektoregyenlet jelölései:
⎛ x′
⎞
x′
= ⎜ ⎟ - vetületi koordináták a 2. rendszerben
⎝ y′
⎠
a
0
⎛a
=
⎜
⎝b
0
0
x′ = a0 + υ ⋅ R ⋅ x . (5.4.-1)
⎞
⎟ - az 1. rendszer origójának koordinátái a 2. rendszerben (eltolási paraméterek)
⎠
υ - a méretarány-tényezı
⎛ R11 R ⎞
R =
⎜
⎟ - az ε elforgatási szöget tartalmazó forgatómátrix
⎝ R21
R12
22 ⎠
⎛ x ⎞
x = ⎜ ⎟ - vetületi koordináták az 1. rendszerben.
⎝ y ⎠
+x’
y’
+x
ε
y
ε
x
x
P
x’
+y’
x ⋅ cosε
b 0
+y
+y
a 0
a 0
x’
+x’
+x
y’
ε
b 0
a 0
− y ⋅sin ε
y
y ⋅ cosε
ε
ε
x
P
x’
x ⋅sin ε
+y’
5.4.-1. ábra: Síkbeli hasonlósági transzformáció
Az 5.2.1.-2. ábrához kapcsolódó hasonló levezetést mellızve, írhatjuk:
Az R forgatómátrix:
⎛cosε
- sinε
⎞
R = ⎜
⎟ .
⎝sinε
cosε
⎠

188
Az (5.4.-1) vektoregyenletbe helyettesítve, az x’ komponenseire írható (5.4.-1. jobboldali ábra):
x′
= a
0
y′
= b
0
+ υ ⋅ x ⋅ cos ε − υ ⋅ y ⋅sin
ε
+ υ ⋅ x ⋅ sin ε + υ ⋅ y ⋅ cos ε
(5.4.-2)
Az (5.4.-2)-t rendszerint az
x′
= a
0
y′
= b
0
+ x ⋅ a − y ⋅ b
. (5.4.-3)
+ y ⋅ a + x ⋅ b
alakban írják fel. Az (5.4.-3)-ban a = υ ⋅ cos ε;
b = υ ⋅sin
ε .
Az a 0 , b 0 , a, b transzformációs paraméterek meghatározásához legalább 2 közös pont
szükséges. Több közös pont esetén a paramétereket a legkisebb négyzetek elve szerint kiegyenlítéssel
határozzák meg. A 4 ismeretlenes normálegyenlet-rendszer kifejtés után az alábbi:
⎛
⎜
⎝
⎛
− ⎜
⎝
p ⋅ a
p
∑
i=
1
p
∑
i=
1
x
i
y
0
⎞
⎟ ⋅
⎠
i
⎞
⎟ ⋅
⎠
a
0
a
0
+
⎛
+ ⎜
⎝
⎛
+ ⎜
⎝
p ⋅b
p
∑
i=
1
p
∑
i=
1
y
i
x
⎞
⎟ ⋅
⎠
i
0
⎞
⎟ ⋅
⎠
b
0
b
0
⎛
+ ⎜
⎝
⎛
+ ⎜
⎝
⎛
+ ⎜
⎝
∑
∑
p
2 2
∑( xi
+ yi
)
i=
1
p
i=
1
p
i=
1
x
y
i
i
⎞
⎟ ⋅
⎠
⎞
⎟ ⋅
⎠
a
a
⎞
⎟ ⋅ a
⎠
⎛
− ⎜
⎝
⎛
+ ⎜
⎝
⎛
+ ⎜
⎝
ahol, az eddigi jelöléseken túl, p – a közös pontok száma.
A súlyegység középhibája:
A paraméterek középhibái:
p
2
∑
∑
∑
∑
∑
∑
p
p
p
2 2 ⎞
∑( x + ) ⎟ ⋅ = ∑ ⋅ ′
i
yi
b xi
yi
+ ∑
i=
1
p
i=
1
p
i=
1
y
x
i
i
⎞
⎟ ⋅
⎠
⎞
⎟ ⋅
⎠
( er.
) ( tr.
) p ( er.
) ( tr.
)
b
b
⎠
=
=
=
p
i=
1
p
i=
1
p
i=
1
i=
1
x′
i
y′
i
x ⋅ x′
+
i
i
(5.4.-4)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∑⎜
x′
′ ⎜ ′ ′
i
− xi
⎟ + ∑ yi
− yi
⎟
i= 1 1
0
= ±
⎝ ⎠ i=
µ
⎝ ⎠
. (5.4.-5)
2 ⋅ p − 4
( )
µ j
= ± µ
0
⋅ Q jj
j = 1,2,3,4 . (5.4.-6)
2
p
i=
1
i=
1
y ⋅ y′
i
i
i
y ⋅ x′
Az (5.4.-6)-ban Q
jj
az (5.4.-4) normálegyenlet-rendszer együtthatómátrixa inverzének j. sorában
és j. oszlopában lévı átlós elem.
Példa:
UTM és EOV vetületbeli közös pontok koordinátái (5.4.-1. táblázat) alapján határozzuk
meg az UTM és az EOV közötti síkbeli hasonlósági transzformáció a 0 , b 0 , a, b paramétereit,
valamint a súlyegység középhibáját!
i

189
A számítás a fentiekhez hasonló VisualBasic nyelvő program felhasználásával végezhetı.
A számítás eredményeit az 5.4.-2. táblázatban foglaljuk össze. A kapott paraméterekbıl
visszaszámítottuk a υ méretarány-tényezıt és az ε elforgatási szöget.
Pontszám
5.4.-1. táblázat: Közös pontok koordinátái
UTM
EOV
x y x’ y’
1 5283345,23 622592,76 263693,08 468839,43
2 5280422,81 617792,93 261023,41 463893,24
3 5279769,45 619521,03 260281,01 465585,42
4 5279175,14 618839,42 259722,79 464873,72
5 5278969,03 619454,03 259484,99 465476,92
6 5276893,53 620348,72 257365,40 466262,76
7 5278997,94 619898,40 259490,78 465922,28
8 5276988,77 620339,57 257461,00 466258,57
9 5279961,72 617756,17 260564,75 463832,57
5.4.-2. táblázat: Transzformációs paraméterek és a súlyegység középhibja
Paraméterek A súlyegység
középhibája
a 0 -4981244,840 m
b 0 -427537,862 m
a 0,9988529625 µ
0
= ±0,010 m
b 0,0519554646
υ 1,0002032843
ε 2 o 58′
39,23
′′
5.5. A síkbeli polinomos transzformáció
A síkbeli polinomos transzformáció összefüggéseit a térbeli transzformáció speciális
eseteként írhatjuk fel az alábbi alakban:
x′
= F
y′
= G
( x,
y)
=
f −i
∑∑
i=
0 j=
0
f −i
( x,
y) = ∑∑
f
f
i=
0 j=
0
a
b
k
k
⋅ x
⋅ x
i
i
⋅ y
⋅ y
j
j
(5.5.-1)
Jelölések:
x, y - koordináták az 1. vetületi rendszerben;
x’, y’ - koordináták a 2. vetületi rendszerben;
a k , b k - az átalakító függvények együtthatói (k = 1,2,…t);
f - a polinomok fokszáma;
( f + 1 ) ⋅ ( f + 2)
t =
- az együtthatók (a polinomok tagjainak) száma.
2
Az együtthatók számával itt is legalább egyenlı számú közös pontra van szükség. A
meghatározandó együtthatók száma a polinom fokszámától függıen: f = 1 esetén t = 3, f = 2
esetén t = 6, stb.
A minimálisan szükséges t - nél nagyobb számú közös pont esetén az együtthatókat
kiegyenlítéssel, a legkisebb négyzetek elvébıl kiindulva határozzuk meg. Az (5.5.-1) össze-

190
függésekbıl – a térbeli polinomos transzformáció analógiájára - az is következik, hogy e
transzformáció típusnál a két koordinátát önállóan határozzuk meg.
Az együtthatókra fennállnak a következı összefüggések:
a = ⎜
⎛ M
⎝
( t ) ( t,p ) ( p,t ) ( t,p ) ( p)
b = ⎜
⎛ M
⎝
T
T
⋅ M ⎟
⎞
⎠
⋅ M ⎟
⎞
⎠
−1
−1
( t ) ( t,p ) ( p,t ) ( t,p) ( p)
T
⋅ ⎜
⎛ M ⋅ x′
⎟
⎞ ,
⎝ ⎠ &
. (5.5.-2)
⎛ T ⎞
⋅ ⎜ M ⋅ y′
⎟
⎝ ⎠
Mint feljebb, T -vel most is transzponált, a -1 - gyel inverz mátrixot jelölünk.
Az (5.5.-2) vektoregyenletekben:
p - az azonos pontok száma;
i j
M( l, k ) = xl ⋅ yl
( l =1,2,..., p;
k =1,2,..., t)
- az M mátrix l. sorában és k. oszlopában lévı
elem,
x′
( l)
= x′
, y ′(
l)
= y′
l &
l
( l =1,2,..., p)
- rendre az x’, y’ vektorok l-ik elemei;
a ( k)
= a , b(
k)
= ( k =1,2,..., t)
- rendre az a, b vektorok k-ik elemei.
k
b k
A súlyegység középhibái:
µ
x′
0
p
( er.
) ( tr.
) p ( er.
) ( tr.
)
⎛ ⎞
∑⎜
x′
i
− x′
i ⎟
i=
1
= ±
⎝ ⎠
, µ
y′
p − t &
2
0
= ±
∑
i=
1
⎛ ⎞
⎜ y′
i
− y′
i ⎟
⎝ ⎠
p − t
2
. (5.5.-3)
Az (5.5.-3) összefüggésekben – mint eddig - (er.)-rel a közös pontok ’-ıs rendszerbeli
koordinátáinak eredeti, (tr.)-rel pedig a transzformáció végrehajtása utáni értékeit jelöljük. A
két érték különbségei a maradék eltérések.
Az együtthatók középhibái:
T
és ( ) 1
( j 1,2,..., t)
µ = ± µ ′ 0
⋅ Q ; µ = ± µ ′ 0
⋅ Q = . (5.5.-4)
a
−
j
x
jj
b
j
y
Q = M ⋅ M .
A síkbeli affin transzformáció a síkbeli polinomos transzformáció speciális esete, amikor
az (5.5.-1) polinomokban az 1-nél magasabb rendő tagokat elhagyjuk, vagyis, mint feljebb,
f=1 és t=3.
Az affin transzformáció egyenletei:
Példa:
x′
= F
y′
= G
( x,
y)
=
1
1−i
∑∑
i=
0 j=
0
1
1−i
a
⋅ x
⋅ y
= a
i j
( x,
y) = b ⋅ x ⋅ y = b + b ⋅ x + b ⋅ y
∑∑
i=
0 j=
0
k
k
i
j
0
0
jj
+ a ⋅ x + a
1
1
2
2
⋅ y
. (5.5.-5)
Az 5.4.-1. táblázatbeli 9-9 db közös pont UTM és EOV vetületi koordinátái alapján
számítsuk ki az UTM és EOV közötti 1., és a 2. fokú polinomos transzformáció együtthatóit
és a maradék eltérésekbıl az egyes koordinátákra számítható súlyegység-középhibákat! Az
UTM vetülethez a vesszıtlen, az EOV vetülethez a vesszıs koordináták tartoznak.

191
1. fokú polinom esetén 3, 2. fokú polinom esetén 6 az együtthatók száma. A közös
pontok száma 9, a feladatot mindkét esetben kiegyenlítéssel oldjuk meg a fentiekhez hasonló
VisualBasic nyelvő programrészek felhasználásával.
A program - a térbeli polinomos transzformációhoz hasonlóan – elıször számítja az
Y_1=y 0 , X_1=x 0 és az Y_2=y' 0 ; X_2=x' 0 súlypontokat, a Függelék 5.5.-1. pontjában lévı
programrész szerint.
A súlyponti koordináták: x 0 = 5279391,513 m; x’ 0 = 259898,579 m;
y 0 = 619615,892 m; y’ 0 = 465660,546 m;
Az M együttható-mátrixot a Függelék 5.5.-2. programrésze, a normálegyenlet-rendszer
együttható-mátrixát, ill. a tisztatag-vektort pedig a Függelék 5.5.-3. pont alatti programrésze
hozza létre. Az 1., ill. a 2. fokú polinomra vonatkozó normálegyenlet-rendszerek megoldásának
eredményeit az 5.5.-1. és az 5.5.-2. táblázatokban foglaljuk össze.
5.5.-1. táblázat: Transzformációs együtthatók és súlyegység középhibák f = 1 - nél
1. fokú polinom (f = 1) Súlyegység
(k) a B
1 6,7809570346147E-11 3,20330449671162E-10
2 5,19532372831576E-02 0,998849257999807
3 0,998860067767362 -5,19559243710818E-02
középhibák
µ
x′0
=±0,003m
µ
y′0
=±0,005m
Az 5.5.-1. táblázat együtthatói egyben az adott közös ponthalmazra vonatkozó affin
transzformáció paraméterei is (51. képletek).
5.5.-2. táblázat: Transzformációs együtthatók és súlyegység középhibák f = 2 - nél
Sorszám
Sorszám
2. fokú polinom (f = 2) Súlyegység
(k) a b
1 -3,81163961928474E-03 -6,90250803391604E-05
2 5,19478279007737E-02 0,998856178285471
3 2,86730162149163E-10 1,33115500498818E-09
4 0,998853675979519 -5,19514675769692E-02
5 3,12617670885238E-09 -4,60126746576934E-09
6 5,22748402577875E-10 -8,09902589998173E-10
középhibák
µ
x′0
=±0,001m
µ
y′0
=±0,002m
A súlyponti koordináták használata az (5.5.-1) összefüggéseket az alábbiak szerint módosítja:
x′
= F
y′
= G
f f −i
i
j
( x,
y) = ∑∑ ak
⋅ ( x − x0
) ⋅ ( y − y0
)
i=
0 j=
0
f f −i
i
j
( x,
y) = ∑∑bk
⋅ ( x − x0
) ⋅ ( y − y0
)
i=
0 j=
0
5.6. A koordináta-módszer
+ x′
0
. (5.5.-6)
+ y′
A koordináta-módszernél az egyik vetületi rendszerben adott vetületi koordinátákat az
inverz vetületi egyenletek felhasználásával alapfelületi (vonatkoztatási ellipszoidi, gömbi) koordinátákká
alakítjuk, majd az így kapott földrajzi koordinátákat a másik vetületre érvényes
vetületi egyenletek segítségével számítjuk át a másik vetületi rendszerbe. A módszer csak ak-

192
kor szigorú, ha az alapfelület mindkét vetület esetén megegyezik. Feltétel az is, hogy mindkét
vetületi koordinátarendszert ugyanazon alappont-hálózati mérésekbıl és számításokból definiáljuk,
ellenkezı esetben a két vetület közötti hálózat-elhelyezési eltérések a számítás szigorúságát
befolyásolják. Pld. a budapesti sztereografikus rendszer és az osztrák Gauss-Krüger
vetületi rendszernek ugyanaz az ellipszoidja (a Bessel-ellipszoid), de az osztrák vetületi rendszert
a 19. századbeli osztrák-magyar katonai háromszögelés, a budapesti sztereografikus
rendszert viszont a 20. század elején végzett magyarországi háromszögelés alapozza meg
(5.6.1. pont), így a kettı közötti átszámítás nem lehet szigorú.
A magyarországi vetületeknél szigorú átszámítás csak a budapesti sztereografikus és a
három ferdetengelyő hengervetület, valamint a szomszédos Gauss-Krüger, ill. UTM vetületi
sávok között végezhetı. A ferdetengelyő hengervetületek, valamint a Gauss-Krüger és az
UTM vetületi sávok szélein az átszámítást a mindennapos geodéziai gyakorlati számítások is
indokolják. Ilyen pld. az az eset, amikor egy távolság egyik végpontja az egyik, a másik a másik
vetületben, ill. vetületi sávban helyezkedik el.
5.6.1. Átszámítás a budapesti sztereografikus és a magyarországi ferdetengelyő
hengervetületek között
A budapesti sztereografikus és a ferdetengelyő hengervetületek a koordináta-módszer
alkalmazásának legtipikusabb példái. Mindkét típusú vetületi rendszernek ugyanaz az ellipszoidja
(a Bessel-ellipszoid), sıt, mint tudjuk, a hengervetületek koordinátarendszereinek x
tengelyei ugyannak az ellipszoidi és gömbi kezdı-meridiánnak képei, így a koordinátamódszer
tejesen szigorú és egzakt összefüggésekre épül. Még egyszerőbb a helyzet a ferdetengelyő
hengervetületek északi, középsı és déli (HÉR, HKR, HDR) rendszerei esetén, hiszen
a köztük lévı különbség csak az, hogy kezdıpontjaik mások ugyanazon a kezdı-meridiánon.
Mivel a sztereografikus és a hengervetületeket ugyanaz a Gauss-gömb kapcsolja össze,
elegendı az egyik vetületrıl a Gauss-gömbre, majd a Gauss-gömbrıl a másik vetületre áttérni,
így megtakaríthatók a Gauss-gömb és a Bessel-ellipszoid közötti átszámítások.
A fenti egyszerő meggondolásokon túl azonban a budapesti sztereografikus és a 3 ferdetengelyő
hengervetület közötti áttérésnek van egy különlegessége. Ezt mutatjuk be a továbbiakban.
A sztereografikus rendszer Gellérthegy kezdıpontjának ellipszoidi földrajzi szélességét
és hosszúságát a második osztrák-magyar katonai felmérés idejének vége felé, a 19. század
60-as éveiben Bécsbıl vezették le. Az 1863-tól érvényes sztereografikus rendszer Gellérthegy
kezdıpontjának Bessel-ellipszoidi földrajzi koordinátái 0 ,01′′ élességgel
Ledersteger 19 (1947) szerint:
o
Φ
K
= 47 29′
14,07 ′′ ,
.
o
Λ = 36 42′
56,22 ′′
A Φ
K
-nak megfelelı Gauss-gömbi szélesség:
K
ϕ 47 o K
= 26′
25,563′′
.
E vetületi rendszer elhelyezését a magyar geodéziai önállósodási törekvések következtében
a századunk elején végzett háromszögelés alapján Fasching Antal neves magyar geodé-
19 A Bessel-ellipszoid kiinduló meridiánja a Greenwich-tıl nyugatra mintegy 17 o 40′ -re lévı Ferro-i meridián.

193
ta 20 javaslatára 1908-ban, a magyarországi ferdetengelyő hengervetületek bevezetésével egyidejőleg
módosították (a 3.3.-1. táblázatban ϕ 47 0 K
= 26′
21,13721′
).
Ugyancsak Fasching Antal javaslatára a hengervetületi koordináták számításához
megváltoztatták az osztrák-magyar katonai háromszögelésbıl kapott háromszögelési hálózat
tájékozását is oly módon, hogy a Gellérthegy vetületi kezdıpontból kiinduló irányok
azimutját, s így irányszögét is 6 ,44′ -cel csökkentették. Ezért, ha a sztereografikus vetületi
koordinátákból koordináta-módszerrel hengervetületi koordinátákat akarunk számolni, úgy a
sztereografikus koordinátákat ( y
St
, xSt
) a Gauss-gömbre való áttérésnél a következı síktranszformációval
módosítanunk kell:
y = y
x = y
St
St
⋅ cos6,44 ′′ − x
⋅sin 6,44′′
+ x
St
St
⋅sin 6,44 ′′
⋅ cos6,44 ′′
(5.6.1.-1)
Az így kapott y, x koordinátákat helyettesítjük be a ϕ és λ gömbi földrajzi koordináták
meghatározására szolgáló
cot λ
1 ⎡
− ⋅ ⎢x
⋅sinϕ
K
y ⎣
2
⎛ d ⎞ ⎤
+
⎜ R −
⎟ ⋅ cosϕ
⎥
⎝ 4 ⋅ R ⎠ ⎦
=
K
és (2.1.2.-8)
sinϕ
2
1 ⎡
⎛ d ⎞ ⎤
⋅ ⎢−
x ⋅ cosϕ
+
⎜ −
⎟ ⋅
K
R sinϕ
2 ⎥
d ⎣
⎝ 4 ⋅ R
R +
⎠ ⎦
4 ⋅ R
=
K
(2.1.2.-9)
egyenletekbe.
Ha, fordítva, a hengervetületekrıl térünk át a budapesti sztereografikus vetületre, a
és a
⎛
ϕ′
= −⎜
2 ⋅ arctan
⎝
y
λ′
= −
R
e R x
cosϕ′⋅
sin λ′
sin λ =
cosϕ
π ⎞
− ⎟,
2
⎠
sinϕ
= sinϕ′
⋅ cosϕ
+ cosϕ′⋅
cos λ′⋅
sinϕ
,
K
K
(2.2.2.-1)
(2.2.2.-3)
összefüggésekbıl számított ϕ és λ gömbi földrajzi koordinátákból az
és a
cosϕ
⋅sin
λ
y = −2
⋅ R ⋅
. (2.1.1.-5)
1+
cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅sinϕ
K
K
20 A róla elnevezett díjat ma Magyarországon évenként 3 neves geodétának ítélik oda.

194
cosϕ
⋅ cos λ ⋅sinϕ
− sinϕ
⋅ cosϕ
= 2 ⋅ R ⋅
1+
cosϕ
⋅ cosλ
⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅ sinϕ
K
K
x (2.1.1.-6)
összefüggésekkel kapható y és x koordinátákat még az
K
K
y
x
St
St
= y ⋅ cos6,44 ′′ + x ⋅sin 6,44 ′′
= −y
⋅ sin 6,44′′
+ x ⋅ cos 6,44′′
(5.6.1.-2)
inverz transzformációval módosítanunk kell.
1. példa:
Számítsuk át a 32-2126 számú pont y = 135762 ,11m és x = 40723,06 m HKR koordinátáit a
sztereografikus rendszerbe! A Gauss-gömb sugara: R = 6378512,966 m , a kezdıpont gömbi
földrajzi szélessége ϕ 47 o K
= 06′
00,00000
′′ .
A segédföldrajzi koordináták, a szögek radiánban számított értékeinek átalakítása után:
⎛
ϕ′
= −⎜
2 ⋅ arctan
⎝
y
λ′
= −
R
A Gauss-gömbi földrajzi koordináták:
ϕ = arcsin
e R x
π ⎞
o
− ⎟ = −0
21′
56,87071′′
,
2
⎠
o
= -1 13′
10,19963′′
.
( sinϕ′⋅
cosϕ
+ cosϕ′⋅
cos λ′⋅
sinϕ
)
cosϕ′⋅
sin λ′
λ = arcsin
cosϕ
K
o
K
= 46 43′
13,20272 ′′
.
o
= -1 46′
44,23001′′
A Gauss-gömbi földrajzi koordinátákról a budapesti sztereografikus vetületi rendszerre a
(2.1.1.-5) és a (2.1.1.-6) összefüggésekkel térünk át, ahol ϕ = 47 0 26′
21,13721′
:
cosϕ
⋅sin
λ
y = −2
⋅ R ⋅
1+
cosϕ
⋅ cosλ
⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅sinϕ
K
K
′
K
= 135769,607 m,
cosϕ
⋅ cos λ ⋅ sinϕ
K
− sinϕ
⋅ cosϕ
K
x = 2 ⋅ R ⋅
1+
cosϕ
⋅ cos λ ⋅ cosϕ
+ sinϕ
⋅ sinϕ
K
K
= 78486,438 m .
Az így kapott sztereografikus koordinátákat módosítsuk még az (5.6.1.-2) transzformációval:
y
x
St
St
= 135769,607 ⋅ cos 6,44′′
+ 78486,438⋅
sin 6,44′′
= 135772,058 m,
= −135769,607
⋅sin 6,44′′
+ 78486,438 ⋅ cos6,44 ′′ = 78482,199 m
.
2. példa:
Számítsuk át a 36-3014 számú pont y = −26505,65 m és xSt
koordinátáit a hengervetület középsı rendszerébe (HKR)!
St
=
100685,68 m sztereografikus

195
A hengervetületekre való áttérésnél az eredeti sztereografikus koordinátákat elıször az
y = y
x = y
St
St
⋅ cos6,44 ′′ − x
⋅sin 6,44 ′′ + x
St
St
⋅ sin 6,44′′
= −26508,794 m,
⋅ cos 6,44′′
= 100684,852 m
transzformációval módosítjuk, majd az így kapott koordinátákból számítjuk a Gauss-gömbi
földrajzi koordinátákat:
2
⎪⎧
1 ⎡ ⎛ d ⎞ ⎤⎪⎫
o
λ = arccot⎨−
⋅ ⎢x
⋅sinϕ
K
+
⎜ R − cos
K ⎥⎬
= 0 20′
46,03768′′
⎪⎩ ⎣
4
⎟ ⋅ ϕ
y
⎝ ⋅ R ⎠ ⎦⎪⎭
,
⎧
⎫
⎪
2
1 ⎡
⎛ d ⎞ ⎤⎪
o
ϕ = arcsin⎨
⋅ cos
K
sin
K
= 46 32′
03,42086 ′′
2 ⎢−
x ⋅ ϕ +
⎜ R −
⎥⎬
⎪ ⎣
4
⎟ ⋅ ϕ
,
d
⎝ ⋅ R ⎠ ⎦⎪
R +
⎩ 4 ⋅ R
⎭
a szögek radiánban számított értékeinek átalakítása után.
A segédföldrajzi koordinátáknak a (2.2.1.-1) képletekbıl való számítása után végül, az
alábbi HKR koordinátákat kapjuk:
y = -26508,394 m,
.
x = 62921,344 m.
5.6.2. Átszámítás a különbözı közép-meridiánú Gauss-Krüger és UTM vetületi
sávok között
Az átszámítást mind a Gauss-Krüger, mind az UTM vetületnél úgy végezzük, hogy az
adott közép-meridiánra vonatkozó vetületi koordinátákat az inverz vetületi egyenletek útján
ellipszoidi földrajzi koordinátákká alakítjuk, majd a vetületi egyenletek segítségével egy
szomszédos vetületi sávba számítjuk át. A szomszédos sávok Magyarországon a Gausso
o
o
Krüger vetület esetén különbözı sávszélességő ( 6 -os, 3 -os, vagy akár 2 -os) és középmeridiánú
vetületi sávok is lehetnek.
Példa:
o
o
Számítsuk át a Λ
0
= 15 közép-meridiánú 6 -os Gauss-Krüger vetületi sáv
o
y = 222999,16 m és x = 5194897,08 m vetületi koordinátáit a Λ0 = 18 -os közép-meridiánú
o
3 -os vetületi sávba!
A számításhoz a (4.1.4.-17/a, /b és (4.1.3.-4), valamint a (4.1.2.-17/a és /b) összefüggéseket
használjuk, valamint tudjuk, hogy L = Λ − Λ0
.
Eredmények:
y = -5801,19 m, x = 5190746,80 m .

196

197
Irodalom
A.1. Vetületi Szabályzat az Egységes Országos Vetületi Rendszer alkalmazására. MÉM Országos
Földügyi és Térképészeti Hivatal, Budapest, 1975.
Bácsatyai, L.: A vetületi meridiánkonvergencia grafikus meghatározásának egy módja. Geodézia
és Kartográfia, 1968, 365-368. old.
Baboss, Cs.: Analitikus geometria (segédlet). Kézirat. Erdészeti és Faipari Egyetem Földmérési
és Földrendezıi Fıiskolai Kar, Székesfehérvár, 1983.
Bácsatyai, L. - Kovács, Gy.: Nagy térbeli felületek felmérésének és pontosságvizsgálatának
néhány kérdése. Erdészeti és Faipari Egyetem Tudományos Közleményei, 1982, 1.
szám, 91-103. old.
Bácsatyai L.: „Magyarországi vetületek”, tankönyv, Mezıgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest,
1993.
Bácsatyai L.: Egyszerő összefüggések a budapesti sztereografikus rendszerrıl a Gaussgömbre
történı áttéréshez. Geodézia és Kartográfia, Budapest, 1993/3. 164-167 old.
Bácsatyai L.: Geodézia erdı- és környezetmérnököknek. MTA GGKI kiadványa. Geomatikai
Közlemények VI. sz. 2003. Ábrákkal, tárgy- és névmutatóval 325 oldal.
Bíró, P.: A geodéziai alapfelületek. Geodézia és Kartográfia, 1972, 401-412. old.
Bíró, P.: Kozmikus geodézia I. rész: Csillagászati alapismeretek és földrajzi helymeghatározás,
Elektronikus jegyzet. BME, Budapest, 2003. Elektronikus jegyzet.
Borza, T.: Az Országos GPS Hálózat geodéziai jelentısége, Geomatikai Közlemények, I.
Sopron, 1999, 37-42. old.
Bowring, B,: Transformation from spatial to geographical coordinates, Survey Review XXIII,
1976, 323-327. old.
Bronstein-Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv, Mőszaki Könyvkiadó, Bp., 1963.
Buchholtz, A. – Rüger, W.: Photogrammetrie, VEB Verlag für Bauwesen, Berlin, 1973.
Csepregi, Sz.: Geodéziai alapismeretek III. Fıiskolai jegyzet, Kézirat. Erdészeti és Faipari
Egyetem Földmérési és Földrendezıi Fıiskolai Kar, Székesfehérvár, 1983.
Csepregi Sz. – Soha, G.: Szabatos vetületi számítások. Geodézia és Kartográfia, Budapest,
1983. 4. sz. 247-257. old.
Czobor, Á.: Vetületi átszámítások térbeli derékszögő segédkoordinátákkal. Geodézia és kartográfia,
Budapest, 1989. 252-258. old.
Department of defense: World Geodetic System 1984. DMA Technical Report, 1987. Szeptember
30.
Fasching, A.: A magyar országos háromszögelések és részletes felmérések új vetületi rendszere.
Budapest, 1909. (57 old.)
Geodézia. Szerk.: Zakatov, P. Sz., Izd. Geodezicheskoi Literaturi, Moszkva, 1954.
Geodéziai kézikönyv, I. kötet. Szerk.: Hazay István. Közgazdasági és Jogi Kiadó, Budapest,
1956.
Geodéziai kézikönyv, III. kötet. Szerk.: Hazay István. Közgazdasági és Jogi Kiadó, Budapest,
1960.
Hammer, E.: Lehr- und Handbuch der ebenen und sphaerischen Trigonometrie. J.B. Metzler
Könyvkiadó, Stuttgart, 1923.
Hazay, I.: Földi vetületek. Tankönyv. Akadémiai kiadó, Budapest, 1954.
Hazay, I.: A vetületek szerepe a térképészetben. Geodézia és Kartográfia, 1988, 395. old.
Hegedős, I.: Héjszerkezetek, 2. fej.: A mérnöki héjelmélet,
http://www,bme,hu/~hegedus/hejkonyv2,pdf.
Homoródi, L.: Régi háromszögelési hálózataink elhelyezése és tájékozása. Földméréstani
Közlemények, 1953, 118. old.

198
Irmédi-Molnár, L.: Térképalkotás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1970.
Joó, I.: Az új nemzetközi ellipszoidhoz tartozó magyarországi simulógömb. Geodézia és Kartográfia,
1972, 183-185. old.
Joó, I.: Az új magyarországi közepes sugarú gömb a geodéziai számítási gyakorlat szempontjából.
Geodézia és Kartográfia, 1972, 420. old.
Jordan-Eggert-Kneissl: Handbuch der Vermessungskunde, I. kötet. J.B. Metzler Könyvkiadó,
Stuttgart, 1939.
Jordan-Eggert-Kneissl: Handbuch der Vermessungskunde, II. kötet. J.B. Metzler Könyvkiadó,
Stuttgart, 1941.
Jordan-Eggert-Kneissl: Handbuch der Vermessungskunde, Band IV. Zweite Haelfte, 1959.
Klinghammer, I. – Papp-Váry, Á.: Földünk tükre a térkép, Gondolat Kiadó, Budapest, 1983.
Ledersteger, K.: Theoretische und numerische Studien zur genaeherten Ableitung eines
bestandschliessenden Ellipsoides für Europa. Sitzungsberichte der mathem. Naturw.
Abt. II. a, Bd. 9. u. 10. Heft, 1947.
Levasseur, K.: 50 Jahre Gauss-Krüger Koordinaten in Österreich. Öst. ZfV., 1960.
Németh, Gy.: Vetülettan. Fıiskolai jegyzet, Kézirat. Erdészeti és Faipari Egyetem Földmérési
és Földrendezıi Fıiskolai Kar, Székesfehérvár, 1992.
Rohrer, H.: Zum neuen Projektionssystem Österreichs. Öst. ZfV., 1934, S. 89-97.
Rohrer, H.: Zum neuen Projektionssystem Österreichs (Schluss). Öst. ZfV., 1934, S. 116-123.
Szpravocsnyik geodeziszta. Izd. Nedra, Moszkva, 1975.
Sárközy F.: Geodézia. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.
Schwidefsky, K. – Ackerman, F.: Photogrammetrie, B.G. Teubner, Stuttgart, 1976.
Sébor, J.: Általános geodézia, 2. kötet. Mezıgazdasági Kiadó, Budapest, 1955.
Soha, G.: Geodéziai feladatok megoldása az ellipszoid izometrikus koordinátarendszerében.
Geodézia és Kartográfia, 1984. 239-243. old.
Szádeczky-Kardoss, Gy.: Sztereografikus vetületi meridiánkonvergencia számítása síkkoordinátákból.
Földméréstani Közlemények, 1953. 26-30. old.
Szpravocsnyik geodeziszta, I. könyv. Nyedra kiadó, Moszkva, 1975.
Tárczy-Hornoch, A. – Hrisztov, V.: Tables for Krassowski-ellipszoid. Akadémiai Kiadó, Budapest,
1959.
Varga, J.: Alaphálózatok I (Vetülettan). BME egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest,
1986.
Varga, J.: Vetülettan. BME egyetemi jegyzet. Mőegyetemi Kiadó, Budapest, 1997.
Zakatov, P. Sz.: Kursz viszsej geodezii. Izd. Nedra, Moszkva, 1964.

199
Függelék
E fejezet a könyvben elıforduló számítási példákhoz használt VisualBasic nyelvő
számítási programokat, ill. programrészleteket tartalmazza. A programok, ill. programrészek
fejléce a megfelelı fejezet, ill. pont számával egyezik meg, sorszámos aláosztással.
2.1.3.1.-1.
________________________________
Private Sub Command1_Click()
R = 6378.5
x = Val(Text1.Text): Rem Km-ben kell beadni!
y = Val(Text2.Text) : Rem Km-ben kell beadni!
s = Val(Text3.Text): Rem Méterben kell beadni!
d0 = Sqr(x ^ 2 + y ^ 2)
U = (1 / (12 * R ^ 2)) * (3 * x ^ 2 + 3 * y ^ 2)
DeltaS = U * s
d = s + DeltaS
Text4.Text = "d0 = " + Format$(d0, "0.000")") + " km"
Text5.Text = "U = " + Format$(U, "0.00000000")
Text6.Text = "DeltaS = " + Format$(DeltaS, "0.000") + " m."
Text7.Text = "d = " + Format$(d, "0.000") + " m."
End Sub
________________________________
2.1.3.1.-2.
________________________________
Private Sub Command2_Click()
romperc = 206264.8
R = 6378512.966
X1 = Val(Text1.Text)
Y1 = Val(Text2.Text)
X2 = Val(Text3.Text)
Y2 = Val(Text4.Text)
T = (X1 * Y2 - X2 * Y1) / 2
Delta12 = (T * romperc) / (2 * R ^ 2)
Text5.Text = "T = " + Format$(T, "0.00") + „ m2”
Text6.Text = "Delta12 = " + Format$(Delta12, "0.0") + " mp"
End Sub
________________________________

200
2.2.1.-1.
________________________________
Private Sub Gomb_Henger()
Dim Fi As Double, Lambda As Double, H As Double
Dim Y As Double, X As Double, Fi_G_K As Double
Fi_G_K = Val(Fok(Val(Text1.Text)))
Fi = Val(Fok(Val(Text2.Text)))
Lambda = Val(Fok(Val(Text3.Text)))
------
Cos_Fi_G_K = Cos(Radian(Fi_G_K))
Sin_Fi_G_K = Sin(Radian(Fi_G_K))
CosFi = Cos(Radian(Fi))
SinFi = Sin(Radian(Fi))
SinLambda = Sin(Radian(Lambda))
CosLambda = Cos(Radian(Lambda))
SinFi_Vesszo = SinFi * Cos_Fi_G_K - CosFi * CosLambda * Sin_Fi_G_K
CosFi_Vesszo = Sqr(1 - SinFi_Vesszo ^ 2)
Hanyados = CosFi * SinLambda / CosFi_Vesszo
Lambda_Vesszo = ArcSin(Hanyados)
Y = - R * Lambda_Vesszo
------
Fi_Vesszo = ArcSin(SinFi_Vesszo)
X = - R * Log(Tan((Fi_Vesszo) / 2 + Pi / 4))
------
End Sub
________________________________
Private Function Fok(Szog As Double) As String
Dim Elojel As Integer, Perc As Double, Mp As Double
Elojel = Sgn(Szog)
Perc = Int(100 * (Abs(Szog) - Int(Abs(Szog))))
Mp = 10000 * (Abs(Szog) - Int(Abs(Szog)) - 0.01 * Perc)
Szog = Int(Abs(Szog)) + Perc / 60 + Mp / 3600
Fok = Format$(Elojel * Abs(Szog), "0.0000000000")
End Function
________________________________
Private Function ArcSin(Sin_Szog As Double) As Double
Dim Cos_Szog As Double, Sin_Szog As double
Cos_Szog = Sqr(1 - Sin_Szog ^ 2)
ArcSin = Atn(Sin_Szog / Cos_Szog)
End Function
________________________________
2.2.2.-1.
________________________________
Private Function Lambda_Vesszo(Y As Double) As Double
Lambda_Vesszo = - Y / R
End Function
________________________________
Private Function Fi_Vesszo(X As Double) As Double

201
Fi_Vesszo = -2 * Atn(Exp(X / R)) - Pi / 2)
End Function
________________________________
Private Function Fi_Henger(Y As Double, X As Double) As Double
Static CosFi As Double, SinFi As Double, Fi_G_K As Double
Static SinFi_V As Double, CosFi_V As Double, CosLambda_V As Double
CosFi = Cos(Radian(Fi_G_K))
SinFi = Sin(Radian(Fi_G_K))
SinFi_V = Sin(Fi_Vesszo(X))
CosFi_V = Cos(Fi_Vesszo(X))
CosLambda_V = Cos(Lambda_Vesszo(Y))
SinFi = SinFi_V * CosFi + CosFi_V * CosLambda_V * SinFi
Fi_Henger = Rofok * ArcSin(SinFi)
End Function
________________________________
Private Function Lambda_Henger(Y As Double, X As Double) As Double
Static CosFi As Double, CosFi_V As Double
Static SinLambda As Double, SinLambda_V As Double
CosFi_V = Cos(Fi_Vesszo(X))
SinLambda_V = Sin(Lambda_Vesszo(Y))
CosFi = Cos(Radian(Fi_Henger(Y, X)))
SinLambda = (CosFi_V * SinLambda_V) / CosFi
Lambda_Henger = Rofok * ArcSin(SinLambda)
End Function
________________________________
2.2.3.2.-1.
________________________________
Private Sub Command2_Click()
Rem *** Második irányredukció számítása ***
romperc = 206264.8
R = 6378512.966
X1 = Val(Text1.Text)
Y1 = Val(Text2.Text)
X2 = Val(Text3.Text)
Y2 = Val(Text4.Text)
XK = (X1 + X2) / 2
Delta12 = (XK * (Y2 - Y1) * romperc) / (2 * R ^ 2)
Text5.Text = "XK = " + Format$(XK, "0.000")
Text6.Text = "Delta12 = " + Format$(Delta12, "0.00000") + " mp"
End Sub
________________________________
2.2.3.3.-1.
________________________________
Private Sub Command1_Click()

202
Static Fok_Perc_Mp As String
Rem *** Vetületi meridiánkonvergencia számítása ***
R = 6378512.966
Cotan_Fi_G_K = 0.929257344635727
Rofok = 57.2957795130824
X = Val(Text1.Text)
Y = Val(Text2.Text)
Ch = (Exp(X / R) + Exp(-X / R)) / 2
Sh = (Exp(X / R) - Exp(-X / R)) / 2
Sin_ = Sin(Y / R)
Cos_ = Cos(Y / R)
Tan_Mu = -(Ch * Sin_) / (Cotan_Fi_G_K + Sh * Cos_)
Mu = Rofok * Atn(Tan_Mu)
Elojel = Sgn(Mu) : Rem *** Fok átalakítása Fok-perc-másodperccé ***
Perc = (Abs(Mu) - Int(Abs(Mu))) * 0.6
Mp = (100 * Perc - Int(100 * Perc)) * 0.006
Mp = Elojel * (Int(Abs(Mu)) + Int(100 * Perc) / 100 + Mp)
Fok_Perc_Mp = Format$(Mp, "0.000000000")
Text3.Text = "Mu = " + Fok_Perc_Mp
End Sub
________________________________
2.3.4.2.-1.
________________________________
Private Sub Command2_Click()
Rem *** A második irányredukció számítása az EOV-ben ***
romperc = 206264.8
R = 6379743.001
m0 = 0.99993
X1 = Val(Text1.Text)
Y1 = Val(Text2.Text)
X2 = Val(Text3.Text)
Y2 = Val(Text4.Text)
a = romperc / (2 * R ^ 2 * m0 ^ 2)
b = romperc / (12 * R ^ 2 * m0 ^ 2)
XK = (X1 + X2) / 2
Delta12 = a * XK * (Y2 - Y1) - b * (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
Delta21 = -a * XK * (Y2 - Y1) - b * (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
Text5.Text = "a = " + Format$(a, "0.0000000000000000")
Text6.Text = "b = " + Format$(b, "0.0000000000000000")
Text7.Text = "Delta12 = " + Format$(Delta12, "0.000000") + " mp"
Text8.Text = "Delta21 = " + Format$(Delta21, "0.000000") + " mp"
End Sub

203
________________________________
Private Sub Command1_Click()
Rem *** A hossztorzulás számítása az EOV-ben ***
romperc = 206264.8
R = 6379743.001
m0 = 0.99993
X1 = Val(Text1.Text)
Y1 = Val(Text2.Text)
X2 = Val(Text3.Text)
Y2 = Val(Text4.Text)
U = (1 / (6 * R ^ 2 * m0)) * (X1 ^ 2 + X1 * X2 + X2 ^ 2)
m = m0 + U
Text5.Text = "U = " + Format$(U, "0.0000000000")
Text6.Text = "m = " + Format$(m, "0.0000000000")
End Sub
________________________________
3.2.-1.
________________________________
……
Rofok = 57.2957795130824
Pi = 180 / Rofok
Rad = Pi / 180
Fi = Radian(Fi)
Fok = Fi - Rad
Tized = 10 * Rad
For i = 1 To 10
Tized = 0.1 * Tized
Do
Fok = Fok + Tized
e = Sqr(E_Negyzet) * Sin(Fok)
F1 = Tan(Pi / 4 + Fi / 2)
F2 = kis_k * ((Tan(Pi / 4 + Fok / 2) ^ kis_n) * ((1 - e) / (1 + e)) ^ ((kis_n * Sqr(E_Negyzet)) / 2))
Kulonbseg = F1 - F2
Loop Until Kulonbseg < 0
Fok = Fok - Tized
Next
Fi_Ell = Rofok * Fok
________________________________
3.3.1.-1.
________________________________
Private Function Fi_Gomb(Fi As Double) As Double
Dim f As Double

204
Fi=Val(Text6.Text)
If Abs(Fi) > 90 Then Fi = 90
Fi = Radian(Fi)
f = kis_k * ((Tan(Pi / 4 + Fi / 2) ^ kis_n) * ((1 - Sqr(E_Negyzet) * Sin(Fi)) / (1 + Sqr(E_Negyzet) * Sin(Fi))) ^
((kis_n * Sqr(E_Negyzet)) / 2))
Fi_Gomb = 2 * Rofok * (Atn(f) - Pi / 4)
End Function
________________________________
3.3.1.-2.
________________________________
Fi_Vesszo = (2 * Atn(Exp(X / (R * m0))) - Pi / 2)
RSet FPMstr = Fok_Perc_Mp(Rofok * Fi_Vesszo)
Text17.Text = FPMstr
Lambda_Vesszo = Y / (R * m0)
RSet FPMstr = Fok_Perc_Mp(Rofok * Lambda_Vesszo)
Text18.Text = FPMstr
________________________________
4.1.4.-1.
________________________________
……
Elojel_X = Sgn(X)
X = Abs(X)
Fok = 0
Tized = 1
For i = 1 To 10
Tized = 0.1 * Tized
Do
Fok = Fok + Tized
Kulonbseg = X - Nagy_B(Fok)
Loop Until Kulonbseg < 0
Fok = Fok - Tized
Next
Fi = Elojel_X * Radian(Fok)
……
________________________________
4.1.5.4.-1.
________________________________
Private Function Kis_y_G_Kr(Fi As Double, Lambda As Double) As Double
Static Rad_Lambda As Double, CosFi As Double

205
Static TanFi As Double, N As Double
Static Eta_Negyzet As Double, Osszeg As Double
Static a_1 As Double, a_3 As Double, a_5 As Double, a_7 As Double
Rad_Lambda = Radian(Lambda)
CosFi = Cos(Radian(Fi))
TanFi = Tan(Radian(Fi))
Eta_Negyzet = E_V_Negyzet * CosFi ^ 2
N = Nagy_N(Fi)
a_1 = N * CosFi
a_3 = N * CosFi ^ 3 * (1 - TanFi ^ 2 + Eta_Negyzet) / 6
a_5 = N * CosFi ^ 5 * (5 - 18 * TanFi ^ 2 + TanFi ^ 4 + 14 * Eta_Negyzet - 58 * Eta_Negyzet * TanFi ^ 2) / 120
Kis_y_G_Kr = a_1 * Rad_Lambda + a_3 * Rad_Lambda ^ 3 + a_5 * Rad_Lambda ^ 5 + a_7 * Rad_Lambda ^ 7
End Function
________________________________
Private Function Kis_x_G_Kr(Fi As Double, Lambda As Double) As Double
Static Rad_Lambda As Double, Rad_Fi As Double
Static SinFi As Double, CosFi As Double, TanFi As Double
Static N As Double, Eta_Negyzet As Double
Static a_2 As Double, a_4 As Double, a_6 As Double
Rad_Lambda = Radian(Lambda)
Rad_Fi = Radian(Fi)
SinFi = Sin(Rad_Fi)
CosFi = Cos(Rad_Fi)
TanFi = Tan(Rad_Fi)
Eta_Negyzet = E_V_Negyzet * CosFi ^ 2
N = Nagy_N(Fi)
a_2 = N * CosFi * SinFi / 2
a_4 = N * CosFi ^ 3 * SinFi * (5 - TanFi ^ 2 + 9 * Eta_Negyzet + 4 * Eta_Negyzet ^ 2) / 24
a_6 = N * CosFi ^ 5 * SinFi * (61 - 58 * TanFi ^ 2 + TanFi ^ 4) / 720
Kis_x_G_Kr = Nagy_B(Fi) + a_2 * Rad_Lambda ^ 2 + a_4 * Rad_Lambda ^ 4 + a_6 * Rad_Lambda ^ 6
End Function
________________________________
Private Function Nagy_B(Fi As Double) As Double
Static Be As Double, G As Double, Fi_ As Double
Be = a * (1 - E_Negyzet)
Fi_ = Radian(Fi)
G = A_ * Fi_ - (B_ / 2) * Sin(2 * Fi_) + (C_ / 4) * Sin(4 * Fi_)
G = G - (D_ / 6) * Sin(6 * Fi_) + (E_ / 8) * Sin(8 * Fi_)
G = G - (F_ / 10) * Sin(10 * Fi_)
Nagy_B = Be * G
End Function
________________________________
Private Function Nagy_N(Fi As Double) As Double
Static a As Double, b As Double
Nagy_N = a ^ 2 / Sqr(a ^ 2 * Cos(Radian(Fi)) ^ 2 + b ^ 2 * Sin(Radian(Fi)) ^ 2)
End Function
________________________________

206
4.1.5.4.-2.
________________________________
Private Function Fi_G_Kr(Y As Double, Fi As Double) As Double
Static CosFi As Double
Static Eta_Negyzet As Double, V As Double
Static N As Double, TanFi As Double
Static b_2 As Double, b_4 As Double, b_6 As Double
CosFi = Cos(Fi)
Eta_Negyzet = E_V_Negyzet * CosFi ^ 2
V = Sqr(1 + Eta_Negyzet)
N = Nagy_N(Fok)
TanFi = Tan(Fi)
b_2 = -TanFi * V ^ 2 / (2 * N ^ 2)
b_4 = (TanFi / (24 * N ^ 4)) * (5 + 3 * TanFi ^ 2 + 6 * Eta_Negyzet - 6 * Eta_Negyzet * TanFi ^ 2)
b_6 = -(TanFi / (720 * N ^ 6)) * (61 + 90 * TanFi ^ 2 + 45 * TanFi ^ 4)
Fi_G_Kr = Rofok * (Fi + b_2 * Y ^ 2 + b_4 * Y ^ 4 + b_6 * Y ^ 6)
End Function
________________________________
4.1.5.4.-3.
________________________________
Private Function MerKonv_G_Kr(Fi As Double, Lambda As Double) As Double
Static SinFi As Double, CosFi As Double, TanFi As Double
Static Rad_Lambda As Double, Eta_Negyzet As Double
Static c_1 As Double, c_3 As Double, c_5 As Double, c_7 As Double
SinFi = Sin(Radian(Fi))
CosFi = Cos(Radian(Fi))
TanFi = Tan(Radian(Fi))
Rad_Lambda = Radian(Lambda)
Eta_Negyzet = E_V_Negyzet * CosFi ^ 2
c_1 = SinFi
c_3 = (SinFi * CosFi ^ 2 / 3) * (1 + 3 * Eta_Negyzet + 2 * Eta_Negyzet ^ 2)
c_5 = (SinFi * CosFi ^ 4 / 15) * (2 - TanFi ^ 2)
MerKonv_G_Kr = Rofok * (c_1 * Rad_Lambda + c_3 * Rad_Lambda ^ 3 + c_5 * Rad_Lambda ^ 5)
End Function
________________________________
4.1.5.4.-4.
________________________________
Private Function MerKonv_G_Kr_YX(Y As Double, X As Double, Fi As Double) As Double
Static CosFi As Double, TanFi As Double
Static c_1 As Double, c_3 As Double, c_5 As Double, c_7 As Double
Static N As Double, Eta_Negyzet As Double
CosFi = Cos(Fi)
TanFi = Tan(Fi)
Eta_Negyzet = E_V_Negyzet * CosFi ^ 2

207
N = Nagy_N(Rofok * Fi)
N = N * m0
c_1 = TanFi / N
c_3 = -(TanFi / (3 * N ^ 3)) * (1 + TanFi ^ 2 - Eta_Negyzet)
c_5 = (TanFi / (15 * N ^ 5)) * (2 + 5 * TanFi ^ 2 + 3 * TanFi ^ 4 )
MerKonv_G_Kr_YX = Rofok * (c_1 * Y + c_3 * Y ^ 3 + c_5 * Y ^ 5)
End Function
________________________________
4.2.3.3.-1.
________________________________
N = N * m0
M = M * m0
a = a * m0
b = b * m0
________________________________
5.1.1.-1.
__________________________________
Private Function Nagy_X(Fi As Double, Lambda As Double, H As Double) As Double
Nagy_X = (Nagy_N(Fi) + H) * Cos(Fi) * Cos(Lambda)
End Function
__________________________________
Private Function Nagy_Y(Fi As Double, Lambda As Double, H As Double) As Double
Nagy_Y = (Nagy_N(Fi) + H) * Cos(Fi) * Sin(Lambda)
End Function
__________________________________
Private Function Nagy_Z(Fi As Double, Lambda As Double, H As Double) As Double
Nagy_Z = (Nagy_N(Fi) * (b ^ 2 / a ^ 2) + H) * Sin(Fi)
End Function
__________________________________
Private Function Nagy_N(Fi As Double) As Double
Nagy_N = a ^ 2 / Sqr(a ^ 2 * Cos(Fi) ^ 2 + b ^ 2 * Sin(Fi) ^ 2)
End Function
_________________________________

208
5.1.2.-1.
__________________________________
Private Sub GPS_WGS()
Static Fi As Double, Lambda As Double, H As Double
Static Y As Double, X As Double, Z As Double
Static n As Double, PE As Double, Teta As Double
Lambda = Atn(Y / X)
PE = Sqr(X ^ 2 + Y ^ 2)
Teta = Atn((Z * a) / (PE * b))
Fi = Atn((Z + E_V_Negyzet * b * Sin(Teta) ^ 3) / (PE - E_Negyzet * a * Cos(Teta) ^ 3))
n = Nagy_N(Fi)
H = PE / Cos(Fi) - n
End Sub
__________________________________
5.2.2.-1.
__________________________________
p = Pontok_Szama
For l = 1 To p
Xi(l) = X_Y_Z(l, 1): Rem Az X vektor
Yi(l) = X_Y_Z(l, 2)
Zi(l) = X_Y_Z(l, 3)
Xiv(l) = U_V_W(l, 1) : Rem Az X’ vektor
Yiv(l) = U_V_W(l, 2)
Ziv(l) = U_V_W(l, 3)
Next l
Rem ********
For k = 1 To 3 * p
For j = 1 To 7
Matrix(k, j) = 0
Next j
Next k
For j = 1 To p
i = 3 * (j - 1)
Matrix(i + 1, 1) = 1: Rem Az A együttható mátrix összeállítása
Matrix(i + 1, 4) = Xi(j)
Matrix(i + 1, 6) = -Zi(j)
Matrix(i + 1, 7) = Yi(j)
Matrix(i + 2, 2) = 1
Matrix(i + 2, 4) = Yi(j)
Matrix(i + 2, 5) = Zi(j)
Matrix(i + 2, 7) = -Xi(j)
Matrix(i + 3, 3) = 1
Matrix(i + 3, 4) = Zi(j)
Matrix(i + 3, 5) = -Yi(j)
Matrix(i + 3, 6) = Xi(j)
Tiszta(i + 1) = Xiv(j) - Xi(j): Rem Az l vektor összeállítása

209
Tiszta(i + 2) = Yiv(j) - Yi(j)
Tiszta(i + 3) = Ziv(j) - Zi(j)
Next
__________________________________
5.2.2.-2.
__________________________________
For i = 1 To 7: Rem Normálmátrix összeállítása
For j = 1 To 8
Normal(i, j) = 0
Next
Next
For i = 1 To 7
For j = 1 To 7
For k = 1 To 3 * p
Normal(i, j) = Normal(i, j) + Matrix(k, i) * Matrix(k, j)
Next k
Next j
Next i
For i = 1 To 7: Rem Tisztatag vektor összeállítása
For k = 1 To 3 * p
Normal(i, 8) = Normal(i, 8) + Matrix(k, i) * Tiszta(k)
Next k
Next i
__________________________________
5.2.2.-3.
__________________________________
Private Sub Megoldas()
Static i As Integer
Static j As Integer
Static k As Integer
Rem *** Változók a normálegyenletrendszer megoldásához ***
Static Foindex As Integer, Foelem As Double, M_ As Double
Static NormSor As Double, Legnagyobb As Double, Meret As Double
Static LU(30, 30) As Double, Skalak(30) As Double, PS(30) As Integer
Static Akku As Double
Rem ******** Normál_egyenletrendszer megoldása ********
Rem * A tiszta tagok a Normal(i, 8) oszlopban vannak! *
Rem ******** Felbontás ********
Rem * Megadjuk a PS, LU és a Skálák kezdeti értékét *
For i = 1 To 7
PS(i) = i
NormSor = 0
For j = 1 To 7

210
LU(i, j) = Normal(i, j)
If NormSor < Abs(LU(i, j)) Then
NormSor = Abs(LU(i, j))
End If
Next j
If NormSor = 0 Then
Skalak(i) = 0
uzenet = MsgBox("Zérus sor van a FELBONTÁS mátrixában!", 0, "Hiba!")
Exit Sub
End If
Skalak(i) = 1 / NormSor
Next i
Rem * Gauss-féle eljárás részleges fıelem-kiválasztással *
For k = 1 To 6
Legnagyobb = 0
For i = k To 7
Meret = Abs(LU(PS(i), k)) * Skalak(PS(i))
If Legnagyobb < Meret Then
Legnagyobb = Meret
Foindex = i
End If
Next i
If Legnagyobb = 0 Then
uzenet = MsgBox("Szinguláris mátrix van a FELBONTÁS-ban!", 0, "Hiba!")
Exit Sub
End If
If Foindex k Then
j = PS(k)
PS(k) = PS(Foindex)
PS(Foindex) = j
End If
Foelem = LU(PS(k), k)
For i = k + 1 To 7
M_ = -LU(PS(i), k) / Foelem
LU(PS(i), k) = -M_
For j = k + 1 To 7
LU(PS(i), j) = LU(PS(i), j) + M_ * LU(PS(k), j)
Rem * Ez a belsı ciklus. Csak az oszlopindex változik. *
Next j
Next i
Next k

211
If LU(PS(7), 7) = 0 Then
uzenet = MsgBox("Szinguláris mátrix van a FELBONTÁS-ban!", 0, "Hiba!")
Exit Sub
End If
Rem **** FELBONTAS vége! ****
Rem **** MEGOLDO ****
For i = 1 To 7
Akku = 0
For j = 1 To i - 1
Akku = Akku + LU(PS(i), j) * D(j)
Next j
D(i) = Normal(PS(i), 8) - Akku
Next i
For i = 7 To 1 Step -1
Akku = 0
For j = i + 1 To 7
Akku = Akku + LU(PS(i), j) * D(j)
Next j
D(i) = (D(i) - Akku) / LU(PS(i), i)
Next i
End Sub
__________________________________
5.3.-1.
__________________________________
p = Pontok_Szama
X_1 = 0
Y_1 = 0
Z_1 = 0
X_2 = 0
Y_2 = 0
Z_2 = 0
Rem **** Súlyponti koordináták számítása ****
For j = 1 To p
X_1 = X_1 + X_Y_Z(j, 1)
Y_1 = Y_1 + X_Y_Z(j, 2)
Z_1 = Z_1 + X_Y_Z(j, 3)
X_2 = X_2 + U_V_W(j, 1)
Y_2 = Y_2 + U_V_W(j, 2)
Z_2 = Z_2 + U_V_W(j, 3)
Next

212
X_1 = X_1 / p
Y_1 = Y_1 / p
Z_1 = Z_1 / p
X_2 = X_2 / p
Y_2 = Y_2 / p
Z_2 = Z_2 / p
__________________________________
5.3.-2.
__________________________________
For l = 1 To p
X = X_Y_Z(l, 1) - X_1
Y = X_Y_Z(l, 2) - Y_1
Z = X_Y_Z(l, 3) - Z_1
m = 0: f = 3: Rem **** A polinom fokszáma ****
For i = 0 To f
For j = 0 To f - i
For k = 0 To f - i - j
m = m + 1
Matrix(l, m) = X ^ i * Y ^ j * Z ^ k
Next k
Next j
Next i
Next l
__________________________________
5.3.-3.
__________________________________
Private Sub Normal_Matrix()
Static i As Integer
Static j As Integer
Static k As Integer
Static p As Integer
Static t As Integer
p = Pontok_Szama
t = Tagok_Szama
Rem ******** Normálmátrix összeállítása ********
For i = 1 To t
For j = 1 To t + 1
Normal(i, j) = 0#
Next
Next
For i = 1 To t
For j = 1 To t
For k = 1 To p
Normal(i, j) = Normal(i, j) + Matrix(k, i) * Matrix(k, j)
Next k

213
Next j
Next i
End Sub
_________________________________
5.3.-4.
__________________________________
Private Sub Tisztatag()
Static i As Integer
Static j As Integer
Static k As Integer
Static p As Integer
Static t As Integer
p = Pontok_Szama
t = Tagok_Szama
Rem ******** Tisztatag vektor összeállítása ********
For i = 1 To t
For k = 1 To p
Normal(i, t + 1) = Normal(i, t + 1) + Matrix(k, i) * Tiszta(k)
Next k
Next i
End Sub
__________________________________
5.3.-5.
__________________________________
For k = 1 To p
Tiszta(k) = U_V_W(k, 1) - X_2
Next k
For k = 1 To p
Tiszta(k) = U_V_W(k, 2) - Y_2
Next k
For k = 1 To p
Tiszta(k) = U_V_W(k, 3) - Z_2
Next k
__________________________________
5.5.-1.
_________________________________
p = Pontok_Szama
Y_1 = 0
X_1 = 0
Y_2 = 0
X_2 = 0
For j = 1 To p

214
Y_1 = Y_1 + X_Y_Z(j, 1)
X_1 = X_1 + X_Y_Z(j, 2)
Y_2 = Y_2 + U_V_W(j, 1)
X_2 = X_2 + U_V_W(j, 2)
Next
Y_1 = Y_1 / p
X_1 = X_1 / p
Y_2 = Y_2 / p
X_2 = X_2 / p
_________________________________
5.5.-2.
_________________________________
For l = 1 To p
Y = X_Y_Z(l, 1) - Y_1
X = X_Y_Z(l, 2) - X_1
m = 0
For i = 0 To n
For j = 0 To n - i
m = m + 1
Matrix(l, m) = Y ^ i * X ^ j
Next j
Next i
Next l
_________________________________
5.5.-3.
_________________________________
Rem ******** Normálmátrix összeállítása ********
For i = 1 To t
For j = 1 To t + 1
Normal(i, j) = 0#
Next
Next
For i = 1 To t
For j = 1 To t
For k = 1 To p
Normal(i, j) = Normal(i, j) + Matrix(k, i) * Matrix(k, j)
Next k
Next j
Next i
End Sub
_________________________________
Rem ******** Tisztatag vektor összeállítása ********
For i = 1 To t
For k = 1 To p
Normal(i, t + 1) = Normal(i, t + 1) + Matrix(k, i) * Tiszta(k)
Next k

Next i
End Sub
_________________________________
215